الجمال الرياضي

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 14 صور
الموسوعة الحرة

الجمال الرياضي هو نوع من القيمة الجمالية التي تُختبر عند ممارسة الرياضيات أو التأمل فيها . وتشير شهادات علماء الرياضيات إلى أن جوانب مختلفة من الرياضيات - بما في ذلك النتائج والصيغ والبراهين والنظريات - يمكن أن تُثير استجابات ذاتية تُشبه جمال الفن أو الموسيقى أو الطبيعة. ويمكن أن تكون المتعة في هذه التجربة دافعًا لممارسة الرياضيات، وقد وصف بعض علماء الرياضيات، مثل جي إتش هاردي ، الرياضيات بأنها شكل فني يسعى إلى الجمال.

لقد خضع مفهوم الجمال في الرياضيات للدراسة والبحث من قبل علماء الرياضيات أنفسهم ، بالإضافة إلى الفلاسفة وعلماء النفس وعلماء الأعصاب . إن فهم الجمال عمومًا قد يكون صعبًا لأنه استجابة ذاتية للتجربة الحسية، ولكنه يُدرك كخاصية لشيء خارجي، ولأنه قد يتأثر بالعوامل الثقافية أو التجارب الشخصية. ويطرح الجمال الرياضي إشكاليات إضافية، إذ أن الاستجابة الجمالية تُستثار بأفكار مجردة يمكن التعبير عنها رمزيًا، والتي قد لا تكون متاحة إلا لقلة من الأشخاص ذوي القدرات والتدريب الرياضي. كما أن تقدير الرياضيات قد يكون أكثر تفاعلية من (على سبيل المثال) الاستماع إلى الموسيقى. [ 1 ]

علاوة على ذلك، قد يرتبط الجمال في الرياضيات بقيم جمالية أو غير جمالية أخرى. فبعض المؤلفين يربطون الأناقة الرياضية بالجمال الرياضي، بينما يميز آخرون الأناقة كقيمة جمالية مستقلة، أو باعتبارها، على سبيل المثال، مقتصرة على شكل العرض الرياضي. [ 2 ] : 177-178. وغالبًا ما يرتبط الجمال نفسه، أو يُعتقد أنه يعتمد على، تجريد الرياضيات، أو نقائها، أو بساطتها، أو عمقها، أو نظامها.

أمثلة على الرياضيات الجميلة

نتائج

بدءًا من e 0 = 1، والتحرك بالسرعة i بالنسبة لموقع المرء لفترة زمنية π، وإضافة 1، يصل المرء إلى 0. (الرسم البياني هو رسم أرغاند .)

غالباً ما يتم تقديم هوية أويلر كمثال على نتيجة جميلة: [ 3 ] : 1-3 [ 4 ] : ​​835-836 [ 5 ]

هـأناπ+1=0.{\displaystyle \displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi }+1=0\,.}

يربط هذا التعبير بين أهم خمسة ثوابت رياضية ( e ، i ، π، 1، و0) مع أكثر رمزين رياضيين شيوعًا (+، =). تُعدّ متطابقة أويلر حالة خاصة من صيغة أويلر ، التي وصفها الفيزيائي ريتشارد فاينمان بأنها "جوهرتنا" و"أروع صيغة في الرياضيات". [ 6 ]

مثال آخر هو نظرية فيرما حول مجموع مربعين ، والتي تنص على أن أي عدد أولي بحيثص≡1(تعديل4){\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}يمكن كتابتها كمجموع عددين مربعين (على سبيل المثال،5=12+22{\displaystyle 5=1^{2}+2^{2}}،13=22+32{\displaystyle 13=2^{2}+3^{2}}،37=12+62{\displaystyle 37=1^{2}+6^{2}}), والتي اعتبرها كل من جي إتش هاردي [ 7 ] : §12 وإي تي بيل [ 8 ] : الفصل 4 نتيجة جميلة.

في استطلاع طُلب فيه من علماء الرياضيات تقييم 24 نظرية من حيث جمالها، كانت النظريات الثلاث الأعلى تقييمًا هي: [ 9 ] معادلة أويلر؛ صيغة أويلر للمجسم متعدد السطوح ، والتي تنص على أنه بالنسبة لمجسم متعدد السطوح ذي V رأسًا و E ضلعًا و F وجهًا،V-هـ+F=2{\displaystyle V-E+F=2}ونظرية إقليدس التي تنص على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية، والتي ذكرها هاردي أيضًا كمثال على نظرية رائعة. [ 7 ] : §12

البراهين

مثال على "الجمال في المنهج" - وصف بصري بسيط وأنيق لنظرية فيثاغورس .

