دالة لعدة متغيرات حقيقية

صورة الدالة f ( x₁ _, x₂ _, … , xₙ ) هي مجموعة جميع قيم f عندما تكون المجموعة المرتبة n ( x₁ _, x₂ _, … , xₙ ₎ ضمن مجال f بالكامل. _{بالنسبة} للدالة الحقيقية المتصلة (انظر التعريف أدناه) ذات المجال المتصل، تكون الصورة إما فترة أو قيمة واحدة. في الحالة الأخيرة، تكون الدالة ثابتة .

تُسمى الصورة العكسية لعدد حقيقي معين c مجموعة المستوى . وهي مجموعة حلول المعادلة f ( x 1 _, x 2 _, …, x _n ) = c .

مجال دالة لعدة متغيرات حقيقية هو مجموعة جزئية من R^ ^n، تُعرَّف أحيانًا، ولكن ليس دائمًا، بشكل صريح. في الواقع، إذا حصرنا مجال الدالة f، X، في مجموعة جزئية Y ⊂ X ، فسنحصل رسميًا على دالة مختلفة، وهي تقييد f على Y ، والتي يُرمز لها بـ${\displaystyle f|_{Y}}$من الناحية العملية، غالباً (ولكن ليس دائماً) لا يكون من الضار تحديد f و${\displaystyle f|_{Y}}$وحذف المحدد | _Y .

وعلى العكس من ذلك، من الممكن أحيانًا توسيع نطاق دالة معينة بشكل طبيعي، على سبيل المثال عن طريق الاستمرارية أو عن طريق الاستمرار التحليلي .

علاوة على ذلك، تُعرَّف العديد من الدوال بطريقة يصعب معها تحديد مجالها بشكل صريح. على سبيل المثال، عند إعطاء دالة f ، قد يكون من الصعب تحديد مجالها.${\displaystyle g({\boldsymbol {x}})=1/f({\boldsymbol {x}}).}$إذا كانت f متعددة الحدود متعددة المتغيرات ، (والتي لها${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(كمجال)، بل ويصعب اختبار ما إذا كان مجال g هو أيضًا${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$وهذا يعادل اختبار ما إذا كانت كثيرة الحدود موجبة دائمًا، وهو موضوع بحث نشط (انظر كثيرة الحدود الموجبة ).

يمكن توسيع العمليات الحسابية المعتادة على الأعداد الحقيقية لتشمل الدوال ذات القيم الحقيقية لعدة متغيرات حقيقية بالطريقة التالية:

• لكل عدد حقيقي r ، الدالة الثابتة$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto r}$$يتم تعريفها في كل مكان.
• لكل عدد حقيقي r ولكل دالة f ، فإن الدالة:$${\displaystyle rf:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto rf(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$لها نفس مجال f (أو معرفة في كل مكان إذا كانت r = 0 ).
• إذا كانت f و g دالتين في المجالين X و Y على التوالي بحيث يحتوي X ∩ Y على مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة من R ⁿ ، فإن$${\displaystyle f\,g:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,g(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$و$${\displaystyle g\,f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto g(x_{1},\ldots ,x_{n})\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$هي دوال لها مجال يحتوي على X ∩ Y.

يترتب على ذلك أن الدوال ذات n متغيرًا المعرفة في كل مكان، والدوال ذات n متغيرًا المعرفة في جوار نقطة معينة، تشكل جبرًا تبادليًا على الأعداد الحقيقية ( جبر R ). وهذا مثال نموذجي لفضاء الدوال .

يمكن للمرء أن يُعرّف بالمثل

${\displaystyle 1/f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto 1/f(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

_{وهي دالة فقط إذا كانت} مجموعة النقاط ( x1 , _… , xn ) في مجال f بحيث f ( x1 _, …, xn ₎ ≠ 0 تحتوي على مجموعة جزئية مفتوحة من Rn ^. هذا القيد يعني أن الجبرين المذكورين أعلاه ليسا حقلين .

