قوة لورنتز

في الكهرومغناطيسية ، تُعرف قوة لورنتز بأنها القوة التي تؤثر بها المجالات الكهربائية والمغناطيسية على الجسيمات المشحونة . وهي تحدد كيفية تحرك الجسيمات المشحونة في البيئات الكهرومغناطيسية ، وتُشكل أساس العديد من الظواهر الفيزيائية، بدءًا من تشغيل المحركات الكهربائية ومسرعات الجسيمات وصولًا إلى سلوك البلازما .

تتكون قوة لورنتز من مركبتين. تعمل القوة الكهربائية في اتجاه المجال الكهربائي للشحنات الموجبة، وعكسه للشحنات السالبة، مما يؤدي إلى تسريع الجسيم في خط مستقيم. أما القوة المغناطيسية ، فهي عمودية على كل من سرعة الجسيم والمجال المغناطيسي، وتتسبب في تحرك الجسيم على مسار منحني، غالباً ما يكون دائرياً أو حلزونياً، وذلك تبعاً لاتجاهات المجالين.

تصف الاختلافات في قانون القوة القوة المغناطيسية المؤثرة على سلك يحمل تيارًا كهربائيًا (تسمى أحيانًا قوة لابلاس )، والقوة الدافعة الكهربائية في حلقة سلكية تتحرك عبر مجال مغناطيسي، كما هو موضح في قانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي . ^{[ 1 ]}

إلى جانب معادلات ماكسويل ، التي تصف كيفية توليد المجالات الكهربائية والمغناطيسية بواسطة الشحنات والتيارات، يشكل قانون قوة لورنتز أساس الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية . ^{[ 2 ] [ 3 ]} وبينما يظل هذا القانون ساريًا في النسبية الخاصة ، فإنه يفقد صلاحيته عند المقاييس الصغيرة حيث تصبح التأثيرات الكمومية مهمة. وعلى وجه الخصوص، يؤدي الدوران الذاتي للجسيمات إلى تفاعلات إضافية مع المجالات الكهرومغناطيسية لا تأخذها قوة لورنتز في الحسبان.

يشير المؤرخون إلى أن القانون مضمن في ورقة بحثية لجيمس كلارك ماكسويل ، نُشرت عام 1865. ^{[ 1 ]} وتوصل هندريك لورنتز إلى اشتقاق كامل عام 1895، ^{[ 4 ]} مُحددًا مساهمة القوة الكهربائية بعد بضع سنوات من تحديد أوليفر هيفسايد الصحيح لمساهمة القوة المغناطيسية. ^{[ 5 ]}

عند وضع سلك يحمل تيارًا كهربائيًا ثابتًا في مجال مغناطيسي خارجي، تتعرض كل شحنة متحركة في السلك لقوة لورنتز. وتُنتج هذه القوى مجتمعةً قوةً كليةً على السلك. بالنسبة لسلك مستقيم وثابت في مجال مغناطيسي منتظم، تُعطى هذه القوة بالعلاقة التالية: ^{[ 19 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} ,}$$ حيث I هو التيار و ℓ هو متجه مقداره طول السلك، واتجاهه على طول السلك، متوافق مع اتجاه التيار.

اشتقاق هذه المعادلة بسيط. لنفترض موصلاً طوله ℓ ، ومقطعه العرضي A ، وشحنته q نتيجة مرور تيار كهربائي I. إذا وُضع هذا الموصل في مجال مغناطيسي شدته B يصنع زاوية θ مع سرعة الشحنات في الموصل، فإن القوة المؤثرة على شحنة واحدة q هي:

$${\displaystyle F_{q}=qvB\sin \theta ,}$$

لذا، بالنسبة لـ N شحنة حيث${\displaystyle N=n\ell A,}$ (حيث n هي كثافة الشحنات في السلك) القوة المؤثرة على الموصل هي

$${\displaystyle F=NF_{q}=qvBn\ell A\sin \theta =BI\ell \sin \theta ,}$$ حيث التيار، I = nqvA . وهذا هو نفسه المعادلة أعلاه باستخدام تعريف الضرب الاتجاهي.

