e (ثابت رياضي)

اكتشف جاكوب برنولي هذا الثابت في عام 1683، أثناء دراسته لمسألة حول الفائدة المركبة : ^{[ 4 ]}

يبدأ حساب برصيد دولار واحد ويُدفع عليه فائدة بنسبة 100% سنويًا. إذا أُضيفت الفائدة مرة واحدة في نهاية العام، سيصبح رصيد الحساب دولارين. ماذا يحدث إذا حُسبت الفائدة وأُضيفت بشكل متكرر خلال العام؟

إذا تمت إضافة الفائدة مرتين في السنة، فسيكون معدل الفائدة لكل ستة أشهر 50%، وبالتالي يُضرب المبلغ الأولي (دولار واحد) في 1.5 مرتين، ليصبح الناتج 1.00 × 1.5² ⁼ 2.25 دولارًا في نهاية السنة. أما إذا تمت إضافة الفائدة ربع سنويًا، فسيكون الناتج 1.00 × 1.25⁴ ⁼ 2.44140625 دولارًا ، وإذا تمت إضافتها شهريًا، فسيكون الناتج 1.00 × (1 + 1/12) ^¹² = 2.613035 دولارًا... . إذا كان هناك n فترة إضافة فائدة، فستكون الفائدة لكل فترة 100%/ n ، وستكون القيمة في نهاية السنة 1.00  × (1 + 1/ n ) ^ⁿ . ^{[ 21 ] [ 22 ]} 

لاحظ برنولي أن هذه المتتالية تقترب من حدٍّ أقصى ( قوة الفائدة ) مع ازدياد قيمة n ، وبالتالي تناقص فترات التراكم. ^{[ 4 ] [ 13 ]} يُنتج التراكم الأسبوعي ( n = 52 ) مبلغ 2.692596 دولارًا...، بينما يُنتج التراكم اليومي ( n = 365 ) مبلغ 2.714567 دولارًا... (أي بزيادة سنتين تقريبًا). الحد الأقصى مع ازدياد قيمة n هو العدد الذي أصبح يُعرف باسم e . أي أنه مع التراكم المستمر ، ستصل قيمة الحساب إلى 2.718281828 دولارًا... وبشكلٍ عام، فإن حسابًا يبدأ بدولار واحد ويُقدم معدل فائدة سنوي قدره R ، سيُنتج بعد t سنة مبلغ e ^Rt دولارًا مع التراكم المستمر. هنا، R هو المكافئ العشري لمعدل الفائدة مُعبرًا عنه كنسبة مئوية ، لذا بالنسبة لفائدة 5%، R = 5/100 = 0.05 . ^{[ 21 ] [ 22 ]}

للعدد e تطبيقات في نظرية الاحتمالات ، بطريقة لا ترتبط بشكل واضح بالنمو الأسي. لنفترض أن مقامرًا يلعب على ماكينة قمار تدفع باحتمال واحد من n، ويلعبها n مرة. مع ازدياد n ، يقترب احتمال خسارة المقامر لجميع رهاناته n من 1/ e ، أي ما يقارب 36.79%. أما عند n = 20 ، فيصبح هذا الاحتمال 1/2.789509... (أي ما يقارب 35.85%).

هذا مثال على عملية تجريبية وفقًا لتوزيع برنولي . في كل مرة يلعب فيها المقامر ماكينات القمار، هناك فرصة واحدة من بين n للفوز. يتم تمثيل اللعب n مرة بتوزيع ذي الحدين ، وهو توزيع وثيق الصلة بنظرية ذي الحدين ومثلث باسكال . احتمال الفوز k مرة من أصل n محاولة هو: ^{[ 23 ]}

${\displaystyle \Pr[k~\mathrm {wins~of} ~n]={\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{nk}.}$

على وجه الخصوص، فإن احتمال الفوز صفر مرة ( k = 0 ) هو

${\displaystyle \Pr[0~\mathrm {wins~of} ~n]=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

نهاية التعبير أعلاه، عندما يؤول n إلى اللانهاية، هي بالضبط 1/ e .

