مخطط كوكسيتر-دينكين

في الهندسة ، مخطط كوكسيتر-دينكين (أو مخطط كوكسيتر ، رسم كوكسيتر البياني ) هو رسم بياني ذو حواف مرقمة رقميًا (تسمى الفروع ) تمثل مجموعة كوكسيتر أو في بعض الأحيان متعدد الوجوه المنتظم أو التبليط المنتظم المبني من المجموعة.

تُعدّ مخططات دينكين فئة من الكائنات وثيقة الصلة ، وهي تختلف عن مخططات كوكسيتر في جانبين: أولاً، الفروع التي تحمل الرقم " 4 " أو أكبر تكون موجهة ، بينما مخططات كوكسيتر غير موجهة ؛ ثانياً، يجب أن تستوفي مخططات دينكين قيداً إضافياً ( بلورياً )، وهو أن أرقام الفروع المسموح بها هي 2 و3 و4 و 6 فقط. تتوافق مخططات دينكين مع أنظمة الجذور وتُستخدم لتصنيفها، وبالتالي لتصنيف جبر لي شبه البسيط . ^{[ 1 ]}

مجموعة كوكسيتر هي مجموعة تقبل تقديم عرض تقديمي: $${\displaystyle \langle r_{0},r_{1},\dots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{i,j}}=1\rangle }$$ حيث أن m _{و i و j} أعداد صحيحة تمثل عناصر مصفوفة متناظرة M تحتوي على 1 على قطرها الرئيسي . (وبالتالي كل مولد${\displaystyle r_{i}}$لها رتبة 2.) ^{[ أ ]} هذه المصفوفة M ، مصفوفة كوكسيتر ، تحدد مجموعة كوكسيتر بشكل كامل.

بما أن مصفوفة كوكسيتر متناظرة، فيمكن اعتبارها مصفوفة تجاور لرسم بياني مُعَلَّم الحواف _، حيث تمثل الرؤوس المولدات rᵢ _، والحواف بين الرؤوس المولدة rᵢ و rⱼ مُعَلَّمة بـ mᵢ _{,j .} ولتبسيط هذه المخططات، يمكن إجراء تغييرين:

• يمكن حذف الحواف التي تحمل الرقم 2 ، مع الإشارة إلى أن الحواف المفقودة هي 2. يشير الرقم 2 إلى أن المولدين المتناظرين يتبادلان؛ 2 هو أصغر رقم يمكن استخدامه لتسمية حافة.
• يمكن ترك الحواف التي تحمل الرقم 3 بدون تسمية، مما يعني أن الحافة غير المسماة تعمل كرقم 3 .

الرسم البياني الناتج هو مخطط كوكسيتر-دينكين الذي يصف مجموعة كوكسيتر المعتبرة.

لكل مخطط كوكسيتر مصفوفة شلافلي مقابلة (سميت نسبةً إلى لودفيج شلافلي )، A ، عناصرها a _{_i,j} = a_{_j,i} = −2 cos( π / pi _,j ) ، حيث p_{_i,j} هو ترتيب التفرع بين المرآتين i و j ؛ أي أن π / pi _,j هي الزاوية ثنائية السطوح بين المرآتين i و j. وباعتبارها مصفوفة جيب تمام ، تُسمى A أيضًا مصفوفة غرامية . جميع مصفوفات شلافلي لمجموعة كوكسيتر متناظرة لأن متجهات جذورها مُعَيَّرة. ترتبط A ارتباطًا وثيقًا بمصفوفة كارتان ، المستخدمة في الرسم البياني الموجه المشابه: مخطط دينكين ، في الحالات المحدودة p = 2، 3، 4، و 6، والتي لا تكون متناظرة عمومًا.

يُطلق على مُحدِّد مصفوفة شلافلي اسم شلافليان ؛ ويُحدِّد شلافليان وإشارته ما إذا كانت المجموعة منتهية (موجبة)، أو أفينية (صفر)، أو غير منتهية (سالبة). ^{[ 2 ]} تُسمى هذه القاعدة معيار شلافلي . ^{[ 3 ]}

تُحدد القيم الذاتية لمصفوفة شلافلي ما إذا كانت زمرة كوكسيتر من النوع المحدود (جميعها موجبة)، أو من النوع الأفيني (جميعها غير سالبة، وواحدة منها على الأقل تساوي صفرًا)، أو من النوع غير المحدد (فيما عدا ذلك). يُقسم النوع غير المحدد أحيانًا إلى فئات فرعية، مثل الزمر الزائدية وزمر كوكسيتر الأخرى. مع ذلك، توجد تعريفات متعددة غير متكافئة لزمر كوكسيتر الزائدية. نستخدم التعريفات التالية:

• تكون مجموعة كوكسيتر ذات المخطط المتصل زائدية إذا لم تكن من النوع المنتهي أو الأفيني، ولكن كل مخطط فرعي متصل مناسب يكون من النوع المنتهي أو الأفيني.
• تكون مجموعة كوكسيتر الزائدية مضغوطة إذا كانت جميع مجموعاتها الفرعية منتهية (أي لها محددات موجبة)، وتكون شبه مضغوطة إذا كانت جميع مجموعاتها الفرعية منتهية أو أفينية (أي لها محددات غير سالبة).

