التناظر العشري الوجوه

مجموعات النقاط المختارة في ثلاثة أبعاد
مجموعة متعددة السطوح ، [n,3]، (*n32)
التناظر الانعكاسي C _s , (*) [ ] =	التناظر الدوري C _nv , (*nn) [n] =	التناظر ثنائي السطوح D _nh , (*n22) [n,2] =
التناظر الرباعي الأوجه T _d , (*332) [3,3] =	التناظر الثماني الأوجه O _h ، (*432) [4,3] =	التناظر العشري الوجوه I _h , (*532) [5,3] =

في الرياضيات، وخاصة في الهندسة، يتمتع الشكل بتناظر عشريني الوجوه إذا كان له نفس تناظرات المجسم العشري الوجوه المنتظم . ومن أمثلة المجسمات الأخرى ذات التناظر العشري الوجوه المجسم الاثني عشري الوجوه المنتظم (وهو الشكل الثنائي للمجسم العشري الوجوه) والمجسم المعيني ثلاثي الأضلاع .

كل متعدد السطوح ذو تناظر عشريني الوجوه يمتلك 60 تناظرًا دورانيًا (أو حافظًا للاتجاه) و60 تناظرًا معاكسًا للاتجاه (يجمع بين الدوران والانعكاس ) ، ليصبح مجموع رتبة التناظر 120. مجموعة التناظر الكاملة هي مجموعة كوكسيتر من النوع $H3$ . يمكن تمثيلها برمز كوكسيتر $[5،3]$ $ومخطط$ كوكسيتر . تشكل مجموعة التناظرات الدورانية مجموعة فرعية متماثلة مع المجموعة المتناوبة $A5$ ذات الأحرف الخمسة $.$

كمجموعة نقطية

بصرف النظر عن سلسلتي التناظر المنشوري والمنشوري المضاد اللانهائيتين، فإن التناظر الدوراني العشري الوجوه أو التناظر العشري الوجوه الكيرالي للأجسام الكيرالية والتناظر العشري الوجوه الكامل أو التناظر العشري الوجوه غير الكيرالي هي تناظرات النقطة المنفصلة (أو ما يعادلها، التناظرات على الكرة ) ذات أكبر مجموعات التناظر .

لا يتوافق التناظر العشري الوجوه مع التناظر الانتقالي ، لذلك لا توجد مجموعات نقطية بلورية أو مجموعات فراغية مرتبطة به .

شو.	كوكسيتر		محجر العين.	بنية مجردة	طلب
أنا	[5,3] ⁺		532	5	60
أنا	[5,3]		*532	A ₅ × 2	120

العروض التقديمية التي تتوافق مع ما سبق هي:

I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \

I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\

تتوافق هذه مع مجموعات العشرين وجهاً (الدورانية والكاملة) التي تمثل مجموعات المثلث (2،3،5) .

تم تقديم العرض الأول بواسطة ويليام روان هاميلتون في عام 1856، في ورقته البحثية حول حساب التفاضل والتكامل العشري . ^{[ 1 ]}

لاحظ أن هناك عروض تقديمية أخرى ممكنة، على سبيل المثال كمجموعة متناوبة (لـ I ).

التصورات

مجموعة التناظر الكاملة هي مجموعة كوكسيتر من النوع $H3 .$ ويمكن تمثيلها باستخدام ترميز كوكسيتر $[5,3]$ ومخطط كوكسيتر . تشكل مجموعة التناظرات الدورانية مجموعة فرعية متماثلة مع المجموعة المتناوبة $A5$ ذات الأحرف الخمسة $.$

مدرسة ( أورب )	تدوين كوكسيتر	عناصر	مخططات المرآة
مدرسة ( أورب )	تدوين كوكسيتر	عناصر	متعامد	الإسقاط المجسم
أنا _h (*532)	[5,3]	خطوط المرآة : 15
أنا (532)	[5,3] ⁺	نقاط الدوران : 12 ₅ 20 ₃ 30 ₂

هيكل المجموعة

كل متعدد السطوح ذو التناظر العشري الوجوه يحتوي على 60 تناظرًا دورانيًا (أو يحافظ على الاتجاه) و60 تناظرًا يعكس الاتجاه (يجمع بين الدوران والانعكاس ) ، ليصبح مجموع رتبة التناظر 120.


تمثل حواف مجسم كروي مكون من خمسة أوجه ثمانية الأوجه مستويات المرآة الخمسة عشر كدوائر عظمى ملونة. ويمكن لكل وجه ثماني الأوجه أن يمثل ثلاثة مستويات مرآة متعامدة من خلال حوافه.

التناظر البيريتوهيدرالي هو مجموعة فرعية من التناظر العشري الوجوه، ذات مؤشر 5، ويحتوي على 3 خطوط انعكاس خضراء متعامدة و8 نقاط دوران حمراء من الرتبة 3. يوجد 5 اتجاهات مختلفة للتناظر البيريتوهيدرالي.

