متعدد الشعب الريماني

يترك${\displaystyle M}$ليكن متعدد الشعب أملسًا . لكل نقطة${\displaystyle p\in M}$، يوجد فضاء متجه مرتبط${\displaystyle T_{p}M}$يُطلق عليه اسم الفضاء المماسي لـ${\displaystyle M}$في${\displaystyle p}$المتجهات في${\displaystyle T_{p}M}$تُعتبر هذه المتجهات مماسية لـ${\displaystyle M}$في${\displaystyle p}$.

لكن،${\displaystyle T_{p}M}$لا يأتي مزودًا بضرب داخلي ، وهو "مقياس" يُعطي متجهات المماس مفهوم الطول والزاوية. يُعد هذا نقصًا هامًا لأن حساب التفاضل والتكامل يُعلّم أنه لحساب طول منحنى، يجب تحديد طول متجهات المماس له. يضع المقياس الريماني هذا "المقياس" على كل فضاء مماس.

مقياس ريماني${\displaystyle g}$على${\displaystyle M}$يُخصص لكل${\displaystyle p}$شكل ثنائي خطي متماثل موجب التحديد (أي حاصل ضرب داخلي)${\displaystyle g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$بطريقة سلسة (انظر القسم الخاص بالانتظام أدناه). ^{[ 3 ]} وهذا يُنتج معيارًا${\displaystyle \|\cdot \|_{p}:T_{p}M\to \mathbb {R} }$محدد بواسطة${\displaystyle \|v\|_{p}={\sqrt {g_{p}(v,v)}}}$مشعب سلس${\displaystyle M}$مزود بمقياس ريماني${\displaystyle g}$هي فضاء ريماني متعدد الشعب ، ويرمز لها بـ${\displaystyle (M,g)}$[ ^{3 ]} المقياس الريماني هو حالة خاصة من ^موتر القياس .

لا ينبغي الخلط بين المقياس الريماني ودالة المسافة للفضاء المتري ، والتي تسمى أيضًا بالمقياس.

التناظر المتساوي هو دالة بين مشعبات ريمان تحافظ على جميع بنيتها. إذا كان هناك تناظر متساوي بين مشعبين ريمانيين، فإنهما يُطلق عليهما اسم مشعبين متساويي القياس ، ويُعتبران مشعبًا واحدًا لأغراض الهندسة الريمانية.

على وجه التحديد، إذا${\displaystyle (M,g)}$و${\displaystyle (N,h)}$هما مشعبان ريمانيان، وتماثل تفاضلي${\displaystyle f:M\to N}$يُطلق عليه اسم التناظر المتساوي إذا${\displaystyle g=f^{\ast }h}$[ ^{6 ]} أي ^إذا

${\displaystyle g_{p}(u,v)=h_{f(p)}(df_{p}(u),df_{p}(v))}$

للجميع${\displaystyle p\in M}$و${\displaystyle u,v\in T_{p}M.}$على سبيل المثال، تعتبر عمليات الإزاحة والدوران عمليات قياس متساوية من الفضاء الإقليدي (سيتم تعريفه قريبًا) إلى نفسه.

يقول أحدهم إن الخريطة سلسة${\displaystyle f:M\to N,}$لا يُفترض أن يكون تماثلًا تفاضليًا، بل يكون تماثلًا محليًا إذا كان كل${\displaystyle p\in M}$حي مفتوح${\displaystyle U}$بحيث${\displaystyle f:U\to f(U)}$هو تماثل قياسي (وبالتالي تماثل تفاضلي). ^{[ 6 ]}

موجه${\displaystyle n}$مشعب ريماني ذو أبعاد${\displaystyle (M,g)}$يتميز بـ${\displaystyle n}$-استمارة${\displaystyle dV_{g}}$يُطلق عليه اسم شكل الحجم الريماني . ^{[ 7 ]} ويُحفظ شكل الحجم الريماني بواسطة التماثلات التي تحافظ على الاتجاه. ^{[ 8 ]} وينتج عن شكل الحجم مقياس على${\displaystyle M}$مما يسمح بدمج الوظائف القابلة للقياس. إذا${\displaystyle M}$مضغوطة ، حجم​${\displaystyle M}$يكون${\displaystyle \int _{M}dV_{g}}$[ ^{7 ]​}

يترك${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$تشير إلى الإحداثيات القياسية على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$المقياس الإقليدي (القانوني)${\displaystyle g^{\text{can}}}$يتم تحديده بواسطة ^{[ 9 ]}

${\displaystyle g^{\text{can}}\left(\sum _{i}a_{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\sum _{j}b_{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)=\sum _{i}a_{i}b_{i}}$

أو ما يعادل ذلك

${\displaystyle g^{\text{can}}=(dx^{1})^{2}+\cdots +(dx^{n})^{2}}$

أو ما يعادل ذلك بواسطة دوال إحداثياتها

${\displaystyle g_{ij}^{\text{can}}=\delta _{ij}}$أين${\displaystyle \delta _{ij}}$دلتا كرونيكر

والتي تشكل معًا المصفوفة

${\displaystyle (g_{ij}^{\text{can}})={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}.}$

المتشعب الريماني${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},g^{\text{can}})}$يُطلق عليه اسم الفضاء الإقليدي .