تُسمى المجموعات المنتهية والمجموعات الأفينية أيضًا بالمجموعات الإهليلجية والقطع المكافئ على التوالي. وتُسمى المجموعات الزائدية أيضًا بمجموعات لانير، نسبةً إلى ف. لانير الذي أحصى المجموعات الزائدية المدمجة في عام 1950، ^{[ 4 ]} وكوزول (أو شبه لانير) للمجموعات شبه المدمجة.

مجموعات كوكسيتر المصنفة الثانية

يُحدد نوع زمرة كوكسيتر من الرتبة 2 ، أي تلك المولدة بواسطة مرآتين مختلفتين، بشكل كامل بواسطة محدد مصفوفة شلافلي، حيث أن هذا المحدد هو ببساطة حاصل ضرب القيم الذاتية: نوع محدود (محدد موجب)، أو نوع أفيني (محدد صفري)، أو نوع زائدي (محدد سالب). يستخدم كوكسيتر ترميزًا مكافئًا للأقواس يسرد متواليات رتب الفروع كبديل للمخططات البيانية للعقد والفروع. توجد أيضًا حلول نسبية [ p / q ]، حيث القاسم المشترك الأكبر ( p , q ) = 1؛ تُحدد هذه الحلول مجالات أساسية متداخلة. على سبيل المثال، 3/2، 4/3، 5/2، 5/3، 5/4، و 6/5.

يكتب	محدود					أفين	القطع الزائد
الهندسة					...
مخطط كوكسيتر ( تدوين الأقواس)	[ ]	[2]	[3]	[4]	[ ص ]	[ ∞ ]	[ ∞ ]	[i π / λ ]
طلب	2	4	6	8	2 بنس	∞
تُلوّن الخطوط المتناظرة لتتوافق مع عُقد مخطط كوكسيتر. وتُلوّن المجالات الأساسية بالتناوب.

مخططات مجموعة كوكسيتر من الرتبة الثانية
اطلب صفحة	مجموعة	مخطط كوكسيتر		مصفوفة شلافلي
				${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]}$	المحدد${\displaystyle (4-a_{21}a_{12})}$
محدود (المحدد > 0)
2	I 2 (2) = A 1 × A 1		[2]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$	4
3	I 2 (3) = A 2		[3]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]}$	3
3/2			[3/2]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}\right]}$
4	I 2 (4) = B 2		[4]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	2
4/3			[4/3]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$
5	I 2 (5) = H 2		[5]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-\phi \\-\phi &2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle (5-{\sqrt {5}})/2}$≈ 1.38196601125
5/4			[5/4]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&\phi \\\phi &2\end{smallmatrix}}\right]}$
5/2			[5/2]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&1-\phi \\1-\phi &2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle (5+{\sqrt {5}})/2}$≈ 3.61803398875
5/3			[5/3]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&\phi -1\\\phi -1&2\end{smallmatrix}}\right]}$
6	I 2 (6) = G 2		[6]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	1
6/5			[6/5]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$
8	أنا 2 (8)		[8]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {2}}}$≈ 0.58578643763
10	أنا 2 (10)		[10]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}\\-{\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle (3-{\sqrt {5}})/2}$≈ 0.38196601125
12	أنا 2 (12)		[12]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\\-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}$≈ 0.26794919243
ص	أنا 2 ( ص )		[ ص ]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi /p)\\-2\cos(\pi /p)&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle 4\sin ^{2}(\pi /p)}$
دالة خطية (المحدد = 0)
∞	I 2 (∞) =${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$=${\displaystyle {\tilde {A}}_{1}}$		[ ∞ ]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]}$	0
زائدية (المحدد ≤ 0)
∞			[ ∞ ]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]}$	0
∞			[i π / λ ]	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-2\cosh(2\lambda )\\-2\cosh(2\lambda )&2\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle -4\sinh ^{2}(2\lambda )\leq 0}$

التصورات الهندسية

يمكن اعتبار مخطط كوكسيتر-دينكين وصفًا بيانيًا للمجال الأساسي للمرايا. تمثل المرآة مستوىً فائقًا ضمن فضاء كروي أو إقليدي أو زائدي ذي بُعد مُحدد. (في الفضاءات ثنائية الأبعاد، تكون المرآة خطًا؛ وفي الفضاءات ثلاثية الأبعاد، تكون المرآة مستوىً).