إذا لم يكن السلك مستقيماً أو كان المجال المغناطيسي غير منتظم، فيمكن حساب القوة الكلية بتطبيق الصيغة على كل جزء متناهي الصغر من السلك.${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$ثم جمع كل هذه القوى بالتكامل . في هذه الحالة، تكون القوة المحصلة المؤثرة على سلك ثابت يحمل تيارًا ثابتًا هي ^{[ 20 ]}

$${\displaystyle \mathbf {F} =I\int (\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} ).}$$

أحد تطبيقات هذا القانون هو قانون قوة أمبير ، الذي يصف التجاذب أو التنافر بين سلكين يحملان تيارًا كهربائيًا. يُولّد كل سلك مجالًا مغناطيسيًا، يُوصف بقانون بيو-سافار ، والذي يُؤثر بقوة لورنتز على السلك الآخر. إذا سارت التيارات في نفس الاتجاه، يتجاذب السلكان؛ وإذا سارت في اتجاهين متعاكسين، يتنافران. شكّل هذا التفاعل أساس التعريف السابق للأمبير ، باعتباره التيار الثابت الذي يُنتج قوة مقدارها 2 × 10⁻⁷ ^نيوتن لكل متر بين سلكين مستقيمين متوازيين يفصل بينهما متر واحد. ^{[ 21 ]}

ومن التطبيقات الأخرى المحرك الحثي . يُولّد التيار المتردد في ملفات الجزء الثابت مجالًا مغناطيسيًا متحركًا يحث تيارًا في الجزء الدوار. وتتولد قوة لورنتز الناتجة.${\displaystyle \mathbf {F} }$يؤدي تأثير المجال المغناطيسي على الدوار إلى توليد عزم دوران، مما يجعل المحرك يدور. وبالتالي، على الرغم من أن قانون قوة لورنتز لا ينطبق عندما يكون المجال المغناطيسي${\displaystyle \mathbf {B} }$يتم توليدها بواسطة التيار${\displaystyle I}$ينطبق ذلك عندما يكون التيار${\displaystyle I}$يحدث ذلك نتيجة لحركة المجال المغناطيسي${\displaystyle \mathbf {B} }$.

القوة الدافعة الكهربائية الحركية، الناتجة عن تحريك موصل عبر مجال مغناطيسي.

القوة الدافعة الكهربائية للمحول، الناتجة عن تغير المجال المغناطيسي.

يمكن لقوة لورنتز المؤثرة على الشحنات الكهربائية في حلقة موصلة أن تُنتج تيارًا كهربائيًا عن طريق دفع الشحنات في جميع أنحاء الدائرة. هذا التأثير هو الآلية الأساسية التي تقوم عليها المحركات والمولدات الحثية . ويتم وصفه بدلالة القوة الدافعة الكهربائية، وهي كمية تلعب دورًا محوريًا في نظرية الحث الكهرومغناطيسي . في دائرة بسيطة ذات مقاومة${\displaystyle R}$، قوة دافعة كهربائية${\displaystyle {\mathcal {E}}}$يؤدي إلى نشوء تيار${\displaystyle I}$وفقًا لقانون أوم${\displaystyle {\mathcal {E}}=IR}$[ ^{22 ]​}

يمكن لكلا مركبتي قوة لورنتز - الكهربائية والمغناطيسية - أن تساهما في القوة الدافعة الكهربائية في الدائرة، ولكن من خلال آليات مختلفة. في كلتا الحالتين، تُوصف القوة الدافعة الكهربائية المستحثة بقاعدة فاراداي للتدفق المغناطيسي ، والتي تنص على أن القوة الدافعة الكهربائية حول حلقة مغلقة تساوي معدل التغير السالب للتدفق المغناطيسي عبر الحلقة: ^{[ 23 ]}$${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}.}$$التدفق المغناطيسي${\displaystyle \Phi _{B}}$يُعرَّف بأنه التكامل السطحي للمجال المغناطيسي${\displaystyle \mathbf {B} }$فوق سطح${\displaystyle \mathbf {\Sigma } (t)}$محصورة داخل الحلقة: ^{[ 23 ]}

$${\displaystyle \Phi _{B}=\int _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} }$$

