متوسط

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 100 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرَّف متوسط ​​مجموعة أو فئة بأنه القيمة الأكثر مركزية أو شيوعًا أو نموذجية، والتي تمثل موقعها العام . في الرياضيات، يُشير هذا المصطلح غالبًا إلى المتوسط ​​الحسابي ، ولكنه قد يُشير أيضًا إلى مقاييس أخرى مثل أنواع أخرى من المتوسطات ، أو الوسيط ، أو المنوال .

المتوسط ​​هو كمية تمثل "مركز" مجموعة من الأرقام، ويقع بين القيمتين المتطرفتين لهذه المجموعة. [ 1 ] توجد أنواع عديدة من المتوسطات (أو "مقاييس النزعة المركزية ") في الرياضيات ، وخاصة في الإحصاء . يسعى كل منها إلى تلخيص أو تصنيف مجموعة بيانات معينة ، موضحًا حجمها وإشارتها . يعتمد اختيار المقياس الأنسب على ما يتم قياسه، وعلى السياق والغرض . [ 2 ]

التعريفات

تمثيل المتوسط ​​الحسابي والوسيط والمنوال لمجموعة من 250 نقطة. يمثل المنحنى الأسود التوزيع النظري المستخدم لتوليد النقاط، بينما يمثل المدرج التكراري الرمادي التوزيع الفعلي.
أربعة متوسطات لعددين، أ و ب، مُنشأة على شكل أوتار على نصف دائرة. يُشار أحيانًا إلى المتوسطات الحسابية والهندسية والتوافقية باسم " المتوسطات الفيثاغورية ". [ 3 ] يُبرز هذا النوع من الإنشاء ترتيب قيم المتوسطات المختلفة.

التعريف الأكثر شيوعًا للمتوسط ​​هو المتوسط ​​الحسابي ، [ 4 ] المعروف أيضًا باسم "المتوسط ​​الحسابي"، أي المجموع مقسومًا على العدد، لذا يُعتبر "متوسط" قائمة الأرقام [2، 3، 4، 7، 9] عمومًا (2+3+4+7+9)/5 = 25/5 = 5. يُشار عادةً إلى المتوسط ​​الحسابي لمجموعة من الأرقام x1، x2 ، ... ، xn باستخدام خط علوي .x¯{\displaystyle {\bar {x}}}[ ملاحظة 1 ] إذا كانت الأرقام ناتجة عن ملاحظة عينة من مجموعة أكبر ، فإن المتوسط ​​الحسابي يُسمى متوسط ​​العينة (x¯{\displaystyle {\bar {x}}}) لتمييزه عن متوسط ​​المجموعة (أو القيمة المتوقعة ) للتوزيع الأساسي، المشار إليه بـμ{\displaystyle \mu }أوμx{\displaystyle \mu _{x}}[ ملاحظة 2 ] [ 5 ]

مع ذلك، تُستخدم أحيانًا معانٍ أخرى تبعًا للسياق، مما قد يُسبب التباسًا؛ فعلى سبيل المثال، في مجال التدريس، يُشير مصطلح "المتوسط" أحيانًا إلى "المقاييس الثلاثة": المتوسط ​​الحسابي ، والوسيط ، والمنوال . [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]

يُستخدم الوسيط ، الذي يُعرَّف بأنه القيمة المركزية بعد فرز المجموعة، عادةً كمتوسط ​​في الحالات التي تكون فيها البيانات منحرفة أو تحتوي على قيم متطرفة ، وذلك للتركيز على الجزء الأكبر من المجموعة بدلاً من التركيز على القيم المتطرفة . على سبيل المثال، يُعطى متوسط ​​الدخل الشخصي عادةً على أنه دخل وسيط ، بحيث يُمثل غالبية السكان بدلاً من أن يتأثر بشكل مفرط بالدخول المرتفعة لقلة من الأثرياء . [ 13 ]

يُستخدم المتوسط ​​التوافقي ، الذي يُعرَّف بأنه مقلوب متوسط ​​مقلوبات القيم، في العديد من المواقف التي تتضمن معدلات أو نسب ، مثل حساب متوسط ​​السرعة من قياسات متعددة مأخوذة على نفس المسافة . [ 14 ] في الواقع، على عكس المتوسط ​​الحسابي أو الوسيط للسرعات، فإن المتوسط ​​التوافقي للسرعات يُعطي قيمة السرعة الثابتة التي تجعل الشخص يقطع نفس المسافة في نفس الوقت.

يمثل المنوال القيمة الأكثر شيوعًا في المجموعة. ويمكن استخدامه عندما تكون البيانات فئوية وليست رقمية ، [ 15 ] أو عندما يكون تكرار كل قيمة ذا صلة (كما هو الحال عند الإشارة إلى مدرج تكراري أو مخطط شريطي أو دالة كثافة احتمالية )، [ 16 ] أو لإيجاد قيمة تمثل أغلبية المجموعة. [ 17 ]

تشمل الإحصائيات الأخرى التي يمكن استخدامها كمتوسط ​​المدى المتوسط ، أو المتوسط ​​التربيعي ، أو المتوسط ​​الهندسي ، ولكن نادرًا ما يشار إليها باسم "المتوسط".

الإقليم المركزي

في الإحصاء ، يُعرف المقياس المركزي بأنه القيمة المركزية أو النموذجية لتوزيع احتمالي . [ 18 ] ويُطلق على مقاييس المقياس المركزي ، بشكل غير رسمي، اسم "المتوسطات". يعود مصطلح المقياس المركزي إلى أواخر عشرينيات القرن العشرين. [ 19 ]

أكثر مقاييس النزعة المركزية شيوعًا هي المتوسط ​​الحسابي والوسيط والمنوال . ويمكن حساب النزعة الوسطى إما لمجموعة محدودة من القيم أو لتوزيع نظري، مثل التوزيع الطبيعي . ويستخدم بعض الباحثين مصطلح النزعة المركزية أحيانًا للدلالة على "ميل البيانات الكمية للتجمع حول قيمة مركزية معينة". [ 19 ] [ 20 ]

تُقارن النزعة المركزية للتوزيع عادةً بتشتته أو تباينه ؛ فالتشتت والنزعة المركزية هما من الخصائص المميزة للتوزيعات. ويمكن للتحليل أن يُحدد ما إذا كانت البيانات تتمتع بنزعة مركزية قوية أم ضعيفة بناءً على تشتتها.

الممتلكات العامة

تقع جميع متوسطات مجموعة ما في مكان ما ضمن نطاقها ( وبالتالي، بالنسبة للأعداد الحقيقية، بين قيمتها القصوى وقيمتها الدنيا ). لذلك، إذا كانت المجموعة تتكون بالكامل من نفس القيمة، فإن أي متوسط ​​لها هو تلك القيمة. [ 21 ]

معظم المتوسطات [ a ] رتيبة ، أي أن تحريك عنصر منها في اتجاه واحد يؤدي إلى تحريك المتوسط ​​في نفس الاتجاه، أو بشكل مكافئ، إذا كان لمجموعتين من الأرقام A و B نفس عدد العناصر ، ويمكن ترتيبهما بحيث يكون كل إدخال في A ≥ الإدخال المقابل في B ، فإن متوسط ​​A ≥ متوسط ​​B.

جميع المتوسطات الشائعة الاستخدام متجانسة خطيًا ، أي أن ضرب كل قيمة بنفس عامل المقياس يؤدي إلى ضرب المتوسط ​​بنفس عامل المقياس.

تظل معظم المتوسطات [ ب ] متطابقة عند تبديل قائمة العناصر ، أي أن الترتيب لا يهم.

الموقع الإحصائي

مقارنة المتوسط ​​الحسابي والوسيط والمنوال لتوزيعين ملتويين ( لوغاريتميين طبيعيين )
التصوير الهندسي للنمط والوسيط والمتوسط ​​لدالة كثافة احتمالية عشوائية [ 22 ]

في الإحصاء الوصفي ، قد يُخلط بين المتوسط ​​الحسابي والوسيط والمنوال والمدى المتوسط ، إذ يُطلق على أيٍّ منها اسم "المعدل" (أو بتعبير أدق، مقياس النزعة المركزية ). المتوسط ​​الحسابي لمجموعة من المشاهدات هو المتوسط ​​الحسابي للقيم؛ إلا أنه في حالة التوزيعات الملتوية ، لا يكون المتوسط ​​الحسابي بالضرورة هو القيمة الوسطى (الوسيط) أو القيمة الأكثر ترجيحًا (المنوال). على سبيل المثال، عادةً ما يكون متوسط ​​الدخل منحرفًا للأعلى بسبب وجود عدد قليل من الأشخاص ذوي الدخول المرتفعة جدًا، بحيث يكون دخل الأغلبية أقل من المتوسط. في المقابل، يُمثل الدخل الوسيط المستوى الذي يقل عنه نصف السكان ويزيد عنه النصف الآخر. أما الدخل المنوال فهو الدخل الأكثر ترجيحًا، ويُرجّح كفة العدد الأكبر من الأشخاص ذوي الدخول المنخفضة. في حين أن الوسيط والمنوال غالبًا ما يكونان مقياسين أكثر بديهية لمثل هذه البيانات الملتوية، إلا أن العديد من التوزيعات الملتوية تُوصف بشكل أفضل بالمتوسط ​​الحسابي، بما في ذلك التوزيعات الأسية وتوزيعات بواسون .