تُظهر هذه الرسوم البيانية المجالات الأساسية للمجموعات الإقليدية ثنائية وثلاثية الأبعاد، وللمجموعات الكروية ثنائية الأبعاد. ويمكن استنتاج مخطط كوكسيتر لكل منها بتحديد مرايا المستويات الفائقة وتسمية اتصالها، مع تجاهل الزوايا ثنائية السطوح القائمة (الرتبة 2؛ انظر الحاشية [أ] أدناه).

مجموعات كوكسيتر في المستوى الإقليدي مع مخططات مكافئة. هنا، تُسمى رؤوس المجال بفروع الرسم البياني 1، 2، إلخ، وتُلون حسب ترتيب انعكاسها (اتصالها). تُسمى الانعكاسات بعقد الرسم البياني R1، R2، إلخ. الانعكاسات بزاوية 90 درجة غير نشطة بمعنى أنها لا تُولد معًا أي انعكاسات جديدة؛ [ ب ] وبالتالي فهي غير متصلة ببعضها البعض بفرع في الرسم التخطيطي. المرايا المتوازية متصلة ببعضها البعض بفرع مُسمى بـ ∞ . مربع المجموعة المنشورية${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$×${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$يظهر ذلك على أنه مضاعفة لـ${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$مثلث حول ضلعه R2 *، ولكن يمكن أيضًا إنشاؤه كمجال مستطيل من خلال مضاعفة${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$المثلث المحيط بجانبه R2 *.${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$المثلث هو مضاعفة لـ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$المثلث حول ضلعه R3 *. *(يختفي هذا الضلع بالالتفاف حول نفسه)
يمكن تمديد العديد من مجموعات كوكسيتر في المستوى الزائدي من الحالات الإقليدية كسلسلة من الحلول الزائدية.
مجموعات كوكسيتر في الفضاء ثلاثي الأبعاد مع الرسوم التوضيحية. يتم ترقيم المرايا (وجوه المثلث) حسب الرأس المقابل: 0، ...، 3. يتم تلوين الفروع حسب ترتيب انعكاسها.${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$يملأ 1/48 من المكعب.${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$يملأ 1/24 من المكعب.${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$يملأ 1/12 من المكعب.	مجموعات كوكسيتر في الكرة ذات المخططات المتكافئة. تم تحديد مجال أساسي واحد باللون الأصفر. يتم تلوين رؤوس المجال (وفروع الرسم البياني) حسب ترتيب انعكاسها.

عند إنشاء متعددات الوجوه المنتظمة، تُعلَّم العقد بأنها نشطة بحلقة إذا كانت نقطة مولدة خارج المرآة، مما يُنشئ حافة جديدة بين نقطة المولد وصورتها في المرآة. تمثل العقدة غير المُحاطة بحلقة مرآة غير نشطة لا تُولِّد أي نقاط جديدة. تُسمى الحلقة التي لا تحتوي على عقدة " ثقبًا" .

يمكن استخدام مرآتين متعامدتين لتكوين مربع، كما هو موضح هنا بنقطة مولد حمراء وثلاث نسخ افتراضية عبر المرآتين. يجب أن تكون نقطة المولد بعيدة عن كلتا المرآتين في هذه الحالة المتعامدة لتكوين شكل داخلي. يفترض ترميز الحلقة أن الحلقات النشطة لها نقاط مولد على مسافة متساوية من جميع المرايا، بينما يمكن أن يمثل المستطيل أيضًا حلاً غير منتظم.

يمكن لمخططات كوكسيتر-دينكين أن تُحصي صراحةً جميع فئات المضلعات المنتظمة والتبليطات المنتظمة تقريبًا . يُمكن تمثيل كل مضلع منتظم ذي تناظر انعكاسي بحت (جميعها تقريبًا، باستثناء حالات خاصة قليلة، لها تناظر انعكاسي بحت) بواسطة مخطط كوكسيتر-دينكين مع تباديل العلامات . يُمكن توليد كل مضلع منتظم باستخدام هذه المرايا ونقطة مولدة واحدة: تُنشئ الصور المنعكسة نقاطًا جديدة كانعكاسات، ثم يُمكن تعريف حواف المضلع بين النقاط ونقطة الصورة المنعكسة. تتولد الأوجه من خلال الانعكاس المتكرر لحافة تلتف في النهاية حول المولد الأصلي؛ وبالمثل، يتم إنشاء الشكل النهائي، بالإضافة إلى أي أوجه ذات أبعاد أعلى، من خلال انعكاس الوجه لتطويق منطقة.

