منحنى

القطع المكافئ ، أحد أبسط المنحنيات، بعد الخطوط المستقيمة

في الرياضيات ، المنحنى (يسمى أيضًا الخط المنحني في النصوص القديمة) هو جسم مشابه للخط ، ولكنه ليس بالضرورة أن يكون مستقيمًا .

يمكن تصور المنحنى، بشكل بديهي، على أنه الأثر الذي تتركه نقطة متحركة . هذا هو التعريف الذي ظهر منذ أكثر من 2000 عام في كتاب الأصول لإقليدس : "الخط [المنحني] ^{هو [ ...} ] النوع الأول من الكميات، الذي له بُعد واحد فقط، وهو الطول، دون أي عرض أو عمق، وليس سوى تدفق أو مسار النقطة التي [...] ستترك من حركتها الوهمية أثراً في الطول، خالياً من أي عرض." ^{[ 1 ]}

تمّت صياغة تعريف المنحنى في الرياضيات الحديثة على النحو التالي: المنحنى هو صورة الفترة في الفضاء الطوبولوجي بواسطة دالة متصلة . في بعض السياقات، تُسمى الدالة التي تُعرّف المنحنى بالمعاملة ، ويُسمى المنحنى الناتج منحنىً معامليًا . في هذه المقالة، تُسمى هذه المنحنيات أحيانًا بالمنحنيات الطوبولوجية لتمييزها عن المنحنيات الأكثر تقييدًا، مثل المنحنيات القابلة للتفاضل . يشمل هذا التعريف معظم المنحنيات التي تُدرس في الرياضيات؛ ومن الاستثناءات البارزة منحنيات المستوى (وهي اتحادات من المنحنيات والنقاط المنفردة)، والمنحنيات الجبرية (انظر أدناه). تُسمى منحنيات المستوى والمنحنيات الجبرية أحيانًا بالمنحنيات الضمنية ، لأنها تُعرّف عمومًا بمعادلات ضمنية .

مع ذلك، فإن فئة المنحنيات الطوبولوجية واسعة جدًا، وتضم بعض المنحنيات التي لا تبدو كما هو متوقع، أو حتى لا يمكن رسمها. هذا هو حال المنحنيات التي تملأ الفراغ والمنحنيات الكسورية . ولضمان مزيد من الانتظام، يُفترض غالبًا أن الدالة التي تُعرّف المنحنى قابلة للتفاضل ، ويُقال حينها إن المنحنى منحنى قابل للتفاضل .

المنحنى الجبري المستوي هو مجموعة أصفار متعددة الحدود في متغيرين . وبشكل أعم، المنحنى الجبري هو مجموعة أصفار مجموعة منتهية من متعددات الحدود، والتي تحقق شرطًا إضافيًا يتمثل في كونها تنوعًا جبريًا من البعد الواحد. إذا كانت معاملات متعددات الحدود تنتمي إلى حقل $k$ ، يُقال إن المنحنى مُعرَّف على $k$ . في الحالة الشائعة للمنحنى الجبري الحقيقي ، حيث $k$ هو حقل الأعداد الحقيقية ، يكون المنحنى الجبري اتحادًا منتهيًا لمنحنيات طوبولوجية. عند النظر في الأصفار المركبة ، نحصل على منحنى جبري مركب ، وهو من وجهة النظر الطوبولوجية ، ليس منحنى، بل سطح ، ويُطلق عليه غالبًا سطح ريمان . على الرغم من أنها ليست منحنيات بالمعنى الشائع، فقد دُرست المنحنيات الجبرية المُعرَّفة على حقول أخرى على نطاق واسع. على وجه الخصوص، تُستخدم المنحنيات الجبرية على حقل منتهٍ على نطاق واسع في علم التشفير الحديث .

تاريخ

بدأ الاهتمام بالمنحنيات قبل وقت طويل من أن تصبح موضوعًا للدراسة الرياضية. ويتجلى ذلك في أمثلة عديدة لاستخدامها الزخرفي في الفن وعلى الأشياء اليومية التي تعود إلى عصور ما قبل التاريخ. ^{[ 2 ]} المنحنيات، أو على الأقل تمثيلاتها البيانية، سهلة الرسم، على سبيل المثال باستخدام عصا على رمال الشاطئ.