لقد تم الاستشهاد بحجة كانتور القطرية ، التي تثبت وجود مجموعات لا نهائية لا يمكن وضعها في تطابق واحد لواحد مع المجموعة اللانهائية من الأعداد الطبيعية ، من قبل كل من علماء الرياضيات [ 10 ] والفلاسفة [ 11 ] كمثال على برهان جميل.

برهان بدون كلمات لنظرية مجموع الأعداد الفردية

لقد اعتُبرت البراهين المرئية، مثل البرهان المصور لنظرية فيثاغورس ، وغيرها من البراهين التي لا تحتوي على كلمات بشكل عام، مثل البرهان الموضح على أن مجموع جميع الأعداد الفردية الموجبة حتى 2n - 1 هو مربع كامل ، جميلة. [ 12 ]  

تحدث عالم الرياضيات بول إردوش عن "الكتاب" ، وهو كتاب خيالي لا نهائي دوّن فيه الله أجمل البراهين الرياضية. عندما أراد إردوش التعبير عن تقديره لبرهانٍ ما، كان يُعلن أنه "مأخوذٌ مباشرةً من الكتاب!". [ 13 ] : 35 وقد ألهمت هذه الطريقة البلاغية تأليف كتاب "براهين من الكتاب" ، وهو عبارة عن مجموعة من هذه البراهين، بما في ذلك العديد من البراهين التي اقترحها إردوش نفسه. [ 14 ] : 5

أشياء

في كتاب طيماوس لأفلاطون ، تُوصف المجسمات الخمسة المنتظمة المحدبة ، والتي تُسمى الأجسام الأفلاطونية لدورها في هذا الحوار، بأنها "أجمل" الأجسام ("κάλλιστα"). [ 15 ] : 53هـ. وفي طيماوس ، يُذكر أنها استُخدمت من قِبل الصانع ، أو الخالق الحرفي الذي يبني الكون، للعناصر الكلاسيكية الأربعة بالإضافة إلى السماوات، وذلك لجمالها. [ 15 ] : 54هـ–55هـ

نموذج كبلر الأفلاطوني الصلب للنظام الشمسي

في كتابه "سر الكون" (Mysterium Cosmographicum) الصادر عام ١٥٩٦ ، جادل يوهانس كيبلر بأن مدارات الكواكب المعروفة آنذاك في النظام الشمسي قد رتبها الله لتتوافق مع ترتيب متمركز للأجسام الأفلاطونية الخمسة ، حيث يقع كل مدار على الكرة المحيطة بأحد الأجسام والكرة الداخلية لجسم آخر. ويرى كيبلر أن الله أراد تشكيل الكون وفقًا للأجسام الخمسة المنتظمة لجمالها، وهذا ما يفسر وجود ستة كواكب (وفقًا لمعارف ذلك الزمان). [ ١٦ ] : الفصل ٣ [ ٤ ] : ٢٨٠-٢٨٥

إسقاط بتري لـهـ8{\displaystyle E_{8}}

ومن الأمثلة الحديثة على ذلك مجموعة لي البسيطة الاستثنائيةهـ8{\displaystyle E_{8}}، والتي وُصفت بأنها "ربما أجمل بنية في الرياضيات كلها". [ 17 ]

النظريات العلمية

تُعتبر الصيغ الرياضية للنظريات العلمية، وخاصة في الفيزياء، جميلةً من الناحية الرياضية في بعض الأحيان. فعلى سبيل المثال، رأى روجر بنروز أن هناك "جمالًا خاصًا" في معادلات ماكسويل للكهرومغناطيسية: [ 18 ] : 268∇⋅هـ=ρε0∇⋅ب=0∇×هـ=-∂ب∂ت∇×ب=μ0(ج+ε0∂هـ∂ت){\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\,\,&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} \,\,\,&=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\end{aligned}}}

وُصفت نظرية النسبية العامة لأينشتاين بأنها عمل فني، ومن بين الإشادات الجمالية الأخرى، وصفها بول ديراك بأنها تتمتع بـ"جمال رياضي عظيم" [ 19 ] : 148 ، ووصفها بنروز بأنها تتمتع بـ"جمال رياضي فائق" [ 20 ] : 123. [ 21 ] : 1038