لتحديد الرأس المولد، تُعلَّم عقدة واحدة أو أكثر بحلقات، مما يعني أن الرأس لا يقع على المرآة (المرايا) التي تمثلها العقدة (العقد) المُحاطة بحلقة. (إذا عُلِّمت مرآتان أو أكثر، فإن الرأس يكون على مسافة متساوية منهما). تكون المرآة فعالة (تُنشئ انعكاسات) فقط بالنسبة للنقاط التي لا تقع عليها. يحتاج المخطط إلى عقدة فعالة واحدة على الأقل لتمثيل متعدد السطوح. يتطلب المخطط غير المتصل (المجموعات الفرعية المفصولة بفروع من الرتبة 2، أو المرايا المتعامدة) عقدة فعالة واحدة على الأقل في كل رسم بياني فرعي.

يمكن تمثيل جميع متعددات الوجوه المنتظمة ، التي يمثلها رمز شلافلي { p , q , r , ...} ، بمجالاتها الأساسية من خلال مجموعة من n مرايا مع مخطط كوكسيتر-دينكين ذي الصلة لخط من العقد والفروع التي تحمل العلامات p , q , r , ...، مع وجود حلقة حول العقدة الأولى.

تُقابل متعددات الوجوه المنتظمة ذات الحلقة الواحدة نقاط التوليد عند زوايا المُجسم البسيط للمجال الأساسي. وتُقابل حلقتان حواف المُجسم البسيط، ولكل منهما درجة حرية، حيث تكون نقطة المنتصف هي الحل المنتظم الوحيد لأطوال الحواف المتساوية. وبشكل عام، تقع نقاط التوليد ذات الحلقة k على (k-1) وجهًا من أوجه المُجسم البسيط، وإذا كانت جميع العقد مُحاطة بحلقات، فإن نقطة التوليد تقع داخل المُجسم البسيط.

تُمثَّل الحالة الخاصة للمضلعات المنتظمة ذات التناظر غير الانعكاسي بعلامة ثانوية حيث تُزال النقطة المركزية لعقدة محاطة بحلقة (وتُسمى ثقبًا ) . هذه الأشكال هي تناوبات لمضلعات ذات تناظر انعكاسي، مما يعني حذف رأس واحد من كل رأسين. سيكون للمضلع الناتج تناظر جزئي لمجموعة كوكسيتر الأصلية . يُسمى التناوب المبتور "القطع " .

• تمثل كل عقدة مرآة واحدة. وتسمى هذه المجموعة A1 _. إذا تم وضع حلقة حولها، فإنها تُنشئ قطعة مستقيمة عمودية على المرآة، ويتم تمثيلها بالرمز {}.
• تمثل عقدتان غير متصلتين مرآتين متعامدتين . إذا كانت كلتا العقدتين محاطتين بحلقة، فيمكن إنشاء مستطيل ، أو مربع إذا كانت النقطة على مسافة متساوية من كلتا المرآتين.
• يمكن لعقدتين متصلتين بفرع من الرتبة n أن تُشكلا مضلعًا ذا n ضلعًا إذا كانت النقطة على مرآة واحدة، ومضلعًا ذا 2n ضلعًا إذا كانت النقطة بعيدة عن المرآتين. وهذا يُشكل المجموعة I ₁ (n) .
• يمكن لمرآتين متوازيتين أن تمثلا مجموعة مضلعات لانهائية I ₁ (∞) ، وتسمى أيضًا Ĩ ₁ .
• تُشكّل ثلاث مرايا مُرتبة على شكل مثلث صورًا تُرى في المنظار الكاليديوسكوبي التقليدي ، ويمكن تمثيلها بثلاث نقاط متصلة على شكل مثلث. ستحتوي الأمثلة المتكررة على فروع مُسماة (3 3 3)، (2 4 4)، (2 3 6)، مع العلم أنه يُمكن رسم الفرعين الأخيرين كخط واحد (مع تجاهل الفرعين 2 ). سينتج عن ذلك تبليطات منتظمة .
• يمكن لثلاث مرايا أن تولد متعددات وجوه منتظمة ؛ وإدراج الأعداد النسبية يعطي مجموعة مثلثات شوارتز .
• يمكن لثلاث مرايا، إحداها عمودية على المرآتين الأخريين، أن تشكل موشورات منتظمة .

توجد سبعة هياكل عاكسة منتظمة ضمن مثلث عام، بناءً على سبعة مواضع مولدات طوبولوجية ضمن المجال الأساسي. كل مرآة فعالة تولد حافة، حيث يكون لمرآتين فعالتين مولدات على جوانب المجال، بينما يكون لمولدات ثلاث مرايا فعالة في الداخل. يمكن حل درجة حرية واحدة أو درجتين لإيجاد موضع فريد لأطوال حواف متساوية للمجسم متعدد السطوح أو التبليط الناتج.