يمكن أن يتغير التدفق إما بسبب حركة الحلقة أو تشوهها بمرور الوقت، أو بسبب تغير المجال نفسه بمرور الوقت. يتوافق هذان الاحتمالان مع الآليتين الموصوفتين في قاعدة التدفق: ^{[ 23 ]}

• القوة الدافعة الكهربائية الحركية : تتحرك الدائرة عبر مجال مغناطيسي ثابت ولكنه غير منتظم.
• القوة الدافعة الكهربائية للمحول : تبقى الدائرة ثابتة بينما يتغير المجال المغناطيسي بمرور الوقت

تُحدد إشارة القوة الدافعة الكهربائية المستحثة بواسطة قانون لينز ، الذي ينص على أن التيار المستحث ينتج مجالًا مغناطيسيًا يعاكس التغير في التدفق الأصلي. ^{[ 23 ]}

يمكن اشتقاق قاعدة التدفق من معادلة ماكسويل-فاراداي وقانون قوة لورنتز. ^{[ 22 ]} في بعض الحالات، وخاصة في الأنظمة الممتدة، قد يصعب تطبيق قاعدة التدفق مباشرةً أو قد لا توفر وصفًا كاملاً، ويجب استخدام قانون قوة لورنتز الكامل. (انظر عدم قابلية تطبيق قانون فاراداي ). ^{[ 24 ]}

القوة الدافعة الحركية

تُوضَّح الآلية الأساسية وراء القوة الدافعة الكهربائية الحركية بقضيب موصل يتحرك عبر مجال مغناطيسي عمودي على كلٍّ من القضيب واتجاه حركته. نتيجةً للحركة في المجال المغناطيسي، تتعرض الإلكترونات المتحركة في الموصل للمركبة المغناطيسية ( q v × B ) لقوة لورنتز التي تدفعها على طول القضيب. يؤدي هذا إلى فصل الشحنات بين طرفي القضيب. في حالة الاستقرار، يتوازن المجال الكهربائي الناتج عن الشحنة المتراكمة مع القوة المغناطيسية. ^{[ 25 ]}

إذا كان القضيب جزءًا من حلقة موصلة مغلقة تتحرك عبر مجال مغناطيسي غير منتظم، فإن التأثير نفسه يُمكن أن يُولّد تيارًا كهربائيًا في الدائرة. على سبيل المثال، لنفترض أن المجال المغناطيسي محصور في منطقة محدودة من الفضاء، وأن الحلقة تقع في البداية خارج هذه المنطقة. عندما تتحرك الحلقة داخل المجال، تزداد مساحة الحلقة التي تُحيط بالتدفق المغناطيسي، مما يُؤدي إلى توليد قوة دافعة كهربائية. من منظور قوة لورنتز، يعود ذلك إلى أن المجال يُؤثر بقوة مغناطيسية على حاملات الشحنة في أجزاء الحلقة التي تدخل المنطقة. بمجرد أن تستقر الحلقة بأكملها في مجال مغناطيسي منتظم وتستمر في الحركة بسرعة ثابتة، يظل التدفق المغناطيسي الكلي المحصور ثابتًا، وتتلاشى القوة الدافعة الكهربائية. في هذه الحالة، تتلاشى القوى المغناطيسية على جانبي الحلقة المتقابلين.