تاريخيًا، استُخدم مصطلح " خط" بدلًا من مصطلح "منحنى" الأكثر شيوعًا. ومن هنا ، استُخدم مصطلحا "خط مستقيم" و "خط مستقيم" للتمييز بين ما يُسمى اليوم بالخطوط والخطوط المنحنية. على سبيل المثال، في الكتاب الأول من كتاب "الأصول" لإقليدس ، يُعرَّف الخط بأنه "طول بلا عرض" (التعريف 2)، بينما يُعرَّف الخط المستقيم بأنه "خط يقع على نفس مستوى النقاط الواقعة عليه" (التعريف 4). ولعل فكرة إقليدس عن الخط تتضح من خلال قوله: "نهايتا الخط نقطتان" (التعريف 3). ^{[ 3 ]} وقد صنّف الشراح اللاحقون الخطوط وفقًا لتصنيفات مختلفة. على سبيل المثال: ^{[ 4 ]}

الخطوط المركبة (الخطوط التي تشكل زاوية)
الخطوط غير المركبة
- تحديد (الخطوط التي لا تمتد إلى ما لا نهاية، مثل الدائرة)
- غير محدد (خطوط تمتد إلى ما لا نهاية، مثل الخط المستقيم والقطع المكافئ)

درس علماء الهندسة اليونانيون أنواعًا أخرى كثيرة من المنحنيات. أحد الأسباب هو اهتمامهم بحل المسائل الهندسية التي لا يمكن حلها باستخدام الأدوات التقليدية كالفرجار والمسطرة . تشمل هذه المنحنيات ما يلي:

المقاطع المخروطية، التي درسها أبولونيوس البرغاوي بتعمق
الشكل المقعر لديوكليس ، الذي درسه ديوكليس واستخدمه كطريقة لمضاعفة المكعب . ^{[ 5 ]}
المحار الذي درسه نيكوميدس كطريقة لمضاعفة المكعب وتثليث الزاوية . ^{[ 6 ]}
اللولب الأرخميدسي ، الذي درسه أرخميدس كطريقة لتثليث الزاوية وتربيع الدائرة . ^{[ 7 ]}
المقاطع الحلزونية ، مقاطع من الحلقات التي درسها بيرسيوس كمقاطع من المخاريط، درسها أبولونيوس.

كان إدخال الهندسة التحليلية على يد رينيه ديكارت في القرن السابع عشر بمثابة تقدم جوهري في نظرية المنحنيات . فقد مكّن هذا من وصف المنحنى باستخدام معادلة بدلاً من بناء هندسي معقد. لم يسمح هذا فقط بتعريف ودراسة منحنيات جديدة، بل مكّن أيضاً من التمييز الرسمي بين المنحنيات الجبرية التي يمكن تعريفها باستخدام معادلات متعددة الحدود ، والمنحنيات المتسامية التي لا يمكن تعريفها باستخدام هذه المعادلات. سابقاً، كانت المنحنيات تُوصف بأنها "هندسية" أو "ميكانيكية" وفقاً لكيفية توليدها، أو ما يُفترض أنه يمكن توليدها به. ^{[ 2 ]}

تم تطبيق القطوع المخروطية في علم الفلك بواسطة كيبلر .

عمل نيوتن أيضًا على مثال مبكر في حساب التفاضل والتكامل التغيري . وقد أدخلت حلول مسائل التغير، مثل مسائل منحنى البراكيستوكرون ومنحنى التوتوكرون ، خصائص المنحنيات بطرق جديدة (في هذه الحالة، المنحنى الدائري ). أما منحنى السلسلة المعلقة ، فقد سُمّي بهذا الاسم نسبةً إلى حل مسألة السلسلة المعلقة، وهو نوع من المسائل التي أصبح من الممكن الوصول إليها بسهولة باستخدام حساب التفاضل والتكامل .

في القرن الثامن عشر، بدأت نظرية المنحنيات الجبرية المستوية، بشكل عام. درس نيوتن المنحنيات التكعيبية ، في وصف عام للنقاط الحقيقية في "أشكال بيضاوية". أظهرت نظرية بيزو عددًا من الجوانب التي لم تكن متاحة مباشرة لهندسة ذلك الوقت، والمتعلقة بالنقاط الشاذة والحلول المركبة.