المجموعة الدوران العشري الوجوه I من الرتبة 60. المجموعةIمتماثلةمعA5_،وهيالمجموعةالمتناوبةللتباديل الزوجية لخمسة أشكال. يمكن تحقيق هذا التماثل من خلالIعلى مركبات مختلفة، ولا سيمامركب المكعبات الخمسة(التي تُحيط بالمجسم ذيالاثني عشر وجهًا)،ومركب الأوجه الثمانية الخمسة، أو أي منمركبي الأوجه الرباعية الخمسة(وهمامتماثلان معكوسان_{، ويُحيطان بالمجسم ذي} الاثني عشر وجهًا). تحتوي المجموعة على 5 نسخ منT_hمع 20 نسخة منD3،و6 نسخ منD5_.

الالمجموعة الكاملة ذات العشرين وجهًا I _h لها رتبة 120. ولهاIكمجموعة فرعية طبيعيةذاتدليل2. المجموعةI_h متماثلة معI×Z₂، أوA₅×Z₂، معالانعكاس في المركزالمقابل للعنصر (العنصر المحايد، -1)، حيثZ₂مكتوبة بشكل ضربي.

تؤثر المجموعة I _h على مُركّب المكعبات الخمسة ومُركّب الأوجه الثمانية الخمسة ، بينما يعمل -1 كعنصر محايد (لأن المكعبات والأوجه الثمانية متناظرة مركزيًا). وتؤثر أيضًا على مُركّب الأوجه الرباعية العشرة : حيث تؤثر I على النصفين الكيراليين ( مُركّبات الأوجه الرباعية الخمسة )، بينما يُبدّل -1 بين النصفين. والجدير بالذكر أنها لا تعمل كـ S ₅ ، وهذه المجموعات ليست متماثلة؛ انظر أدناه لمزيد من التفاصيل.

تحتوي المجموعة على 10 إصدارات من D _3d و 6 إصدارات من D _5d (تناظرات مثل المنشورات المضادة).

I متماثل أيضًا مع PSL ₂ (5)، لكن I _h ليس متماثلًا مع SL ₂ (5).

تماثل I مع A ₅

من المفيد وصف شكل التشاكل بين المصفوفة I والمصفوفة _A5 بشكل صريح . في الجدول التالي، تؤثر التبديلات P _i و Q _i على 5 و 12 عنصرًا على التوالي، بينما مصفوفات الدوران M _i هي عناصر المصفوفة I. إذا كان P _k هو ناتج ضرب التبديل P _i بالتبديل P _j ، فإنه بالنسبة للقيم نفسها لـ i و j و k ، يكون Q _k هو ناتج ضرب التبديل Q _i بالتبديل Q _j ، كما أن ضرب متجه من اليسار بالمصفوفة M _k هو نفسه ضرب ذلك المتجه بالمصفوفة M _i ثم ضرب الناتج بالمصفوفة M _j ، أي M _k = M _j × M _i . بما أن التبديلات P _i هي جميع التبديلات الزوجية الستين للعدد 12345، فإن التناظر الأحادي يصبح واضحًا، وبالتالي التشاكل أيضًا.