(قد يكون لجمال النظرية العلمية جوانب أخرى غير مجرد صياغتها الرياضية. على سبيل المثال، قد يؤثر كون النظرية قابلة للتصور أو حتمية على ما إذا كانت تُعتبر جميلة. [ 22 ] : 53 [ 4 ] : ​​873-877 )

خصائص الرياضيات الجميلة

سعى العديد من علماء الرياضيات والفلاسفة الذين كتبوا عن جمال الرياضيات إلى تحديد خصائص أو معايير تُسهم في إدراك الجمال في أي عمل رياضي. ويُثار جدلٌ حول إمكانية توضيح الجمال أو تفسيره من خلال هذه الخصائص. يقول بول إيردوس : "لماذا الأرقام جميلة؟ الأمر أشبه بسؤال: لماذا سيمفونية بيتهوفن التاسعة جميلة؟ إن لم تفهم السبب، فلن يستطيع أحدٌ أن يُخبرك. أنا أعلم أن الأرقام جميلة. إن لم تكن جميلة، فلا شيء جميل." [ 23 ]

نتائج

في مقالته "اعتذار عالم رياضيات" عام 1940 ، قال جي إتش هاردي إن النتيجة الجميلة، بما في ذلك برهانها، تمتلك ثلاث "صفات جمالية بحتة"، وهي "الحتمية" و"المفاجأة" و"الاختصار". واستبعد على وجه الخصوص تعداد الحالات باعتباره "أحد أشكال الحجاج الرياضي الأكثر مللاً". [ 7 ] : §18

في عام 1997، عارض جيان كارلو روتا فكرة اعتبار عنصر المفاجأة شرطاً كافياً للجمال، واقترح مثالاً مضاداً:

تبدو العديد من نظريات الرياضيات، عند نشرها لأول مرة، مثيرة للدهشة؛ فعلى سبيل المثال، قبل نحو عشرين عامًا [من عام 1977]، اعتُبر إثبات وجود بنى تفاضلية غير متكافئة على كرات ذات أبعاد عالية أمرًا مثيرًا للدهشة، لكن لم يخطر ببال أحد وصف مثل هذه الحقيقة بالجميلة، لا آنذاك ولا الآن. [ 2 ] : 172

في المقابل، كتب موناستيرسكي في عام 2001:

من الصعب للغاية إيجاد اختراع مماثل في الماضي لبنية ميلنور الرائعة للهياكل التفاضلية المختلفة على الكرة ذات الأبعاد السبعة... لم يكن برهان ميلنور الأصلي بنّاءً للغاية، لكن إي. بريسكورن أثبت لاحقًا أنه يمكن وصف هذه الهياكل التفاضلية بشكل واضح وجميل للغاية. [ 24 ] : 44

يوضح هذا الخلاف الطبيعة الذاتية للجمال الرياضي، مثل أشكال الجمال الأخرى بشكل عام ، وارتباطه بالنتائج الرياضية: في هذه الحالة، ليس فقط وجود المجالات الغريبة، ولكن أيضًا تحقيقًا معينًا لها.

البراهين

إلى جانب خصائص هاردي المتمثلة في "المفاجأة" و"الحتمية" و"الاختصار"، والتي طبقها على البراهين والنتائج على حد سواء، فقد اعتاد علماء الرياضيات على اعتبار البراهين الجميلة قصيرة وبسيطة. [ 25 ] : 22

في سعيهم لإيجاد برهان أنيق، غالبًا ما يبحث علماء الرياضيات عن طرق مستقلة مختلفة لإثبات نتيجة ما، إذ يمكن تحسين البرهان الأول الذي يُعثر عليه. ولعلّ نظرية فيثاغورس هي النظرية التي اكتُشف لها أكبر عدد من البراهين المختلفة ، حيث نُشرت مئات البراهين. [ 26 ] ومن النظريات الأخرى التي ثبتت بطرق عديدة نظرية التبادل التربيعي . في الواقع، قدّم كارل فريدريش غاوس وحده ثمانية براهين مختلفة لهذه النظرية، نشر ستة منها. [ 27 ]

