نظام الإحداثيات القطبية

إن إضافة أي عدد من الدورات الكاملة (360 درجة) إلى الإحداثي الزاوي لا يغير الاتجاه المقابل. وبالمثل، فإن أي إحداثي قطبي هو نفسه الإحداثي ذو المركبة الشعاعية السالبة والاتجاه المعاكس (إضافة 180 درجة إلى الزاوية القطبية). لذلك، فإن النقطة نفسها${\displaystyle (r,\varphi )}$يمكن التعبير عنها بعدد لا نهائي من الإحداثيات القطبية المختلفة${\displaystyle (r,\varphi +n\times 360^{\circ })}$و${\displaystyle (-r,\varphi +180^{\circ }+n\times 360^{\circ })=(-r,\varphi +(2n+1)\times 180^{\circ })}$، أين${\displaystyle n}$هو عدد صحيح اختياري . ^{[ 13 ]} علاوة على ذلك، يمكن التعبير عن القطب نفسه على النحو التالي:${\displaystyle (0,\varphi )}$لأي زاوية${\displaystyle \varphi }$[ ^{14 ]​}

عندما تكون هناك حاجة إلى تمثيل فريد لأي نقطة بخلاف القطب، فمن المعتاد تقييدها${\displaystyle r}$إلى أعداد موجبة (${\displaystyle r>0}$) و${\displaystyle \varphi }$إما إلى الفترة${\displaystyle [0,360^{\circ })}$أو الفترة الزمنية${\displaystyle (-180^{\circ },180^{\circ }]}$، والتي تُقاس بالراديان${\displaystyle [0,2\pi )}$أو${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$[ ^{15 ] ثمة} اصطلاح آخر، بالإشارة إلى المجال المقابل المعتاد لدالة الظل العكسي ، وهو السماح بقيم حقيقية غير صفرية عشوائية للمركبة القطرية وتقييد الزاوية القطبية إلى${\displaystyle (-90^{\circ },90^{\circ }]}$في جميع الحالات، سمت فريد للقطب${\displaystyle r=0}$يجب اختيارها، على سبيل المثال،${\displaystyle \varphi =0}$.

رسم توضيحي لعدد مركب z مرسوم على المستوى المركب

رسم توضيحي لعدد مركب مرسوم على المستوى المركب باستخدام صيغة أويلر

يتكون العدد المركب من أعداد حقيقية${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$بالإضافة إلى عدد تخيلي${\displaystyle i^{2}=-1}$والتي يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle z=x+iy}$يمثل كل عدد مركب نقطة في المستوى المركب ، وبالتالي يمكن التعبير عنه بتحديد إما الإحداثيات الديكارتية للنقطة (وتسمى الشكل الديكارتي أو المستطيل) أو الإحداثيات القطبية للنقطة (وتسمى الشكل القطبي). ^{[ 17 ]}

في الشكل القطبي، المسافة${\displaystyle r}$وإحداثيات الزاوية${\displaystyle \varphi }$يُشار إليها غالبًا باسم مقدار العدد، ومعامله، ووسيطه ، على التوالي. ويمكن الحصول على ذلك من عدد مركب.${\displaystyle z=x+iy}$، ممثلة في شكل مستطيل كما يلي، إلى شكل قطبي، عن طريق الاستبدال${\displaystyle x=r\cos \varphi }$و${\displaystyle y=r\sin \varphi }$: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }.}$$ يُشتق التعبير الأخير من صيغة أويلر ، حيث${\displaystyle e}$عدد أويلر يساوي تقريبًا 2.718، و${\displaystyle \varphi }$— معبر عنها بالراديان — هي القيمة الرئيسية لدالة العدد المركب arg المطبقة على${\displaystyle z=x+iy}$[ ^{18 ]} لتحويل عدد مركب بين صورتيه المستطيلة والقطبية، يمكن استخدام صيغ التحويل المذكورة أعلاه. وتُعدّ الدوال cis مكافئة لها ، حيث تشير إلى عدد مركب ^.${\displaystyle \cos \varphi +i\sin \varphi }$— ورموز الزوايا : $${\displaystyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi =r\angle \varphi .}$$

في عمليات الضرب والقسمة والرفع إلى الأسس واستخراج الجذور للأعداد المركبة، يكون التعامل مع الأعداد المركبة المكتوبة بالصيغة القطبية أسهل بكثير من التعامل معها بالصيغة المستطيلة. من قوانين الأسس:

• الضرب:${\displaystyle r_{0}e^{i\varphi _{0}}\,r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i\left(\varphi _{0}+\varphi _{1}\right)}}$
• قسم:${\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}}$
• الأس أو صيغة دي موافر :${\displaystyle \left(re^{i\varphi }\right)^{n}=r^{n}e^{in\varphi }}$
• استخراج الجذر أو الجذر الرئيسي:${\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i\varphi \over n}}$

المعادلة العامة لدائرة مركزها عند${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$ونصف القطر a هو $${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\gamma )+r_{0}^{2}=a^{2}.}$$

يمكن تبسيط ذلك بطرق مختلفة، ليتوافق مع حالات أكثر تحديدًا، مثل المعادلة $${\displaystyle r(\varphi )=a}$$ بالنسبة لدائرة مركزها عند القطب ونصف قطرها a . ^{[ 19 ]}

عندما يكون _r₀ = a أو عندما تقع نقطة الأصل على الدائرة، تصبح المعادلة $${\displaystyle r=2a\cos(\varphi -\gamma ).}$$

في الحالة العامة، يمكن حل المعادلة لإيجاد قيمة r ، مما يعطي $${\displaystyle r=r_{0}\cos(\varphi -\gamma )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\varphi -\gamma )}}}$$ الحل الذي يحتوي على علامة ناقص أمام الجذر التربيعي يعطي نفس المنحنى.

يُعطى القطع المخروطي الذي تقع إحدى بؤرتيه على القطب والأخرى في مكان ما على شعاع 0° (بحيث يقع المحور الرئيسي للقطع المخروطي على طول المحور القطبي ) بالصيغة التالية :$${\displaystyle r={\ell \over {1-\epsilon \cos \varphi }}}$$ أين${\displaystyle \epsilon }$إنها الغرابة و${\displaystyle \ell }$هو نصف العضلة المستقيمة الكبيرة (المسافة العمودية عند البؤرة من المحور الرئيسي إلى المنحنى). إذا${\displaystyle \epsilon >1}$تُعرّف هذه المعادلة قطعًا زائدًا ؛ إذا${\displaystyle \epsilon =1}$فهو يُعرّف قطعًا مكافئًا ؛ وإذا${\displaystyle \epsilon <1}$فهو يُعرّف شكلاً بيضاوياً . الحالة الخاصة${\displaystyle \epsilon =0}$ينتج عن الأخير دائرة نصف قطرها${\displaystyle \ell }$.

تُمثل الخطوط الشعاعية (التي تمر عبر القطب) بالمعادلة $${\displaystyle \varphi =\gamma ,}$$ أين${\displaystyle \gamma }$هي زاوية ارتفاع الخط؛ أي${\displaystyle \varphi =\arctan m}$، أين${\displaystyle m}$هو ميل الخط في نظام الإحداثيات الديكارتية. الخط غير القطري الذي يتقاطع مع الخط القطري${\displaystyle \varphi =\gamma }$بشكل عمودي عند النقطة${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$لها المعادلة $${\displaystyle r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\gamma ).}$$

غير معروض للبيع${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$هي النقطة التي يتقاطع فيها المماس مع الدائرة الوهمية ذات نصف القطر${\displaystyle r_{0}}$

الوردة القطبية هي منحنى رياضي يشبه الزهرة ذات البتلات، ويمكن التعبير عنها كواحدة من معادلتين قطبيتين متميزتين: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}r(\varphi )&=a\sin \left(k\varphi \right),\\r(\varphi )&=a\cos \left(k\varphi \right).\end{aligned}}}$$ لا تتكافئ صيغتا الجيب وجيب التمام، لكن الفرق يكمن فقط في دوران المنحنى الناتج. كلتاهما حالتان خاصتان من المعادلة r ( φ ) = a cos( kφ + γ ) ، حيث تحدد γ الطور ، وبالتالي الدوران. إذا كان k عددًا صحيحًا، فإن هذه المعادلات ستُنتج وردة ذات k بتلة إذا كان k فرديًا ، أو وردة ذات 2k بتلة إذا كان k زوجيًا. ^{[ 21 ]} إذا كان k عددًا نسبيًا، وليس عددًا صحيحًا، فقد يتشكل شكل يشبه الوردة، لكن بتلاته متداخلة. تجدر الإشارة إلى أن هذه المعادلات لا تُحدد أبدًا وردة ذات 2 أو 6 أو 10 أو 14 بتلة، وهكذا. يُمثل المتغير a طول أو سعة بتلات الوردة مباشرةً، بينما يرتبط k بترددها المكاني .