مصفوفة الدوران	تبديل العدد 5 على 1 2 3 4 5	تبديل العدد 12 على الأرقام من 1 إلى 12
$M_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	$P_{1}$ = ()	$Q_{1}$ = ()
$// }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	$P_{2}$ = (3 4 5)	$Q_{2}$ = (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10)
$M_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{3}$ = (3 5 4)	$Q_{3}$ = (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7)
$M_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{4}$ = (2 3)(4 5)	$Q_{4}$ = (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11)
$M_{5}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{5}$ = (2 3 4)	$Q_{5}$ = (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12)
$M_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{6}$ = (2 3 5)	$Q_{6}$ = (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12)
$M_{7}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{7}$ = (2 4 3)	$Q_{7}$ = (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11)
$M_{8}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{8}$ = (2 4 5)	$Q_{8}$ = (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9)
$M_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{9}$ = (2 4)(3 5)	$Q_{9}$ = (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10)
$M_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{10}$ = (2 5 3)	$Q_{10}$ = (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8)
$M_{11}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}$	$P_{11}$ = (2 5 4)	$Q_{11}$ = (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11)
$M_{12}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{12}$ = (2 5)(3 4)	$Q_{12}$ = (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12)
$M_{13}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$	$P_{13}$ = (1 2)(4 5)	$Q_{13}$ = (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12)
$M_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{14}$ = (1 2)(3 4)	$Q_{14}$ = (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12)
$M_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{15}$ = (1 2)(3 5)	$Q_{15}$ = (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9)
$M_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{16}$ = (1 2 3)	$Q_{16}$ = (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8)
$M_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{17}$ = (1 2 3 4 5)	$Q_{17}$ = (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11)
$M_{18}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{18}$ = (1 2 3 5 4)	$Q_{18}$ = (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9)
$M_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{19}$ = (1 2 4 5 3)	$Q_{19}$ = (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11)
$M_{20}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}$	$P_{20}$ = (1 2 4)	$Q_{20}$ = (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12)
$M_{21}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{21}$ = (1 2 4 3 5)	$Q_{21}$ = (1 2 9 11 7)(3 6 12 10 4)
$M_{22}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{22}$ = (1 2 5 4 3)	$Q_{22}$ = (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9)
$M_{23}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{23}$ = (1 2 5)	$Q_{23}$ = (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10)
$M_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{24}$ = (1 2 5 3 4)	$Q_{24}$ = (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12)
$M_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{25}$ = (1 3 2)	$Q_{25}$ = (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10)
$M_{26}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{26}$ = (1 3 4 5 2)	$Q_{26}$ = (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8)
$M_{27}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{27}$ = (1 3 5 4 2)	$Q_{27}$ = (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12)
$M_{28}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{28}$ = (1 3)(4 5)	$Q_{28}$ = (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9)
$M_{29}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{29}$ = (1 3 4)	$Q_{29}$ = (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7)
$M_{30}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{30}$ = (1 3 5)	$Q_{30}$ = (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11)
$M_{31}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{31}$ = (1 3)(2 4)	$Q_{31}$ = (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10)
$M_{32}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{32}$ = (1 3 2 4 5)	$Q_{32}$ = (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9)
$M_{33}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{33}$ = (1 3 5 2 4)	$Q_{33}$ = (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8)
$M_{34}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{34}$ = (1 3)(2 5)	$Q_{34}$ = (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12)
$M_{35}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{35}$ = (1 3 2 5 4)	$Q_{35}$ = (1 11 2 7 9)(3 10 6 4 12)
$M_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{36}$ = (1 3 4 2 5)	$Q_{36}$ = (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12)
$M_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{37}$ = (1 4 5 3 2)	$Q_{37}$ = (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7)
$M_{38}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{38}$ = (1 4 2)	$Q_{38}$ = (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9)
$M_{39}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{39}$ = (1 4 3 5 2)	$Q_{39}$ = (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8)
$M_{40}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{40}$ = (1 4 3)	$Q_{40}$ = (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11)
$M_{41}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}$	$P_{41}$ = (1 4 5)	$Q_{41}$ = (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12)
$M_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{42}$ = (1 4)(3 5)	$Q_{42}$ = (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11)
$M_{43}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{43}$ = (1 4 5 2 3)	$Q_{43}$ = (1 9 7 2 11)(3 12 4 6 10)
$M_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{44}$ = (1 4)(2 3)	$Q_{44}$ = (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11)
$M_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{45}$ = (1 4 2 3 5)	$Q_{45}$ = (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10)
$M_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{46}$ = (1 4 2 5 3)	$Q_{46}$ = (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7)
$M_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{47}$ = (1 4 3 2 5)	$Q_{47}$ = (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6)
$M_{48}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$	$P_{48}$ = (1 4)(2 5)	$Q_{48}$ = (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8)
$M_{49}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{49}$ = (1 5 4 3 2)	$Q_{49}$ = (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12)
$M_{50}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}$	$P_{50}$ = (1 5 2)	$Q_{50}$ = (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11)
$M_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{51}$ = (1 5 3 4 2)	$Q_{51}$ = (1 7 11 9 2)(3 4 10 12 6)
$M_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{52}$ = (1 5 3)	$Q_{52}$ = (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12)
$M_{53}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{53}$ = (1 5 4)	$Q_{53}$ = (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10)
$M_{54}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{54}$ = (1 5)(3 4)	$Q_{54}$ = (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7)
$M_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{55}$ = (1 5 4 2 3)	$Q_{55}$ = (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3)
$M_{56}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{56}$ = (1 5)(2 3)	$Q_{56}$ = (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9)
$M_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{57}$ = (1 5 2 3 4)	$Q_{57}$ = (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5)
$M_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{58}$ = (1 5 2 4 3)	$Q_{58}$ = (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10)
$M_{59}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{59}$ = (1 5 3 2 4)	$Q_{59}$ = (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11)
$M_{60}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	$P_{60}$ = (1 5)(2 4)	$Q_{60}$ = (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8)

هذه المجموعة البسيطة غير التبديلية هي المجموعة الجزئية الطبيعية الوحيدة غير التافهة للمجموعة المتناظرة على خمسة أحرف. ^[²^] ولأن مجموعة غالوا للمعادلة الخماسية العامة متماثلة مع المجموعة المتناظرة على خمسة أحرف، ولأن هذه المجموعة الجزئية الطبيعية بسيطة وغير تبديلية، فإن المعادلة الخماسية العامة لا تملك حلاً في الجذور. يعتمد برهان نظرية أبيل-روفيني على هذه الحقيقة البسيطة، ^[³^] وقد ألف فيليكس كلاين كتابًا استخدم فيه نظرية التناظرات العشرية الوجوه لاستنتاج حل تحليلي للمعادلة الخماسية العامة. ^[⁴^] ويُقدم شرح حديث في كتاب توث (2002) . ^[⁵^]

المجموعات التي يتم الخلط بينها بشكل شائع

المجموعات التالية جميعها لها رتبة 120، لكنها ليست متماثلة:

S ₅ ، المجموعة المتناظرة على 5 عناصر
I _h ، المجموعة الكاملة ذات العشرين وجهًا (موضوع هذه المقالة، والمعروفة أيضًا باسم H ₃ )
2 I ، المجموعة الثنائية ذات العشرين وجهًا