متوسط ​​التوزيع الاحتمالي

متوسط ​​التوزيع الاحتمالي هو متوسط ​​القيمة الحسابية على المدى الطويل لمتغير عشوائي يتبع ذلك التوزيع. إذا رمزنا للمتغير العشوائي بـX{\displaystyle X}إذن، يُعرف المتوسط ​​أيضًا بالقيمة المتوقعة لـX{\displaystyle X}(يشار إليه)هـ(X){\displaystyle E(X)}بالنسبة لتوزيع احتمالي منفصل ، يُعطى المتوسط ​​بالصيغة التالية:∑xP(x){\displaystyle \textstyle \sum xP(x)}حيث يتم حساب المجموع على جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي وP(x){\displaystyle P(x)}هي دالة الكتلة الاحتمالية . بالنسبة للتوزيع المستمر ، يكون المتوسط ​​هو∫-∞∞xو(x)دx{\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}، أينو(x){\displaystyle f(x)}هي دالة كثافة الاحتمال . [ 23 ] في جميع الحالات، بما في ذلك تلك التي لا يكون فيها التوزيع منفصلاً ولا متصلاً، يكون المتوسط ​​هو تكامل ليبيغ للمتغير العشوائي بالنسبة إلى مقياس احتماله . لا يشترط أن يكون المتوسط ​​موجودًا أو محدودًا؛ فبالنسبة لبعض التوزيعات الاحتمالية يكون المتوسط ​​لانهائيًا ( + ∞ أو −∞ )، بينما يكون غير مُعرَّف بالنسبة لتوزيعات أخرى .

العلاقات بين المتوسط ​​والوسيط والمنوال

بالنسبة للتوزيعات أحادية النمط، فإن الحدود التالية معروفة ودقيقة: [ 24 ]

|θ-μ|σ≤3،{\displaystyle {\frac {|\theta -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},}
|ν-μ|σ≤0.6،{\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {0.6}},}
|θ-ν|σ≤3،{\displaystyle {\frac {|\theta -\nu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},}

حيث μ هو المتوسط، وν هو الوسيط، وθ هو المنوال، و σ هو الانحراف المعياري.

لكل توزيع، [ 25 ] [ 26 ]

|ν-μ|σ≤1.{\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq 1.}

المتوسطات المحتملة

اسممعادلة أو وصفكحل لمشكلة التحسين
المتوسط ​​الحسابي (AM)x¯=1ن∑أنا=1نxأنا=1ن(x1+⋯+xن){\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})} على سبيل المثال، المتوسط ​​الحسابي لخمس قيم: 4، 36، 45، 50، 75 هو:
4+36+45+50+755=2105=42.{\displaystyle {\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.}
أرجينينx∈R∑أنا=1ن(x-xأنا)2{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}(x-x_{i})^{2}}
متوسطالقيمة الوسطى التي تفصل النصف الأعلى عن النصف الأدنى من مجموعة البيانات؛ وقد لا تكون فريدة إذا كانت مجموعة البيانات تحتوي على عدد زوجي من النقاط.أرجينينx∈R∑أنا=1ن|x-xأنا|{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}|x-x_{i}|}
الوسيط الهندسيامتداد ثابت للدوران للوسيط للنقاط فيRد{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}أرجينينx→∈Rد∑أنا=1ن||x→-x→أنا||2{\displaystyle {\underset {{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}||{\vec {x}}-{\vec {x}}_{i}||_{2}}
الوسيط في اختبار توكيامتداد آخر للوسيط ثابت تحت الدوران للنقاط فيRد{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}— نقطة تزيد من عمق توكيargmaxx→∈Rدمينu→∈Rد∑أنا=1ن({1، لو (x→أنا-x→)⋅u→≥00، خلاف ذلك){\displaystyle {\underset {{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}{\operatorname {argmax} }}\,{\underset {{\vec {u}}\in \mathbb {R} ^{d}}{\operatorname {min} }}\,\sum _{i=1}^{n}\left({\begin{cases}1,{\text{ if }}({\vec {x}}_{i}-{\vec {x}})\cdot {\vec {u}}\geq 0\\0,{\text{ otherwise}}\end{cases}}\right)}
وضعالقيمة الأكثر تكرارًا في مجموعة البياناتargmaxx∈R∑أنا=1ن({1، لو x=xأنا0، لو x≠xأنا){\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmax} }}\,\sum _{i=1}^{n}\left({\begin{cases}1,{\text{ if }}x=x_{i}\\0,{\text{ if }}x\neq x_{i}\end{cases}}\right)}
المتوسط ​​الهندسي (GM)∏أنا=1نxأنان=x1⋅x2⋯xنن{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsb x_{n}}}}المتوسط ​​الذي يفيد مجموعات الأعداد الموجبة، ويُفسَّر وفقًا لحاصل ضربها وليس مجموعها [ 1 ]. على سبيل المثال، المتوسط ​​الهندسي لخمس قيم: 4، 36، 45، 50، 75 هو:
(4×36×45×50×75)15=24300٠٠٠5=30.{\displaystyle (4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.}
أرجينينx∈R>0∑أنا=1ن(ln⁡(x)-ln⁡(xأنا))2،لو xأنا>0∀أنا∈{1،...،ن}{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} _{>0}}{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}(\ln(x)-\ln(x_{i}))^{2},\qquad {\text{if }}x_{i}>0\,\forall \,i\in \{1,\dots ,n\}}
المتوسط ​​التوافقي (HM)ن1x1+1x2+⋯+1xن{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}على سبيل المثال، المتوسط ​​التوافقي للقيم الخمس: 4، 36، 45، 50، 75 هو
514+136+145+150+175=513=15.{\displaystyle {\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.}
أرجينينx∈R≠0∑أنا=1ن(1x-1xأنا)2{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} _{\neq 0}}{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{2}}
المتوسط ​​التوافقي المعاكسx12+x22+⋯+xن2x1+x2+⋯+xن{\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{{x_{1}}+{x_{2}}+\cdots +{x_{n}}}}}أرجينينx∈R∑أنا=1نxأنا(x-xأنا)2{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}x_{i}(x-x_{i})^{2}}
ليمر يعني∑أنا=1نxأناص∑أنا=1نxأناص-1{\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p-1}}}}أرجينينx∈R∑أنا=1نxأناص-1(x-xأنا)2{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p-1}(x-x_{i})^{2}}
المتوسط ​​التربيعي (أو الجذر التربيعي المتوسط)1ن∑أنا=1نxأنا2=1ن(x12+x22+⋯+xن2){\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)}}}أرجينينx∈R≥0∑أنا=1ن(x2-xأنا2)2{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} _{\geq 0}}{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}(x^{2}-x_{i}^{2})^{2}}
المتوسط ​​التكعيبي1ن∑أنا=1نxأنا33=1ن(x13+x23+⋯+xن3)3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{3}}}={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{n}^{3}\right)}}}أرجينينx∈R≥0∑أنا=1ن(x3-xأنا3)2،لو xأنا≥0∀أنا∈{1،...،ن}{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} _{\geq 0}}{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}(x^{3}-x_{i}^{3})^{2},\qquad {\text{if }}x_{i}\geq 0\,\forall \,i\in \{1,\dots ,n\}}
المعنى العام1ن⋅∑أنا=1نxأناصص{\displaystyle {\sqrt[{p}]{{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}}}}أرجينينx∈R≥0∑أنا=1ن(xص-xأناص)2،لو xأنا≥0∀أنا∈{1،...،ن}{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} _{\geq 0}}{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}(x^{p}-x_{i}^{p})^{2},\qquad {\text{if }}x_{i}\geq 0\,\forall \,i\in \{1,\dots ,n\}}
المتوسط ​​الحسابي شبهو-1(1ن∑ك=1نو(xك)){\displaystyle f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\right)}أرجينينx∈دوم⁡(و)∑أنا=1ن(و(x)-و(xأنا))2،لو و{\displaystyle {\underset {x\in \operatorname {dom} (f)}{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}(f(x)-f(x_{i}))^{2},\qquad {\text{if }}f}رتيب​
المتوسط ​​المرجح∑أنا=1نwأناxأنا∑أنا=1نwأنا=w1x1+w2x2+⋯+wنxنw1+w2+⋯+wن{\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}={\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}}أرجينينx∈R∑أنا=1نwأنا(x-xأنا)2{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}w_{i}(x-x_{i})^{2}}
المتوسط ​​المقتطعالمتوسط ​​الحسابي لقيم البيانات بعد استبعاد عدد أو نسبة معينة من أعلى وأدنى قيم البيانات.
المتوسط ​​الربيعيحالة خاصة من المتوسط ​​المقتطع، باستخدام المدى الربيعي . حالة خاصة من المتوسط ​​المقتطع بين الكميات، والذي يعمل على الكميات (غالباً العُشيرات أو النسب المئوية ) المتساوية البعد ولكن على جانبي الوسيط.
متوسط ​​المدى12(الأعلىx+مينx){\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\max x+\min x\right)}أرجينينx∈Rالأعلىأنا∈{1،...،ن}|x-xأنا|{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,{\underset {i\in \{1,\dots ,n\}}{\operatorname {max} }}\,|x-x_{i}|}
متوسط ​​وينسوريشبه المتوسط ​​المقتطع، ولكن بدلاً من حذف القيم المتطرفة، يتم تعيينها مساوية لأكبر وأصغر القيم المتبقية.
ميدويدكائن تمثيلي لمجموعةX{\displaystyle {\mathcal {X}}}مجموعة من الكائنات ذات أقل مجموع من أوجه عدم التشابه مع جميع الكائنات في المجموعة، وفقًا لدالة عدم التشابه.د{\displaystyle d}.أرجينينy∈X∑أنا=1ند(y،xأنا){\displaystyle {\underset {y\in {\mathcal {X}}}{\operatorname {argmin} }}\sum _{i=1}^{n}d(y,x_{i})}