يمكن الحصول بسهولة على دالة بمتغير حقيقي واحد بإعطاء قيمة ثابتة لجميع المتغيرات باستثناء متغير واحد. على سبيل المثال، إذا كانت ( a₁ , …, an ₎ نقطة داخل مجال تعريف الدالة f ، فيمكن تثبيت قيم x₂ _, …, xₙ على a₂ _, …, _an على التوالي، للحصول على دالة بمتغير _{واحد .}

${\displaystyle x\mapsto f(x,a_{2},\ldots ,a_{n}),}$

والتي يحتوي مجالها على فترة مركزها عند a _1. ويمكن أيضًا اعتبار هذه الدالة بمثابة تقييد للدالة f على الخط المحدد بالمعادلات x _i = a _i لـ i = 2، ...، n .

يمكن تعريف دوال أخرى أحادية المتغير بتقييد f بأي خط يمر عبر ( a1 _, …, an ₎ . هذه هي الدوال

${\displaystyle x\mapsto f(a_{1}+c_{1}x,a_{2}+c_{2}x,\ldots ,a_{n}+c_{n}x),}$

حيث c _i هي أعداد حقيقية ليست جميعها أصفارًا.

في القسم التالي، سنوضح أنه إذا كانت الدالة متعددة المتغيرات متصلة، فإن جميع هذه الدوال أحادية المتغير تكون متصلة أيضًا، ولكن العكس ليس صحيحًا بالضرورة.

حتى النصف الثاني من القرن التاسع عشر، اقتصر اهتمام علماء الرياضيات على الدوال المتصلة . في ذلك الوقت، تم تطوير مفهوم الاتصال لدوال متغير حقيقي واحد أو عدة متغيرات قبل فترة طويلة من التعريف الرسمي للفضاء الطوبولوجي والتحويلات المتصلة بين الفضاءات الطوبولوجية. ولأن الدوال المتصلة لعدة متغيرات حقيقية شائعة في الرياضيات، فمن المفيد تعريف هذا المفهوم دون الرجوع إلى المفهوم العام للتحويلات المتصلة بين الفضاءات الطوبولوجية.

لتحديد الاستمرارية، من المفيد النظر في دالة المسافة لـ R ⁿ ، وهي دالة معرفة في كل مكان لـ 2 n متغير حقيقي:

${\displaystyle d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=d(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}}$

تكون الدالة f متصلة عند النقطة a = ( a₁ _, … , an ₎ الواقعة داخل مجالها، إذا كان لكل عدد حقيقي موجب ε ، يوجد عدد حقيقي موجب φ بحيث يكون | f ( x ) - f ( a )| < ε لكل x بحيث يكون d ( x , a ) < φ . بعبارة أخرى، يمكن اختيار φ صغيرًا بما يكفي بحيث تكون صورة f للكرة التي نصف قطرها φ ومركزها a محصورة في الفترة التي طولها 2ε ومركزها f ( a ) . وتكون الدالة متصلة إذا كانت متصلة عند كل نقطة من مجالها.

إذا كانت دالة ما متصلة عند f ( a ) ، فإن جميع الدوال أحادية المتغير التي تُستنتج بتثبيت جميع المتغيرات xᵢ باستثناء _متغير واحد عند القيمة aᵢ _، تكون متصلة عند f ( a ) . والعكس صحيح؛ أي أن جميع هذه الدوال أحادية المتغير قد تكون متصلة لدالة غير متصلة عند f ( a ) . على سبيل المثال، لنفترض الدالة f بحيث f (0, 0) = 0 ، وتُعرَّف فيما عدا ذلك كما يلي:

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.}$

الدالتان x ↦ f ( x , 0) و y ↦ f (0, y ) ثابتتان وتساويان الصفر، وبالتالي فهما متصلتان. أما الدالة f فهي غير متصلة عند النقطة (0, 0) ، لأنه إذا كانت ε < 1/2 و y = x² ≠ 0 ^، فإن f ( x , y ) = 1/2 ، حتى لو كانت القيمة المطلقة لـ x صغيرة جدًا . مع أن هذه الدالة غير متصلة، إلا أنها تتميز بخاصية أخرى، وهي أن جميع الدوال أحادية المتغير الناتجة عن تقييدها بخط مستقيم يمر بالنقطة (0, 0) تكون متصلة أيضًا. في الواقع، لدينا

${\displaystyle f(x,\lambda x)={\frac {\lambda x}{x^{2}+\lambda ^{2}}}}$

لـ λ ≠ 0 .