وهي تتوافق مع المتتاليات التامة القصيرة التالية (التي لا تنقسم الأخيرة منها) والناتج

1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1

I_{h}=A_{5}\times Z_{2}

1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1

بالكلمات،

$A_{5}$ هي مجموعة فرعية طبيعية من $S_{5}$
$A_{5}$ هو عامل من عوامل $I_{h}$ وهو منتج مباشر
$A_{5}$ هي مجموعة خارج القسمة من $2I$

لاحظ أن $A_{5}$ يمتلك تمثيلًا ثلاثي الأبعاد استثنائيًا غير قابل للاختزال (مثل مجموعة الدوران العشرية الوجوه)، ولكن $S_{5}$ لا يوجد تمثيل ثلاثي الأبعاد غير قابل للاختزال، وهو ما يتوافق مع كون المجموعة العشرين السطوح الكاملة ليست المجموعة المتناظرة.

ويمكن ربط هذه أيضًا بالمجموعات الخطية على الحقل المنتهي بخمسة عناصر، والتي تُظهر المجموعات الفرعية والمجموعات المغطية بشكل مباشر؛ ولا تمثل أي من هذه المجموعات مجموعة العشرين وجهًا الكاملة:

$A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),$ المجموعة الخطية الخاصة الإسقاطية ، انظر هنا للحصول على برهان؛
$S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),$ المجموعة الخطية العامة الإسقاطية ؛
$2I\cong \operatorname {SL} (2,5),$ المجموعة الخطية الخاصة .

دروس التصريف الزوجي

تندرج التناظرات الـ 120 ضمن 10 فئات من الترافق.

دروس التزاوج
أنا	فئات إضافية من I _h
الهوية، الترتيب 1 دوران 12 مرة بمقدار ±72 درجة، من الرتبة 5، حول المحاور الستة التي تمر عبر مراكز أوجه المجسم ذي الاثني عشر وجهًا دوران بمقدار 12 × ±144 درجة، من الرتبة 5، حول المحاور الستة التي تمر عبر مراكز أوجه المجسم ذي الاثني عشر وجهًا دوران 20 مرة بمقدار ±120 درجة، من الرتبة 3، حول المحاور العشرة التي تمر برؤوس المجسم ذي الاثني عشر وجهًا 15 × دوران بمقدار 180 درجة، من الرتبة 2، حول المحاور الخمسة عشر التي تمر بمنتصفات حواف المجسم ذي الاثني عشر وجهًا	الانعكاس المركزي، من الدرجة الثانية 12 × انعكاس دوراني بزاوية ±36 درجة، من الرتبة 10، حول المحاور الستة التي تمر عبر مراكز أوجه المجسم ذي الاثني عشر وجهًا 12 × انعكاس دوراني بزاوية ±108 درجة، من الرتبة 10، حول المحاور الستة التي تمر عبر مراكز أوجه المجسم ذي الاثني عشر وجهًا انعكاس دوراني بمقدار 20 ضعفًا بزاوية ±60 درجة، من الرتبة 6، حول المحاور العشرة التي تمر عبر رؤوس المجسم ذي الاثني عشر وجهًا انعكاس 15 مرة، من الرتبة 2، عند 15 مستوى عبر حواف المجسم ذي الاثني عشر وجهًا

المجموعات الفرعية لمجموعة التناظر العشري الوجوه الكاملة

يمثل كل سطر في الجدول التالي فئة واحدة من الزمر المترافقة (أي المتكافئة هندسيًا). ويشير عمود "التعدد" إلى عدد الزمر المختلفة في فئة الترافق.

شرح الألوان: الأخضر = المجموعات التي يتم توليدها عن طريق الانعكاسات، الأحمر = المجموعات الكيرالية (المحافظة على الاتجاه)، والتي تحتوي فقط على دورانات.

يتم وصف المجموعات هندسياً من حيث شكل المجسم ذي الاثني عشر وجهاً.

الاختصار "hts(edge)" يعني "نصف دورة تبديل هذه الحافة مع حافتها المقابلة"، وبالمثل بالنسبة لـ "face" و "vertex".

