نظرية النقطة الثابتة لبروير

ضع في اعتبارك الدالة

${\displaystyle f(x)=x+1}$

مع النطاق${\displaystyle [-1,1]}$مدى الدالة هو${\displaystyle [0,2]}$وبالتالي، فإن f ليس تشاكلاً داخلياً.

ضع في اعتبارك الدالة

${\displaystyle f(x)=x+1,}$

وهي دالة متصلة من${\displaystyle \mathbb {R} }$إلى نفسها. وبما أنها تحرك كل نقطة إلى اليمين، فلا يمكن أن يكون لها نقطة ثابتة. الفضاء${\displaystyle \mathbb {R} }$محدبة ومغلقة، ولكنها غير محدودة.

ضع في اعتبارك الدالة

${\displaystyle f(x)={\frac {x+1}{2}},}$

وهي دالة متصلة من الفترة المفتوحة${\displaystyle (-1,1)}$لنفسه. منذ تلك النقطة${\displaystyle x=1}$إذا لم تكن جزءًا من الفترة، فلا توجد نقطة في المجال بحيث${\displaystyle f(x)=x}$المجموعة${\displaystyle (-1,1)}$هي دالة محدبة ومحدودة، ولكنها ليست مغلقة. من ناحية أخرى، الدالة${\displaystyle f}$ لها نقطة ثابتة في الفترة المغلقة${\displaystyle [-1,1]}$، أي${\displaystyle x=1}$الفترة المغلقة${\displaystyle [-1,1]}$وهي مضغوطة، والفترة المفتوحة${\displaystyle (-1,1)}$ليس كذلك.

لا يُعدّ التحدب شرطًا أساسيًا لنظرية النقطة الثابتة لبروير. ولأنّ الخصائص المعنية (الاستمرارية، وكونها نقطة ثابتة) ثابتة تحت التحويلات المتماثلة ، فإنّ نظرية النقطة الثابتة لبروير تُكافئ الصيغ التي يُشترط فيها أن يكون المجال كرةً مغلقةً تساوي واحدًا.${\displaystyle D^{n}}$وللسبب نفسه ينطبق على كل مجموعة متماثلة شكليًا مع كرة مغلقة (وبالتالي مغلقة ومحدودة ومتصلة وبدون ثقوب وما إلى ذلك).

يوضح المثال التالي أن نظرية النقطة الثابتة لبروير لا تنطبق على المجالات التي تحتوي على ثقوب. لنفترض الدالة${\displaystyle f(x)=-x}$وهي دالة متصلة من دائرة الوحدة إلى نفسها. بما أن${\displaystyle -x\neq x}$ينطبق هذا على أي نقطة من دائرة الوحدة،${\displaystyle f}$ليس لها نقطة ثابتة. وينطبق المثال المماثل على${\displaystyle n}$الكرة ذات الأبعاد n (أو أي مجال متناظر لا يحتوي على نقطة الأصل). دائرة الوحدة مغلقة ومحدودة، لكنها تحتوي على ثقب (لذا فهي ليست محدبة). الدالة${\displaystyle f}$له نقطة ثابتة لقرص الوحدة، لأنه يأخذ الأصل إلى نفسه.

يمكن اشتقاق تعميم رسمي لنظرية النقطة الثابتة لبروير للمجالات "الخالية من الثقوب" من نظرية النقطة الثابتة لليفشيتز . ^{[ 11 ]}

لا يشترط أن تكون الدالة المتصلة في هذه النظرية تقابلية أو شاملة .

يُعتقد أن هذه النظرية نشأت من ملاحظة براور لفنجان قهوة فاخرة. ^{[ 12 ]} فعند تحريك قطعة من السكر لإذابتها، يبدو أن هناك دائمًا نقطة ثابتة. استنتج براور أنه في أي لحظة، توجد نقطة على السطح لا تتحرك. ^{[ 13 ]} ليست النقطة الثابتة بالضرورة هي النقطة التي تبدو ساكنة، إذ يتحرك مركز الاضطراب قليلًا. هذه النتيجة غير بديهية، لأن النقطة الثابتة الأصلية قد تصبح متحركة عند ظهور نقطة ثابتة أخرى.

يُقال إن براور أضاف: "يمكنني صياغة هذه النتيجة الرائعة بطريقة مختلفة، آخذ ورقة أفقية، وأخرى مماثلة أقوم بتجعيدها وفردها ووضعها فوق الأولى. عندئذٍ، تكون نقطة على الورقة المجعدة في نفس موضعها على الورقة الأخرى." ^{[ 13 ]} يقوم براور "بفرد" ورقته كما لو كان يستخدم مكواة، دون إزالة الطيات والتجاعيد. على عكس مثال فنجان القهوة، يُظهر مثال الورقة المجعدة أيضًا أنه قد توجد أكثر من نقطة ثابتة. وهذا ما يميز نتيجة براور عن نظريات النقطة الثابتة الأخرى، مثل نظرية ستيفان باناش ، التي تضمن التفرد.