النمو الأسي هو عملية تزيد فيها الكمية بمرور الوقت بمعدل متزايد باستمرار. ويحدث عندما يكون معدل التغير اللحظي (أي المشتقة ) لكمية ما بالنسبة للزمن متناسبًا مع الكمية نفسها. ^{[ 22 ]} وعند وصفها كدالة، فإن الكمية التي تخضع لنمو أسي هي دالة أسية للزمن، أي أن المتغير الذي يمثل الزمن هو الأس (على عكس أنواع النمو الأخرى، مثل النمو التربيعي ). إذا كان ثابت التناسب سالبًا، فإن الكمية تتناقص بمرور الوقت، ويُقال إنها تخضع لتضاؤل ​​أسي . يمكن كتابة قانون النمو الأسي بأشكال مختلفة ولكنها متكافئة رياضيًا، باستخدام أساس مختلف ، حيث يُعد العدد e خيارًا شائعًا ومناسبًا.

$${\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }.}$$ هنا،${\displaystyle x_{0}}$يرمز إلى القيمة الأولية للكمية x ، و k هو ثابت النمو، و${\displaystyle \tau }$هو الوقت الذي تستغرقه الكمية لتنمو بمعامل e .

يُعرف التوزيع الطبيعي ذو المتوسط ​​الصفري والانحراف المعياري الواحد باسم التوزيع الطبيعي القياسي ، ^{[ 24 ]} ويُعطى بواسطة دالة كثافة الاحتمال.$${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

يؤدي قيد الانحراف المعياري الواحد (وبالتالي التباين الواحد أيضًا) إلى قيمة 1/2 في الأس ، وقيد المساحة الكلية الواحدة تحت المنحنى${\displaystyle \phi (x)}$ينتج عنه العامل${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$هذه الدالة متناظرة حول x = 0 ، حيث تبلغ قيمتها القصوى .${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$وله نقاط انعطاف عند x = ±1 .

تطبيق آخر لـ e ، اكتشفه جزئيًا جاكوب برنولي مع بيير ريمون دي مونتمورت ، هو في مسألة التبديلات ، والمعروفة أيضًا بمسألة فحص القبعات : ^{[ 25 ]} يُدعى n ضيفًا إلى حفلة، وعند الباب، يسلم كل ضيف قبعته إلى كبير الخدم، الذي بدوره يضع القبعات في n صندوقًا، كل منها يحمل اسم ضيف. لكن كبير الخدم لم يسأل عن هويات الضيوف، لذا يضع القبعات في صناديق مختارة عشوائيًا. تكمن مسألة دي مونتمورت في إيجاد احتمال عدم وضع أي من القبعات في الصندوق الصحيح. هذا الاحتمال، الذي يُرمز إليه بـ${\displaystyle p_{n}\!}$، يكون:

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

عندما يؤول n إلى اللانهاية، يقترب p _n من 1/ e . علاوة على ذلك، فإن عدد الطرق التي يمكن بها وضع القبعات في الصناديق بحيث لا توجد أي قبعة في الصندوق الصحيح هو n !/ e ، مقربًا إلى أقرب عدد صحيح، لكل n موجب . ^{[ 26 ]} 

القيمة القصوى لـ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$يحدث في${\displaystyle x=e}$وبصورة مكافئة، لأي قيمة للأساس b > 1 ، تكون القيمة القصوى لـ${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$يحدث في${\displaystyle x=e}$( مشكلة شتاينر ، التي نناقشها أدناه ).

يُفيد هذا في مسألة عصا طولها L مقسمة إلى n أجزاء متساوية. قيمة n التي تُعظّم حاصل ضرب الأطوال هي إما ^{[ 27 ]}

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor }$أو${\displaystyle \left\lceil {\frac {L}{e}}\right\rceil .}$

الكمية${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$هي المساهمة في الإنتروبيا المستمدة من حدث يقع باحتمالية${\displaystyle 1/x}$(تقريبًا${\displaystyle 36.8\%}$متى${\displaystyle x=e}$), بحيث يظهر نفس التقسيم الأمثل في مشاكل التخطيط الأمثل مثل مشكلة السكرتيرة .