شون.	كوكسيتر	محجر العين.	جلالة الملكة	بناء	طلب	فِهرِس	متعدد.	وصف
أنا	[5,3]	*532	53 2/م	A ₅ × Z ₂	120	1	1	المجموعة الكاملة
D _2h	[2,2]	*222	ممم	D ₄ × D ₂ = D ₂³	8	15	5	تثبيت حافتين متقابلتين، وربما تبديلهما
C _{5 فولت}	[5]	55	5 أمتار	D ₁₀	10	12	6	إصلاح الوجه
C _3v	[3]	*33	3 أمتار	D ₆ =S ₃	6	20	10	تثبيت رأس
C _2v	[2]	*22	2 مم	D ₄ =D ₂²	4	30	15	إصلاح الحافة
C _s	[ ]	*	2 أو م	د ₂	2	60	15	انعكاس تبديل نقطتي نهاية حافة
ذ	[3 ⁺ ,4]	3*2	م 3	A ₄ × Z ₂	24	5	5	مجموعة بيريتوهيدرالية
د _5د	[2 ⁺ ,10]	2*5	10 م2	D ₂₀ =Z ₂ ×D ₁₀	20	6	6	إصلاح وجهين متقابلين، وربما تبديلهما
D _3d	[2 ⁺ ,6]	2*3	3 أمتار	D ₁₂ =Z ₂ ×D ₆	12	10	10	تثبيت رأسين متقابلين، وربما تبديلهما
D _1d = C _2h	[2 ⁺ ,2]	2*	2/م	D ₄ = Z ₂ × D ₂	4	30	15	نصف دورة حول نقطة المنتصف على الحافة، بالإضافة إلى انعكاس مركزي
S ₁₀	[2 ⁺ ،10 ⁺ ]	5×	5	Z ₁₀ =Z ₂ ×Z ₅	10	12	6	دوران الوجه، بالإضافة إلى الانعكاس المركزي
S ₆	[2 ⁺ ,6 ⁺ ]	3×	3	Z ₆ =Z ₂ ×Z ₃	6	20	10	الدوران حول رأس، بالإضافة إلى الانعكاس المركزي
S ₂	[2 ⁺ ,2 ⁺ ]	×	1	Z ₂	2	60	1	الانعكاس المركزي
أنا	[5,3] ⁺	532	532	5	60	2	1	جميع الدورات
تي	[3,3] ⁺	332	332	أ ₄	12	10	5	دوران رباعي الأوجه المحتوي
د ₅	[2,5] ⁺	522	522	D ₁₀	10	12	6	الدوران حول مركز الوجه، و hts(الوجه)
د ₃	[2,3] ⁺	322	322	D ₆ =S ₃	6	20	10	الدوران حول رأس، و hts(الرأس)
د ₂	[2,2] ⁺	222	222	D ₄ =Z ₂²	4	30	5	نصف دورة حول نقطة منتصف الحافة، و hts(edge)
ج ₅	[5] ⁺	55	5	Z ₅	5	24	6	دوران حول مركز الوجه
ج ₃	[3] ⁺	33	3	Z ₃ =A ₃	3	40	10	الدوران حول رأس
ج ₂	[2] ⁺	22	2	Z ₂	2	60	15	نصف دورة حول نقطة منتصف الحافة
ج ₁	[ ] ⁺	11	1	Z ₁	1	120	1	مجموعة تافهة

مثبتات الرأس

يمكن تفسير مثبتات زوج متقابل من الرؤوس على أنها مثبتات للمحور الذي تولده.

تُعطي مُثبِّتات الرؤوس في I مجموعات دورية C ₃
تُعطي مُثبِّتات الرؤوس في I _h مجموعات ثنائية السطوح D ₃
تُعطي مُثبِّتات زوج مُتقابل من الرؤوس في المجموعة I مجموعات ثنائية السطوح D ₃
تُعطي مُثبِّتات زوج مُتقابل من الرؤوس في I _h $D_{3}\times \pm 1$

مثبتات الحواف

يمكن تفسير مثبتات زوج متقابل من الحواف على أنها مثبتات للمستطيل الذي تولده.

مثبتات الحواف في I تعطي مجموعات حلقية Z ₂
تُعطي مُثبِّتات الحواف في I _h مجموعات كلاين الرباعية $Z_{2}\times Z_{2}$
مثبتات زوج من الحواف في مجموعات كلاين الرباعية التي أعطيها $Z_{2}\times Z_{2}$ ; هناك 5 منها، يتم الحصول عليها عن طريق الدوران بمقدار 180 درجة في 3 محاور متعامدة.
تُعطي مُثبِّتات زوج من الحواف في I _h $Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}$ ; هناك 5 من هذه، يتم الحصول عليها عن طريق الانعكاسات في 3 محاور متعامدة.

مثبتات الوجه

يمكن تفسير مثبتات زوج متقابل من الوجوه على أنها مثبتات للمنشور المضاد الذي تولده.

مثبتات الوجه في I تعطي مجموعات حلقية C ₅
تُعطي مُثبّتات الوجه في I _h مجموعات ثنائية السطوح D ₅
تُعطي مُثبِّتات زوج مُتقابل من الأوجه في المجموعة I مجموعات ثنائية السطوح D ₅
تُعطي مُثبِّتات زوج مُتقابل من الوجوه في I _h $D_{5}\times \pm 1$

مثبتات متعددة الأوجه

لكل من هذه، توجد 5 نسخ مترافقة، وعملية الترافق تعطي خريطة، بل تماثلاً. $I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}$ .