في المقابل، لا تُعتبر النتائج الصحيحة منطقيًا، ولكنها تتطلب حسابات مُرهقة أو دراسة حالات عديدة، جميلةً عادةً، بل قد يُشار إليها بالقبيحة أو غير المتقنة . على سبيل المثال، استخدم برهان كينيث أبيل وولفغانغ هاكن لنظرية الألوان الأربعة التحقق الحاسوبي لأكثر من ألف حالة. قال فيليب ج. ديفيس وروبن هيرش إنهما عندما سمعا لأول مرة عن هذا البرهان، أملا أن يحتوي على رؤية جديدة "تُغيّر جمالها يومي"، وشعرا بالإحباط عندما أُخبرا بأن البرهان تم عن طريق تعداد الحالات والتحقق الحاسوبي. [ 28 ] : 384. قال بول إيردوس إنه "ليس جميلًا" لأنه لم يُقدّم أي تفسير لسبب صحة النظرية. [ 29 ] : 44

التحليل الفلسفي

اعتقد أرسطو أن الجمال يكمن بشكل خاص في الرياضيات، وكتب في كتابه "الميتافيزيقا" أن

إنّ من يزعمون أن العلوم الرياضية لا تتحدث عن الجمال أو الخير مخطئون. فهذه العلوم تقول وتثبت الكثير عنهما؛ فإذا لم تذكرهما صراحةً، بل أثبتت صفاتٍ هي نتائجها أو صيغها، فليس صحيحاً القول إنها لا تخبرنا شيئاً عنهما. وأهمّ مظاهر الجمال هي النظام والتناسق والوضوح، وهي صفاتٌ تُظهرها العلوم الرياضية بدرجةٍ خاصة. [ 30 ] : 1078a32–35

أدلى عالم المنطق والفيلسوف برتراند راسل بتصريح شهير الآن يصف فيه الجمال الرياضي من حيث النقاء والتقشف:

إن الرياضيات، إذا نُظر إليها نظرة صحيحة، لا تمتلك الحقيقة فحسب، بل تمتلك جمالاً فائقاً أيضاً - جمالاً بارداً وجافاً، كجمال النحت، لا يستميل أي جزء من طبيعتنا الضعيفة، ولا يزخر بزخارف الرسم أو الموسيقى الباذخة، ولكنه نقيٌّ سامٍ، وقادر على بلوغ كمال صارم لا يُظهره إلا أعظم الفنون. [ 31 ]

في القرن العشرين، تساءل بعض الفلاسفة عما إذا كان هناك جمال حقيقي في الرياضيات. جادل فيلسوف العلوم روم هاريه بأنه لا توجد تقييمات جمالية حقيقية للرياضيات، بل تقييمات شبه جمالية فقط . أي نجاح رياضي يُوصف بمصطلح جمالي هو نجاح من الدرجة الثانية، إلى جانب الفهم والصحة. في المقابل، يُعد التقييم الجمالي لعمل فني من الدرجة الأولى. اعتبر هاريه هذا هو الفرق بين التقييم شبه الجمالي والتقييم الجمالي الحقيقي. [ 32 ]

اعتقد نيك زانغويل أنه لا توجد تجارب جمالية حقيقية في الرياضيات، وأن البراهين أو النظريات لا يمكن أن تكون جميلة إلا مجازيًا . استندت حجته إلى أساسين: أولًا، اعتقد أن الخصائص الجمالية تعتمد على الخصائص الحسية، وبالتالي لا يمكن للكيانات المجردة أن تمتلك خصائص جمالية. ثانيًا، اعتقد أن البراهين والنظريات والمبرهنات، وما إلى ذلك، لها أغراض مثل إثبات الصحة أو تحقيق الفهم، وأن أي إشادة بها لا تعكس إلا مدى نجاحها في تحقيق هذا الغرض. [ 33 ] : 140-142