يترك${\displaystyle (M,g)}$ليكن متعدد الشعب الريماني وليكن${\displaystyle i:N\to M}$أن تكون فضاءً فرعياً مغموراً أو فضاءً فرعياً مضمناً من${\displaystyle M}$التراجع​${\displaystyle i^{*}g}$ل${\displaystyle g}$هو مقياس ريماني على${\displaystyle N}$، والتي تُسمى المقياس المستحث ، و${\displaystyle (N,i^{*}g)}$ويُقال إنها فضاء فرعي ريماني من${\displaystyle (M,g)}$[ ^{10 ]​}

في الحالة التي${\displaystyle N\subseteq M}$الخريطة${\displaystyle i:N\to M}$يُعطى بواسطة${\displaystyle i(x)=x}$والمقياس${\displaystyle i^{*}g}$إنها مجرد قيود${\displaystyle g}$إلى متجهات مماسية على طول${\displaystyle N}$بشكل عام، صيغة لـ${\displaystyle i^{*}g}$يكون

${\displaystyle i^{*}g_{p}(v,w)=g_{i(p)}{\big (}di_{p}(v),di_{p}(w){\big )},}$

أين${\displaystyle di_{p}(v)}$هو الدافع إلى الأمام${\displaystyle v}$بواسطة${\displaystyle i.}$

أمثلة:

• ال${\displaystyle n}$-جسم كروي

  ${\displaystyle S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:(x^{1})^{2}+\cdots +(x^{n+1})^{2}=1\}}$

هو فضاء فرعي مضمن أملس في الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$[ ^{11 ]} المقياس الريماني الذي ينتج عن ذلك ^على${\displaystyle S^{n}}$يُطلق عليه اسم المقياس الدائري أو المقياس القياسي .

• أصلح الأعداد الحقيقية${\displaystyle a,b,c}$. الإهليلجي

  ${\displaystyle \left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\right\}}$

هو فضاء فرعي مضمن أملس في الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

• رسم بياني لدالة سلسة${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$هو فضاء فرعي مضمن أملس من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$بمقياسها القياسي.
• لو${\displaystyle (M,g)}$الأمر ليس مجرد اتصال، بل هناك خريطة تغطية${\displaystyle {\widetilde {M}}\to M}$، أين${\displaystyle {\widetilde {M}}}$هو الغطاء العالمي لـ${\displaystyle M}$هذا غمر (لأنه تحويل تفاضلي محليًا)، لذا${\displaystyle {\widetilde {M}}}$يرث تلقائيًا مقياسًا ريمانيًا. وبنفس المبدأ، يرث أي فضاء تغطية أملس لمتشعب ريماني مقياسًا ريمانيًا.

من ناحية أخرى، إذا${\displaystyle N}$يوجد بالفعل مقياس ريماني${\displaystyle {\tilde {g}}}$ثم الغمر (أو التضمين)${\displaystyle i:N\to M}$يُطلق عليه اسم الغمر المتساوي القياس (أو التضمين المتساوي القياس ) إذا${\displaystyle {\tilde {g}}=i^{*}g}$وبالتالي فإن عمليات الغمر المتساوي القياس والتضمينات المتساوية القياس هي فضاءات فرعية ريمانية. ^{[ 10 ]}

يحمل السطح الحلقي بطبيعته مقياسًا إقليديًا، يُحسب بتحديد الأضلاع المتقابلة لمربع (يسار). لا يمكن تضمين الفضاء الريماني الناتج، المسمى بالسطح الحلقي المسطح ، بشكل متساوي القياس في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد (يمين)، لأنه يتطلب ثني وتمديد الصفيحة. وبالتالي، فإن الهندسة الجوهرية للسطح الحلقي المسطح تختلف عن هندسة السطح الحلقي المُضمّن.

يترك${\displaystyle (M,g)}$و${\displaystyle (N,h)}$لنفترض وجود مشعبين ريمانيين، ولنعتبر مشعب الضرب${\displaystyle M\times N}$المقاييس الريمانية${\displaystyle g}$و${\displaystyle h}$بطبيعة الحال، يتم وضع مقياس ريماني${\displaystyle {\widetilde {g}}}$على${\displaystyle M\times N,}$والتي يمكن وصفها بعدة طرق.

