دالة بيسل

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 177 صور
الموسوعة الحرة

تصف دوال بيسل الجزء القطري من اهتزازات الغشاء الدائري .

دوال بيسل هي فئة من الدوال الخاصة التي تظهر عادةً في المسائل المتعلقة بحركة الموجات ، والتوصيل الحراري ، وغيرها من الظواهر الفيزيائية ذات التناظر الدائري أو الأسطواني . وقد سُميت نسبةً إلى عالم الفلك والرياضيات الألماني فريدريك بيسل ، الذي درسها بشكل منهجي في عام 1824. [ 1 ]

دوال بيسل هي حلول لنوع معين من المعادلات التفاضلية العادية :x2د2yدx2+xدyدx+(x2-α2)y=0،{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y=0,}أينα{\displaystyle \alpha }هو عدد يحدد شكل الحل. يُسمى هذا العدد رتبة دالة بيسل، ويمكن أن يكون أي عدد مركب. على الرغم من أن المعادلة نفسها تظهر لكلا الحالتينα{\displaystyle \alpha }و-α{\displaystyle -\alpha }يقوم علماء الرياضيات بتعريف دوال بيسل منفصلة لكل منها لضمان أن تتصرف الدوال بسلاسة مع تغير الترتيب.

أهم الحالات هي عندماα{\displaystyle \alpha }هو عدد صحيح أو نصف عدد صحيح. عندماα{\displaystyle \alpha }عندما يكون عدداً صحيحاً، فإن دوال بيسل الناتجة غالباً ما تسمى دوال الأسطوانة أو التوافقيات الأسطوانية لأنها تنشأ بشكل طبيعي عند حل المسائل (مثل معادلة لابلاس) في الإحداثيات الأسطوانية .α{\displaystyle \alpha }إذا كان نصف عدد صحيح، فإن الحلول تسمى دوال بيسل الكروية وتستخدم في الأنظمة الكروية، كما هو الحال في حل معادلة هيلمهولتز في الإحداثيات الكروية .

التطبيقات

تنشأ معادلة بيسل عند إيجاد حلول قابلة للفصل لمعادلة لابلاس ومعادلة هيلمهولتز في الإحداثيات الأسطوانية أو الكروية . ولذلك، فإن دوال بيسل ذات أهمية خاصة للعديد من مسائل انتشار الموجات والجهود الساكنة. عند حل المسائل في أنظمة الإحداثيات الأسطوانية، نحصل على دوال بيسل من الرتبة الصحيحة (α=ن{\displaystyle \alpha =n}في المسائل الكروية، نحصل على رتب نصف صحيحة (α=ن+1/2{\displaystyle \alpha =n+1/2}). على سبيل المثال:

تظهر دوال بيسل أيضًا في مجالات أخرى، مثل معالجة الإشارات (انظر على سبيل المثال توليف الصوت بتقنية FM ، أو نافذة كايزر ، أو مرشح بيسل ). كما تظهر في الرياضيات البحتة كجزء من تحليل فورييه لأشكال ماس .

التعريفات

بما أن هذه معادلة تفاضلية خطية ، يمكن تغيير مقياس الحلول إلى أي سعة. وتعود السعات المختارة للدوال إلى الدراسات المبكرة التي ظهرت فيها الدوال كحلول لتكاملات محددة بدلاً من حلول لمعادلات تفاضلية. ولأن المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية، فلا بد من وجود حلين مستقلين خطيًا : أحدهما من النوع الأول والآخر من النوع الثاني. ومع ذلك، وبحسب الظروف، تكون هناك صيغ مختلفة لهذه الحلول ملائمة. يلخص الجدول أدناه هذه الصيغ المختلفة، ويتم شرحها في الأقسام التالية. ويُستخدم الرمز السفلي n عادةً بدلاً منα{\displaystyle \alpha }متىα{\displaystyle \alpha }من المعروف أنه عدد صحيح.

يكتبالنوع الأولالنوع الثاني
دوال بيسلJ αY α
دوال بيسل المعدلةأنا ألفاK α
دوال هانكلH (1) α = J α + iY αH (2) α = J α − iY α
دوال بيسل الكرويةج ننعم لا
دوال بيسل الكروية المعدلةفي​ك ن
دوال هانكل الكرويةh (1) n = j n + iy nh (2) n = j n − iy n

يُشار أحيانًا إلى دوال بيسل من النوع الثاني ودوال بيسل الكروية من النوع الثاني بالرمزين N n و n n على التوالي، بدلاً من Y n و y n . [ 4 ] [ 5 ]

دوال بيسل من النوع الأول: J α

رسم بياني لدالة بيسل من النوع الأول،جα(x){\displaystyle J_{\alpha }(x)}، بالنسبة للطلبات الصحيحةα=0،1،2{\displaystyle \alpha =0,1,2}.
رسم بياني لدالة بيسل من النوع الأولجα(z){\displaystyle J_{\alpha }(z)}معα=0.5{\displaystyle \alpha =0.5}في الطائرة من-4-4أنا{\displaystyle -4-4i}ل4+4أنا{\displaystyle 4+4i}.

دوال بيسل من النوع الأول، ويرمز لها بـ Jα ( x ) ، هي حلول لمعادلة بيسل التفاضلية. بالنسبة لقيم α الصحيحة أو الموجبة ، تكون دوال بيسل من النوع الأول محدودة عند نقطة الأصل ( x = 0 )؛ بينما بالنسبة لقيم α السالبة غير الصحيحة ، تتباعد دوال بيسل من النوع الأول كلما اقترب x من الصفر. ويمكن تعريف الدالة كما يلي:  xα{\displaystyle x^{\alpha }}مضروبة في متسلسلة ماكلورين (لاحظ أن α ليس بالضرورة أن يكون عددًا صحيحًا، ولا يُسمح بالقوى غير الصحيحة في متسلسلة تايلور)، والتي يمكن إيجادها بتطبيق طريقة فروبينيوس على معادلة بيسل: [ 6 ]جα(x)=∑م=0∞(-1)مم!Γ(م+α+1)(x2)2م+α،{\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },} حيث Γ( z ) هي دالة غاما ، وهي تعميم مُزاح لدالة المضروب إلى قيم غير صحيحة. وقد عرّف بعض المؤلفين السابقين دالة بيسل من النوع الأول بشكل مختلف، دون القسمة على z.2{\displaystyle 2}فيx/2{\displaystyle x/2}[ 7 ] هذا التعريف غير مستخدم في هذه المقالة. دالة بيسل من النوع الأول هي دالة تامة إذا كان α عددًا صحيحًا، وإلا فهي دالة متعددة القيم ذات نقطة تفرد عند الصفر. تبدو رسوم دوال بيسل البيانية تقريبًا كدوال جيبية أو جيب تمام متذبذبة تتناقص تناسبياً معx-1/2{\displaystyle x^{-{1}/{2}}}(انظر أيضًا إلى صيغها التقاربية أدناه)، على الرغم من أن جذورها ليست دورية بشكل عام، إلا تقاربيًا لقيم x الكبيرة . (تشير المتسلسلة إلى أن −J1 ( x ) هي مشتقة J0 ( x ) ، تمامًا كما أن −sin x هي مشتقة cos x ؛ وبشكل أعم، يمكن التعبير عن مشتقة Jn ( x ) بدلالة Jn ±1 ( x ) من خلال المتطابقات أدناه . )

بالنسبة لقيم α غير الصحيحة ، تكون الدالتان Jα ( x ) و J − α ( x ) مستقلتين خطيًا، وبالتالي فهما الحلان الوحيدان للمعادلة التفاضلية. من جهة أخرى، بالنسبة لقيم n الصحيحة، تكون العلاقة التالية صحيحة (دالة غاما لها أقطاب بسيطة عند كل عدد صحيح غير موجب): [ 8 ]ج-ن(x)=(-1)نجن(x).{\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}

هذا يعني أن الحلين لم يعودا مستقلين خطيًا. في هذه الحالة، يكون الحل الثاني المستقل خطيًا هو دالة بيسل من النوع الثاني، كما هو موضح أدناه.

تكاملات بيسل

يمكن تعريف دالة بيسل، بالنسبة للقيم الصحيحة لـ n ، باستخدام التمثيل التكاملي: [ 9 ]جن(x)=1π∫0πكوس⁡(نτ-xالخطيئة⁡τ)دτ=1πيكرر⁡(∫0πهـأنا(نτ-xالخطيئة⁡τ)دτ)،// )}\,د\تاو \يمين)،} والتي تسمى أيضًا صيغة هانسن-بيسل. [ 10 ]

هذا هو النهج الذي استخدمه بيسل، [ 11 ] ومن هذا التعريف استنتج عدة خصائص للدالة. يمكن توسيع التعريف ليشمل الرتب غير الصحيحة باستخدام أحد تكاملات شلافلي، وذلك لـ Re( x ) > 0 : [ 9 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]جα(x)=1π∫0πكوس⁡(ατ-xالخطيئة⁡τ)دτ-الخطيئة⁡(απ)π∫0∞هـ-xسينه⁡ت-αتدت.{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh t-\alpha ر}\,د.ت.}

العلاقة بالمتسلسلات الهندسية الفائقة

يمكن التعبير عن دوال بيسل بدلالة المتسلسلة الهندسية الفائقة المعممة كما في [ 16 ]جα(x)=(x2)αΓ(α+1)0F1(-؛α+1؛-x24).{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}\left(-;\alpha +1;-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}

يرتبط هذا التعبير بتطوير دوال بيسل من حيث دالة بيسل-كليفورد .