على الرغم من أنها ربما ليست متوسطة، فإنτ{\displaystyle \tau }يمكن التعبير عن النسبة المئوية ( وهي إحصائية موجزة أخرى تعمم الوسيط) بشكل مماثل كحل لمسألة التحسين.

أرجينينx∈R∑أنا=1نالأعلى((1-τ)(xأنا-x)،τ(x-xأنا))=أرجينينx∈R∑أنا=1ن(|x-xأنا|+(1-2τ)x){\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}\max {\big (}(1-\tau )(x_{i}-x),\,\tau (x-x_{i}){\big )}={\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}{\big (}|x-x_{i}|+(1-2\tau )\,x{\big )}}،

والذي يهدف إلى تقليل إجمالي خسارة القيمة المطلقة المائلة (أو خسارة الكمية أو خسارة لعبة الكرة والدبابيس ).

ومن المتوسطات الأخرى الأكثر تعقيدًا: المتوسط ​​الثلاثي ، والمتوسط ​​الثلاثي ، والمتوسط ​​المعياري ، مع تعميماتها. [ 27 ]

بشكل عام، يمكن للمرء إنشاء مقياس متوسط ​​خاص به باستخدام المتوسط ​​المعمم f :

y=و-1(1ن[و(x1)+و(x2)+⋯+و(xن)]){\displaystyle y=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\left[f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{n})\right]\right)}

حيث f هي أي دالة قابلة للعكس. المتوسط ​​التوافقي هو مثال على ذلك باستخدام f ( x ) = 1/ x ، والمتوسط ​​الهندسي هو مثال آخر، باستخدام f ( x ) = log x . 

مع ذلك، فإن هذه الطريقة لحساب المتوسطات ليست عامة بما يكفي لتشمل جميع أنواع المتوسطات. ثمة طريقة أكثر عمومية [28] لتعريف المتوسط، تأخذ أي دالة g(x₁, x₂, ..., xₙ ) لقائمة من المتغيرات ، وتكون هذه الدالة متصلة ، ومتزايدة تمامًا في كل متغير ، ومتناظرة ( لا تتغير عند تبديل المتغيرات). المتوسط ​​y هو القيمة التي، عند استبدال كل عنصر من عناصر القائمة، تُعطي نفس قيمة الدالة: g ( y₁ , y₂ , ..., yₙ ) = g ( x₁ , x₂ , ..., xₙ ) . هذا التعريف الأكثر عمومية لا يزال يحافظ على الخاصية المهمة لجميع المتوسطات ، وهي أن متوسط ​​قائمة من العناصر المتطابقة هو ذلك العنصر نفسه. الدالة g ( x₁ , x₂ , ... , xₙ ) = x₁ + x₂ + ... + xₙ تُعطي المتوسط ​​الحسابي. الدالة g ( x₁ , x₂ , ..., xₙ ) = x₁ x₂ ... xₙ (حيث عناصر القائمة أعداد موجبة) تُعطي المتوسط ​​الهندسي. أما الدالة g ( x₁ , x₂ , ... , xₙ ) = ( x₁ - 1 + x₂ - 1 + ... + xₙ - 1 ) - 1 ( حيث عناصر القائمة أعداد موجبة) فتُعطي المتوسط ​​التوافقي . [ 28 ]   

فيثاغورس يعني

في الرياضيات، تُعدّ المتوسطات الفيثاغورية الثلاثة الكلاسيكية هي المتوسط ​​الحسابي ، والمتوسط ​​الهندسي ، والمتوسط ​​التوافقي . وقد درس الفيثاغوريون والأجيال اللاحقة من علماء الرياضيات اليونانيين هذه المتوسطات في سياق النسب [ 29 ] لأهميتها في الهندسة والموسيقى.

العلاقة بين AM و GM و HM

برهانٌ بدون كلمات لمتباينة المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي : PR هو قطر دائرة مركزها O؛ ونصف قطرها AO هو المتوسط ​​الحسابي للعددين a و b . المثلث PGR هو مثلث قائم الزاوية وفقًا لنظرية طاليس ، مما يسمح باستخدام نظرية المتوسط ​​الهندسي لإثبات أن ارتفاعه GQ هو المتوسط ​​الهندسي . لأي نسبة a : b ، يكون AO ≥ GQ.

تحقق المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي والمتوسط ​​الحسابي للأعداد الحقيقية غير السالبة هذه المتباينات: [ 30 ]

أم≥جيم≥حم{\displaystyle \mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,}

تتحقق المساواة إذا كانت جميع عناصر العينة المعطاة متساوية.

القوة تعني

المتوسط ​​المعمم، المعروف أيضاً بالمتوسط ​​الأسي أو متوسط ​​هولدر، يُجرّد عدة متوسطات أخرى. وهو مُعرّف للأعداد الموجبة.x1،...،xن{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}بواسطة [ 1 ]

مص(x1،...،xن)=(1ن∑أنا=1نxأناص)1/ص.{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}.}

وهذا، كوظيفة منص{\displaystyle p}، محددة جيدًا علىR∖{0}{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}، ولكن يمكن تمديدها باستمرار إلىR∪{-∞،+∞}{\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}[ 31 ] باختيار قيم مختلفة لـص{\displaystyle p}، ويتم استرجاع وسائل أخرى معروفة.

اسمالأسقيمة
الحد الأدنىص=-∞{\displaystyle p=-\infty }مين{x1،...،xن}{\displaystyle \min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}
المتوسط ​​التوافقيص=-1{\displaystyle p=-1}ن1x1+⋯+1xن{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}
المتوسط ​​الهندسيص=0{\displaystyle p=0}x1...xنن{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}}
المتوسط ​​الحسابيص=1{\displaystyle p=1}x1+⋯+xنن{\displaystyle {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}
الجذر التربيعي المتوسطص=2{\displaystyle p=2}x12+⋯+xن2ن{\displaystyle {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}
المتوسط ​​التكعيبيص=3{\displaystyle p=3}x13+⋯+xن3ن3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}}
الحد الأقصىص=+∞{\displaystyle p=+\infty }الأعلى{x1،...،xن}{\displaystyle \max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}

المتوسط ​​الحسابي شبه

يُعدّ النهج المماثل للمتوسط ​​الأسي هوو{\displaystyle f}المتوسط ​​الحسابي، المعروف أيضًا باسم المتوسط ​​شبه الحسابي. بالنسبة للدالة أحادية التباينو:أنا→R{\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R} }على فاصل زمنيأنا⊂R{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }والأعداد الحقيقيةx1،...،xن∈أنا{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in I}نحن نحددهمو{\displaystyle f}-mean as

مو(x1،...،xن)=و-1(1ن∑أنا=1نو(xأنا)).{\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f\left(x_{i}\right)}}\right).}

باختيار وظائف مختلفةو{\displaystyle f}، ويتم استرجاع وسائل أخرى معروفة.