في بُعد واحد، تكون النتيجة بديهية وسهلة الإثبات. الدالة المتصلة f مُعرَّفة على فترة مغلقة [ a , b ] وتأخذ قيمًا في الفترة نفسها. القول بأن لهذه الدالة نقطة ثابتة يعني أن رسمها البياني (باللون الأخضر الداكن في الشكل على اليمين) يتقاطع مع رسم الدالة المُعرَّفة على الفترة نفسها [ a , b ] والتي تُسقط x على x (باللون الأخضر الفاتح).  

بديهيًا، أي خط متصل من الحافة اليسرى للمربع إلى الحافة اليمنى يتقاطع بالضرورة مع القطر الأخضر. لإثبات ذلك، لننظر إلى الدالة g التي تُحوّل x إلى f ( x )  - x . تكون هذه الدالة أكبر من أو تساوي صفرًا على الفترة a وأصغر من أو تساوي صفرًا على الفترة b . وبحسب نظرية القيمة المتوسطة ، فإن للدالة g جذرًا في الفترة [ a , b ]؛ وهذا الجذر هو نقطة ثابتة.     

يُقال إن براور قد عبّر عن ذلك على النحو التالي: "بدلاً من فحص سطح، سنثبت النظرية المتعلقة بقطعة من الخيط. لنبدأ بالخيط في حالة غير مطوية، ثم نطويه مرة أخرى. لنقم بتسطيح الخيط المطوي. مرة أخرى، لم تتغير نقطة من الخيط في موضعها بالنسبة إلى موضعها الأصلي على الخيط غير المطوي." ^{[ 13 ]}

في نهاية القرن التاسع عشر، عادت مشكلة استقرار النظام الشمسي القديمة [ 17 ^{] إلى دائرة} اهتمام الأوساط الرياضية. ^{[ 18 ]} وقد تطلّب حلّها أساليب جديدة. وكما أشار هنري بوانكاريه ، الذي عمل على مسألة الأجسام الثلاثة ، فإنه لا أمل في إيجاد حلّ دقيق: "لا شيء يُعطينا فكرة عن صعوبة مسألة الأجسام الثلاثة، وعمومًا جميع مسائل الديناميكا التي لا يوجد فيها تكامل منتظم وتتباعد فيها متسلسلة بوهلين، أفضل من هذه المسألة." ^{[ 19 ]} كما أشار إلى أن البحث عن حلّ تقريبي لم يعد أكثر فعالية: "كلما سعينا للحصول على تقريبات دقيقة، كلما اتجهت النتيجة نحو عدم دقة متزايدة." ^{[ 20 ]}

درس مسألة مشابهة لمسألة حركة سطح فنجان القهوة. ما الذي يمكننا قوله، بشكل عام، عن المسارات على سطح يتحرك بفعل تدفق ثابت ؟ ^{[ 21 ]} اكتشف بوانكاريه أن الإجابة تكمن فيما نسميه الآن الخصائص الطوبولوجية في المنطقة التي تحتوي على المسار. إذا كانت هذه المنطقة متراصة ، أي مغلقة ومحدودة ، فإن المسار إما أن يصبح ثابتًا، أو يقترب من دورة حدية . ^{[ 22 ]} ذهب بوانكاريه أبعد من ذلك؛ إذا كانت المنطقة من نفس نوع القرص، كما هو الحال بالنسبة لفنجان القهوة، فلا بد من وجود نقطة ثابتة. هذه النقطة الثابتة لا تتغير تحت جميع الدوال التي تربط كل نقطة من السطح الأصلي بموقعها بعد فترة زمنية قصيرة t . إذا كانت المنطقة عبارة عن شريط دائري، أو إذا لم تكن مغلقة، ^{[ 23 ]} فإن هذا ليس بالضرورة هو الحال. 

لفهم المعادلات التفاضلية بشكل أفضل، نشأ فرع جديد من الرياضيات أطلق عليه بوانكاريه اسم " تحليل المواقع" . تُعرّفه الموسوعة الفرنسية الشاملة بأنه الفرع الذي "يتناول خصائص الجسم التي تبقى ثابتة إذا ما تعرض للتشويه بأي شكل متصل، دون تمزق". ^{[ 24 ]} في عام 1886، أثبت بوانكاريه نتيجة مكافئة لنظرية النقطة الثابتة لبروير، ^{[ 25 ]} على الرغم من أن الصلة بموضوع هذه المقالة لم تكن واضحة آنذاك. ^{[ 26 ]} بعد ذلك بقليل، طوّر إحدى الأدوات الأساسية لفهم تحليل المواقع بشكل أفضل، والمعروفة الآن باسم المجموعة الأساسية أو أحيانًا مجموعة بوانكاريه. ^{[ 27 ]} يمكن استخدام هذه الطريقة لإثبات النظرية قيد البحث بشكل موجز للغاية.