التحليل العلمي

نموذج نظرية المعلومات

في سبعينيات القرن العشرين، حلل أبراهام مولز وفريدر ناك الروابط بين الجمال ومعالجة المعلومات ونظرية المعلومات . [ 34 ] [ 35 ] وفي تسعينيات القرن العشرين، صاغ يورغن شميدهوبر نظرية رياضية للجمال الذاتي المعتمد على المُلاحِظ، استنادًا إلى نظرية المعلومات الخوارزمية : تتميز أجمل الأشياء بين الأشياء القابلة للمقارنة ذاتيًا بأوصاف خوارزمية قصيرة (أي تعقيد كولموغوروف ) نسبةً إلى ما يعرفه المُلاحِظ مسبقًا. [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] يميز شميدهوبر بوضوح بين الجمال والإثارة للاهتمام. يتوافق الأخير مع المشتق الأول للجمال المُدرَك ذاتيًا: إذ يسعى المُلاحِظ باستمرار إلى تحسين قابلية التنبؤ والضغط للملاحظات من خلال اكتشاف أنماط منتظمة مثل التكرارات والتناظرات والتشابه الذاتي الفركتلي . عندما تؤدي عملية تعلم المراقب (ربما شبكة عصبية اصطناعية تنبؤية ) إلى تحسين ضغط البيانات بحيث يمكن وصف تسلسل الملاحظة بعدد أقل من البتات مقارنةً بالسابق، فإن جاذبية البيانات المؤقتة تتناسب مع تقدم الضغط، وتتناسب مع مكافأة الفضول الداخلي للمراقب. [ 39 ] [ 40 ]

الارتباطات العصبية

أظهرت تجارب تصوير الدماغ التي أجراها سمير زكي ومايكل عطية وزملاؤهما أن تجربة الجمال الرياضي ترتبط، كمُؤشِّر عصبي، بنشاط في المنطقة A1 من القشرة الجبهية الحجاجية الإنسية (mOFC) في الدماغ، وأن هذا النشاط يرتبط ارتباطًا بارامتريًا بشدة الجمال المُعلنة. ويتشابه موقع هذا النشاط مع موقع النشاط المرتبط بتجربة الجمال من مصادر أخرى، كالفنون البصرية أو الموسيقى. [ 41 ] علاوة على ذلك، يبدو أن علماء الرياضيات يُبدون مقاومة لمراجعة حكمهم على جمال الصيغة الرياضية في ضوء الآراء المُخالفة التي يُبديها زملاؤهم. [ 42 ]

الجمال الرياضي والفنون

موسيقى

ومن أمثلة استخدام الرياضيات في الموسيقى الموسيقى العشوائية ليانيس زينكيس ، [ 43 ] ومتتالية فيبوناتشي في ألبوم Lateralus لفرقة Tool ، [ 44 ] والتعديل المتري لإليوت كارتر . [ 45 ]

وتشمل الأمثلة الأخرى التناغم المتعدد لـ يوهان سيباستيان باخ ، والهياكل متعددة الإيقاعات (كما في طقوس الربيع لإيغور سترافينسكي )، ونظرية التبديل في التسلسلية بدءًا من أرنولد شوينبيرج ، وتطبيق نغمات شيبارد في ترانيم كارلهاينز شتوكهاوزن ، وتطبيق نظرية المجموعة على التحولات في الموسيقى في الكتابات النظرية لديفيد ليوين .

الفنون البصرية

رسم تخطيطي من لوحة ديلا بيتورا لليون باتيستا ألبيرتي عام 1435 ، مع أعمدة في المنظور على الشبكة

تشمل أمثلة استخدام الرياضيات في الفنون البصرية تطبيقات نظرية الفوضى والهندسة الكسورية على الفن المولد بواسطة الكمبيوتر ، ودراسات التناظر لليوناردو دافنشي ، والهندسة الإسقاطية في تطوير نظرية المنظور لفن عصر النهضة ، والشبكات في فن الأوب ، والهندسة البصرية في الكاميرا المظلمة لجيامباتيستا ديلا بورتا ، والمنظور المتعدد في التكعيبية التحليلية والمستقبلية .

الهندسة المقدسة مجالٌ قائمٌ بذاته، انبثقت منه أشكالٌ فنيةٌ لا حصر لها، بما في ذلك بعض أشهر الرموز الصوفية والزخارف الدينية، ولها تاريخٌ عريقٌ في العمارة الإسلامية . كما أنها توفر وسيلةً للتأمل والتفكر، كدراسة سفروت الكابالا (شجرة الحياة) ومكعب ميتاطرون ، فضلاً عن فن الرسم نفسه.

ابتكر مصمم الجرافيك الهولندي إم سي إيشر مطبوعات خشبية وحجرية ومطبوعات ميزوتينت مستوحاة من الرياضيات . وتتميز هذه الأعمال بتكوينات مستحيلة، واستكشافات لمفهوم اللانهاية ، والهندسة المعمارية، والمفارقات البصرية، والتشكيلات الهندسية .