يقصدأنا{\displaystyle I}الوظيفة [ ملاحظة 3 ]
المتوسط ​​الحسابيR{\displaystyle \mathbb {R} }x↦x{\displaystyle x\mapsto x}
المتوسط ​​الهندسي]0،+∞[{\displaystyle ]0,+\infty [}[ ملاحظة 4 ]x↦ln⁡(x){\displaystyle x\mapsto \ln(x)}
المتوسط ​​التوافقيR∖{0}{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}x↦x-1{\displaystyle x\mapsto x^{-1}}
القوة تعنيR∖{0}{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}[ ملاحظة 5 ]x↦xم{\displaystyle x\mapsto x^{m}}

المتوسط ​​الحسابي المرجح

يتم استخدام المتوسط ​​الحسابي المرجح (أو المتوسط ​​المرجح) إذا أراد المرء دمج القيم المتوسطة من عينات مختلفة الأحجام من نفس المجتمع، ويتم تعريفه بواسطة [ 1 ].

x¯=∑أنا=1نwأناxأنا∑أنا=1نwأنا،{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},}

أينxأنا{\displaystyle x_{i}}وwأنا{\displaystyle w_{i}}يمثل المتوسط ​​وحجم العينةأنا{\displaystyle i}على التوالي. وفي تطبيقات أخرى، تمثل هذه القيم مقياسًا لمدى موثوقية تأثير القيم المعنية على المتوسط.

المتوسط ​​المقتطع

أحيانًا، قد تحتوي مجموعة من الأرقام على قيم متطرفة . غالبًا ما تكون هذه القيم بيانات خاطئة ناتجة عن عوامل خارجية . في هذه الحالة، يمكن استخدام المتوسط ​​المقتطع . يتضمن هذا الأسلوب استبعاد أجزاء معينة من البيانات من أعلى أو أسفل النطاق، عادةً ما تكون متساوية في كل طرف، ثم حساب المتوسط ​​الحسابي للبيانات المتبقية. ومن الأمثلة المحددة على المتوسط ​​المقتطع المتوسط ​​الربيعي .

متوسط ​​الدالة

في بعض الحالات، قد يحسب علماء الرياضيات متوسط ​​مجموعة لا نهائية (أو حتى غير قابلة للعد ) من القيم. يمكن أن يحدث هذا عند حساب القيمة المتوسطة.yمتوسط{\displaystyle y_{\text{avg}}}دالةو(x){\displaystyle f(x)}يمكن تصور المتوسط ​​الحسابي للدالة، بشكل بديهي، على أنه حساب المساحة تحت جزء من منحنى، ثم قسمة الناتج على طول ذلك الجزء. ويمكن القيام بذلك بشكل تقريبي عن طريق عدّ المربعات على ورق الرسم البياني، أو بشكل أدق عن طريق التكامل . وتُكتب صيغة التكامل على النحو التالي:

yمتوسط(أ،ب)=1ب-أ∫أبو(x)دx.{\displaystyle y_{\text{avg}}(a,b)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}

في هذه الحالة، يجب توخي الحذر للتأكد من تقارب التكامل. ولكن قد يكون المتوسط ​​محدودًا حتى لو كانت الدالة نفسها تؤول إلى اللانهاية عند بعض النقاط.

متوسط ​​الزوايا والكميات الدورية

تتطلب الزوايا وأوقات اليوم وغيرها من الكميات الدورية استخدام الحساب النمطي لجمع الأرقام ودمجها. ويمكن حساب متوسط ​​هذه الكميات باستخدام المتوسط ​​الدائري . في جميع هذه الحالات، قد لا يوجد متوسط، على سبيل المثال إذا كانت جميع النقاط المراد حساب متوسطها متساوية البعد. لنأخذ عجلة الألوان كمثال - لا يوجد متوسط ​​لمجموعة جميع الألوان. بالإضافة إلى ذلك، قد لا يكون هناك متوسط ​​فريد لمجموعة من القيم: على سبيل المثال، عند حساب متوسط ​​النقاط على ساعة، يكون متوسط ​​موقعي 11:00 و13:00 هو 12:00، لكن هذا الموقع يعادل موقع 00:00.

معنى كلمة Fréchet

يُتيح متوسط ​​فريشيه طريقةً لتحديد "مركز" توزيع الكتلة على سطحٍ ما ، أو بشكلٍ أعم، على فضاءٍ ريماني . وعلى عكس العديد من المتوسطات الأخرى، يُعرَّف متوسط ​​فريشيه على فضاءٍ لا يمكن بالضرورة جمع عناصره أو ضربها بأعدادٍ قياسية.

مركز المثلث

في الهندسة، توجد آلاف التعريفات المختلفة لمركز المثلث ، والتي يمكن تفسيرها جميعًا على أنها متوسط ​​مجموعة مثلثية من النقاط في المستوى. [ 32 ]

قاعدة سوانسون

هذا تقريب للمتوسط ​​لتوزيع منحرف بشكل معتدل. [ 33 ] يُستخدم في استكشاف الهيدروكربونات ويُعرَّف على النحو التالي:

م=0.3P10+0.4P50+0.3P90{\displaystyle m=0.3P_{10}+0.4P_{50}+0.3P_{90}}

أينP10{\textstyle P_{10}}،P50{\textstyle P_{50}}وP90{\textstyle P_{90}}تمثل هذه القيم النسب المئوية العاشرة والخمسين والتسعين من التوزيع، على التوالي.

المتوسط ​​المتحرك

عند التعامل مع سلسلة زمنية ، مثل أسعار سوق الأسهم اليومية أو درجات الحرارة السنوية، غالبًا ما يرغب المحللون في إنشاء سلسلة أكثر سلاسة. [ 34 ] يساعد ذلك في إظهار الاتجاهات الكامنة أو ربما السلوك الدوري. إحدى الطرق السهلة لتحقيق ذلك هي المتوسط ​​المتحرك : حيث يتم اختيار قيمة n، ثم إنشاء سلسلة جديدة بأخذ المتوسط ​​الحسابي لأول n قيمة، ثم الانتقال خطوة واحدة للأمام بحذف أقدم قيمة وإضافة قيمة جديدة في نهاية القائمة، وهكذا. هذه هي أبسط أشكال المتوسط ​​المتحرك. أما الأشكال الأكثر تعقيدًا فتتضمن استخدام المتوسط ​​المرجح . يمكن استخدام الترجيح لتعزيز أو كبح السلوكيات الدورية المختلفة، وهناك تحليلات مستفيضة حول الأوزان المناسبة في أدبيات الترشيح . في معالجة الإشارات الرقمية، يُستخدم مصطلح "المتوسط ​​المتحرك" حتى عندما لا يكون مجموع الأوزان 1.0 (أي أن سلسلة الإخراج هي نسخة مُقاسة من المتوسطات). [ 35 ] والسبب في ذلك هو أن المحلل عادةً ما يهتم فقط بالاتجاه أو السلوك الدوري.

حلول مسائل حساب التفاضل والتكامل

يمكن وصف العديد من مقاييس النزعة المركزية بأنها حلول لمسألة حسابية، أي تقليل التباين عن المركز. بمعنى آخر، عند إعطاء مقياس للتشتت الإحصائي ، يُطلب إيجاد مقياس للنزعة المركزية يُقلل التباين إلى أدنى حد ممكن، بحيث يكون التباين عن المركز في أدنى مستوياته بين جميع الخيارات المتاحة. وكما يُقال: "التشتت يسبق الموقع". تُعرَّف هذه المقاييس مبدئيًا في بُعد واحد، ولكن يمكن تعميمها لتشمل أبعادًا متعددة. قد يكون هذا المركز فريدًا أو غير فريد. وفي سياق فضاءات L p ، تكون العلاقة كالتالي:

L pتشتتالنزعة المركزية
L 0نسبة التباينالوضع [ ج ]
L 1متوسط ​​الانحراف المطلقالوسيط ( الوسيط الهندسي ) [ د ]
L 2الانحراف المعياريالمتوسط ​​( المركز ) [ هـ ]
L ∞أقصى انحرافالمدى المتوسط ​​[ f ]

تُسمى الدوال المرتبطة بها بالمعايير p ، وهي على التوالي: المعيار 0، والمعيار 1، والمعيار 2، والمعيار ∞. أما الدالة المقابلة للفضاء L₀ فهي ليست معيارًا، ولذلك يُشار إليها غالبًا بين علامتي اقتباس: المعيار 0.