مثبتات الأوجه الرباعية المحصورة في I هي نسخة من T
تُعدّ مُثبّتات الأوجه الرباعية المُحاطة في I _h نسخة من T
تُعدّ مُثبّتات المكعبات المُحاطة (أو الزوج المُتقابل من رباعيات الأوجه، أو ثمانيات الأوجه) في I نسخةً من T
تُعدّ مُثبّتات المكعبات المُحاطة (أو الزوج المُتقابل من رباعيات الأوجه، أو ثمانيات الأوجه) في I _h نسخةً من T _h

مولدات مجموعة كوكسيتر

مجموعة التناظر العشري الوجوه الكاملة [5,3] ( ) من الرتبة 120 لها مولدات ممثلة بمصفوفات الانعكاس R ₀ و R ₁ و R ₂ الموضحة أدناه، مع العلاقات التالية: R ₀² = R ₁² = R ₂² = (R ₀ × R ₁ ) ⁵ = (R ₁ × R ₂ ) ³ = (R ₀ × R ₂ ) ² = مصفوفة الوحدة. المجموعة [5,3] ⁺ ( ) من الرتبة 60 تتولد من أي دورانين من الدورانات S _0,1 و S _1,2 و S _0,2 . يتولد انعكاس دوراني من الرتبة 10 بواسطة V _0,1,2 ، وهو حاصل ضرب الانعكاسات الثلاثة. $\phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ يشير إلى النسبة الذهبية .

[5,3],
	تأملات			التناوب			انعكاس الدوران
اسم	R ₀	R ₁	R ₂	S _0,1	S _1,2	S _0,2	V _0,1,2
مجموعة
طلب	2	2	2	5	3	2	10
المصفوفة	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,0,0) _ن	$({\begin{smallmatrix}{\frac {\phi }{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {\phi -1}{2}}\end{smallmatrix}})$ _ن	(0,1,0) _ن	$(0,-1,\phi )$ _محور	$(1-\phi ,0,\phi )$ _محور	$(0,0,1)$ _محور

المجال الأساسي

تُعطى المجالات الأساسية لمجموعة الدوران العشرية الوجوه ومجموعة العشرية الوجوه الكاملة كما يلي:

مجموعة الدوران العشري الوجوه الأولى	مجموعة كاملة من عشرينيات الوجوه I _h	وجوه المجسم ثلاثي الأضلاع ثنائي الأضلاع هي المجال الأساسي

في المجسم ثلاثي الأضلاع ثنائي الأضلاع، يكون أحد الأوجه الكاملة مجالًا أساسيًا؛ ويمكن الحصول على مواد صلبة أخرى بنفس التناظر عن طريق ضبط اتجاه الأوجه، على سبيل المثال تسطيح مجموعات فرعية مختارة من الأوجه لدمج كل مجموعة فرعية في وجه واحد، أو استبدال كل وجه بأوجه متعددة، أو سطح منحني.

متعددات السطوح ذات التناظر العشري الوجوه

تشمل الأمثلة الأخرى على الأشكال متعددة السطوح ذات التناظر العشري الوجوه الشكل الاثني عشري الوجوه المنتظم ( الثنائي للعشري الوجوه) والشكل المعيني ثلاثي الأوجه .

متعددات السطوح الكيرالية

فصل	الرموز	صورة
أرخميدس	sr{5,3}
الكاتالونية	الإصدار 3.3.3.3.5

تناظر كامل عشريني الوجوه

المجسم الأفلاطوني	متعددات السطوح كيبلر-بوينسو		المجسمات الأرخميدية
{5,3}	{5/2,5}	{5/2,3}	t{5,3}	t{3,5}	r{3,5}	rr{3,5}	tr{3,5}
المجسم الأفلاطوني	متعددات السطوح كيبلر-بوينسو		المواد الصلبة الكاتالونية
{3,5} =	{5,5/2} =	{3.5/2} =	الإصدار 3.10.10	الإصدار 5.6.6	الإصدار 3.5.3.5	الإصدار 3.4.5.4	الإصدار 4.6.10

أجسام أخرى ذات تناظر عشريني الوجوه

أمثلة على التناظر العشري الوجوه

سيركوجونيا إيكوساهيدرا ، من الشعاعيات

غلاف فيروس غدي

أيون الدوديكابورات [ _B12H12 ] ₂₋

أسطح بارث
بنية الفيروس ، والكبسيد
في الكيمياء، أيون الدوديكابورات ([B ₁₂ H ₁₂ ] ²⁻ ) وجزيء الدوديكاهيدران (C ₂₀ H ₂₀ )

البلورات السائلة ذات التناظر العشري الوجوه

بالنسبة للمرحلة المادية الوسيطة المعروفة باسم البلورات السائلة ، اقترح هـ. كلاينرت وك. ماكي ^{[ 6 ]} وجود تناظر عشريني الوجوه ، وقد تم تحليل بنيته بالتفصيل لأول مرة في تلك الورقة. للاطلاع على المقالة المرجعية، انقر هنا . في الألومنيوم، تم اكتشاف البنية العشرينية الوجوه تجريبياً بعد ثلاث سنوات من ذلك على يد دان شيختمان ، وهو الاكتشاف الذي نال عنه جائزة نوبل عام 2011.