بدأت المحاولات الأولى لوصف القوة الكهرومغناطيسية كميًا في منتصف القرن الثامن عشر. اقترح يوهان توبياس ماير وآخرون عام 1760 ^{[ 32 ]} أن القوة المؤثرة على الأقطاب المغناطيسية، وعلى الأجسام المشحونة كهربائيًا، اقترح هنري كافنديش عام 1762 ^{[ 33 ]} ، تخضع لقانون التربيع العكسي . إلا أن البرهان التجريبي في كلتا الحالتين لم يكن كاملًا ولا قاطعًا. ولم يتمكن شارل أوغستان دي كولوم ، باستخدام ميزان الالتواء ، من إثبات صحة ذلك تجريبيًا بشكل قاطع إلا عام 1784 ^{[ 34 ]} . وبعد فترة وجيزة من اكتشاف هانز كريستيان أورستد عام 1820 أن التيار الفولتائي يؤثر على إبرة مغناطيسية، تمكن أندريه ماري أمبير في العام نفسه من وضع صيغة، تجريبيًا، للعلاقة الزاوية بين القوة وعنصرين من عناصر التيار. ^{[ 35 ] [ 36 ]} في جميع هذه الأوصاف، تم وصف القوة دائمًا من حيث خصائص المادة المعنية والمسافات بين كتلتين أو شحنتين بدلاً من وصفها من حيث المجالات الكهربائية والمغناطيسية. ^{[ 37 ]}

ظهر المفهوم الحديث للمجالات الكهربائية والمغناطيسية لأول مرة في نظريات مايكل فاراداي ، ولا سيما فكرته عن خطوط القوة ، والتي وصفها لاحقًا اللورد كلفن وجيمس كلارك ماكسويل وصفًا رياضيًا كاملًا . ^{[ 38 ]} من منظور حديث، يمكن تحديد شكل من أشكال معادلة لورنتز للقوة فيما يتعلق بالتيارات الكهربائية في صياغة ماكسويل لمعادلات المجال عام 1865، ^{[ 1 ] [ 39 ]} على الرغم من أنه في زمن ماكسويل لم يكن واضحًا كيف ترتبط معادلاته بالقوى المؤثرة على الأجسام المشحونة المتحركة. كان جيه جيه طومسون أول من حاول اشتقاق القوى الكهرومغناطيسية المؤثرة على جسم مشحون متحرك من معادلات ماكسويل للمجال، وذلك بدلالة خصائص الجسم والمجالات الخارجية. وانطلاقًا من اهتمامه بتحديد السلوك الكهرومغناطيسي للجسيمات المشحونة في أشعة الكاثود ، نشر طومسون بحثًا عام 1881 حدد فيه القوة المؤثرة على الجسيمات نتيجةً لمجال مغناطيسي خارجي. ومع ذلك، وبسبب بعض الحسابات الخاطئة والوصف غير الكامل لتيار الإزاحة ، أدرج طومسون عامل قياس غير صحيح يبلغ نصف في الصيغة، ليصل إلى ^{[ 5 ] [ 40 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$ابتكر أوليفر هيفسايد الترميز المتجهي الحديث وطبّقه على معادلات ماكسويل للمجال؛ كما صحّح (في عامي 1885 و1889) أخطاء اشتقاق طومسون، وتوصل إلى الصيغة الصحيحة للقوة المغناطيسية المؤثرة على جسم مشحون متحرك. ^{[ 5 ] [ 41 ] [ 42 ]} وأخيرًا، في عام 1895، ^{[ 4 ] [ 43 ]} اشتق هندريك لورنتز الصيغة الحديثة للقوة الكهرومغناطيسية، والتي تشمل مساهمات المجالين الكهربائي والمغناطيسي في القوة الكلية. بدأ لورنتز بالتخلي عن وصف ماكسويل للأثير والتوصيل. وبدلًا من ذلك، ميّز لورنتز بين المادة والأثير المضيء، وسعى إلى تطبيق معادلات ماكسويل على المستوى المجهري. باستخدام صيغة هيفسايد لمعادلات ماكسويل للأثير الساكن وتطبيق ميكانيكا لاغرانج (انظر أدناه)، توصل لورنتز إلى الشكل الصحيح والكامل لقانون القوة الذي يحمل اسمه الآن. ^{[ 44 ] [ 45 ]}

يمكن استبدال المجالين E و B بالجهد المغناطيسي المتجه A والجهد الكهروستاتيكي ( القياسي ) ϕ بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\[1ex]\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$$ حيث ∇ هو التدرج، و∇⋅ هو التباعد، و∇× هو الدوران .