في المعادلات، بالنسبة لمجموعة بيانات معينة (محدودة) X ، والتي تُعتبر متجهًا x = ( x1 , ..., xn ) ، فإن التشتت حول نقطة c هو "المسافة" من x إلى المتجه الثابت c = ( c1 , ..., cn ) في معيار p (مُقسّم على عدد النقاط n ):

وص(ج)=‖x-ج‖ص:=(1ن∑أنا=1ن|xأنا-ج|ص)1/ص{\displaystyle f_{p}(c)=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \right\|_{p}:={\bigg (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-c\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}}

عندما تكون قيمة p تساوي صفرًا، وعندما تكون p تساوي ما لا نهاية، تُعرَّف هذه الدوال بأخذ النهايات، على التوالي عندما تؤول p إلى الصفر وعندما تؤول p إلى ما لا نهاية . عندما تكون p تساوي صفرًا، تكون القيم الحدية هي 0 = 0 و a = 1 عندما a ≠ 0 ، وبالتالي يصبح الفرق مساويًا للقيمة الأصلية، لذا فإن المعيار الصفري يحسب عدد النقاط غير المتساوية . أما عندما تكون p تساوي ما لا نهاية، فإن أكبر عدد هو المهيمن، وبالتالي فإن المعيار اللانهائي هو أكبر فرق.

رجل فريد

المتوسط ​​( مركز L2 ) والمدى المتوسط ​​( مركز L∞ ) فريدان (إن وُجدا)، بينما الوسيط ( مركز L1 ) والمنوال ( مركز L0 ) ليسا فريدين عمومًا. ويمكن فهم ذلك من خلال تحدب الدوال المرتبطة ( الدوال القسرية ) .

المعياران 2 و∞ محدبان تمامًا ، وبالتالي (بحسب التحسين المحدب) يكون المُصغِّر فريدًا (إن وُجد)، وهو موجود للتوزيعات المحدودة. لذا، يكون الانحراف المعياري حول المتوسط ​​أقل من الانحراف المعياري حول أي نقطة أخرى، ويكون أقصى انحراف حول المدى المتوسط ​​أقل من أقصى انحراف حول أي نقطة أخرى.

المعيار 1 ليس محدبًا تمامًا ، بينما يُعد التحدب التام ضروريًا لضمان تفرد القيمة المُصغِّرة. وبالمثل، فإن الوسيط (بمعنى التصغير هذا) ليس فريدًا بشكل عام، وفي الواقع، أي نقطة بين النقطتين المركزيتين لتوزيع منفصل تُصغِّر متوسط ​​الانحراف المطلق.

المعيار الصفري ليس محدبًا (وبالتالي ليس معيارًا). وبناءً على ذلك، فإن المنوال ليس فريدًا - على سبيل المثال، في التوزيع المنتظم، أي نقطة هي المنوال.

التجميع

بدلاً من نقطة مركزية واحدة، يمكن تحديد نقاط متعددة بحيث يتم تقليل التباين بينها. يؤدي هذا إلى تحليل التجميع ، حيث يتم تجميع كل نقطة في مجموعة البيانات مع أقرب "مركز". في أغلب الأحيان، يُعمم استخدام المعيار 2 المتوسط ​​إلى تجميع k -means ، بينما يُعمم استخدام المعيار 1 الوسيط (الهندسي) إلى تجميع k -medians . أما استخدام المعيار 0 فيُعمم ببساطة المنوال (القيمة الأكثر شيوعًا) لاستخدام القيم k الأكثر شيوعًا كمراكز.

بخلاف إحصائيات المركز الواحد، لا يمكن حساب هذا التجميع متعدد المراكز بشكل عام في صيغة مغلقة ، وبدلاً من ذلك يجب حسابه أو تقريبه بطريقة تكرارية ؛ أحد الأساليب العامة هو خوارزميات التوقع والتعظيم .

هندسة المعلومات

يمكن تعميم مفهوم "المركز" باعتباره تقليلًا للتباين في هندسة المعلومات ، ليصبح توزيعًا يقلل التباعد (مسافة معممة) عن مجموعة البيانات. وأكثر الحالات شيوعًا هي تقدير الاحتمال الأقصى ، حيث يُعظّم تقدير الاحتمال الأقصى (MLE) الاحتمال (يقلل المفاجأة المتوقعة ) ، وهو ما يمكن تفسيره هندسيًا باستخدام الإنتروبيا لقياس التباين: إذ يقلل تقدير الاحتمال الأقصى الإنتروبيا المتقاطعة (أو الإنتروبيا النسبية ، أو تباعد كولباك-لايبير).

مثال بسيط على ذلك هو مركز البيانات الاسمية: فبدلاً من استخدام المنوال (المركز الوحيد ذو القيمة الواحدة)، يُستخدم غالبًا المقياس التجريبي ( توزيع التكرار مقسومًا على حجم العينة ) كمركز. على سبيل المثال، عند وجود بيانات ثنائية ، كأن تكون صورة أو كتابة، إذا كانت مجموعة البيانات تتكون من صورتين وكتابة واحدة، فإن المنوال هو "صورة"، لكن المقياس التجريبي هو 2/3 صورة، 1/3 كتابة، مما يقلل من الإنتروبيا المتقاطعة (إجمالي المفاجأة) من مجموعة البيانات. يُستخدم هذا المنظور أيضًا في تحليل الانحدار ، حيث تجد طريقة المربعات الصغرى الحل الذي يقلل المسافات منه، وبالمثل في الانحدار اللوجستي ، يقلل تقدير الاحتمال الأقصى من المفاجأة (مسافة المعلومات).

تاريخ

أصل

أول استخدام موثق للمتوسط ​​الحسابي من حالتين إلى عدد غير محدد من الحالات لأغراض التقدير كان في القرن السادس عشر. ومنذ أواخر القرن السادس عشر فصاعدًا، أصبح تدريجيًا أسلوبًا شائعًا لتقليل أخطاء القياس في مختلف المجالات. [ 36 ] [ 37 ] في ذلك الوقت، سعى علماء الفلك إلى معرفة القيمة الحقيقية من قياسات مشوشة، مثل موقع كوكب أو قطر القمر. وباستخدام متوسط ​​عدة قيم مقاسة، افترض العلماء أن مجموع الأخطاء صغير نسبيًا مقارنةً بمجموع جميع القيم المقاسة. وقد طُوِّر أسلوب حساب المتوسط ​​لتقليل أخطاء الرصد بشكل أساسي في علم الفلك. [ 36 ] [ 38 ] ومن الأمثلة على الأساليب السابقة للمتوسط ​​الحسابي، المدى المتوسط ​​(متوسط ​​القيمتين المتطرفتين)، الذي استُخدم على سبيل المثال في علم الفلك العربي في القرنين التاسع والحادي عشر، وكذلك في علم المعادن والملاحة. [ 37 ]

مع ذلك، توجد إشارات غامضة قديمة متعددة إلى استخدام المتوسط ​​الحسابي (وهي ليست واضحة تمامًا، ولكن من المعقول أن تكون مرتبطة بتعريفنا الحديث للمتوسط). في نص من القرن الرابع، كُتب ما يلي (النص بين قوسين مربعين هو نص مفقود محتمل قد يوضح المعنى): [ 39 ]

في البداية، يجب أن نرتب في صف سلسلة الأرقام من الموناد إلى تسعة: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9. ثم يجب أن نجمع مجموعها، وبما أن الصف يحتوي على تسعة أرقام، يجب أن نبحث عن الجزء التاسع من المجموع لنرى ما إذا كان موجودًا بالفعل بين الأرقام في الصف؛ وسنجد أن خاصية كونه تسعًا من المجموع لا تنطبق إلا على المتوسط ​​الحسابي نفسه...

توجد مراجع محتملة أقدم من ذلك. تشير السجلات إلى أنه منذ حوالي عام 700 قبل الميلاد، اتفق التجار والشاحنون على تقاسم الأضرار التي تلحق بالبضائع والسفينة (مساهمتهم في حالة التلف الناتج عن البحر) بالتساوي فيما بينهم. [ 38 ] ربما تم حساب ذلك باستخدام المتوسط، على الرغم من عدم وجود سجل مباشر لهذه العملية.