العلاقة مع كثيرات الحدود لاجير

من حيث كثيرات حدود لاغير L k والمعامل t المختار بشكل تعسفي ، يمكن التعبير عن دالة بيسل على النحو التالي [ 17 ]جα(x)(x2)α=هـ-تΓ(α+1)∑ك=0∞Lك(α)(x24ت)(ك+αك)تكك!.{\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{\binom {k+\alpha }{k}}}{\frac {t^{k}}{k!}}.}

دوال بيسل من النوع الثاني: Y α

رسم بياني لدالة بيسل من النوع الثاني،Yα(x){\displaystyle Y_{\alpha }(x)}، بالنسبة للطلبات الصحيحةα=0،1،2{\displaystyle \alpha =0,1,2}

دوال بيسل من النوع الثاني، والتي يُرمز لها بـ Yα ( x ) ، وأحيانًا بـ Nα ( x ) ، هي حلول لمعادلة بيسل التفاضلية التي لها نقطة تفرد عند نقطة الأصل ( x = 0 ) وهي متعددة القيم . تُسمى هذه الدوال أحيانًا دوال ويبر ، نسبةً إلى إتش إم ويبر ( 1873 ) ، وأيضًا دوال نيومان نسبةً إلى كارل نيومان . [ 18 ] 

بالنسبة لقيم α غير الصحيحة ، ترتبط Yα ( x ) بـ Jα ( x ) بالعلاقة التالية :Yα(x)=جα(x)كوس⁡(απ)-ج-α(x)الخطيئة⁡(απ).{\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}.}

في حالة الرتبة الصحيحة n ، يتم تعريف الدالة بأخذ النهاية عندما يقترب عدد غير صحيح α من n : Yن(x)=ليمα→نYα(x).{\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x).}

إذا كان n عددًا صحيحًا غير سالب، فلدينا المتسلسلة [ 19 ]Yن(z)=-(z2)-نπ∑ك=0ن-1(ن-ك-1)!ك!(z24)ك+2πجن(z)ln⁡z2-(z2)نπ∑ك=0∞(ψ(ك+1)+ψ(ن+ك+1))(-z24)كك!(ن+ك)!{\displaystyle Y_{n}(z)=-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(nk-1)!}{k!}}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}+{\frac {2}{\pi }}J_{n}(z)\ln {\frac {z}{2}}-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(\psi (k+1)+\psi (n+k+1)){\frac {\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}}{k!(n+k)!}}} أينψ(z){\displaystyle \psi (z)}هي دالة ديجاما ، المشتق اللوغاريتمي لدالة جاما . [ 5 ]

توجد أيضًا صيغة تكاملية مقابلة (لـ Re( x ) > 0 ): [ 20 ]Yن(x)=1π∫0πالخطيئة⁡(xالخطيئة⁡θ-نθ)دθ-1π∫0∞(هـنت+(-1)نهـ-نت)هـ-xسينه⁡تدت.{\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right)e^{-x\sinh t}\,dt.}

في حالة n = 0 : (معγ{\displaystyle \gamma }(كونه ثابت أويلر )Y0(x)=4π2∫012πكوس⁡(xكوس⁡θ)(γ+ln⁡(2xالخطيئة2⁡θ))دθ.{\displaystyle Y_{0}\left(x\right)={\frac {4}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos \left(x\cos \theta \right)\left(\gamma +\ln \left(2x\sin ^{2}\theta \right)\right)\,d\theta .}

رسم بياني لدالة بيسل من النوع الثانيYα(z){\displaystyle Y_{\alpha }(z)}معα=0.5{\displaystyle \alpha =0.5}في المستوى المركب من-2-2أنا{\displaystyle -2-2i}ل2+2أنا{\displaystyle 2+2i}.

يُعدّ Yα ( x ) حلاً خطياً مستقلاً ثانياً ضرورياً لمعادلة بيسل عندما يكون α عدداً صحيحاً. لكنّ Yα ( x ) يحمل دلالة أوسع من ذلك ، إذ يُمكن اعتباره شريكاً طبيعياً لـ Jα ( x ) . انظر أيضاً القسم الفرعي الخاص بدوال هانكل أدناه.

علاوة على ذلك، عندما يكون α عددًا صحيحًا، كما كان الحال بالنسبة للدوال من النوع الأول، فإن العلاقة التالية تكون صحيحة: Y-ن(x)=(-1)نYن(x).{\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).}

كل من Jα(x) و Yα(x) دالتان تحليليتان لـ x على المستوى المركب المقطوع على طول المحور الحقيقي السالب . عندما يكون α عددًا صحيحًا ، تكون دوال بيسل J دوالًا تامة لـ x . أما إذا كانت x ثابتة عند قيمة غير صفرية، فإن دوال بيسل تكون أيضًا دوالًا تامة لـ α .

تُعد دوال بيسل من النوع الثاني، عندما يكون α عددًا صحيحًا، مثالًا على النوع الثاني من الحلول في نظرية فوكس .

وظائف هانكل: H (1) α ، H (2) α

رسم بياني لدالة هانكل من النوع الأول H (1) n ( x ) حيث n = −0.5 في المستوى المركب من −2 − 2i إلى 2 + 2i
رسم بياني لدالة هانكل من النوع الثاني H (2) n ( x ) حيث n = −0.5 في المستوى المركب من −2 − 2i إلى 2 + 2i

ومن الصيغ المهمة الأخرى للحلول المستقلة خطيًا لمعادلة بيسل دوال هانكل من النوع الأول والثاني ، H (1) α ( x ) و H (2) α ( x ) ، المعرفة على النحو [ 21 ].حα(1)(x)=جα(x)+أناYα(x)،حα(2)(x)=جα(x)-أناYα(x)،{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}} حيث i هي الوحدة التخيلية . تُعرف هذه التراكيب الخطية أيضًا باسم دوال بيسل من النوع الثالث ؛ وهي حلان مستقلان خطيًا لمعادلة بيسل التفاضلية. وقد سُميت نسبةً إلى هيرمان هانكل .

تُحقق هذه الأشكال من التركيب الخطي العديد من الخصائص البسيطة ظاهريًا، مثل الصيغ التقاربية أو التمثيلات التكاملية. هنا، تعني كلمة "بسيط" ظهور عامل على الصورة e <sup> i </sup> (x)<sup>i</sup> . بالنسبة للأعداد الحقيقيةx>0{\displaystyle x>0}أينجα(x){\displaystyle J_{\alpha }(x)}،Yα(x){\displaystyle Y_{\alpha }(x)}بما أن الدوال حقيقية القيمة، فإن دوال بيسل من النوع الأول والثاني هي الأجزاء الحقيقية والخيالية، على التوالي، لدالة هانكل الأولى، والأجزاء الحقيقية والخيالية السالبة لدالة هانكل الثانية. وبالتالي، فإن الصيغ المذكورة أعلاه هي نظائر لصيغة أويلر ، مع استبدال H (1) α ( x ) و H (2) α ( x ) بـهـ±أناx{\displaystyle e^{\pm ix}}وجα(x){\displaystyle J_{\alpha }(x)}،Yα(x){\displaystyle Y_{\alpha }(x)}لكوس⁡(x){\displaystyle \cos(x)}،الخطيئة⁡(x){\displaystyle \sin(x)}، كما هو موضح صراحة في التوسع التقاربي .

تُستخدم دوال هانكل للتعبير عن حلول الموجات الأسطوانية المنتشرة للخارج والداخل لمعادلة الموجة الأسطوانية، على التوالي (أو العكس، اعتمادًا على اصطلاح الإشارة للتردد ).

باستخدام العلاقات السابقة، يمكن التعبير عنها على النحو التالي: حα(1)(x)=ج-α(x)-هـ-απأناجα(x)أناالخطيئة⁡απ،حα(2)(x)=ج-α(x)-هـαπأناجα(x)-أناالخطيئة⁡απ.{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}

إذا كان α عددًا صحيحًا، فيجب حساب النهاية. العلاقات التالية صحيحة، سواء كان α عددًا صحيحًا أم لا: [ 22 ]ح-α(1)(x)=هـαπأناحα(1)(x)،ح-α(2)(x)=هـ-απأناحα(2)(x).{\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\[6mu]H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{aligned}}}

على وجه الخصوص، إذا كانت α = m + 1/2 حيث m عدد صحيح غير سالب ، فإن العلاقات المذكورة أعلاه تشير مباشرة إلى أنج-(م+12)(x)=(-1)م+1Yم+12(x)،Y-(م+12)(x)=(-1)مجم+12(x).{\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\[5pt]Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}

هذه مفيدة في تطوير دوال بيسل الكروية (انظر أدناه).