تُعرَّف النهاية عند نقطة ما لدالة حقيقية القيمة لعدة متغيرات حقيقية كما يلي: ^{[ 1 ]} لتكن a = ( a1 _, a2 _, …, an ₎ نقطة في الإغلاق الطوبولوجي للمجال X للدالة f . للدالة f نهاية L عندما يؤول x إلى a ، ويُرمز لها بـ

${\displaystyle L=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}),}$

إذا تحقق الشرط التالي: لكل عدد حقيقي موجب ε > 0 ، يوجد عدد حقيقي موجب δ > 0 بحيث

${\displaystyle |f({\boldsymbol {x}})-L|<\varepsilon }$

لكل x في المجال بحيث

${\displaystyle d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {a}})<\delta .}$

إذا كانت النهاية موجودة، فهي وحيدة. إذا كانت النقطة a تقع داخل مجال الدالة، فإن النهاية موجودة إذا وفقط إذا كانت الدالة متصلة عند a . في هذه الحالة، لدينا

${\displaystyle f({\boldsymbol {a}})=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}).}$

عندما تكون a في حدود مجال f ، وإذا كانت f لها نهاية عند a ، فإن الصيغة الأخيرة تسمح "بتمديد مجال f إلى a عن طريق الاستمرارية" .

يمكن تعريف المشتقات الجزئية بالنسبة لكل متغير:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$

المشتقات الجزئية هي دوال، تمثل كل منها معدل تغير الدالة f بالتوازي مع أحد المحاور x1 _، x2 _، ...، _xn عند جميع نقاط مجالها (إذا كانت المشتقات موجودة ومتصلة - انظر أدناه). تكون المشتقة الأولى موجبة إذا كانت الدالة تتزايد في اتجاه المحور المعني، وسالبة إذا كانت تتناقص، وصفرًا إذا لم يكن هناك تزايد أو تناقص. يُعطي حساب المشتقة الجزئية عند نقطة معينة في المجال معدل تغير الدالة عند تلك النقطة في الاتجاه الموازي لمحور معين، وهو عدد حقيقي.

بالنسبة للدوال الحقيقية لمتغير حقيقي، y = f ( x ) ، فإن مشتقتها العادية dy / dx هي هندسيًا ميل الخط المماس للمنحنى y = f ( x ) عند جميع النقاط في المجال. وتُعمم المشتقات الجزئية هذا المفهوم ليشمل المستويات الفائقة المماسية للمنحنى.

يمكن حساب المشتقات الجزئية من الرتبة الثانية لكل زوج من المتغيرات:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$

هندسياً، ترتبط هذه الخصائص بالانحناء الموضعي لصورة الدالة عند جميع نقاط المجال. عند أي نقطة تكون فيها الدالة معرفة جيداً، قد تكون الدالة متزايدة على طول بعض المحاور، و/أو متناقصة على طول محاور أخرى، و/أو غير متزايدة أو متناقصة على الإطلاق على طول محاور أخرى.

يؤدي هذا إلى مجموعة متنوعة من النقاط الثابتة المحتملة: القيم العظمى أو الصغرى ، والقيم العظمى أو الصغرى ، ونقاط السرج - وهي النظير متعدد الأبعاد لنقاط الانعطاف للدوال الحقيقية ذات المتغير الحقيقي الواحد. مصفوفة هيسيان هي مصفوفة جميع المشتقات الجزئية من الرتبة الثانية، والتي تُستخدم لدراسة النقاط الثابتة للدالة، وهو أمر بالغ الأهمية في التحسين الرياضي .

