حساب التفاضل والتكامل

ولتوضيح هذه العملية، لننظر في مسألة إيجاد الدالة القصوى${\displaystyle y=f(x),}$ما هو أقصر منحنى يربط بين نقطتين؟${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$و${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right).}$يُعطى طول قوس المنحنى بالعلاقة التالية:

$${\displaystyle A[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[y'(x)]^{2}}}\,dx\,,}$$

مع

$${\displaystyle y'(x)={\frac {dy}{dx}}\,,\ \ y_{1}=f(x_{1})\,,\ \ y_{2}=f(x_{2})\,.}$$

لاحظ أن افتراض أن y دالة لـ x يُفقد المسألة عموميتها؛ فمن الأفضل أن تكون كلتاهما دالة لمتغير آخر. هذا الأسلوب مفيد فقط لأغراض تعليمية.

سيتم الآن استخدام معادلة أويلر-لاغرانج لإيجاد الدالة القصوى${\displaystyle f(x)}$ذلك يقلل من الوظائف${\displaystyle A[y].}$

$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}$$

مع

$${\displaystyle L={\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,.}$$

منذ${\displaystyle f}$لا يظهر صراحة في${\displaystyle L,}$يتلاشى الحد الأول في معادلة أويلر-لاغرانج لجميع${\displaystyle f(x)}$وبالتالي،

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0\,.}$$

بديل عن${\displaystyle L}$وبأخذ المشتقة،

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}\ =0\,.}$$

هكذا

$${\displaystyle {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}=c\,,}$$

لبعض الثوابت${\displaystyle c}$. ثم

$${\displaystyle {\frac {[f'(x)]^{2}}{1+[f'(x)]^{2}}}=c^{2}\,,}$$

أين

$${\displaystyle 0\leq c^{2}<1.}$$

وبحل هذه المشكلة، نحصل على

$${\displaystyle [f'(x)]^{2}={\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}}$$

مما يعني أن

$${\displaystyle f'(x)=m}$$

هو ثابت، وبالتالي فإن أقصر منحنى يربط بين نقطتين${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$و${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)}$يكون

$${\displaystyle f(x)=mx+b\qquad {\text{with}}\ \ m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}$$

وبذلك نكون قد وجدنا الدالة القصوى${\displaystyle f(x)}$ذلك يقلل من الوظائف${\displaystyle A[y]}$لهذا السبب.${\displaystyle A[f]}$هو الحد الأدنى. معادلة الخط المستقيم هي${\displaystyle y=mx+b.}$بمعنى آخر، أقصر مسافة بين نقطتين هي خط مستقيم. ^{[ j ]}

غالباً ما يكفي النظر فقط في الإزاحات الصغيرة للغشاء، والتي يتم تقريب فرق الطاقة بينها وبين حالة عدم الإزاحة بواسطة

$${\displaystyle V[\varphi ]={\frac {1}{2}}\iint _{D}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \,dx\,dy.}$$

الوظيفة${\displaystyle V}$يجب تقليلها إلى أدنى حد ممكن بين جميع وظائف المحاكمة${\displaystyle \varphi }$التي تفترض قيمًا محددة على حدود${\displaystyle D}$. لو${\displaystyle u}$هي الدالة المصغرة و${\displaystyle v}$هي دالة سلسة اختيارية تتلاشى على حدود${\displaystyle D}$ثم أول تنويع لـ${\displaystyle V[u+\varepsilon v]}$يجب أن يختفي:

$${\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}V[u+\varepsilon v]\right|_{\varepsilon =0}=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v\,dx\,dy=0.}$$

بشرط أن${\displaystyle u}$إذا كان للدالة مشتقتان، فيمكننا تطبيق نظرية التباعد للحصول على

$${\displaystyle \iint _{D}\nabla \cdot (v\nabla u)\,dx\,dy=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v+v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=\int _{C}v{\frac {\partial u}{\partial n}}\,ds,}$$

أين${\displaystyle C}$هي حدود${\displaystyle D,}$${\displaystyle s}$طول القوس على طول${\displaystyle C}$و${\displaystyle \partial u/\partial n}$هو المشتق الطبيعي لـ${\displaystyle u}$على${\displaystyle C.}$منذ${\displaystyle v}$يختفي في${\displaystyle C}$وإذا اختفى التباين الأول، فإن النتيجة هي

$${\displaystyle \iint _{D}v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=0}$$

