شبه حلقي

في الجبر المجرد ، تُعرف الحلقة شبه الحلقية بأنها بنية جبرية . تُعدّ الحلقات شبه الحلقية تعميمًا للحلقات ، إذ تُسقط شرط وجود معكوس جمعي لكل عنصر . وفي الوقت نفسه، تُعدّ الحلقات شبه الحلقية تعميمًا للشبكات التوزيعية المحدودة .

أصغر شبه حلقة ليست حلقة هي الجبر البولياني ذو العنصرين ، على سبيل المثال مع الفصل المنطقي.${\displaystyle \lor }$كعملية جمع. ومن الأمثلة المحفزة التي لا تُمثل حلقة ولا شبكة مجموعة الأعداد الطبيعية${\displaystyle \mathbb {N} }$(بما في ذلك الصفر) تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين. وتكثر أنصاف الحلقات لأن عملية الضرب المناسبة تنشأ كتركيب دوال للتشاكلات الداخلية على أي أحادي تبديلي .

يُعرّف بعض المؤلفين أنصاف الحلقات دون اشتراط وجود${\displaystyle 0}$أو${\displaystyle 1}$وهذا يجعل المقارنة بين الحلقة وشبه الحلقة من جهة، وبين المجموعة وشبه المجموعة من جهة أخرى، أكثر سلاسة. غالبًا ما يستخدم هؤلاء المؤلفون مصطلح "حلقة " للدلالة على المفهوم المُعرَّف هنا. ^{[ 1 ] [ أ ]} وقد نشأ هذا المصطلح على سبيل المزاح، حيث يُشير إلى أن الحلقات هي حلقات بدون عناصر سالبة . (على غرار استخدام مصطلح "حلقة" للدلالة على حلقة بدون عنصر محايد ضربي ) .

يُستخدم مصطلح " ديويد " (اختصارًا لـ "أحادي مزدوج") للدلالة على أنصاف الحلقات أو غيرها من البنى. وقد استخدمه كونزمان عام 1972 للدلالة على نصف الحلقة. ^{[ 2 ]} (ويُستخدم أحيانًا للدلالة على أنصاف الحلقات المرتبة طبيعيًا ^{[ 3 ]،} ولكن استخدمه باتشيلي وآخرون عام 1992 للدلالة على الزمر الفرعية المتساوية القوة. ^{[ 4 ]} )

نصف الحلقة هي مجموعة${\displaystyle R}$مزود بعمليتين ثنائيتين${\displaystyle +}$و${\displaystyle \cdot ,}$تسمى الجمع والضرب، بحيث: ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

• ${\displaystyle (R,+)}$هي زمرة تبديلية ذات عنصر محايد يسمى${\displaystyle 0}$:
  • ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$
  • ${\displaystyle 0+a=a}$
  • ${\displaystyle a+0=a}$
  • ${\displaystyle a+b=b+a}$
• ${\displaystyle (R,\,\cdot \,)}$هي مجموعة أحادية ذات عنصر محايد يسمى${\displaystyle 1}$:
  • ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
  • ${\displaystyle 1\cdot a=a}$
  • ${\displaystyle a\cdot 1=a}$

علاوة على ذلك، ترتبط البديهيات التالية بالعمليتين:

• من خلال عملية الضرب، يتم إفناء أي عنصر من اليسار واليمين بواسطة العنصر المحايد الجمعي:
  • ${\displaystyle 0\cdot a=0}$
  • ${\displaystyle a\cdot 0=0}$
• عملية الضرب من اليسار واليمين تتوزع على عملية الجمع:
  • ${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$
  • ${\displaystyle (b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)}$

الحلقة الصفرية مع المجموعة الأساسية${\displaystyle \{0\}}$هي شبه حلقة تُسمى شبه الحلقة التافهة. ويمكن تحديد هذه التفاهة من خلال${\displaystyle 0=1}$وهكذا، عند الحديث عن أنصاف الحلقات غير التافهة،${\displaystyle 0\neq 1}$يُفترض ذلك ضمنيًا في كثير من الأحيان كما لو كان بديهية إضافية. الآن، بالنظر إلى أي حلقة شبهية، توجد عدة طرق لتعريف حلقات شبهية جديدة.