جسيمات نانوية عشرينية الوجوه

عند الأحجام الصغيرة، تشكل العديد من العناصر جسيمات نانوية عشرينية الوجوه ، والتي غالباً ما تكون أقل طاقة من البلورات الأحادية . ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

الأشكال الهندسية ذات الصلة

التناظر العشري الوجوه هو مكافئ لمجموعة التناظر الخطية الخاصة الإسقاطية PSL(2,5)، وهي مجموعة تناظر المنحنى المعياري X(5)، وبشكل أعم، فإن PSL(2, p ) هي مجموعة تناظر المنحنى المعياري X( p ). المنحنى المعياري X(5) هندسيًا هو مجسم ذو اثني عشر وجهًا، وله قمة مدببة في مركز كل وجه مضلع، مما يدل على مجموعة التناظر.

تمت دراسة هذه الهندسة، ومجموعة التناظر المرتبطة بها، بواسطة فيليكس كلاين كمجموعات أحادية لسطح بيلي - سطح ريمان مع خريطة هولومورفية إلى كرة ريمان، متفرعة فقط عند 0 و1 واللانهاية ( دالة بيلي ) - الرؤوس هي النقاط التي تقع فوق اللانهاية، بينما تقع رؤوس ومراكز كل حافة فوق 0 و1؛ درجة التغطية (عدد الصفائح) تساوي 5.

استمرت تحقيقات كلاين باكتشافه للتناظرات من الدرجة 7 والدرجة 11 في ( كلاين 1878 ) و ( كلاين 1879 ) (والأغطية المرتبطة بها من الدرجة 7 و11) ورسوم الأطفال ، حيث أدى الأول إلى رباعي كلاين ، الذي يحتوي هندسته المرتبطة به على تبليط بواسطة 24 سباعي الأضلاع (مع وجود قمة في مركز كل منها).

تحدث هندسات مماثلة لـ PSL(2, n ) ومجموعات أكثر عمومية للمنحنيات المعيارية الأخرى.

على نحوٍ أكثر غرابة، توجد روابط خاصة بين المجموعات PSL(2,5) (الرتبة 60)، و PSL(2,7) (الرتبة 168)، وPSL(2,11) (الرتبة 660)، والتي تقبل أيضًا تفسيرات هندسية؛ فـPSL(2,5) هي تناظرات المجسم العشري الوجوه (الجنس 0)، وPSL(2,7) هي تناظرات رباعي كلاين (الجنس 3)، وPSL(2,11) هي تناظرات سطح كرة بوكي (الجنس 70). تُشكّل هذه المجموعات " ثالوثًا " بالمعنى الذي طرحه فلاديمير أرنولد ، والذي يُوفّر إطارًا للعلاقات المختلفة؛ انظر الثالوثات لمزيد من التفاصيل.

توجد علاقة وثيقة مع الأجسام الأفلاطونية الأخرى .

استخدم بوانكاريه مجموعة التناظر الدوراني $I\subset \mathrm {SO} _{3}$ لبناء كرة التماثل بوانكاريه كمتشعب خارج القسمة $X=\mathrm {SO} _{3}/I$ ، وهو مثال مهم على فضاء يكون تماثله مع تماثل الكرة $S^{3}$ ، ولكنه ليس متماثلاً معه.

انظر أيضاً

مراجع

↑ السير ويليام روان هاميلتون (1856)، "مذكرة بشأن نظام جديد لجذور الوحدة" (ملف PDF) ، المجلة الفلسفية ، 12 : 446
↑ غراي، هيرمان (2018)، تاريخ الجبر المجرد: من المعادلات الجبرية إلى الجبر الحديث ، سبرينغر، ص 371، doi : 10.1007/978-3-319-94772-3 (غير نشط في 1 يوليو 2025)، ISBN 978-3-319-94772-3{{citation}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من يوليو 2025 ( رابط )
↑ روتمان 1998 ، الصفحات 74-75 . خطأ في رقم المرجع: لا يوجد هدف: CITEREFRotman1998 ( مساعدة )
↑ كلاين، فيليكس (1888)، محاضرات حول المجسم العشري الوجوه وحل معادلات الدرجة الخامسة ، دار نشر كوريير، رقم ISBN 978-0-486-49528-6،{{citation}}: رقم ISBN / عدم توافق التاريخ ( مساعدة ) طبعة دوفر، مترجمة من كلاين، فيليكس (1884)، Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade ، Teubner
↑ توث، غابور (2002)، "القسم 1.6، موضوع إضافي"، نظرية كلاين للمجسم العشري الوجوه ، سبرينغر، ص 66
^ كلاينرت، هـ. وماكي، ك. (1981). “نسيج شبكي في البلورات السائلة الكولسترولية” (PDF) . فورتشريت دير فيزيك . 29 (5): 219– 259. بيب كود : 1981ForPh..29..219K . دوى : 10.1002/prop.19810290503 . مؤرشفة من الأصلي (PDF) بتاريخ 2020-04-26 . تم الاسترجاع 2011/10/06 .
↑ إينو، شوزو (15 أكتوبر 1969). "استقرار الجسيمات متعددة التوأمة" . مجلة الجمعية الفيزيائية اليابانية . 27 (4): 941-953 . Bibcode : 1969JPSJ...27..941I . doi : 10.1143/JPSJ.27.941 . ISSN 0031-9015 .
↑ ماركس، إل دي؛ بينغ، إل (21 يناير 2016). "شكل الجسيمات النانوية، الديناميكا الحرارية، والحركية" . مجلة الفيزياء: المادة المكثفة . 28 (5) 053001. رمز Bibcode : 2016JPCM...28e3001M . doi : 10.1088/0953-8984/28/5/053001 . ISSN 0953-8984 . PMID 26792459 .