• بالنظر إلى التحلل${\displaystyle T_{(p,q)}(M\times N)\cong T_{p}M\oplus T_{q}N,}$يمكن للمرء أن يُعرّف

  ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{p,q}((u_{1},u_{2}),(v_{1},v_{2}))=g_{p}(u_{1},v_{1})+h_{q}(u_{2},v_{2}).}$^{[ 12 ]}

• لو${\displaystyle (U,x)}$هو مخطط إحداثيات سلس على${\displaystyle M}$و${\displaystyle (V,y)}$هو مخطط إحداثيات سلس على${\displaystyle N}$، ثم${\displaystyle (U\times V,(x,y))}$هو مخطط إحداثيات سلس على${\displaystyle M\times N.}$يترك${\displaystyle g_{U}}$أن يكون تمثيلاً لـ${\displaystyle g}$في الرسم البياني${\displaystyle (U,x)}$ودع${\displaystyle h_{V}}$أن يكون تمثيلاً لـ${\displaystyle h}$في الرسم البياني${\displaystyle (V,y)}$تمثيل${\displaystyle {\widetilde {g}}}$في الإحداثيات${\displaystyle (U\times V,(x,y))}$يكون

  ${\displaystyle {\widetilde {g}}=\sum _{ij}{\widetilde {g}}_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}{\text{ where }}({\widetilde {g}}_{ij})={\begin{pmatrix}g_{U}&0\\0&h_{V}\end{pmatrix}}.}$^{[ 12 ]}

على سبيل المثال، انظر إلى${\displaystyle n}$-حلقة${\displaystyle T^{n}=S^{1}\times \cdots \times S^{1}}$إذا كانت كل نسخة من${\displaystyle S^{1}}$إذا أعطيت المقياس الدائري، فإن متعدد الشعب الريماني الناتج${\displaystyle T^{n}}$يُطلق عليه اسم الطارة المسطحة . كمثال آخر، حاصل الضرب الريماني${\displaystyle \mathbb {R} \times \cdots \times \mathbb {R} }$، حيث كل نسخة من${\displaystyle \mathbb {R} }$له المقياس الإقليدي، وهو متساوي القياس مع${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$باستخدام المقياس الإقليدي.

يترك${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{k}}$مقاييس ريمان على${\displaystyle M.}$لو${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$هل توجد أي دوال سلسة موجبة على${\displaystyle M}$، ثم${\displaystyle f_{1}g_{1}+\ldots +f_{k}g_{k}}$وهو مقياس ريماني آخر على${\displaystyle M.}$

قطر الفضاء المتري${\displaystyle (M,d_{g})}$يكون

${\displaystyle \operatorname {diam} (M,d_{g})=\sup\{d_{g}(p,q):p,q\in M\}.}$

تُظهر نظرية هوبف -رينو أنه إذا${\displaystyle (M,d_{g})}$إذا كان الجسم كاملاً وله قطر محدود، فهو جسم مضغوط. وعلى العكس من ذلك، إذا${\displaystyle (M,d_{g})}$إذا كانت مضغوطة، فإن الدالة${\displaystyle d_{g}:M\times M\to \mathbb {R} }$لها قيمة عظمى، لأنها دالة متصلة على فضاء متري متراص. وهذا يثبت ما يلي.

لو${\displaystyle (M,d_{g})}$إذا كان الجسم كاملاً، فإنه يكون مضغوطاً إذا وفقط إذا كان قطره محدوداً.

لا ينطبق هذا الأمر بدون افتراض الاكتمال؛ وللحصول على أمثلة مضادة، يمكن النظر في أي مجموعة جزئية مفتوحة ومحدودة من فضاء إقليدي ذي مقياس ريماني قياسي. كما أنه ليس صحيحًا أن أي فضاء متري كامل ذي قطر محدود يجب أن يكون متراصًا؛ فالمهم هو أن يكون الفضاء المتري مشتقًا من مشعب ريماني.

الاتصال (الخطي) هو بنية إضافية على مشعب ريماني تُحدد تفاضل حقل متجه بالنسبة إلى حقل متجه آخر. تحتوي الاتصالات على بيانات هندسية، ومشعبان ريمانيان ذوا اتصالات مختلفة لهما هندسة مختلفة.

يترك${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$يرمز إلى فضاء حقول المتجهات على${\displaystyle M}$. اتصال (أفيني)

${\displaystyle \nabla$ :{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)}

على${\displaystyle M}$هي خريطة ثنائية الخطية ${\displaystyle (X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y}$بحيث

1. لكل وظيفة${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$،${\displaystyle \nabla _{f_{1}X_{1}+f_{2}X_{2}}Y=f_{1}\,\nabla _{X_{1}}Y+f_{2}\,\nabla _{X_{2}}Y,}$
2. قاعدة الضرب${\displaystyle \nabla _{X}fY=X(f)Y+f\,\nabla _{X}Y}$[ ^{16 ]​}

التعبير${\displaystyle \nabla _{X}Y}$يُطلق عليه اسم المشتق المتغير لـ${\displaystyle Y}$بالنسبة إلى${\displaystyle X}$.

للمتشعبات الريمانية ذات الاتصالات المختلفة هندسة مختلفة. ولحسن الحظ، يوجد اتصال طبيعي مرتبط بالمتشعب الريماني يُسمى اتصال ليفي-تشيفيتا .

اتصال${\displaystyle \nabla }$يقال إنه يحافظ على المقياس إذا

${\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$

اتصال${\displaystyle \nabla }$يكون خالياً من الالتواء إذا

${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],}$

أين${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$هو قوس الكذب .