تقبل دوال هانكل التمثيلات التكاملية التالية لـ Re( x ) > 0 : [ 23 ]حα(1)(x)=1πأنا∫-∞+∞+πأناهـxسينه⁡ت-αتدت،حα(2)(x)=-1πأنا∫-∞+∞-πأناهـxسينه⁡ت-αتدت،{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}} حيث تشير حدود التكامل إلى التكامل على طول مسار يمكن اختياره على النحو التالي: من −∞ إلى 0 على طول المحور الحقيقي السالب، ومن 0 إلى ± π i على طول المحور التخيلي، ومن ± π i إلى +∞ ± π i على طول مسار موازٍ للمحور الحقيقي. [ 20 ]

دوال بيسل المعدلة: I α ، K α

تُعدّ دوال بيسل صالحة حتى بالنسبة للمتغيرات المركبة x ، ومن الحالات الخاصة المهمة حالة المتغير التخيلي البحت. في هذه الحالة، تُسمى حلول معادلة بيسل دوال بيسل المعدلة (أو أحيانًا دوال بيسل الزائدية ) من النوع الأول والثاني ، وتُعرّف كما يلي [ 24 ].أناα(x)=أنا-αجα(أناx)=∑م=0∞1م!Γ(م+α+1)(x2)2م+α،كα(x)=π2أنا-α(x)-أناα(x)الخطيئة⁡απ،{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}} عندما لا يكون α عددًا صحيحًا. أما عندما يكون α عددًا صحيحًا، فيُستخدم الحد. تُختار هذه القيم لتكون حقيقية عندما تكون x عددًا حقيقيًا موجبًا . وبالتالي ، فإن متسلسلة تايلور لـ Iα ( x ) تُشابه متسلسلة تايلور لـ Jα ( x ) ، ولكن بدون العامل المتناوب (-1) m .

كα{\displaystyle K_{\alpha }}يمكن التعبير عنها بدلالة دوال هانكل: كα(x)={π2أناα+1حα(1)(أناx)-π<arg⁡x≤π2π2(-أنا)α+1حα(2)(-أناx)-π2<arg⁡x≤π{\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}

باستخدام هاتين الصيغتين، تكون النتيجة هيجα2(z)+Yα2(z){\displaystyle J_{\alpha }^{2}(z)+Y_{\alpha }^{2}(z)}يمكن الحصول على ، والمعروفة باسم تكامل نيكلسون أو صيغة نيكلسون، لإعطاء ما يلي جα2(x)+Yα2(x)=8π2∫0∞ضرب بالعصا⁡(2αت)ك0(2xسينه⁡ت)دت،{\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}

بافتراض تحقق الشرط Re( x ) > 0 ، يمكن أيضًا إثبات أن جα2(x)+Yα2(x)=8كوس⁡(απ)π2∫0∞ك2α(2xسينه⁡ت)دت،{\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,} فقط عندما يكون | Re ( α ) | < 1 / 2 و Re( x ) ≥ 0 ولكن ليس عندما x = 0 . [ 25 ]

يمكننا التعبير عن دالتي بيسل الأولى والثانية بدلالة دوال بيسل المعدلة (وهذه صحيحة إذا كان − π < arg z ≤ ⁠ π / 2 ⁠ ): [ 26 ]جα(أناz)=هـαπأنا2أناα(z)،Yα(أناz)=هـ(α+1)πأنا2أناα(z)-2πهـ-απأنا2كα(z).{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}

I α ( x ) و K α ( x ) هما الحلان المستقلان خطيًا لمعادلة بيسل المعدلة : [ 27 ]x2د2yدx2+xدyدx-(x2+α2)y=0.{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}

على عكس دوال بيسل العادية، التي تتذبذب كدوال لمتغير حقيقي، فإن Iα و Kα دالتان تتزايدان وتتناقصان أُسّيًا على التوالي. ومثل دالة بيسل العادية Jα ، تؤول الدالة Iα إلى الصفر عند x = 0 عندما α > 0 ، وتكون محدودة عند x = 0 عندما α = 0. وبالمثل، تتباعد Kα عند x = 0، وتكون نقطة التفرد من النوع اللوغاريتمي عندما K ≥ 0 ، و ⁠ 1/2 ⁠ Γ ( | α | )(2/ x ) | α | فيما عدا ذلك . [ 28 ]

دوال بيسل المعدلة من النوع الأول،أناα(x){\displaystyle I_{\alpha }(x)}، لα=0،1،2،3{\displaystyle \alpha =0,1,2,3}.
دوال بيسل المعدلة من النوع الثاني،كα(x){\displaystyle K_{\alpha }(x)}، لα=0،1،2،3{\displaystyle \alpha =0,1,2,3}.

هناك صيغتان تكامليتان لدوال بيسل المعدلة (لـ Re( x ) > 0 ): [ 29 ]أناα(x)=1π∫0πهـxكوس⁡θكوس⁡αθدθ-الخطيئة⁡αππ∫0∞هـ-xضرب بالعصا⁡ت-αتدت،كα(x)=∫0∞هـ-xضرب بالعصا⁡تضرب بالعصا⁡αتدت.{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}

يمكن وصف دوال بيسل بأنها تحويلات فورييه لقوى الدوال التربيعية. على سبيل المثال (لـ Re(ω) > 0 ): 2ك0(ω)=∫-∞∞هـأناωتت2+1دت.{\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}

يمكن إثبات ذلك بإظهار المساواة مع تعريف التكامل أعلاه لـ K 0. ويتم ذلك عن طريق تكامل منحنى مغلق في الربع الأول من المستوى المركب.

يمكن تمثيل دوال بيسل المعدلة من النوع الثاني باستخدام تكامل باسيت [ 30 ]كن(xz)=Γ(ن+12)(2z)نπxن∫0∞كوس⁡(xت)دت(ت2+z2)ن+12.{\displaystyle K_{n}(xz)={\frac {\Gamma {\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(2z)^{n}}{{\sqrt {\pi }}x^{n}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(xt)\,dt}{(t^{2}+z^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}}}.}

يمكن تمثيل دوال بيسل المعدلة K 1/3 و K 2/3 من حيث التكاملات المتقاربة بسرعة [ 31 ].ك13(ξ)=3∫0∞خبرة⁡(-ξ(1+4x23)1+x23)دx،ك23(ξ)=13∫0∞3+2x21+x23خبرة⁡(-ξ(1+4x23)1+x23)دx.{\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}

دالة بيسل المعدلةك12(ξ)=(2ξ/π)-1/2خبرة⁡(-ξ){\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi )=(2\xi /\pi )^{-1/2}\exp(-\xi )}من المفيد تمثيل توزيع لابلاس كمزيج من التوزيعات الطبيعية على نطاق أسي.

وقد أطلق على دالة بيسل المعدلة من النوع الثاني أيضاً الأسماء التالية (وهي الآن نادرة):

دوال بسل الكروية: j n , y n

رسم بياني لدالة بيسل الكروية من النوع الأول j n ( z ) حيث n = 0.5 في المستوى المركب من −2 − 2 i إلى 2 + 2 i
رسم بياني لدالة بيسل الكروية من النوع الثاني y <sub>n</sub> ( z ) حيث n = 0.5 في المستوى المركب من −2 − 2 i إلى 2 + 2 i
دوال بيسل الكروية من النوع الأولجα(x){\displaystyle j_{\alpha }(x)}، لα=0،1،2{\displaystyle \alpha =0,1,2}.
دوال بيسل الكروية من النوع الثانيyα(x){\displaystyle y_{\alpha }(x)}، لα=0،1،2{\displaystyle \alpha =0,1,2}.

عند حل معادلة هيلمهولتز في الإحداثيات الكروية بفصل المتغيرات ، تأخذ المعادلة القطرية الشكل التالي: x2د2yدx2+2xدyدx+(x2-ن(ن+1))y=0.{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}

يُطلق على الحلين المستقلين خطيًا لهذه المعادلة اسم دوال بيسل الكروية j n و y n ، ويرتبطان بدوال بيسل العادية J n و Y n بواسطة [ 33 ].جن(x)=π2xجن+12(x)،yن(x)=π2xYن+12(x)=(-1)ن+1π2xج-ن-12(x).{\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}

يُشار إلى y n أيضًا بـ n n أو η n ؛ ويطلق بعض المؤلفين على هذه الدوال اسم دوال نيومان الكروية .