كلاين، ف. (1878). "Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen" [ حول التحويل من الترتيب السابع للدوال الإهليلجية ] . الرياضيات أنالن . 14 (3): 428-471 . دوى : 10.1007 / BF01677143 . S2CID 121407539 . ترجمة: ليفي، سيلفيو، محرر (1999). الطريق الثماني . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-66066-2MR 1722410 .
Klein، F. (1879)، “Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (في تحويل الترتيب الحادي عشر للوظائف الإهليلجية)” ، Mathematische Annalen ، 15 ( 3– 4): 533–555 ، دوى : 10.1007 / BF02086276 ، S2CID 120316938 ، جُمعت في الصفحات 140-165 في الأعمال، المجلد 3
كلاين، فيليكس (1888)، محاضرات حول المجسم العشري الوجوه وحل معادلات الدرجة الخامسة ، تروبنر وشركاه، ISBN 0-486-49528-0ترجمة : جورج جافين موريس{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) CS1 maint : postscript ( رابط )
توث، غابور (2002)، مجموعات موبيوس المحدودة، والغمر الأدنى للكرات، والمعاملات
بيتر ر. كرومويل، متعددات السطوح (1997)، ص 296
تناظرات الأشياء 2008، جون إتش. كونواي، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس، رقم ISBN 978-1-56881-220-5
كتاب "المناظير: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيك فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، رقم ISBN 978-0-471-01003-6أُرشف بتاريخ 11 يوليو 2016 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .
إن دبليو جونسون : الهندسة والتحويلات ، (2018) ISBN 978-1-107-10340-5الفصل 11: مجموعات التناظر المنتهية ، 11.5 مجموعات كوكسيتر الكروية

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "مجموعة عشرون وجهًا" . عالم الرياضيات .
المجموعات الفرعية لـ W(H3) مؤرشفة بتاريخ 30 أغسطس 2021 في أرشيف الإنترنت ( المجموعات الفرعية لمجموعات كوكسيتر الأخرى مؤرشفة بتاريخ 2 أغسطس 2020 في أرشيف الإنترنت ) غوتز فايفر

[1] السير ويليام روان هاميلتون (1856)، "مذكرة بشأن نظام جديد لجذور الوحدة" (ملف PDF) ، المجلة الفلسفية ، 12 : 446

[2] غراي، هيرمان (2018)، تاريخ الجبر المجرد: من المعادلات الجبرية إلى الجبر الحديث ، سبرينغر، ص 371، doi : 10.1007/978-3-319-94772-3 (غير نشط في 1 يوليو 2025)، ISBN 978-3-319-94772-3{{citation}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من يوليو 2025 ( رابط )

[FOOTNOTERotman1998[httpsbooksgooglecombooksid0kHhBwAAQBAJpgPA75_74–75]-3] روتمان 1998 ، الصفحات 74-75 . خطأ في رقم المرجع: لا يوجد هدف: CITEREFRotman1998 ( مساعدة )

[4] كلاين، فيليكس (1888)، محاضرات حول المجسم العشري الوجوه وحل معادلات الدرجة الخامسة ، دار نشر كوريير، رقم ISBN 978-0-486-49528-6،{{citation}}: رقم ISBN / عدم توافق التاريخ ( مساعدة ) طبعة دوفر، مترجمة من كلاين، فيليكس (1884)، Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade ، Teubner

[5] توث، غابور (2002)، "القسم 1.6، موضوع إضافي"، نظرية كلاين للمجسم العشري الوجوه ، سبرينغر، ص 66

[6] كلاينرت، هـ. وماكي، ك. (1981). “نسيج شبكي في البلورات السائلة الكولسترولية” (PDF) . فورتشريت دير فيزيك . 29 (5): 219– 259. بيب كود : 1981ForPh..29..219K . دوى : 10.1002/prop.19810290503 . مؤرشفة من الأصلي (PDF) بتاريخ 2020-04-26 . تم الاسترجاع 2011/10/06 .

[7] إينو، شوزو (15 أكتوبر 1969). "استقرار الجسيمات متعددة التوأمة" . مجلة الجمعية الفيزيائية اليابانية . 27 (4): 941-953 . Bibcode : 1969JPSJ...27..941I . doi : 10.1143/JPSJ.27.941 . ISSN 0031-9015 .

[8] ماركس، إل دي؛ بينغ، إل (21 يناير 2016). "شكل الجسيمات النانوية، الديناميكا الحرارية، والحركية" . مجلة الفيزياء: المادة المكثفة . 28 (5) 053001. رمز Bibcode : 2016JPCM...28e3001M . doi : 10.1088/0953-8984/28/5/053001 . ISSN 0953-8984 . PMID 26792459 .

[ 1 ]

[

[

[

[

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