اللولب الأرخميدسي هو لولب اكتشفه أرخميدس ، ويمكن التعبير عنه أيضًا بمعادلة قطبية بسيطة. ويتم تمثيله بالمعادلة التالية: $${\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .}$$ يؤدي تغيير المعامل a إلى تدوير اللولب، بينما يتحكم b في المسافة بين ذراعيه، وهي ثابتة دائمًا لأي لولب معين. يتكون اللولب الأرخميدسي من ذراعين، أحدهما عندما تكون φ > 0 والآخر عندما تكون φ < 0. يتصل الذراعان بسلاسة عند القطب. إذا كانت a = 0 ، فإن عكس صورة أحد الذراعين حول خط 90°/270° يُعطي الذراع الآخر. يُعد هذا المنحنى من أوائل المنحنيات، بعد القطوع المخروطية ، التي وُصفت في دراسة رياضية، ومثالًا بارزًا على منحنى يُعرَّف على أفضل وجه بمعادلة قطبية.

مُربع في الربع الأول${\displaystyle (x,y)}$هو منحنى مع${\displaystyle y=\rho \sin \theta }$يساوي نسبة ربع الدائرة ذات نصف القطر${\displaystyle r}$يتم تحديدها بواسطة نصف القطر المار بنقطة المنحنى. بما أن هذا الكسر هو: ^{[ 22 ]}${\textstyle {\frac {2r\theta }{\pi }}}$، ويُعطى المنحنى بواسطة$${\displaystyle \rho (\theta )={\frac {2r\theta }{\pi \sin \theta }}.}$$

رسوم بيانية لدالتين قطبيتين${\displaystyle r=f(\theta )}$و${\displaystyle r=g(\theta )}$توجد احتمالات لتقاطع ثلاثة أنواع:

1. في الأصل، إذا كانت المعادلات${\displaystyle f(\theta )=0}$و${\displaystyle g(\theta )=0}$يجب أن يكون لكل منها حل واحد على الأقل.
2. جميع النقاط${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$أين${\displaystyle \theta _{i}}$هي حلول للمعادلة${\displaystyle f(\theta +2k\pi )=g(\theta )}$أين${\displaystyle k}$هو عدد صحيح.
3. جميع النقاط${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$أين${\displaystyle \theta _{i}}$هي حلول للمعادلة${\displaystyle f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )}$أين${\displaystyle k}$هو عدد صحيح.

باستخدام x = r cos φ و y = r sin φ ، يمكن استنتاج علاقة بين المشتقات في الإحداثيات الديكارتية والقطبية. بالنسبة لدالة معينة، u ( x , y )، ينتج (بحساب مشتقاتها الكلية ) أو $${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {du}{dr}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \varphi +r{\frac {\partial u}{\partial y}}\sin \varphi =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},\\[2pt]{\frac {du}{d\varphi }}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \varphi +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\cos \varphi =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{aligned}}}$$

وبالتالي، لدينا الصيغة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {d}{dr}}&=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\\[2pt]{\frac {d}{d\varphi }}&=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.\end{aligned}}}$$

باستخدام تحويل الإحداثيات العكسي، يمكن اشتقاق علاقة تبادلية مماثلة بين المشتقات. وبالنظر إلى دالة u ( r , φ )، فإنه يترتب على ذلك أن $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\end{aligned}}}$$ أو $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

وبالتالي، لدينا الصيغ التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}&=\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {d}{dy}}&=\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

لإيجاد الميل الديكارتي لخط المماس لمنحنى قطبي r ( φ ) عند أي نقطة معينة، يتم التعبير عن المنحنى أولاً كنظام من المعادلات البارامترية . $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi )\cos \varphi \\y&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

وبمفاضلة المعادلتين بالنسبة إلى φ نحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \\[2pt]{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .\end{aligned}}}$$

بقسمة المعادلة الثانية على الأولى نحصل على ميل الخط المماس للمنحنى عند النقطة (النقطة) في الإحداثيات الديكارتية.${\displaystyle (r(\varphi ),\varphi )}$[ ^{25 ]​}$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$$

للاطلاع على صيغ مفيدة أخرى بما في ذلك التباعد والتدرج واللابلاس في الإحداثيات القطبية، انظر الإحداثيات المنحنية .

