كائن رياضي

تؤكد الأفلاطونية أن الكائنات الرياضية تُعتبر كيانات حقيقية مجردة ، موجودة بمعزل عن الفكر البشري ، وغالبًا ما تنتمي إلى عالم أفلاطوني . فكما توجد أجسام مادية كالإلكترونات والكواكب ، توجد أيضًا الأعداد والمجموعات. وكما أن العبارات المتعلقة بالإلكترونات والكواكب صحيحة أو خاطئة لاحتوائها على خصائص موضوعية تمامًا ، كذلك هي العبارات المتعلقة بالأعداد والمجموعات. يكتشف علماء الرياضيات هذه الكائنات بدلًا من اختراعها. ^{[ 10 ] [ 11 ]} (انظر أيضًا: الأفلاطونية الرياضية )

من أبرز الفلاسفة الأفلاطونيين:

• أفلاطون : الفيلسوف اليوناني القديمالذي، على الرغم من أنه لم يكن عالم رياضيات، وضع الأساس للأفلاطونية من خلال افتراض وجود عالم مجرد من الأشكال أو الأفكار الكاملة، الأمر الذي أثر على المفكرين اللاحقين في الرياضيات.
• كورت غودل : كان غودل، وهو عالم منطق ورياضيات من القرن العشرين، من أشد المؤيدين للأفلاطونية الرياضية، وكان لعمله في نظرية النماذج تأثير كبير على الأفلاطونية الحديثة.
• روجر بنروز : دافع بنروز، وهو فيزيائي رياضي معاصر، عن وجهة نظر أفلاطونية للرياضيات، مشيرًا إلى أن الحقائق الرياضية موجودة في عالم من الواقع المجرد الذي نكتشفه. ^{[ 12 ]}

ينكر المذهب الاسمي وجود الكائنات الرياضية بشكل مستقل، بل يرى أنها مجرد مفاهيم أو اختصارات ملائمة لوصف العلاقات والبنى ضمن لغتنا ونظرياتنا. وبناءً على هذا الرأي، لا وجود للكائنات الرياضية خارج نطاق الرموز والمفاهيم التي نستخدمها. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

من بين أبرز الأسماءيين:

• نيلسون غودمان : فيلسوف معروف بأعماله في فلسفة العلم والاسمية. جادل ضد وجود الأشياء المجردة، مقترحاً بدلاً من ذلك أن الأشياء الرياضية ليست سوى نتاج اصطلاحاتنا اللغوية والرمزية.
• هارتري فيلد : فيلسوف معاصر طور شكلاً من أشكال الاسمية يسمى " الخيالية "، والذي يجادل بأن العبارات الرياضية هي خيالات مفيدة لا تتوافق مع أي كائنات مجردة فعلية. ^{[ 15 ]}

تؤكد المنطقية أن جميع الحقائق الرياضية يمكن اختزالها إلى حقائق منطقية ، وأن جميع الأشياء التي تشكل موضوع هذه الفروع من الرياضيات هي أشياء منطقية. بعبارة أخرى، الرياضيات هي في جوهرها فرع من فروع المنطق ، ويمكن اشتقاق جميع المفاهيم والنظريات والحقائق الرياضية من مبادئ وتعريفات منطقية بحتة. واجهت المنطقية تحديات، لا سيما مع بديهيات روسيل، وبديهية الضرب (التي تُسمى الآن بديهية الاختيار ) وبديهية اللانهاية ، ولاحقًا مع اكتشاف نظريات عدم الاكتمال لغودل ، التي أظهرت أن أي نظام صوري قوي بما فيه الكفاية (مثل تلك المستخدمة للتعبير عن الحساب ) لا يمكن أن يكون كاملاً ومتسقًا في آن واحد. هذا يعني أنه لا يمكن اشتقاق جميع الحقائق الرياضية من نظام منطقي بحت، مما يقوض البرنامج المنطقي. ^{[ 16 ]}

من بين علماء المنطق البارزين:

• غوتلوب فريجه : يُعتبر فريجه مؤسس المنطق. في كتابه "قوانين الحساب الأساسية"، سعى فريجه إلى إثبات إمكانية اشتقاق الحساب من البديهيات المنطقية. وقد طوّر نظامًا صوريًا يهدف إلى التعبير عن الحساب برمته بلغة المنطق. أرست أعمال فريجه الأساس للكثير من المنطق الحديث ، وكان لها تأثير بالغ، على الرغم من أنها واجهت صعوبات، أبرزها مفارقة راسل ، التي كشفت عن تناقضات في نظام فريجه. ^{[ 17 ]}
• برتراند راسل : قام راسل، بالتعاون مع ألفريد نورث وايتهيد ، بتطوير المنطق في عملهما الضخم "مبادئ الرياضيات" . حاولا استنباط الرياضيات بأكملها من مجموعة من البديهيات المنطقية ، مستخدمين نظرية الأنواع لتجنب المفارقات التي واجهها نظام فريجه. على الرغم من التأثير الهائل الذي أحدثه "مبادئ الرياضيات" ، إلا أن محاولة اختزال الرياضيات إلى المنطق اعتُبرت في نهاية المطاف غير مكتملة. مع ذلك، فقد أسهمت في تطوير المنطق الرياضي والفلسفة التحليلية . ^{[ 18 ]}