أصل الكلمة

يُوجد جذر الكلمة في اللغة العربية بمعنى عوار ، أي عيب أو أي شيء معيب أو تالف، بما في ذلك البضائع التالفة جزئيًا؛ وأواري ( أو واره ) بمعنى "متعلق بالعوار ، أي حالة التلف الجزئي". [ g ] في اللغات الغربية، يعود تاريخ الكلمة إلى التجارة البحرية في العصور الوسطى في البحر الأبيض المتوسط. ففي القرنين الثاني عشر والثالث عشر، كانت كلمة "أفاريا" اللاتينية في جنوة تعني "التلف والخسارة والنفقات غير الاعتيادية الناجمة عن رحلة بحرية تجارية"؛ وكان المعنى نفسه لكلمة "أفاريا " في مرسيليا عام 1210، وبرشلونة عام 1258، وفلورنسا في أواخر القرن الثالث عشر. [ h ] وفي القرن الخامس عشر، كانت كلمة "أفاري " الفرنسية تحمل المعنى نفسه، ومنها اشتُقت الكلمتان الإنجليزيتان "averay" (1491) و"average" (1502) بنفس المعنى. اليوم، لا تزال الكلمات الإيطالية والكتالونية " أفاريا" والفرنسية " أفاري " تحمل المعنى الأساسي "الضرر". بدأ تحوّل المعنى في اللغة الإنجليزية في عقود قانون التجارة البحرية الغربية في أواخر العصور الوسطى وبداية العصر الحديث، والتي كانت تنص على أنه إذا واجهت السفينة عاصفة شديدة واضطرت إلى إلقاء بعض البضائع في البحر لتخفيف وزنها وزيادة أمانها، فإن جميع التجار الذين كانت بضائعهم على متن السفينة يتحملون الخسارة بنسبة متناسبة (وليس فقط من أُلقيت بضائعه في البحر)؛ وبشكل عام، كان يتم توزيع أي "أفاريا" بنسبة متناسبة. ومن هنا، تبنى المؤمنون والدائنون والتجار البريطانيون الكلمة للتعبير عن خسائرهم باعتبارها موزعة على كامل محفظة أصولهم وبنسبة متوسطة. [ h ] [ 40 ]

تُصنّف الأضرار البحرية إما كمتوسط ​​خاص ، يتحمله مالك العقار المتضرر وحده، أو كمتوسط ​​عام ، حيث يحق للمالك المطالبة بمساهمة نسبية من جميع الأطراف المشاركة في المشروع البحري. وقد أدى نوع الحسابات المستخدمة في تعديل المتوسط ​​العام إلى استخدام مصطلح "المتوسط" بمعنى "المتوسط ​​الحسابي".

وهناك استخدام إنجليزي ثانٍ، موثق منذ عام 1674، ويُكتب أحيانًا "averish"، وهو يشير إلى بقايا ونمو المحاصيل الحقلية، التي كانت تُعتبر مناسبة للاستهلاك من قبل حيوانات الجر ("avers"). [ 41 ]

هناك استخدام سابق (من القرن الحادي عشر على الأقل) وغير مرتبط بالكلمة. ويبدو أنها مصطلح قانوني قديم يشير إلى التزام المستأجر بأداء العمل اليومي للمأمور، وربما تم تحريفها من كلمة "avera" الموجودة في كتاب يوم القيامة الإنجليزي (1085).

ومع ذلك، يقول قاموس أكسفورد الإنجليزي إن الاشتقاقات من الكلمة الألمانية hafen بمعنى "مرفأ" والكلمة العربية ʿoâr بمعنى "خسارة" أو "ضرر" قد تم "التخلص منها تمامًا" وأن للكلمة أصلًا رومانسيًا. [ 42 ]

المتوسطات كأداة بلاغية

نظراً للطبيعة العامية المذكورة آنفاً لمصطلح "المتوسط"، يُمكن استخدامه لإخفاء المعنى الحقيقي للبيانات، واقتراح إجابات مُختلفة للأسئلة بناءً على طريقة حساب المتوسط ​​(غالباً المتوسط ​​الحسابي، أو الوسيط، أو المنوال). في مقالته "مُتَّهمون بالكذب: الإحصاءات كدليل فني/غير فني"، يُشير دانيال ليبرتز، عضو هيئة التدريس بجامعة بيتسبرغ، إلى أن المعلومات الإحصائية تُستبعد غالباً من الحجج البلاغية لهذا السبب. [ 43 ] مع ذلك، ونظراً لقوتها الإقناعية، لا ينبغي تجاهل المتوسطات والقيم الإحصائية الأخرى تماماً، بل يجب استخدامها وتفسيرها بحذر. يدعونا ليبرتز إلى التفاعل النقدي ليس فقط مع المعلومات الإحصائية كالمتوسطات، بل أيضاً مع اللغة المُستخدمة لوصف البيانات واستخداماتها، قائلاً: "إذا كانت الإحصاءات تعتمد على التفسير، فعلى البلاغيين دعوة جمهورهم للتفسير بدلاً من الإصرار على تفسير مُحدد". [ 43 ] في كثير من الحالات، تُقدَّم البيانات والحسابات المُحددة لتسهيل هذا التفسير المُوجَّه للجمهور.

انظر أيضاً

وسائل أخرى

ملحوظات

عربي:

  1. ↑ أحد الاستثناءات على ذلك هو المنوال ؛ على سبيل المثال، منوال [1، 1، 2، 2، 2] هو 2، لكن منوال [1، 1، 2، 3، 4] هو 1. كذلك، فإن معظم أنواع المتوسطات رتيبة تمامًا، لكن بعضها، مثل الوسيط ، والمتوسط ​​المقتطع ، والمتوسط ​​المعدل ، رتيب بشكل ضعيف فقط، وقد يظل كما هو بعد زيادة بعض القيم.
  2. ↑ قد تشمل الاستثناءات من ذلك المتوسطات المرجحة (إذا تم تحديد الأوزان حسب الموضع) والمتوسطات المتحركة (إذا تم أخذ التسلسل أو المنحنى الناتج بالكامل في الاعتبار). غالبًا ما يتم حساب المتوسطات المتحركة باستخدام المتوسطات المرجحة حسب الموضع.
  3. ↑ على عكس المقاييس الأخرى، لا يتطلب النمط أي هندسة على المجموعة، وبالتالي ينطبق بالتساوي في بُعد واحد، أو أبعاد متعددة، أو حتى بالنسبة للمتغيرات الفئوية .
  4. ↑ يتم تعريف الوسيط في بُعد واحد فقط؛ أما الوسيط الهندسي فهو تعميم متعدد الأبعاد.
  5. ↑ يمكن تعريف المتوسط ​​بشكل متطابق للمتجهات في أبعاد متعددة كما هو الحال بالنسبة للكميات القياسية في بُعد واحد؛ وغالبًا ما يُطلق على الشكل متعدد الأبعاد اسم المركز.
  6. ↑ في الأبعاد المتعددة، يمكن تعريف المدى المتوسط ​​حسب الإحداثيات (أخذ المدى المتوسط ​​لكل إحداثية)، على الرغم من أن هذا ليس شائعًا.
  7. ↑ كان في اللغة العربية في العصور الوسطى"عور " (ʿawr) التي تعني "أعمى في إحدى عينيه"، وكلمة "عوار " (ʿawār) التي تعني "أي عيب، أو أي شيء معيب أو تالف". توجد بعض قواميس اللغة العربية في العصور الوسطى على موقع Baheth.info (مؤرشفة بتاريخ 29 أكتوبر 2013 على موقع Wayback Machine) ، كما توجد ترجمة إنجليزية لبعض ما ورد في قواميس اللغة العربية في العصور الوسطى في كتاب "معجم لين العربي-الإنجليزي" ، الصفحتين 2193 و2195 . ولا تُدرج قواميس العصور الوسطى صيغة الكلمة "عوارية" (ʿawārīa) .يمكن تشكيل كلمة ʿAwārīa بشكل طبيعي في قواعد اللغة العربية للإشارة إلى الأشياء التي تحتوي على ʿawār ، ولكن في الممارسة العملية فيالنصوص العربية في العصور الوسطى، فإن كلمة ʿawārīa نادرة أو غير موجودة، في حين أن الصيغتين ʿawārī و ʿawāra تستخدمان بشكل متكرر عند الإشارة إلى الأشياء التي تحتوي على ʿawār أو الضرر - ويمكن رؤية ذلك في مجموعة النصوص التي يمكن البحث عنها في العصور الوسطى على موقع AlWaraq.net (روابط الكتب قابلة للنقر على الجانب الأيمن).
  8. ١ ٢ أُشير لأول مرة إلى الأصل العربي لكلمة "أفاريا" (avaria) من قِبل راينهارت دوزي في القرن التاسع عشر. يُمكن الاطلاع على ملخص دوزي الأصلي في كتابه "غلوسير" (Glossaire) الصادر عام ١٨٦٩. تتوفر معلومات موجزة حول السجلات المبكرة للكلمة باللغات الإيطالية اللاتينية والإيطالية والكتالونية والفرنسية على الموقع avarie@CNRTL.fr ( مؤرشف بتاريخ ٢٠١٩-٠١-٠٦ على موقع Wayback Machine ). يُعد ميناء جنوة موقع أقدم سجل معروف للكلمة في اللغات الأوروبية، ويعود تاريخه إلى عام ١١٥٧. توجد مجموعة من السجلات اللاتينية التي تعود إلى العصور الوسطى لكلمة " أفاريا" في جنوة في معجم "فوكابولاريو ليغوري" (Vocabolario Ligure) القابل للتنزيل ، من تأليف سيرجيو أبروسيو، عام ٢٠٠١، حيث وردت كلمة "أفاريا" في المجلد الأول، الصفحات ١١٥-١١٦. كما توجد سجلات أخرى كثيرة باللغة اللاتينية التي تعود إلى العصور الوسطى في جنوة على الموقع StoriaPatriaGenova.it ، وعادةً ما تكون بصيغة الجمع " أفاريس" (avariis) و "أفارياس" ( avarias) . في ميناء مرسيليا خلال النصف الأول من القرن الثالث عشر، احتوت العقود التجارية الموثقة على عشرات الأمثلة للكلمة اللاتينية avariis (صيغة الجمع لكلمة avaria )، كما نُشر في كتاب بلانكارد عام ١٨٨٤. ويمكن الاطلاع على بعض المعلومات حول الكلمة الإنجليزية عبر القرون في قاموس أكسفورد الإنجليزي (عام ١٨٨٨) . انظر أيضًا تعريف كلمة "average" الإنجليزية في القواميس الإنجليزية المنشورة في أوائل القرن الثامن عشر، أي في الفترة التي سبقت التحول الكبير في معناها: قاموس كيرسي-فيليبس (١٧٠٦) ، وقاموس بلونت (طبعة ١٧٠٧) ، وقاموس هاتون (١٧١٢) ، وقاموس بيلي (١٧٢٦) ، وقاموس مارتن (١٧٤٩) . وتُناقش بعض التعقيدات المحيطة بتاريخ الكلمة الإنجليزية في كتاب هينسلي ويدجوود عام ١٨٨٢، صفحة ١١، وكتاب والتر سكيت عام ١٨٨٨، صفحة ٧٨١ . يوجد اليوم إجماع على ما يلي: (1) أن كلمة "average" الإنجليزية الحالية مشتقة من الكلمة الإيطالية والكتالونية " avaria" في العصور الوسطى ، و(2) أن كلمة "avaria" بدأت بالظهور بين اللاتينيين في القرن الثاني عشر كمصطلح للتجارة البحرية في البحر الأبيض المتوسط، و(3) أنه لا يوجد جذر لكلمة "avaria" في اللغة اللاتينية، و(4) أن عددًا كبيرًا من الكلمات العربية دخلت إلى الإيطالية والكتالونية والبروفنسالية في القرنين الثاني عشر والثالث عشر كمصطلحات للتجارة البحرية في البحر الأبيض المتوسط، و(5) أن الكلمة العربية "عوار" تُطابق صوتيًا كلمة "avaria" ، حيث كان تحويل حرف "w" إلى "v" أمرًا شائعًا في اللاتينية والإيطالية، و "-ia"هي لاحقة في اللغة الإيطالية، وأقدم سجلات الكلمة الغربية موجودة في المناطق الناطقة بالإيطالية (كتابة باللاتينية). ويتفق معظم المعلقين على أن (#6) الكلمة العربية ʿawār | ʿawārī = "ضرر | متعلق بالضرر" تُطابق دلاليًا كلمة avaria = "ضرر أو نفقات الضرر". وقد شكك عدد قليل من المعلقين في هذا الأمر، استنادًا إلى أن السجلات المبكرة للكلمة الإيطالية اللاتينية avaria تحمل، في بعض الحالات، معنى "نفقة" بمعنى أعم - انظر TLIO (باللغة الإيطالية) . ويرى أغلب المعلقين أن معنى "نفقة" كان امتدادًا لعبارة "ضرر ونفقات الضرر"، ويدعم الترتيب الزمني للمعاني في السجلات هذا الرأي، ولم يكن المعنى الواسع "نفقة" هو المعنى الأكثر شيوعًا. وبناءً على النقاط المذكورة أعلاه، يُستنتج أن الكلمة اللاتينية جاءت، أو ربما جاءت، من الكلمة العربية.

رقمي:

  1. ↑ تُنطق " إكس بار".
  2. ↑ الحرف اليوناني μ ، يُنطق /'mjuː/.
  3. ↑ في هذا العمود، سنستخدم سهم الربط للدلالة على دالة. وفقًا لهذه الصيغة، الدالةو{\displaystyle f}يُرمز إليه بـx↦و(x){\displaystyle x\mapsto f(x)}.
  4. ↑ المتوسط ​​الهندسي مُعرَّف جيدًا على[0،+∞[{\displaystyle [0,+\infty [}لكن هذا لا يتم رصده من خلال هذا النهج.
  5. ↑ لـم≠0{\displaystyle m\neq 0}يمكن أن يكون النطاقR{\displaystyle \mathbb {R} }.