تصبح القوة $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right].}$$

باستخدام متطابقة للضرب الثلاثي، يمكن إعادة كتابة ذلك على النحو التالي $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right].}$$

(لاحظ أنه يجب التعامل مع الإحداثيات ومركبات السرعة كمتغيرات مستقلة، لذا فإن عامل دل يعمل فقط على${\displaystyle \mathbf {A} }$ليس على${\displaystyle \mathbf {v} }$وبالتالي ، لا حاجة لاستخدام ترميز فاينمان السفلي في المعادلة أعلاه. باستخدام قاعدة السلسلة، فإن المشتقة الحملية لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$هو: ^{[ 46 ]}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} }$$ وبذلك يصبح التعبير أعلاه كالتالي: $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\right].}$$

مع v = ẋ و $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}\left(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} \right)\right]=-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}},}$$ يمكننا وضع المعادلة في شكل أويلر-لاغرانج الملائم ^{[ 47 ]}

أين$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial z}}}$$و$${\displaystyle \nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {z}}}}.}$$

يصف لاغرانجيان جسيمًا مشحونًا كتلته m وشحنته q في مجال كهرومغناطيسي، بشكل مكافئ ، ديناميكيات الجسيم بدلالة طاقته ، بدلًا من القوة المؤثرة عليه. ويُعطى التعبير الكلاسيكي بالصيغة التالية: ^{[ 47 ]}$${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi }$$ حيث A و ϕ هما مجالا الجهد كما هو موضح أعلاه. الكمية${\displaystyle V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} )}$يمكن تعريفها على أنها طاقة كامنة معممة تعتمد على السرعة، وبالتالي،${\displaystyle \mathbf {F} }$كقوة غير محافظة . ^{[ 48 ]} باستخدام لاغرانجيان، يمكن الحصول على معادلة قوة لورنتز المذكورة أعلاه مرة أخرى.

يمكن اشتقاق الهاميلتوني من اللاغرانجي باستخدام تحويل ليجندر . الزخم الكنسي هو $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}_{i}}}=m{\dot {r}}_{i}+qA_{i}(\mathbf {r} ).}$$ بتطبيق تحويل ليجندر نحصل على ^{[ 49 ]}$${\displaystyle H={\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} -L={\frac {[\mathbf {p} -q\mathbf {A} (\mathbf {r} )]^{2}}{2m}}+q\phi .}$$يمكن تعميم هذا الهاميلتوني الكلاسيكي مباشرة إلى ميكانيكا الكم ، حيث${\displaystyle \mathbf {p} }$و${\displaystyle \mathbf {r} }$يصبحون مشغلين غير متنقلين.

لاغرانجيان النسبي هو $${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}+q\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )}$$

الفعل هو طول القوس النسبي لمسار الجسيم في الزمكان ، مطروحًا منه مساهمة طاقة الوضع، بالإضافة إلى مساهمة إضافية يمكن تحقيقها ، باستخدام ميكانيكا الكم ، كطور يتم الحصول عليه بواسطة جسيم مشحون يتحرك على طول جهد متجه.