منذ القرن التاسع عشر، يُنظر إلى نظرية المنحنيات على أنها حالة خاصة من نظرية المشعبات والأصناف الجبرية ذات البعد الواحد . ومع ذلك، لا تزال العديد من الأسئلة خاصة بالمنحنيات، مثل المنحنيات التي تملأ الفراغ ، ونظرية منحنى جوردان ، ومسألة هيلبرت السادسة عشرة .

منحنى طوبولوجي

يمكن تحديد المنحنى الطوبولوجي بواسطة دالة متصلة $\gamma \colon I\rightarrow X$ من فترة $I$ من الأعداد الحقيقية إلى فضاء طوبولوجي $X.$ وبتعبير أدق، فإن المنحنى هو صورة لـ $\gamma .$ لكن في بعض السياقات، $\gamma$ يُطلق عليها اسم منحنى، خاصةً عندما لا تبدو الصورة مثل ما يُسمى عمومًا بالمنحنى ولا تُحدد خصائصها بشكل كافٍ. $\gamma .$

فعلى سبيل المثال، صورة منحنى بيانو، أو بشكل أعم، منحنى يملأ الفراغ، تملأ مربعًا بالكامل، وبالتالي لا تقدم أي معلومات حول كيفية $\gamma$ تم تعريفها.

منحنى $\gamma$ مغلق ^[^ب^] أو حلقة تكرارية إذا $I=[a,b]$ و $\gamma (a)=\gamma (b)$ وبالتالي، فإن المنحنى المغلق هو صورة لتطبيق متصل على دائرة . ويمكن تسمية المنحنى غير المغلق أيضاً بالمنحنى المفتوح .

إذا كان نطاق منحنى طوبولوجي عبارة عن فترة مغلقة ومحدودة $I=[a,b]$ يُطلق على هذا المنحنى اسم المسار ، ويُعرف أيضًا باسم القوس الطوبولوجي (أو ببساطةقوس ).

يكون المنحنى بسيطًا إذا كان صورة لفترة أو دائرة بواسطة دالة متصلة أحادية. بعبارة أخرى، إذا تم تعريف المنحنى بواسطة دالة متصلة $\gamma$ إذا كانت الفترة مجالًا، فإن المنحنى يكون بسيطًا إذا وفقط إذا كان لأي نقطتين مختلفتين في الفترة صورتان مختلفتان، باستثناء، ربما، إذا كانت النقطتان طرفي الفترة. وبشكل بديهي، فإن المنحنى البسيط هو منحنى "لا يتقاطع مع نفسه وليس له نقاط مفقودة" (منحنى متصل لا يتقاطع مع نفسه). ^{[ 8 ]}

يُعدّ شكل الحلزون مثالاً على المنحنى المائل.

المنحنى المستوي هو منحنى يكون فيه $X$ هو المستوى الإقليدي - وهذه هي الأمثلة التي تمت مواجهتها أولاً - أو في بعض الحالات المستوى الإسقاطي .المنحنى الفضائي هو منحنى يكون فيه $X$ هو ثلاثي الأبعاد على الأقل ؛ منحنى منحرفالمنحنى الفضائي هو منحنى لا يقع في مستوى (مثل الحلزون ). تنطبق هذه التعريفات للمنحنيات المستوية والفضائية والمائلة أيضًا على المنحنيات الجبرية الحقيقية ، على الرغم من أن التعريف المذكور أعلاه للمنحنى لا ينطبق (قد يكون المنحنى الجبري الحقيقي منفصلاً ). يُطلق على المنحنى الفضائي مصطلح "منحنى ذو انحناء مزدوج"، لأنه منحني بطريقتين (بانحناء والتواء).

يُطلق على المنحنى المغلق البسيط المستوي اسم منحنى جوردان . ويُعرَّف أيضًا بأنه حلقة متصلة غير متقاطعة مع نفسها في المستوى. ^{[ 9 ]} تنص نظرية منحنى جوردان على أن المجموعة المكملة لمنحنى جوردان في المستوى تتكون من مكونين متصلين (أي أن المنحنى يقسم المستوى إلى منطقتين غير متقاطعتين متصلتين). تُعرف المنطقة المحدودة داخل منحنى جوردان باسم نطاق جوردان .