بشكل عام، تأخذ المشتقات الجزئية من الرتبة p الأعلى الشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\equiv {\frac {\partial ^{p_{1}}}{\partial x_{1}^{p_{1}}}}{\frac {\partial ^{p_{2}}}{\partial x_{2}^{p_{2}}}}\cdots {\frac {\partial ^{p_{n}}}{\partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

حيث p ₁ ، p ₂ ، …, p _n هي أعداد صحيحة بين 0 و p بحيث يكون p ₁ + p ₂ + ⋯ + p _n = p ، باستخدام تعريفات المشتقات الجزئية الصفرية كعوامل هوية :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{1}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad \ldots ,\,{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{n}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,.}$

يزداد عدد المشتقات الجزئية الممكنة مع ازدياد قيمة p ، على الرغم من أن بعض المشتقات الجزئية المختلطة (تلك المتعلقة بأكثر من متغير واحد) تُعدّ زائدة عن الحاجة، وذلك بسبب تناظر المشتقات الجزئية من الرتبة الثانية . وهذا يقلل من عدد المشتقات الجزئية المطلوب حسابها لبعض قيم p .

تكون الدالة f ( x ) قابلة للتفاضل في جوار النقطة a إذا كان هناك مجموعة من n من الأعداد تعتمد على a بشكل عام، A ( a ) = ( A ₁ ( a ), A ₂ ( a ), …, A _n ( a )) ، بحيث: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha ({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|}$

أين${\displaystyle \alpha ({\boldsymbol {x}})\to 0}$مثل${\displaystyle |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|\to 0}$هذا يعني أنه إذا كانت الدالة f قابلة للتفاضل عند النقطة a ، فإنها تكون متصلة عند x = a ، مع أن العكس غير صحيح - فالاتصال في المجال لا يستلزم بالضرورة قابلية التفاضل فيه. إذا كانت f قابلة للتفاضل عند a ، فإن

${\displaystyle \left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}=A_{i}({\boldsymbol {a}})}$

بالنسبة لـ i = 1، 2، …، n ، والتي يمكن إيجادها من تعريفات المشتقات الجزئية الفردية ، لذلك فإن المشتقات الجزئية لـ f موجودة.

بافتراض وجود نظير ذي أبعاد n لنظام إحداثيات ديكارتية مستطيلة ، يمكن استخدام هذه المشتقات الجزئية لتشكيل عامل تفاضلي خطي متجهي ، يسمى التدرج (المعروف أيضًا باسم " nabla " أو " del ") في نظام الإحداثيات هذا:

${\displaystyle \nabla f({\boldsymbol {x}})=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)f({\boldsymbol {x}})}$

يستخدم على نطاق واسع في حساب المتجهات ، لأنه مفيد في بناء عوامل تفاضلية أخرى وصياغة النظريات بشكل مضغوط في حساب المتجهات.

ثم باستبدال التدرج ∇ f (المحسوب عند x = a ) في المعادلة أعلاه مع إعادة ترتيب طفيفة نحصل على:

${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})-f({\boldsymbol {a}})=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|}$

حيث يرمز الرمز · إلى الضرب القياسي . تمثل هذه المعادلة أفضل تقريب خطي للدالة f عند جميع النقاط x ضمن جوار النقطة a . بالنسبة للتغيرات المتناهية الصغر في f و x عندما x → a :

${\displaystyle df=\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{1}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{1}+\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{2}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{2}+\dots +\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{n}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{n}=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot d{\boldsymbol {x}}}$

يُعرَّف هذا التعبير بأنه التفاضل الكلي ، أو ببساطة التفاضل ، للدالة f عند النقطة a . ويتوافق هذا التعبير مع التغير الكلي المتناهي الصغر للدالة f ، وذلك بجمع جميع التغيرات المتناهية الصغر للدالة f في جميع اتجاهات xᵢ . كما يمكن اعتبار df متجهًا مشتركًا ، حيث تمثل متجهات الأساس القيم المتناهية الصغر _{dxᵢ في كل اتجاه ،} وتمثل المشتقات الجزئية للدالة f مركباته.