مثال على 7 مولدات على تناظر ثماني الأوجه ، مثلث المجال الأساسي (4 3 2)، مع توليد الحذف الثامن كبديل

تُعلَّم المضلعات الثنائية للمضلعات المنتظمة أحيانًا بخط عمودي مائل بدلًا من العقد الحلقية، وخط مائل مثقوب بدلًا من العقد المثقوبة في المضلعات المتقطعة. على سبيل المثال، يُمثل مستطيلًا (كمرآتين متعامدتين فعالتين)، ويُمثل مضلعه الثنائي ، وهو المعين .

أمثلة على المجسمات متعددة الأوجه والتبليطات

على سبيل المثال، تحتوي مجموعة كوكسيتر _B3 على مخطط: . وهذا ما يسمى أيضًا بالتناظر الثماني السطوح .

يمكن إنشاء سبعة مجسمات متعددة السطوح محدبة منتظمة من مجموعة التناظر هذه، وثلاثة من تناظراتها الفرعية المتناوبة ، ولكل منها مخطط كوكسيتر-دينكين مميز. يمثل رمز ويثوف حالة خاصة من مخطط كوكسيتر للرسوم البيانية من الرتبة 3، حيث تُسمى جميع رتب الفروع الثلاث، بدلاً من حذف فروع الرتبة 2. يستطيع رمز ويثوف التعامل مع الشكل المقطوع ، ولكنه لا يستطيع التعامل مع التناوبات العامة التي لا تحتوي على حلقات حول جميع العقد.

متعددات السطوح ثمانية الأوجه المنتظمة v ت هـ
التناظر : [4،3]، (*432)							[4,3] + (432)	[1 + ,4,3] = [3,3] (*332)		[3 + ,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3 1,1 }	t{3,4} t{3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr{4,3} s 2 {3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h 2 {4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3 1,1 }
		=	=	=				أو​	أو​	=
ثنائيات متعددة السطوح منتظمة
V4 3	الإصدار 3.8 2	V(3.4) 2	الإصدار 4.6 2	الإصدار 3 4	الإصدار 3.4	الإصدار 4.6.8	الإصدار 3 4 .4	الإصدار 3	الإصدار 3.6 2	الإصدار 3 5

يمكن إنشاء نفس التركيبات على مجموعات كوكسيتر المنفصلة (المتعامدة) مثل الموشورات المنتظمة ، ويمكن رؤيتها بشكل أوضح على أنها تبليطات من ثنائيات السطوح ومجسمات السطوح على الكرة، مثل هذه العائلة [6]×[] أو [6,2]:

متعددات السطوح الكروية ثنائية السطوح سداسية منتظمة
التناظر : [6,2] ، (*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)
{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{6,2}	tr{6,2}	sr{6,2}	s{2,6}
الزي المزدوج إلى الزي الرسمي
V6 2	V12 2	V6 2	الإصدار 4.4.6	الإصدار 2 6	الإصدار 4.4.6	الإصدار 4.4.12	الإصدار 3.3.3.6	الإصدار 3.3.3.3

بالمقارنة، تُنتج عائلة [6,3] مجموعة متوازية من 7 تبليطات منتظمة للمستوى الإقليدي، وتبليطاتها الثنائية. وهناك أيضًا 3 تناوبات وبعض النسخ ذات التناظر النصفي.

تبليط سداسي/مثلث منتظم v ت هـ
التناظر : [6،3]، (*632)							[6,3] + (632)	[6,3 + ] (3*3)
{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}	s{3,6}
6 3	3.12 2	(3.6) 2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6	3.3.3.3.3.3
ثنائيات موحدة
V6 3	الإصدار 3.12 2	V(3.6) 2	V6 3	الإصدار 3 6	الإصدار 3.4.6.4	الإصدار 4.6.12	الإصدار 3 4 .6	الإصدار 3 6

في المستوى الزائدي [7,3]، تُنتج هذه العائلة مجموعة متوازية من التبليطات المنتظمة، وتبليطاتها الثنائية. يوجد تناوب واحد فقط ( تفرع غير منتظم ) لأن جميع رتب التفرعات فردية. يمكن رؤية العديد من العائلات الزائدية الأخرى للتبليطات المنتظمة في المستوى الزائدي .