يقوم بعض الرسامين والنحاتين بإنشاء أعمال مشوهة باستخدام المبادئ الرياضية للتشويه البصري ، بما في ذلك النحات الجنوب أفريقي جونتي هورويتز .

فن طي الورق (الأوريغامي) يتميز بخصائص جمالية ويرتبط بالعديد من الجوانب الرياضية. ويمكن دراسة رياضيات طي الورق من خلال ملاحظة نمط الطي على قطع الأوريغامي غير المطوية. [ 46 ]

ابتكر الفنان البريطاني جون إرنست، أحد رواد المدرسة البنائية، منحوتات بارزة ولوحات مستوحاة من نظرية الزمر. [ 47 ] كما استلهم عدد من الفنانين البريطانيين الآخرين، المنتمين إلى المدرستين البنائية والنظامية، من النماذج والهياكل الرياضية، ومن بينهم أنتوني هيل وبيتر لوي . [ 48 ] ويعتمد الفن المُولّد بالحاسوب على الخوارزميات الرياضية .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ فيليبس، جورج (2005). "مقدمة" . الرياضيات ليست رياضة للمشاهدة . سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا . ISBN 0-387-25528-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 22-08-2008 ."...لا يوجد في عالم الرياضيات ما يُضاهي جمهورًا في قاعة حفلات موسيقية، حيث يستمع السلبيون إلى النشطاء. ولحسن الحظ، فإن جميع علماء الرياضيات هم فاعلون ، وليسوا متفرجين."
  2. 1 2 روتا، جيان كارلو (مايو 1997). "فينومينولوجيا الجمال الرياضي". سينثيز . 111 (2): 171-182 . doi : 10.1023/A:1004930722234 .
  3. ↑ ويلسون، روبن (2018). معادلة أويلر الرائدة: أجمل نظرية في الرياضيات . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-879492-9.
  4. 1 2 3 كاين، آلان ج. (2024). الشكل والعدد: تاريخ الجمال الرياضي . لشبونة: كتاب إلكتروني.
  5. ↑ غالاغر، جيمس (13 فبراير 2014). "الرياضيات: لماذا يرى الدماغ الرياضيات كجمال؟" . بي بي سي نيوز على الإنترنت . تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 فبراير 2014 .
  6. ↑ فاينمان، ريتشارد ب. (1977). محاضرات فاينمان في الفيزياء . المجلد الأول. أديسون-ويسلي. ص 22-16. ISBN   0-201-02010-6.
  7. 1 2 3 هاردي، جي إتش (1967). اعتذار عالم رياضيات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-107-60463-6.
  8. ↑ بيل، إي تي (1937). رجال الرياضيات . سيمون وشوستر.
  9. ↑ ويلز، ديفيد (يونيو 1990). "هل هذه هي الأجمل؟". مجلة الرياضيات الذكية . 12 (3): 37-41 . doi : 10.1007/BF03024015 .
  10. ^ باولوس، جون ألين (1991). ما وراء الحساب . نيويورك: ألفريد أ. كنوبف. ص 125 – 127. ISBN  0-394-586409.
  11. ↑ دوتيل نوفايس، كاتارينا (2019). "جمال البراهين الرياضية (؟)". في: أبردين، أندرو؛ إنجليس، ماثيو (محرران). التطورات في الفلسفة التجريبية للمنطق والرياضيات . بلومزبري أكاديميك. ص 69-71 . ISBN  978-1-350-03901-8.
  12. ^ بولستر، بوركيرت (2004). QED: الجمال في البرهان الرياضي . ووكر وشركاه. ص 32 – 33. ردمك  978-0-8027-1431-2.
  13. ↑ شيشتر، بروس (2000). عقلي منفتح: الرحلات الرياضية لبول إيردوس . نيويورك: سيمون وشوستر . ISBN 0-684-85980-7.
  14. ↑ أيغنر، مارتن ؛ زيغلر، غونتر م. (2018). براهين من الكتاب ( الطبعة السادسة). سبرينغر. ISBN  978-3-662-57264-1.