هندسيًا، يكون ∇f الذي لا يساوي صفرًا عموديًا على مجموعات المستوى للدالة f ، المعطاة بالعلاقة f ( x ) = c ، والتي تصف ، لثابت ما c، سطحًا فائقًا ذا ( n -1) بُعدًا: تفاضل الثابت يساوي صفرًا.

${\displaystyle df=(\nabla f)\cdot d{\boldsymbol {x}}=0}$

حيث يمثل d x تغييرًا متناهيًا في x في السطح الفائق f ( x ) = c ، وبما أن حاصل الضرب النقطي لـ ∇ f و d x يساوي صفرًا ، فبالنسبة لـ d x معين ، يكون ∇ f إما صفرًا أو عموديًا عليه.

في أنظمة الإحداثيات المنحنية ذات الأبعاد n ، على عكس نظام الإحداثيات الديكارتية، لن يكون التعبير الصريح للتدرج بهذه البساطة، إذ ستكون هناك عوامل قياس بدلالة موتر القياس الخاص بنظام الإحداثيات. أما في الحالة المذكورة أعلاه (نظام الإحداثيات الديكارتية) المستخدمة في هذه المقالة، فإن القياس هو ببساطة دلتا كرونكر ، وجميع عوامل القياس تساوي 1.

إذا تم تقييم جميع المشتقات الجزئية من الرتبة الأولى عند نقطة a في المجال:

${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\quad \left.{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\ldots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}}$

توجد وتكون متصلة لجميع ^قيم a في المجال، و f لها فئة اشتقاق C1 . بشكل عام، إذا كانت جميع المشتقات الجزئية من الرتبة p عند نقطة a :

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}}$

توجد وتكون متصلة، حيث p ₁ ، p ₂ ، …, p _n ، و p كما هو مذكور أعلاه، لجميع a في المجال، فإن f قابلة للتفاضل من الرتبة p في جميع أنحاء المجال ولها فئة تفاضل C ^p .

إذا كانت الدالة f من فئة التفاضل C∞ ^، فإن لها مشتقات جزئية متصلة من جميع الرتب وتُسمى دالة ملساء . أما إذا كانت f دالة تحليلية وتساوي متسلسلة تايلور الخاصة بها حول أي نقطة في مجالها، فإن الرمز Cω يرمز ^إلى فئة التفاضل هذه.

يمكن توسيع التكامل المحدد ليشمل التكامل المتعدد على عدة متغيرات حقيقية باستخدام الترميز التالي؛

${\displaystyle \int _{R_{n}}\cdots \int _{R_{2}}\int _{R_{1}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}\equiv \int _{R}f({\boldsymbol {x}})\,d^{n}{\boldsymbol {x}}}$

حيث أن كل منطقة R ₁ ، R ₂ ، …, R _n هي مجموعة جزئية من أو كل خط الأعداد الحقيقية:

${\displaystyle R_{1}\subseteq \mathbb {R} \,,\quad R_{2}\subseteq \mathbb {R} \,,\ldots ,R_{n}\subseteq \mathbb {R} ,}$

ويعطي حاصل ضربهما الديكارتي المنطقة المراد التكامل عليها كمجموعة واحدة:

${\displaystyle R=R_{1}\times R_{2}\times \dots \times R_{n}\,,\quad R\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,}$

حجم فائق ذو بُعد n . عند حساب التكامل المحدد، يكون عددًا حقيقيًا إذا تقارب التكامل في منطقة التكامل R (قد يتباعد ناتج التكامل المحدد إلى ما لا نهاية في منطقة معينة، وفي هذه الحالة يظل التكامل غير مُعرَّف). تُعامل المتغيرات كمتغيرات "وهمية" أو "محدودة" تُستبدل بالأعداد في عملية التكامل.

