مقطع مخروطي

القطع المخروطي هو المنحنى الناتج عن تقاطع مستوى ، يُسمى مستوى القطع ، مع سطح مخروط مزدوج (مخروط ذو جزأين ). يُفترض عادةً أن المخروط دائري قائم لتسهيل الوصف، ولكن هذا ليس شرطًا؛ أي مخروط مزدوج ذي مقطع عرضي دائري يُفي بالغرض. تتقاطع المستويات التي تمر برأس المخروط معه في نقطة أو خط أو زوج من الخطوط المتقاطعة. تُسمى هذه القطوع المخروطية بالقطع المخروطية المنحلة ، ولا يعتبرها بعض المؤلفين قطعًا مخروطية على الإطلاق. ما لم يُذكر خلاف ذلك، فإن مصطلح "القطع المخروطي" في هذه المقالة يُشير إلى القطع المخروطي غير المنحل.

توجد ثلاثة أنواع من القطوع المخروطية: القطع الناقص ، والقطع المكافئ ، والقطع الزائد . الدائرة نوع خاص من القطع الناقص، مع أن أبولونيوس اعتبرها تاريخيًا نوعًا رابعًا. ينشأ القطع الناقص عندما يكون تقاطع المخروط مع المستوى منحنى مغلقًا . تُحصل الدائرة عندما يكون مستوى القطع موازيًا لمستوى الدائرة المولدة للمخروط؛ بالنسبة للمخروط القائم، يعني هذا أن مستوى القطع عمودي على المحور. إذا كان مستوى القطع موازيًا لخط مولد واحد فقط من المخروط، فإن القطع يكون غير محدود ويُسمى قطعًا مكافئًا . في الحالة الأخرى، يكون الشكل قطعًا زائدًا : يتقاطع المستوى مع نصفي المخروط، مُنتجًا منحنيين منفصلين غير محدودين.

قارن أيضًا المقطع الكروي (تقاطع مستوى مع كرة، مما ينتج عنه دائرة أو نقطة)، والمخروط الكروي (تقاطع مخروط إهليلجي مع كرة متحدة المركز).

بدلاً من ذلك، يمكن تعريف القطع المخروطي بدلالة الهندسة المستوية فقط: فهو المحل الهندسي لجميع النقاط P التي تكون المسافة بينها وبين نقطة ثابتة F (تُسمى البؤرة ) مضاعفًا ثابتًا e (يُسمى الاختلاف المركزي ) للمسافة من P إلى خط ثابت L (يُسمى الدليل ) . فعندما يكون e أقل من أو يساوي 1 ، نحصل على قطع ناقص، وعندما يكون e يساوي 1 نحصل على قطع مكافئ ، وعندما يكون e أكبر من 1 نحصل على قطع زائد.

الدائرة حالة خاصة، ولا تُعرَّف ببؤرة ودليل في المستوى الإقليدي. يُعرَّف الاختلاف المركزي للدائرة بأنه يساوي صفرًا، وبؤرتها هي مركز الدائرة، ولكن دليلها لا يُمكن اعتباره إلا الخط الموجود في اللانهاية في المستوى الإسقاطي. ^{[ 2 ]}

يمكن اعتبار انحراف القطع الناقص مقياسًا لمدى انحراف القطع الناقص عن الشكل الدائري. ^{[ 3 ]}

إذا كانت الزاوية بين سطح المخروط ومحوره هي${\displaystyle \beta }$والزاوية بين مستوى القطع والمحور هي${\displaystyle \alpha ,}$الغرابة هي${\displaystyle {\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}.}$^{[ 4 ]}

إن إثبات أن المنحنيات المذكورة أعلاه والمحددة بخاصية البؤرة والدليل هي نفسها تلك التي يتم الحصول عليها من خلال تقاطع المستويات مع المخروط يتم تسهيله باستخدام كرات داندلين . ^{[ 5 ]}

بدلاً من ذلك، يمكن تعريف القطع الناقص بدلالة بؤرتيه، باعتباره المحل الهندسي للنقاط التي يكون مجموع بُعديها عن البؤرتين مساوياً لـ 2a ؛ بينما القطع الزائد هو المحل الهندسي الذي يكون فيه الفرق بين بُعدي البؤرتين مساوياً لـ 2a . (حيث a هو نصف المحور الأكبر المحدد أدناه). ويمكن أيضاً تعريف القطع المكافئ بدلالة بؤرته ووتره البؤري (الموازي للدليل والمار بالبؤرة): فهو المحل الهندسي للنقاط التي يكون مجموع بُعدها عن البؤرة، زائداً أو ناقصاً، عن الوتر البؤري مساوياً لـ 2a ؛ زائداً إذا كانت النقطة تقع بين الدليل والوتر البؤري، وناقصاً فيما عدا ذلك.