مراجع

  1. 1 2 3 4 "المتوسط ​​| الرياضيات" . موسوعة بريتانيكا . تم الاسترجاع في 21 أغسطس 2020 .
  2. ↑ لماذا لا يفهم سوى عدد قليل من طلاب الرياضيات معنى المتوسطات (فيديو على يوتيوب). عالم الرياضيات. 27 أغسطس 2024. تاريخ الاطلاع: 10 سبتمبر 2024 .
  3. ↑ كانتريل، ديفيد دبليو. "المتوسطات الفيثاغورية" . ماث وورلد . تم الاسترجاع في 4 نوفمبر 2025 .
  4. ↑ كابلان، جينيفر؛ فيشر، ديان جي؛ روغنيس، نيل تي. (يوليو 2010). "الغموض المعجمي في الإحصاء: كيف يستخدم الطلاب الكلمات التالية ويعرّفونها: الارتباط، المتوسط، الثقة، العشوائية، والانتشار" [ الجزء 2 ] (ملف PDF) . مجلة تعليم الإحصاء . 18 (2). doi : 10.1080/10691898.2010.11889491 . eISSN 1069-1898 . 
  5. ↑ أندرهيل، إل جي؛ برادفيلد، د. (1998) إنتروستات ، جوتا وشركاه المحدودة. ISBN 0-7021-3838-Xص 181
  6. ↑ ستاك، سو؛ واتسون، جين؛ هيندلي، سو؛ سامسون، بولين؛ ديفلين، روبين (2010). "ما هو المتوسط؟". مُعلِّم الرياضيات الأسترالي (AMT) . 66 (3): 7-15 . ISSN 0045-0685 . Academia 48155690. EBSCO host 53382428. Informit 10.3316/informit.354027435519820 .  
  7. ↑ كوينيل، لورنا (سبتمبر 2017). "أولئك الذين يجدون صعوبة في فهم المتوسطات: بناء فهم المتوسطات في الرياضيات". معلم الرياضيات الأسترالي (AMT) . 73 (3): 6-12 . ISSN 0045-0685 . EBSCO host 125324609. Informit 10.3316/informit.123380293707263 ، 10.3316/aeipt.218997 .  
  8. ↑ واتسون، جين م.؛ موريتز، جوناثان ب. (1999). "تطوير مفاهيم المتوسط". التركيز على مسائل التعلم في الرياضيات . 21 (4): 15-39 . ISSN 0272-8893 . ERIC EJ612005 .  
  9. ↑ واتسون، جين م. (مايو 2007). "دور الصراع المعرفي في تنمية فهم الطلاب للمتوسط" . دراسات تربوية في الرياضيات . 65 : 21-47 . doi : 10.1007/s10649-006-9043-3 . ISSN 0013-1954 . 
  10. ↑ كابلان، جينيفر جيه؛ فيشر، ديان جي؛ روغنيس، نيل تي (2009). "الغموض المعجمي في الإحصاء: ما الذي يعرفه الطلاب عن كلمات مثل الارتباط، والمتوسط، والثقة، والعشوائية، والانتشار؟" [ الجزء 1 ] . مجلة تعليم الإحصاء . 17 (3). doi : 10.1080/10691898.2009.11889535 . eISSN 1069-1898 . 
  11. ^ تريولا ، ماريو ف. (2014). الإحصائيات الأولية (PDF) (الطبعة الثانية عشرة من Pearson New International ). بيرسون التعليم المحدودة. ص. 53. ردمك   978-1-292-03941-1.
  12. ↑ واتسون، جين؛ تشيك، هيلين (2-6 يوليو 2012). إعادة النظر في المتوسط ​​في سياقه . الاجتماع السنوي الخامس والثلاثون لمجموعة أبحاث تعليم الرياضيات في أستراليا (MERGA)، سنغافورة. أديليد، جنوب أستراليا: مجموعة أبحاث تعليم الرياضيات في أستراليا. الصفحات 753-760 . تم تمويل هذا البحث جزئيًا بمنحة ARC Linkage رقم LP0669106. 
  13. ↑ "المتوسط ​​الحسابي أم الوسيط؟ متوسط ​​دخل الأسرة" . إحصاءات للمرعَبين . شركة كونسيبت ستيو المحدودة. 4 أبريل 2005. مؤرشف من الأصل في 5 ديسمبر 2005.
  14. ↑ دي ميستر، نيفيل (2019). "الاكتشاف: ماذا تعني بالمتوسط؟". مجلة تعليم الرياضيات الأسترالية (AMEJ) . 1 (4): 24-25 . ISSN 2652-0176 . EBSCO host 140411813. Informit 10.3316/informit.837688193205822 .  
  15. ↑ «نقاش المعلمين - تعرف على المتوسطات» [ مقتبس من مقال في صحيفة ذا ميركوري ، الأحد 16 أغسطس 1998، صفحة 9 ] . مهارات الحساب في الأخبار . مؤرشف من الأصل بتاريخ 1 مارس 2011.
  16. ↑ لاندتبلوم، كارين (يوليو 2018). سورتو، م.أ.؛ وايت، أ.؛ غيوت، ل. (محررون). هل البيانات شيء كمي؟ تحليل لمفهوم المنوال في الكتب المدرسية للصفوف من 4 إلى 6 (ملف PDF) . المؤتمر الدولي العاشر لتدريس الإحصاء (ICOTS10)، كيوتو، اليابان. نظرة إلى الماضي، نظرة إلى المستقبل . فوربورغ، هولندا: المعهد الدولي للإحصاء. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 18 ديسمبر 2019.
  17. ↑ فاولر، إليزابيث م. (4 أغسطس 1956). "المتوسطات الثلاثة: دراسة حول كيفية استخدام الإحصائيين للمتوسط ​​الحسابي والوسيط والمنوال وأسباب ذلك / 3 متوسطات يستخدمها الإحصائيون" . نيويورك تايمز . الصفحات 19، 25 [ولكن تم تصنيفها رقميًا على أنها 28، 34]. بروكويست 113794286 .  
  18. ↑ وايزبرغ، إتش إف (1992) النزعة المركزية والتباين ، سلسلة أوراق جامعة سيج حول التطبيقات الكمية في العلوم الاجتماعية، رقم ISBN 0-8039-4007-6ص.2
  19. 1 2 أبتون، ج.؛ كوك، إ. (2008) قاموس أكسفورد للإحصاء ، مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 978-0-19-954145-4(مدخل لـ "النزعة المركزية").
  20. ↑ دودج، واي. (2003) قاموس أكسفورد للمصطلحات الإحصائية ، مطبعة جامعة أكسفورد لصالح المعهد الإحصائي الدولي . ISBN 0-19-920613-9(مدخل لـ "النزعة المركزية").
  21. ^ ناجومو، ميتيو (1930) [Eingegangen am 1. نوفمبر، 1929]. "9. Über eine Klasse der Mittelwerte" . المجلة اليابانية للرياضيات . السابع : 71– 79. سجل HathiTrust 006954247 ، العناصر inu.30000091433023 ، uc1.31822020414991 ، rul.39030029662022 .
  22. ↑ "مراجعة إحصاءات AP - منحنيات الكثافة والتوزيعات الطبيعية" . مؤرشف من الأصل في 2 أبريل 2015. تم الاطلاع عليه في 16 مارس 2015 .
  23. ↑ وايسشتاين، إريك و. "متوسط ​​السكان" . mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 21 أغسطس 2020 .
  24. ↑ جونسون، ن. ل.، روجرز، س. أ. (1951). "مسألة العزوم للتوزيعات أحادية النمط". حوليات الإحصاء الرياضي ، 22 (3)، 433-439
  25. ↑ هوتلينج إتش، سولومونز إل إم (1932) حدود مقياس الالتواء. حوليات الإحصاء الرياضي 3، 141-114
  26. ↑ غارفر (1932) حول حدود مقياس الالتواء. حوليات الإحصاء الرياضي 3(4) 141–142
  27. ↑ ميريجو، خوسيه م.؛ كانانوفاس، مونتسيرات (2009). "معامل المتوسط ​​الهجين المعمم وتطبيقه في صنع القرار". مجلة الأساليب الكمية للاقتصاد وإدارة الأعمال . 9 : 69-84 . ISSN 1886-516X . 
  28. 1 2 بيبي، جون (1974). "مسلمات المتوسط ​​وتعميم إضافي للمتتاليات الرتيبة" . مجلة غلاسكو الرياضية . 15 : 63-65 . doi : 10.1017/s0017089500002135 .
  29. ↑ هيث، توماس. تاريخ الرياضيات اليونانية القديمة .
  30. ^ ديوكيتش، دوسان؛ يانكوفيتش، فلاديمير؛ ماتيتش، إيفان؛ بيتروفيتش ، نيكولا (2011/05/05). خلاصة IMO: مجموعة من المشكلات المقترحة لأولمبياد الرياضيات الدولي: 1959-2009 الطبعة الثانية . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. رقم ISBN 978-1-4419-9854-5.
  31. ↑ PS Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities . Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, pp. 176.
  32. ↑ ناربو، جوليان؛ براون، ديفيد (2016). "نحو نسخة معتمدة من موسوعة مراكز المثلثات" ( ملف PDF) . الرياضيات في علوم الحاسوب . 10 (1): 57-73 . doi : 10.1007/s11786-016-0254-4 . MR 3483261. تحت إشراف كلارك كيمبرلينج، تم تطوير موسوعة إلكترونية لمراكز المثلثات (ETC)، تحتوي على أكثر من 7000 مركز والعديد من خصائص هذه النقاط. 
  33. ↑ هيرست أ، براون جي سي، سوانسون آر آي (2000) قاعدة سوانسون 30-40-30. نشرة الجمعية الأمريكية لجيولوجيي البترول 84(12) 1883-1891
  34. ↑ بوكس، جورج إي بي؛ جينكينز، جويليم إم. (1976). تحليل السلاسل الزمنية: التنبؤ والتحكم ( طبعة منقحة). هولدن-داي. ISBN  0816211043.
  35. ↑ هايكين، سيمون (1986). نظرية المرشحات التكيفية . برنتيس هول. ISBN 0130040525.
  36. 1 2 بلاكيت، آر إل (1958). "دراسات في تاريخ الاحتمالات والإحصاء: السابع. مبدأ المتوسط ​​الحسابي". بيومتريكا . 45 (1/2): 130-135 . doi : 10.2307/2333051 . JSTOR 2333051 . 
  37. 1 2 أيزنهارت، تشرشل. "تطور مفهوم أفضل متوسط ​​لمجموعة من القياسات من العصور القديمة إلى يومنا هذا." خطاب رئاسي غير منشور، الجمعية الإحصائية الأمريكية، الاجتماع السنوي 131، فورت كولينز، كولورادو. 1971.
  38. 1 2 "باكر، آرثر. "التاريخ المبكر للقيم المتوسطة وآثارها على التعليم". مجلة تعليم الإحصاء 11.1 (2003): 17-26" . مؤرشف من الأصل في 4 ديسمبر 2015. تم الاطلاع عليه في 22 أكتوبر 2015 .
  39. ↑ "واترفيلد، روبن. "لاهوت الحساب". حول الرمزية الصوفية والرياضية والكونية للعدد العشري الأول (1988). صفحة 70" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 4 مارس 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 نوفمبر 2018 .
  40. ↑ "متوسط" . قاموس Dictionary.com غير المختصر (عبر الإنترنت). بدون تاريخ . تم الاسترجاع في 25-05-2023 .
  41. ↑ راي، جون (1674). مجموعة من الكلمات الإنجليزية غير الشائعة الاستخدام . لندن: إتش. بروج . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 مايو 2015 .
  42. ↑ "متوسط، اسم ٢" . قاموس أكسفورد الإنجليزي ( الطبعة الإلكترونية). مطبعة جامعة أكسفورد. سبتمبر ٢٠١٩. تم الاطلاع عليه في ٥ سبتمبر ٢٠١٩ . (يشترط الاشتراك أو عضوية المؤسسة المشاركة .)
  43. 1 2 ليبرتز، دانيال (31-12-2018). "مُلفقٌ بتهمة الكذب: الإحصاءات كدليل فني/غير فني" . مجلة ريس ريتوريكا . 5 (4). doi : 10.29107/rr2018.4.1 . ISSN 2392-3113 . 

للمزيد من القراءة