يمكن تطبيق حساب المتجهات أيضًا على الإحداثيات القطبية. بالنسبة للحركة المستوية، لنفترض${\displaystyle \mathbf {r} }$ليكن متجه الموضع ( r cos( φ ), r sin( φ )) ، حيث يعتمد r و φ على الوقت t .

نُعرّف أساسًا متعامدًا بثلاثة متجهات وحدة: الاتجاهات القطرية والمستعرضة والعمودية . ويُعرّف الاتجاه القطري عن طريق التطبيع.${\displaystyle \mathbf {r} }$: $${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))}$$تمتد الاتجاهات القطرية والسرعة على مستوى الحركة ، ويُشار إلى اتجاهها العمودي بـ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$: $${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}={\hat {\mathbf {v} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}.}$$ يكون الاتجاه العرضي عموديًا على كل من الاتجاهين القطري والعمودي: $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}\ ,}$$

بعد ذلك، يمكن التعبير عن الموضع والسرعة على النحو التالي $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )=r{\hat {\mathbf {r} }}\ ,\\[1.5ex]{\dot {\mathbf {r} }}&=\left({\dot {x}},\ {\dot {y}}\right)={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\ ,\\[1.5ex]\end{aligned}}}$$ بمعدل الزاوية${\displaystyle {\dot {\varphi }}}$بالضرورة بالراديان في الثانية (أو مضاعفاته)، وليس بالدرجات في الثانية. ويمكن التعبير عن التسارع كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {x}},\ {\ddot {y}}\right)\\[1ex]&={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\;{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}.\end{aligned}}}$$ يمكن الحصول على هذه المعادلة عن طريق أخذ مشتقة الدالة ومشتقات متجهات الأساس الوحدوية.

بالنسبة لمنحنى ثنائي الأبعاد حيث تكون المعلمة${\displaystyle \theta }$تُبسط المعادلات السابقة إلى: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=r(\theta ){\hat {\mathbf {e} }}_{r}\\[1ex]{\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}&={\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{r}+r{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\\[1ex]{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{d\theta ^{2}}}&=\left({\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-r\right){\hat {\mathbf {e} }}_{r}+2{\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\end{aligned}}}$$

مصطلحات الطرد المركزي وكوريوليس

على المدى${\displaystyle r{\dot {\varphi }}^{2}}$يُشار إليه أحيانًا باسم التسارع المركزي ، والمصطلح${\displaystyle 2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}}$كما هو الحال مع تسارع كوريوليس . على سبيل المثال، انظر شانكار. ^{[ 26 ]} هذه الحدود، التي تظهر عند التعبير عن التسارع بالإحداثيات القطبية، هي نتيجة رياضية للتفاضل؛ وتظهر كلما استُخدمت الإحداثيات القطبية. في ديناميكا الجسيمات المستوية، تظهر هذه التسارعات عند تطبيق قانون نيوتن الثاني للحركة في إطار مرجعي دوار. هنا، تُسمى هذه الحدود الإضافية غالبًا بالقوى الوهمية ؛ وهمية لأنها ببساطة ناتجة عن تغيير في إطار الإحداثيات. هذا لا يعني أنها غير موجودة؛ بل إنها موجودة فقط في الإطار الدوار.

متجه الموضع r يشير دائمًا بشكل شعاعي من نقطة الأصل.

متجه السرعة v ، وهو دائماً مماس لمسار الحركة.

متجه التسارع a ، ليس موازياً للحركة الشعاعية ولكنه منحرف بفعل التسارع الزاوي وتسارع كوريوليس، وليس مماساً للمسار ولكنه منحرف بفعل التسارع المركزي والشعاعي.

المتجهات الحركية في الإحداثيات القطبية المستوية. لاحظ أن الإعداد لا يقتصر على الفضاء ثنائي الأبعاد، بل يشمل أي مستوى في أي بُعد أعلى.