اتصال ليفي -تشيفيتا هو اتصال خالٍ من الالتواء يحافظ على المقياس. بمجرد تحديد مقياس ريماني، يوجد اتصال ليفي-تشيفيتا فريد. ^{[ 17 ]} تجدر الإشارة إلى أن تعريف الحفاظ على المقياس يستخدم انتظام${\displaystyle g}$.

لو${\displaystyle \gamma$ يمثل المنحنى [0,1]\to M} منحنى أملسًا، وحقلًا متجهيًا أملسًا على طول${\displaystyle \gamma }$هي خريطة سلسة${\displaystyle X:[0,1]\to TM}$بحيث${\displaystyle X(t)\in T_{\gamma (t)}M}$للجميع${\displaystyle t\in [0,1]}$المجموعة${\displaystyle {\mathfrak {X}}(\gamma )}$من حقول المتجهات السلسة على طول${\displaystyle \gamma }$هو فضاء متجهي تحت عملية جمع المتجهات النقطية والضرب القياسي . ^{[ 18 ]} يمكن أيضًا ضرب حقل متجهي أملس نقطيًا على طول${\displaystyle \gamma }$بواسطة دالة سلسة${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$:

${\displaystyle (fX)(t)=f(t)X(t)}$ل${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(\gamma ).}$

يترك${\displaystyle X}$ليكن حقل متجه أملس على طول${\displaystyle \gamma }$. لو${\displaystyle {\tilde {X}}}$هو حقل متجهي سلس في جوار صورة${\displaystyle \gamma }$بحيث${\displaystyle X(t)={\tilde {X}}_{\gamma (t)}}$، ثم${\displaystyle {\tilde {X}}}$يُطلق عليه اسم امتداد لـ${\displaystyle X}$.

بافتراض وجود اتصال ثابت${\displaystyle \nabla }$على${\displaystyle M}$ومنحنى أملس${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to M} , يوجد عامل فريد${\displaystyle D_{t}:{\mathfrak {X}}(\gamma )\to {\mathfrak {X}}(\gamma )}$، وتسمى المشتقة المتغيرة على طول${\displaystyle \gamma }$، بحيث: ^{[ 19 ]}

1. ${\displaystyle D_{t}(aX+bY)=a\,D_{t}X+b\,D_{t}Y,}$
2. ${\displaystyle D_{t}(fX)=f'X+f\,D_{t}X,}$
3. لو${\displaystyle {\tilde {X}}}$هو امتداد لـ${\displaystyle X}$، ثم${\displaystyle D_{t}X(t)=\nabla _{\gamma '(t)}{\tilde {X}}}$.

في الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(يسارًا)، تكون الخطوط الجيوديسية القصوى خطوطًا مستقيمة. في الكرة المستديرة${\displaystyle S^{n}}$(على اليمين)، الخطوط الجيوديسية القصوى هي دوائر عظمى .

الخطوط الجيوديسية هي منحنيات لا تمتلك تسارعًا ذاتيًا. أو بعبارة أخرى، هي منحنيات تسلك أقصر مسار محليًا بين نقطتين. وهي تعميم للخطوط المستقيمة في الفضاء الإقليدي لتشمل أي فضاء ريماني. فلو سارت نملة تعيش في فضاء ريماني في خط مستقيم دون بذل أي جهد للتسارع أو الانعطاف، لرسمت خطًا جيوديسيًا.

إصلاح الاتصال${\displaystyle \nabla }$على${\displaystyle M}$. يترك${\displaystyle \gamma$ لتكن {0,1} منحنى أملسًا. تسارع${\displaystyle \gamma }$هو حقل متجه${\displaystyle D_{t}\gamma '}$على امتداد${\displaystyle \gamma }$. لو${\displaystyle D_{t}\gamma '=0}$للجميع${\displaystyle t}$،${\displaystyle \gamma }$يُطلق عليه اسم المسار الجيوديسي . ^{[ 20 ]}

لكل${\displaystyle p\in M}$و${\displaystyle v\in T_{p}M}$يوجد مسار جيوديسي${\displaystyle \gamma :I\to M}$معرفة على فترة مفتوحة${\displaystyle I}$يحتوي على 0 بحيث${\displaystyle \gamma (0)=p}$و${\displaystyle \gamma '(0)=v}$تتفق أي خطين جيوديسيين من هذا النوع على نطاقهما المشترك. ^{[ 21 ]} بأخذ الاتحاد على جميع الفترات المفتوحة${\displaystyle I}$يحتوي على 0 حيث يوجد خط جيوديسي يحقق${\displaystyle \gamma (0)=p}$و${\displaystyle \gamma '(0)=v}$إذا وُجد، نحصل على مسار جيوديسي يُسمى المسار الجيوديسي الأقصى، والذي يُمثل كل مسار جيوديسي فيه ما يلي:${\displaystyle \gamma (0)=p}$و${\displaystyle \gamma '(0)=v}$هو قيد. ^{[ 22 ]}