كانت طريقة بوانكاريه مماثلة لطريقة إميل بيكار ، وهو عالم رياضيات معاصر عمّم نظرية كوشي-ليبشيتز . ^{[ 28 ]} يعتمد منهج بيكار على نتيجة سيتم صياغتها لاحقًا بنظرية أخرى للنقطة الثابتة ، سُميت نسبةً إلى باناش . وبدلًا من الخصائص الطوبولوجية للمجال، تستخدم هذه النظرية حقيقة أن الدالة المعنية هي دالة انكماش .

في مطلع القرن العشرين، لم يغب الاهتمام بتحليل المواقع عن الأنظار. ومع ذلك، لم تكن الحاجة إلى نظرية مكافئة لتلك التي نوقشت في هذه المقالة واضحة بعد. قام عالم الرياضيات اللاتفي بيرس بول بتطبيق الأساليب الطوبولوجية على دراسة المعادلات التفاضلية. ^{[ 29 ]} وفي عام 1904، أثبت الحالة ثلاثية الأبعاد للنظرية، ^{[ 14 ]} لكن لم يلقَ منشوره أي اهتمام. ^{[ 30 ]}

It was Brouwer, finally, who gave the theorem its first patent of nobility. His goals were different from those of Poincaré. This mathematician was inspired by the foundations of mathematics, especially mathematical logic and topology. His initial interest lay in an attempt to solve Hilbert's fifth problem.^[31] In 1909, during a voyage to Paris, he met Henri Poincaré, Jacques Hadamard, and Émile Borel. The ensuing discussions convinced Brouwer of the importance of a better understanding of Euclidean spaces, and were the origin of a fruitful exchange of letters with Hadamard. For the next four years, he concentrated on the proof of certain great theorems on this question. In 1912 he proved the hairy ball theorem for the two-dimensional sphere, as well as the fact that every continuous map from the two-dimensional ball to itself has a fixed point.^[32] These two results in themselves were not really new. As Hadamard observed, Poincaré had shown a theorem equivalent to the hairy ball theorem.^[33] The revolutionary aspect of Brouwer's approach was his systematic use of recently developed tools such as homotopy, the underlying concept of the Poincaré group. In the following year, Hadamard generalised the theorem under discussion to an arbitrary finite dimension, but he employed different methods. Hans Freudenthal comments on the respective roles as follows: "Compared to Brouwer's revolutionary methods, those of Hadamard were very traditional, but Hadamard's participation in the birth of Brouwer's ideas resembles that of a midwife more than that of a mere spectator."^[34]

Brouwer's approach yielded its fruits, and in 1910 he also found a proof that was valid for any finite dimension,^[5] as well as other key theorems such as the invariance of dimension.^[35] In the context of this work, Brouwer also generalized the Jordan curve theorem to arbitrary dimension and established the properties connected with the degree of a continuous mapping.^[36] This branch of mathematics, originally envisioned by Poincaré and developed by Brouwer, changed its name. In the 1930s, analysis situs became algebraic topology.^[37]

أثبتت النظرية جدواها بأكثر من طريقة. خلال القرن العشرين، طُوِّرت العديد من نظريات النقطة الثابتة، بل ونشأ فرعٌ من الرياضيات يُسمى نظرية النقطة الثابتة . ^{[ 38 ]} ولعلّ نظرية براور هي الأهم. ^{[ 39 ]} وهي أيضاً من بين النظريات الأساسية في طوبولوجيا المتشعبات الطوبولوجية ، وكثيراً ما تُستخدم لإثبات نتائج مهمة أخرى، مثل نظرية منحنى جوردان . ^{[ 40 ]}