يتضح من العلاقات مع دوال بيسل العادية ما يلي: جن(x)=(-1)نy-ن-1(x)yن(x)=(-1)ن+1ج-ن-1(x){\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)\end{aligned}}}

يمكن أيضًا كتابة دوال بيسل الكروية على النحو التالي (صيغ رايلي ) [ 34 ]جن(x)=(-x)ن(1xددx)نالخطيئة⁡xx،yن(x)=-(-x)ن(1xددx)نكوس⁡xx.{\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}

تُعرف دالة بيسل الكروية الصفرية j₀ ( x ) أيضًا باسم دالة sinc (غير المعيارية). أما دوال بيسل الكروية القليلة الأولى فهي: [ 35 ]ج0(x)=الخطيئة⁡xx.ج1(x)=الخطيئة⁡xx2-كوس⁡xx،ج2(x)=(3x2-1)الخطيئة⁡xx-3كوس⁡xx2،ج3(x)=(15x3-6x)الخطيئة⁡xx-(15x2-1)كوس⁡xx{\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}} و [ 36 ]y0(x)=-ج-1(x)=-كوس⁡xx،y1(x)=ج-2(x)=-كوس⁡xx2-الخطيئة⁡xx،y2(x)=-ج-3(x)=(-3x2+1)كوس⁡xx-3الخطيئة⁡xx2،y3(x)=ج-4(x)=(-15x3+6x)كوس⁡xx-(15x2-1)الخطيئة⁡xx.{\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}

الجذور القليلة الأولى غير الصفرية للدوال الكروية القليلة الأولى من دوال بيسل هي:

الجذور غير الصفرية لدالة بيسل الكروية (النوع الأول)
طلبالجذر 1الجذر 2الجذر 3الجذر 4الجذر 5
ج0{\displaystyle j_{0}}3.1415936.2831859.42477812.56637115.707963
ج1{\displaystyle j_{1}}4.4934097.72525210.90412214.06619417.220755
ج2{\displaystyle j_{2}}5.7634599.09501112.32294115.51460318.689036
ج3{\displaystyle j_{3}}6.98793210.41711913.69802316.92362120.121806
ج4{\displaystyle j_{4}}8.18256111.70490715.03966518.30125621.525418
الجذور غير الصفرية لدالة بيسل الكروية (النوع الثاني)
طلبالجذر 1الجذر 2الجذر 3الجذر 4الجذر 5
y0{\displaystyle y_{0}}1.5707964.7123897.85398210.99557414.137167
y1{\displaystyle y_{1}}2.7983866.1212509.31786612.48645415.644128
y2{\displaystyle y_{2}}3.9595287.45161010.71564713.92168617.103359
y3{\displaystyle y_{3}}5.0884988.73371012.06754415.31539018.525210
y4{\displaystyle y_{4}}6.1978319.98246613.38528716.67662519.916796

دالة توليد

تحتوي دوال بيسل الكروية على الدوال المولدة [ 37 ]1zكوس⁡(z2-2zت)=∑ن=0∞تنن!جن-1(z)،1zالخطيئة⁡(z2-2zت)=∑ن=0∞تنن!yن-1(z).{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}

توسعات المتسلسلات المحدودة

على النقيض من دوال بيسل الصحيحة الكاملة J n ( x ), Y n ( x ) ، فإن دوال بيسل الكروية j n ( x ), y n ( x ) لها تعبير سلسلة منتهية: [ 38 ]جن(x)=π2xجن+12(x)=12x[هـأناx∑ر=0نأنار-ن-1(ن+ر)!ر!(ن-ر)!(2x)ر+هـ-أناx∑ر=0ن(-أنا)ر-ن-1(ن+ر)!ر!(ن-ر)!(2x)ر]=1x[الخطيئة⁡(x-نπ2)∑ر=0⌊ن2⌋(-1)ر(ن+2ر)!(2ر)!(ن-2ر)!(2x)2ر+كوس⁡(x-نπ2)∑ر=0⌊ن-12⌋(-1)ر(ن+2ر+1)!(2ر+1)!(ن-2ر-1)!(2x)2ر+1]{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\&={\frac {1}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {1}{x}}\left[\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\\\end{alignedat}}}yن(x)=(-1)ن+1ج-ن-1(x)=(-1)ن+1π2xج-(ن+12)(x)=(-1)ن+12x[هـأناx∑ر=0نأنار+ن(ن+ر)!ر!(ن-ر)!(2x)ر+هـ-أناx∑ر=0ن(-أنا)ر+ن(ن+ر)!ر!(ن-ر)!(2x)ر]=(-1)ن+1x[كوس⁡(x+نπ2)∑ر=0⌊ن2⌋(-1)ر(ن+2ر)!(2ر)!(ن-2ر)!(2x)2ر-الخطيئة⁡(x+نπ2)∑ر=0⌊ن-12⌋(-1)ر(ن+2ر+1)!(2ر+1)!(ن-2ر-1)!(2x)2ر+1]{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\pi }{2x}}J_{-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(x)\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{x}}\left[\cos \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}-\sin \left(x+{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\end{alignedat}}}

العلاقات التفاضلية

فيما يلي، f n هو أي من j n ، y n ، h (1) n ، h (2) n لـ n = 0 ، ±1 ، ±2 ، ... [ 39 ](1zددz)م(zن+1ون(z))=zن-م+1ون-م(z)،(1zددz)م(z-نون(z))=(-1)مz-ن-مون+م(z).{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}

دوال هانكل الكروية: h (1) n ، h (2) n

رسم بياني لدالة هانكل الكروية من النوع الأول h (1) n ( x ) حيث n = −0.5 في المستوى المركب من −2 − 2i إلى 2 + 2i
رسم بياني لدالة هانكل الكروية من النوع الثاني h (2) n ( x ) حيث n = −0.5 في المستوى المركب من −2 − 2i إلى 2 + 2i

توجد أيضًا نظائر كروية لدوال هانكل : حن(1)(x)=جن(x)+أناyن(x)،حن(2)(x)=جن(x)-أناyن(x).{\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned}}}

توجد صيغ مغلقة بسيطة لدوال بيسل ذات الرتبة النصفية الصحيحة بدلالة الدوال المثلثية القياسية ، وبالتالي لدوال بيسل الكروية. على وجه الخصوص، بالنسبة للأعداد الصحيحة غير السالبة n : حن(1)(x)=(-أنا)ن+1هـأناxx∑م=0نأنامم!(2x)م(ن+م)!(ن-م)!،{\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!\,(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}},} و h (2) n هو المرافق المركب لهذا (لـ x الحقيقي ). ويترتب على ذلك، على سبيل المثال، أن j0 ( x ) = sin ( x) / x و y0 ( x ) = -cos ( x) / x ، وهكذا .

تظهر دوال هانكل الكروية في المسائل التي تتضمن انتشار الموجات الكروية ، على سبيل المثال في توسيع متعدد الأقطاب للمجال الكهرومغناطيسي .

دوال ريكاتي-بيسل: S n , C n , ξ n , ζ n

تختلف دوال ريكاتي -بيسل اختلافًا طفيفًا فقط عن دوال بيسل الكروية: Sن(x)=xجن(x)=πx2جن+12(x)جن(x)=-xyن(x)=-πx2Yن+12(x)ξن(x)=xحن(1)(x)=πx2حن+12(1)(x)=Sن(x)-أناجن(x)ζن(x)=xحن(2)(x)=πx2حن+12(2)(x)=Sن(x)+أناجن(x){\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned}}}

رسم بياني لدوال ريكاتي-بيسل المركبة من -2-2i إلى 2+2i
رسم بياني لدوال ريكاتي-بيسل المركبة Sn من −2  −  2 i إلى 2  +  2 i

إنها تحقق المعادلة التفاضلية x2د2yدx2+(x2-ن(ن+1))y=0.{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}

على سبيل المثال، يظهر هذا النوع من المعادلات التفاضلية في ميكانيكا الكم عند حل المكون القطري لمعادلة شرودنغر مع حاجز جهد أسطواني افتراضي لانهائي. [ 40 ] كما تظهر هذه المعادلة التفاضلية، وحلول ريكاتي-بيسل، في مسألة تشتت الموجات الكهرومغناطيسية بواسطة كرة، والمعروفة بتشتت مي نسبةً إلى أول حل نُشر بواسطة مي (1908). انظر، على سبيل المثال، دو (2004) [ 41 ] للاطلاع على التطورات والمراجع الحديثة.

تبعاً لديباي (1909)، يتم استخدام الرمز ψ n ، χ n في بعض الأحيان بدلاً من S n ، C n .

الأشكال التقاربية

تأخذ دوال بيسل الأشكال التقاربية التالية . بالنسبة للقيم الصغيرة0<z≪α+1{\displaystyle 0<z\ll {\sqrt {\alpha +1}}}، يحصل المرء عندماα{\displaystyle \alpha }ليس عددًا صحيحًا سالبًا: [ 6 ]جα(z)∼1Γ(α+1)(z2)α.{\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }.}

عندما يكون α عددًا صحيحًا سالبًا، يكون لدينا جα(z)∼(-1)α(-α)!(2z)α.{\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {(-1)^{\alpha }}{(-\alpha )!}}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }.}

بالنسبة لدالة بيسل من النوع الثاني، لدينا ثلاث حالات: Yα(z)∼{2π(ln⁡(z2)+γ)لو α=0-Γ(α)π(2z)α+1Γ(α+1)(z2)αسرير أطفال⁡(απ)لو α هو عدد صحيح موجب،-(-1)αΓ(-α)π(z2)αلو α هو عدد صحيح سالب،{\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is a positive integer,}}\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}} حيث γ هو ثابت أويلر-ماسكيروني (0.5772...). أما في الحالة الثانية (حيثα{\displaystyle \alpha }(عدد صحيح موجب) سيسود أحد الحدين ما لمα{\displaystyle \alpha }إنه خيالي.