كل منحنى${\displaystyle \gamma$ المنحنى الذي له أقصر طول بين جميع المنحنيات المسموح بها والتي لها نفس نقاط النهاية مثل : [0,1]\to M ${\displaystyle \gamma }$هو مسار جيوديسي (في إعادة تحديد المعلمات بسرعة الوحدة). ^{[ 23 ]}

المتشعب الريماني${\displaystyle M}$تكون المجموعة ذات اتصال ليفي-تشيفيتا كاملة جيوديسيًا إذا كان نطاق كل خط جيوديسي أقصى هو${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$[ ^{25 ]} الطائرة^​${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$مكتملة جيوديسياً. من ناحية أخرى، المستوى المثقوب${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{(0,0)\}}$مع تقييد المقياس الريماني من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$لا يُعتبر المسار الجيوديسي كاملاً من الناحية الجيوديسية، حيث أن المسار الجيوديسي الأقصى ذو الشروط الابتدائية${\displaystyle p=(1,1)}$،${\displaystyle v=(1,1)}$لا يملك نطاقًا${\displaystyle \mathbb {R} }$.

تُحدد نظرية هوبف -رينو خصائص المشعبات الكاملة جيوديسيًا.

نظرية: ليكن${\displaystyle (M,g)}$ليكن متعدد شعب ريماني متصل. ما يلي متكافئ: ^{[ 26 ]}

• الفضاء المتري${\displaystyle (M,d_{g})}$مكتمل ( كل${\displaystyle d_{g}}$- تتقارب متتالية كوشي )،
• جميع المجموعات الفرعية المغلقة والمحدودة من${\displaystyle M}$صغيرة الحجم،
• ${\displaystyle M}$مكتملة جيوديسياً.

في الفضاء الإقليدي، تُعرَّف جميع الفضاءات المماسية ببعضها البعض عبر الإزاحة، مما يُسهِّل نقل المتجهات من فضاء مماس إلى آخر. يُعدّ النقل المتوازي طريقةً لنقل المتجهات من فضاء مماس إلى آخر على طول منحنى في فضاء ريماني عام. وبالنظر إلى اتصال ثابت، توجد طريقة فريدة لإجراء النقل المتوازي. ^{[ 27 ]}

على وجه التحديد، يُطلق عليه اسم حقل متجه سلس${\displaystyle V}$على طول منحنى سلس${\displaystyle \gamma }$بالتوازي مع${\displaystyle \gamma }$لو${\displaystyle D_{t}V=0}$[ ^{22 ] تثبيت} منحنى${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to M} مع${\displaystyle \gamma (0)=p}$و${\displaystyle \gamma (1)=q}$. لنقل متجه بالتوازي${\displaystyle v\in T_{p}M}$إلى متجه في${\displaystyle T_{q}M}$على امتداد${\displaystyle \gamma }$، أولاً قم بالتمديد${\displaystyle v}$إلى حقل متجه موازٍ لـ${\displaystyle \gamma }$ثم خذ قيمة حقل المتجهات هذا عند${\displaystyle q}$.

تُظهر الصور أدناه النقل المتوازي الناتج عن اتصال ليفي-تشيفيتا المرتبط بمقياسين ريمانيين مختلفين على المستوى المثقوب${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0,0\}}$المنحنى الذي يتم على طوله النقل الموازي هو دائرة الوحدة. في الإحداثيات القطبية ، يكون المقياس على اليسار هو المقياس الإقليدي القياسي.${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}}$بينما المقياس الموجود على اليمين هو${\displaystyle dr^{2}+d\theta ^{2}}$. هذا المقياس الثاني له نقطة تفرد عند الأصل، لذلك فهو لا يمتد إلى ما بعد الثقب، لكن المقياس الأول يمتد إلى المستوى بأكمله.

عمليات نقل متوازية على المستوى المثقوب تحت وصلات ليفي-تشيفيتا

يتم تحديد هذا النقل بواسطة المقياس${\displaystyle dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$.

يتم تحديد هذا النقل بواسطة المقياس${\displaystyle dr^{2}+d\theta ^{2}}$.

تنبيه: هذا نقل متوازٍ على المستوى المثقوب على طول دائرة الوحدة، وليس نقلًا متوازٍ على دائرة الوحدة نفسها. في الواقع، في الصورة الأولى، تقع المتجهات خارج الفضاء المماسي لدائرة الوحدة.