في ميكانيكا الكم ، تُوصف الجسيمات بدوال موجية يخضع تطورها لمعادلة شرودنغر . ورغم أن هذه الصيغة لا تتضمن القوى بشكل صريح، إلا أنها توسع إطار ميكانيكا هاميلتون ، من خلال دمج التفاعلات مع المجالات الكهرومغناطيسية عبر حدود الجهد في الهاميلتوني . بالنسبة لجسيم غير نسبي كتلته${\displaystyle m}$وفرض رسوم${\displaystyle q}$، يأخذ الهاميلتوني الشكل التالي: $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\right]^{2}+q\Phi (\mathbf {r} ,t),}$$ هذا التعبير هو تعميم مباشر للهاميلتوني الكلاسيكي الذي يؤدي إلى قانون قوة لورنتز. والفرق الرئيسي هو أنه في ميكانيكا الكم، الموضع${\displaystyle \mathbf {r} }$والزخم${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$هي عوامل لا تتبادل . ونتيجة لذلك، تتضمن ديناميكيات الكم سلوكًا مختلفًا بشكل أساسي مثل تداخل الموجات والتكميم. ^{[ 52 ]}

على عكس الفيزياء الكلاسيكية، حيث تؤثر المجالات الكهربائية والمغناطيسية فقط على حركة الجسيمات، تسمح ميكانيكا الكم للجهود الكهرومغناطيسية نفسها بإحداث تأثيرات قابلة للملاحظة. ويتجلى ذلك في تأثير أهارونوف-بوم ، حيث يمر جسيم مشحون عبر منطقة ذات مجالات كهربائية ومغناطيسية معدومة، ولكنه يحيط بتدفق مغناطيسي محصور في منطقة لا يمكن الوصول إليها. وعلى الرغم من أن قوة لورنتز الكلاسيكية تساوي صفرًا على طول مسار الجسيم، فإن نمط التداخل المرصود على الشاشة يتغير تبعًا للتدفق المغناطيسي المحصور، مما يكشف عن الأهمية الفيزيائية للجهد المتجه في ميكانيكا الكم. ^{[ 53 ]}

مع ذلك، يظهر قانون قوة لورنتز الكلاسيكي كتقريب للديناميكا الكمومية: فبحسب نظرية إهرنفست ، تتطور القيمة المتوقعة لمؤثر الزخم وفقًا لمعادلة تُشبه قانون قوة لورنتز الكلاسيكي. حتى في إعداد أهارونوف-بوم، يتبع متوسط ​​حركة حزمة الموجة المسار الكلاسيكي. ^{[ 54 ]}

تمتلك الجسيمات الكمومية، مثل الإلكترونات، عزمًا مغزليًا ذاتيًا ، مما يُدخل تفاعلات كهرومغناطيسية إضافية تتجاوز تلك التي تصفها قوة لورنتز الكلاسيكية. في الحد غير النسبي، يتم التعبير عن ذلك بواسطة معادلة باولي ، التي تتضمن حدًا للاقتران بين العزم المغزلي والمجال المغناطيسي. $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{Pauli}}={\frac {1}{2m}}\left[{\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \right]^{2}+q\Phi +{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ,}$$ أين${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$هي مصفوفات باولي . يؤدي هذا الحد إلى قوى تعتمد على اللف المغزلي غير موجودة في النظرية الكلاسيكية. تُقدم معادلة ديراك معالجة نسبية كاملة ، حيث تتضمن اللف المغزلي والتفاعلات الكهرومغناطيسية من خلال اقتران أدنى، وتتنبأ بدقة بخصائص مثل النسبة المغناطيسية الدورانية للإلكترون . ^{[ 55 ]}

في العديد من التطبيقات العملية، لا تكفي قوة لورنتز لوصف السلوك الجماعي للجسيمات المشحونة بدقة، سواءً على المستوى العملي أو النظري. تتضمن الأنظمة الحقيقية العديد من الجسيمات المتفاعلة التي تولد بدورها مجالاتها الخاصة E و B. ولمراعاة هذه التأثيرات الجماعية - كالتيارات والتدفقات والبلازما - يلزم استخدام معادلات أكثر تعقيدًا، مثل معادلة بولتزمان ، ومعادلة فوكر-بلانك، ومعادلات نافيير-ستوكس . تتجاوز هذه النماذج ديناميكيات الجسيمات المفردة، إذ تشمل تفاعلات الجسيمات وتوليد المجال الذاتي المتسق، وهي أساسية في مجالات مثل الديناميكا المغناطيسية المائية ، والديناميكا الكهربائية المائية ، وفيزياء البلازما ، فضلًا عن فهم الظواهر الفيزيائية الفلكية وظواهر الموصلية الفائقة .