بالنسبة للأعداد الحقيقية الكبيرة z ≫ | α² - 1/4 | ، لا يمكن كتابة صيغة تقاربية حقيقية لدوال بيسل من النوع الأول والثاني (إلا إذا كان α نصف عدد صحيح ) لأنها تحتوي على أصفار حتى اللانهاية، وهو ما يجب أن يتطابق تمامًا مع أي توسيع تقاربي. مع ذلك، بالنسبة لقيمة معينة لـ arg z ، يمكن كتابة معادلة تحتوي على حد من الرتبة | z | - 1 : [ 42 ]جα(z)=2πz(كوس⁡(z-απ2-π4)+هـ|أنا⁡(z)|يا(|z|-1))ل |arg⁡z|<π،Yα(z)=2πz(الخطيئة⁡(z-απ2-π4)+هـ|أنا⁡(z)|يا(|z|-1))ل |arg⁡z|<π.{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi .\end{aligned}}}

(بالنسبة لـ α = 1 / 2 ، فإن الحدود الأخيرة في هذه الصيغ تسقط تمامًا؛ انظر دوال بيسل الكروية أعلاه.)

الأشكال التقاربية لدوال هانكل هي: حα(1)(z)∼2πzهـأنا(z-απ2-π4)ل -π<arg⁡z<2π،حα(2)(z)∼2πzهـ-أنا(z-απ2-π4)ل -2π<arg⁡z<π.{\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<2\pi ,\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-2\pi <\arg z<\pi .\end{aligned}}}

يمكن توسيع هذه النتائج لتشمل قيمًا أخرى لـ arg z باستخدام المعادلات التي تربط H (1) α ( ze im π ) و H (2) α ( ze im π ) بـ H (1) α ( z ) و H (2) α ( z ) . [ 43 ]

من المثير للاهتمام أنه على الرغم من أن دالة بيسل من النوع الأول هي متوسط ​​دالتي هانكل، فإن Jα ( z ) لا تقترب من متوسط ​​هاتين الصيغتين التقاربيتين عندما تكون z سالبة (لأن إحداهما لن تكون صحيحة في هذه الحالة، اعتمادًا على قيمة arg z المستخدمة). لكن الصيغ التقاربية لدوال هانكل تسمح لنا بكتابة الصيغ التقاربية لدوال بيسل من النوع الأول والثاني لـ z المركبة (غير الحقيقية) طالما أن | z | تؤول إلى اللانهاية عند زاوية طور ثابتة arg z (باستخدام الجذر التربيعي ذي الجزء الحقيقي الموجب). جα(z)∼12πzهـأنا(z-απ2-π4)ل -π<arg⁡z<0،جα(z)∼12πzهـ-أنا(z-απ2-π4)ل 0<arg⁡z<π،Yα(z)∼-أنا12πzهـأنا(z-απ2-π4)ل -π<arg⁡z<0،Yα(z)∼أنا12πzهـ-أنا(z-απ2-π4)ل 0<arg⁡z<π.{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi .\end{aligned}}}

بالنسبة لدوال بيسل المعدلة، قام هانكل بتطوير توسعات تقاربية أيضًا: [ 44 ] [ 45 ]أناα(z)∼هـz2πz(1-4α2-18z+(4α2-1)(4α2-9)2!(8z)2-(4α2-1)(4α2-9)(4α2-25)3!(8z)3+⋯)ل |arg⁡z|<π2،كα(z)∼π2zهـ-z(1+4α2-18z+(4α2-1)(4α2-9)2!(8z)2+(4α2-1)(4α2-9)(4α2-25)3!(8z)3+⋯)ل |arg⁡z|<3π2.{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\K_{\alpha }(z)&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {3\pi }{2}}.\end{aligned}}}

يوجد أيضًا الشكل التقاربي (للأعداد الحقيقية الكبيرة)z{\displaystyle z}) [ 46 ]أناα(z)=12πz1+α2z24خبرة⁡(-αدالة الجيب العكسي⁡(αz)+z1+α2z2)(1+يا(1z1+α2z2)).{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arcsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}

عندما α = 1/2 ، فإن جميع الحدود تتلاشى باستثناء الحد الأول ، ولدينا أنا1/2(z)=2πسينه⁡(z)z∼هـz2πzل |arg⁡z|<π2،ك1/2(z)=π2هـ-zz.{\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned}}}

للمشاحنات البسيطة0<|z|≪α+1{\displaystyle 0<|z|\ll {\sqrt {\alpha +1}}}لدينا أناα(z)∼1Γ(α+1)(z2)α،كα(z)∼{-ln⁡(z2)-γلو α=0Γ(α)2(2z)αلو α>0{\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\[1ex]K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}

ملكيات

لأي دالة بيسل التي يكون ترتيبهاα{\displaystyle \alpha }إذا لم يكن عددًا صحيحًا سالبًا، فيمكن تعريف مشتقات الدالة على النحو التالي: [ 47 ]

ددxجα(x)=جα-1(x)-αxجα(x){\displaystyle {d \over dx}J_{\alpha }(x)=J_{\alpha -1}(x)-{\alpha \over x}J_{\alpha }(x)}

أو، على نحو مماثل،

ددxجα(x)=αxجα(x)-جα+1(x){\displaystyle {d \over dx}J_{\alpha }(x)={\alpha \over x}J_{\alpha }(x)-J_{\alpha +1}(x)}

يمكن استخدام هذه الصيغ لتحديد علاقة تكرارية لـجα(x){\displaystyle J_{\alpha }(x)}[ 47 ] ، وهو شكل أكثر عمومية مذكور أدناه .

بالنسبة للرتبة الصحيحة α = n ، غالبًا ما يتم تعريف J n عبر متسلسلة لوران لدالة مولدة : هـx2(ت-1ت)=∑ن=-∞∞جن(x)تن{\displaystyle e^{{\frac {x}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}} نهج استخدمه بي إيه هانسن في عام 1843. (يمكن تعميم هذا النهج إلى رتبة غير صحيحة عن طريق التكامل الكفافي أو طرق أخرى.)

سلسلة لانهائية من دوال بيسل على شكل∑ν=-∞∞جشمالν+ص(x){\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)}أينν،ص∈Z، شمال∈Z+\nu ,p\in \mathbb {Z} ,\ N\in \mathbb {Z} ^{+}تنشأ هذه الظاهرة في العديد من الأنظمة الفيزيائية، ويتم تعريفها بصيغة مغلقة بواسطة متسلسلة سونغ . [ 48 ] على سبيل المثال، عندما N = 3:∑ν=-∞∞ج3ν+ص(x)=13[1+2كوس⁡(x3/2-2πص/3)]{\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu +p}(x)={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {(x{\sqrt {3}}/2-2\pi p/3)}\right]}وبشكل عام، تُكتب متسلسلة سونغ ومتسلسلة سونغ المتناوبة على النحو التالي: ∑ν=-∞∞جشمالν+ص(x)=1شمال∑q=0شمال-1هـأناxالخطيئة⁡2πq/شمالهـ-أنا2πصq/شمال{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {2\pi q/N}}e^{-i2\pi pq/N}}∑ν=-∞∞(-1)νجشمالν+ص(x)=1شمال∑q=0شمال-1هـأناxالخطيئة⁡(2q+1)π/شمالهـ-أنا(2q+1)πص/شمال{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }(-1)^{\nu }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {(2q+1)\pi /N}}e^{-i(2q+1)\pi p/N}}

متسلسلة التوسع باستخدام دوال بيسل ( متسلسلة كابتين ) هي 11-z=1+2∑ن=1∞جن(نz).{\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(nz).}

ومن العلاقات المهمة الأخرى لترتيب الأعداد الصحيحة توسيع جاكوبي-أنجر : هـأناzكوس⁡ϕ=∑ن=-∞∞أنانجن(z)هـأنانϕ{\displaystyle e^{iz\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi }} و

هـأناzالخطيئة⁡θ≡∑ن=-∞∞جن(z)هـأنانθ.{\displaystyle e^{iz\sin \theta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)\,e^{in\theta }.}

وهذا الأخير يعادل هـ±أناzالخطيئة⁡ϕ=ج0(z)+2∑ن=1∞ج2ن(z)كوس⁡(2نϕ)±2أنا∑ن=0∞ج2ن+1(z)الخطيئة⁡((2ن+1)ϕ){\displaystyle e^{\pm iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )\pm 2i\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin((2n+1)\phi )} والتي تستخدم لتوسيع الموجة المستوية كمجموع موجات أسطوانية ، أو لإيجاد سلسلة فورييه لإشارة FM معدلة النغمة .