لجميع الوظائف السلسة${\displaystyle v}$التي تختفي على حدود${\displaystyle D}$يمكن تكييف البرهان الخاص بحالة التكاملات أحادية البعد مع هذه الحالة لإثبات أن

$${\displaystyle \nabla \cdot \nabla u=0}$$في${\displaystyle D.}$

تكمن صعوبة هذا الاستدلال في افتراض أن الدالة التي تحقق أصغر قيمة${\displaystyle u}$يجب أن يكون لها مشتقتان. جادل ريمان بأن وجود دالة صغرى سلسة مضمون من خلال ارتباطها بالمسألة الفيزيائية: فالأغشية تتخذ بالفعل تكوينات ذات طاقة كامنة دنيا. أطلق ريمان على هذه الفكرة اسم مبدأ ديريشليه تكريمًا لأستاذه بيتر غوستاف ليجون ديريشليه . ومع ذلك، قدم فايرشتراس مثالًا على مسألة حسابية تباينية ليس لها حل: تصغير

$${\displaystyle W[\varphi ]=\int _{-1}^{1}(x\varphi ')^{2}\,dx}$$

من بين جميع الوظائف${\displaystyle \varphi }$ذلك يرضي${\displaystyle \varphi (-1)=-1}$و${\displaystyle \varphi (1)=1.}$${\displaystyle W}$يمكن تصغيرها بشكل تعسفي عن طريق اختيار دوال خطية متقطعة تُجري انتقالًا بين -1 و1 في جوار صغير من نقطة الأصل. ومع ذلك، لا توجد دالة تجعل${\displaystyle W=0.}$^{[ k ]} في النهاية تبين أن مبدأ ديريشليه صحيح، ولكنه يتطلب تطبيقًا متطورًا لنظرية الانتظامللمعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية؛ انظر جوست ولي-جوست (1998).

التعبير الأكثر عمومية لطاقة الوضع للغشاء هو

$${\displaystyle V[\varphi ]=\iint _{D}\left[{\frac {1}{2}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +f(x,y)\varphi \right]\,dx\,dy\,+\int _{C}\left[{\frac {1}{2}}\sigma (s)\varphi ^{2}+g(s)\varphi \right]\,ds.}$$

وهذا يتوافق مع كثافة قوة خارجية${\displaystyle f(x,y)}$في${\displaystyle D,}$قوة خارجية${\displaystyle g(s)}$على الحدود${\displaystyle C,}$والقوى المرنة ذات معامل المرونة${\displaystyle \sigma (s)}$العمل على${\displaystyle C}$الدالة التي تُقلل طاقة الوضع دون أي قيود على قيمها الحدية ستُرمز لها بـ${\displaystyle u}$بشرط أن${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$بما أن الدوال متصلة، فإن نظرية الانتظام تشير إلى أن الدالة التي تحقق أصغر قيمة${\displaystyle u}$سيكون لها مشتقتان. عند أخذ التغير الأول، لا يلزم فرض أي شرط حدودي على الزيادة.${\displaystyle v}$أول تنويع لـ${\displaystyle V[u+\varepsilon v]}$يُعطى بواسطة

$${\displaystyle \iint _{D}\left[\nabla u\cdot \nabla v+fv\right]\,dx\,dy+\int _{C}\left[\sigma uv+gv\right]\,ds=0.}$$

إذا طبقنا نظرية التباعد، فإن النتيجة هي

$${\displaystyle \iint _{D}\left[-v\nabla \cdot \nabla u+vf\right]\,dx\,dy+\int _{C}v\left[{\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g\right]\,ds=0.}$$

إذا قمنا أولاً بتحديد${\displaystyle v=0}$على${\displaystyle C,}$يتلاشى التكامل الحدودي، ونستنتج كما سبق أن

$${\displaystyle -\nabla \cdot \nabla u+f=0}$$

في${\displaystyle D}$ثم إذا سمحنا${\displaystyle v}$بافتراض قيم حدودية عشوائية، فإن هذا يعني أن${\displaystyle u}$يجب أن يستوفي شرط الحدود

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g=0,}$$

على${\displaystyle C}$يُعد شرط الحدود هذا نتيجة لخاصية التصغير لـ${\displaystyle u}$لا يتم فرضها مسبقاً. وتسمى هذه الشروط بشروط الحدود الطبيعية .