إطار دوار مشترك

بالنسبة لجسيم يتحرك في مستوى، يعتمد أحد أساليب إضفاء دلالة فيزيائية على هذه المصطلحات على مفهوم الإطار المرجعي الدوراني اللحظي . ^{[ 27 ]} لتعريف إطار مرجعي دوراني ، يُختار أولًا نقطة أصل تُحدد منها المسافة r ( t ) إلى الجسيم. ثم يُحدد محور دوران عمودي على مستوى حركة الجسيم، ويمر عبر نقطة الأصل هذه. بعد ذلك، عند اللحظة المختارة t ، يُضبط معدل الدوران الزاوي للإطار الدوراني Ω ليطابق معدل دوران الجسيم حول هذا المحور، dφ / dt . ثم تُربط المصطلحات في التسارع في الإطار المرجعي العطالي بتلك الموجودة في الإطار الدوراني.

لنفترض أن موقع الجسيم في الإطار المرجعي العطالي هو ( r ( t ), φ ( t ))، وفي الإطار المرجعي الدوار المتزامن يُرمز له بـ ( r ′ (t), φ ′ (t)). بما أن الإطار المرجعي الدوار المتزامن يدور بنفس معدل دوران الجسيم، فإن dφ ′/ dt = 0. قوة الطرد المركزي الوهمية في الإطار المرجعي الدوار المتزامن هي mrΩ² ، ^وتتجه شعاعيًا نحو الخارج. سرعة الجسيم في الإطار المرجعي الدوار المتزامن تتجه أيضًا شعاعيًا نحو الخارج، لأن dφ ′/ dt = 0. بالتالي، فإن قوة كوريوليس الوهمية تساوي −2m ( dr / dt ) Ω، وتتجه في اتجاه تزايد φ فقط. وهكذا، باستخدام هذه القوى في قانون نيوتن الثاني، نجد: $${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {F} _{\text{cf}}+\mathbf {F} _{\text{Cor}}=m{\ddot {\mathbf {r} }}\,,}$$ حيث تمثل النقاط المشتقات بالنسبة للزمن، و F هي القوة الحقيقية المحصلة (مقابل القوى الوهمية). وباستخدام المركبات، تصبح معادلة المتجهات هذه كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}+mr\Omega ^{2}&=m{\ddot {r}}\\F_{\varphi }-2m{\dot {r}}\Omega &=mr{\ddot {\varphi }}\ ,\end{aligned}}}$$ والتي يمكن مقارنتها بمعادلات الإطار المرجعي العطالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}&=m{\ddot {r}}-mr{\dot {\varphi }}^{2}\\F_{\varphi }&=mr{\ddot {\varphi }}+2m{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\ .\end{aligned}}}$$

تُظهر هذه المقارنة، بالإضافة إلى الإقرار بأنه بحسب تعريف الإطار الدوار المشترك في الوقت t، فإن معدل دورانه Ω = dφ / dt ، أنه يمكننا تفسير الحدود الموجودة في التسارع (مضروبًا في كتلة الجسيم) كما هو موجود في الإطار العطالي على أنها معكوس قوى الطرد المركزي وقوى كوريوليس التي يمكن رؤيتها في الإطار الدوار المشترك الفوري غير العطالي.

في الحركة العامة للجسيم (على عكس الحركة الدائرية البسيطة)، تُنسب قوى الطرد المركزي وقوى كوريوليس في إطار مرجعي للجسيم عادةً إلى دائرة التماس اللحظية لحركته، وليس إلى مركز ثابت للإحداثيات القطبية. لمزيد من التفاصيل، انظر قوة الجذب المركزي .

نظام الإحداثيات الأسطوانية هو نظام إحداثيات يمتد أساسًا من نظام الإحداثيات القطبية ثنائي الأبعاد بإضافة إحداثي ثالث يقيس ارتفاع نقطة فوق المستوى، على غرار امتداد نظام الإحداثيات الديكارتية إلى ثلاثة أبعاد. ويُرمز إلى هذا الإحداثي الثالث بـ${\displaystyle z}$، مما يجعل الإحداثيات الأسطوانية الثلاثة${\displaystyle (r,\theta ,z)}$وبالتالي، يمكن تحويل الإحداثيات الأسطوانية الثلاث إلى إحداثيات ديكارتية بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\cos \theta \\y&=r\,\sin \theta \\z&=z.\end{aligned}}}$$