  15. 1 2 أفلاطون (1929). طيماوس . كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة جامعة هارفارد. ISBN 978-0-674-99257-3.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  16. ↑ فيلد، جيه في (2013). علم الكون الهندسي لكبلر . بلومزبري. ISBN 9781472507037.
  17. ↑ ويتفيلد، جون (2007). "رحلة إلى البُعد 248" . مجلة نيتشر . doi : 10.1038/news070319-4 . تاريخ الاسترجاع: 12 سبتمبر 2025 .
  18. ↑ بنروز، روجر (1974). "دور علم الجمال في البحث الرياضي البحت والتطبيقي". نشرة معهد الرياضيات وتطبيقاتها . 10 : 226-271 .
  19. ↑ تشاندراسيكار، سوبرامانيان (1987). الحقيقة والجمال: الجماليات والدافع في العلم . شيكاغو، لندن: مطبعة جامعة شيكاغو. ISBN 978-0-226-10087-6.
  20. ↑ ديراك، بام (1940). "العلاقة بين الرياضيات والفيزياء". وقائع الجمعية الملكية في إدنبرة . 59 : 122-129 . doi : 10.1017/s0370164600012207 .
  21. ↑ بينروز، روجر (2004). الطريق إلى الواقع . لندن: جوناثان كيب. ISBN 978-0-224-04447-9.
  22. ↑ ماكاليستر، جيمس و. (1996). الجمال والثورة في العلم . إيثاكا: مطبعة جامعة كورنيل. hdl : 1887/10158 . ISBN 978-0-8014-3240-8.
  23. ↑ ديفلين، كيث ( 2000). "هل يمتلك علماء الرياضيات أدمغة مختلفة؟". جين الرياضيات: كيف تطور التفكير الرياضي ولماذا تشبه الأرقام النميمة . دار بيسيك بوكس . ص 140. ISBN  978-0-465-01619-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 22-08-2008 .
  24. ↑ موناستيرسكي، مايكل (2001). "بعض الاتجاهات في الرياضيات الحديثة وميدالية فيلدز" (ملف PDF) . ملاحظات الجمعية الرياضية الكندية. 33 ( 2 و3).
  25. ↑ ماكاليستر، جيمس و. (2005). "الجمال الرياضي وتطور معايير البرهان الرياضي". في إيمر، ميشيل (محرر). العقل البصري 2. مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 15-34 . ISBN  978-0-262-05076-0.
  26. ↑ لوميس، إليشا سكوت (1968). نظرية فيثاغورس . واشنطن العاصمة: المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات. ISBN 978-0-873-53036-1.
  27. ↑ وايسشتاين، إريك و. "نظرية التبادلية التربيعية" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 31-10-2019 .
  28. ↑ ديفيس، فيليب جيه؛ هيرش، روبن (1981). التجربة الرياضية . بوسطن: هوتون ميفلين. ISBN 978-0-395-32131-7.
  29. ↑ هوفمان، بول (1999). الرجل الذي أحب الأرقام فقط . لندن: فورث إستيت. ISBN 978-1-85702-829-4.
  30. ↑ أرسطو (1995). "الميتافيزيقا". في بارنز، جوناثان (محرر). الأعمال الكاملة لأرسطو . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-01650-4.
  31. ↑ راسل، برتراند (1919). "دراسة الرياضيات". التصوف والمنطق: ومقالات أخرى . لونغمان . ص 60. تم الاطلاع عليه بتاريخ 22-08-2008 . الرياضيات، إذا نُظر إليها نظرة صحيحة، لا تمتلك الحقيقة فحسب، بل تمتلك جمالًا ساميًا، جمالًا باردًا وجافًا كجمال النحت، لا يستميل أي جزء من طبيعتنا الضعيفة، ولا يزخر بالزخارف البراقة، كما يرى راسل. 
  32. ↑ هاري، روم (1958). "التقييمات شبه الجمالية" . الفلسفة . 33 (125): 132-137 . doi : 10.1017/S0031819100038249 . JSTOR 3748562 . 
  33. ↑ زانغويل، نيك (2001). ميتافيزيقا الجمال . إيثاكا، لندن: مطبعة جامعة كورنيل. ISBN 978-0-8014-3820-2.