لا يكون الاستدلال السابق صحيحًا إذا${\displaystyle \sigma }$يختفي بنفس الطريقة في${\displaystyle C.}$في مثل هذه الحالة، يمكننا السماح بوظيفة تجريبية${\displaystyle \varphi \equiv c}$، أين${\displaystyle c}$ثابت. بالنسبة لدالة تجريبية كهذه،

$${\displaystyle V[c]=c\left[\iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds\right].}$$

عن طريق الاختيار المناسب لـ${\displaystyle c}$،${\displaystyle V}$يمكن أن تأخذ أي قيمة ما لم تكن الكمية الموجودة داخل الأقواس معدومة. لذلك، فإن مسألة التباين لا معنى لها ما لم

$${\displaystyle \iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds=0.}$$

يشترط هذا الشرط أن تكون محصلة القوى الخارجية المؤثرة على النظام في حالة اتزان. إذا كانت هذه القوى في حالة اتزان، فإن المسألة التغيرية لها حل، ولكنه ليس حلاً وحيداً، إذ يمكن إضافة ثابت اختياري. للمزيد من التفاصيل والأمثلة، يُرجى الرجوع إلى كوران وهيلبرت (1953).

تتضمن مسألة القيم الذاتية لستورم-ليوفيل شكلاً تربيعياً عاماً

$${\displaystyle Q[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx,}$$

أين${\displaystyle y}$يقتصر على الدوال التي تحقق الشروط الحدية

$${\displaystyle y(x_{1})=0,\quad y(x_{2})=0.}$$

يترك${\displaystyle R}$ليكن تكاملاً معيارياً

$${\displaystyle R[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)y(x)^{2}\,dx.}$$

الوظائف${\displaystyle p(x)}$و${\displaystyle r(x)}$يشترط أن تكون القيم موجبة في كل مكان ومحدودة بعيدًا عن الصفر. وتتمثل المشكلة التباينية الأساسية في تقليل النسبة${\displaystyle Q/R}$من بين الجميع${\displaystyle y}$تحقيق شروط نقطة النهاية، وهو ما يعادل تقليل${\displaystyle Q[y]}$في ظل القيد الذي${\displaystyle R[y]}$ثابت. سيُبين أدناه أن معادلة أويلر-لاغرانج للتقليل${\displaystyle u}$يكون

$${\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0,}$$

أين${\displaystyle \lambda }$هو ناتج القسمة

$${\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.}$$

يمكن إثبات (انظر جيلفاند وفومين 1963) أن التصغير${\displaystyle u}$للدالة مشتقتان وتفي بمعادلة أويلر-لاغرانج.${\displaystyle \lambda }$سيتم الإشارة إليه بواسطة${\displaystyle \lambda _{1}}$وهي أصغر قيمة ذاتية لهذه المعادلة وشروطها الحدية. وسيرمز إلى دالة التصغير المرتبطة بها بـ${\displaystyle u_{1}(x)}$يؤدي هذا التوصيف التبايني للقيم الذاتية إلى طريقة رايلي-ريتز : اختر قيمة تقريبية${\displaystyle u}$كتركيبة خطية من دوال أساسية (مثل الدوال المثلثية)، ثم إجراء عملية تصغير محدودة الأبعاد بين هذه التركيبات الخطية. غالبًا ما تكون هذه الطريقة دقيقة بشكل مدهش.

يمكن الحصول على أصغر قيمة ذاتية ودالة ذاتية تالية عن طريق تقليل${\displaystyle Q}$في ظل القيد الإضافي

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)u_{1}(x)y(x)\,dx=0.}$$

يمكن توسيع هذا الإجراء للحصول على التسلسل الكامل للقيم الذاتية والدوال الذاتية للمسألة.