كما ذكرنا، الأعداد الطبيعية${\displaystyle {\mathbb {N} }}$تشكل بنيتها الحسابية شبه حلقة. بأخذ الصفر وصورة العملية اللاحقة في شبه حلقة${\displaystyle R}$أي المجموعة${\displaystyle \{x\in R\mid x=0_{R}\lor \exists p\in R.x=p+1_{R}\}}$إلى جانب العمليات الموروثة، فهي دائمًا عملية فرعية من${\displaystyle R}$.

لو${\displaystyle (M,+)}$هي شبه حلقة تبديلية، وتركيب الدوال يوفر عملية الضرب لتشكيل شبه حلقة: المجموعة${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$من التشكلات الداخلية${\displaystyle M\to M}$تشكل شبه حلقة حيث يتم تعريف الجمع من الجمع النقطي في${\displaystyle M}$. التشاكل الصفري والعنصر المحايد هما العنصران المحايدان على التوالي. إذا${\displaystyle M=R^{n}}$مع${\displaystyle R}$بنصف حلقة، نحصل على نصف حلقة يمكن ربطها بالمربع${\displaystyle n\times n}$المصفوفات${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$بمعاملات في${\displaystyle R}$، شبه الحلقة المصفوفية باستخدام قواعد الجمع والضرب العادية للمصفوفات. معطى${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$و${\displaystyle R}$نصف حلقة،${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$هي دائمًا شبه حلقة أيضًا. وهي عمومًا غير تبديلية حتى لو${\displaystyle R}$كانت عملية تبادلية.

ملحقات دوروه : إذا${\displaystyle R}$إذا كان نصف حلقة،${\displaystyle R\times {\mathbb {N} }}$مع الجمع والضرب النقطيين الموضحين بواسطة${\displaystyle \langle x,n\rangle \bullet \langle y,m\rangle$ :=\langle x\cdot y+(x\,m+y\,n),n\cdot m\rangle } تُعرّف حلقة شبهية أخرى ذات عنصر ضربي${\displaystyle 1_{R\times {\mathbb {N} }}:=\langle 0_{R},1_{\mathbb {N} }\rangle }$وبالمثل جداً، إذا${\displaystyle N}$أي تقسيم فرعي لـ${\displaystyle R}$ويمكن أيضًا تعريف شبه حلقة على${\displaystyle R\times N}$بمجرد استبدال الجمع المتكرر في الصيغة بالضرب. في الواقع، تعمل هذه التركيبات حتى في ظل شروط أقل صرامة، حيث أن البنية${\displaystyle R}$ليس من الضروري فعلياً أن يكون لها وحدة ضرب.

تُعتبر أنصاف الحلقات الخالية من مجموع الأصفار، بمعنى ما، أبعد ما يكون عن كونها حلقات. ففي شبه حلقة، يمكن إضافة صفر جديد إليها.${\displaystyle 0'}$إلى المجموعة الأساسية، وبالتالي الحصول على حلقة شبهية خالية من مجموع الأصفار وتفتقر أيضًا إلى قواسم الصفر . على وجه الخصوص، الآن${\displaystyle 0\cdot 0'=0'}$والحلقة شبه القديمة ليست في الواقع حلقة شبه فرعية. يمكن للمرء بعد ذلك الاستمرار وإضافة عناصر جديدة "فوقها" عنصرًا تلو الآخر، مع مراعاة الصفر دائمًا. تعمل هاتان الاستراتيجيتان أيضًا في ظل شروط أقل صرامة. في بعض الأحيان تكون الرموز${\displaystyle -\infty }$على التوالي.${\displaystyle +\infty }$تُستخدم هذه الأدوات عند تنفيذ هذه الإنشاءات.