  34. ^ أ. الشامات: Théorie de l'information etتصور esthétique ، باريس، دينويل، 1973 ( نظرية المعلومات والإدراك الجمالي)
  35. ^ ف نايك (1974). الجماليات ومعلومات المعلومات. ( الجماليات كمعالجة للمعلومات). جوهر ونصائح المعلوماتية في مجال الإنتاج والنقد الجمالي. سبرينغر، 1974، ردمك 3-211-81216-4، ISBN 978-3-211-81216-7
  36. ↑ ج. شميدهوبر. الفن ذو التعقيد المنخفض . ليوناردو ، مجلة الجمعية الدولية للفنون والعلوم والتكنولوجيا ( ليوناردو/ISAST )، 30(2):97–103، 1997. doi : 10.2307/1576418 . JSTOR 1576418 . 
  37. ↑ ج. شميدهوبر. أوراق بحثية حول نظرية الجمال والفن البسيط منذ عام 1994: http://www.idsia.ch/~juergen/beauty.html
  38. ↑ ج. شميدهوبر. مبادئ خوارزمية بسيطة للاكتشاف، الجمال الذاتي، الانتباه الانتقائي، الفضول والإبداع. وقائع المؤتمر الدولي العاشر لعلوم الاكتشاف (DS 2007)، الصفحات 26-38، سلسلة محاضرات الذكاء الاصطناعي 4755، سبرينغر، 2007. أيضًا في وقائع المؤتمر الدولي الثامن عشر لنظرية التعلم الخوارزمي (ALT 2007)، الصفحة 32، سلسلة محاضرات الذكاء الاصطناعي 4754، سبرينغر، 2007. محاضرة مشتركة مدعوة لمؤتمري DS 2007 وALT 2007، سينداي، اليابان، 2007. arXiv : 0709.0674 .
  39. ↑ ج. شميدهوبر. أنظمة التحكم في بناء النماذج الغريبة. المؤتمر الدولي المشترك حول الشبكات العصبية، سنغافورة، المجلد 2، 1458-1463. مطبعة IEEE، 1991
  40. ↑ نظرية شميدهوبر عن الجمال والفضول في برنامج تلفزيوني ألماني: http://www.br-online.de/bayerisches-fernsehen/faszination-wissen/schoenheit--aesthetik-wahrnehmung-ID1212005092828.xml مؤرشف في 3 يونيو 2008 على موقع Wayback Machine
  41. ↑ زكي، سمير؛ رومايا، جون بول؛ بينينكاسا، ديونجي إم تي؛ عطية، مايكل إف. (2014). " تجربة الجمال الرياضي وارتباطاتها العصبية" . مجلة فرونتيرز في علم الأعصاب البشري . 8 : 68. doi : 10.3389/fnhum.2014.00068 . ISSN 1662-5161 . PMC 3923150. PMID 24592230 .   
  42. ↑ تشانغ، هاوكسوان؛ زكي، سمير (مايو 2022). "أحكام الجمال الرياضي مقاومة للمراجعة من خلال الرأي الخارجي" . مجلة علم النفس السريري . 11 ( 5): 741-747 . doi : 10.1002/pchj.556 . ISSN 2046-0252 . PMC 9790661. PMID 35491015 .   
  43. ↑ لوكي، سيرجيو. 2009. "التوليف العشوائي ليانيس زيناكيس". مجلة ليوناردو للموسيقى (19): 77-84
  44. ↑ نوريس، كريس (2001). "مطرقة الآلهة" . مؤرشف من الأصل في 1 نوفمبر 2011. تم الاطلاع عليه في 25 أبريل 2007 .
  45. ↑ شيل، مايكل (11 ديسمبر 2018). "إليوت كارتر (1908-2012): إرث معمر" . سكند إنفرجن . مؤرشف من الأصل في 24 ديسمبر 2018. تم الاطلاع عليه في 11 ديسمبر 2018 .
  46. ↑ هول، توماس. "مشروع الأوريغامي: أنشطة لاستكشاف الرياضيات". تايلور وفرانسيس، 2006.
  47. ↑ تم تحليل استخدام جون إرنست للرياضيات، وخاصة نظرية الزمر، في أعماله الفنية في مقال " جون إرنست، فنان رياضي" بقلم بول إرنست، المنشور في مجلة "فلسفة تعليم الرياضيات" ، العدد 24، ديسمبر 2009 (عدد خاص عن الرياضيات والفن): http://people.exeter.ac.uk/PErnest/pome24/index.htm
  48. ↑ فرانكو، فرانشيسكا (5 أكتوبر 2017). "مجموعة الأنظمة (الفصل 2)" . فن الأنظمة التوليدية: أعمال إرنست إدموندز . روتليدج. ISBN 9781317137436.

مراجع

للمزيد من القراءة