تبليطات منتظمة سباعية/مثلثة v ت هـ
التناظر: [7,3]، (*732)							[7,3] + , (732)
{7,3}	t{7,3}	r{7,3}	t{3,7}	{3,7}	rr{7,3}	tr{7,3}	sr{7,3}
ثنائيات موحدة
V7 3	الإصدار 3.14.14	الإصدار 3.7.3.7	الإصدار 6.6.7	الإصدار 3 7	الإصدار 3.4.7.4	الإصدار 4.6.14	الإصدار 3.3.3.3.7

يتضمن أحد الاستخدامات تعريفًا موسعًا جدًا من استخدام مخطط دينكين المباشر، حيث تُعتبر المجموعات الأفينية مجموعات ممتدة ، والمجموعات الزائدية مجموعات ممتدة بشكل مفرط ، وعقدة ثالثة مجموعات بسيطة ممتدة جدًا . عادةً ما تُشار إلى هذه الامتدادات بأس 1 أو 2 أو 3، بالإضافة إلى رموز لعدد العقد الممتدة. يمكن تمديد هذه السلسلة الممتدة عكسيًا، عن طريق إزالة العقد بالتتابع من نفس الموضع في الرسم البياني، على الرغم من أن العملية تتوقف بعد إزالة العقدة المتفرعة. تُعد عائلة E8 _{الممتدة} المثال الأكثر شيوعًا، حيث تمتد عكسيًا من E3 _{وأماميًا} إلى _E11 .

يمكن لعملية التمديد أن تُعرّف سلسلة محدودة من رسوم كوكسيتر البيانية التي تتدرج من المحدودة إلى الأفينية إلى الزائدية إلى اللورنتزية. يحدد مُحدِّد مصفوفات كارتان مواضع تغير السلسلة من المحدودة (موجبة) إلى الأفينية (صفر) إلى الزائدية (سالبة)، وتنتهي كمجموعة لورنتزية تحتوي على مجموعة فرعية زائدية واحدة على الأقل. ^{[ 5 ]} _{تُشكّل مجموعات Hₙ} غير البلورية سلسلة ممتدة حيث يتم تمديد H₄ _كزمرة زائدية مضغوطة، ثم يتم تمديدها بشكل مفرط إلى مجموعة لورنتزية.

محددات مصفوفة شلافلي حسب الرتبة هي: ^{[ 6 ]}

• det( A ₁ ⁿ = [2 ^{n −1} ]) = 2 ⁿ (محدود لجميع قيم n .)
• det( A _n = [3 ^{n −1} ]) = n + 1 (محدود لجميع قيم n .)
• det( B _n = [4,3 ^{n −2} ]) = 2 (محدود لجميع n .)
• det( D _n = [3 ^{n −3,1,1} ]) = 4 (محدود لجميع n .)

محددات مصفوفة شلافلي في السلاسل الاستثنائية هي:

• det( E _n = [3 ^{n −3,2,1} ]) = 9 − n (محدود لـ E ₃ = A ₂ A ₁ ، E ₄ = A ₄ ​​، E ₅ = D ₅ ، E ₆ ، E ₇ و E ₈ ، خطي عند E ₉ (${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$), زائدية عند E ₁₀ .)
• det([3 ^{n −4,3,1} ]) = 2(8 − n ) (محدود لـ n = 4 إلى 7 ، خطي (${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$)، وهائلة عند n = 8. )
• det([3 ^{n −4,2,2} ]) = 3(7 − n ) (محدود لـ n = 4 إلى 6 ، خطي (${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$)، وهائلة عند n = 7. )
• det( F _n = [3,4,3 ^{n −3} ]) = 5 − n (محدود لـ F ₃ = B ₃ إلى F ₄ ، خطي عند F ₅ (${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$), زائدية عند F ₆ .)
• det( G _n = [6,3 ^{n −2} ]) = 3 − n (محدود لـ G ₂ ، خطي عند G ₃ (${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$), زائدية عند G ₄ .)

مسلسلات موسعة أصغر

محدود	${\displaystyle A_{2}}$	${\displaystyle C_{2}}$	${\displaystyle G_{2}}$	${\displaystyle A_{3}}$	${\displaystyle B_{3}}$	${\displaystyle C_{3}}$	${\displaystyle H_{4}}$
الرتبة ن	[3 [3] ,3 n − 3 ]	[4,4,3 n − 3 ]	G n =[6,3 n − 2 ]	[3 [4] ,3 n − 4 ]	[4,3 1, n − 3 ]	[4,3,4,3 n − 4 ]	H n =[5,3 n − 2 ]
2	[3] أ 2	[4] ج 2	[6] G 2		[2] أ 1 2	[4] ج 2	[5] H 2
3	[3 [3] ]${\displaystyle A_{2}^{+}={\tilde {A}}_{2}}$	[4,4]${\displaystyle C_{2}^{+}={\tilde {C}}_{2}}$	[6,3]${\displaystyle G_{2}^{+}={\tilde {G}}_{2}}$	[3,3]=A 3	[4,3] ب 3	[4,3] ج 3	[5,3] H 3
4	[3 [3] ,3]${\displaystyle A_{2}^{++}={\overline {P}}_{3}}$	[4,4,3]${\displaystyle C_{2}^{++}={\overline {R}}_{3}}$	[6,3,3]${\displaystyle G_{2}^{++}={\overline {V}}_{3}}$	[3 [4] ]${\displaystyle A_{3}^{+}={\tilde {A}}_{3}}$	[4,3 1,1 ]${\displaystyle B_{3}^{+}={\tilde {B}}_{3}}$	[4,3,4]${\displaystyle C_{3}^{+}={\tilde {C}}_{3}}$	[5,3,3] H 4
5	[3 [3] ,3,3] A 2 +++	[4,4,3,3] C 2 +++	[6,3,3,3] G 2 +++	[3 [4] ,3]${\displaystyle A_{3}^{++}={\overline {P}}_{4}}$	[4,3 2,1 ]${\displaystyle B_{3}^{++}={\overline {S}}_{4}}$	[4,3,4,3]${\displaystyle C_{3}^{++}={\overline {R}}_{4}}$	[5,3 3 ] H 5 =${\displaystyle {\overline {H}}_{4}}$
6				[3 [4] ,3,3] A 3 +++	[4,3 3,1 ] B 3 +++	[4,3,4,3,3] C 3 +++	[5,3 4 ] H 6
Det( M n )	3(3 − n )	2(3 − n )	3 − ن	4(4 − n )	2(4 − n )