يمكن أيضًا توسيع الإحداثيات القطبية إلى ثلاثة أبعاد باستخدام الإحداثيات (ρ، φ، θ)، حيث ρ هي المسافة من القطب، وφ هي الزاوية من المحور z (وتُسمى خط العرض المكمل أو سمت الرأس، وتُقاس من 0 إلى 180 درجة)، وθ هي الزاوية من المحور x (كما في الإحداثيات القطبية). يُشبه نظام الإحداثيات هذا، المسمى نظام الإحداثيات الكروية ، نظام خطوط الطول والعرض المستخدم للأرض، حيث يُمثل خط العرض δ مكمل φ، ويُحدد بالمعادلة δ = 90° − φ، ويُقاس خط الطول l بالمعادلة l = θ − 180° ^. [ ^{28 ]}

يتم تحويل الإحداثيات الكروية الثلاثة إلى إحداثيات ديكارتية بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \,\sin \varphi \,\cos \theta \\y&=\rho \,\sin \varphi \,\sin \theta \\z&=\rho \,\cos \varphi .\end{aligned}}}$

تُستخدم الإحداثيات القطبية بكثرة في الملاحة ، إذ يُمكن تحديد الوجهة أو اتجاه السفر كزاوية ومسافة من الهدف المراد رصده. على سبيل المثال، تستخدم الطائرات نسخة مُعدّلة قليلاً من الإحداثيات القطبية للملاحة. في هذا النظام، وهو النظام المُستخدم عمومًا في جميع أنواع الملاحة، يُطلق على الشعاع 0° اسم الاتجاه 360، وتستمر الزوايا في اتجاه عقارب الساعة، بدلاً من عكس اتجاه عقارب الساعة كما في النظام الرياضي. يُقابل الاتجاه 360 الشمال المغناطيسي ، بينما تُقابل الاتجاهات 90 و180 و270 الشرق والجنوب والغرب المغناطيسي على التوالي. ^{[ 29 ]} وبالتالي، فإن الطائرة التي تُسافر 5 أميال بحرية شرقًا ستسافر 5 وحدات باتجاه 90 (يقرأها مراقبو الحركة الجوية صفر-تسعة-صفر ). ^{[ 30 ]}

تُوفّر الأنظمة ذات التناظر الشعاعي بيئات طبيعية لنظام الإحداثيات القطبية، حيث تعمل النقطة المركزية كقطب. ومن الأمثلة البارزة على ذلك معادلة تدفق المياه الجوفية عند تطبيقها على الآبار ذات التناظر الشعاعي. كما تُعدّ الأنظمة التي تحتوي على قوة شعاعية مرشحة جيدة لاستخدام نظام الإحداثيات القطبية. وتشمل هذه الأنظمة الحقول الجاذبية ، التي تخضع لقانون التربيع العكسي ، بالإضافة إلى الأنظمة ذات المصادر النقطية ، مثل هوائيات الراديو .

يمكن أيضًا نمذجة الأنظمة غير المتناظرة شعاعيًا باستخدام الإحداثيات القطبية. على سبيل المثال، يوضح نمط التقاط الميكروفون استجابته النسبية للصوت الوارد من اتجاه معين، ويمكن تمثيل هذه الأنماط بمنحنيات قطبية. يمكن تمثيل منحنى الميكروفون القلبي القياسي، وهو الميكروفون أحادي الاتجاه الأكثر شيوعًا، بالمعادلة r = 0.5 + 0.5sin( ϕ ) عند تردد التصميم المستهدف. ^{[ 31 ]} يتحول النمط نحو نمط متعدد الاتجاهات عند الترددات المنخفضة.

• آدامز، روبرت؛ كريستوفر إسيكس (2013). حساب التفاضل والتكامل: دورة كاملة (  الطبعة الثامنة). بيرسون كندا المحدودة. ISBN 978-0-321-78107-9.
• أنطون، هوارد؛ إيرل بيفنز؛ ستيفن ديفيس (2002). حساب التفاضل والتكامل (  الطبعة السابعة). دار أنطون للنشر. رقم ISBN 0-471-38157-8.
• فيني، روس؛ جورج توماس؛ فرانكلين ديمانا؛ بيرت وايتس (يونيو 1994). حساب التفاضل والتكامل: بياني، عددي، جبري (طبعة المتغير الواحد  ). شركة أديسون-ويسلي للنشر. ISBN 0-201-55478-X.