يُفسَّر تكامل دالة حقيقية القيمة لمتغير حقيقي y = f ( x ) بالنسبة إلى x هندسيًا على أنه المساحة المحصورة بين المنحنى y = f ( x ) والمحور x . وتُوسِّع التكاملات المتعددة أبعاد هذا المفهوم: بافتراض نظير ذي n بُعد لنظام إحداثيات ديكارتية مستطيلة ، فإن التكامل المحدد أعلاه يُفسَّر هندسيًا على أنه _{الحجم الفائق ذو} n بُعد المحصور بين f ( x ) والمحاور x₁ , x₂ _, ..., xₙ ، والتي قد تكون موجبة أو سالبة أو _صفرًا ، اعتمادًا على الدالة المراد تكاملها (إذا كان التكامل متقاربًا).

على الرغم من أن مفهوم الحجم الفائق المحدود يُعدّ فكرةً مفيدة، إلا أن الفكرة الأهم للتكاملات المحددة هي أنها تُمثّل الكميات الكلية داخل الفضاء. وهذا له أهمية في الرياضيات التطبيقية والفيزياء: فإذا كان f حقل كثافة قياسي ، و x إحداثيات متجه الموضع ، أي كمية قياسية لكل وحدة حجم فائق ذي n بُعد، فإن التكامل على المنطقة R يُعطي الكمية الكلية في R. أما المفاهيم الأكثر رسمية للحجم الفائق فهي موضوع نظرية القياس . وقد استخدمنا أعلاه قياس ليبيغ ، انظر تكامل ليبيغ لمزيد من المعلومات حول هذا الموضوع.

باستخدام تعريفات التكامل المتعدد والمشتقات الجزئية، يمكن صياغة نظريات أساسية، بما في ذلك النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل في عدة متغيرات حقيقية (أي نظرية ستوكس )، والتكامل بالتجزئة في عدة متغيرات حقيقية، وتناظر المشتقات الجزئية العليا ، ونظرية تايلور للدوال متعددة المتغيرات . ويمكن حساب مزيج من التكاملات والمشتقات الجزئية باستخدام التفاضل النظري تحت علامة التكامل .

يمكن للمرء أن يجمع عددًا من الدوال، كل منها لعدة متغيرات حقيقية، على سبيل المثال

${\displaystyle y_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad y_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\ldots ,y_{m}=f_{m}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})}$

إلى مجموعة من m عنصر، أو أحيانًا كمتجه عمودي أو متجه صف ، على التوالي:

${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\cdots &f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}}$

تُعامل جميعها على قدم المساواة مع حقل متجهي ذي m مركبة ، ويُستخدم الشكل الأنسب. تشترك جميع الرموز المذكورة أعلاه في رمز مختصر واحد هو y = f ( x ) . يُعرف حساب هذه الحقول المتجهة بحساب المتجهات . لمزيد من المعلومات حول معالجة متجهات الصفوف ومتجهات الأعمدة للدوال متعددة المتغيرات، انظر حساب المصفوفات .

تشمل الأمثلة في ميكانيكا الأوساط المتصلة كثافة الكتلة المحلية ρ لتوزيع الكتلة، وهو حقل قياسي يعتمد على إحداثيات الموضع المكاني (هنا الإحداثيات الديكارتية على سبيل المثال)، r = ( x , y , z ) ، والزمن t :

${\displaystyle \rho =\rho (\mathbf {r} ,t)=\rho (x,y,z,t)}$

وبالمثل بالنسبة لكثافة الشحنة الكهربائية للأجسام المشحونة كهربائياً ، والعديد من المجالات الكامنة القياسية الأخرى .