يظهر العدد e بشكل طبيعي في العديد من المسائل المتعلقة بالسلوك التقاربي . ومن الأمثلة على ذلك صيغة ستيرلينغ للسلوك التقاربي لدالة المضروب ، حيث يظهر كل من العددين e و π : ^{[ 28 ]}$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$$

ونتيجة لذلك، ^{[ 28 ]}$${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}$$

الدافع الرئيسي لإدخال العدد e ، وخاصة في حساب التفاضل والتكامل ، هو إجراء عمليات حساب التفاضل والتكامل باستخدام الدوال الأسية واللوغاريتمات . ^{[ 29 ]} الدالة الأسية العامة y = a ^x لها مشتقة، تُعطى بالنهاية التالية :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}}$

النهاية بين قوسين على اليمين مستقلة عن المتغير x . وقيمتها هي لوغاريتم a للأساس e . وبالتالي، عندما تكون قيمة a مساوية لـ e ، فإن هذه النهاية تساوي 1 ، ومن ثم نصل إلى المتطابقة البسيطة التالية:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

وبالتالي، فإن الدالة الأسية ذات الأساس e مناسبة بشكل خاص لإجراء حساب التفاضل والتكامل. إن اختيار e (بدلاً من أي عدد آخر) كأساس للدالة الأسية يجعل الحسابات التي تتضمن المشتقات أبسط بكثير.

ثمة دافع آخر يأتي من النظر في مشتق اللوغاريتم ذي الأساس a (أي log _a x )، ^{[ 29 ]} لـ x > 0 : 

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}}$

حيث تم إجراء الاستبدال u = h / x . الأساس a لوغاريتم e يساوي 1، إذا كان a يساوي e . لذا رمزياً،

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.}$

يُطلق على اللوغاريتم ذي الأساس الخاص هذا اسم اللوغاريتم الطبيعي ، ويُشار إليه عادةً بالرمز ln ؛ وهو يتصرف بشكل جيد تحت التفاضل لأنه لا توجد نهاية غير محددة لإجراء العمليات الحسابية.

إذن، توجد طريقتان لاختيار هذه الأعداد الخاصة a . الأولى هي جعل مشتقة الدالة الأسية ax تساوي ax ^، ثم حل المعادلة لإيجاد قيمة a . أما الثانية فهي جعل مشتقة اللوغاريتم ذي الأساس a تساوي 1/ ^x ، ثم حل المعادلة لإيجاد قيمة a . في كلتا الحالتين، نصل إلى اختيار مناسب للأساس لإجراء حساب التفاضل والتكامل. ويتضح أن هذين الحلين لـ a هما في الواقع واحد : العدد e .

يمكن استنتاج متسلسلة تايلور للدالة الأسية من حقيقة أن الدالة الأسية هي مشتقتها الخاصة وأنها تساوي 1 عند تقييمها عند 0: ^{[ 30 ]}$${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$ جلسة${\displaystyle x=1}$يستعيد تعريف e على أنه مجموع متسلسلة لانهائية.

يمكن تعريف دالة اللوغاريتم الطبيعي بأنها التكامل من 1 إلى${\displaystyle x}$ل${\displaystyle 1/t}$ويمكن تعريف الدالة الأسية بأنها الدالة العكسية للوغاريتم الطبيعي. العدد e هو قيمة الدالة الأسية عند .${\displaystyle x=1}$أو بصورة مكافئة، العدد الذي لوغاريتمه الطبيعي يساوي 1. ويترتب على ذلك أن e هو العدد الحقيقي الموجب الوحيد الذي يحقق $${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.}$$

لأن e ^x هي الدالة الوحيدة ( حتى الضرب بثابت K ) التي تساوي مشتقتها الخاصة ،

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}Ke^{x}=Ke^{x},}$$

وبالتالي فهو مشتقها المضاد أيضًا: ^{[ 31 ]}

$${\displaystyle \int Ke^{x}\,dx=Ke^{x}+C.}$$

وبالمثل، عائلة الدوال

$${\displaystyle y(x)=Ke^{x}}$$

حيث K أي عدد حقيقي أو مركب، هو الحل الكامل للمعادلة التفاضلية

$${\displaystyle y'=y.}$$

العدد e هو العدد الحقيقي الوحيد الذي يحقق الشرط التالي: $${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}}$$ لجميع قيم x الموجبة . ^{[ 32 ]}

بالإضافة إلى ذلك، هناك عدم المساواة

$${\displaystyle e^{x}\geq x+1}$$ لكل عدد حقيقي x ، تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان x = 0. علاوة على ذلك، فإن e هو الأساس الوحيد للدالة الأسية الذي تتحقق عنده المتباينة a ^x ≥ x + 1 لجميع قيم x . ^{[ 33 ]} هذه حالة حدية لمتباينة برنولي .