وبشكل أعم، سلسلة و(z)=أ0νجν(z)+2⋅∑ك=1∞أكνجν+ك(z){\displaystyle f(z)=a_{0}^{\nu }J_{\nu }(z)+2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +k}(z)} يُطلق عليه اسم متسلسلة نيومان للدالة f . معاملات ν = 0 لها الشكل الصريح التالي أك0=12πأنا∫|z|=جو(z)ياك(z)دz{\displaystyle a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz} حيث O k هي متعددة حدود نيومان . [ 49 ]

تسمح الدوال المختارة بالتمثيل الخاص و(z)=∑ك=0∞أكνجν+2ك(z){\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +2k}(z)} مع أكν=2(ν+2ك)∫0∞و(z)جν+2ك(z)zدz{\displaystyle a_{k}^{\nu }=2(\nu +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{\nu +2k}(z)}{z}}\,dz} بسبب علاقة التعامد ∫0∞جα(z)جβ(z)دzz=2πالخطيئة⁡(π2(α-β))α2-β2{\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {dz}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}

وبشكل أعم، إذا كان للدالة f نقطة تفرع بالقرب من نقطة الأصل من هذا النوع الذي و(z)=∑ك=0أكجν+ك(z){\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}(z)} ثم L{∑ك=0أكجν+ك}(s)=11+s2∑ك=0أك(s+1+s2)ν+ك{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}\right\}(s)={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}}\sum _{k=0}{\frac {a_{k}}{\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{\nu +k}}}} أو ∑ك=0أكξν+ك=1+ξ22ξL{و}(1-ξ22ξ){\displaystyle \sum _{k=0}a_{k}\xi ^{\nu +k}={\frac {1+\xi ^{2}}{2\xi }}{\mathcal {L}}\{f\}\left({\frac {1-\xi ^{2}}{2\xi }}\right)} أينL{و}{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}هو تحويل لابلاس للدالة f . [ 50 ]

هناك طريقة أخرى لتعريف دوال بيسل وهي صيغة تمثيل بواسون وصيغة ميهلر-سونين: جν(z)=(z2)νΓ(ν+12)π∫-11هـأناzs(1-s2)ν-12دs=2(z2)ν⋅π⋅Γ(12-ν)∫1∞الخطيئة⁡zu(u2-1)ν+12دu{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}\left(1-s^{2}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds\\[5px]&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin zu}{\left(u^{2}-1\right)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du\end{aligned}}} حيث ν > − ⁠ 1 / 2 ⁠ و z ∈ C . [ 51 ] هذه الصيغة مفيدة خاصة عند العمل مع تحويلات فورييه .

بما أن معادلة بيسل تصبح هيرميتية (ذاتية الترافق) عند قسمتها على x ، فإن الحلول يجب أن تحقق علاقة تعامد لشروط حدودية مناسبة. وعلى وجه الخصوص، يترتب على ذلك ما يلي: ∫01xجα(xuα،م)جα(xuα،ن)دx=دلتام،ن2[جα+1(uα،م)]2=دلتام،ن2[جα′(uα،م)]2{\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)J_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha }'\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}} حيث α > −1 ، و δm , n هي دالة كرونكر دلتا ، و uα , m هو الصفر رقم m للدالة Jα ( x ) . يمكن استخدام علاقة التعامد هذه لاستخراج المعاملات في متسلسلة فورييه-بيسل ، حيث يتم توسيع دالة ما في أساس الدوال Jα ( x ) uα , m لقيمة α ثابتة وقيمة m متغيرة .

وتترتب على ذلك علاقة مماثلة لدوال بيسل الكروية: ∫01x2جα(xuα،م)جα(xuα،ن)دx=دلتام،ن2[جα+1(uα،م)]2{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[j_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}

إذا عرّفنا دالة صندوقية لـ x تعتمد على معامل صغير ε على النحو التالي: وε(x)=1εمستطيل⁡(x-1ε){\displaystyle f_{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x-1}{\varepsilon }}\right)} (حيث rect هي دالة المستطيل ) ثم تحويل هانكل لها (من أي رتبة معينة α > − ⁠ 1 / 2 ⁠ )، g ε ( k ) ، يقترب من J α ( k ) عندما تقترب ε من الصفر، لأي قيمة معطاة لـ k . وبالعكس، فإن تحويل هانكل (من نفس الرتبة) لـ g ε ( k ) هو f ε ( x ) : ∫0∞كجα(كx)زε(ك)دك=وε(x){\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)g_{\varepsilon }(k)\,dk=f_{\varepsilon }(x)} وهي تساوي صفرًا في كل مكان باستثناء قرب 1. عندما تقترب ε من الصفر، يقترب الطرف الأيمن من δ ( x - 1) ، حيث δ هي دالة ديراك دلتا . وهذا يسمح بالنهاية (بالمعنى التوزيعي ): ∫0∞كجα(كx)جα(ك)دك=دلتا(x-1){\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)J_{\alpha }(k)\,dk=\delta (x-1)}

ثم يؤدي تغيير المتغيرات إلى معادلة الإغلاق : [ 52 ]∫0∞xجα(ux)جα(vx)دx=1uدلتا(u-v){\displaystyle \int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v)} لـ α > − 1 / 2. بالنسبة لدوال بيسل الكروية، تكون علاقة التعامد كما يلي :∫0∞x2جα(ux)جα(vx)دx=π2uvدلتا(u-v){\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {\pi }{2uv}}\delta (u-v)} لـ α > −1 .

ومن الخصائص المهمة الأخرى لمعادلات بيسل، والتي تنبع من متطابقة أبيل ، خاصية فرونسكي للحلول: أα(x)دبαدx-دأαدxبα(x)=جαx{\displaystyle A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x}}} حيث يمثل Aα و Bα أي حلين لمعادلة بيسل، و Cα ثابت مستقل عن x (يعتمد على α وعلى دوال بيسل المحددة المدروسة). على وجه الخصوص ،جα(x)دYαدx-دجαدxYα(x)=2πx{\displaystyle J_{\alpha }(x){\frac {dY_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dJ_{\alpha }}{dx}}Y_{\alpha }(x)={\frac {2}{\pi x}}} و أناα(x)دكαدx-دأناαدxكα(x)=-1x،{\displaystyle I_{\alpha }(x){\frac {dK_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dI_{\alpha }}{dx}}K_{\alpha }(x)=-{\frac {1}{x}},} لـ α > −1 .

بالنسبة لـ α > −1 ، فإن الدالة الزوجية الكاملة من النوع 1، x − α J α ( x ) ، لها أصفار حقيقية فقط. ليكن 0<جα،1<جα،2<⋯<جα،ن<⋯{\displaystyle 0<j_{\alpha ,1}<j_{\alpha ,2}<\cdots <j_{\alpha ,n}<\cdots } إذا كانت جميع قيمها أصفارًا موجبة، جα(z)=(z2)αΓ(α+1)∏ن=1∞(1-z2جα،ن2){\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{j_{\alpha ,n}^{2}}}\right)}

(هناك عدد كبير من التكاملات والمتطابقات الأخرى المعروفة التي لم يتم سردها هنا، ولكن يمكن العثور عليها في المراجع.)

العلاقات التكرارية

جميع الدوال J α ، Y α ، H (1) α ، و H (2) α تحقق علاقات التكرار [ 53 ]2αxZα(x)=Zα-1(x)+Zα+1(x){\displaystyle {\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)=Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x)} و 2دZα(x)دx=Zα-1(x)-Zα+1(x)،{\displaystyle 2{\frac {dZ_{\alpha }(x)}{dx}}=Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x),} حيث يرمز Z إلى J أو Y أو H (1) أو H (2) . غالبًا ما تُدمج هاتان المتطابقتان، على سبيل المثال، بجمعهما أو طرحهما، للحصول على علاقات أخرى متنوعة. بهذه الطريقة، على سبيل المثال، يمكن حساب دوال بيسل ذات الرتب العليا (أو المشتقات العليا) بمعرفة القيم عند الرتب الدنيا (أو المشتقات الدنيا). على وجه الخصوص، يترتب على ذلك أن [ 54 ](1xددx)م[xαZα(x)]=xα-مZα-م(x)،(1xددx)م[Zα(x)xα]=(-1)مZα+م(x)xα+م.{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]&=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),\\\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]&=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.\end{aligned}}}

باستخدام العلاقات السابقة، يمكن التوصل إلى علاقات مماثلة لدوال بيسل الكروية :

2α+1xجα(x)=جα-1+جα+1{\displaystyle {\frac {2\alpha +1}{x}}j_{\alpha }(x)=j_{\alpha -1}+j_{\alpha +1}}

و

دجα(x)دx=جα-1-α+1xجα{\displaystyle {\frac {dj_{\alpha }(x)}{dx}}=j_{\alpha -1}-{\frac {\alpha +1}{x}}j_{\alpha }}

تتبع دوال بيسل المعدلة علاقات مماثلة:هـ(x2)(ت+1ت)=∑ن=-∞∞أنان(x)تن{\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t+{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(x)t^{n}} و هـzكوس⁡θ=أنا0(z)+2∑ن=1∞أنان(z)كوس⁡نθ{\displaystyle e^{z\cos \theta }=I_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)\cos n\theta } و 12π∫02πهـzكوس⁡(مθ)+yكوس⁡θدθ=أنا0(z)أنا0(y)+2∑ن=1∞أنان(z)أنامن(y).{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{z\cos(m\theta )+y\cos \theta }d\theta =I_{0}(z)I_{0}(y)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)I_{mn}(y).}

العلاقة التكرارية هي جα-1(x)-جα+1(x)=2αxجα(x)،جα-1(x)+جα+1(x)=2ددxجα(x)،{\displaystyle {\begin{aligned}C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x),\\[1ex]C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}C_{\alpha }(x),\end{aligned}}} حيث يرمز C α إلى I α أو e αi π K α . هذه العلاقات التكرارية مفيدة لمسائل الانتشار المنفصلة.