مثال آخر هو حقل السرعة ، وهو حقل متجه ، والذي يحتوي على مكونات السرعة v = ( v _x , v _y , v _z ) التي كل منها عبارة عن دوال متعددة المتغيرات للإحداثيات المكانية والزمن على نحو مماثل:

${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (x,y,z,t)=[v_{x}(x,y,z,t),v_{y}(x,y,z,t),v_{z}(x,y,z,t)]}$

وبالمثل بالنسبة للحقول المتجهة الفيزيائية الأخرى مثل الحقول الكهربائية والحقول المغناطيسية ، وحقول الجهد المتجه .

ومن الأمثلة المهمة الأخرى معادلة الحالة في الديناميكا الحرارية ، وهي معادلة تربط الضغط P ودرجة الحرارة T وحجم السائل V ، ولها بشكل عام شكل ضمني:

${\displaystyle f(P,V,T)=0}$

أبسط مثال على ذلك هو قانون الغاز المثالي :

${\displaystyle f(P,V,T)=PV-nRT=0}$

حيث n هو عدد المولات ، وهو ثابت لكمية محددة من المادة ، و R هو ثابت الغازات . وقد تم اشتقاق معادلات حالة أكثر تعقيدًا تجريبيًا، لكنها جميعًا تتخذ الشكل الضمني المذكور أعلاه.

تظهر الدوال الحقيقية لعدة متغيرات حقيقية بشكل واسع في علم الاقتصاد . ففي أسس نظرية المستهلك، تُعبّر المنفعة عن نفسها كدالة لكميات السلع المختلفة المستهلكة، حيث تمثل كل كمية وسيطًا في دالة المنفعة. وتنتج عن تعظيم المنفعة مجموعة من دوال الطلب ، تُعبّر كل منها عن الكمية المطلوبة من سلعة معينة كدالة لأسعار السلع المختلفة والدخل أو الثروة. أما في نظرية المنتج ، فيُفترض عادةً أن الشركة تُعظّم الربح كدالة لكميات السلع المختلفة المنتجة وكميات عوامل الإنتاج المختلفة المستخدمة. وتنتج عن عملية التحسين مجموعة من دوال الطلب على عوامل الإنتاج المختلفة ومجموعة من دوال العرض على المنتجات المختلفة؛ وتأخذ كل من هذه الدوال أسعار السلع وعوامل الإنتاج كوسائط لها.

قد تكون بعض "الكميات الفيزيائية" في الواقع ذات قيم مركبة، مثل المعاوقة المركبة ، والسماحية المركبة ، والنفاذية المركبة ، ومعامل الانكسار المركب . وهذه الكميات هي أيضاً دوال لمتغيرات حقيقية، مثل التردد أو الزمن، بالإضافة إلى درجة الحرارة.

في ميكانيكا الموائع ثنائية الأبعاد ، وتحديداً في نظرية التدفقات الكامنة المستخدمة لوصف حركة الموائع في بعدين، الجهد المركب

${\displaystyle F(x,y,\ldots )=\varphi (x,y,\ldots )+i\psi (x,y,\ldots )}$

هي دالة مركبة القيم للإحداثيين المكانيين x و y ، ومتغيرات حقيقية أخرى مرتبطة بالنظام. الجزء الحقيقي هو جهد السرعة ، والجزء التخيلي هو دالة التدفق .

تظهر التوافقيات الكروية في الفيزياء والهندسة كحل لمعادلة لابلاس ، بالإضافة إلى الدوال الذاتية لمؤثر الزخم الزاوي للمركبة z ، وهي دوال ذات قيم مركبة لزوايا قطبية كروية ذات قيم حقيقية :

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}=Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}$

في ميكانيكا الكم ، تكون الدالة الموجية بالضرورة ذات قيم مركبة، ولكنها دالة للإحداثيات المكانية الحقيقية (أو مكونات الزخم )، وكذلك الزمن t :

${\displaystyle \Psi =\Psi (\mathbf {r} ,t)=\Psi (x,y,z,t)\,,\quad \Phi =\Phi (\mathbf {p} ,t)=\Phi (p_{x},p_{y},p_{z},t)}$

حيث يرتبط كل منها بتحويل فورييه .