تتعامل الصيغة الرياضية مع الأشياء كرموز ضمن نظام صوري . وينصب التركيز على معالجة هذه الرموز وفقًا لقواعد محددة، بدلًا من الأشياء نفسها. أحد المفاهيم الشائعة للصيغة الرياضية يعتبر الرياضيات ليست مجموعة من القضايا التي تمثل جزءًا مجردًا من الواقع، بل أقرب إلى لعبة، لا تحمل معها التزامًا وجوديًا بالأشياء أو خصائصها أكثر من لعبة اللودو أو الشطرنج . من هذا المنظور، تُعنى الرياضيات باتساق الأنظمة الصورية بدلًا من اكتشاف أشياء موجودة مسبقًا. يعتبر بعض الفلاسفة المنطق نوعًا من أنواع الصيغة الرياضية. ^{[ 19 ]}

ومن أبرز علماء الشكلية:

• ديفيد هيلبرت : يُعدّ هيلبرت، أحد أبرز علماء الرياضيات في أوائل القرن العشرين، من أبرز دعاة المنهج الشكلي كأساس للرياضيات (انظر برنامج هيلبرت ). كان يعتقد أن الرياضيات نظام من القواعد الشكلية، وأن حقيقتها تكمن في اتساق هذه القواعد لا في أي ارتباط بواقع مجرد. ^{[ 20 ]}
• هيرمان فايل : عالم رياضيات وفيلسوف ألماني، وإن لم يكن من أتباع المدرسة الشكلية بالمعنى الدقيق، فقد أسهم في تطوير الأفكار الشكلية، لا سيما في أعماله حول أسس الرياضيات. ^{[ 21 ]} كتب فريمان دايسون أن فايل وحده يستحق المقارنة مع "آخر علماء الرياضيات العالميين العظماء في القرن التاسع عشر"، وهما هنري بوانكاريه وديفيد هيلبرت . ^{[ 22 ]}

يؤكد البنائية الرياضية على ضرورة إيجاد (أو "بناء") مثال محدد لكائن رياضي لإثبات وجوده. في المقابل، في الرياضيات الكلاسيكية، يمكن إثبات وجود كائن رياضي دون "إيجاد" ذلك الكائن صراحةً، وذلك بافتراض عدم وجوده ثم استنتاج تناقض من هذا الافتراض. قد يُطلق على هذا النوع من البرهان بالتناقض اسم البرهان غير البنائي، وقد يرفضه البنائي. تتضمن وجهة النظر البنائية تفسيرًا تحققيًا للمُكمِّم الوجودي ، وهو ما يتعارض مع تفسيره الكلاسيكي. ^{[ 23 ]} توجد أشكال عديدة للبنائية. ^{[ 24 ]} تشمل هذه الأشكال برنامج براور للحدسية ، ومذهب هيلبرت وبرنايز المحدود ، والرياضيات البنائية الاسترجاعية للرياضيين شانين وماركوف ، وبرنامج بيشوب للتحليل البنائي . ^{[ 25 ]} يشمل البنائية أيضًا دراسة نظريات المجموعات البنائية مثل نظرية زيرميلو-فرانكل البنائية ودراسة الفلسفة.

من أبرز البنائيين:

• إل إي جيه بروير : عالم رياضيات وفيلسوف هولندي يعتبر أحد أعظم علماء الرياضيات في القرن العشرين، ومعروف (من بين أمور أخرى) بريادته للحركة الحدسية في المنطق الرياضي، ومعارضته لحركة الشكلية لديفيد هيلبرت (انظر: جدل بروير-هيلبرت ).
• إيريت بيشوب : عالم رياضيات أمريكي اشتهر بأعماله في مجال التحليل. ويُعرف بشكل خاص بتطويره للتحليل البنائي في كتابه " أسس التحليل البنائي" الصادر عام 1967 ، حيث أثبت فيه معظم النظريات المهمة في التحليل الحقيقي باستخدام الأساليب البنائية.

تشير البنيوية إلى أن الكائنات الرياضية تُعرَّف بموقعها ضمن بنية أو نظام. فطبيعة العدد، على سبيل المثال، لا ترتبط بشيء محدد، بل بدورها ضمن نظام الحساب . بمعنى آخر، تقوم هذه الفرضية على أن الكائنات الرياضية (إن وُجدت) لا تمتلك طبيعة جوهرية. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

من بين أبرز علماء البناء:

• بول بيناسيراف : فيلسوف معروف بعمله في فلسفة الرياضيات، وخاصة ورقته البحثية "ما لا يمكن أن تكون عليه الأرقام"، والتي تجادل لصالح وجهة نظر بنيوية للأشياء الرياضية.
• ستيوارت شابيرو : فيلسوف بارز آخر قام بتطوير ودفاع عن البنيوية، وخاصة في كتابه فلسفة الرياضيات: البنية والوجود . ^{[ 28 ]}