مسلسل متوسط ​​ممتد

محدود	${\displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle B_{4}}$	${\displaystyle C_{4}}$	${\displaystyle D_{4}}$	${\displaystyle F_{4}}$	${\displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle B_{5}}$	${\displaystyle D_{5}}$
الرتبة ن	[3 [5] ,3 n − 5 ]	[4,3,3 n − 4,1 ]	[4,3,3,4,3 n − 5 ]	[3 n − 4,1,1,1 ]	[3,4,3 n − 3 ]	[3 [6] ,3 n − 6 ]	[4,3,3,3 n − 5,1 ]	[3 1,1 ,3,3 n − 5,1 ]
3		[4,3 −1,1 ] B 2 A 1	[4,3] ب 3	[3 −1,1,1,1 ] A 1 3	[3,4] ب 3		[4,3,3] C 3
4	[3 3 ] أ 4	[4,3,3] ب 4	[4,3,3] ج 4	[3 0,1,1,1 ] D 4	[3,4,3] F 4		[4,3,3,3 −1,1 ] B 3 A 1	[3 1,1 ,3,3 −1,1 ] A 3 A 1
5	[3 [5] ]${\displaystyle A_{4}^{+}={\tilde {A}}_{4}}$	[4,3,3 1,1 ]${\displaystyle B_{4}^{+}={\tilde {B}}_{4}}$	[4,3,3,4]${\displaystyle C_{4}^{+}={\tilde {C}}_{4}}$	[3 1,1,1,1 ]${\displaystyle D_{4}^{+}={\tilde {D}}_{4}}$	[3,4,3,3]${\displaystyle F_{4}^{+}={\tilde {F}}_{4}}$	[3 4 ] أ 5	[4,3,3,3,3] ب 5	[3 1,1 ,3,3] D 5
6	[3 [5] ,3]${\displaystyle A_{4}^{++}={\overline {P}}_{5}}$	[4,3,3 2,1 ]${\displaystyle B_{4}^{++}={\overline {S}}_{5}}$	[4,3,3,4,3]${\displaystyle C_{4}^{++}={\overline {R}}_{5}}$	[3 2,1,1,1 ]${\displaystyle D_{4}^{++}={\overline {Q}}_{5}}$	[3,4,3 3 ]${\displaystyle F_{4}^{++}={\overline {U}}_{5}}$	[3 [6] ]${\displaystyle A_{5}^{+}={\tilde {A}}_{5}}$	[4,3,3,3 1,1 ]${\displaystyle B_{5}^{+}={\tilde {B}}_{5}}$	[3 1,1 ,3,3 1,1 ]${\displaystyle D_{5}^{+}={\tilde {D}}_{5}}$
7	[3 [5] ,3,3] A 4 +++	[4,3,3 3,1 ] B 4 +++	[4,3,3,4,3,3] C 4 +++	[3 3,1,1,1 ] D 4 +++	[3,4,3 4 ] F 4 +++	[3 [6] ,3]${\displaystyle A_{5}^{++}={\overline {P}}_{6}}$	[4,3,3,3 2,1 ]${\displaystyle B_{5}^{++}={\overline {S}}_{6}}$	[3 1,1 ,3,3 2,1 ]${\displaystyle D_{5}^{++}={\overline {Q}}_{6}}$
8						[3 [6] ,3,3] A 5 +++	[4,3,3,3 3,1 ] B 5 +++	[3 1,1 ,3,3 3,1 ] D 5 +++
Det( M n )	5(5 − n )	2(5 − n )		4(5 − n )	5 − ن	6(6 − n )	4(6 − n )