بالإضافة إلى اللامركزية ( e ) والبؤر والدليل، ترتبط العديد من السمات والأطوال الهندسية بالقطع المخروطي.

المحور الرئيسي هو الخط الواصل بين بؤرتي القطع الناقص أو القطع الزائد، ونقطة منتصفه هي مركز المنحنى . أما القطع المكافئ فليس له مركز.

الانحراف الخطي ( c ) هو المسافة بين المركز والبؤرة.

الوتر المستقيمي الواسع هو الوتر الموازي للدليل ويمر عبر البؤرة؛ نصف طوله هو الوتر المستقيمي الواسع ( ℓ ).

المعلمة البؤرية ( p ) هي المسافة من البؤرة إلى الدليل المقابل.

المحور الأكبر هو الوتر الواصل بين رأسي القطع المخروط: أطول وتر في القطع الناقص، وأقصر وتر بين فرعي القطع الزائد. نصف طوله هو نصف المحور الأكبر ( a ). عندما يكون القطع الناقص أو القطع الزائد في الوضع القياسي كما في المعادلات أدناه، مع بؤرتيه على المحور السيني ومركزه عند نقطة الأصل، فإن إحداثيات رأسي القطع المخروطي هي (-a , 0) و ( a , 0) ، حيث a قيمة غير سالبة.

المحور الأصغر هو أقصر قطر في القطع الناقص، ونصف طوله هو نصف المحور الأصغر ( b )، وهي نفس قيمة b في المعادلة القياسية أدناه. وبالمثل، يُطلق على المعامل b في المعادلة القياسية للقطع الزائد اسم نصف المحور الأصغر.

العلاقات التالية صحيحة: ^{[ 6 ]}

• ${\displaystyle \ \ell =pe}$
• ${\displaystyle \ c=ae}$
• ${\displaystyle \ p+c={\frac {a}{e}}}$

بالنسبة للقطوع المخروطية في الوضع القياسي، تأخذ هذه المعلمات القيم التالية، مع الأخذ في الاعتبار${\displaystyle a\geq b>0}$.

مقطع مخروطي	معادلة	اللامركزية ( e )	اللامركزية الخطية ( ج )	العضلة المستقيمة شبه العريضة ( ℓ )	المعلمة البؤرية ( p )
دائرة	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle a\,}$	${\displaystyle \infty }$
القطع الناقص	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}$
القطع المكافئ	${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$	${\displaystyle 1\,}$	غير متوفر	${\displaystyle 2a\,}$	${\displaystyle 2a\,}$
القطع الزائد	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

بعد إدخال الإحداثيات الديكارتية ، يمكن استخدام خاصية البؤرة والدليل لاستنتاج المعادلات التي تحققها نقاط القطع المخروطي. ^{[ 7 ]} وباستخدام تغيير الإحداثيات ( تدوير المحاور وانتقالها ) ، يمكن وضع هذه المعادلات في صيغ قياسية . ^{[ 8 ]} بالنسبة للقطع الناقص والقطع الزائد، تكون الصيغة القياسية بحيث يكون المحور السيني هو المحور الرئيسي ونقطة الأصل (0,0) هي المركز. رؤوس القطع هي (± a , 0) ^{وبؤرتاه} هما ( ± c , 0) . يُعرَّف b بالمعادلتين c² = ^{a² -} b² للقطع الناقص و c² = a² ⁺ b² للقطع الزائد. أما بالنسبة للدائرة، فإن c ^{= 0} ، وبالتالي a² = ^b² ، ^ونصف قطرها r = a = b . بالنسبة للقطع المكافئ، يكون للصيغة القياسية بؤرة على المحور السيني عند النقطة ( أ ، ٠) ودليل على الخط المستقيم الذي معادلته س = -أ . في الصيغة القياسية، يمر القطع المكافئ دائمًا بنقطة الأصل.