إلى جانب نظريات النقطة الثابتة للدوال شبه المتقلصة ، توجد العديد من النظريات التي انبثقت بشكل مباشر أو غير مباشر من النتيجة قيد البحث. لا يمكن أن يكون التطبيق المتصل من كرة مغلقة في الفضاء الإقليدي إلى حدودها هو التطبيق المحايد على الحدود. وبالمثل، ^تنص نظرية بورزوك-أولام على أن التطبيق المتصل من الكرة ذات البعد n إلى Rⁿ له زوج من النقاط المتقابلة التي تُسقط على النقطة نفسها. في حالة الأبعاد المحدودة، قدمت نظرية ليفشيتز للنقطة الثابتة منذ عام 1926 طريقة لحساب النقاط الثابتة. في عام 1930، عُممت نظرية براور للنقطة الثابتة لتشمل فضاءات باناخ . ^{[ 41 ]} يُعرف هذا التعميم بنظرية شاودر للنقطة الثابتة ، وهي نتيجة عممها س. كاكوتاني لاحقًا لتشمل الدوال متعددة القيم . ^{[ 42 ]} كما نجد هذه النظرية ومتغيراتها خارج نطاق الطوبولوجيا. يمكن استخدامها لإثبات نظرية هارتمان-غروبمان ، التي تصف السلوك النوعي لبعض المعادلات التفاضلية بالقرب من نقاط توازن معينة. وبالمثل، تُستخدم نظرية براور لإثبات نظرية النهاية المركزية . كما يمكن إيجاد هذه النظرية في براهين وجود حلول لبعض المعادلات التفاضلية الجزئية . ^{[ 43 ]}

كما تم التطرق إلى مجالات أخرى. ففي نظرية الألعاب ، استخدم جون ناش النظرية لإثبات وجود استراتيجية رابحة للأبيض في لعبة هيكس . ^{[ 44 ]} وفي الاقتصاد، يوضح ب. بيتش أن بعض التعميمات للنظرية تُظهر أن استخدامها مفيد في حل بعض المشكلات الكلاسيكية في نظرية الألعاب، وعمومًا في مسائل التوازن ( قانون هوتلينغ )، والتوازن المالي، والأسواق غير الكاملة. ^{[ 45 ]}

لا تقتصر شهرة براور على أعماله الطوبولوجية فحسب. فبراهين نظرياته الطوبولوجية العظيمة ليست بنائية ، ^{[ 46 ]} وكان استياء براور من ذلك جزئيًا ما دفعه إلى صياغة فكرة البنائية . أصبح براور مبتكرًا ومدافعًا متحمسًا عن طريقة لصياغة الرياضيات تُعرف بالحدسية ، والتي عارضت في ذلك الوقت نظرية المجموعات . ^{[ 47 ]} وقد تبرأ براور من برهانه الأصلي لنظرية النقطة الثابتة.

اعتمد برهان براور الأصلي عام 1911 على مفهوم درجة التطبيق المتصل ، المستمد من أفكار في الطوبولوجيا التفاضلية . ويمكن العثور على العديد من الروايات الحديثة لهذا البرهان في المراجع، ولا سيما ميلنور (1965) . ^{[ 48 ] [ 49 ]}

يترك${\displaystyle K={\overline {B(0)}}}$يرمز إلى كرة الوحدة المغلقة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مركزها نقطة الأصل. لنفترض، تبسيطاً للأمر، أن${\displaystyle f:K\to K}$قابلة للتفاضل باستمرار. قيمة منتظمة لـ${\displaystyle f}$هذه نقطة${\displaystyle p\in B(0)}$بحيث يكون اليعقوبي لـ${\displaystyle f}$تكون غير منفردة عند كل نقطة من الصورة العكسية لـ${\displaystyle p}$. على وجه الخصوص، وفقًا لنظرية الدالة العكسية ، فإن كل نقطة من الصورة العكسية لـ${\displaystyle f}$يكمن في${\displaystyle B(0)}$(داخل${\displaystyle K}$درجة${\displaystyle f}$بسعر عادي${\displaystyle p\in B(0)}$يُعرَّف بأنه مجموع إشارات محدد جاكوبي لـ${\displaystyle f}$على الصور السابقة لـ${\displaystyle p}$تحت${\displaystyle f}$:

${\displaystyle \operatorname {deg} _{p}(f)=\sum _{x\in f^{-1}(p)}\operatorname {sign} \,\det(df_{x}).}$

الدرجة، بشكل تقريبي، هي عدد "الطبقات" من الصورة الأصلية f التي تقع على مجموعة مفتوحة صغيرة حول p ، مع احتساب الطبقات بشكل معاكس إذا كانت ذات اتجاهات متعاكسة. وبالتالي، يُعد هذا تعميمًا لعدد اللفات إلى أبعاد أعلى.

تحقق الدرجة خاصية الثبات التماثلي : ليكن${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$ليكن دالتين قابلتين للتفاضل باستمرار، و${\displaystyle H_{t}(x)=tf+(1-t)g}$ل${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$لنفترض أن النقطة${\displaystyle p}$هي قيمة منتظمة لـ${\displaystyle H_{t}}$لكل t . ثم${\displaystyle \deg _{p}f=\deg _{p}g}$.