التجاوز

في عام 1929، أثبت كارل لودفيج سيجل أن Jν ( x ) و J'ν ( x ) والمشتقة اللوغاريتمية J'ν ( x ) / Jν ( x ) هي أعداد متسامية عندما يكون ν عددًا نسبيًا و x عددًا جبريًا غير صفري. [ 55 ] ويشير البرهان نفسه أيضًا إلى أنΓ(v+1)(2/x)vجv(x){\displaystyle \Gamma (v+1)(2/x)^{v}J_{v}(x)}وهو متعالٍ في ظل نفس الافتراضات. [ 56 ]

المجاميع باستخدام دوال بيسل

حاصل ضرب دالتين من دوال بيسل يقبل المجموع التالي: ∑ν=-∞∞جν(x)جن-ν(y)=جن(x+y)،{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{n-\nu }(y)=J_{n}(x+y),}∑ν=-∞∞جν(x)جν+ن(y)=جن(y-x).{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(y)=J_{n}(y-x).} ويترتب على هذه المساواة ما يلي: ∑ν=-∞∞جν(x)جν+ن(x)=دلتان،0{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)=\delta _{n,0}} ونتيجة لذلك ∑ν=-∞∞جν2(x)=1.{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }^{2}(x)=1.}

يمكن توسيع هذه المجاميع لتشمل مُضاعِفًا للحدود يكون دالة متعددة الحدود للدليل. على سبيل المثال، ∑ν=-∞∞νجν(x)جν+ن(x)=x2(دلتان،1+دلتان،-1)،{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,1}+\delta _{n,-1}\right),}∑ν=-∞∞νجν2(x)=0،{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }^{2}(x)=0,}∑ν=-∞∞ν2جν(x)جν+ن(x)=x2(دلتان،-1-دلتان،1)+x24(دلتان،-2+2دلتان،0+دلتان،2)،{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,-1}-\delta _{n,1}\right)+{\frac {x^{2}}{4}}\left(\delta _{n,-2}+2\delta _{n,0}+\delta _{n,2}\right),}∑ν=-∞∞ν2جν2(x)=x22.{\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }^{2}(x)={\frac {x^{2}}{2}}.}

نظرية الضرب

تخضع دوال بيسل لنظرية الضربλ-νجν(λz)=∑ن=0∞1ن!((1-λ2)z2)نجν+ن(z)،{\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(1-\lambda ^{2}\right)z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z),} حيث يمكن اعتبار λ و ν أعدادًا مركبة اختيارية. [ 57 ] [ 58 ] بالنسبة لـ | λ² - 1 | < 1 ، [ 57 ] فإن التعبير أعلاه صحيح أيضًا إذا استُبدل J بـ Y. المتطابقات المماثلة لدوال بيسل المعدلة و | λ² - 1 | < 1 هي λ-νأناν(λz)=∑ن=0∞1ن!((λ2-1)z2)نأناν+ن(z){\displaystyle \lambda ^{-\nu }I_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}I_{\nu +n}(z)} و λ-νكν(λz)=∑ن=0∞(-1)نن!((λ2-1)z2)نكν+ن(z).{\displaystyle \lambda ^{-\nu }K_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}K_{\nu +n}(z).}

أصفار دالة بيسل

فرضية بورجيه

أثبت بيسل نفسه في الأصل أنه بالنسبة للأعداد الصحيحة غير السالبة n ، فإن المعادلة J<sub> n</sub> ( x ) = 0 لها عدد لا نهائي من الحلول في x . [ 59 ] ومع ذلك، عند تمثيل الدوال J<sub> n</sub> ( x ) على نفس الرسم البياني، لا يبدو أن أيًا من الأصفار يتطابق لقيم n المختلفة باستثناء الصفر عند x = 0. تُعرف هذه الظاهرة بفرضية بورجيه، نسبةً إلى عالم الرياضيات الفرنسي الذي درس دوال بيسل في القرن التاسع عشر. وتنص هذه الفرضية تحديدًا على أنه لأي عددين صحيحين n ≥ 0 و m ≥ 1 ، فإن الدالتين J <sub>n</sub> ( x ) و J <sub>n + m</sub> ( x ) ليس لهما أصفار مشتركة سوى الصفر عند x = 0. وقد أثبت كارل لودفيج سيجل هذه الفرضية عام 1929. [ 60 ]

التجاوز

أثبت سيجل في عام 1929 أنه عندما يكون ν عددًا نسبيًا ، فإن جميع الجذور غير الصفرية لـ Jν ( x) و J'ν (x) تكون متسامية ، [ 61 ] وكذلك جميع جذور Kν ( x) . [ 56 ] ومن المعروف أيضًا أن جميع جذور المشتقات العلياجν(ن)(x){\displaystyle J_{\nu }^{(n)}(x)}تكون الأعداد n ≤ 18 متسامية، باستثناء القيم الخاصة.ج1(3)(±3)=0{\displaystyle J_{1}^{(3)}(\pm {\sqrt {3}})=0}وج0(4)(±3)=0{\displaystyle J_{0}^{(4)}(\pm {\sqrt {3}})=0}[ 61 ]​

الأساليب العددية

للدراسات العددية حول أصفار دالة بيسل، انظر Gil, Segura & Temme (2007) , Kravanja et al. (1998) و مولر (2004) .

القيم العددية

تظهر الأصفار الأولى في J 0 (أي j 0,1 و j 0,2 و j 0,3 ) عند قيم وسيطة تقارب 2.40483 و 5.52008 و 8.65373 على التوالي. [ 62 ]

تاريخ

مشاكل الموجات والمرونة

ظهر مصطلح دالة بيسل لأول مرة في أعمال دانيال برنولي عام 1732، أثناء عمله على تحليل وتر مهتز ، وهي مشكلة سبق أن تناولها والده يوهان برنولي . [ 1 ] درس دانيال سلسلة مرنة معلقة من نقطة ثابتة في الأعلى وحرة عند طرفها السفلي. [ 1 ] أدى حل المعادلة التفاضلية إلى ظهور دالة تُعتبر الآن ج0(x){\displaystyle J_{0}(x)}كما طور برنولي طريقة لإيجاد أصفار الدالة. [ 1 ]

في عام 1736، اكتشف ليونارد أويلر صلة بين دوال أخرى (تُعرف الآن باسم كثيرات حدود لاغير ) وحل برنولي. كما قدم أويلر سلسلة غير منتظمة أدت إلى ظهور دوال مرتبطة الآن بدوال بيسل المعدلة.أنان(x){\displaystyle I_{n}(x)}[ 1 ]​

في منتصف القرن الثامن عشر، وجد جان لو رون دالمبير صيغة لحل معادلة الموجة . وبحلول عام 1771، كان هناك خلاف بين برنولي وأويلر ودالمبير وجوزيف لويس لاغرانج حول طبيعة حلول الأوتار المهتزة. [ 1 ]

عمل أويلر في عام 1778 على الانبعاج ، وقدم مفهوم الحمل الحرج لأويلر . ولحل المشكلة، قدم سلسلة منج±1/3(x){\displaystyle J_{\pm 1/3}(x)}[ 1 ] كما توصل أويلر إلى حلول لاهتزاز الأغشية ثنائية الأبعاد في الإحداثيات الأسطوانية عام 1780. ولحل معادلته التفاضلية، أدخل متسلسلة قوى مرتبطة بـجن(x){\displaystyle J_{n}(x)}، لعدد صحيح n . [ 1 ]

في أواخر القرن الثامن عشر، وجد لاغرانج وبيير سيمون لابلاس ومارك أنطوان بارسيفال أيضًا مكافئات لدوال بيسل. [ 1 ] على سبيل المثال، وجد بارسيفال تمثيلًا تكامليًا لـج0(x){\displaystyle J_{0}(x)}باستخدام جيب التمام. [ 1 ]

في بداية القرن التاسع عشر، استخدم جوزيف فورييهج0(x){\displaystyle J_{0}(x)}لحل معادلة الحرارة في مسألة ذات تناظر أسطواني. [ 1 ] فاز فورييه بجائزة من الأكاديمية الفرنسية للعلوم عن هذا العمل عام 1811. [ 1 ] لكن معظم تفاصيل عمله، بما في ذلك استخدام متسلسلة فورييه ، ظلت غير منشورة حتى عام 1822. [ 1 ] قام بواسون، في منافسة مع فورييه، بتوسيع عمل فورييه عام 1823، مُدخلاً خصائص جديدة لدوال بيسل، بما في ذلك دوال بيسل ذات الرتبة النصفية الصحيحة (المعروفة الآن بدوال بيسل الكروية). [ 1 ]