بالنسبة للقطع الزائد المستطيل أو متساوي الأضلاع، الذي تكون خطوطه المقاربة متعامدة، توجد صيغة قياسية بديلة تكون فيها الخطوط المقاربة هي محاور الإحداثيات، والمستقيم x = y هو المحور الرئيسي. وتكون إحداثيات البؤرتين ( c , c ) و ( −c , −c ) . ^{[ 9 ]}

• دائرة:

  ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},}$

• القطع الناقص:

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• القطع المكافئ:

  ${\displaystyle y^{2}=4ax,{\text{ with }}a>0,}$

• القطع الزائد:

  ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

• القطع الزائد المستطيل: ^{[ 10 ]}

  ${\displaystyle xy=c^{2}.}$

الأشكال الأربعة الأولى متناظرة حول المحورين السيني والصادي ( بالنسبة للدائرة والقطع الناقص والقطع الزائد)، أو حول المحور السيني فقط (بالنسبة للقطع المكافئ). أما القطع الزائد المستطيل، فهو متناظر حول المستقيمين ص = س و ص = -س .

يمكن كتابة هذه الصيغ القياسية بشكل بارامتري كما يلي:

• دائرة :

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,a\sin \theta ),}$

• القطع الناقص :

  ${\displaystyle (a\cos \theta ,b\sin \theta ),}$

• القطع المكافئ :

  ${\displaystyle (at^{2},2at),}$

• القطع الزائد :

  ${\displaystyle (a\sec \theta ,b\tan \theta ),{\text{ or }}(\pm a\cosh \psi ,b\sinh \psi )}$،

• القطع الزائد المستطيل :

  ${\displaystyle \left(dt,{\frac {d}{t}}\right),{\text{ where }}d={\frac {c}{\sqrt {2}}}.}$

في نظام الإحداثيات الديكارتية ، يكون تمثيل المعادلة التربيعية بمتغيرين دائمًا مقطعًا مخروطيًا (مع أنه قد يكون منحلًا )، ^{[ أ ]} وتنشأ جميع المقاطع المخروطية بهذه الطريقة. المعادلة الأكثر عمومية هي من الشكل ^{[ 11 ].}

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

مع كون جميع المعاملات أعدادًا حقيقية ، وأن A وB وC ليست جميعها أصفارًا.

في الإحداثيات القطبية ، يُعطى المقطع المخروطي الذي تقع إحدى بؤرتيه عند نقطة الأصل، وإذا وُجدت بؤرة أخرى، فتكون عند قيمة سالبة (للقطع الناقص) أو قيمة موجبة (للقطع الزائد) على المحور السيني ، بالمعادلة التالية

${\displaystyle r={\frac {l}{1+e\cos \theta }},}$

حيث e هي اللامركزية و l هي نصف العضلة المستقيمة العريضة.

كما سبق، بالنسبة لـ e = 0 ، يكون الرسم البياني دائرة، وبالنسبة لـ 0 < e < 1 يكون الرسم البياني قطع ناقص، وبالنسبة لـ e = 1 يكون قطع مكافئ، وبالنسبة لـ e > 1 يكون قطع زائد.

يُستخدم الشكل القطبي لمعادلة القطع المخروطي غالبًا في الديناميكا ؛ على سبيل المثال، تحديد مدارات الأجسام التي تدور حول الشمس. ^{[ 20 ]}

كما أن نقطتين (مختلفتين) تحددان خطًا مستقيمًا، فإن خمس نقاط تحدد قطعًا مخروطيًا . رسميًا، إذا كانت أي خمس نقاط في المستوى تقع في وضع خطي عام ، أي لا تقع ثلاث منها على خط مستقيم واحد ، فسيكون هناك قطع مخروطي وحيد يمر بها، وهو غير منحل؛ وهذا ينطبق على كل من المستوى الإقليدي وامتداده، المستوى الإسقاطي الحقيقي. في الواقع، إذا كانت أي خمس نقاط تقع على خط مستقيم واحد، فسيكون القطع المخروطي منحلًا (قابلًا للاختزال، لأنه يحتوي على خط مستقيم)، وقد لا يكون وحيدًا؛ انظر المزيد من المناقشة .

تُحدد أربع نقاط في المستوى، تقع في خط مستقيم عام، قطعًا مخروطيًا فريدًا يمر بالنقاط الثلاث الأولى، وتكون النقطة الرابعة مركزه. وبالتالي، فإن معرفة المركز تُعادل معرفة نقطتين على القطع المخروطي لغرض تحديد المنحنى. ^{[ 21 ]}

علاوة على ذلك، يتم تحديد القطع المخروطي من خلال أي مجموعة من k نقطة في الوضع العام التي يمر بها و 5 - k خطوط مماسة له، لـ 0 ≤ k ≤ 5. ^{[ 22 ]}

تقع أي نقطة في المستوى إما على صفر أو على مماس واحد أو على مماسين لقطع مخروطي. النقطة التي تقع على مماس واحد فقط تقع على القطع المخروطي. أما النقطة التي لا تقع على أي مماس فتُسمى نقطة داخلية (أو نقطة داخلية) للقطع المخروطي، بينما النقطة التي تقع على مماسين تُسمى نقطة خارجية (أو نقطة خارجية).