إذا لم تكن هناك نقطة ثابتة على حدود${\displaystyle K}$ثم الدالة

${\displaystyle g(x)={\frac {xf(x)}{\sup _{y\in K}\left|yf(y)\right|}}}$

محدد جيدًا، و

${\displaystyle H(t,x)={\frac {x-tf(x)}{\sup _{y\in K}\left|y-tf(y)\right|}}}$

يُعرّف هذا الشكل تماثلًا من دالة التطابق إليها. دالة التطابق من الدرجة الأولى عند كل نقطة. على وجه الخصوص، دالة التطابق من الدرجة الأولى عند نقطة الأصل، لذا${\displaystyle g}$كما أن لها درجة واحدة عند نقطة الأصل. ونتيجة لذلك، فإن الصورة الأصلية${\displaystyle g^{-1}(0)}$ليست فارغة. عناصر${\displaystyle g^{-1}(0)}$هي بالضبط النقاط الثابتة للدالة الأصلية f .

يتطلب هذا بعض العمل لتعميمه بالكامل. يجب توسيع تعريف الدرجة ليشمل القيم الشاذة للدالة f ، ثم ليشمل الدوال المتصلة. وقد سهّل ظهور نظرية التماثل الحديثة بناء الدرجة، ولذا أصبحت برهانًا معياريًا في المراجع العلمية.

تنص نظرية الكرة المشعرة على أنه على الكرة الوحدة S في فضاء إقليدي فردي الأبعاد، لا يوجد حقل متجه مماس متصل w لا ينعدم في أي مكان على S. (شرط التماس يعني أن w ( x ) ⋅ x = 0 لكل متجه وحدة x ). أحيانًا تُصاغ النظرية بالقول: "يوجد دائمًا مكان على الكرة الأرضية بلا رياح". يمكن إيجاد برهان أولي لنظرية الكرة المشعرة في ميلنور (1978) .

في الواقع، لنفترض أولًا أن w قابلة للتفاضل باستمرار . باستخدام القياس، يمكن افتراض أن w متجه مماس وحدة قابل للتفاضل باستمرار على S. يمكن تمديده شعاعيًا إلى غلاف كروي صغير A من S. بالنسبة لـ t صغير بما فيه الكفاية، تُظهر عملية حسابية روتينية أن التطبيق f ( _t ) = x + tw ( x ) هو تطبيق انكماشي على A ، وأن حجم صورته هو متعدد حدود في t . من ناحية أخرى، كتطبيق انكماشي، يجب أن يقتصر f( _t) على تماثل طوبولوجي من S إلى (1 + t² ⁾ ¹ / ^{² S ومن A} إلى ( ¹ + ^t² ) ^¹ / ^{² A. هذا يُعطي} تناقضًا، لأنه إذا كان بُعد n للفضاء الإقليدي فرديًا، فإن (1 + t² ) n ^{/ 2 ليس} متعدد حدود.

إذا كان w متجهًا مماسًا متصلًا فقط على S ، فبحسب نظرية تقريب فايرشتراس ، يمكن تقريبه بانتظام بواسطة دالة متعددة الحدود u من A إلى الفضاء الإقليدي. يُعطى الإسقاط المتعامد على الفضاء المماسي بالعلاقة v ( x ) = u ( x ) - u ( x ) ⋅ x . بالتالي، فإن v متعددة الحدود ولا تنعدم في أي مكان على A ؛ وبحسب التعريف، فإن v /|| v || حقل ​​متجهات مماس أملس على S ، وهذا تناقض.

يمكن الآن استخدام الصيغة المستمرة لنظرية الكرة المشعرة لإثبات نظرية براور للنقطة الثابتة. لنفترض أولًا أن n عدد زوجي. إذا كان هناك تطبيق ذاتي مستمر f خالٍ من النقاط الثابتة للكرة المغلقة B في الفضاء الإقليدي V ذي البعد n ، فضع

${\displaystyle {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })=(1-{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {f} }({\mathbf {x} }))\,{\mathbf {x} }-(1-{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {x} })\,{\mathbf {f} }({\mathbf {x} }).}$

بما أن الدالة f ليس لها نقاط ثابتة، فإنه يترتب على ذلك أنه بالنسبة لـ x في داخل B ، يكون المتجه w ( x ) غير صفري ؛ وبالنسبة لـ x في S ، يكون حاصل الضرب القياسي x ⋅ w ( x ) = 1 – x ⋅ f ( x ) موجبًا تمامًا. من الفضاء الإقليدي الأصلي ذي البعد n ، V ، أنشئ فضاءً مساعدًا جديدًا ذا بعد ( n + 1 ) W = V x R ، بإحداثيات y = ( x , t ).