بعض السلاسل الممتدة الأعلى

محدود	${\displaystyle A_{6}}$	${\displaystyle B_{6}}$	${\displaystyle D_{6}}$	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle A_{7}}$	${\displaystyle B_{7}}$	${\displaystyle D_{7}}$	${\displaystyle E_{7}}$	${\displaystyle E_{8}}$
الرتبة ن	[3 [7] ,3 n − 7 ]	[4,3 3 ,3 n − 6,1 ]	[3 1,1 ,3,3,3 n − 6,1 ]	[3 n − 5,2,2 ]	[3 [8] ,3 n − 8 ]	[4,3 4 ,3 n − 7,1 ]	[3 1,1 ,3,3,3,3 n − 7,1 ]	[3 n − 5,3,1 ]	E n =[3 n − 4,2,1 ]
3									[3 −1,2,1 ] E 3 =A 2 A 1
4				[3 −1,2,2 ] A 2 2				[3 −1,3,1 ] A 3 A 1	[3 0,2,1 ] E 4 =A 4
5		[4,3,3,3,3 −1,1 ] B 4 A 1	[3 1,1 ,3,3,3 −1,1 ] D 4 A 1	[3 0,2,2 ] A 5				[3 0,3,1 ] A 5	[3 1,2,1 ] E 5 =D 5
6	[3 5 ] أ 6	[4,3 4 ] ب 6	[3 1,1 ,3,3,3] D 6	[3 1,2,2 ] E 6		[4,3,3,3,3,3 −1,1 ] B 5 A 1	[3 1,1 ,3,3,3,3 −1,1 ] D 5 A 1	[3 1,3,1 ] D 6	[3 2,2,1 ] E 6 *
7	[3 [7] ]${\displaystyle A_{6}^{+}={\tilde {A}}_{6}}$	[4,3 3 ,3 1,1 ]${\displaystyle B_{6}^{+}={\tilde {B}}_{6}}$	[3 1,1 ,3,3,3 1,1 ]${\displaystyle D_{6}^{+}={\tilde {D}}_{6}}$	[3 2,2,2 ]${\displaystyle E_{6}^{+}={\tilde {E}}_{6}}$	[3 6 ] أ 7	[4,3 5 ] ب 7	[3 1,1 ,3,3,3,3 0,1 ] D 7	[3 2,3,1 ] E 7 *	[3 3,2,1 ] E 7 *
8	[3 [7] ,3]${\displaystyle A_{6}^{++}={\overline {P}}_{7}}$	[4,3 3 ,3 2,1 ]${\displaystyle B_{6}^{++}={\overline {S}}_{7}}$	[3 1,1 ,3,3,3 2,1 ]${\displaystyle D_{6}^{++}={\overline {Q}}_{7}}$	[3 3,2,2 ]${\displaystyle E_{6}^{++}={\overline {T}}_{7}}$	[3 [8] ]${\displaystyle A_{7}^{+}={\tilde {A}}_{7}}$*	[4,3 4 ,3 1,1 ]${\displaystyle B_{7}^{+}={\tilde {B}}_{7}}$*	[3 1,1 ,3,3,3,3 1,1 ]${\displaystyle D_{7}^{+}={\tilde {D}}_{7}}$*	[3 3,3,1 ]${\displaystyle E_{7}^{+}={\tilde {E}}_{7}}$*	[3 4,2,1 ] E 8 *
9	[3 [7] ,3,3] A 6 +++	[4,3 3 ,3 3,1 ] B 6 +++	[3 1,1 ,3,3,3 3,1 ] D 6 +++	[3 4,2,2 ] E 6 +++	[3 [8] ,3]${\displaystyle A_{7}^{++}={\overline {P}}_{8}}$*	[4,3 4 ,3 2,1 ]${\displaystyle B_{7}^{++}={\overline {S}}_{8}}$*	[3 1,1 ,3,3,3,3 2,1 ]${\displaystyle D_{7}^{++}={\overline {Q}}_{8}}$*	[3 4,3,1 ]${\displaystyle E_{7}^{++}={\overline {T}}_{8}}$*	[3 5,2,1 ] E 9 =${\displaystyle E_{8}^{+}={\tilde {E}}_{8}}$*
10					[3 [8] ,3,3] A 7 +++ *	[4,3 4 ,3 3,1 ] B 7 +++ *	[3 1,1 ,3,3,3,3 3,1 ] D 7 +++ *	[3 5,3,1 ] E 7 +++ *	[3 6,2,1 ] E 10 =${\displaystyle E_{8}^{++}={\overline {T}}_{9}}$*
11									[3 7,2,1 ] E 11 =E 8 +++ *
Det( M n )	7(7 − n )	2(7 − n )	4(7 − n )	3(7 − n )	8(8 − n )	2(8 − n )	4(8 − n )	2(8 − n )	9 − ن