تشترك جميع القطوع المخروطية في خاصية الانعكاس التي يمكن التعبير عنها كما يلي: تعكس جميع المرايا التي على شكل قطع مخروطي غير منحل الضوء القادم من إحدى البؤرتين أو المتجه نحوها باتجاه البؤرة الأخرى أو بعيدًا عنها. في حالة القطع المكافئ، يجب اعتبار البؤرة الثانية بعيدة جدًا، بحيث تكون أشعة الضوء المتجهة نحوها أو القادمة منها متوازية. ^{[ 23 ] [ 24 ]}

تتعلق نظرية باسكال باستقامة ثلاث نقاط مُنشأة من مجموعة ست نقاط على أي قطع مخروطي غير مُنحط. وتسري هذه النظرية أيضًا على القطوع المخروطية المُنحطة المكونة من خطين، ولكن في هذه الحالة تُعرف باسم نظرية بابوس .

تكون المقاطع المخروطية غير المنحلة دائمًا " ناعمة ". وهذا أمر مهم للعديد من التطبيقات، مثل الديناميكا الهوائية، حيث يكون السطح الأملس مطلوبًا لضمان التدفق الصفائحي ومنع الاضطراب .

يُعتقد أن أول تعريف للقطع المخروطي قدمه مينايخموس (توفي عام 320 قبل الميلاد) كجزء من حله لمسألة ديلوس ( مضاعفة المكعب ). ^{[ ب ] [ 25 ]} لم يبقَ من عمله شيء، ولا حتى الأسماء التي استخدمها لهذه المنحنيات، ولا يُعرف عنه إلا من خلال روايات ثانوية. ^{[ 26 ]} يختلف التعريف المستخدم آنذاك عن التعريف الشائع اليوم. كانت المخاريط تُنشأ بتدوير مثلث قائم الزاوية حول أحد ضلعيه بحيث يُشكل الوتر سطح المخروط (يُسمى هذا الخط بالخط المولد ). حُددت ثلاثة أنواع من المخاريط بزوايا رؤوسها (المقاسة بضعف الزاوية المتكونة بين الوتر والضلع الذي يدور حوله المثلث القائم الزاوية). ثم حُدد القطع المخروطي بتقاطع أحد هذه المخاريط مع مستوى مرسوم عموديًا على الخط المولد. يُحدد نوع القطع المخروطي بنوع المخروط، أي بالزاوية المتكونة عند رأس المخروط: إذا كانت الزاوية حادة يكون القطع المخروطي قطعًا ناقصًا؛ وإذا كانت الزاوية قائمة يكون القطع المخروطي قطعًا مكافئًا؛ وإذا كانت الزاوية منفرجة يكون القطع المخروطي قطعًا زائدًا (ولكن بفرع واحد فقط من المنحنى). ^{[ 27 ]}

يُقال إن إقليدس (ازدهر حوالي 300 قبل الميلاد) قد ألّف أربعة كتب عن القطوع المخروطية، ولكنها فُقدت أيضًا. ^{[ 28 ]} ومن المعروف أن أرخميدس (توفي حوالي 212 قبل الميلاد) قد درس القطوع المخروطية، حيث حدد المساحة المحصورة بين قطع مكافئ ووتر في كتابه "تربيع القطع المكافئ" . انصبّ اهتمامه الرئيسي على قياس مساحات وأحجام الأشكال المتعلقة بالقطوع المخروطية، وقد نجا جزء من هذا العمل في كتابه عن المجسمات الدورانية للقطوع المخروطية، " حول المخروطيات والكرويات" . ^{[ 29 ]}