المشاكل الفلكية

في عام ١٧٧٠، قدّم لاغرانج متسلسلة دوال بيسل لحل معادلة كبلر ، وهي معادلة متسامية في علم الفلك. كان فريدريك فيلهلم بيسل قد اطلع على حل لاغرانج، لكنه وجده صعبًا. في عام ١٨١٣، في رسالة إلى كارل فريدريك غاوس ، بسّط بيسل الحساب باستخدام الدوال المثلثية. [ ١ ] نشر بيسل عمله في عام ١٨١٩، مُقدّمًا بشكل مستقل طريقة متسلسلة فورييه، دون أن يكون على دراية بعمل فورييه الذي نُشر لاحقًا. [ ١ ] في عام ١٨٢٤، أجرى بيسل دراسة منهجية للدوال، والتي اكتسبت اسمها. [ ١ ] في المراجع القديمة، كانت هذه الدوال تُسمى الدوال الأسطوانية أو حتى دوال بيسل-فورييه. [ ١ ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 دوتكا، جاك (1995). "حول التاريخ المبكر لدوال بيسل". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 49 (2): 105-134 . doi : 10.1007/ BF00376544 .
  2. ↑ "حيود الألياف" . معهد ماكس بلانك للأبحاث الطبية . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16-06-2026 .
  3. ↑ ويلينسكي، مايكل؛ براون، جوردان؛ هازلتون، برينا (يونيو 2023). "لماذا ومتى نتوقع توزيعات خطأ غاوسية في قياسات طيف القدرة عند 21 سم في حقبة إعادة التأين؟" . الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية . 521 (4): 5191-5206 . arXiv : 2211.13576 . doi : 10.1093/mnras/stad863 .
  4. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "دالة بيسل الكروية من النوع الثاني" . عالم الرياضيات .
  5. 1 2 وايسشتاين، إريك دبليو. "دالة بيسل من النوع الثاني" . عالم الرياضيات .
  6. 1 2 أبراموفيتز وستيغون، ص. 360, 9.1.10 .
  7. ↑ ويتاكر، إدموند تايلور ؛ واتسون، جورج نيفيل (1927). دورة في التحليل الحديث ( الطبعة الرابعة). مطبعة جامعة كامبريدج. ص 356.  على سبيل المثال، هانسن (1843) وشلوميلش (1857).
  8. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 358, 9.1.5 .
  9. 1 2 تيمي، نيكو م. (1996). الدوال الخاصة: مقدمة في الدوال الكلاسيكية للفيزياء الرياضية (الطبعة الثانية ). نيويورك: وايلي. ص 228-231 . ISBN   0471113131.
  10. ^ وايسشتاين ، إريك دبليو. “صيغة هانسن بيسل” . عالم الرياضيات .
  11. ↑ بيسل، ف. (1824). التكامل ذو الصلة هو معادلة غير مرقمة بين المعادلتين 28 و29. لاحظ أن بيسلأناكح{\displaystyle I_{k}^{h}}سيكتب اليومجح(ك){\displaystyle J_{h}(k)}.
  12. ↑ واتسون، ص 176
  13. ↑ "خصائص دوال هانكل وبيسل" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 23-09-2010 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-10-2010 .
  14. ↑ "التمثيلات التكاملية لدالة بيسل" . www.nbi.dk. مؤرشف من الأصل في 3 أكتوبر 2022. تم الاطلاع عليه في 25 مارس 2018 .
  15. ↑ أرفكن وويبر، التمرين 11.1.17.
  16. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 362, 9.1.69 .
  17. ^ سيجو ، غابور (1975). كثيرات الحدود المتعامدة (الطبعة الرابعة ). بروفيدنس، رود آيلاند: AMS. 
  18. ↑ "دوال بيسل من النوع الأول والثاني" (ملف PDF) . mhtlab.uwaterloo.ca . ص 3. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 9 أكتوبر 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 مايو 2022 . 
  19. ↑ المكتبة الرقمية للدوال الرياضية التابعة للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST )، (10.8.1). تم الاطلاع عليها عبر الإنترنت في 25 أكتوبر 2016.
  20. 1 2 واتسون، ص 178 .
  21. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 358، 9.1.3، 9.1.4 .
  22. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 358, 9.1.6 .
  23. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 360, 9.1.25 .
  24. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11 .
  25. ↑ ديكسون؛ فيرار، دبليو إل (1930). "برهان مباشر لتكامل نيكلسون". المجلة الفصلية للرياضيات . أكسفورد: 236-238 . doi : 10.1093/qmath/os-1.1.236 .
  26. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 375, 9.6.3, 9.6.5 .
  27. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 374, 9.6.1 .
  28. ↑ غرينر، والتر؛ راينهارت، يواكيم (2009). الديناميكا الكهربائية الكمومية . سبرينغر. ص 72. ISBN  978-3-540-87561-1.
  29. ↑ واتسون، ص 181 .
  30. ↑ "دوال بيسل المعدلة §10.32 التمثيلات التكاملية" . المكتبة الرقمية للدوال الرياضية التابعة للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا . المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 نوفمبر 2024 .
  31. ↑ خوكونوف، م. خ. (2004). "عمليات متتالية لفقدان الطاقة عن طريق انبعاث الفوتونات الصلبة". مجلة الفيزياء التجريبية والنظرية . 99 (4): 690-707 . Bibcode : 2004JETP...99..690K . doi : 10.1134/1.1826160 . S2CID 122599440 . . مشتقة من الصيغ التي تم الحصول عليها من IS Gradshteyn و IM Ryzhik ، جدول التكاملات والمتسلسلات والمنتجات (Fizmatgiz، موسكو، 1963؛ Academic Press، نيويورك، 1980).
  32. ↑ يُشار إليه بهذا الاسم في: Teichroew, D. (1957). "مزيج التوزيعات الطبيعية ذات التباينات المختلفة" (ملف PDF) . حوليات الإحصاء الرياضي . 28 (2): 510-512 . doi : 10.1214/aoms/1177706981 .
  33. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 437, 10.1.1 .
  34. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 439, 10.1.25, 10.1.26 .
  35. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 438, 10.1.11 .
  36. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 438, 10.1.12 .
  37. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 439, 10.1.39 .
  38. ↑ LV Babushkina, MK Kerimov, AI Nikitin, Algorithms for calculate Bessel functions of half-integer order with complex arguments, p. 110, p. 111 .
  39. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 439, 10.1.23, 10.1.24 .
  40. ↑ غريفيث. مقدمة في ميكانيكا الكم، الطبعة الثانية، ص 154.
  41. ↑ دو، هونغ (2004). "حساب تشتت مي". البصريات التطبيقية . 43 (9): 1951-1956 . Bibcode : 2004ApOpt..43.1951D . doi : 10.1364/ao.43.001951 . PMID 15065726 . 
  42. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 364, 9.2.1 .
  43. ↑ المكتبة الرقمية للوظائف الرياضية التابعة للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا ، القسم 10.11 .
  44. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 377, 9.7.1 .
  45. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 378, 9.7.2 .
  46. ↑ فروليش وسبنسر 1981 الملحق ب
  47. 1 2 إدواردز، سي. هنري؛ بيني، ديفيد إي. (1994). المعادلات التفاضلية الأولية مع تطبيقات ( الطبعة الثالثة). إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول. ص 273-274 . ISBN   978-0-13-312075-2.
  48. ↑ سونغ، س.؛ هوفدين، ر. (2022). "حول المتسلسلات اللانهائية لدوال بيسل من النوع الأول". arXiv : 2211.01148 [ math-ph ].
  49. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 363، 9.1.82 وما يليها.
  50. ↑ واتسون، جي إن (25 أغسطس 1995). رسالة في نظرية دوال بيسل . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 9780521483919تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 مارس 2018 – عبر كتب جوجل.
  51. ^ جرادشتين، إزرائيل سولومونوفيتش ؛ ريجيك، يوسف مويسيفيتش ; جيرونيموس، يوري فينيامينوفيتش ؛ تسيتلين, ميخائيل يوليفيتش ; جيفري آلان (2015) [أكتوبر 2014]. "8.411.10." في زويلينجر، دانيال؛ مول ، فيكتور هوغو (محرران). جدول التكاملات والمتسلسلات والمنتجات . تمت الترجمة بواسطة Scripta Technica، Inc. (8 ed.). الصحافة الأكاديمية، وشركة ISBN  978-0-12-384933-5. إل سي سي إن 2014010276 . 
  52. ↑ أرفكن وويبر، القسم 11.2
  53. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 361, 9.1.27 .
  54. ^ أبراموفيتز وستيغون، ص. 361, 9.1.30 .
  55. ^ سيجل، كارل ل. (2014). "Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen" . حول بعض تطبيقات التقريبات الديوفانتينية: ترجمة لكتاب كارل لودفيغ سيجل Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen بقلم كليمنس فوكس، مع تعليق ومقالة نقاط متكاملة على المنحنيات: نظرية سيجل بعد برهان سيجل بواسطة كليمنس فوكس وأومبرتو زانيير (باللغة الألمانية). سكولا نورمال سوبيريور. ص 81 – 138. دوى : 10.1007 / 978-88-7642-520-2_2 . رقم ISBN  978-88-7642-520-2.
  56. 1 2 جيمس، آر دي (نوفمبر 1950). "مراجعة: كارل لودفيج سيجل، الأعداد المتسامية" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 56 (6): 523-526 . doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09435-X .
  57. 1 2 أبراموفيتز وستيغون، ص. 363, 9.1.74 .
  58. ↑ تروسديل، سي. (1950). "حول نظريتي الجمع والضرب للدوال الخاصة" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 1950 (12): 752-757 . Bibcode : 1950PNAS...36..752T . doi : 10.1073 / pnas.36.12.752 . PMC 1063284. PMID 16578355 .  
  59. ↑ بيسيل، ف. (1824)، المادة 14.
  60. ↑ واتسون، الصفحات 484-485.
  61. 1 2 لورش، لي؛ مولدون، مارتن إي. (1995). "تجاوز أصفار المشتقات العليا للدوال التي تتضمن دوال بيسل" . المجلة الدولية للرياضيات والعلوم الرياضية . 18 (3): 551-560 . doi : 10.1155/S0161171295000706 .
  62. ↑ أبراموفيتز وستيجون، ص 409

مراجع