يقيس موتر انحناء ريمان بدقة مدى عدم كون متجهات النقل المتوازية حول مستطيل صغير دالة تطابق. ^{[ 28 ]} يساوي موتر انحناء ريمان صفرًا عند كل نقطة إذا وفقط إذا كان الفضاء متعدد الشعب متساوي القياس محليًا مع الفضاء الإقليدي. ^{[ 29 ]}

إصلاح الاتصال${\displaystyle \nabla }$على${\displaystyle M}$موتر انحناء ريمان هو الخريطة${\displaystyle R:{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)}$محدد بواسطة

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$

أين${\displaystyle [X,Y]}$هو قوس لي لحقول المتجهات . موتر انحناء ريمان هو${\displaystyle (1,3)}$- حقل الموتر. ^{[ 30 ]}

إصلاح الاتصال${\displaystyle \nabla }$على${\displaystyle M}$موتر انحناء ريتشي هو

${\displaystyle Ric(X,Y)=\operatorname {tr} (Z\mapsto R(Z,X)Y)}$

أين${\displaystyle \operatorname {tr} }$هو الأثر. موتر انحناء ريتشي هو حقل موتر ثنائي متغاير. ^{[ 31 ]}

ليكن G زمرة لي ، مثل زمرة الدوران في الفضاء ثلاثي الأبعاد . باستخدام بنية الزمرة، يمكن نقل أي جداء داخلي على الفضاء المماسي عند نقطة التطابق (أو أي فضاء مماسي آخر محدد) إلى جميع الفضاءات المماسية الأخرى لتعريف مقياس ريماني. رسميًا، إذا كان لدينا جداء داخلي g على الفضاء المماسي عند نقطة التطابق، فإن الجداء الداخلي على الفضاء المماسي عند أي نقطة p يُعرَّف كما يلي _:

${\displaystyle g_{p}(u,v)=g_{e}(dL_{p^{-1}}(u),dL_{p^{-1}}(v)),}$

حيث أن L _x ، لأي قيمة x ، هي دالة الضرب اليسرى G → G التي ترسل النقطة y إلى xy . المقاييس الريمانية التي تُبنى بهذه الطريقة ثابتة من اليسار ؛ ويمكن بناء مقاييس ريمانية ثابتة من اليمين بنفس الطريقة باستخدام دالة الضرب اليمنى بدلاً من ذلك.

يمكن حساب اتصال ليفي-تشيفيتا وانحناء المقياس الريماني العام الثابت من اليسار بشكل صريح بدلالة g _e ، والتمثيل المرافق لـ G ، وجبر لي المرتبط بـ G. ^{[ 36} ] تتبسط هذه الصيغ بشكل كبير في الحالة الخاصة للمقياس الريماني ثنائي الثبات (أي، ثابت من اليسار واليمين في آن واحد). ^{[ 37 ]} جميع المقاييس الثابتة من اليسار لها انحناء قياسي ثابت ^.

تُعدّ المقاييس اليسارية والثنائية الثابتة على زمر لي مصدرًا هامًا لأمثلة على مشعبات ريمانية. تُعتبر كرات بيرغر ، المُنشأة كمقاييس يسارية ثابتة على الزمرة الوحدوية الخاصة SU(2)، من أبسط الأمثلة على ظاهرة الانهيار ، حيث يمكن لمشعب ريماني بسيط الاتصال أن يمتلك حجمًا صغيرًا دون انحناء كبير. ^{[ 38 ]} كما تُقدّم مثالًا على مقياس ريماني ذي انحناء قياسي ثابت ولكنه ليس مقياس أينشتاين ، أو حتى مقياس ريتشي متوازٍ. ^{[ 39 ]} يمكن إعطاء الفضاء الزائدي بنية زمرة لي يكون المقياس بالنسبة لها يساريًا ثابتًا. ^{[ 40 ] [ 41 ]} أي مقياس ريماني ثنائي الثبات على زمرة لي له انحناء قطاعي غير سالب، مما يعطي مجموعة متنوعة من هذه المقاييس: يمكن إعطاء زمرة لي مقياس ريماني ثنائي الثبات إذا وفقط إذا كان ناتج ضرب زمرة لي مضغوطة مع زمرة لي أبيلية . ^{[ 42 ]}

يُقال عن مشعب ريماني ( M , g ) أنه متجانس إذا كان لكل زوج من النقاط x و y في M ، يوجد تماثل f للمشعب الريماني يُرسل x إلى y . ويمكن إعادة صياغة ذلك بلغة تأثيرات الزمر على أنه شرط أن يكون التأثير الطبيعي لزمرة التماثل متعديًا. كل مشعب ريماني متجانس كامل جيوديسيًا وله انحناء قياسي ثابت. ^{[ 43 ]}

حتى التماثل القياسي، تنشأ جميع المشعبات الريمانية المتجانسة من خلال البناء التالي. بفرض وجود زمرة لي G ذات زمرة جزئية متراصة K لا تحتوي على أي زمرة جزئية طبيعية غير تافهة من G ، نثبت أي فضاء جزئي مكمل W من جبر لي K داخل جبر لي G. إذا كان هذا الفضاء الجزئي ثابتًا تحت التطبيق الخطي ad _G ( k ): W → W لأي عنصر k من K ، فإن المقاييس الريمانية الثابتة تحت تأثير G على فضاء المشاركة G / K تكون متناظرة تناظرًا أحاديًا مع تلك الضربات الداخلية على W الثابتة تحت تأثير ad _G ( k ): W → W لكل عنصر k من K. ^{[ 44} ] كل مقياس ريماني من هذا القبيل متجانس، مع اعتبار G بشكل طبيعي زمرة جزئية من زمرة التماثل القياسي الكاملة ^.