يعود الفضل الأكبر في دراسة القطوع المخروطية لدى الإغريق القدماء إلى أبولونيوس البرغي (توفي حوالي عام ١٩٠ قبل الميلاد)، الذي لخص في كتابه "القطوع المخروطية" (أو "القطوع المخروطية") ، المؤلف من ثمانية مجلدات، المعرفة الموجودة آنذاك ووسعها بشكل كبير. ^{[ ٣٠ ]} وقد مكّنت دراسة أبولونيوس لخصائص هذه المنحنيات من إثبات أن أي مستوى يقطع مخروطًا مزدوجًا ثابتًا (مخروطًا ذا رأسين)، بغض النظر عن زاويته، سينتج عنه قطع مخروطي وفقًا للتعريف السابق، مما أدى إلى التعريف الشائع الاستخدام اليوم. كما يمكن الحصول على الدوائر، التي لم يكن من الممكن إنشاؤها بالطريقة السابقة، بهذه الطريقة. ولعل هذا يفسر سبب اعتبار أبولونيوس الدوائر نوعًا رابعًا من القطوع المخروطية، وهو تمييز لم يعد يُستخدم. وقد استخدم أبولونيوس مصطلحات "القطع الناقص" و"القطع المكافئ" و"القطع الزائد" لهذه المنحنيات، مستعيرًا المصطلحات من أعمال فيثاغورس السابقة حول المساحات. ^{[ ٣١ ]}

يُنسب إلى بابوس الإسكندري (توفي حوالي عام 350 ميلادي) شرح أهمية مفهوم بؤرة القطع المخروطي، وتفصيل المفهوم ذي الصلة بالدليل ، بما في ذلك حالة القطع المكافئ (التي تفتقر إليها أعمال أبولونيوس المعروفة). ^{[ 32 ]}

تُرجمت أعمال أبولونيوس إلى العربية، ولم يبقَ منها إلا الكثير عبر النسخة العربية. وجد علماء الرياضيات المسلمون تطبيقات لهذه النظرية، وأبرزهم عالم الرياضيات والشاعر الفارسي عمر الخيام ، ^{[ 33 ]} الذي ابتكر طريقة هندسية لحل المعادلات التكعيبية باستخدام القطوع المخروطية. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

قبل قرن من عمل الخيام الأكثر شهرة، استخدم أبو الجود القطوع المخروطية لحل المعادلات الرباعية والتكعيبية، ^{[ 36 ]} على الرغم من أن حله لم يتناول جميع الحالات. ^{[ 37 ]}

تم وصف أداة لرسم القطوع المخروطية لأول مرة في عام 1000 ميلادي من قبل الكوهي . ^{[ 38 ] [ 39 ]}

قام يوهانس كيبلر بتوسيع نظرية القطوع المخروطية من خلال " مبدأ الاستمرارية "، وهو مقدمة لمفهوم النهايات. استخدم كيبلر مصطلح "البؤر" لأول مرة في عام 1604. ^{[ 40 ]}

وضع جيرار ديزارج وبليز باسكال نظرية القطوع المخروطية باستخدام شكل مبكر من الهندسة الإسقاطية ، مما ساهم في إعطاء دفعة قوية لدراسة هذا المجال الجديد. وعلى وجه الخصوص، اكتشف باسكال نظرية تُعرف باسم "الرسم السداسي الغامض" (hexagrammum mysticum)، والتي يمكن استنتاج العديد من خصائص القطوع المخروطية الأخرى منها.

طبّق كلٌّ من رينيه ديكارت وبيير فيرما الهندسة التحليلية التي اكتشفاها حديثًا على دراسة القطوع المخروطية. وقد أدّى ذلك إلى اختزال المسائل الهندسية للقطوع المخروطية إلى مسائل جبرية. مع ذلك، كان جون واليس، في رسالته "Tractatus de sectionibus conicis" عام 1655 ، أول من عرّف القطوع المخروطية على أنها حالات لمعادلات من الدرجة الثانية. ^{[ 41 ]} أما كتاب "Elementa Curvarum Linearum" لجان دي ويت ، الذي كُتب قبل ذلك ولكن نُشر لاحقًا، فيبدأ بالبناء الحركي للقطوع المخروطية لكبلر، ثم يطوّر المعادلات الجبرية. وقد وُصف هذا العمل، الذي يستخدم منهجية فيرما ورموز ديكارت، بأنه أول كتاب مدرسي في هذا الموضوع. ^{[ 42 ]} وقد ابتكر دي ويت مصطلح "directrix". ^{[ 42 ]}

في الفضاء الإسقاطي فوق أي حلقة قسمة، وخاصةً فوق الأعداد الحقيقية أو المركبة، تكون جميع القطوع المخروطية غير المنحلة متكافئة، وبالتالي في الهندسة الإسقاطية يُشار إلى "القطع المخروطي" دون تحديد نوعه. أي أن هناك تحويلاً إسقاطياً يُحوّل أي قطع مخروطي غير منحل إلى أي قطع مخروطي غير منحل آخر. ^{[ 44 ]}