يشمل تعريف المنحنى أشكالًا يصعب وصفها بالمنحنيات في الاستخدام الشائع. فعلى سبيل المثال، قد تغطي صورة المنحنى مربعًا في المستوى ( منحنى يملأ الفراغ )، وقد يكون للمنحنى البسيط مساحة موجبة. ^{[ 10 ]} قد تمتلك المنحنيات الكسورية خصائص غريبة عن المنطق السليم. فعلى سبيل المثال، قد يكون للمنحنى الكسوري بُعد هاوسدورف أكبر من واحد (انظر ندفة ثلج كوخ )، بل وقد تكون مساحته موجبة. ومن الأمثلة على ذلك منحنى التنين ، الذي يتميز بالعديد من الخصائص غير المألوفة الأخرى.

منحنى قابل للتفاضل

بصورة عامة، المنحنى القابل للتفاضل هو منحنى يُعرَّف بأنه صورة محلية لدالة قابلة للتفاضل أحادية. $\gamma \colon I\rightarrow X$ من فترة $I$ من الأعداد الحقيقية إلى مشعب قابل للتفاضل $X$ ، غالبًا $\mathbb {R} ^{n}.$

وبشكل أدق، فإن المنحنى القابل للتفاضل هو مجموعة جزئية $C$ من $X$ حيث يكون لكل نقطة من $C$ جوار $U$ بحيث $C\cap U$ يكون المنحنى قابلاً للتفاضل مع فترة من الأعداد الحقيقية. بعبارة أخرى، المنحنى القابل للتفاضل هو متعدد شعب قابل للتفاضل ذو بُعد واحد.

قوس قابل للتفاضل

في الهندسة الإقليدية ، القوس (رمزه: ⌒ ) هو مجموعة فرعية متصلة من منحنى قابل للتفاضل .

تُسمى أقواس الخطوط بالقطاعات أو الأشعة أو الخطوط ، وذلك حسب كيفية تحديد حدودها.

ومن الأمثلة الشائعة على المنحنيات قوس الدائرة ، والذي يسمى القوس الدائري .

في الكرة (أو الشكل الكروي )، يُطلق على قوس الدائرة العظمى (أو القطع الناقص العظيم ) اسم القوس العظيم .

طول المنحنى

لو $X=\mathbb {R} ^{n}$ هو $n$ الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n، وإذا ${\displaystyle \gamma$ دالة أحادية وقابلة للتفاضل باستمرار، فإن طولها $\gamma$ يُعرَّف بأنه الكمية

\operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.

طول المنحنى مستقل عن المعلمات $\gamma$ .

وعلى وجه الخصوص، الطول $s$ رسم بياني لدالة قابلة للتفاضل باستمرار $y=f(x)$ معرفة على فترة مغلقة $[a,b]$ يكون

s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x},

ويمكن اعتبار ذلك بديهياً بمثابة استخدام نظرية فيثاغورس على نطاق متناهي الصغر بشكل مستمر على طول المنحنى بالكامل. ^{[ 11 ]}

وبشكل أعم، إذا $X$ هو فضاء متري ذو مقياس $d$ ثم يمكننا تحديد طول المنحنى ${\displaystyle \gamma$ بواسطة

\operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\},

حيث يتم الاستيلاء على السلطة العليا على كل شيء $n\in \mathbb {N}$ وجميع الأقسام $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ ل $[a,b]$ .

المنحنى القابل للتقويم هو منحنى ذو طول محدود . ${\displaystyle \gamma$ اسم الدالة الطبيعية (أو ذات السرعة الموحدة أو المُعَلمة بطول القوس) إذا كان لأي $t_{1},t_{2}\in [a,b]$ بحيث $t_{1}\leq t_{2}$ لدينا

\operatorname {Length} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.

لو ${\displaystyle \gamma$ إذا كانت الدالة $`[a,b]\to X}`$ دالة متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز ، فإنها قابلة للتصحيح تلقائيًا. علاوة على ذلك، في هذه الحالة، يمكن تعريف سرعة (أو مشتقة مترية ) الدالة $\gamma$ في $t\in [a,b]$ مثل

{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|st|}}

ثم أظهر ذلك

\operatorname {Length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.