إن إضافة صفر جديد إلى الحلقة شبه التافهة، بهذه الطريقة، ينتج عنه حلقة شبه أخرى يمكن التعبير عنها من حيث الروابط المنطقية للفصل والوصل:${\displaystyle \langle \{0,1\},+,\cdot ,\langle 0,1\rangle \rangle =\langle \{\bot ,\top \},\lor ,\land ,\langle \bot ,\top \rangle \rangle }$وبالتالي، فإن هذه هي أصغر شبه حلقة ليست حلقة. وبشكل صريح، فهي تنتهك بديهيات الحلقة كما يلي:${\displaystyle \top \lor P=\top }$للجميع${\displaystyle P}$، أي${\displaystyle 1}$ليس له معكوس جمعي. في التعريف الذاتي المزدوج ، يكمن الخلل في${\displaystyle \bot \land P=\bot }$(لا ينبغي الخلط بين هذا وبين الخاتم)${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$، والتي تعمل عملية جمعها كعملية XOR${\displaystyle \veebar }$في نموذج فون نيومان للأعداد الطبيعية ،${\displaystyle 0_{\omega }:=\{\}}$،${\displaystyle 1_{\omega }:=\{0_{\omega }\}}$و${\displaystyle 2_{\omega }:=\{0_{\omega },1_{\omega }\}={\mathcal {P}}1_{\omega }}$يمكن تمثيل الحلقة شبه الحلقية المكونة من عنصرين بدلالة الاتحاد والتقاطع في نظرية المجموعات على النحو التالي:${\displaystyle \langle {\mathcal {P}}1_{\omega },\cup ,\cap ,\langle \{\},1_{\omega }\rangle \rangle }$. في الواقع، لا يزال هذا الهيكل يشكل شبه حلقة عندما${\displaystyle 1_{\omega }}$يتم استبدالها بأي مجموعة مأهولة على الإطلاق.

المثل العليا على نصف دائرة${\displaystyle R}$تشكل هذه العناصر، مع عملياتها القياسية على المجموعات الجزئية، حلقة شبهية بسيطة مرتبة شبكياً وخالية من مجموع الأصفار. مثاليات${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(R)}$وهي متوافقة تمامًا مع مُثُل${\displaystyle R}$مجموعة الأفكار اليسارية لـ${\displaystyle R}$(وكذلك المثل العليا الصحيحة) تمتلك أيضًا الكثير من هذا الهيكل الجبري، باستثناء أنه حينها${\displaystyle R}$لا تعمل كعنصر محايد ضربي ثنائي الجانب.

لو${\displaystyle R}$هي حلقة نصفية و${\displaystyle A}$هو مكان مأهول بالسكان ،${\displaystyle A^{*}}$يرمز إلى المونويد الحر ومتعددات الحدود الرسمية${\displaystyle R[A^{*}]}$تشكل الكلمات فوقها حلقة شبهية أخرى. بالنسبة للمجموعات الصغيرة، تُستخدم العناصر المولدة عادةً للدلالة على الحلقة شبهية متعددة الحدود. على سبيل المثال، في حالة عنصر واحد فقط${\displaystyle A=\{X\}}$بحيث${\displaystyle A^{*}=\{\varepsilon ,X,X^{2},X^{3},\dots \}}$يكتب أحدهم${\displaystyle R[X]}$حلقات فرعية خالية من مجموع الصفر${\displaystyle R}$يمكن استخدامها لتحديد الحلقات الفرعية لـ${\displaystyle R[A^{*}]}$.

بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle A}$، ليس بالضرورة مجرد عنصر منفرد، بل إضافة عنصر افتراضي إلى المجموعة الأساسية لشبه الحلقة${\displaystyle R}$يمكن تعريف شبه حلقة الدوال الجزئية من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle R}$.

بالنظر إلى الاشتقاق${\displaystyle {\mathrm {d} }}$على نصف دائرة${\displaystyle R}$، عملية أخرى "${\displaystyle \bullet }$"مُرضٍ"${\displaystyle X\bullet y=y\bullet X+{\mathrm {d} }(y)}$يمكن تعريفها كجزء من عملية ضرب جديدة على${\displaystyle R[X]}$مما ينتج عنه حلقة نصفية أخرى.

ما سبق ليس بأي حال من الأحوال قائمة شاملة للتركيبات المنهجية.