ستظهر الأنواع الثلاثة من القطوع المخروطية مجددًا في المستوى الأفيني الناتج عن اختيار خط من الفضاء الإسقاطي ليكون خط اللانهاية. وتُحدد هذه الأنواع الثلاثة بناءً على كيفية تقاطع خط اللانهاية مع القطع المخروطي في الفضاء الإسقاطي. في الفضاء الأفيني المقابل، نحصل على قطع ناقص إذا لم يتقاطع القطع المخروطي مع خط اللانهاية، وقطع مكافئ إذا تقاطع القطع المخروطي مع خط اللانهاية في نقطة مزدوجة واحدة تُقابل المحور، وقطع زائد إذا تقاطع القطع المخروطي مع خط اللانهاية في نقطتين تُقابلان خطوط التقارب. ^{[ 45 ]}

في الإحداثيات المتجانسة، يمكن تمثيل القطع المخروطي على النحو التالي:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

أو في تدوين المصفوفات

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&z\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.}$

تُسمى المصفوفة 3 × 3 أعلاه مصفوفة القطع المخروطي .

يفضل بعض المؤلفين كتابة المعادلة المتجانسة العامة على النحو التالي:

${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}=0,}$

(أو شكل مشابه لهذا) بحيث يكون لمصفوفة القطع المخروطي شكل أبسط،

${\displaystyle M=\left({\begin{matrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{matrix}}\right),}$

لكن هذه الصيغة غير مستخدمة في هذه المقالة. ^{[ ج ]}

إذا كان محدد مصفوفة القطع المخروطي يساوي صفرًا، فإن القطع المخروطي يكون منحطًا .

بما أن ضرب جميع المعاملات الستة بنفس العدد القياسي غير الصفري ينتج عنه معادلة لها نفس مجموعة الأصفار، يمكن اعتبار القطوع المخروطية، المُمثلة بـ ( أ ، ب ، ج ، د ، هـ ، و ) ، نقاطًا في الفضاء الإسقاطي خماسي الأبعاد${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

لا يمكن تعميم المفاهيم المترية للهندسة الإقليدية (المفاهيم المتعلقة بقياس الأطوال والزوايا) مباشرةً على المستوى الإسقاطي الحقيقي. ^{[ د ]} يجب إعادة تعريفها (وتعميمها) في هذه الهندسة الجديدة. يمكن القيام بذلك لأي مستوى إسقاطي ، ولكن للحصول على المستوى الإسقاطي الحقيقي كمستوى إقليدي ممتد، يجب اتخاذ بعض الخيارات المحددة. ^{[ 46 ]}

لنثبت خطًا عشوائيًا في مستوى إسقاطي، يُشار إليه بالخط المطلق . نختار نقطتين مختلفتين على الخط المطلق ونُشير إليهما بالنقطتين المطلقتين . يمكن تعريف العديد من المفاهيم المترية بالرجوع إلى هاتين النقطتين. على سبيل المثال، إذا كان لدينا خط يحتوي على النقطتين A و B ، فإن نقطة منتصف القطعة المستقيمة AB تُعرَّف بأنها النقطة C، وهي المرافق التوافقي الإسقاطي لنقطة تقاطع AB مع الخط المطلق ، بالنسبة إلى A و B.

يُطلق على القطع المخروطي في المستوى الإسقاطي الذي يحتوي على النقطتين المطلقتين اسم دائرة . وبما أن خمس نقاط تُحدد القطع المخروطي، فإن الدائرة (التي قد تكون متدهورة) تُحدد بثلاث نقاط. وللحصول على المستوى الإقليدي الممتد، يُختار الخط المطلق ليكون الخط عند اللانهاية في المستوى الإقليدي، والنقطتان المطلقتان هما نقطتان خاصتان على هذا الخط تُسميان النقطتين الدائريتين عند اللانهاية . لا تمر الخطوط التي تحتوي على نقطتين بإحداثيات حقيقية عبر النقطتين الدائريتين عند اللانهاية، لذا في المستوى الإقليدي، تُحدد الدائرة، وفقًا لهذا التعريف، بثلاث نقاط غير واقعة على استقامة واحدة . ^{[ 47 ]}

ذُكر سابقًا أن الدوائر في المستوى الإقليدي لا يمكن تعريفها بخاصية البؤرة والدليل. مع ذلك، إذا اعتبرنا الخط عند اللانهاية دليلًا، فباعتبار الاختلاف المركزي e = 0 ، فإن الدائرة ستتمتع بخاصية البؤرة والدليل، لكنها لا تزال غير مُعرَّفة بهذه الخاصية. ^{[ 48 ]} يجب توخي الحذر في هذه الحالة لاستخدام تعريف الاختلاف المركزي بشكل صحيح، باعتباره نسبة بُعد نقطة على الدائرة عن البؤرة (طول نصف القطر) إلى بُعد تلك النقطة عن الدليل (وهذه المسافة لانهائية)، وهو ما يُعطي القيمة الحدية صفرًا.