${\displaystyle {\mathbf {X} }({\mathbf {x} },t)=(-t\,{\mathbf {w} }({\mathbf {x} }),{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })).}$

بحسب التعريف ، X حقل متجهي متصل على كرة الوحدة لـ W ، يحقق شرط التماس y ⋅ X ( y )  =  0. علاوة على ذلك، X ( y ) لا ينعدم في أي مكان (لأنه إذا كان معيار x يساوي 1، فإن x ⋅ w ( x ) لا يساوي صفرًا؛ بينما إذا كان معيار x أقل من 1 تمامًا، فإن t و w ( x ) كلاهما لا يساوي صفرًا). يثبت هذا التناقض نظرية النقطة الثابتة عندما يكون n زوجيًا. أما عندما يكون n فرديًا، فيمكن تطبيق نظرية النقطة الثابتة على كرة الوحدة المغلقة B في n + 1 بُعدًا وعلى التطبيق F ( x , y ) = ( f ( x ), 0). ميزة هذا البرهان أنه يستخدم تقنيات أولية فقط؛ بينما تتطلب نتائج أكثر عمومية، مثل نظرية بورزوك-أولام، أدوات من الطوبولوجيا الجبرية . ^{[ 50 ]}

يستخدم البرهان الملاحظة بأن حدود القرص n - d ⁿ هي S ^{n −1 ،} الكرة ( n − 1) .

لنفترض جدلاً أن الدالة المتصلة f  : D ⁿ → D ⁿ ليس لها نقطة ثابتة. هذا يعني أنه لكل نقطة x في D ⁿ ، فإن النقطتين x و f ( x ) مختلفتان. ولأنهما مختلفتان، فإنه لكل نقطة x في D ⁿ ، يمكننا إنشاء شعاع وحيد من f ( x ) إلى x وتتبع هذا الشعاع حتى يتقاطع مع الحد S ^{n −1} (انظر الرسم التوضيحي). وباعتبار نقطة التقاطع هذه F ( x )، فإننا نُعرّف دالة F  : D ⁿ → S ^{n −1} تُرسل كل نقطة في القرص إلى نقطة التقاطع المناظرة لها على الحد. وكحالة خاصة، عندما تكون x نفسها على الحد، فإن نقطة التقاطع F ( x ) يجب أن تكون x .   

وبالتالي، فإن F هو نوع خاص من الدوال المتصلة المعروفة باسم الانكماش : كل نقطة من المجال المقابل (في هذه الحالة S ^{n −1} ) هي نقطة ثابتة لـ F.

يبدو بديهيًا أنه من غير المرجح حدوث انكماش للفضاء ^{Dₙ على} الفضاء Sₙ₋₁ ، ^{وفي حالة} n = 1، يكون الاستحالة أكثر وضوحًا، لأن S₀ (أي طرفي الفترة المغلقة D₁ ) غير متصلة أصلًا. أما حالة ⁿ = 2 فهي أقل وضوحًا، ولكن يمكن إثباتها باستخدام حجج أساسية تتعلق بالمجموعات الأساسية للفضاءات المعنية: سيؤدي الانكماش إلى تماثل زمر شامل من المجموعة الأساسية للفضاء ^D₂ إلى تلك الخاصة بالفضاء ^S₁ ، ولكن المجموعة الأخيرة متماثلة مع Z بينما المجموعة الأولى تافهة، لذا فهذا مستحيل. ويمكن أيضًا إثبات حالة n = 2 بالتناقض استنادًا إلى نظرية حول حقول المتجهات غير الصفرية .

أما بالنسبة لـ n > 2، فإن إثبات استحالة التراجع يصبح أكثر صعوبة. إحدى الطرق هي استخدام مجموعات التماثل : مجموعة التماثل H  n -1  ( D n ) تافهة، بينما H  n -1  ( S  n - 1 ) دورية لانهائية . هذا يُظهر استحالة التراجع، لأنه سيؤدي بدوره إلى تشاكل زمر حقني من المجموعة الأخيرة إلى المجموعة الأولى.

يمكن إثبات استحالة الانكماش باستخدام تماثل دي رام للمجموعات المفتوحة في الفضاء الإقليدي E  n . بالنسبة لـ n ≥ 2، يكون تماثل دي رام للمجموعة U = E  n- (0) أحادي البعد عند الدرجة 0 و n -1، وينعدم فيما عدا ذلك. إذا وُجد انكماش، لكان على المجموعة U أن تكون قابلة للانكماش، وكان على تماثل دي رام الخاص بها عند الدرجة n -1 أن ينعدم، وهو تناقض. [ 51 ]

كما هو الحال في برهان نظرية النقطة الثابتة لبروير للتطبيقات المتصلة باستخدام علم التماثل، يُختزل الأمر إلى إثبات عدم وجود انكماش متصل F من الكرة B إلى حدودها ∂B . في هذه الحالة، يمكن افتراض أن F دالة ملساء، إذ يمكن تقريبها باستخدام نظرية تقريب فايرشتراس أو عن طريق الالتفاف مع دوال نتوء ملساء غير سالبة ذات دعم صغير بما فيه الكفاية وقيمة صحيحة (أي التنعيم ). إذا كانت ω شكلًا حجميًا على الحدود، فبموجب نظرية ستوكس ،