من الخصائص الأساسية للحلقات النصفية أن${\displaystyle 1}$ليس قاسمًا للصفر من اليسار أو اليمين ، وهذا${\displaystyle 1}$ولكن أيضاً${\displaystyle 0}$مربعات متطابقة، أي أن هذه المربعات لها${\displaystyle u^{2}=u}$.

تُورَث بعض الخصائص البارزة من بنى المونويد: تتطلب بديهيات المونويد وجود عنصر محايد، وبالتالي لا يمكن أن تكون المجموعة الأساسية لشبه الحلقة فارغة. كذلك، فإن المسند الثنائي${\displaystyle x\leq _{\text{pre}}y}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle \exists d.x+d=y}$، المعرّفة هنا لعملية الجمع، تشكل دائمًا علاقة الترتيب المسبق القانونية الصحيحة . الانعكاسية${\displaystyle y\leq _{\text{pre}}y}$يشهد على ذلك الهوية. علاوة على ذلك،${\displaystyle 0\leq _{\text{pre}}y}$يكون هذا صحيحًا دائمًا، وبالتالي فإن الصفر هو أصغر عنصر بالنسبة لهذا الترتيب الجزئي. وبالنظر إليه تحديدًا في عملية الجمع التبادلي، يمكن تجاهل التمييز بين "اليمين". في الأعداد الصحيحة غير السالبة${\displaystyle \mathbb {N} }$على سبيل المثال، هذه العلاقة غير متناظرة ومترابطة بقوة ، وبالتالي فهي في الواقع ترتيب كلي (غير صارم) .

فيما يلي، نناقش المزيد من الخصائص الشرطية.

• بحسب التعريف، فإن أي حلقة وأي شبه حقل هما أيضاً شبه حلقة.
• تشكل العناصر غير السالبة في حلقة تبديلية مرتبة بشكل منفصل حلقة شبه تبديلية مرتبة بشكل منفصل (بالمعنى المحدد أعلاه). وهذا يشمل الأعداد الصحيحة غير السالبة.${\displaystyle \mathbb {N} }$.
• كذلك، تُشكّل الأعداد النسبية غير السالبة، بالإضافة إلى الأعداد الحقيقية غير السالبة، أنصاف حلقات تبديلية مرتبة. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} ويُطلق على الأخيرة اسمشبه حلقة احتمالية . ^{[ 6 ]} وهي ليست حلقات ولا شبكات توزيعية. هذه الأمثلة لها أيضًا معكوسات ضربية.
• يمكن إنشاء حلقات شبه جديدة بشكل مشروط من حلقات شبه موجودة، كما هو موضح. الأعداد الطبيعية الموسعة${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{\infty \}}$مع توسيع نطاق الجمع والضرب بحيث${\displaystyle 0\cdot \infty =0}$[ ^{21 ]​}
• مجموعة كثيرات الحدود ذات المعاملات العددية الطبيعية، والتي يُرمز لها بـ${\displaystyle \mathbb {N} [x],}$يشكل شبه حلقة تبديلية. في الواقع، هذه هي شبه الحلقة التبديلية الحرة على مولد واحد.${\displaystyle \{x\}.}$كما يمكن تعريف كثيرات الحدود ذات المعاملات في أنصاف الحلقات الأخرى، كما تمت مناقشته.
• الكسور المنتهية غير السالبة${\displaystyle {\tfrac {\mathbb {N} }{b^{\mathbb {N} }}}:=\left\{mb^{-n}\mid m,n\in \mathbb {N} \right\}}$، في نظام عددي موضعي لأساس معين${\displaystyle b\in \mathbb {N} }$تشكل هذه العناصر مجموعة فرعية من العقلانيات. لدى المرء${\displaystyle {\tfrac {\mathbb {N} }{b^{\mathbb {N} }}}\subseteq {\tfrac {\mathbb {N} }{c^{\mathbb {N} }}}}$لو${\displaystyle b}$يقسم${\displaystyle c}$. ل${\displaystyle |b|>1}$، المجموعة${\displaystyle {\tfrac {\mathbb {Z} _{0}}{b^{\mathbb {Z} _{0}}}}:={\tfrac {\mathbb {N} }{b^{\mathbb {N} }}}\cup \left(-{\tfrac {\mathbb {N} _{0}}{b^{\mathbb {N} }}}\right)}$هي حلقة جميع الكسور المنتهية إلى أساس${\displaystyle b,}$وهي كثيفة في${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• حلقة السجل شبه الدائرية على${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$مع إضافة ما يلي:${\displaystyle x\oplus y=-\log \left(e^{-x}+e^{-y}\right)}$مع الضرب${\displaystyle +,}$العنصر الصفري${\displaystyle +\infty ,}$وعنصر الوحدة${\displaystyle 0.}$^{[ 6 ]}
• وبالمثل، يتم تعريف شبه الحلقة الاستوائية ذات الحد الأقصى الزائد باستخدام${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$مع${\displaystyle \max(a,b)}$يُستخدم كعنصر جمع شبه حلقي (عنصر محايد)${\displaystyle -\infty }$) والجمع العادي (العنصر المحايد 0) الذي يعمل كضرب في شبه الحلقة. وبالمثل، فإن شبه الحلقة الاستوائية ذات الحد الأدنى من الجمع هي${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \},}$ويحل min محل max كعملية جمع. ^{[ 23 ]} وهناك إصدار ذو صلة يحتوي على${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$باعتبارها المجموعة الأساسية. ^{[ 6 ] [ 10 ]} وهي مجال بحث نشط، يربط بين التنوعات الجبرية والهياكل الخطية القطعية . ^{[ 24 ]}
• شبه حلقة لوكاسيفيتش : الفترة المغلقة${\displaystyle [0,1]}$بالإضافة إلى${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$يتم الحصول عليها بأخذ القيمة القصوى للوسيطات (${\displaystyle \max(a,b)}$) وضرب${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$مقدم من${\displaystyle \max(0,a+b-1)}$يظهر في المنطق متعدد القيم . ^{[ 11 ]}
• كما يتم تعريف شبه حلقة فيتربي على مجموعة الأساس${\displaystyle [0,1]}$ويكون مجموعها هو القيمة القصوى، لكن ضربها هو الضرب المعتاد للأعداد الحقيقية. وتظهر في التحليل الاحتمالي . ^{[ 11 ]}