قدم جاكوب شتاينر في عام 1867 نهجًا تركيبيًا (بدون إحداثيات) لتحديد المقاطع المخروطية في مستوى إسقاطي .

• أعطيت قلمين رصاص${\displaystyle B(U),B(V)}$خطوط عند نقطتين${\displaystyle U,V}$(جميع الأسطر التي تحتوي على${\displaystyle U}$و ${\displaystyle V}$(على التوالي) ورسم الخرائط الإسقاطية ولكن ليس المنظورية${\displaystyle \pi }$ل${\displaystyle B(U)}$على${\displaystyle B(V)}$ثم تشكل نقاط تقاطع الخطوط المتناظرة مقطعًا مخروطيًا إسقاطيًا غير منحط. ^{[ 49 ] [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ]}

رسم الخرائط المنظورية${\displaystyle \pi }$قلم رصاص${\displaystyle B(U)}$على قلم رصاص${\displaystyle B(V)}$هي دالة تقابل (تناظر واحد لواحد) بحيث تتقاطع الخطوط المتناظرة على خط ثابت${\displaystyle a}$والذي يُطلق عليه محور المنظور${\displaystyle \pi }$.

الإسقاط الإسقاطي هو سلسلة محدودة من عمليات الإسقاط المنظوري.

بما أن الإسقاط في مستوى إسقاطي فوق حقل ( مستوى بابي ) يتم تحديده بشكل فريد من خلال تحديد صور ثلاثة خطوط، ^{[ 53 ]} لتوليد شتاينر للقطع المخروطي، بالإضافة إلى نقطتين${\displaystyle U,V}$يكفي تقديم صور ثلاثة خطوط فقط. هذه العناصر الخمسة (نقطتان، ثلاثة خطوط) تحدد القطع المخروطي بشكل فريد.

بحسب مبدأ الازدواجية في المستوى الإسقاطي، يكون ثنائي كل نقطة خطًا، ويُسمى ثنائي موضع النقاط (مجموعة من النقاط التي تحقق شرطًا معينًا) غلافًا من الخطوط. باستخدام تعريف شتاينر للقطع المخروطي (سيُشار إلى موضع النقاط هذا الآن باسم القطع المخروطي النقطي ) باعتباره نقطة التقاء الأشعة المتناظرة لحزمتين مرتبطتين، يسهل إجراء الازدواجية والحصول على الغلاف المقابل الذي يتكون من نقاط التقاء النقاط المتناظرة لمدىين مرتبطين (نقاط على خط) على قاعدتين مختلفتين (الخطوط التي تقع عليها النقاط). يُسمى هذا الغلاف بالقطع المخروطي الخطي (أو القطع المخروطي المزدوج).

في المستوى الإسقاطي الحقيقي، يتميز القطع المخروطي النقطي بخاصية أن كل خط يتقاطع معه في نقطتين (قد تكونان متطابقتين أو معقدتين)، وأي مجموعة نقاط بهذه الخاصية تُسمى قطعًا مخروطيًا نقطيًا. وبالمثل، فإن القطع المخروطي الخطي يمر خطان من كل نقطة فيه، وأي غلاف من الخطوط بهذه الخاصية يُسمى قطعًا مخروطيًا خطيًا. عند كل نقطة من القطع المخروطي النقطي يوجد خط مماس وحيد، وبالمثل، على كل خط من خطوط القطع المخروطي الخطي توجد نقطة وحيدة تُسمى نقطة التماس . تنص نظرية مهمة على أن خطوط التماس للقطع المخروطي النقطي تُشكل قطعًا مخروطيًا خطيًا، وبالمثل، فإن نقاط التماس للقطع المخروطي الخطي تُشكل قطعًا مخروطيًا نقطيًا. ^{[ 54 ]}

عرّف كارل جورج كريستيان فون شتاودت القطع المخروطي بأنه مجموعة النقاط التي تمثلها جميع النقاط المطلقة لقطبية لها نقاط مطلقة. وقدّم فون شتاودت هذا التعريف في كتابه "هندسة الوضع " (1847) كجزء من محاولته إزالة جميع المفاهيم المترية من الهندسة الإسقاطية.