الهندسة التفاضلية

في حين أن الأمثلة الأولى للمنحنيات التي نصادفها هي في الغالب منحنيات مستوية (أي، بعبارة أخرى، خطوط منحنية في فضاء ثنائي الأبعاد )، إلا أن هناك أمثلة واضحة كالحلزون الذي يوجد بشكل طبيعي في ثلاثة أبعاد. وتحتاج الهندسة، وكذلك الميكانيكا الكلاسيكية على سبيل المثال ، إلى مفهوم المنحنى في الفضاء ذي أي عدد من الأبعاد. في النسبية العامة ، يُعد خط العالم منحنى في الزمكان .

لو $X$ إذا كانت فضاءً متعدد الشعب قابلاً للتفاضل ، فيمكننا تعريف مفهوم المنحنى القابل للتفاضل في $X$ تكفي هذه الفكرة العامة لتغطية العديد من تطبيقات المنحنيات في الرياضيات. من وجهة نظر محلية، يمكن للمرء أن يأخذ $X$ أن تكون فضاءً إقليديًا. من ناحية أخرى، من المفيد أن تكون أكثر عمومية، حيث (على سبيل المثال) من الممكن تعريف متجهات المماس لـ $X$ عن طريق هذا المفهوم للمنحنى.

لو $X$ هو سطح مستوٍ أملس ، ومنحنى أملس في $X$ هي خريطة سلسة

\gamma \colon I\rightarrow X

.

هذا مفهوم أساسي. وهناك أفكار أخرى أقل تقييدًا وأخرى أكثر تقييدًا. إذا $X$ هو $C^{k}$ متعدد الشعب (أي متعدد الشعب الذي تكون خرائط الانتقال الخاصة بمخططه $k$ إذا كانت الدوال قابلة للتفاضل باستمرار ، فإن $C^{k}$ المنحنى في $X$ هذا منحنى يُفترض فقط أنه $C^{k}$ (أي $k$ (أوقات قابلة للتفاضل باستمرار). إذا $X$ هي فضاء تحليلي (أي قابل للتفاضل بلا حدود ويمكن التعبير عن مخططاته كمتسلسلات قوى )، و $\gamma$ إذا كانت خريطة تحليلية، $\gamma$ يقال إنها منحنى تحليلي .

يُقال إن المنحنى القابل للتفاضل هوتكون الدالة منتظمة إذامشتقتهاأبدًا. (بمعنى آخر، لا يتباطأ المنحنى المنتظم حتى يتوقف أو يتراجع على نفسه). اثنان $C^{k}$ المنحنيات القابلة للتفاضل

\gamma _{1}\colon I\rightarrow X

و

\gamma _{2}\colon J\rightarrow X

يقال إنهما متكافئان إذا كانت هناك دالة تقابلية $C^{k}$ رسم خريطة

p\colon J\rightarrow I

بحيث تكون الخريطة العكسية

p^{-1}\colon I\rightarrow J

وهو أيضًا $C^{k}$ ، و

\gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))

للجميع $t$ الخريطة $\gamma _{2}$ يُطلق عليه إعادة تحديد معلمات $\gamma _{1}$ وهذا يُنشئ علاقة تكافؤ على مجموعة جميع $C^{k}$ المنحنيات القابلة للتفاضل في $X$ أ. $C^{k}$ القوس هو فئة تكافؤ لـ $C^{k}$ المنحنيات في ظل علاقة إعادة التحديد.

منحنى جبري

المنحنيات الجبرية هي المنحنيات التي تُدرس في الهندسة الجبرية . المنحنى الجبري المستوي هو مجموعة النقاط ذات الإحداثيات $x و y$ التي تحقق $f (x, y) = 0$ ، حيث $f$ دالة متعددة الحدود في متغيرين معرفة على حقل $F.$ يُقال إن المنحنى مُعرَّف على $F.$ عادةً ما لا تقتصر الهندسة الجبرية على دراسة النقاط ذات الإحداثيات في $F$ فحسب، بل تشمل جميع النقاط ذات الإحداثيات في حقل مغلق جبريًا $K.$

إذا كان C منحنى معرف بواسطة متعدد الحدود f بمعاملات في F ، فإن المنحنى يقال إنه معرف على F.