تتلخص مسألة شتاينر في إيجاد القيمة العظمى المطلقة للدالة

$${\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.}$$

تحدث هذه القيمة القصوى تحديدًا عند x = e . (يمكن التحقق من أن مشتقة ln f ( x ) تساوي صفرًا فقط لهذه القيمة من x .) 

وبالمثل، فإن x = 1/ e هي النقطة التي تحدث عندها القيمة الصغرى المطلقة للدالة

$${\displaystyle f(x)=x^{x}.}$$

التكرار اللانهائي

${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$أو${\displaystyle {^{\infty }}x}$

يتقارب إذا وفقط إذا كان x ∈ [(1/ e ) ^e , e ^{1/ e} ] ≈ [0.06599, 1.4447] ، ^{[ 34 ] [ 35 ]} كما هو موضح في نظرية ليونارد أويلر . ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}

العدد الحقيقي e عدد غير نسبي . وقد أثبت أويلر ذلك بتوضيح أن تمثيله البسيط على شكل كسر مستمر لا ينتهي. ^{[ 39 ]} (انظر أيضًا برهان فورييه على أن e عدد غير نسبي ).

علاوة على ذلك، وبحسب نظرية ليندمان-فايرشتراس ، فإن العدد e عدد متسامٍ ، أي أنه ليس حلاً لأي معادلة متعددة الحدود غير صفرية ذات معاملات نسبية. وكان أول عدد يُثبت أنه متسامٍ دون أن يُبنى خصيصًا لهذا الغرض (قارن بعدد ليوفيل μ )، وقد قدم تشارلز هيرميت البرهان عام 1873. ^{[ 40 ]} يُعد العدد e واحدًا من الأعداد المتسامية القليلة التي يُعرف أسّ اللاعقلانية لها بدقة (يُعطى بواسطة${\displaystyle \mu (e)=2}$). ^{[ 41 ]}

لا تزال مسألة استقلال العددين e و π جبريًا دون حل حتى الآن . ويمكن حل هذه المسألة من خلال حدسية شانيل ، وهي تعميم غير مثبت حاليًا لنظرية ليندمان-فايرشتراس. ^{[ 42 ] [ 43 ]}

يُفترض أن العدد e طبيعي ، بمعنى أنه عند التعبير عن e بأي أساس، فإن الأرقام الممكنة في ذلك الأساس موزعة بشكل منتظم (تظهر باحتمالية متساوية في أي تسلسل ذي طول معين). ^{[ 44 ]}

في الهندسة الجبرية ، الدورة هي عدد يمكن التعبير عنه كتكامل لدالة جبرية على مجال جبري . الثابت π هو دورة، ولكن يُعتقد أن e ليس كذلك. ^{[ 45 ]}

يمكن كتابة الدالة الأسية e ^x على شكل متسلسلة تايلور ^{[ 46 ] [ 30 ]}

$${\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

ولأن هذه المتسلسلة متقاربة لكل قيمة مركبة لـ x ، فإنها تُستخدم عادةً لتوسيع تعريف e^ ^x ليشمل الأعداد المركبة. ^{[ 47 ]} وهذا، بالإضافة إلى متسلسلة تايلور للجيب وجيب التمام لـ x ، يسمح باشتقاق صيغة أويلر :

$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

وهذا ينطبق على كل عدد مركب x . ^{[ 47 ]} الحالة الخاصة مع x = π هي متطابقة أويلر :

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}$$ يُعتبر هذا مثالًا رائعًا للجمال الرياضي ، إذ يُظهر ترابطًا عميقًا بين أهم الأعداد في الرياضيات. إضافةً إلى ذلك، يُستخدم مباشرةً في برهان أن π عدد متسامٍ ، مما يعني استحالة تربيع الدائرة . ^{[ 48 ] [ 49 ]} علاوةً على ذلك، تُشير هذه المتطابقة إلى أنه في الفرع الرئيسي للوغاريتم، ^{[ 47 ]}

$${\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}$$

علاوة على ذلك، باستخدام قوانين الأسس،

$${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos nx+i\sin nx}$$

لأي عدد صحيح n ، وهي صيغة دي موافر . ^{[ 50 ]}

تعابير${\displaystyle \sin(x)}$و${\displaystyle \cos(x)}$يمكن استنتاج الدالة الأسية من متسلسلة تايلور: ^{[ 47 ]}$${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}$$