يُعدّ المثال المذكور أعلاه لزمر لي ذات المقاييس الريمانية الثابتة من اليسار حالةً خاصةً جدًا من هذا البناء، وتحديدًا عندما تكون K هي الزمرة الفرعية التافهة التي تحتوي على عنصر الوحدة فقط. يمكن تعميم حسابات اتصال ليفي-تشيفيتا والانحناء المشار إليه فيه ليشمل هذا السياق، حيث تُصاغ الحسابات الآن بدلالة الجداء الداخلي على W ، وجبر لي لـ G ، والتحليل المباشر لجبر لي لـ G إلى جبر لي لـ K و W. ^{[ 44} ] يُختزل هذا دراسة انحناء المشعبات الريمانية المتجانسة إلى حد كبير إلى مسائل جبرية. هذا الاختزال، إلى جانب مرونة البناء المذكور أعلاه، ^يجعل فئة المشعبات الريمانية المتجانسة مفيدةً جدًا في بناء الأمثلة.

يُقال إن مشعب ريماني متصل ( M , g ) متناظر إذا كان لكل نقطة p من M يوجد قياس متساوي القياس للمشعب مع اعتبار p نقطة ثابتة ، ويكون نفي التفاضل عند p هو دالة التطابق . كل فضاء ريماني متناظر متجانس، وبالتالي فهو كامل جيوديسيًا وله انحناء قياسي ثابت. مع ذلك، تتمتع الفضاءات الريمانية المتناظرة أيضًا بخاصية انحناء أقوى بكثير لا تمتلكها معظم المشعبات الريمانية المتجانسة، وهي أن موتر انحناء ريمان وانحناء ريتشي متوازيان . تُسمى المشعبات الريمانية التي تتمتع بهذه الخاصية، والتي يمكن صياغتها بشكل عام على أنها "موتر انحناء ريمان ثابت" (لا ينبغي الخلط بينه وبين الانحناء الثابت )، متناظرة محليًا . هذه الخاصية تكاد تميز الفضاءات المتناظرة. أثبت إيلي كارتان في عشرينيات القرن العشرين أن مشعب ريماني متناظر محليًا، وهو كامل جيوديسيًا ومتصل ببساطة، يجب أن يكون متناظرًا في الواقع. ^{[ 45 ]}

تتميز العديد من الأمثلة الأساسية للمتشعبات الريمانية بالتناظر. ومن أبسطها الكرة والفضاءات الإسقاطية الحقيقية بمقاييسها القياسية، بالإضافة إلى الفضاء الزائدي. يُعد كل من الفضاء الإسقاطي المركب، والفضاء الإسقاطي الرباعي ، ومستوى كايلي نظائر للفضاء الإسقاطي الحقيقي، وهي متناظرة أيضًا، وكذلك الفضاء الزائدي المركب ، والفضاء الزائدي الرباعي، وفضاء كايلي الزائدي، وهي نظائر للفضاء الزائدي. كما تحمل المتشعبات الغراسمانية مقاييس ريمانية طبيعية، مما يجعلها فضاءات متناظرة. ومن بين زمر لي ذات المقاييس الريمانية الثابتة من اليسار، فإن تلك الثابتة ثنائيًا متناظرة. ^{[ 45 ]}

استنادًا إلى صياغتها الجبرية كأنواع خاصة من الفضاءات المتجانسة، وضع كارتان تصنيفًا واضحًا للفضاءات المتناظرة غير القابلة للاختزال ، مشيرًا إلى تلك التي لا يمكن تحليلها محليًا باسم فضاءات الضرب . كل فضاء من هذا النوع هو مثال على مشعب أينشتاين ؛ ومن بينها، المشعبات أحادية البعد فقط هي التي تتميز بانحناء قياسي صفري. تكتسب هذه الفضاءات أهمية من منظور الهولوونوميا الريمانية . وكما اكتشف مارسيل بيرغر في خمسينيات القرن الماضي ، فإن أي مشعب ريماني بسيط الاتصال وغير قابل للاختزال هو إما فضاء متناظر أو له هولونوميا ريمانية تنتمي إلى قائمة تضم سبعة احتمالات فقط. ستة من الاستثناءات السبعة للفضاءات المتناظرة في تصنيف بيرغر تندرج ضمن مجالات هندسة كاهلر ، وهندسة الكواترنيون-كاهلر ، وهندسة G2 ، وهندسة سبين(7) ، _حيث يدرس كل منها مشعبات ريمانية مزودة ببنى وتناظرات إضافية معينة. الاستثناء السابع هو دراسة مشعبات ريمان "العامة" التي لا تتمتع بتناظر معين، كما يتضح من خلال مجموعة الهولوونومي القصوى الممكنة. ^{[ 45 ]}