في حالة المنحنى المعرّف على الأعداد الحقيقية ، يُنظر عادةً إلى النقاط ذات الإحداثيات المركبة . في هذه الحالة، تُعدّ النقطة ذات الإحداثيات الحقيقية نقطة حقيقية ، ومجموعة جميع النقاط الحقيقية هي الجزء الحقيقي من المنحنى. لذلك، فإن الجزء الحقيقي فقط من المنحنى الجبري هو الذي يمكن أن يكون منحنى طوبولوجيًا (وهذا ليس هو الحال دائمًا، إذ قد يكون الجزء الحقيقي من المنحنى الجبري منفصلًا ويحتوي على نقاط معزولة). المنحنى بأكمله، أي مجموعة نقاطه المركبة، هو من وجهة النظر الطوبولوجية سطح. على وجه الخصوص، تُسمى المنحنيات الجبرية الإسقاطية المركبة غير المنفردة بأسطح ريمان .

تُسمى نقاط المنحنى $C$ ذات الإحداثيات في الحقل $G نقاطًا نسبية على$ $G$ ، ويُرمز لها بـ $C (G)$ . عندما يكون $G$ حقل الأعداد النسبية ، يُشار إليها ببساطة بالنقاط النسبية . على سبيل المثال، يمكن إعادة صياغة نظرية فيرما الأخيرة على النحو التالي: لكل $n > 2$ ، فإن كل نقطة نسبية على منحنى فيرما من الدرجة $n$ لها إحداثي صفري .

يمكن أن تكون المنحنيات الجبرية أيضًا منحنيات مكانية، أو منحنيات في فضاء ذي بُعد أعلى، ولنقل $n$ . تُعرَّف هذه المنحنيات بأنها أصناف جبرية ذات بُعد واحد. ويمكن الحصول عليها كحلول مشتركة لما لا يقل عن $n - 1$ معادلة متعددة الحدود في $n$ متغيرًا. إذا كانت $n - 1$ متعددة حدود كافية لتعريف منحنى في فضاء ذي بُعد $n$ ، يُقال إن هذا المنحنى يُمثل تقاطعًا كاملًا . وبحذف المتغيرات (بأي أداة من أدوات نظرية الحذف )، يمكن إسقاط منحنى جبري على منحنى جبري مستوٍ ، إلا أن ذلك قد يُؤدي إلى ظهور نقاط شاذة جديدة، مثل النقاط المدببة أو النقاط المزدوجة .

يمكن أيضًا إكمال منحنى مستوٍ ليصبح منحنى في المستوى الإسقاطي : إذا عُرِّف منحنى ما بواسطة متعددة حدود $f$ من الدرجة الكلية $d$ ، فإن $w d f (u / w, v / w)$ يتبسط إلى متعددة حدود متجانسة $g (u, v, w)$ من الدرجة $d$ . تمثل قيم $u و v و w$ التي تحقق $g (u, v, w )$ $=$ $0$ الإحداثيات المتجانسة لنقاط إكمال المنحنى في المستوى الإسقاطي، بينما تمثل نقاط المنحنى الأصلي تلك التي $لا تساوي$ $فيها$ $w$ صفرًا. ومن الأمثلة على ذلك منحنى فيرما $un + v = w ،$ الذي له شكل تآلفي $x + y = 1.$ ويمكن تعريف عملية تجانس مماثلة للمنحنيات في فضاءات ذات أبعاد أعلى.

باستثناء الخطوط المستقيمة ، فإن أبسط الأمثلة على المنحنيات الجبرية هي القطوع المخروطية ، وهي منحنيات غير شاذة من الدرجة الثانية والجنس صفر . أما المنحنيات الإهليلجية ، وهي منحنيات غير شاذة من الجنس واحد، فتُدرس في نظرية الأعداد ، ولها تطبيقات مهمة في علم التشفير .

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ في الاستخدام الرياضي الحالي، يكون الخط مستقيماً. سابقاً، كان من الممكن أن تكون الخطوط منحنية أو مستقيمة.
↑ قد يكون هذا المصطلح غامضًا، حيث أن المنحنى غير المغلق قد يكون مجموعة مغلقة ، كما هو الحال بالنسبة للخط في المستوى.