التعبير

${\textstyle \cos x+i\sin x}$ يُختصر أحيانًا إلى${\displaystyle \mathrm {cis} (x)}$[ ^{50 ]​}

الثابت${\displaystyle e}$يلعب دورًا بارزًا في نظرية الإنتروبيا في نظرية الاحتمالات ونظرية الإرجودية . ^{[ 51 ]} وتتمثل الفكرة الأساسية في اعتبار تقسيم فضاء الاحتمالات إلى عدد محدود من المجموعات القابلة للقياس .${\displaystyle \xi =(A_{1},\cdots ,A_{k})}$إنتروبيا التقسيم هي المعلومات المتوقعة التي يتم الحصول عليها بشأن التوزيع الاحتمالي من خلال إجراء عينة عشوائية (أو "تجربة"). إنتروبيا التقسيم هي $${\displaystyle H(\xi )=-\sum _{i=1}^{k}p(A_{i})\ln p(A_{i}).}$$ الوظيفة${\displaystyle f(x)=-x\ln x}$وبالتالي، فهي ذات أهمية أساسية، إذ تمثل مقدار الإنتروبيا التي يساهم بها عنصر معين من عناصر التقسيم.${\displaystyle x=p(A_{i})}$تكون هذه الدالة في أقصى قيمة لها عندما${\displaystyle x=1/e}$ما يعنيه هذا عمليًا هو أن مساهمة الإنتروبيا للحدث المحدد${\displaystyle A_{i}}$يتم تحقيق أقصى قدر من النتائج عندما${\displaystyle p(A_{i})=1/e}$النتائج التي تكون إما محتملة للغاية أو نادرة للغاية تساهم بشكل أقل في الإنتروبيا الكلية.

استخدام اللوغاريتم الطبيعي يعطي وحدات الإنتروبيا بالنات (على عكس، على سبيل المثال، استخدام اللوغاريتم ذي الأساس 2 الذي يعطي الإنتروبيا بالبتات ).

إضافةً إلى الصيغ التحليلية الدقيقة لتمثيل e ، توجد تقنيات عشوائية لتقدير e . إحدى هذه الطرق تبدأ بسلسلة لانهائية من المتغيرات العشوائية المستقلة X1 _، X2 _، ...، المسحوبة من التوزيع المنتظم على [0، 1]. ليكن V أصغر عدد n بحيث يكون مجموع أول n مشاهدة أكبر من 1:

${\displaystyle V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}.}$

إذن، القيمة المتوقعة لـ V هي e : E( V ) = e . ^{[ 54 ] [ 55 ]}

ازداد عدد الأرقام المعروفة للعدد e بشكل كبير منذ ظهور الحاسوب، ويعود ذلك إلى تحسن أداء الحواسيب والتحسينات الخوارزمية. ^{[ 56 ] [ 57 ]}

منذ حوالي عام 2010، أتاح انتشار أجهزة الكمبيوتر المكتبية الحديثة عالية السرعة للهواة إمكانية حساب تريليونات الأرقام من العدد e في غضون فترات زمنية مقبولة. وفي 24 ديسمبر 2023، حقق جوردان رانوس رقماً قياسياً في الحساب، حيث بلغ عدد أرقام العدد e 35,000,000,000,000 رقم. ^{[ 65 ]}

بالإضافة إلى تدوين الثابت بالأحرف، كما نوقش في قسم  التاريخ ، وخاصةً الحرف e ، فقد استُخدم شكل حلزوني أحيانًا في القرن التاسع عشر. ^{[ 66 ] [ 67 ] [ 68 ]} كان هذا جزءًا من اقتراح بنيامين بيرس لتمثيل نسبة المحيط إلى القطر ( π ) كنوع من الحلزون الضحل - "تعديل للحرف c ( المحيط )" - و"القاعدة النيبرية" ( e ) كحلزون آخر - "تعديل للحرف [...] b ( القاعدة )". ^{[ 67 ] [ 68 ]} يتمدد الحلزون الخاص بـ π في مسار عكس اتجاه عقارب الساعة ، بينما يتمدد الحلزون الخاص بـ e في مسار مع اتجاه عقارب الساعة . تاريخيًا، استُخدم إبسيلون أيضًا في بعض الأحيان. ^{[ 66 ]}