تنطبق مسألة التباين أيضًا على شروط الحدود الأكثر عمومية. بدلاً من اشتراط ذلك${\displaystyle y}$إذا اختفت عند نقاط النهاية، فلا يجوز لنا فرض أي شرط عند نقاط النهاية، وتعيين

$${\displaystyle Q[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx+a_{1}y(x_{1})^{2}+a_{2}y(x_{2})^{2},}$$

أين${\displaystyle a_{1}}$و${\displaystyle a_{2}}$هي اختيارية. إذا وضعنا${\displaystyle y=u+\varepsilon v}$، أول اختلاف للنسبة${\displaystyle Q/R}$يكون

$${\displaystyle V_{1}={\frac {2}{R[u]}}\left(\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)u'(x)v'(x)+q(x)u(x)v(x)-\lambda r(x)u(x)v(x)\right]\,dx+a_{1}u(x_{1})v(x_{1})+a_{2}u(x_{2})v(x_{2})\right),}$$

أين${\displaystyle \lambda }$يتم تحديدها بواسطة النسبة${\displaystyle Q[u]/R[u]}$كما في السابق. بعد التكامل على أجزاء،

$${\displaystyle {\frac {R[u]}{2}}V_{1}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}v(x)\left[-(pu')'+qu-\lambda ru\right]\,dx+v(x_{1})[-p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})]+v(x_{2})[p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})].}$$

إذا اشترطنا ذلك أولاً${\displaystyle v}$إذا اختفت عند نقاط النهاية، فإن التباين الأول سيختفي لجميع هذه الحالات.${\displaystyle v}$فقط إذا

$${\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0\quad {\hbox{for}}\quad x_{1}<x<x_{2}.}$$

لو${\displaystyle u}$إذا استوفى هذا الشرط، فإن التباين الأول سيختفي لأي قيمة عشوائية${\displaystyle v}$فقط إذا

$${\displaystyle -p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})=0,\quad {\hbox{and}}\quad p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})=0.}$$

هذه الشروط الأخيرة هي الشروط الحدية الطبيعية لهذه المشكلة، لأنها لا تُفرض على الدوال التجريبية للتقليل، بل هي نتيجة للتقليل.

تُعرَّف مسائل القيم الذاتية في الأبعاد الأعلى قياسًا على الحالة أحادية البعد. على سبيل المثال، بالنظر إلى مجال معين${\displaystyle D}$مع الحدود${\displaystyle B}$في ثلاثة أبعاد يمكننا تعريف

$${\displaystyle Q[\varphi ]=\iiint _{D}p(X)\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +q(X)\varphi ^{2}\,dx\,dy\,dz+\iint _{B}\sigma (S)\varphi ^{2}\,dS,}$$

و

$${\displaystyle R[\varphi ]=\iiint _{D}r(X)\varphi (X)^{2}\,dx\,dy\,dz.}$$

يترك${\displaystyle u}$لتكن الدالة التي تقلل من ناتج القسمة${\displaystyle Q[\varphi ]/R[\varphi ]}$، دون تحديد أي شرط على الحدود${\displaystyle B.}$معادلة أويلر-لاغرانج التي تحققها${\displaystyle u}$يكون

$${\displaystyle -\nabla \cdot (p(X)\nabla u)+q(x)u-\lambda r(x)u=0,}$$

أين

$${\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.}$$

التقليل${\displaystyle u}$يجب أيضًا أن يستوفي شرط الحدود الطبيعية

$${\displaystyle p(S){\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma (S)u=0,}$$

على الحدود${\displaystyle B.}$تعتمد هذه النتيجة على نظرية الانتظام للمعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية؛ انظر جوست ولي-جوست (1998) لمزيد من التفاصيل. توجد العديد من التوسعات، بما في ذلك نتائج الاكتمال، والخصائص التقاربية للقيم الذاتية، والنتائج المتعلقة بعقد الدوال الذاتية، في كوران وهيلبرت (1953).

ينص مبدأ فيرما على أن الضوء يسلك مسارًا يقلل (محليًا) من الطول البصري بين نقطتي نهايته. إذا${\displaystyle x}$يتم اختيار الإحداثي السيني كمعامل على طول المسار، و${\displaystyle y=f(x)}$على طول المسار، يُعطى الطول البصري بالعلاقة التالية:

$${\displaystyle A[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,}$$

حيث معامل الانكسار${\displaystyle n(x,y)}$يعتمد ذلك على المادة. إذا حاولنا${\displaystyle f(x)=f_{0}(x)+\varepsilon f_{1}(x)}$ثم أول تنويع لـ${\displaystyle A}$(مشتق من${\displaystyle A}$بالنسبة إلى${\displaystyle \varepsilon }$) يكون

$${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.}$$

بعد إجراء التكامل بالتجزئة للحد الأول الموجود بين قوسين، نحصل على معادلة أويلر-لاغرانج

$${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.}$$

يمكن تحديد أشعة الضوء عن طريق تكامل هذه المعادلة. يُستخدم هذا الأسلوب في سياق البصريات اللاغرانجية والبصريات الهاميلتونية .