مراجع

↑ بالفرنسية (القديمة إلى حد ما): "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une Dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autreختار que le Flux ou coulement du point, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque stige en طويلة، معفاة من خط العرض." الصفحات 7 و 8 من Les quinze livres des éléments Géométriques d'Euclide Megarien، traduits de Grec en François، & augmentez de plusieurs Figures & المظاهرات، مع تصحيحات الأخطاء المرتكبة من ترجمات أخرى ، بقلم بيير مارديل، ليون، MDCXLV (1645).
1 2 لوكوود ص. 9
↑ هيث، ص 153
↑ هيث، ص 160
↑ لوكوود، ص 132
↑ لوكوود، ص 129
↑ أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "لولب أرخميدس" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
↑ "تعريف قوس الأردن في Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc." . Dictionary.reference.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 14-03-2012 .
↑ سولوفسكي، ماريك (2012). العمق والتقاطعات والصراعات في الهندسة المنفصلة . دار نشر لوغوس فيرلاغ برلين المحدودة. ص 7. ISBN 9783832531195.
↑ أوسجود، ويليام ف. (يناير 1903). "منحنى جوردان ذو المساحة الموجبة" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 4 (1). الجمعية الرياضية الأمريكية : 107-112 . doi : 10.2307/1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .
↑ ديفيس، إيليري دبليو؛ برينك، ويليام سي. (1913). حساب التفاضل والتكامل . شركة ماكميلان. ص 108. ISBN 9781145891982.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

للمزيد من القراءة

أ. س. بارخومينكو (2001) [1994]، "الخط (المنحنى)" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
بي. آي. غولوبوف (2001) [1994]، "المنحنى القابل للتقويم" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
إقليدس ، شرح وترجمة تي إل هيث، عناصر المجلد 1 (1908، كامبريدج)، كتب جوجل
إي إتش لوكوود، كتاب المنحنيات (1961، كامبريدج)

روابط خارجية

مؤشر المنحنيات الشهيرة ، كلية الرياضيات والإحصاء، جامعة سانت أندروز، اسكتلندا
المنحنيات الرياضية: مجموعة من 874 منحنى رياضي ثنائي الأبعاد
معرض لمنحنيات الفضاء المصنوعة من الدوائر، يتضمن رسومًا متحركة من تصميم بيتر موسى
معرض منحنيات بيشوب وغيرها من المنحنيات الكروية، يتضمن رسومًا متحركة من تصميم بيتر موسى
مقالة موسوعة الرياضيات حول الخطوط .
صفحة أطلس المشعبات حول المشعبات أحادية البعد .

[1] في الاستخدام الرياضي الحالي، يكون الخط مستقيماً. سابقاً، كان من الممكن أن تكون الخطوط منحنية أو مستقيمة.

[9] قد يكون هذا المصطلح غامضًا، حيث أن المنحنى غير المغلق قد يكون مجموعة مغلقة ، كما هو الحال بالنسبة للخط في المستوى.

[2] بالفرنسية (القديمة إلى حد ما): "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une Dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autreختار que le Flux ou coulement du point, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque stige en طويلة، معفاة من خط العرض." الصفحات 7 و 8 من Les quinze livres des éléments Géométriques d'Euclide Megarien، traduits de Grec en François، & augmentez de plusieurs Figures & المظاهرات، مع تصحيحات الأخطاء المرتكبة من ترجمات أخرى ، بقلم بيير مارديل، ليون، MDCXLV (1645).

[Lockwood-3] 1 2 لوكوود ص. 9

[4] هيث، ص 153

[5] هيث، ص 160

[6] لوكوود، ص 132

[7] لوكوود، ص 129

[8] أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "لولب أرخميدس" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز

[10] "تعريف قوس الأردن في Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc." . Dictionary.reference.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 14-03-2012 .

[11] سولوفسكي، ماريك (2012). العمق والتقاطعات والصراعات في الهندسة المنفصلة . دار نشر لوغوس فيرلاغ برلين المحدودة. ص 7. ISBN 9783832531195.

[12] أوسجود، ويليام ف. (يناير 1903). "منحنى جوردان ذو المساحة الموجبة" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 4 (1). الجمعية الرياضية الأمريكية : 107-112 . doi : 10.2307/1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .

[13] ديفيس، إيليري دبليو؛ برينك، ويليام سي. (1913). حساب التفاضل والتكامل . شركة ماكميلان. ص 108. ISBN 9781145891982.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

هو [ ...

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]