القطبية ، π ، لمستوى إسقاطي P هي تقابل عكسي بين نقاط وخطوط P يحافظ على علاقة التلاقي . بالتالي، تربط القطبية النقطة Q بالخط q بالعلاقة π ( Q ) = q و π ( q ) = Q. وبحسب جيرجون ، يُطلق على q اسم قطب Q ، و Q قطب q . ^{[ 55 ]} النقطة (أو الخط ) المطلقة للقطبية هي تلك التي تقع على قطبها (قطبها ⁾ . ^{[ e} ]

إن القطع المخروطي لفون شتاودت في المستوى الإسقاطي الحقيقي يكافئ القطع المخروطي لشتاينر . ^{[ 56 ]}

لا يمكن إنشاء قوس متصل من القطع المخروطي باستخدام المسطرة والفرجار. ومع ذلك، توجد عدة طرق لإنشاء قوس باستخدام المسطرة والفرجار لأي عدد من النقاط الفردية على القوس.

إحدى هذه الطرق تعتمد على عكس نظرية باسكال، أي إذا كانت نقاط تقاطع الأضلاع المتقابلة لسداسي الأضلاع تقع على استقامة واحدة، فإن رؤوسه الستة تقع على قطع مخروطي. تحديدًا، إذا عُلمت خمس نقاط، A و B و C و D و E ، وخط مستقيم يمر بالنقطة E ، ولنسمه EG ، فإنه يمكن إنشاء نقطة F تقع على هذا الخط وعلى القطع المخروطي المحدد بالنقاط الخمس. لنفترض أن AB يتقاطع مع DE في L ، وBC يتقاطع مع EG في M، و CD يتقاطع مع LM في N. عندئذٍ يتقاطع AN مع EG عند النقطة المطلوبة F. ^{[ 57 ]} بتغيير الخط المستقيم المار بالنقطة E ، يمكن إنشاء أي عدد من النقاط الإضافية على القطع المخروطي حسب الرغبة.

هناك طريقة أخرى، تعتمد على طريقة شتاينر وتُعدّ مفيدة في التطبيقات الهندسية، وهي طريقة متوازي الأضلاع، حيث يُنشأ القطع المخروطي نقطةً بنقطة عن طريق توصيل نقاط متساوية التباعد على خط أفقي وخط رأسي. [58] تحديدًا، لإنشاء القطع الناقص ذي المعادلة x²/a² + y² ^{/ b² =} 1 ، نبدأ بإنشاء ^{المستطيل} ABCD برؤوسه A ( a , 0 ) ، B ⁽ a , 2b ⁾ ، C ( -a ^, 2b)، و D ( -a , 0 ) . نقسم الضلع BC إلى n قطعة متساوية ، ونستخدم الإسقاط المتوازي، بالنسبة للقطر AC ، لتكوين قطع متساوية على الضلع AB (أطوال هذه القطع تساوي b / a مضروبة في طول القطع على BC ). على الضلع BC ، حدد النهايات اليسرى للقطع المستقيمة من _A1 إلى An ، _بدءًا من B باتجاه C. وعلى الضلع AB ، حدد النهايات العلوية _{من D1} إلى Dn ، _بدءًا من A باتجاه B. ستكون نقاط التقاطع، AAi _∩ DDi _، حيث 1 ≤ i ≤ n، نقاط القطع الناقص بين A و P (0, b ) . يربط هذا التحديد خطوط القلم المار بالنقطة A بخطوط القلم المار بالنقطة D إسقاطيًا وليس منظوريًا. يتم الحصول على القطع المخروطي المطلوب من خلال هذا الإنشاء، حيث توجد ثلاث نقاط A و D و P ، ومماسان (الخطان الرأسيان عند A و D) .تُحدد هذه الطريقة القطع المخروطي بشكل فريد. إذا استُخدم قطر آخر (وقطره المرافق) بدلًا من المحورين الأكبر والأصغر للقطع الناقص، يُستخدم متوازي أضلاع ليس مستطيلًا في الإنشاء، ومن هنا جاء اسم الطريقة. يمكن توسيع ربط خطوط الحزم للحصول على نقاط أخرى على القطع الناقص. وتتشابه طرق إنشاء القطع الزائد ^{[ 59 ]} والقطع المكافئ ^{[ 60 ] .}

وهناك طريقة عامة أخرى تستخدم خاصية القطبية لإنشاء الغلاف المماسي للقطع المخروطي (القطع المخروطي الخطي). ^{[ 61 ]}