تُعرَّف المقاييس الريمانية بطريقة مشابهة للحالة ذات الأبعاد المحدودة. ومع ذلك، ثمة فرق بين نوعين من المقاييس الريمانية:

• مقياس ريماني ضعيف على${\displaystyle M}$هي دالة سلسة${\displaystyle g:TM\times TM\to \mathbb {R} ,}$بحيث يكون لأي${\displaystyle x\in M}$التقييد${\displaystyle g_{x}:T_{x}M\times T_{x}M\to \mathbb {R} }$هو منتج داخلي على${\displaystyle T_{x}M.}$
• مقياس ريماني قوي على${\displaystyle M}$هي مقياس ريماني ضعيف بحيث${\displaystyle g_{x}}$يُحدث الطوبولوجيا على${\displaystyle T_{x}M}$. لو${\displaystyle g}$إذا كان مقياسًا ريمانيًا قويًا،${\displaystyle M}$يجب أن يكون متعدد الشعب من نوع هيلبرت.

• لو${\displaystyle (H,\langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle )}$إذا كان فضاء هيلبرت ، فإنه لأي${\displaystyle x\in H,}$يمكن للمرء أن يحدد${\displaystyle H}$مع${\displaystyle T_{x}H.}$المقياس${\displaystyle g_{x}(u,v)=\langle u,v\rangle }$للجميع${\displaystyle x,u,v\in H}$هو مقياس ريماني قوي.
• يترك${\displaystyle (M,g)}$ليكن متعدد شعب ريماني مضغوط، ولنرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$زمرة التماثل التفاضلي الخاصة بها. هذه الأخيرة عبارة عن مشعب أملس ( انظر هنا ) وهي في الواقع زمرة لي . حزمة المماس الخاصة بها عند نقطة التطابق هي مجموعة حقول المتجهات الملساء على${\displaystyle M.}$يترك${\displaystyle \mu }$كن شكلاً حجمياً على${\displaystyle M.}$ال${\displaystyle L^{2}}$مقياس ريماني ضعيف على${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$، المشار إليه${\displaystyle G}$يُعرَّف على النحو التالي.${\displaystyle f\in \operatorname {Diff} (M),}$${\displaystyle u,v\in T_{f}\operatorname {Diff} (M).}$ثم لـ${\displaystyle x\in M,u(x)\in T_{f(x)}M}$،

  ${\displaystyle G_{f}(u,v)=\int _{M}g_{f(x)}(u(x),v(x))\,d\mu (x).}$

طول المنحنيات ودالة المسافة الريمانية${\displaystyle d_{g}:M\times M\to [0,\infty )}$يتم تعريفها بطريقة مشابهة للحالة ذات الأبعاد المحدودة. دالة المسافة${\displaystyle d_{g}}$المسافة الجيوديسية ، التي تُسمى المسافة الجيوديسية ، هي دائمًا شبه مترية (أي متري لا يفصل بين النقاط)، ولكنها قد لا تكون متري. ^{[ 46 ]} في حالة الأبعاد المحدودة، يعتمد برهان أن دالة المسافة الريمانية تفصل بين النقاط على وجود مجموعة مفتوحة شبه متراصة حول أي نقطة. أما في حالة الأبعاد اللانهائية، فإن المجموعات المفتوحة لا تكون شبه متراصة، وبالتالي يفشل البرهان.

• لو${\displaystyle g}$هو مقياس ريماني قوي على${\displaystyle M}$، ثم${\displaystyle d_{g}}$يفصل النقاط (وبالتالي فهو مقياس) ويستنتج الطوبولوجيا الأصلية.
• لو${\displaystyle g}$هو مقياس ريماني ضعيف،${\displaystyle d_{g}}$قد تفشل في فصل النقاط. في الواقع، قد تكون قيمتها صفرًا تمامًا. ^{[ 46 ]} على سبيل المثال، إذا${\displaystyle (M,g)}$إذا كانت متعددة شعب ريمانية مضغوطة، فإن${\displaystyle L^{2}}$مقياس ريماني ضعيف على${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$يؤدي إلى تلاشي المسافة الجيوديسية. ^{[ 47 ]}

في حالة المقاييس الريمانية القوية، لا يزال جزء واحد من هوبف-رينو ذي الأبعاد المحدودة قائماً.

نظرية : ليكن${\displaystyle (M,g)}$ليكن متعدد شعب ريماني قوي. عندئذٍ اكتمال المقياس (في المقياس${\displaystyle d_{g}}$) يعني اكتمال المسار الجيوديسي.

مع ذلك، قد لا يكون مشعب ريماني قوي كامل جيوديسيًا كاملًا متريًا، وقد يحتوي على مجموعات فرعية مغلقة ومحدودة غير متراصة. علاوة على ذلك، قد لا يكون مشعب ريماني قوي تكون جميع مجموعاته الفرعية المغلقة والمحدودة متراصة كاملًا جيوديسيًا.

لو${\displaystyle g}$إذا كان مقياس ريماني ضعيفًا، فإن أي مفهوم للاكتمال يستلزم الآخر بشكل عام.