• تشكل مجموعة جميع المُثُل في حلقة شبه معينة حلقة شبه تحت عملية جمع وضرب المُثُل.
• أي شبكة محدودة وموزعة هي شبه حلقة تبديلية تحت عمليتي الربط والتقاطع. الجبر البولياني حالة خاصة من هذه الشبكات. الحلقة البوليانية هي أيضًا شبه حلقة (بل حلقة في الواقع)، لكنها ليست متطابقة تحت عملية الجمع . شبه الحلقة البوليانية هي شبه حلقة متماثلة مع شبه حلقة جزئية من جبر بولياني. ^{[ 20 ]}
• الحلقة شبه التبادلية التي تشكلها الجبر البولياني ذو العنصرين والمُعرَّفة بواسطة${\displaystyle 1+1=1}$ويُطلق عليه أيضًا اسمشبه الحلقة البوليانية . ^{[ 6 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 9 ]} الآن، لدينا مجموعتان${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y,}$العلاقات الثنائية بين${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$تتوافق مع المصفوفات المفهرسة بواسطة${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$مع المدخلات في شبه الحلقة البوليانية، فإن جمع المصفوفات يتوافق مع اتحاد العلاقات، وضرب المصفوفات يتوافق مع تركيب العلاقات . ^{[ 25 ]}
• أي كمية أحادية هي شبه حلقة تحت عمليتي الربط والضرب.
• شبكة مائلة عادية في حلقة${\displaystyle R}$هي شبه حلقة لعمليتي الضرب و نابلا، حيث تُعرَّف العملية الأخيرة بواسطة${\displaystyle a\mathbin {\nabla } b=a+b+ba-aba-bab}$