${\displaystyle 0<\int _{\partial B}\omega =\int _{\partial B}F^{*}(\omega )=\int _{B}dF^{*}(\omega )=\int _{B}F^{*}(d\omega )=\int _{B}F^{*}(0)=0,}$

مما يُعطي تناقضاً. ^{[ 52 ] [ 53 ]}

بشكلٍ أعم، يُبيّن هذا أنه لا يوجد انكماش سلس من أي مشعب مضغوط موجه أملس غير فارغ M إلى حدوده. يرتبط البرهان باستخدام نظرية ستوكس ارتباطًا وثيقًا بالبرهان باستخدام علم التماثل، لأن الشكل ω يُولّد زمرة التماثل دي رام H  n -1 (∂M ) التي تُماثل زمرة التماثل H n -1 (∂M ) وفقًا لنظرية دي رام . [ 54 ]

تم إثبات نظرية BFPT بواسطة كناستر-كوراتوفسكي-مازوركيويتش باستخدام ليمّة سبيرنر . نقدم الآن ملخصًا للإثبات في الحالة الخاصة التي تكون فيها f دالة من المعقد القياسي ذي n- سيمبلكس .${\displaystyle \Delta ^{n},}$إلى نفسها، حيث

${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{P\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1{\text{ and }}P_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.}$

لكل نقطة${\displaystyle P\in \Delta ^{n},}$أيضًا${\displaystyle f(P)\in \Delta ^{n}.}$وبالتالي فإن مجموع إحداثياتهما يساوي:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1=\sum _{i=0}^{n}{f(P)_{i}}}$

وبالتالي، وفقًا لمبدأ خانة الحمام ، لكل${\displaystyle P\in \Delta ^{n},}$يجب أن يكون هناك فهرس${\displaystyle j\in \{0,\ldots ,n\}}$بحيث يكون${\displaystyle j}$الإحداثي رقم 1 من${\displaystyle P}$أكبر من أو يساوي${\displaystyle j}$الإحداثي رقم 1 لصورتها تحت تأثير f :

${\displaystyle P_{j}\geq f(P)_{j}.}$

علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle P}$يقع على سطح فرعي ذي أبعاد k من${\displaystyle \Delta ^{n},}$ثم بنفس الحجة، المؤشر${\displaystyle j}$يمكن اختيارها من بين الإحداثيات k + 1 التي لا تساوي صفرًا على هذا السطح الفرعي.

نستخدم الآن هذه الحقيقة لإنشاء تلوين سبيرنر. لكل تثليث من${\displaystyle \Delta ^{n},}$لون كل رأس${\displaystyle P}$هو فهرس${\displaystyle j}$بحيث${\displaystyle f(P)_{j}\leq P_{j}.}$

بحسب التصميم، هذا تلوين سبيرنر. وبالتالي، وفقًا لفرضية سبيرنر، يوجد مُجَسَّم بسيط ذو بُعد n تُلوَّن رؤوسه بمجموعة الألوان المتاحة n + 1 .

بما أن الدالة f متصلة، يمكن تصغير هذا المُعقّد إلى أي حجم باختيار تثليث دقيق للغاية. وبالتالي، لا بد من وجود نقطة${\displaystyle P}$والتي تحقق شرط التسمية في جميع الإحداثيات:${\displaystyle f(P)_{j}\leq P_{j}}$للجميع${\displaystyle j.}$

لأن مجموع إحداثيات${\displaystyle P}$و${\displaystyle f(P)}$يجب أن تكون متساوية، كل هذه التفاوتات يجب أن تكون في الواقع مساواة. لكن هذا يعني أن:

${\displaystyle f(P)=P.}$

إنه،${\displaystyle P}$هي نقطة ثابتة لـ${\displaystyle f.}$

يوجد أيضًا برهان سريع، من موريس هيرش ، يعتمد على استحالة الانكماش التفاضلي. لنفترض أن f دالة متصلة من الكرة الوحدوية Dₙ ^في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n إلى نفسها، ولنفترض أن f لا تُثبّت أي نقطة. بالاستمرارية وكون Dₙ ^فضاءً متراصًا، يترتب على ذلك أنه بالنسبة لبعض ε > 0، فإن ∥x - f (x)∥ > ε لجميع x في Dₙ ^. عندئذٍ، يمكن تقريب الدالة f بدالة ملساء تحتفظ بخاصية عدم تثبيت أي نقطة؛ ويمكن القيام بذلك باستخدام نظرية تقريب فايرشتراس أو عن طريق الالتفاف مع دوال النتوء الملساء . بعد ذلك، يُعرَّف الانكماش كما سبق بإرسال كل x إلى نقطة ∂Dₙ ^حيث يتقاطع الشعاع الوحيد من x المار عبر f (x) مع ∂Dₙ ^، ويجب أن تكون هذه الدالة قابلة للتفاضل. يجب أن يكون لهذا الانكماش قيمة غير شاذة p ∈ ∂D ⁿ ، وفقًا لنظرية سارد ، وهي أيضًا غير شاذة عند تقييدها على الحدود (وهي ببساطة دالة الوحدة). وبالتالي، ستكون الصورة العكسية ^f⁻¹ ( p) متعددة شعب أحادية مضغوطة ذات حدود. يجب أن تحتوي هذه الحدود على نقطتي نهاية على الأقل، ويجب أن تقع هاتان النقطتان على حدود الكرة الأصلية. هذا يعني أن الصورة العكسية لنقطة ما على ∂D ⁿ تحتوي على نقطة أخرى على ∂D ⁿ ، وهو ما يتناقض مع تعريف الانكماش D ⁿ → ∂D ⁿ . ^{[ 55 ]}

حوّل كلٌّ من آر. بروس كيلوغ، وتين-يين لي، وجيمس أ. يورك برهان هيرش إلى برهان قابل للحساب ، وذلك بملاحظة أن التراجع مُعرَّف في الواقع في كل مكان باستثناء النقاط الثابتة. ^{[ 56 ]} بالنسبة لأي نقطة q تقريبًا على الحدود - بافتراض أنها ليست نقطة ثابتة - فإن المتشعب الأحادي ذو الحدود المذكورة أعلاه موجود، والاحتمال الوحيد هو أنه يؤدي من q إلى نقطة ثابتة. من السهل حسابيًا تتبُّع هذا المسار من q إلى النقطة الثابتة، لذا فإن الطريقة قابلة للحساب أساسًا. ^{[ 57 ]} قدّموا نسخةً مشابهةً من الناحية المفاهيمية لتتبُّع المسار من برهان التماثل، والتي تمتد لتشمل مجموعةً واسعةً من المشكلات ذات الصلة.

A variation of the preceding proof does not employ the Sard's theorem, and goes as follows. If ${\displaystyle r\colon B\to \partial B}$ is a smooth retraction, one considers the smooth deformation ${\displaystyle g^{t}(x):=tr(x)+(1-t)x,}$ and the smooth function

${\displaystyle \varphi (t):=\int _{B}\det Dg^{t}(x)\,dx.}$

Differentiating under the sign of integral it is not difficult to check that φ′(t) = 0 for all t, so φ is a constant function, which is a contradiction because φ(0) is the n-dimensional volume of the ball, while φ(1) is zero. The geometric idea is that φ(t) is the oriented area of g^t(B) (that is, the Lebesgue measure of the image of the ball via g^t, taking into account multiplicity and orientation), and should remain constant (as it is very clear in the one-dimensional case). On the other hand, as the parameter t passes from 0 to 1 the map g^t transforms continuously from the identity map of the ball, to the retraction r, which is a contradiction since the oriented area of the identity coincides with the volume of the ball, while the oriented area of r is necessarily 0, as its image is the boundary of the ball, a set of null measure.^[58]

A quite different proof given by David Gale is based on the game of Hex. The basic theorem regarding Hex, first proven by John Nash, is that no game of Hex can end in a draw; the first player always has a winning strategy (although this theorem is nonconstructive, and explicit strategies have not been fully developed for board sizes of dimensions 10 x 10 or greater). This turns out to be equivalent to the Brouwer fixed-point theorem for dimension 2. By considering n-dimensional versions of Hex, one can prove in general that Brouwer's theorem is equivalent to the determinacy theorem for Hex.^[59]

The Lefschetz fixed-point theorem says that if a continuous map f from a finite simplicial complex B to itself has only isolated fixed points, then the number of fixed points counted with multiplicities (which may be negative) is equal to the Lefschetz number

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n}(-1)^{n}\operatorname {Tr} (f|H_{n}(B))}$

and in particular if the Lefschetz number is nonzero then f must have a fixed point. If B is a ball (or more generally is contractible) then the Lefschetz number is one because the only non-zero simplicial homology group is: ${\displaystyle H_{0}(B)}$وتعمل الدالة f كعنصر محايد في هذه المجموعة، لذا فإن للدالة f نقطة ثابتة. ^{[ 60 ] [ 61 ]}

في الرياضيات العكسية ، يمكن إثبات نظرية بروير في النظام WKL ₀ ، والعكس صحيح بالنسبة للنظام الأساسي RCA _0. نظرية بروير للمربع تستلزم ليمّة كونيغ الضعيفة ، لذا فإن هذا يعطي وصفًا دقيقًا لقوة نظرية بروير.