تحدث قوة لورنتز في العديد من الأجهزة، بما في ذلك:

• السيكلوترونات وغيرها من مسرعات الجسيمات ذات المسار الدائري
• مصائد الأيونات
• مطياف الكتلة
• مرشح السرعة
• المغنطرونات
• قياس سرعة قوة لورنتز

تتجلى هذه القوة في صورة قوة لابلاس المؤثرة على التيار الكهربائي في موصل، وتحدث هذه القوة في العديد من الأجهزة، بما في ذلك:

• المحركات الكهربائية
• مدافع السكك الحديدية
• المحركات الخطية
• مكبرات الصوت
• محركات الدفع المغناطيسية البلازمية الديناميكية
• مولدات كهربائية
• مولدات متجانسة الأقطاب
• المولدات الخطية

• بالنتين، ليزلي إي. (1998). ميكانيكا الكم . سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-02-4105-6.
• دال، بير ف. (1997). ومضة أشعة الكاثود: تاريخ كتاب جيه جيه طومسون "الإلكترون" . مطبعة سي آر سي. doi : 10.1201/9781482268461 . ISBN 978-0-429-18192-4.
• داريغول، أوليفييه (2000). الديناميكا الكهربائية من أمبير إلى أينشتاين . أكسفورد؛ نيويورك: مطبعة كلارندون. ISBN 0-19-850594-9.
• فاينمان، ريتشارد فيليبس ؛ لايتون، روبرت ب.؛ ساندز، ماثيو ل. (2006). محاضرات فاينمان في الفيزياء . المجلد  2. بيرسون / أديسون-ويسلي. ISBN 0-8053-9047-2.
• غريفيث، ديفيد ج. (2023). مقدمة في الديناميكا الكهربائية . مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/9781009397735 . ISBN 978-1-009-39773-5.
• هوراي، بول ج. (2009). معادلات ماكسويل . هوبوكين، نيوجيرسي: جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-470-54276-7.
• جاكسون، جون ديفيد (1998). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-471-30932-1.
• ناهين، بول (2002). أوليفر هيفسايد . مطبعة جامعة جونز هوبكنز. doi : 10.56021/9780801869099 . ISBN 978-0-8018-6909-9.
• بورسل، إدوارد م.؛ مورين، ديفيد ج. (2013). الكهرباء والمغناطيسية . مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/cbo9781139012973 . ISBN 978-1-139-01297-3.
• ساديكو، ماثيو نو (2018). عناصر الكهرومغناطيسية (  الطبعة السابعة). نيويورك/أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-069861-4. إل سي سي إن 2017046497 . 
• ساكوراي، جيه جيه؛ نابوليتانو، جيم (2020). ميكانيكا الكم الحديثة . مطبعة جامعة كامبريدج. رمز Bibcode : 2020mqm..book.....S . doi : 10.1017/9781108587280 . ISBN 978-1-108-58728-0.
• سيرواي، ريموند أ.؛ جويت، جون دبليو. الابن (2004). الفيزياء للعلماء والمهندسين، مع الفيزياء الحديثة . بيلمونت، كاليفورنيا: تومسون بروكس/كول. ISBN 0-534-40846-X.
• سريدنيكي، مارك أ. (2007). نظرية الحقل الكمومي . كامبريدج، إنجلترا؛ مدينة نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-86449-7.
• زانغويل، أندرو (2013). الديناميكا الكهربائية الحديثة . مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/CBO9781139034777 . ISBN 978-0-521-89697-9.

• قوة لورنتز (عرض توضيحي)
• تطبيق جافا تفاعلي حول الانحراف المغناطيسي لحزمة جسيمات في مجال مغناطيسي متجانس. مؤرشف بتاريخ 13 أغسطس 2011 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) بواسطة فولفغانغ باور.