استخدام المزيد من المونيدات،

• بناء أنصاف الحلقات${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$من أحادي تبديلي${\displaystyle M}$تم وصفه. كما هو مذكور، أعطِ نصف حلقة${\displaystyle R}$، ال${\displaystyle n\times n}$تشكل المصفوفات حلقة شبهية أخرى. على سبيل المثال، المصفوفات ذات العناصر غير السالبة،${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {N} ),}$تشكيل شبه حلقة مصفوفية. ^{[ 20 ]}
• بالنظر إلى أبجدية (مجموعة منتهية) Σ، فإن مجموعة اللغات الرسمية على${\displaystyle \Sigma }$(مجموعات فرعية من${\displaystyle \Sigma ^{*}}$) هي شبه حلقة ذات ناتج ناتج عن ربط السلاسل${\displaystyle L_{1}\cdot L_{2}=\left\{w_{1}w_{2}\mid w_{1}\in L_{1},w_{2}\in L_{2}\right\}}$والجمع هو اتحاد اللغات (أي الاتحاد العادي كمجموعات). الصفر في هذه الحلقة شبه الدائرية هو المجموعة الفارغة (اللغة الفارغة)، ووحدة الحلقة شبه الدائرية هي اللغة التي تحتوي فقط على السلسلة الفارغة . ^{[ 11 ]}
• تعميم المثال السابق (عن طريق المشاهدة)${\displaystyle \Sigma ^{*}}$باعتباره أحاديًا حرًا فوق${\displaystyle \Sigma }$)، يأخذ${\displaystyle M}$أن يكون أي أحادي؛ مجموعة القوى${\displaystyle \wp (M)}$من جميع المجموعات الفرعية لـ${\displaystyle M}$يشكل شبه حلقة تحت الاتحاد النظري للمجموعات كعملية جمع وضرب على مستوى المجموعات:${\displaystyle U\cdot V=\{u\cdot v\mid u\in U,\ v\in V\}.}$^{[ 22 ]}
• وبالمثل، إذا${\displaystyle (M,e,\cdot )}$إذا كانت أحادية، فإن مجموعة المجموعات المتعددة المنتهية في${\displaystyle M}$يشكل شبه حلقة. أي أن العنصر عبارة عن دالة${\displaystyle f\mid M\to \mathbb {N} }$; بالنظر إلى عنصر من${\displaystyle M,}$تخبرك الدالة بعدد مرات ظهور هذا العنصر في المجموعة المتعددة التي يمثلها. وحدة الجمع هي دالة الصفر الثابتة. وحدة الضرب هي دالة الربط${\displaystyle e}$ل${\displaystyle 1,}$وجميع العناصر الأخرى لـ${\displaystyle M}$ل${\displaystyle 0.}$المجموع يُعطى بواسطة${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$والناتج يُعطى بواسطة${\displaystyle (fg)(x)=\sum \{f(y)g(z)\mid y\cdot z=x\}.}$

فيما يتعلق بالمجموعات وما شابهها من مفاهيم مجردة،

• بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle U,}$مجموعة العلاقات الثنائية على${\displaystyle U}$هي شبه حلقة، حيث يمثل الجمع اتحاد العلاقات (كمجموعات)، ويمثل الضرب تركيب العلاقات . صفر هذه الشبه حلقة هو العلاقة الفارغة ، ووحدتها علاقة التطابق . ^{[ 11 ]} تتوافق هذه العلاقات مع شبه حلقة المصفوفات (أو بالأحرى، شبه جبر المصفوفات) للمصفوفات المربعة المفهرسة بـ${\displaystyle U}$مع إدخالات في شبه الحلقة البوليانية، ثم الجمع والضرب هما عمليات المصفوفة المعتادة، بينما الصفر والوحدة هما مصفوفة الصفر ومصفوفة الوحدة المعتادة .
• تشكل مجموعة الأعداد الأصلية الأصغر من أي عدد أصلي لانهائي مُعطى شبه حلقة تحت عمليتي جمع وضرب الأعداد الأصلية. وتشكل فئة جميع الأعداد الأصلية لنموذج داخلي شبه حلقة (فئة) تحت عمليتي جمع وضرب الأعداد الأصلية (النموذج الداخلي).
• عائلة (فئات التكافؤ التشاكلي لـ) الفئات التوافقية (مجموعات من عدد قابل للعد من العناصر ذات أحجام صحيحة غير سالبة بحيث يوجد عدد محدود من العناصر من كل حجم) مع الفئة الفارغة كعنصر الصفر، والفئة التي تتكون فقط من المجموعة الفارغة كوحدة، والاتحاد المنفصل للفئات كعملية جمع، والضرب الديكارتي للفئات كعملية ضرب. ^{[ 26 ]}
• تشكل فئات التشاكل للكائنات في أي فئة توزيعية ، تحت عمليات الضرب المشترك والضرب ، شبه حلقة تُعرف باسم حلقة بيرنسايد. ^{[ 27 ]} حلقة بيرنسايد هي حلقة إذا وفقط إذا كانت الفئة تافهة .