في الميكانيكا الكلاسيكية، الفعل،${\displaystyle S,}$يُعرَّف بأنه التكامل الزمني للدالة لاغرانجية،${\displaystyle L}$. لاغرانجيان هو فرق الطاقات،

$${\displaystyle L=T-U,}$$

أين${\displaystyle T}$هي الطاقة الحركية لنظام ميكانيكي و${\displaystyle U}$طاقتها الكامنة . ينص مبدأ هاميلتون (أو مبدأ الفعل) على أن حركة نظام ميكانيكي محافظ هولونومي (قيود قابلة للتكامل) تكون بحيث يكون تكامل الفعل

$${\displaystyle S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(x,{\dot {x}},t)\,dt}$$

ثابت بالنسبة للتغيرات في المسار${\displaystyle x(t)}$تُعرف معادلات أويلر-لاغرانج لهذا النظام باسم معادلات لاغرانج:

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}},}$$

وهي تعادل معادلات نيوتن للحركة (لمثل هذه الأنظمة).

الزخم المترافق${\displaystyle P}$يتم تعريفها بواسطة

$${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}.}$$

على سبيل المثال، إذا

$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2},}$$

ثم$${\displaystyle p=m{\dot {x}}.}$$

نتائج ميكانيكا هاميلتون إذا تم إدخال الزخم المترافق بدلاً من${\displaystyle {\dot {x}}}$عن طريق تحويل ليجندر للاغرانجي${\displaystyle L}$في الهاميلتوني${\displaystyle H}$محدد بواسطة

$${\displaystyle H(x,p,t)=p\,{\dot {x}}-L(x,{\dot {x}},t).}$$

الهاميلتوني هو الطاقة الكلية للنظام:${\displaystyle H=T+U}$يشير التشابه مع مبدأ فيرما إلى أنه يمكن وصف حلول معادلات لاغرانج (مسارات الجسيمات) بدلالة أسطح مستوية لدالة ما.${\displaystyle X}$هذه الدالة هي حل لمعادلة هاميلتون-جاكوبي :

$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+H\left(x,{\frac {\partial \psi }{\partial x}},t\right)=0.}$$

تشمل التطبيقات الأخرى لحساب التفاضل والتكامل ما يلي:

• اشتقاق شكل السلسلة
• حل مسألة نيوتن للمقاومة الدنيا
• حل مشكلة منحنى براكيستوكرون
• حل مشكلة التزامن الزمني
• حلول مسائل المحيط المتساوي
• حساب الخطوط الجيوديسية
• إيجاد الأسطح الدنيا وحل مشكلة بلاتو
• التحكم الأمثل
• الميكانيكا التحليلية ، أو إعادة صياغة قوانين نيوتن للحركة، وأبرزها ميكانيكا لاغرانج وهاملتون ؛
• البصريات الهندسية، وخاصة البصريات اللاغرانجية والهاملتونية ؛
• الطريقة التباينية (ميكانيكا الكم) ، وهي إحدى طرق إيجاد تقريبات لأقل حالة طاقة ذاتية أو الحالة الأرضية، وبعض الحالات المثارة؛
• الأساليب البايزية المتغيرة ، وهي مجموعة من التقنيات لتقريب التكاملات التي يصعب حلها والتي تنشأ في الاستدلال البايزي والتعلم الآلي؛
• الأساليب التباينية في النسبية العامة ، وهي مجموعة من التقنيات التي تستخدم حساب التفاضل والتكامل لحل المشكلات في نظرية النسبية العامة لأينشتاين؛
• طريقة العناصر المحدودة هي طريقة حسابية لإيجاد حلول عددية لمسائل القيم الحدية في المعادلات التفاضلية؛
• إزالة التشويش بالتباين الكلي ، وهي طريقة لمعالجة الصور لتصفية الإشارات ذات التباين العالي أو الإشارات المشوشة.