ال${\displaystyle (\max ,+)}$و${\displaystyle (\min ,+)}$تُستخدم أنصاف الحلقات الاستوائية على الأعداد الحقيقية غالبًا في تقييم أداء أنظمة الأحداث المنفصلة. تمثل الأعداد الحقيقية حينها "التكاليف" أو "وقت الوصول"؛ وتُشير عملية "الحد الأقصى" إلى ضرورة انتظار جميع المتطلبات المسبقة للحدث (وبالتالي استغراق أقصى وقت)، بينما تُشير عملية "الحد الأدنى" إلى إمكانية اختيار الخيار الأفضل والأقل تكلفة؛ وتُشير علامة الجمع (+) إلى التراكم على طول المسار نفسه.

وبالتالي، يمكن إعادة صياغة خوارزمية فلويد -وارشال لأقصر المسارات كعملية حسابية على${\displaystyle (\min ,+)}$الجبر. وبالمثل، يمكن صياغة خوارزمية فيتربي لإيجاد تسلسل الحالة الأكثر احتمالاً المقابل لتسلسل الملاحظات في نموذج ماركوف المخفي كعملية حسابية على${\displaystyle (\max ,\times )}$الجبر على الاحتمالات. تعتمد خوارزميات البرمجة الديناميكية هذه على خاصية التوزيع لأنصاف الحلقات المرتبطة بها لحساب الكميات على عدد كبير (ربما أسي) من الحدود بكفاءة أكبر من تعداد كل منها على حدة. ^{[ 28 ] [ 29 ]}

لا يتطلب تعميم أنصاف الحلقات وجود عنصر محايد ضربي، بحيث يكون الضرب شبه زمرة وليس أحاديًا. تُسمى هذه البنى أنصاف الحلقات ^{[ 30 ]} أو أنصاف الحلقات المسبقة . ^{[ 31 ]} وهناك تعميم آخر هو أنصاف الحلقات المسبقة اليسرى ، ^{[ 32 ]} والتي لا تتطلب أيضًا التوزيعية اليمنى (أو أنصاف الحلقات المسبقة اليمنى ، والتي لا تتطلب التوزيعية اليسرى).

وهناك تعميم آخر يتمثل في أشباه الحلقات : فبالإضافة إلى عدم اشتراط وجود عنصر محايد للضرب، أو التوزيع من اليمين (أو التوزيع من اليسار)، فإنها لا تشترط أن تكون عملية الجمع تبديلية. وكما تُشكّل الأعداد الأصلية شبه حلقة (فئة)، تُشكّل الأعداد الترتيبية شبه حلقة ، عند الأخذ في الاعتبار عمليتي الجمع والضرب الترتيبيتين القياسيتين . ومع ذلك، يمكن تحويل فئة الأعداد الترتيبية إلى شبه حلقة من خلال النظر في ما يُسمى بالعمليات الطبيعية (أو عمليات هيسنبرغ) .

في نظرية الفئات ، تُعرف الفئة 2-rig بأنها فئة ذات عمليات وظيفية مماثلة لتلك الخاصة بالفئة rig. ويمكن تصنيف كون الأعداد الأصلية تُشكل فئة rig بالقول إن فئة المجموعات (أو بشكل أعم، أي طوبولوجيا ) هي فئة 2-rig.

• حلقة من المجموعات - عائلة مغلقة تحت الاتحادات والمكملات النسبية 
• جبر التقييم – جبر يصف معالجة المعلومات. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه.