مبرهنة فيرما الأخيرة

مبرهنة فيرما الأخيرة
	تتضمن طبعة 1670 من كتاب ديوفانتوس الحساب تعليق فيرما، المشار إليه باسم "النظرية الأخيرة" ( Observatio Domini Petri de Fermat )، التي نشرها ابنه بعد وفاته.
مجال	نظرية الأعداد
إفادة	بالنسبة لأي عدد صحيح n > 2 ، فإن المعادلة a n + b n = c n ليس لها حلول صحيحة موجبة.
صرح بذلك لأول مرة	بيير دي فيرما
تم ذكره لأول مرة في	حوالي 1637
أول دليل بواسطة	أندرو وايلز
أول دليل في	صدر عام 1994 ; ونشر عام 1995
ضمنيًا بواسطة	تخمين abc الفعال; تخمين Szpiro المعدل الفعال; نظرية الوحدات النمطية;
التعميمات	تخمين بيل; تخمين فيرما-كاتالوني;

في نظرية الأعداد ، تنص نظرية فيرما الأخيرة (والتي تسمى أحيانًا تخمين فيرما ، وخاصة في النصوص القديمة) على أنه لا يوجد ثلاثة أعداد صحيحة موجبة $a$ و $b$ و $c$ تحقق المعادلة $a$ $n$ $+$ $b$ $n$ $=$ $c$ $n$ لأي قيمة صحيحة لـ $n$ أكبر من $2.$ من المعروف منذ العصور القديمة أن الحالات $n$ $= 1$ و $n$ $= 2$ لها عدد لا نهائي من الحلول. ^[1]

تم طرح القضية لأول مرة كنظرية بواسطة بيير دي فيرما حوالي عام 1637 في هامش نسخة من كتاب أريثميتيكا . أضاف فيرما أنه كان لديه دليل كبير جدًا بحيث لا يتناسب مع الهامش. على الرغم من أن البيانات الأخرى التي ادعى فيرما أنها بدون دليل تم إثباتها لاحقًا من قبل آخرين وتم اعتبارها نظريات فيرما (على سبيل المثال، نظرية فيرما حول مجموع مربعين )، إلا أن نظرية فيرما الأخيرة قاومت الإثبات، مما أدى إلى الشك في أن فيرما كان لديه دليل صحيح على الإطلاق. وبالتالي، أصبح الاقتراح معروفًا باسم التخمين وليس النظرية. بعد 358 عامًا من الجهود التي بذلها علماء الرياضيات، تم إصدار أول دليل ناجح في عام 1994 بواسطة أندرو وايلز وتم نشره رسميًا في عام 1995. وقد تم وصفه بأنه "تقدم مذهل" في الاستشهاد بجائزة آبل التي حصل عليها وايلز في عام 2016. ^[2] كما أثبت الكثير من تخمين تانياما-شيمورا، والذي عُرف لاحقًا باسم نظرية الوحدات النمطية ، وفتح طرقًا جديدة تمامًا للعديد من المشكلات الأخرى وتقنيات رفع الوحدات النمطية القوية رياضيًا .

حفزت المشكلة غير المحلولة تطوير نظرية الأعداد الجبرية في القرنين التاسع عشر والعشرين. وهي من بين أبرز النظريات في تاريخ الرياضيات وقبل إثباتها كانت في موسوعة غينيس للأرقام القياسية باعتبارها "أصعب مسألة رياضية"، ويرجع ذلك جزئيًا إلى أن النظرية لديها أكبر عدد من الإثباتات غير الناجحة. ^[3]

ملخص

أصول فيثاغورس

تحتوي معادلة فيثاغورس ، x ² + y ² = z ² ، على عدد لا نهائي من الحلول الصحيحة الموجبة لـ x و y و z ؛ تُعرف هذه الحلول باسم ثلاثيات فيثاغورس (أبسط مثال هو 3، 4، 5). حوالي عام 1637، كتب فيرما في هامش أحد الكتب أن المعادلة الأكثر عمومية a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ ليس لها حلول بأعداد صحيحة موجبة إذا كان n عددًا صحيحًا أكبر من 2. وعلى الرغم من أنه ادعى أن لديه دليلاً عامًا على تخمينه، إلا أن فيرما لم يترك أي تفاصيل عن دليله، ولم يتم العثور على أي منها على الإطلاق. تم اكتشاف ادعائه بعد حوالي 30 عامًا، بعد وفاته. هذا الادعاء، الذي أصبح يُعرف باسم نظرية فيرما الأخيرة ، ظل دون حل لمدة ثلاثة قرون ونصف القرن التالية. ^[4]

في نهاية المطاف، أصبح هذا الادعاء واحدًا من أكثر المشكلات غير المحلولة شهرة في الرياضيات. أدت محاولات إثباته إلى تطور كبير في نظرية الأعداد ، وبمرور الوقت اكتسبت مبرهنة فيرما الأخيرة مكانة بارزة كمشكلة غير محلولة في الرياضيات .

التطورات اللاحقة والحلول

الحالة الخاصة $n = 4$ ، التي أثبتها فيرما بنفسه، كافية لإثبات أنه إذا كانت النظرية خاطئة لبعض الأسس n التي ليست عددًا أوليًا ، فيجب أن تكون خاطئة أيضًا لبعض n الأصغر ، وبالتالي فإن القيم الأولية لـ n فقط تحتاج إلى مزيد من التحقيق. ^{[ملاحظة 1]} على مدار القرنين التاليين (1637-1839)، تم إثبات التخمين فقط للأعداد الأولية 3 و5 و7، على الرغم من أن صوفي جيرمان ابتكرت وأثبتت نهجًا كان مناسبًا لفئة كاملة من الأعداد الأولية. في منتصف القرن التاسع عشر، وسع إرنست كومر هذا وأثبت النظرية لجميع الأعداد الأولية المنتظمة ، تاركًا الأعداد الأولية غير المنتظمة ليتم تحليلها بشكل فردي. بناءً على عمل كومر واستخدام دراسات الكمبيوتر المتطورة، تمكن علماء رياضيات آخرون من توسيع الإثبات لتغطية جميع الأسس الأولية حتى أربعة ملايين، ^[5] لكن الإثبات لجميع الأسس كان غير قابل للوصول (وهذا يعني أن علماء الرياضيات اعتبروا عمومًا الإثبات مستحيلًا أو صعبًا للغاية أو غير قابل للتحقيق بالمعرفة الحالية). ^[6]

بشكل منفصل، حوالي عام 1955، اشتبه عالما الرياضيات اليابانيان جورو شيمورا ويوتاكا تانياما في وجود رابط بين المنحنيات الإهليلجية والأشكال المعيارية ، وهما منطقتان مختلفتان تمامًا من الرياضيات. عُرفت في ذلك الوقت باسم تخمين تانياما-شيمورا (في النهاية باسم نظرية المعيارية)، وكانت قائمة بذاتها، دون أي اتصال واضح بنظرية فيرما الأخيرة. كان يُنظر إليها على نطاق واسع على أنها مهمة وذات أهمية في حد ذاتها، ولكن (مثل نظرية فيرما) كانت تعتبر على نطاق واسع غير قابلة للإثبات تمامًا. ^[7]

في عام 1984، لاحظ جيرهارد فراي وجود رابط واضح بين هاتين المشكلتين غير المرتبطتين وغير المحلولتين سابقًا. قدم فراي مخططًا يوحي بإمكانية إثبات ذلك. تم إنجاز الدليل الكامل على أن المشكلتين مرتبطتان ارتباطًا وثيقًا في عام 1986 بواسطة كين ريبيت ، بناءً على دليل جزئي بواسطة جان بيير سير ، الذي أثبت كل شيء باستثناء جزء واحد يُعرف باسم "تخمين إبسيلون" (انظر: نظرية ريبيت ومنحنى فراي ). ^[2] أظهرت هذه الأوراق التي كتبها فراي وسيري وريبيت أنه إذا كان من الممكن إثبات تخمين تانياما-شيمورا على الأقل لفئة شبه مستقرة من المنحنيات الإهليلجية، فإن إثبات نظرية فيرما الأخيرة سيتبع ذلك تلقائيًا. يتم وصف الارتباط أدناه: يمكن أيضًا استخدام أي حل يمكن أن يتناقض مع نظرية فيرما الأخيرة لتناقض تخمين تانياما-شيمورا. لذا، إذا وجدنا أن نظرية الوحدات النمطية صحيحة، فبحسب التعريف، لا يمكن أن يوجد حل يتناقض مع نظرية فيرما الأخيرة، مما يعني أن نظرية فيرما الأخيرة يجب أن تكون صحيحة أيضًا.

على الرغم من أن كلتا المشكلتين كانتا شاقتين ويُنظر إليهما على نطاق واسع على أنهما "غير قابلتين تمامًا" للإثبات في ذلك الوقت، ^[2] كان هذا أول اقتراح لطريق يمكن من خلاله توسيع مبرهنة فيرما الأخيرة وإثباتها لجميع الأرقام، وليس فقط بعض الأرقام. على عكس مبرهنة فيرما الأخيرة، كانت تخمينة تانياما-شيمورا مجالًا بحثيًا نشطًا رئيسيًا ويُنظر إليها على أنها أكثر في متناول الرياضيات المعاصرة. ^[8] ومع ذلك، كان الرأي العام أن هذا ببساطة أظهر عدم جدوى إثبات تخمين تانياما-شيمورا. ^[9] كان رد فعل عالم الرياضيات جون كوتس المقتبس رد فعل شائعًا: ^[9]

لقد كنت أنا نفسي أشك بشدة في أن الارتباط الجميل بين نظرية فيرما الأخيرة وفرضية تانياما-شيمورا من شأنه أن يؤدي إلى أي شيء، لأنني يجب أن أعترف بأنني لم أكن أعتقد أن فرضية تانياما-شيمورا يمكن إثباتها. ورغم جمال هذه المشكلة، إلا أنها بدت مستحيلة الإثبات. ويجب أن أعترف بأنني كنت أعتقد أنني ربما لن أرى إثباتها في حياتي.

عند سماع أن ريبيت قد أثبت صحة رابط فراي، قرر عالم الرياضيات الإنجليزي أندرو وايلز ، الذي كان لديه شغف في طفولته بنظرية فيرما الأخيرة وكان لديه خلفية في العمل مع المنحنيات الإهليلجية والحقول ذات الصلة، محاولة إثبات تخمين تانياما-شيمورا كوسيلة لإثبات نظرية فيرما الأخيرة. في عام 1993، بعد ست سنوات من العمل سراً على المشكلة، نجح وايلز في إثبات ما يكفي من التخمين لإثبات نظرية فيرما الأخيرة. كانت ورقة وايلز ضخمة في الحجم والنطاق. تم اكتشاف خلل في جزء من ورقته الأصلية أثناء مراجعة الأقران وتطلب عامًا إضافيًا والتعاون مع طالب سابق، ريتشارد تايلور ، لحلها. ونتيجة لذلك، كان الإثبات النهائي في عام 1995 مصحوبًا بورقة مشتركة أصغر حجمًا تُظهر أن الخطوات الثابتة كانت صحيحة. تم الإبلاغ عن إنجاز وايلز على نطاق واسع في الصحافة الشعبية، وتم ترويجه في الكتب والبرامج التلفزيونية. تم إثبات الأجزاء المتبقية من تخمين تانياما-شيمورا-ويل، والتي تم إثباتها الآن والمعروفة باسم نظرية الوحدات النمطية، من قبل علماء رياضيات آخرين، الذين بنوا على عمل ويلز بين عامي 1996 و2001. ^[10]^[11]^[12] لإثباته، تم تكريم ويلز وحصل على العديد من الجوائز، بما في ذلك جائزة آبل لعام 2016. [ 13 ^]^[14]^[15]

عبارات مكافئة للنظرية

هناك عدة طرق بديلة لصياغة نظرية فيرما الأخيرة والتي تعادل رياضيا البيان الأصلي للمشكلة.

ولبيانها، نستخدم الرموز التالية: دع $N$ تكون مجموعة الأعداد الطبيعية 1، 2، 3، ...، ودع $Z$ تكون مجموعة الأعداد الصحيحة 0، ±1، ±2، ...، ودع $Q$ تكون مجموعة الأعداد النسبية $a / b$ ، حيث $a$ و $b$ في $Z$ مع $b \neq 0.$ فيما يلي سنسمي الحل لـ $x n + y n = z n$ حيث واحد أو أكثر من $x$ أو $y$ أو $z$ يساوي صفرًا حلاً تافهًا . سيُسمى الحل حيث تكون جميع الثلاثة غير صفرية حلاً غير تافه .

من أجل المقارنة نبدأ بالصيغة الأصلية.

العبارة الأصلية . مع $n$ ، $x$ ، $y$ ، $z$ ∈ $N$ (بمعنى أن n ، x ، y ، z كلها أعداد صحيحة موجبة) و $n > 2$ ، فإن المعادلة $x n + y n = z n$ ليس لها حلول.

تُشير أغلب المعالجات الشائعة للموضوع إلى ذلك بهذه الطريقة. كما يُشار إليه عادةً عبر $Z$ : ^[16]

العبارة المكافئة 1: $x n + y n = z n$ ، حيث العدد الصحيح n $\geq$ 3، ليس لها حلول غير تافهة $x$ ، $y$ ، $z$ ∈ $Z.$

يكون التكافؤ واضحًا إذا كان $n$ زوجيًا. إذا كان $n$ فرديًا وكل الثلاثة $x و y و z$ سالبة، فيمكننا استبدال $x و y و z$ بـ $- x و - y و - z$ للحصول على حل في $N.$ إذا كان اثنان منهم سالبين، فيجب أن يكونا $x$ و $z$ أو $y$ و $z$ . إذا كان $x و z$ سالبين و $y$ موجب، فيمكننا إعادة الترتيب للحصول على $(- z) n + y n = (- x) n$ مما ينتج عنه حل في $N$ ؛ يتم التعامل مع الحالة الأخرى بشكل مشابه. الآن إذا كان أحدهما سالبًا، فيجب أن يكون $x$ أو $y$ . إذا كان $x$ سالبًا، و $y$ و $z$ موجبان، فيمكن إعادة ترتيبه للحصول على $(- x) n + z n = y n$ مرة أخرى مما ينتج عنه حل في $N$ ؛ إذا كان $y$ سالبًا، تتبع النتيجة بشكل متماثل. وهكذا، في جميع الحالات، فإن الحل غير التافه في $Z$ يعني أيضًا وجود حل في $N$ ، الصيغة الأصلية للمشكلة.

العبارة المكافئة 2: $x n + y n = z n$ ، حيث العدد الصحيح n $\geq 3$ ، ليس له حلول غير تافهة $x ، y ، z \in Q.$

يرجع ذلك إلى أن أسس $x و y و$ $z$ تساوي ( $n$ )، لذا إذا كان هناك حل في $Q$ ، فيمكن ضربه بمقسوم مشترك مناسب للحصول على حل في $Z$ ، وبالتالي في $N.$

العبارة المكافئة 3: $x n + y n = 1$ ، حيث العدد الصحيح n $\geq 3$ ، ليس لها حلول غير تافهة $x ، y \in Q.$

الحل غير التافه $a$ , $b$ , $c$ ∈ $Z$ إلى $x n + y n = z n$ يعطي الحل غير التافه $a / c$ , $b / c$ ∈ $Q$ لـ $v n + w n = 1.$ وعلى العكس من ذلك، فإن الحل $a / b$ , $c / d$ ∈ $Q$ إلى $v n + w n = 1$ يعطي الحل غير التافه $ad, cb, bd$ لـ $x n + y n = z n$ .

إن هذه الصيغة الأخيرة مثمرة بشكل خاص، لأنها تقلل المشكلة من مشكلة تتعلق بالأسطح في ثلاثة أبعاد إلى مشكلة تتعلق بالمنحنيات في بعدين. وعلاوة على ذلك، فهي تسمح بالعمل على الحقل $Q$ ، بدلاً من الحلقة $Z$ ؛ حيث تظهر الحقول بنية أكثر من الحلقات ، مما يسمح بتحليل أعمق لعناصرها.

العبارة المكافئة 4 - الارتباط بالمنحنيات الإهليلجية: إذا كان $a$ و $b$ و $c$ حلاً غير تافه لـ $a p + b p = c p$ و $p$ عدد أولي فردي، فإن $y 2 = x (x - a p)(x + b p)$ ( منحنى فراي ) سيكون منحنى إهليلجي بدون شكل معياري. ^[17]

يُظهر فحص هذا المنحنى الإهليلجي باستخدام نظرية ريبيت أنه لا يحتوي على شكل معياري . ومع ذلك، يثبت الدليل الذي قدمه أندرو وايلز أن أي معادلة من النموذج $y 2 = x (x - a n)(x + b n)$ لها شكل معياري. وبالتالي فإن أي حل غير تافه لـ $x p + y p = z p$ (حيث $p$ عدد أولي فردي) من شأنه أن يخلق تناقضًا ، مما يثبت بدوره عدم وجود حلول غير تافهة. ^[18]

بعبارة أخرى، يمكن استخدام أي حل يمكن أن يتناقض مع نظرية فيرما الأخيرة في التناقض مع نظرية الوحدات النمطية. لذا، إذا ثبت أن نظرية الوحدات النمطية صحيحة، فهذا يعني أنه لا يمكن أن يوجد أي تناقض مع نظرية فيرما الأخيرة. وكما هو موضح أعلاه، كان اكتشاف هذه العبارة المكافئة أمرًا بالغ الأهمية للحل النهائي لنظرية فيرما الأخيرة، حيث وفرت وسيلة يمكن من خلالها "مهاجمتها" لجميع الأرقام في وقت واحد.

التاريخ الرياضي

فيثاغورس و ديوفانتوس

ثلاثيات فيثاغورس

في العصور القديمة كان معروفًا أن المثلث الذي تكون أضلاعه بنسبة 3:4:5 سيكون له زاوية قائمة كواحدة من زواياه. وقد استُخدم هذا في البناء وفي وقت لاحق في الهندسة المبكرة. وكان معروفًا أيضًا أنه مثال على قاعدة عامة مفادها أن أي مثلث حيث يكون طول ضلعين، كل منهما مربع ثم جمعهما معًا (3 ² + 4 ² = 9 + 16 = 25) ، يساوي مربع طول الضلع الثالث (5 ² = 25) ، سيكون أيضًا مثلثًا قائم الزاوية. يُعرف هذا الآن باسم نظرية فيثاغورس ، ويطلق على الثلاثي من الأرقام التي تلبي هذا الشرط اسم ثلاثي فيثاغورس؛ وكلاهما سُمي على اسم فيثاغورس اليوناني القديم . تشمل الأمثلة (3، 4، 5) و (5، 12، 13). هناك عدد لا نهائي من هذه الثلاثيات، ^[19] وقد تمت دراسة طرق توليد مثل هذه الثلاثيات في العديد من الثقافات، بدءًا من البابليين [ ^20] وعلماء الرياضيات اليونانيين والصينيين والهنود القدامى لاحقًا . ^[1] رياضيًا، تعريف الثلاثية الفيثاغورسية هو مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة ( أ ، ب ، ج ) تلبي المعادلة [ ^21]أ ² + ب ² = ج ² .

معادلات ديوفانتاين

معادلة فيرما، x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ مع حلول صحيحة موجبة ، هي مثال على معادلة ديوفانتية ، ^[22] سميت على اسم عالم الرياضيات الإسكندري في القرن الثالث ، ديوفانت ، الذي درسها وطور طرقًا لحل بعض أنواع معادلات ديوفانتية. تتمثل إحدى مشكلات ديوفانتية النموذجية في إيجاد عددين صحيحين x و y بحيث يكون مجموعهما ومجموع مربعيهما مساويًا لعددين معطيين A و B ، على التوالي:

A=x+y

B=x^{2}+y^{2}

العمل الرئيسي لديوفانتوس هو كتاب "الحساب" ، والذي لم يتبق منه سوى جزء. ^[23] استوحى فيرما تخمينه لنظريته الأخيرة أثناء قراءته لطبعة جديدة من كتاب "الحساب" ، ^[24] والتي تُرجمت إلى اللاتينية ونشرها كلود باتشيه في عام 1621. ^[25]^[26]

تمت دراسة معادلات ديوفانتين لآلاف السنين. على سبيل المثال، تُعطى حلول معادلة ديوفانتين التربيعية x ² + y ² = z ² بواسطة ثلاثيات فيثاغورس ، التي حلها البابليون في الأصل ( حوالي 1800 قبل الميلاد ). ^[27] يمكن إيجاد حلول لمعادلات ديوفانتين الخطية، مثل 26 x + 65 y = 13 ، باستخدام خوارزمية إقليدية (حوالي القرن الخامس قبل الميلاد). ^[28] العديد من معادلات ديوفانتين لها شكل مشابه لمعادلة مبرهنة فيرما الأخيرة من وجهة نظر الجبر، حيث لا تحتوي على حدود متقاطعة تخلط بين حرفين، دون مشاركة خصائصها الخاصة. على سبيل المثال، من المعروف أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الصحيحة الموجبة x و y و z بحيث x ⁿ + y ⁿ = z ^m ، حيث n و m أعداد طبيعية أولية نسبيًا . ^{[ملاحظة 2]}

تخمين فيرما

المسألة رقم 8 في طبعة عام 1621 من كتاب " حسابات ديوفانتوس " . على اليمين يوجد الهامش الذي كان صغيرًا جدًا بحيث لا يحتوي على دليل فيرما المزعوم لـ "نظريته الأخيرة".

تطرح المسألة II.8 من كتاب Arithmetica سؤالاً حول كيفية تقسيم عدد مربع معين إلى مربعين آخرين؛ بمعنى آخر، بالنسبة لعدد نسبي معين k ، أوجد الأعداد النسبية u و v بحيث k ² = u ² + v ^2. يوضح ديوفانتوس كيفية حل مسألة مجموع المربعات هذه لـ k = 4 (الحلول هي u = 16/5 و v = 12/5 ). ^[29]

حوالي عام 1637، كتب فيرما نظريته الأخيرة في هامش نسخته من كتاب "الحساب" بجوار مسألة مجموع مربعات ديوفانتوس : ^[30]^[31]^[32]

مكعب Autem في ثنائي مكعبات، Aut Quadratoquadratum في Duos Quadratoquadratos & Generaliter nullam في اللانهائية Ultra Quadratum Potestatem في Duos Eiusdem Nominis Fas est Divider Cuius Rei مظاهرة رائعة عقلانية Detexi. لا يوجد هامش هامشي.

من المستحيل فصل المكعب إلى مكعبين، أو القوة الرابعة إلى قوتين رابعتين، أو بشكل عام، أي قوة أعلى من القوة الثانية، إلى قوتين متماثلتين. لقد اكتشفت دليلاً رائعًا حقًا على ذلك، وهذا الهامش ضيق جدًا بحيث لا يمكن احتواؤه. ^[33]^[34]

بعد وفاة فيرما في عام 1665، أنتج ابنه كليمنت صمويل فيرما طبعة جديدة من الكتاب (1670) معززة بتعليقات والده. ^[35] على الرغم من أنه لم يكن في الواقع نظرية في ذلك الوقت (أي عبارة رياضية يوجد لها دليل )، إلا أن الملاحظة الهامشية أصبحت معروفة بمرور الوقت باسم نظرية فيرما الأخيرة ، ^[30] حيث كانت آخر نظريات فيرما التي ظلت دون إثبات. ^[36]^[37]

ليس من المعروف ما إذا كان فيرما قد وجد بالفعل دليلاً صالحًا لجميع الأسس n ، ولكن يبدو من غير المحتمل ذلك. لم يتبق سوى دليل واحد مرتبط به، وهو للحالة n = 4 ، كما هو موضح في القسم § إثباتات لأسس محددة.

في حين طرح فيرما حالات n = 4 و n = 3 كتحديات لمراسليه الرياضيين، مثل مارين ميرسين وبليز باسكال وجون واليس ، ^[38] إلا أنه لم يطرح الحالة العامة أبدًا. ^[39] علاوة على ذلك، في الثلاثين عامًا الأخيرة من حياته، لم يكتب فيرما مرة أخرى عن "دليله الرائع حقًا" للحالة العامة، ولم ينشره أبدًا. يقترح فان دير بورتن ^[39] أنه في حين أن غياب الدليل غير مهم، فإن عدم وجود تحديات يعني أن فيرما أدرك أنه ليس لديه دليل؛ ويقتبس من ويل ^[40] قوله إن فيرما ربما خدع نفسه لفترة وجيزة بفكرة لا يمكن إصلاحها. التقنيات التي ربما استخدمها فيرما في مثل هذا "الدليل الرائع" غير معروفة.

يعتمد إثبات ويلز وتايلور على تقنيات القرن العشرين. ^[41] كان لابد أن يكون إثبات فيرما ابتدائيًا بالمقارنة، بالنظر إلى المعرفة الرياضية في عصره.

في حين أن التخمين الكبير لهارفي فريدمان يعني أن أي نظرية قابلة للإثبات (بما في ذلك نظرية فيرما الأخيرة) يمكن إثباتها باستخدام " حساب الدالة الأولية " فقط، فإن مثل هذا الإثبات يجب أن يكون "أوليًا" فقط بالمعنى الفني ويمكن أن يتضمن ملايين الخطوات، وبالتالي يكون طويلاً للغاية ليكون دليلاً لفيرما.

إثباتات لأسس محددة

نزول فيرما اللانهائي لحالة نظرية فيرما الأخيرة n=4 في طبعة عام 1670 من كتاب حسابيات ديوفانتوس ( ص 338-339).

الأس = 4

لقد نجا دليل واحد فقط ذو صلة من فيرما ، حيث استخدم فيه تقنية النزول اللانهائي لإظهار أن مساحة المثلث القائم الذي يحتوي على أضلاع صحيحة لا يمكن أن تساوي مربع عدد صحيح. ^[42]^[43]^[44] إن دليله يعادل إثبات أن المعادلة

x^{4}-y^{4}=z^{2}

لا يوجد له حلول أولية في الأعداد الصحيحة (لا توجد حلول أولية زوجية ). وهذا بدوره يثبت نظرية فيرما الأخيرة للحالة n = 4 ، حيث يمكن كتابة المعادلة a ⁴ + b ⁴ = c ^{4 على النحو التالي}c ⁴ − b ⁴ = ( a ² ) ² .

تم تطوير البراهين البديلة للحالة n = 4 لاحقًا ^[45] بواسطة فرينيكل دي بيسي (1676)، ^[46] ليونارد أويلر (1738)، ^[47] كاوسلر (1802)، ^[48] بيتر بارلو (1811)، ^{[49] ]} أدريان ماري ليجيندر (1830)، ^[50] شوبيس (1825)، ^[51] أولري تيركم (1846)، ^[52] جوزيف برتراند (1851)، ^[53] فيكتور ليبيغ (1853، 1859، 1862)، ^[54] تيوفيل بيبين (1883)، ^[55] تافيلماخر (1893)، ^[56] ديفيد هيلبرت (1897) )، ^[57] بيندز (1901)، ^[58] غامبيولي (1901)، ^[59] ليوبولد كرونيكر (1901)، ^[60] بانغ (1905)، ^[61] سومر (1907)، ^[62] بوتاري (1908)، ^[63] كاريل ريشليك (1910)، ^[64] نوتزهورن (1912)، ^[65] روبرت كارمايكل (1913)، ^[66] هانكوك (1931)، ^[67] جورجي فرنسينو (1966)، ^[68] جرانت وبيريلا (1999)، ^[69] باربرا (2007)، ^[70] ودولان (2011). ^[71]

الأسس الأخرى

بعد أن أثبت فيرما الحالة الخاصة n = 4 ، فإن الإثبات العام لجميع n يتطلب فقط إثبات النظرية لجميع الأسس الأولية الفردية. ^[72] بعبارة أخرى، كان من الضروري إثبات أن المعادلة a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ ليس لها حلول صحيحة موجبة ( a , b , c ) عندما يكون n عددًا أوليًا فرديًا . يتبع هذا لأن الحل ( a , b , c ) لـ n معين يعادل حلًا لجميع عوامل n . على سبيل المثال، دع n يُحلل إلى d و e و n = de . المعادلة العامة

أ ^ن + ب ^ن = ج ^ن

يعني أن ( أ ^د ، ب ^د ، ج ^د ) هو حل للأس هـ

( أ ^د ) ^هـ + ( ب ^د ) ^هـ = ( ج ^د ) ^هـ .

وبالتالي، لإثبات أن معادلة فيرما ليس لها حلول لـ n > 2 ، يكفي إثبات أنها ليس لها حلول لعامل أولي واحد على الأقل لكل n . كل عدد صحيح n > 2 قابل للقسمة على 4 أو على عدد أولي فردي (أو كليهما). وبالتالي، يمكن إثبات مبرهنة فيرما الأخيرة لجميع n إذا كان من الممكن إثباتها لـ n = 4 ولجميع الأعداد الأولية الفردية p .

في القرنين التاليين لتخمينها (1637-1839)، تم إثبات مبرهنة فيرما الأخيرة لثلاثة أسس أولية فردية p = 3 و5 و7. تم ذكر الحالة p = 3 لأول مرة من قبل أبو محمود الخوجندي (القرن العاشر)، لكن محاولته لإثبات النظرية كانت غير صحيحة. ^[73]^[74] في عام 1770، قدم ليونهارد أويلر إثباتًا لـ p = 3، ^[75] لكن إثباته بالنزول اللانهائي ^[76] احتوى على فجوة كبيرة. ^[77]^{[78] [}^79] ومع ذلك، نظرًا لأن أويلر نفسه أثبت المبرهنة اللازمة لإكمال الإثبات في عمل آخر، فإنه يُنسب إليه عمومًا الفضل في أول إثبات. ^[44]^[80]^[81] تم نشر البراهين المستقلة ^[82] بواسطة كاوسلر (1802)، ^[48] ليجيندر (1823، 1830)، ^[50]^[83] كالزولاري (1855)، ^[84] غابرييل لامي (1865)، ^[85] بيتر جوثري تيت (1872)، ^[86] سيغموند غونتر (1878)، ^[87] غامبيولي (1901)، ^[59] كري (1909)، ^[88] ريشليك (1910)، ^[64] ستوكهاوس (1910)، ^[89] كارمايكل (1915)، ^[90] يوهانس فان دير كوربوت (1915)، ^[91] أكسل ثيو (1917)، ^[92] ودوارتي (1944). ^[93]

تم إثبات الحالة p = 5 ^[94] بشكل مستقل بواسطة ليجيندر وبيتر جوستاف ليجون ديريشليت حوالي عام 1825. ^[95]^[96]^[44]^[97] تم تطوير البراهين البديلة ^[98] بواسطة كارل فريدريش غاوس (1875، بعد وفاته)، ^[99] ليبيغي (1843)، ^[100] لامي (1847)، ^[101] غامبيولي (1901)، ^[59]^[102] ويريبروسو (1905)، ^[103]^{[ بحاجة لمصدر كامل ]} ريتشليك (1910)، ^[104]^{[ مشكوك فيه – ناقش ]}^{[ بحاجة لمصدر كامل ]} فان دير كوربوت (1915)، ^{[91] ]} وغي تيرجانيان (1987). ^[105]

تم إثبات الحالة p = 7 ^[106]^[107]^[44]^[97] بواسطة لاميه في عام 1839. ^[108] تم تبسيط إثباته المعقد إلى حد ما في عام 1840 بواسطة ليبيج، ^[109] ونشر أنجيلو جينوتشي إثباتات أبسط ^[110] في أعوام 1864 و1874 و1876. ^[111] تم تطوير إثباتات بديلة بواسطة ثيوفيل بيبين (1876) ^[112] وإدموند مايليت (1897). ^[113]

تم إثبات نظرية فيرما الأخيرة أيضًا للأسس n = 6 و10 و14. تم نشر البراهين لـ n = 6 بواسطة Kausler و ^[48] Thue و ^[114] Tafelmacher و ^[115] Lind و ^[116] Kapferer و ^[117] Swift و ^[118] وBreusch. ^[119] وبالمثل، أثبت Dirichlet ^[120] وTerjanian ^[121] كل منهما الحالة n = 14، بينما أثبت Kapferer ^[117] وBreusch ^[119] كل منهما الحالة n = 10. بالمعنى الدقيق للكلمة، هذه البراهين غير ضرورية، لأن هذه الحالات تتبع البراهين لـ n = 3 و5 و7 على التوالي. ومع ذلك، فإن منطق هذه البراهين ذات الأسس الزوجية يختلف عن نظيراتها ذات الأسس الفردية. نُشر دليل دي ريتشليت لـ n = 14 في عام 1832، قبل دليل لاميه عام 1839 لـ n = 7. [ ^122]

استخدمت جميع البراهين الخاصة بالأسس المحددة تقنية فيرما للنزول اللانهائي ، ^{[ بحاجة لمصدر ]} إما في شكلها الأصلي، أو في شكل نزول على المنحنيات الإهليلجية أو الأصناف الإبيلية. ومع ذلك، كانت التفاصيل والحجج المساعدة في كثير من الأحيان مخصصة ومرتبطة بالأس الفردي قيد النظر. ^[123] نظرًا لأنها أصبحت أكثر تعقيدًا مع زيادة p ، بدا من غير المحتمل أن يتم إثبات الحالة العامة لنظرية فيرما الأخيرة من خلال البناء على البراهين الخاصة بالأسس الفردية. ^[123] على الرغم من نشر بعض النتائج العامة حول نظرية فيرما الأخيرة في أوائل القرن التاسع عشر بواسطة نيلز هنريك آبل وبيتر بارلو ، ^[124]^{[125] إلا} أن أول عمل مهم حول النظرية العامة قامت به صوفي جيرمان . ^[126]

الاختراقات الحديثة المبكرة

صوفي جيرمان

في أوائل القرن التاسع عشر، طورت صوفي جيرمان عدة طرق جديدة لإثبات مبرهنة فيرما الأخيرة لجميع الأسس. ^[127] أولاً، قامت بتعريف مجموعة من الأعداد الأولية المساعدة θ التي تم إنشاؤها من الأس الأولي p بالمعادلة θ = 2 hp + 1 ، حيث h هو أي عدد صحيح غير قابل للقسمة على ثلاثة. وأظهرت أنه إذا لم يكن هناك أعداد صحيحة مرفوعة للقوة p متجاورة modulo θ ( شرط عدم التتالي )، فيجب أن يقسم θ حاصل الضرب xyz . كان هدفها استخدام الاستدلال الرياضي لإثبات أنه بالنسبة لأي p معين ، فإن عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية المساعدة θ يلبي شرط عدم التتالي وبالتالي يقسم xyz ؛ نظرًا لأن حاصل الضرب xyz يمكن أن يحتوي على عدد محدود من العوامل الأولية، فإن مثل هذا الإثبات كان سيثبت مبرهنة فيرما الأخيرة. على الرغم من أنها طورت العديد من التقنيات لتحديد شرط عدم التتابع، إلا أنها لم تنجح في هدفها الاستراتيجي. كما عملت على وضع حدود أدنى لحجم الحلول لمعادلة فيرما لأس معين p ، وقد نشر أدريان ماري ليجاندر نسخة معدلة منها . وكنتيجة ثانوية لهذا العمل الأخير، أثبتت نظرية صوفي جيرمان ، والتي أكدت الحالة الأولى لنظرية فيرما الأخيرة (أي الحالة التي لا يقسم فيها p xyz ) لكل أس أولي فردي أقل من 270، ^[127]^[128] ولجميع الأعداد الأولية p بحيث يكون واحد على الأقل من 2 p + 1 و 4 p + 1 و 8 p + 1 و 10 p + 1 و 14 p + 1 و 16 p + 1 أوليًا (خاصة، تسمى الأعداد الأولية p بحيث يكون 2 p + 1 أوليًا أعداد صوفي جيرمان الأولية ). حاول جيرمان دون جدوى إثبات الحالة الأولى لنظرية فيرما الأخيرة لجميع الأسس الزوجية، وتحديدًا بالنسبة لـ n = 2 p ، والتي أثبتها جاي تيرجانيان في عام 1977. ^[129] في عام 1985، ليونارد أدلمان وروجر هيث براون وإتيان فوفريأثبت أن الحالة الأولى لنظرية فيرما الأخيرة تنطبق على عدد لا نهائي من الأعداد الأولية الفردية p . ^[130]

إرنست كومر ونظرية المثل العليا

في عام 1847، وضع غابرييل لامي دليلاً لنظرية فيرما الأخيرة بناءً على تحليل المعادلة $x p + y p = z p إلى$ عوامل في الأعداد المركبة ، وتحديدًا المجال الدائري الذري بناءً على جذور الرقم 1. ومع ذلك، فشل دليله لأنه افترض بشكل غير صحيح أن مثل هذه الأعداد المركبة يمكن تحليلها بشكل فريد إلى أعداد أولية، على غرار الأعداد الصحيحة. وقد أشار جوزيف ليوفيل إلى هذه الفجوة على الفور ، حيث قرأ لاحقًا ورقة بحثية أثبتت فشل التحليل الفريد إلى عوامل، كتبها إرنست كومر .

وضع كومر لنفسه مهمة تحديد ما إذا كان من الممكن تعميم المجال الدائري ليشمل أعدادًا أولية جديدة بحيث يتم استعادة التحليل إلى عوامل فريدة. وقد نجح في هذه المهمة من خلال تطوير الأعداد المثالية .

(غالبًا ما يُقال إن كومر قد قاده اهتمامه بنظرية فيرما الأخيرة إلى "الأعداد المركبة المثالية"؛ بل إن هناك قصة تُروى غالبًا مفادها أن كومر، مثل لامي ، اعتقد أنه أثبت نظرية فيرما الأخيرة حتى أخبره لوجون دي ريتشليه أن حجته تعتمد على التحليل إلى عوامل فريدة؛ لكن القصة رواها كورت هينزل لأول مرة في عام 1910 وتشير الأدلة إلى أنها نابعة على الأرجح من ارتباك من أحد مصادر هينزل. قال هارولد إدواردز إن الاعتقاد بأن كومر كان مهتمًا بشكل أساسي بنظرية فيرما الأخيرة "خاطئ بالتأكيد". ^[131] انظر تاريخ الأعداد المثالية .)

باستخدام النهج العام الذي حدده لامي، أثبت كومر كلتا حالتي مبرهنة فيرما الأخيرة لجميع الأعداد الأولية المنتظمة . ومع ذلك، لم يتمكن من إثبات المبرهنة للأعداد الأولية الاستثنائية (الأعداد الأولية غير المنتظمة) التي تحدث افتراضيًا بنسبة 39% تقريبًا من الوقت ؛ الأعداد الأولية غير المنتظمة الوحيدة التي تقل عن 270 هي 37 و59 و67 و101 و103 و131 و149 و157 و233 و257 و263.

تخمين مورديل

في عشرينيات القرن العشرين، طرح لويس مورديل تخمينًا يشير إلى أن معادلة فيرما تحتوي على عدد محدود على الأكثر من حلول الأعداد الصحيحة البدائية غير التافهة، إذا كان الأس n أكبر من اثنين. ^[132]^{[133] وقد أثبت}جيرارد فالتينجز هذا التخمين في عام 1983 ، ^[134] وهو معروف الآن باسم نظرية فالتينجز .

الدراسات الحسابية

في النصف الأخير من القرن العشرين، استُخدمت الأساليب الحسابية لتوسيع نهج كومر للأعداد الأولية غير المنتظمة. في عام 1954، استخدم هاري فانديفر حاسوب SWAC لإثبات نظرية فيرما الأخيرة لجميع الأعداد الأولية حتى 2521. ^[135] وبحلول عام 1978، قام صامويل واجستاف بتوسيع هذه النظرية لتشمل جميع الأعداد الأولية التي تقل عن 125000. ^[136] وبحلول عام 1993، تم إثبات نظرية فيرما الأخيرة لجميع الأعداد الأولية التي تقل عن أربعة ملايين. ^[5]

ومع ذلك، وعلى الرغم من هذه الجهود ونتائجها، لم يكن هناك دليل على نظرية فيرما الأخيرة. إن إثباتات الأسس الفردية بطبيعتها لا يمكنها أبدًا إثبات الحالة العامة : حتى لو تم التحقق من صحة جميع الأسس حتى رقم كبير للغاية X، فقد يظل هناك أس أعلى من X لا يكون الادعاء صحيحًا بشأنه. (كانت هذه هي الحال مع بعض التخمينات السابقة الأخرى، مثل رقم سكيويس ، ولا يمكن استبعادها في هذا التخمين.)

الارتباط بالمنحنيات الإهليلجية

نشأت الإستراتيجية التي أدت في النهاية إلى إثبات ناجح لنظرية فيرما الأخيرة من " تخمين تانياما-شيمورا-ويل " "المذهل" ^[137]^{: 211} ، المقترح حوالي عام 1955 - والذي اعتقد العديد من علماء الرياضيات أنه من المستحيل تقريبًا إثباته، ^[137]^{: 223} وربطه في الثمانينيات جيرهارد فراي وجان بيير سير وكين ريبيت بمعادلة فيرما. من خلال إنجاز إثبات جزئي لهذا التخمين في عام 1994، نجح أندرو وايلز في النهاية في إثبات نظرية فيرما الأخيرة، بالإضافة إلى تمهيد الطريق لإثبات كامل من قبل آخرين لما يُعرف الآن باسم نظرية الوحدات النمطية .

تخمين تانياما-شيمورا-ويل

حوالي عام 1955، لاحظ عالما الرياضيات اليابانيان جورو شيمورا ويوتاكا تانياما ارتباطًا محتملًا بين فرعين مختلفين تمامًا من الرياضيات، المنحنيات الإهليلجية والأشكال المعيارية . تنص نظرية النمطية الناتجة (المعروفة في ذلك الوقت باسم تخمين تانياما-شيمورا) على أن كل منحنى إهليلجي هو نمطي ، مما يعني أنه يمكن ربطه بشكل نمطي فريد .

تم رفض الرابط في البداية باعتباره غير محتمل أو تخميني للغاية، ولكن تم أخذه على محمل الجد عندما وجد عالم الأعداد أندريه ويل أدلة تدعمه، على الرغم من عدم إثباته؛ ونتيجة لذلك، غالبًا ما عُرف التخمين باسم تخمين تانياما-شيمورا-ويل. ^[137]^{: 211–215}

حتى بعد اكتساب الاهتمام الجاد، اعتبر علماء الرياضيات المعاصرون أن التخمين صعب للغاية أو ربما لا يمكن إثباته. ^[137]^{: 203-205، 223، 226} على سبيل المثال، صرح جون كوتس ، المشرف على الدكتوراه لويلز، أنه "يبدو من المستحيل إثباته فعليًا"، ^[137]^{: 226} واعتبر كين ريبيت نفسه "واحدًا من الغالبية العظمى من الأشخاص الذين يعتقدون أنه من المستحيل إثباته تمامًا"، مضيفًا أن "أندرو ويلز ربما كان واحدًا من الأشخاص القلائل على وجه الأرض الذين لديهم الجرأة ليحلموا بأنه يمكنك الذهاب وإثباته بالفعل". ^[137]^{: 223}

نظرية ريبيت لمنحنيات فراي

في عام 1984، لاحظ جيرهارد فراي وجود رابط بين معادلة فيرما ونظرية الوحدات النمطية، والتي كانت لا تزال في ذلك الوقت مجرد تخمين. إذا كانت معادلة فيرما تحتوي على أي حل ( أ ، ب ، ج ) للأس p > 2 ، فيمكن إظهار أن المنحنى الإهليلجي شبه المستقر (المعروف الآن باسم Frey-Hellegouarch ^{[ملاحظة 3]} )

ي ² = س ( س − أ ^ص )( س + ب ^ص )

سيكون له خصائص غير عادية لدرجة أنه من غير المرجح أن يكون معياريًا. ^[138] وهذا من شأنه أن يتعارض مع نظرية المعيارية، التي أكدت أن جميع المنحنيات الإهليلجية معيارية. وعلى هذا النحو، لاحظ فراي أن إثبات تخمين تانياما-شيمورا-ويل قد يثبت أيضًا في نفس الوقت مبرهنة فيرما الأخيرة. ^[139]^[140] من خلال التضاد ، فإن دحض أو تفنيد مبرهنة فيرما الأخيرة من شأنه أن يدحض تخمين تانياما-شيمورا-ويل.

وببساطة، أظهر فراي أنه إذا كانت حدسه حول معادلته صحيحة، فإن أي مجموعة من أربعة أرقام ( أ ، ب ، ج ، ن ) قادرة على دحض مبرهنة فيرما الأخيرة، يمكن استخدامها أيضًا لدحض تخمين تانياما-شيمورا-ويل. وبالتالي، إذا كان الأخير صحيحًا، فلا يمكن دحض الأول، ويجب أن يكون صحيحًا أيضًا.

باتباع هذه الاستراتيجية، تطلب إثبات نظرية فيرما الأخيرة خطوتين. أولاً، كان من الضروري إثبات نظرية الوحدات النمطية، أو على الأقل إثباتها لأنواع المنحنيات الإهليلجية التي تضمنت معادلة فراي (المعروفة باسم المنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة ). كان يُعتقد على نطاق واسع أنه من غير الممكن إثبات ذلك من قبل علماء الرياضيات المعاصرين. ^[137]^{: 203-205، 223، 226} ثانيًا، كان من الضروري إظهار أن حدس فراي كان صحيحًا: إذا تم إنشاء منحنى إهليلجي بهذه الطريقة، باستخدام مجموعة من الأرقام التي كانت حلاً لمعادلة فيرما، فإن المنحنى الإهليلجي الناتج لا يمكن أن يكون معياريًا. أظهر فراي أن هذا معقول لكنه لم يصل إلى حد تقديم دليل كامل. تم تحديد القطعة المفقودة (ما يسمى " تخمين إبسيلون "، والمعروف الآن باسم نظرية ريبيت ) بواسطة جان بيير سير الذي قدم أيضًا دليلاً شبه كامل وتم إثبات الرابط الذي اقترحه فراي أخيرًا في عام 1986 بواسطة كين ريبيت . ^[141]

وبناءً على عمل فراي، وسير، وريبيت، وصلت الأمور إلى هذا الحد:

كان من الضروري إثبات نظرية فيرما الأخيرة لجميع الأسس n التي كانت أعدادًا أولية.
نظرية الوحدات النمطية - إذا تم إثباتها لمنحنيات إهليلجية شبه مستقرة - تعني أن جميع المنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة يجب أن تكون وحدات نمطية.
أظهرت نظرية ريبيت أن أي حل لمعادلة فيرما لعدد أولي يمكن استخدامه لإنشاء منحنى إهليلجي شبه مستقر لا يمكن أن يكون معياريًا؛
الطريقة الوحيدة التي يمكن أن تكون بها هاتان العبارتان صحيحة، هي إذا لم تكن هناك حلول لمعادلة فيرما (لأنه في هذه الحالة لن يكون من الممكن إنشاء مثل هذا المنحنى)، وهو ما قالته نظرية فيرما الأخيرة. وبما أن نظرية ريبيت قد تم إثباتها بالفعل، فهذا يعني أن إثبات نظرية الوحدات النمطية سيثبت تلقائيًا أن نظرية فيرما الأخيرة صحيحة أيضًا.

دليل ويلز العام

حقق إثبات ريبيت لتخمين إبسيلون في عام 1986 الهدف الأول من الهدفين اللذين اقترحهما فراي. بعد سماع نجاح ريبيت، قرر أندرو وايلز ، وهو عالم رياضيات إنجليزي كان مفتونًا منذ الطفولة بنظرية فيرما الأخيرة، والذي عمل على المنحنيات الإهليلجية، أن يكرس نفسه لإنجاز النصف الثاني: إثبات حالة خاصة من نظرية الوحدات النمطية (المعروفة آنذاك باسم تخمين تانياما-شيمورا) للمنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة. ^[142]^[143]

عمل وايلز على هذه المهمة لمدة ست سنوات في سرية شبه كاملة، وغطى جهوده من خلال إصدار أعمال سابقة في أجزاء صغيرة كأوراق منفصلة والاطلاع على تفاصيلها فقط مع زوجته. [ ^137]^{: 229–230} اقترحت دراسته الأولية الإثبات بالاستقراء ، ^[137]^{: 230–232، 249–252} واستند في عمله الأولي واختراقه الكبير الأول على نظرية جالوا ^[137]^{: 251–253، 259} قبل التحول إلى محاولة لتوسيع نظرية إيواساوا الأفقية للحجة الاستقرائية حوالي عام 1990-1991 عندما بدا أنه لا يوجد نهج قائم مناسب للمشكلة. ^[137]^{: 258–259} ومع ذلك، بحلول منتصف عام 1991، بدا أن نظرية إيواساوا أيضًا لم تصل إلى القضايا المركزية في المشكلة. ^[137]^{: 259–260}^[144]^[145] ردًا على ذلك، اتصل بزملاء للبحث عن أي تلميحات لأبحاث متطورة وتقنيات جديدة، واكتشف نظام أويلر الذي طوره مؤخرًا فيكتور كوليفاجين وماتياس فلاش والذي بدا "مصممًا خصيصًا" للجزء الاستقرائي من إثباته. ^[137]^{: 260–261} درس وايلز هذا النهج ووسعه، والذي نجح. نظرًا لأن عمله اعتمد بشكل كبير على هذا النهج، الذي كان جديدًا على الرياضيات وعلى وايلز، فقد طلب في يناير 1993 من زميله في جامعة برينستون، نيك كاتز ، مساعدته في التحقق من منطقه بحثًا عن أخطاء دقيقة. كان استنتاجهم في ذلك الوقت أن التقنيات التي استخدمها وايلز بدت تعمل بشكل صحيح. ^[137]^{: 261–265}^[146]^[147]

بحلول منتصف مايو 1993، كان ويلز مستعدًا لإخبار زوجته أنه يعتقد أنه حل إثبات مبرهنة فيرما الأخيرة، ^[137]^{: 265} وبحلول يونيو شعر بالثقة الكافية لتقديم نتائجه في ثلاث محاضرات ألقيت في الفترة من 21 إلى 23 يونيو 1993 في معهد إسحاق نيوتن للعلوم الرياضية . ^[148]^[149] على وجه التحديد، قدم ويلز دليله على تخمين تانياما-شيمورا للمنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة؛ جنبًا إلى جنب مع دليل ريبيت على تخمين إبسيلون، فإن هذا يعني مبرهنة فيرما الأخيرة. ومع ذلك، أصبح من الواضح أثناء مراجعة الأقران أن نقطة حرجة في الإثبات كانت غير صحيحة. فقد احتوت على خطأ في حد من رتبة مجموعة معينة . تم اكتشاف الخطأ من قبل العديد من علماء الرياضيات الذين قاموا بتحكيم مخطوطة ويلز بما في ذلك كاتز (في دوره كمراجع)، ^[150] الذي نبه ويلز في 23 أغسطس 1993. ^[151]

لم يكن الخطأ ليجعل عمله بلا قيمة: كان كل جزء من عمل ويلز مهمًا للغاية ومبتكرًا في حد ذاته، كما كانت التطورات والتقنيات العديدة التي ابتكرها في سياق عمله، ولم يتأثر سوى جزء واحد. ^[137]^{: 289، 296-297} ومع ذلك، بدون إثبات هذا الجزء، لم يكن هناك دليل فعلي على نظرية فيرما الأخيرة. أمضى ويلز ما يقرب من عام في محاولة إصلاح دليله، في البداية بنفسه ثم بالتعاون مع طالبه السابق ريتشارد تايلور ، دون جدوى. ^[152]^[153]^[154] بحلول نهاية عام 1993، انتشرت شائعات مفادها أنه تحت التدقيق، فشل دليل ويلز، ولكن لم يكن معروفًا مدى خطورة ذلك. بدأ علماء الرياضيات في الضغط على ويلز للكشف عن عمله سواء كان مكتملًا أم لا، حتى يتمكن المجتمع الأوسع من استكشاف واستخدام كل ما تمكن من إنجازه. ولكن بدلاً من إصلاح المشكلة التي بدت في البداية بسيطة، أصبحت الآن ذات أهمية بالغة، وأكثر خطورة، وأقل سهولة في الحل. ^[155]

يذكر ويلز أنه في صباح يوم 19 سبتمبر 1994، كان على وشك الاستسلام وكان على وشك الاستسلام لقبول فشله، ونشر عمله حتى يتمكن الآخرون من البناء عليه وإصلاح الخطأ. ويضيف أنه كان يلقي نظرة أخيرة لمحاولة فهم الأسباب الأساسية التي تجعل نهجه غير قابل للنجاح، عندما توصل إلى فكرة مفاجئة: أن السبب المحدد لعدم نجاح نهج كوليفاجين-فلاش بشكل مباشر يعني أيضًا أن محاولاته الأصلية باستخدام نظرية إيواساوا يمكن أن تنجح، إذا عززها باستخدام خبرته المكتسبة من نهج كوليفاجين-فلاش. إن إصلاح نهج واحد بأدوات من النهج الآخر من شأنه أن يحل المشكلة لجميع الحالات التي لم تثبت بالفعل من خلال ورقته المحكمة. ^[152]^[156] وصف لاحقًا أن نظرية إيواساوا ونهج كوليفاجين-فلاش كانا غير كافيين بمفردهما، ولكن معًا يمكن جعلهما قويين بما يكفي للتغلب على هذه العقبة الأخيرة. ^[152]

كنت جالساً على مكتبي أتفحص طريقة كوليفاجين-فلاش. لم أكن أعتقد أنني أستطيع أن أجعلها تنجح، بل كنت أعتقد أنني أستطيع على الأقل أن أشرح لماذا لم تنجح. وفجأة أدركت هذا الاكتشاف المذهل. أدركت أن طريقة كوليفاجين-فلاش لم تكن تنجح، لكنها كانت كل ما أحتاجه لجعل نظريتي الأصلية التي طرحتها قبل ثلاث سنوات تنجح. لذا بدا وكأن الإجابة الحقيقية للمشكلة قد نشأت من رماد كوليفاجين-فلاش. كانت الإجابة جميلة بشكل لا يوصف؛ كانت بسيطة وأنيقة للغاية. لم أستطع أن أفهم كيف فاتني الأمر، فحدقت فيها في ذهول لمدة عشرين دقيقة. ثم أثناء النهار كنت أتجول في القسم، وكنت أعود إلى مكتبي لأرى ما إذا كانت لا تزال هناك. كانت لا تزال هناك. لم أستطع أن أكبح جماح نفسي، كنت متحمساً للغاية. كانت تلك اللحظة هي الأهم في حياتي العملية. لن يكون لأي شيء أفعله مرة أخرى نفس الأهمية.
— أندرو وايلز، نقلاً عن سيمون سينغ ^[157]

في 24 أكتوبر 1994، قدم ويلز مخطوطتين، "المنحنيات الإهليلجية المعيارية ومبرهنة فيرما الأخيرة" ^[158]^[159] و"الخصائص النظرية الحلقية لبعض جبر هيك"، ^[160] وقد شارك تايلور في تأليف المخطوطة الثانية وأثبتت استيفاء شروط معينة كانت ضرورية لتبرير الخطوة المصححة في الورقة الرئيسية. تم فحص الورقتين ونشرهما كملف كامل لعدد مايو 1995 من حوليات الرياضيات . كانت طريقة الإثبات لتحديد حلقة التشوه باستخدام جبر هيك (يشار إليه الآن باسم نظرية R = T ) لإثبات نظريات رفع الوحدات تطورًا مؤثرًا في نظرية الأعداد الجبرية .

أسست هذه الأوراق نظرية النمطية للمنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة، وهي الخطوة الأخيرة في إثبات نظرية فيرما الأخيرة، بعد 358 عامًا من تخمينها.

التطورات اللاحقة

تم إثبات تخمين تانياما-شيمورا-ويل بالكامل أخيرًا بواسطة دايموند (1996)، ^[10] وكونراد وآخرون (1999)، ^[11] وبريويل وآخرون (2001) ^[12]، الذين بناءً على عمل وايلز، قاموا تدريجيًا بإزالة الحالات المتبقية حتى تم إثبات النتيجة الكاملة. أصبح التخمين الذي تم إثباته بالكامل الآن معروفًا باسم نظرية الوحدات النمطية .

تنبع العديد من النظريات الأخرى في نظرية الأعداد المشابهة لنظرية فيرما الأخيرة من نفس المنطق، باستخدام نظرية الوحدات النمطية. على سبيل المثال: لا يمكن كتابة أي مكعب كمجموع عددين أوليين مشتركين من القوى n ، n ≥ 3. (كانت الحالة n = 3 معروفة بالفعل من قبل أويلر .)

العلاقة مع المشاكل الأخرى والتعميمات

تتناول مبرهنة فيرما الأخيرة حلول معادلة فيرما: $أ ن + ب ن = ج ن$ مع الأعداد الصحيحة الموجبة $أ$ ، $ب$ ، $ج$ وعدد صحيح $ن$ أكبر من 2. هناك عدة تعميمات لمعادلة فيرما لمعادلات أكثر عمومية تسمح للأس $ن$ بأن يكون عددًا صحيحًا سالبًا أو كسريًا، أو أن تأخذ في الاعتبار ثلاثة أسس مختلفة.

معادلة فيرما المعممة

تعمم معادلة فيرما المعممة بيان نظرية فيرما الأخيرة من خلال النظر في حلول الأعداد الصحيحة الموجبة a ، b ، c ، m ، n ، k التي تحقق ^[161]

أ^{م}+ب^{ن}=ج^{ك}

1

على وجه الخصوص، ليس من الضروري أن تكون الأسس m ، n ، k متساوية، في حين أن نظرية فيرما الأخيرة تعتبر الحالة $m = n = k .$

تنص تخمينة بيل ، المعروفة أيضًا باسم تخمين مولدين ^[162] وتخمين تيجدمان-زاجير، ^[163]^[164]^[165] على أنه لا توجد حلول لمعادلة فيرما المعممة في الأعداد الصحيحة الموجبة a و b و c و m و n و k مع كون a و b و c أعدادًا أولية زوجية مشتركة وجميع m و n و k أكبر من 2. ^[166]

يعمم تخمين فيرما -كاتالان نظرية فيرما الأخيرة بأفكار التخمين الكاتالاني . ^[167]^[168] ينص التخمين على أن معادلة فيرما المعممة لها عدد محدود فقط من الحلول ( a ، b ، c ، m ، n ، k ) مع ثلاثيات مميزة من القيم ( a ^m ، b ⁿ ، c ^k )، حيث a ، b ، c هي أعداد صحيحة أولية موجبة و m ، n ، k هي أعداد صحيحة موجبة تحقق الشرط

{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.

2

تتعلق العبارة بحدودية مجموعة الحلول لأن هناك 10 حلول معروفة . ^[161]

معادلة فيرما العكسية

عندما نسمح للأس $n$ بأن يكون معكوسًا لعدد صحيح، أي $n = 1/ m$ لبعض الأعداد الصحيحة $m$ ، لدينا معادلة فيرما العكسية a ^{1/ m} + b ^{1/ m} = c ^{1/ m} . تم حساب جميع حلول هذه المعادلة بواسطة Hendrik Lenstra في عام 1992. ^[169] في الحالة التي يكون فيها مطلوبًا أن تكون الجذور m حقيقية وموجبة، يتم إعطاء جميع الحلول بواسطة ^[170]

a=rs^{m}

b=rt^{m}

c=r(s+t)^{m}

للأعداد الصحيحة الموجبة r و s و t مع s و t أولية مشتركة.

الأسس النسبية

بالنسبة لمعادلة ديوفانتين a ^{n / m} + b ^{n / m} = c ^{n / m} حيث n لا يساوي 1، أثبت بينيت وجلاس وسيكيلي في عام 2004 لـ n > 2 ، أنه إذا كان n و m عددين أوليين مشتركين، فستكون هناك حلول صحيحة إذا وفقط إذا كان 6 يقسم m ، و a ^{1/ m} و b ^{1/ m} و c ^{1/ m} جذور سادسة مركبة مختلفة لنفس العدد الحقيقي. ^[171]

أسس عدد صحيح سالب

ن= −1

يمكن كتابة جميع الحلول الصحيحة الأولية (أي تلك التي لا تحتوي على عامل أولي مشترك بين جميع a و b و c ) للمعادلة البصرية a ⁻¹ + b ⁻¹ = c ⁻¹^{على النحو التالي [172]}

أ=مك+م^2},

b=mk+k^{2},

c=mk

للأعداد الصحيحة الموجبة الأولية m و k .

ن= −2

الحالة n = −2 لها أيضًا عدد لا نهائي من الحلول، ولها تفسير هندسي من حيث المثلثات القائمة ذات الأضلاع الصحيحة والارتفاع الصحيح إلى الوتر . ^[173]^[174] جميع الحلول الأولية لـ a ⁻² + b ⁻² = d ⁻² تعطى بواسطة

a=(v^{2}-u^{2})(v^{2}+u^{2}),

b=2uv(v^{2}+u^{2}),

d=2uv(v^{2}-u^{2}),

بالنسبة للأعداد الصحيحة الأولية المشتركة u و v حيث v > u . التفسير الهندسي هو أن a و b هما الضلعان الصحيحان للمثلث القائم و d هو الارتفاع الصحيح للوتر. عندئذٍ يكون الوتر نفسه هو العدد الصحيح

c=(v^{2}+u^{2})^{2},

لذلك ( أ ، ب ، ج ) هي ثلاثية فيثاغورسية .

ن< −2

لا توجد حلول في الأعداد الصحيحة لـ a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ للأعداد الصحيحة n < −2 . إذا كانت هناك حلول، فيمكن ضرب المعادلة في a ^{| n |}b ^{| n |}c ^{| n |} للحصول على ( bc ) ^{| n |} + ( ac ) ^{| n |} = ( ab ) ^{| n |} ، وهو أمر مستحيل وفقًا لنظرية فيرما الأخيرة.

تخمين أ ب ج

تنص تخمينة abc تقريبًا على أنه إذا كانت ثلاثة أعداد صحيحة موجبة a و b و c (ومن هنا جاءت تسميتها) أولية مشتركة وتحقق a + b = c ، فإن الجذر d لـ abc لا يكون عادةً أصغر كثيرًا من c . وعلى وجه الخصوص، فإن تخمينة abc في صيغتها الأكثر شيوعًا تعني نظرية فيرما الأخيرة لـ n التي تكون كبيرة بدرجة كافية. ^[175]^[176]^[177] تخمين Szpiro المعدل يعادل تخمين abc وبالتالي له نفس التأثير. ^[178]^[177] إن النسخة الفعالة من تخمين abc، أو النسخة الفعالة من تخمين Szpiro المعدل، تعني نظرية فيرما الأخيرة بشكل مباشر. ^[177]

جوائز وإثباتات غير صحيحة

في عام 1816، ومرة أخرى في عام 1850، عرضت الأكاديمية الفرنسية للعلوم جائزة لإثبات عام لنظرية فيرما الأخيرة. ^[179]^[180] في عام 1857، منحت الأكاديمية 3000 فرنك وميدالية ذهبية لكومر لأبحاثه حول الأعداد المثالية، على الرغم من أنه لم يقدم طلبًا للحصول على الجائزة. ^[179] كما عرضت أكاديمية بروكسل جائزة أخرى في عام 1883. ^[181]

في عام 1908، أوصى الصناعي الألماني وعالم الرياضيات الهاوي بول وولفسكيل بمبلغ 100000 مارك ذهبي - وهو مبلغ كبير في ذلك الوقت - لأكاديمية جوتنجن للعلوم لتقديمه كجائزة لإثبات كامل لنظرية فيرما الأخيرة. ^[182]^[183] في 27 يونيو 1908، نشرت الأكاديمية تسع قواعد لمنح الجائزة. من بين أمور أخرى، اشترطت هذه القواعد نشر الإثبات في مجلة محكمة؛ ولن تُمنح الجائزة إلا بعد عامين من النشر؛ ولن تُمنح أي جائزة بعد 13 سبتمبر 2007، أي بعد قرن تقريبًا من بدء المنافسة. ^[184] حصل ويلز على جائزة وولفسكيل النقدية، والتي بلغت قيمتها آنذاك 50 ألف دولار، في 27 يونيو 1997. ^{[185] في مارس 2016، حصل ويلز على}جائزة آبل من الحكومة النرويجية بقيمة 600 ألف يورو "لإثباته المذهل لنظرية فيرما الأخيرة من خلال تخمين الوحدات النمطية للمنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة، مما فتح عصرًا جديدًا في نظرية الأعداد". ^[186]

قبل إثبات وايلز، قُدِّمت آلاف البراهين غير الصحيحة إلى لجنة وولفسكيل، والتي بلغ طولها حوالي 10 أقدام (3.0 أمتار) من المراسلات. ^[187] في العام الأول وحده (1907-1908)، قُدِّم 621 محاولة إثبات، على الرغم من أنه بحلول سبعينيات القرن العشرين، انخفض معدل التقديم إلى حوالي 3-4 محاولات إثبات شهريًا. وفقًا لبعض الادعاءات، كان إدموند لاندو يميل إلى استخدام نموذج خاص مطبوع مسبقًا لمثل هذه البراهين، حيث تُرك موقع الخطأ الأول فارغًا ليملأه أحد طلاب الدراسات العليا. ^[188] وفقًا لـ F. Schlichting، أحد مراجعي وولفسكيل، كانت معظم البراهين تستند إلى طرق أولية تُدرَّس في المدارس، وغالبًا ما يقدمها "أشخاص لديهم تعليم فني ولكن مهنة فاشلة". ^[189] على حد تعبير المؤرخ الرياضي هوارد إيفز ، "تتميز نظرية فيرما الأخيرة بأنها المشكلة الرياضية التي نُشر لها أكبر عدد من البراهين غير الصحيحة". ^[181]

في الثقافة الشعبية

لقد أدت شعبية النظرية خارج نطاق العلم إلى وصفها بأنها حققت "أندر الأوسمة الرياضية: دور متميز في الثقافة الشعبية ". ^[190]

تتضمن القصة القصيرة التي كتبها آرثر بورجيس عام 1954 بعنوان " الشيطان وسيمون فلاج " عالم رياضيات يتفاوض مع الشيطان على أن الأخير لا يستطيع تقديم دليل على نظرية فيرما الأخيرة خلال أربع وعشرين ساعة. ^[191]

في حلقة عائلة سيمبسون " ساحر إيفرجرين تراس "، كتب هومر سيمبسون المعادلة 3987 ^{× 12} + 4365 ^{× 12} = 4472 ^{× 12} على السبورة، والتي تبدو وكأنها مثال مضاد لنظرية فيرما الأخيرة. المعادلة خاطئة، لكنها تبدو صحيحة إذا تم إدخالها في آلة حاسبة تحتوي على 10 أرقام مهمة . ^[192]

في حلقة " The Royale " من Star Trek: The Next Generation ، صرح الكابتن بيكارد أن النظرية لم يتم إثباتها بعد في القرن الرابع والعشرين. تم إصدار الدليل بعد خمس سنوات من بث الحلقة في الأصل. ^[193]

انظر أيضا

تخمين مجموع القوى لأويلر
دليل الاستحالة
مجموع القوى ، قائمة بالتخمينات والنظريات ذات الصلة
الجدار-الشمس-الشمس الأساسي

الحواشي

^ إذا لم يكن الأس n أوليًا أو 4، فسيكون من الممكن كتابة n إما على هيئة حاصل ضرب عددين صحيحين أصغر ( n = PQ )، حيث يكون P عددًا أوليًا أكبر من 2، ثم يكون a ⁿ = a ^PQ = ( a ^Q ) ^P لكل من a و b و c . وهذا يعني أنه يجب أن يوجد حل مكافئ أيضًا للقوة الأولية P التي تكون أصغر من n ؛ أو بما أن n ستكون قوة 2 أكبر من 4، وكتابة n = 4 Q ، فستكون الحجة نفسها صحيحة.
^ على سبيل المثال، (( j ^r + 1) ^s ) ^r + ( j ( j ^r + 1) ^s ) ^r = ( j ^r + 1) ^{rs +1} .
^ تم اقتراح هذا المنحنى الإهليلجي لأول مرة في ستينيات القرن العشرين بواسطة Yves Hellegouarch [de] ، لكنه لم يلفت الانتباه إلى عدم قابليته للنمذجة. لمزيد من التفاصيل، انظر Hellegouarch, Yves (2001). Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles . Academic Press. ISBN 978-0-12-339251-0.

مراجع

^ أب سينغ، ص 18-20
^ abc "Abel prize 2016 – full citation". مؤرشف من الأصل في 20 مايو 2020 . تم الاسترجاع 16 مارس 2016 .
^ "العلم والتكنولوجيا". موسوعة غينيس للأرقام القياسية . دار غينيس للنشر المحدودة. 1995. رقم ISBN 9780965238304.
^ نايجل بوسطن. "إثبات نظرية فيرما الأخيرة" (PDF) . ص 5.
^ ab Buhler J, Crandell R, Ernvall R, Metsänkylä T (1993). "الأعداد الأولية غير المنتظمة والثوابت الدائرية حتى أربعة ملايين". رياضيات الحوسبة . 61 (203). الجمعية الرياضية الأمريكية: 151– 153. Bibcode :1993MaCom..61..151B. doi : 10.2307/2152942 . JSTOR 2152942.
^ سينغ، ص 223
^ سينغ 1997، ص 203-205، 223، 226
^ يقتبس سينغ، ص 144، رد فعل وايلز على هذا الخبر: "لقد شعرت بالصدمة. لقد عرفت في تلك اللحظة أن مسار حياتي قد تغير لأن هذا يعني أنه لإثبات نظرية فيرما الأخيرة كل ما كان علي فعله هو إثبات تخمين تانياما-شيمورا. وهذا يعني أن حلم طفولتي أصبح الآن شيئًا محترمًا للعمل عليه".
^ أب سينغ، ص 144
^ ab Diamond, Fred (يوليو 1996). "حول حلقات التشوه وحلقات هيكي". حوليات الرياضيات . 144 (1): 137– 166. doi :10.2307/2118586. JSTOR 2118586.
^ ab Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (1999). "Modularity of some possible barsotti-tate gallois representations". مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية . 12 (2): 521– 567. doi : 10.1090/S0894-0347-99-00287-8 . ISSN 0894-0347.
^ ab Breuil, Christophe; Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (15 May 2001). "حول وحدات المنحنيات الإهليلجية على Q: تمارين Wild 3-adic". مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية . 14 (4): 843– 939. doi : 10.1090/S0894-0347-01-00370-8 . ISSN 0894-0347.
^ كاستلفيكي، ديفيد (15 مارس 2016). "نظرية فيرما الأخيرة تكسب أندرو وايلز جائزة آبل". نيتشر . 531 (7594): 287. رمز Bibcode :2016Natur.531..287C. doi : 10.1038/nature.2016.19552 . PMID 26983518. S2CID 4383161.
^ عالم الرياضيات البريطاني السير أندرو وايلز يحصل على جائزة آبل للرياضيات – واشنطن بوست.
^ حل سؤال رياضي عمره 300 عام، وأستاذ جامعي يفوز بـ700 ألف دولار – CNN.com.
^ Weisstein, Eric W. "Fermat's Last Theorem". MathWorld – A Wolfram Web Resource . تم الاسترجاع في 7 مايو 2021 .
^ Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (PDF) . Annals of Mathematics . 141 (3): 448. doi :10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. مؤرشف من الأصل (PDF) في 10 مايو 2011. تم الاسترجاع في 11 أغسطس 2003. كان اقتراح فراي، في تدوين النظرية التالية، هو إظهار أن المنحنى الإهليلجي (الافتراضي) $y$ $2$ $=$ $x$ $($ $x$ $+$ $u$ $p$ $)($ $x$ $-$ $v$ $p$ $)$ لا يمكن أن يكون معياريًا.
^ ريبيت، كين (1990). "حول التمثيلات المعيارية لـ Gal(Q/Q) الناشئة عن الأشكال المعيارية" (PDF) . اختراعات الرياضيات . 100 (2): 432. رمز Bibcode :1990InMat.100..431R. doi :10.1007/BF01231195. hdl :10338.dmlcz/147454. MR 1047143. S2CID 120614740.
^ Stillwell J (2003). Elements of Number Theory. New York: Springer-Verlag. ص 110- 112. ISBN 0-387-95587-9تم الاسترجاع بتاريخ 17 مارس 2016 .
^ أكزيل 1996، ص 13-15
^ ستارك 1978، ص 151-155
^ ستارك 1978، ص 145-146
^ سينغ، ص 50-51
^ ستارك 1978، ص 145
^ أكزيل 1996، ص 44-45
^ سينغ، ص 56-58
^ أكزيل 1996، ص 14-15
^ ستارك 1978، ص 44-47
^ فريبيرج 2007، ص 333-334
^ ab Dickson 1919، ص 731
^ سينغ، ص 60-62
^ أكزيل 1996، ص 9
^ ت. هيث، ديوفانتوس الإسكندري ، الطبعة الثانية، مطبعة جامعة كامبريدج، 1910، أعيد طبعها بواسطة دوفر، نيويورك، 1964، ص 144-145
^ مانين وبانشيشكين 2007، ص 341
^ سينغ، ص 62-66
^ سينغ، ص 67
^ أكزيل 1996، ص 10
^ ريبنبويم، ص 13، 24
^ أب فان دير بورتن، ملاحظات وملاحظات 1.2، ص. 5
^ أندريه ويل (1984). نظرية الأعداد: نهج عبر التاريخ. من حمورابي إلى ليجيندر . بازل، سويسرا: بيركهاوزر. ص 104.
^ وثائقي البي بي سي.^{[ رابط يوتيوب ميت ]}
^ Freeman L (12 مايو 2005). "دليل فيرما الوحيد" . تم استرجاعه في 23 مايو 2009 .
^ ديكسون 1919، ص 615-616
^ أ ب ج د أكزيل 1996، ص 44
^ ريبنبويم، ص 15-24
^ فرينيكل دي بيسي، Traité des Triangles Rectangles en Nombres ، المجلد. الأول، 1676، باريس. أعيد طبعه في ميم. أكاد. روي. الخيال العلمي. ، 5 ، 1666–1699 (1729)
^ أويلر إل (1738). “مظاهرات نظرية الزمن الحسابي”. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae . 10 : 125 - 146.. أعيد طبع أوبرا أمنية , سر. أنا، "التعليقات الحسابية"، المجلد. أنا، ص 38-58، لايبزيغ: توبنر (1915)
^ اي بي سي كاوسلر CF (1802). "Nova Demonstratio Theorematis nec summam، nec Differentiam duorum cuborum cubum esse posse". نوفي أكتا أكاديميا Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 13 : 245 - 253.
^ بارلو ب (1811). تحقيق أولي في نظرية الأعداد . ساحة كنيسة القديس بولس، لندن: ج. جونسون. ص 144- 145.
^ أ ب ليجيندر صباحا (1830). Théorie des Nombres (المجلد الثاني) (الطبعة الثالثة). باريس: فيرمين ديدوت فرير.أعيد طبعه في عام 1955 بواسطة أ. بلانشارد (باريس).
^ شوبيس (1825). لا يوجد شيء سوى التحليل غير المتقن . جومبينين: البرنامج.
^ تيركيم يا (1846). "Théorèmes sur les puissances des nombres". الحوليات الجديدة للرياضيات . 5 : 70 - 87.
^ برتراند ج (1851). سمة الجبر . باريس: هاشيت. ص 217 – 230، 395.
^ ليبيسج فيرجينيا (1853). "حل المعادلات التربيعية z ² = x ⁴ ± 2 ^m y ⁴ , z ² = 2 ^m x ⁴ − y ⁴ , 2 ^m z ² = x ⁴ ± y ⁴ ". مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقات . 18 : 73 - 86.
ليبيسج فرجينيا (1859). تمارين التحليل الرقمي . باريس: ليبر وفراجيت. ص 83-84 ، 89.
ليبيسج فرجينيا (1862). مقدمة في Théorie des Nombres . باريس: ماليت باشيلير. ص 71 – 73.
^ بيبين تي (1883). "دراسة حول المعادلة غير المحددة ax ⁴ + by ⁴ = cz ² ". Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche، Matematiche e Naturali. رينديكونتي لينسي. الدوري التاسع. الرياضيات والتطبيقات . 36 : 34 – 70.
^ أ. تافيلماخر (1893). "حول الإكواسيا x4 + y4 = z4". أناليس دي لا يونيفرسيداد دي تشيلي . 84 : 307 – 320.
^ هيلبرت د (1897). "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 4 : 175 – 546.أعيد طبعه عام 1965 في Gesammelte Abhandlungen، المجلد. أنا من نيويورك: تشيلسي.
^ بيندز تي آر (1901). Öfver diophantiska ekvationen x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ (أطروحة). أوبسالا: المقفيست وويكسلز بوكتريكن.
^ اي بي سي غامبيولي د (1901). “Memoria bibliographica sull'ultimo teorema di Fermat”. بيريوديكو دي ماتيماتشي . 16 : 145 - 192.
^ كرونيكر إل (1901). Vorlesungen über Zahlentheorie، المجلد. أنا . لايبزيغ: تيوبنر. ص 35 – 38.أعيد طبعه بواسطة نيويورك: سبرينغر فيرلاغ في عام 1978.
^ بانج أ (1905). "Nyt Bevis لـ Ligningen x ⁴ − y ⁴ = z ⁴ , لا يمكن أن يكون لديك سبب منطقي لـ Løsinger". Nyt Tidsskrift لـ Matematik . 16 ب : 31 – 35. جستور 24528323.
^ سومر جي (1907). Vorlesungen über Zahlentheorie . لايبزيغ: تيوبنر.
^ بوتاري أ (1908). "الحل المشترك للمعادلة بيتاغوريكا وتطبيقها على عرض بعض نظريات الأرقام". بيريوديكو دي ماتيماتشي . 23 : 104 – 110.
^ أب ريشليك ك (1910). “في نظرية فيرما الأخيرة لـ n = 4 و n = 3 (باللغة البوهيمية)”. Časopis Pro Pěstování Matematiky a Fysiky . 39 : 65 – 86.
^ نوتزورن ف (1912). "Ligning ubestemte x ⁴ + y ⁴ = z ⁴ ". Nyt Tidsskrift لـ Matematik . 23ب : 33- 38.
^ كارمايكل آر دي (1913). "حول استحالة بعض معادلات ديوفانتين وأنظمة المعادلات". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 20 (7). الجمعية الرياضية الأمريكية: 213- 221. doi :10.2307/2974106. JSTOR 2974106.
^ هانكوك هـ (1931). أسس نظرية الأعداد الجبرية، المجلد الأول . نيويورك: ماكميلان.
^ جورجي فرنسينو (1966). "Asupra teorema lui Fermat pentru n = 4 ". غازيتا ماتيماتيكا الدوري الإيطالي . 71 : 334 – 335.أعيد طبعه عام 1977 في Opera matematica ، المجلد. 4، ص 202-205، Bucureşti: Editura Academiei Republicii Socialiste România.
^ جرانت، مايك، وبيريلا، مالكولم، "النزول إلى غير النسبي"، مجلة الرياضيات ، العدد 83، يوليو 1999، ص 263-267.
^ باربرا، روي، "نظرية فيرما الأخيرة في الحالة n = 4 "، الجريدة الرياضية 91، يوليو 2007، 260-262.
^ دولان، ستان، "طريقة فيرما للنزول اللانهائي "، الجريدة الرياضية 95، يوليو 2011، ص 269-271.
^ ريبنبويم، ص 1-2
^ ديكسون 1919، ص 545
^ أوكونور ، جون ج. روبرتسون، إدموند ف. “أبو محمود حميد بن الخضر الخجندي”. MacTutor تاريخ أرشيف الرياضيات . جامعة سانت أندروز .
^ أويلر إل (1770) Vollständige Anleitung zur Algebra ، روي. أكاد. العلوم، سانت بطرسبرغ.
^ Freeman L (22 مايو 2005). "نظرية فيرما الأخيرة: إثبات لـ n = 3" . تم الاسترجاع في 23 مايو 2009 .
^ ريبنبويم، ص 24-25
^ مورديل 1921، ص 6-8
^ إدواردز 1996، ص 39-40
^ إدواردز 1996، ص 40، 52-54
^ JJ Mačys (2007). "حول برهان أويلر الافتراضي". ملاحظات رياضية . 82 ( 3-4 ): 352-356 . doi :10.1134/S0001434607090088. MR 2364600. S2CID 121798358.
^ ريبنبويم، ص 33، 37-41
^ ليجيندر آم (1823). "البحث في بعض كائنات التحليل غير المحددة، وخاصةً حول نظرية فيرما". مذكرات الأكاديمية الملكية للعلوم . 6 : 1 – 60.أعيد طبعه في عام 1825 باعتباره "الملحق الثاني" لطباعة الطبعة الثانية من Essai sur la Théorie des Nombres ، Courcier (باريس). أعيد طبعه أيضًا في عام 1909 في Sphinx-Oedipe ، 4 ، 97-128.
^ كالزولاري إل (1855). محاولة لإظهار نظرية فيرم لمعادلة غير محددة x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ . فيرارا.
^ لامي جي (1865). "دراسة des binômes cubiques x ³ ± y ³ ". Comptes rendus hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 61 : 921 – 924 ، 961 – 965.
^ Tait PG (1872). "Mathematical Notes". Proceedings of the Royal Society of Edinburgh . 7 : 144. doi :10.1017/s0370164600041857.
^ غونتر ، س. (1878). "Ueber die unbestimmte Gleichung x3 + y3 = a3". Sitzungsberichte der Königliche böhmische Gesellschaft der Wissenschaften في براغ . jharg. 1878-1880: 112-120 .
^ كري ، هـ. (1909). "Neuer Beweis eines arithmetischen Satzes". الرياضيات-Naturwissenschaftliche Blätter . 6 (12): 179- 180.
^ ستوكهاوس ح (1910). Beitrag zum Beweis des Fermatschen Satzes . لايبزيغ: Brandstetter.
^ كارمايكل آر دي (1915). التحليل الديوفانتي . نيويورك: وايلي.
^ أب فان دير كوربوت جي جي (1915). "Quelquesformes Quadratiques et quelques équations indéterminées". أرشيف جديد لـ Wiskunde . 11 : 45 - 75.
^ ثوي ، أكسل (1917). "ويجب أن تكون الخطوط A3 + B3 = C3 غير قابلة للتغيير من أي شكل من الأشكال A، B og C". أرشيف لMathematik og Naturvidenskab . 34 (15): 3-7 .أعيد طبعه في أوراق رياضية مختارة (1977)، أوسلو: Universitetsforlaget، الصفحات من 555 إلى 559
^ دوارتي إف جيه (1944). "حول الإكواسيا x ³ + y ³ + z ³ = 0". Boletín de la Academia de Ciencias Físicas, Matemáticas y Naturales (كاراكاس) . 8 : 971 – 979.
^ Freeman L (28 أكتوبر 2005). "نظرية فيرما الأخيرة: إثبات لـ n = 5" . تم الاسترجاع في 23 مايو 2009 .
^ ريبنبويم، ص 49
^ مورديل 1921، ص 8-9
^ أب سينغ، ص 106
^ ريبنبويم، ص 55-57
^ غاوس CF (1875). "Neue Theorie der Zerlegung der Cuben". Zur Theorie der complexen Zahlen، Werke، vol. الثاني (الطبعة الثانية). كونيجل. جيز. ويس. غوتنغن. ص 387 – 391.(نُشر بعد وفاته)
^ ليبيسج فيرجينيا (1843). "نظريات جديدة حول المعادلة غير المحددة x ⁵ + y ⁵ = az ⁵ ". مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقات . 8 : 49 – 70.
^ لامي جي (1847). "ذاكرة حول الحل في عدد من المجمعات للمعادلة A ⁵ + B ⁵ + C ⁵ = 0". مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقات . 12 : 137 - 171.
^ غامبيولي د (1903-1904). "Intorno all'ultimo teorema di Fermat". إيل بيتاجورا . 10 : 11 – 13 ، 41 – 42 .
^ Werebrusow AS (1905). "حول المعادلة x ⁵ + y ⁵ = Az ⁵(بالروسية) ". موسكو. الرياضيات . المجموعة 25 : 466– 473.
^ ريشليك ك (1910). “في نظرية فيرما الأخيرة لـ n = 5 (باللغة البوهيمية) ”. كاسوبيس بيست. حصيرة . 39 : 185 – 195 ، 305 – 317.
^ تيريجانيان جي (1987). "Sur une question de VA Lebesgue". حوليات معهد فورييه . 37 (3): 19– 37. دوى : 10.5802/aif.1096 .
^ ريبنبويم، ص 57-63
^ مورديل 1921، ص 8
^ لامي جي (1839). "ذاكرة حول آخر نظرية فيرما". Comptes rendus hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 9 : 45 - 46.
لامي جي (1840). "ذاكرة التحليل غير المحددة توضح أن المعادلة x ⁷ + y ⁷ = z ⁷ مستحيلة في عدد كامل". مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقات . 5 : 195 - 211.
^ ليبيسج فيرجينيا (1840). "إظهار استحالة إيجاد المعادلة x ⁷ + y ⁷ + z ⁷ = 0 بأسماء كاملة". مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقات . 5 : 276 – 279 ، 348 – 349.
^ Freeman L (18 يناير 2006). "نظرية فيرما الأخيرة: إثبات لـ n = 7" . تم الاسترجاع في 23 مايو 2009 .
^ جينوتشي أ (1864). "Intorno all'equazioni x7 + y7 + z7 = 0". Annali di Matematica Pura ed Applicata . 6 : 287-288 . دوى :10.1007 / bf03198884. S2CID 124916552.
جينوتشي أ (1874). "Sur l'impossibilité de quelques égalités double". Comptes rendus hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 78 : 433 – 436.
جينوكي أ (1876). "تعميم نظرية اللاميه حول استحالة المعادلة x ⁷ + y ⁷ + z ⁷ = 0". Comptes rendus hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 82 : 910- 913.
^ بيبين تي (1876). "استحالة المعادلة x ⁷ + y ⁷ + z ⁷ = 0". Comptes rendus hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 82 : 676 – 679 ، 743 – 747.
^ مايليت إي (1897). "Sur l'équation indéterminée axlect + byạt = czạt". الجمعية الفرنسية للنهوض بالعلوم، سانت إتيان، Compte Rendu de la 26me Session، deuxième Partie . 26 : 156 – 168.
^ ثوي أ (1896). "Über die Auflösbarkeit einiger unbestimmter Gleichungen". Det Kongelige Norske Videnskabers Selskabs Skrifter . 7 .أعيد طبعه في أوراق رياضية مختارة ، الصفحات من 19 إلى 30، أوسلو: Universitetsforlaget (1977).
^ تافيلماخر WLA (1897). "La ecuación x ³ + y ³ = z ² : عرض جديد لنظرية التخمير لحالة الإمكانيات". أناليس دي لا يونيفرسيداد دي تشيلي . 97 : 63 – 80.
^ ليند ب (1909). "Einige zahlentheoretische Sätze". أرشيف الرياضيات والفيزياء . 15 : 368 – 369.
^ أب كابفرير ح (1913). "Beweis des Fermatschen Satzes für die Exponenten 6 und 10". أرشيف الرياضيات والفيزياء . 21 : 143 - 146.
^ سويفت إي (1914). "حل المشكلة 206". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 21 (7): 238– 239. doi :10.2307/2972379. JSTOR 2972379.
^ ab Breusch R (1960). "إثبات بسيط لنظرية فيرما الأخيرة لـ n = 6، n = 10". مجلة الرياضيات . 33 (5): 279– 281. doi :10.2307/3029800. JSTOR 3029800.
^ ديريشليت PGL (1832). "عرض نظرية فيرمات لحالة 14 ^قوة ". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 9 : 390 – 393.أعيد طبعه في Werke ، المجلد الأول، ص 189-194، برلين: G. Reimer (1889)؛ أعيد طبعه نيويورك: تشيلسي (1969).
^ تيريجانيان جي (1974). "المعادلة x ¹⁴ + y ¹⁴ = z ¹⁴ بالأسماء كلها". نشرة العلوم الرياضية . السلسلة 2. 98 : 91 – 95.
^ إدواردز 1996، ص 73-74
^ ab Edwards 1996، ص 74
^ ديكسون 1919، ص 733
^ Ribenboim P (1979). 13 محاضرة عن نظرية فيرما الأخيرة . نيويورك: دار نشر سبرينغر. ص 51-54 . ISBN 978-0-387-90432-0.
^ سينغ، ص 97-109
^ من قبل Laubenbacher R، Pengelley D (2007). "Voici ce que j'ai trouvé: Sophie Germain's grand plan to proof Fermat's Last Theorem" (PDF) . مؤرشف من الأصل (PDF) في 5 أبريل 2013. تم الاسترجاع في 19 مايو 2009 .
^ أكزيل 1996، ص 57
^ تريجانيان ، ج. (1977). "على المعادلة x ²^p + y ²^p = z ²^p ". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB . 285 : 973 – 975.
^ Adleman LM, Heath-Brown DR (يونيو 1985). "الحالة الأولى لنظرية فيرما الأخيرة". Inventiones Mathematicae . 79 (2). برلين: Springer: 409– 416. Bibcode :1985InMat..79..409A. doi :10.1007/BF01388981. S2CID 122537472.
^ إدواردز 1996، ص 79
^ أكزيل 1996، ص 84-88
^ سينغ، ص 232-234
^ فالتينجس جي (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". اختراعات الرياضيات . 73 (3): 349– 366. بيب كود :1983InMat..73..349F. دوى :10.1007/BF01388432. S2CID 121049418.
^ Ribenboim P (1979). 13 محاضرة عن نظرية فيرما الأخيرة . نيويورك: دار نشر سبرينغر. ص 202. ISBN 978-0-387-90432-0.
^ Wagstaff SS Jr. (1978). "الأعداد الأولية غير المنتظمة حتى 125000". رياضيات الحوسبة . 32 (142). الجمعية الرياضية الأمريكية: 583- 591. doi :10.2307/2006167. JSTOR 2006167.(PDF) محفوظ في 24 أكتوبر 2012 على موقع Wayback Machine
^ abcdefghijklmnop نظرية فيرما الأخيرة، سيمون سينغ، 1997، ISBN 1-85702-521-0
^ Frey G (1986). "الروابط بين المنحنيات الإهليلجية المستقرة ومعادلات ديوفانتين معينة". حوليات جامعة سارافيينسيس. سلسلة الرياضيات . 1 : 1– 40.
^ سينغ، ص 194-198
^ أكزيل 1996، ص 109-114
^ ريبيت، كين (1990). "حول التمثيلات المعيارية لـ Gal(Q/Q) الناشئة عن الأشكال المعيارية" (PDF) . اختراعات الرياضيات . 100 (2): 431– 476. رمز Bibcode :1990InMat.100..431R. doi :10.1007/BF01231195. hdl :10338.dmlcz/147454. MR 1047143. S2CID 120614740.
^ سينغ، ص 205
^ أكزيل 1996، ص 117-118
^ سينغ، ص 237-238
^ أكزيل 1996، ص 121-122
^ سينغ، ص 239-243
^ أكزيل 1996، ص 122-125
^ سينغ، ص 244-253
^ أكزيل 1996، ص 1-4 ، 126-128
^ أكزيل 1996، ص 128-130
^ سينغ، ص 257
^ abc سينغ، ص 269-277
^ بعد مرور عام، لا تزال العقبة قائمة في إثبات الرياضيات 28 يونيو 1994
^ 26 يونيو – 2 يوليو؛ بعد مرور عام، لغز فيرما لا يزال غير دقيق تمامًا 3 يوليو 1994
^ سينغ، ص 175-185
^ أكزيل 1996، ص 132-134
^ سينغ ص 186-187 (النص مختصر)
^ Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (PDF) . Annals of Mathematics . 141 (3): 443– 551. doi :10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. مؤرشف من الأصل (PDF) في 28 يونيو 2003.
^ "المنحنيات الإهليلجية المعيارية ونظرية فيرما الأخيرة" (PDF) .
^ Taylor R , Wiles A (1995). "Ring theoretic properties of some Hecke algebras". Annals of Mathematics . 141 (3): 553– 572. doi :10.2307/2118560. JSTOR 2118560. OCLC 37032255. مؤرشف من الأصل في 27 نوفمبر 2001.
^ ab Barrow-Green, June; Leader, Imre; Gowers, Timothy (2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ص 361– 362. ISBN 9781400830398.
^ "تخمين مولدين / تيجدمان-زاجير". الألغاز الأولية . تم الاسترجاع في 1 أكتوبر 2016 .
^ إلكيز، نوام د. (2007). "أبجديات نظرية الأعداد" (PDF) . مراجعة الرياضيات في كلية هارفارد . 1 (1).
^ ميشيل فالدشميت (2004). “مشكلات ديوفانتين المفتوحة”. مجلة موسكو الرياضية . 4 : 245 – 305. أرخايف : الرياضيات/0312440 . دوى :10.17323/1609-4514-2004-4-1-245-305. S2CID 11845578.
^ كراندال، ريتشارد؛ بوميرانس، كارل (2000). الأعداد الأولية: منظور حسابي . سبرينغر. ص. 417. ISBN 978-0387-25282-7.
^ "تخمين بيل". الجمعية الرياضية الأمريكية . تم الاسترجاع في 21 أغسطس 2016 .
^ كاي، تيانشين؛ تشن، ديي. تشانغ، يونغ (2015). “تعميم جديد لنظرية فيرما الأخيرة”. مجلة نظرية الأعداد . 149 : 33 – 45. أرخايف : 1310.0897 . دوى :10.1016/j.jnt.2014.09.014. S2CID 119732583.
^ ميهايليسكو، بريدا (2007). "دراسة سيكلوتومية لتخمين كاتالان-فيرمات". Mathematica Gottingensis .
^ Lenstra Jr. HW (1992). "حول معادلة فيرما العكسية". الرياضيات المنفصلة . 106– 107: 329– 331. doi :10.1016/0012-365x(92)90561-s.
^ Newman M (1981). "معادلة ديوفانتينية جذرية". مجلة نظرية الأعداد . 13 (4): 495- 498. doi : 10.1016/0022-314x(81)90040-8 .
^ بينيت، كورتيس د.؛ جلاس، إيه إم دبليو؛ سيكيلي، جابور ج. (2004). "نظرية فيرما الأخيرة للأسس النسبية". المجلة الشهرية الأمريكية للرياضيات . 111 (4): 322– 329. doi :10.2307/4145241. JSTOR 4145241. MR 2057186.
^ ديكسون 1919، ص 688-691
^ فولز، روجر (يوليو 1999). "حلول عددية صحيحة لـ a ⁻² + b ⁻² = d ⁻² ". مجلة الرياضيات . 83 (497): 269– 271. doi :10.2307/3619056. JSTOR 3619056. S2CID 123267065.
^ ريتشينيك، جينيفر (يوليو 2008). "نظرية فيثاغورس المقلوبة". الجريدة الرياضية . 92 : 313– 317. doi :10.1017/S0025557200183275. S2CID 125989951.
^ Lang, Serge (2002). Algebra . Graduate Texts in Mathematics. المجلد 211. Springer-Verlag New York. ص 196.
^ Elkies, Noam (1991). "ABC means Mordell". International Mathematics Research Notices . 1991 (7): 99– 109. doi : 10.1155/S1073792891000144 . يُعمم دليلنا الاستدلال المعروف "ABC الفعال [سهم يمين] فيرما النهائي" والذي كان الدافع الأصلي لتخمين ABC
^ abc Granville, Andrew ; Tucker, Thomas (2002). "It's As Easy As abc" (PDF) . إشعارات الجمعية الأمريكية للطب . 49 (10): 1224– 1231.
^ جوزيف أوسترلي (1988). "Nouvelles تقترب من "théorème" de Fermat". النجمية . ندوة بوربكي EXP 694 (161): 165– 186. ISSN 0303-1179. السيد 0992208.
^ ab Aczel 1996، ص 69
^ سينغ، ص 105
^ ab Koshy T (2001). نظرية الأعداد الأولية مع التطبيقات . نيويورك: أكاديميك بريس. ص 544. ISBN 978-0-12-421171-1.
^ سينغ، ص 120-125، 131-133، 295-296
^ أكزيل 1996، ص 70
^ سينغ، ص 120-125
^ سينغ، ص 284
^ "جائزة آبل 2016". جائزة آبل . لجنة جائزة آبل. مارس 2016. مؤرشف من الأصل في 20 مايو 2020. تم الاسترجاع 16 مارس 2016 .
^ سينغ، ص 295
^ العجلات والحياة وغيرها من التسلية الرياضية ، مارتن جاردنر
^ سينغ، ص 295-296
^ جارمون، جاي (21 فبراير 2006). "حقائق غريبة: الرياضيات وراء الأسطورة". TechRepublic . تم الاسترجاع في 21 مايو 2022 .
^ كاسمان، أليكس (يناير 2003). "الرياضيات في الخيال: دورة تدريبية متعددة التخصصات". PRIMUS . 13 (1): 1– 16. doi :10.1080/10511970308984042. ISSN 1051-1970. S2CID 122365046.
^ سينغ، سيمون (2013). عائلة سمبسون وأسرارهم الرياضية. دار نشر إيه آند سي بلاك. ص 35-36 . رقم ISBN 978-1-4088-3530-2.
^ موسمان، أندرو (1 سبتمبر 2017). "إليك خطأ رياضيًا ممتعًا في "ستار تريك: الجيل التالي". ميكانيكا شعبية . تم الاسترجاع في 9 يونيو 2023 .

فهرس

أكزيل، أمير (1996). نظرية فيرما الأخيرة: كشف سر مشكلة رياضية قديمة. أربعة جدران وثمانية نوافذ. رقم ISBN 978-1-56858-077-7.
ديكسون، إل إي (1919). تاريخ نظرية الأعداد . التحليل الديوفانتي. المجلد الثاني. نيويورك: تشيلسي للنشر. ص 545-550 ، 615-621 ، 688-691 ، 731-776 .
إدواردز، إتش إم (1996) [1977]. نظرية فيرما الأخيرة. مقدمة وراثية لنظرية الأعداد الجبرية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 50. نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. رقم ISBN 978-0-387-90230-2.
فريبيرج، جوران (2007). آثار مذهلة لأصل بابلي في الرياضيات اليونانية . دار النشر العلمية العالمية. رقم ISBN 978-981-270-452-8.
كلاينر، آي (2000). "من فيرما إلى ويلز: نظرية فيرما الأخيرة تصبح نظرية" (PDF) . عناصر الرياضيات . 55 : 19– 37. doi :10.1007/PL00000079. S2CID 53319514. مؤرشف من الأصل (PDF) في 8 يونيو 2011.
مورديل، إل جيه (1921). ثلاث محاضرات عن نظرية فيرما الأخيرة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج.
مانين، يوري إيفانوفيتش؛ بانشيشكين، ألكسي ألكسيفيتش (2007). “المشاكل الأساسية والأفكار والنظريات”. مقدمة لنظرية الأعداد الحديثة . موسوعة العلوم الرياضية. المجلد. 49 (الطبعة الثانية). برلين هيدلبرج: سبرينغر. رقم ISBN 978-3-540-20364-3.
ريبنبويم، ب. (2000). نظرية فيرما الأخيرة للهواة . نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. رقم ISBN 978-0-387-98508-4.
سينغ، س. (1998). لغز فيرما . نيويورك: أنكور بوكس. رقم ISBN 978-0-385-49362-8.
ستارك، هـ (1978). مقدمة في نظرية الأعداد. مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. رقم ISBN 0-262-69060-8.

قراءة إضافية

بيل، إيريك ت. (1998) [1961]. المشكلة الأخيرة . نيويورك: الجمعية الرياضية الأمريكية. رقم ISBN 978-0-88385-451-8.
بنسون، دونالد سي. (2001). لحظة الإثبات: الإلهام الرياضي . مطبعة جامعة أكسفورد. رقم ISBN 978-0-19-513919-8.
برودنر، هارفي ج. (1994). فيرما والأعداد المفقودة . WLC, Inc. ISBN 978-0-9644785-0-3.
Faltings G (يوليو 1995). "إثبات نظرية فيرما الأخيرة بقلم ر. تايلور وأ. وايلز" (PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 42 (7): 743- 746. ISSN 0002-9920.
موزوتشي، تشارلز (2000). مذكرات فيرما . الجمعية الرياضية الأمريكية. رقم ISBN 978-0-8218-2670-6.
ريبنبويم ب. (1979). 13 محاضرة عن نظرية فيرما الأخيرة . نيويورك: دار نشر سبرينغر. رقم ISBN 978-0-387-90432-0.
سايكيا، مانجيل ب (يوليو 2011). "دراسة لإثبات كومر لنظرية فيرما الأخيرة للأعداد الأولية المنتظمة" (PDF) . تقرير مشروع صيف IISER Mohali (الهند) . arXiv : 1307.3459 . Bibcode :2013arXiv1307.3459S. مؤرشف من الأصل (PDF) في 22 سبتمبر 2015. تم الاسترجاع في 9 مارس 2014 .
ستيفنز، جلين (1997). "نظرة عامة على إثبات نظرية فيرما الأخيرة". الأشكال المعيارية ونظرية فيرما الأخيرة . نيويورك: سبرينغر. ص 1- 16. ISBN 0-387-94609-8.
فان دير بورتن، ألف (1996). ملاحظات على نظرية فيرما الأخيرة . وايلي بلاكويل. رقم ISBN 978-0-471-06261-5.

روابط خارجية

داني، تشارلز (2003). "رياضيات نظرية فيرما الأخيرة". مؤرشف من الأصل في 3 أغسطس 2004. تم الاسترجاع في 5 أغسطس 2004 .
إلكيز، نوام د. "جداول فيرما "الحلول القريبة" - الحلول التقريبية لـ xn + yn = zn".
فريمان، لاري (2005). "مدونة نظرية فيرما الأخيرة".مدونة تتناول تاريخ نظرية فيرما الأخيرة من فيرما إلى ويلز.
"مبرهنة فيرما الأخيرة". موسوعة الرياضيات . EMS Press . 2001 [1994].
ريبيت، كينيث أ. (1995). "تمثيلات جالوا والأشكال المعيارية". نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . السلسلة الجديدة. 32 (4): 375– 402. arXiv : math/9503219 . doi :10.1090/S0273-0979-1995-00616-6. MR 1322785. S2CID 16786407.يناقش مواد مختلفة تتعلق بإثبات نظرية فيرما الأخيرة: المنحنيات الإهليلجية، والأشكال المعيارية، وتمثيلات جالوا وتشوهاتها، وبناء فراي، وتخمينات سيري وتانياما-شيمورا.
شاي، ديفيد (2003). "نظرية فيرما الأخيرة" . تم الاسترجاع في 14 يناير 2017 .القصة والتاريخ والغموض.
وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية فيرما الأخيرة". MathWorld .
O'Connor JJ, Robertson EF (1996). "Fermat's last theorem". مؤرشف من الأصل في 4 أغسطس 2004. تم الاسترجاع في 5 أغسطس 2004 .
"الدليل". PBS .يناقش عنوان إحدى طبعات المسلسل التلفزيوني NOVA الذي تبثه قناة PBS جهود أندرو ويلز لإثبات نظرية فيرما الأخيرة.
فيلم وثائقي عن نظرية فيرما الأخيرة (1996)يحكي الفيلم الذي أخرجه سيمون سينغ وجون لينش قصة أندرو ويلز.

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[5] إذا لم يكن الأس n أوليًا أو 4، فسيكون من الممكن كتابة n إما على هيئة حاصل ضرب عددين صحيحين أصغر ( n = PQ )، حيث يكون P عددًا أوليًا أكبر من 2، ثم يكون a ⁿ = a ^PQ = ( a ^Q ) ^P لكل من a و b و c . وهذا يعني أنه يجب أن يوجد حل مكافئ أيضًا للقوة الأولية P التي تكون أصغر من n ؛ أو بما أن n ستكون قوة 2 أكبر من 4، وكتابة n = 4 Q ، فستكون الحجة نفسها صحيحة.

[30] على سبيل المثال، (( j ^r + 1) ^s ) ^r + ( j ( j ^r + 1) ^s ) ^r = ( j ^r + 1) ^{rs +1} .

[140] تم اقتراح هذا المنحنى الإهليلجي لأول مرة في ستينيات القرن العشرين بواسطة Yves Hellegouarch [de] ، لكنه لم يلفت الانتباه إلى عدم قابليته للنمذجة. لمزيد من التفاصيل، انظر Hellegouarch, Yves (2001). Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles . Academic Press. ISBN 978-0-12-339251-0.

[auto-1] أب سينغ، ص 18-20

[abelcitation-2] "Abel prize 2016 – full citation". مؤرشف من الأصل في 20 مايو 2020 . تم الاسترجاع 16 مارس 2016 .

[3] "العلم والتكنولوجيا". موسوعة غينيس للأرقام القياسية . دار غينيس للنشر المحدودة. 1995. رقم ISBN 9780965238304.

[BostonFLTproof-4] نايجل بوسطن. "إثبات نظرية فيرما الأخيرة" (PDF) . ص 5.

[:0-6] Buhler J, Crandell R, Ernvall R, Metsänkylä T (1993). "الأعداد الأولية غير المنتظمة والثوابت الدائرية حتى أربعة ملايين". رياضيات الحوسبة . 61 (203). الجمعية الرياضية الأمريكية: 151– 153. Bibcode :1993MaCom..61..151B. doi : 10.2307/2152942 . JSTOR 2152942.

[7] سينغ، ص 223

[8] سينغ 1997، ص 203-205، 223، 226

[9] يقتبس سينغ، ص 144، رد فعل وايلز على هذا الخبر: "لقد شعرت بالصدمة. لقد عرفت في تلك اللحظة أن مسار حياتي قد تغير لأن هذا يعني أنه لإثبات نظرية فيرما الأخيرة كل ما كان علي فعله هو إثبات تخمين تانياما-شيمورا. وهذا يعني أن حلم طفولتي أصبح الآن شيئًا محترمًا للعمل عليه".

[singh144-10] أب سينغ، ص 144

[Diamond-1996-11] Diamond, Fred (يوليو 1996). "حول حلقات التشوه وحلقات هيكي". حوليات الرياضيات . 144 (1): 137– 166. doi :10.2307/2118586. JSTOR 2118586.

[Conrad-etal-1999-12] Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (1999). "Modularity of some possible barsotti-tate gallois representations". مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية . 12 (2): 521– 567. doi : 10.1090/S0894-0347-99-00287-8 . ISSN 0894-0347.

[Breuil-etal-2001-13] Breuil, Christophe; Conrad, Brian; Diamond, Fred; Taylor, Richard (15 May 2001). "حول وحدات المنحنيات الإهليلجية على Q: تمارين Wild 3-adic". مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية . 14 (4): 843– 939. doi : 10.1090/S0894-0347-01-00370-8 . ISSN 0894-0347.

[natureAbel-14] كاستلفيكي، ديفيد (15 مارس 2016). "نظرية فيرما الأخيرة تكسب أندرو وايلز جائزة آبل". نيتشر . 531 (7594): 287. رمز Bibcode :2016Natur.531..287C. doi : 10.1038/nature.2016.19552 . PMID 26983518. S2CID 4383161.

[15] عالم الرياضيات البريطاني السير أندرو وايلز يحصل على جائزة آبل للرياضيات – واشنطن بوست.

[16] حل سؤال رياضي عمره 300 عام، وأستاذ جامعي يفوز بـ700 ألف دولار – CNN.com.

[17] Weisstein, Eric W. "Fermat's Last Theorem". MathWorld – A Wolfram Web Resource . تم الاسترجاع في 7 مايو 2021 .

[18] Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (PDF) . Annals of Mathematics . 141 (3): 448. doi :10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. مؤرشف من الأصل (PDF) في 10 مايو 2011. تم الاسترجاع في 11 أغسطس 2003. كان اقتراح فراي، في تدوين النظرية التالية، هو إظهار أن المنحنى الإهليلجي (الافتراضي) $y$ $2$ $=$ $x$ $($ $x$ $+$ $u$ $p$ $)($ $x$ $-$ $v$ $p$ $)$ لا يمكن أن يكون معياريًا.

[19] ريبيت، كين (1990). "حول التمثيلات المعيارية لـ Gal(Q/Q) الناشئة عن الأشكال المعيارية" (PDF) . اختراعات الرياضيات . 100 (2): 432. رمز Bibcode :1990InMat.100..431R. doi :10.1007/BF01231195. hdl :10338.dmlcz/147454. MR 1047143. S2CID 120614740.

[Stillwell_2003-20] Stillwell J (2003). Elements of Number Theory. New York: Springer-Verlag. ص 110- 112. ISBN 0-387-95587-9تم الاسترجاع بتاريخ 17 مارس 2016 .

[FOOTNOTEAczel199613–15-21] أكزيل 1996، ص 13-15

[FOOTNOTEStark1978151–155-22] ستارك 1978، ص 151-155

[FOOTNOTEStark1978145–146-23] ستارك 1978، ص 145-146

[24] سينغ، ص 50-51

[FOOTNOTEStark1978145-25] ستارك 1978، ص 145

[FOOTNOTEAczel199644–45-26] أكزيل 1996، ص 44-45

[27] سينغ، ص 56-58

[FOOTNOTEAczel199614–15-28] أكزيل 1996، ص 14-15

[FOOTNOTEStark197844–47-29] ستارك 1978، ص 44-47

[FOOTNOTEFriberg2007333–334-31] فريبيرج 2007، ص 333-334

[FOOTNOTEDickson1919731-32] Dickson 1919، ص 731

[33] سينغ، ص 60-62

[FOOTNOTEAczel19969-34] أكزيل 1996، ص 9

[35] ت. هيث، ديوفانتوس الإسكندري ، الطبعة الثانية، مطبعة جامعة كامبريدج، 1910، أعيد طبعها بواسطة دوفر، نيويورك، 1964، ص 144-145

[FOOTNOTEManinPanchishkin2007[httpsbooksgooglecombooksidwvK586IxaxwCdq22Cubumauteminduoscubos2Cautquadratoquadratum22pgPA341_p._341]-36] مانين وبانشيشكين 2007، ص 341

[37] سينغ، ص 62-66

[38] سينغ، ص 67

[FOOTNOTEAczel199610-39] أكزيل 1996، ص 10

[40] ريبنبويم، ص 13، 24

[van_der_Poorten-p.5-41] أب فان دير بورتن، ملاحظات وملاحظات 1.2، ص. 5

[42] أندريه ويل (1984). نظرية الأعداد: نهج عبر التاريخ. من حمورابي إلى ليجيندر . بازل، سويسرا: بيركهاوزر. ص 104.

[43] وثائقي البي بي سي.^{[ رابط يوتيوب ميت ]}

[44] Freeman L (12 مايو 2005). "دليل فيرما الوحيد" . تم استرجاعه في 23 مايو 2009 .

[FOOTNOTEDickson1919615–616-45] ديكسون 1919، ص 615-616

[FOOTNOTEAczel199644-46] أ ب ج د أكزيل 1996، ص 44

[47] ريبنبويم، ص 15-24

[48] فرينيكل دي بيسي، Traité des Triangles Rectangles en Nombres ، المجلد. الأول، 1676، باريس. أعيد طبعه في ميم. أكاد. روي. الخيال العلمي. ، 5 ، 1666–1699 (1729)

[Euler_1738-49] أويلر إل (1738). “مظاهرات نظرية الزمن الحسابي”. Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae . 10 : 125 - 146.. أعيد طبع أوبرا أمنية , سر. أنا، "التعليقات الحسابية"، المجلد. أنا، ص 38-58، لايبزيغ: توبنر (1915)

[Kausler_1802-50] اي بي سي كاوسلر CF (1802). "Nova Demonstratio Theorematis nec summam، nec Differentiam duorum cuborum cubum esse posse". نوفي أكتا أكاديميا Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 13 : 245 - 253.

[51] بارلو ب (1811). تحقيق أولي في نظرية الأعداد . ساحة كنيسة القديس بولس، لندن: ج. جونسون. ص 144- 145.

[Legendre_1830-52] أ ب ليجيندر صباحا (1830). Théorie des Nombres (المجلد الثاني) (الطبعة الثالثة). باريس: فيرمين ديدوت فرير.أعيد طبعه في عام 1955 بواسطة أ. بلانشارد (باريس).

[53] شوبيس (1825). لا يوجد شيء سوى التحليل غير المتقن . جومبينين: البرنامج.

[54] تيركيم يا (1846). "Théorèmes sur les puissances des nombres". الحوليات الجديدة للرياضيات . 5 : 70 - 87.

[55] برتراند ج (1851). سمة الجبر . باريس: هاشيت. ص 217 – 230، 395.

[56] ليبيسج فيرجينيا (1853). "حل المعادلات التربيعية z ² = x ⁴ ± 2 ^m y ⁴ , z ² = 2 ^m x ⁴ − y ⁴ , 2 ^m z ² = x ⁴ ± y ⁴ ". مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقات . 18 : 73 - 86.
ليبيسج فرجينيا (1859). تمارين التحليل الرقمي . باريس: ليبر وفراجيت. ص 83-84 ، 89.
ليبيسج فرجينيا (1862). مقدمة في Théorie des Nombres . باريس: ماليت باشيلير. ص 71 – 73.

[57] بيبين تي (1883). "دراسة حول المعادلة غير المحددة ax ⁴ + by ⁴ = cz ² ". Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche، Matematiche e Naturali. رينديكونتي لينسي. الدوري التاسع. الرياضيات والتطبيقات . 36 : 34 – 70.

[58] أ. تافيلماخر (1893). "حول الإكواسيا x4 + y4 = z4". أناليس دي لا يونيفرسيداد دي تشيلي . 84 : 307 – 320.

[59] هيلبرت د (1897). "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 4 : 175 – 546.أعيد طبعه عام 1965 في Gesammelte Abhandlungen، المجلد. أنا من نيويورك: تشيلسي.

[60] بيندز تي آر (1901). Öfver diophantiska ekvationen x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ (أطروحة). أوبسالا: المقفيست وويكسلز بوكتريكن.

[Gambioli_1901-61] اي بي سي غامبيولي د (1901). “Memoria bibliographica sull'ultimo teorema di Fermat”. بيريوديكو دي ماتيماتشي . 16 : 145 - 192.

[62] كرونيكر إل (1901). Vorlesungen über Zahlentheorie، المجلد. أنا . لايبزيغ: تيوبنر. ص 35 – 38.أعيد طبعه بواسطة نيويورك: سبرينغر فيرلاغ في عام 1978.

[63] بانج أ (1905). "Nyt Bevis لـ Ligningen x ⁴ − y ⁴ = z ⁴ , لا يمكن أن يكون لديك سبب منطقي لـ Løsinger". Nyt Tidsskrift لـ Matematik . 16 ب : 31 – 35. جستور 24528323.

[64] سومر جي (1907). Vorlesungen über Zahlentheorie . لايبزيغ: تيوبنر.

[65] بوتاري أ (1908). "الحل المشترك للمعادلة بيتاغوريكا وتطبيقها على عرض بعض نظريات الأرقام". بيريوديكو دي ماتيماتشي . 23 : 104 – 110.

[Rychlik_1910-66] أب ريشليك ك (1910). “في نظرية فيرما الأخيرة لـ n = 4 و n = 3 (باللغة البوهيمية)”. Časopis Pro Pěstování Matematiky a Fysiky . 39 : 65 – 86.

[67] نوتزورن ف (1912). "Ligning ubestemte x ⁴ + y ⁴ = z ⁴ ". Nyt Tidsskrift لـ Matematik . 23ب : 33- 38.

[68] كارمايكل آر دي (1913). "حول استحالة بعض معادلات ديوفانتين وأنظمة المعادلات". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 20 (7). الجمعية الرياضية الأمريكية: 213- 221. doi :10.2307/2974106. JSTOR 2974106.

[69] هانكوك هـ (1931). أسس نظرية الأعداد الجبرية، المجلد الأول . نيويورك: ماكميلان.

[70] جورجي فرنسينو (1966). "Asupra teorema lui Fermat pentru n = 4 ". غازيتا ماتيماتيكا الدوري الإيطالي . 71 : 334 – 335.أعيد طبعه عام 1977 في Opera matematica ، المجلد. 4، ص 202-205، Bucureşti: Editura Academiei Republicii Socialiste România.

[71] جرانت، مايك، وبيريلا، مالكولم، "النزول إلى غير النسبي"، مجلة الرياضيات ، العدد 83، يوليو 1999، ص 263-267.

[72] باربرا، روي، "نظرية فيرما الأخيرة في الحالة n = 4 "، الجريدة الرياضية 91، يوليو 2007، 260-262.

[73] دولان، ستان، "طريقة فيرما للنزول اللانهائي "، الجريدة الرياضية 95، يوليو 2011، ص 269-271.

[74] ريبنبويم، ص 1-2

[FOOTNOTEDickson1919545-75] ديكسون 1919، ص 545

[76] أوكونور ، جون ج. روبرتسون، إدموند ف. “أبو محمود حميد بن الخضر الخجندي”. MacTutor تاريخ أرشيف الرياضيات . جامعة سانت أندروز .

[77] أويلر إل (1770) Vollständige Anleitung zur Algebra ، روي. أكاد. العلوم، سانت بطرسبرغ.

[78] Freeman L (22 مايو 2005). "نظرية فيرما الأخيرة: إثبات لـ n = 3" . تم الاسترجاع في 23 مايو 2009 .

[79] ريبنبويم، ص 24-25

[FOOTNOTEMordell19216–8-80] مورديل 1921، ص 6-8

[FOOTNOTEEdwards199639–40-81] إدواردز 1996، ص 39-40

[FOOTNOTEEdwards199640,_52–54-82] إدواردز 1996، ص 40، 52-54

[83] JJ Mačys (2007). "حول برهان أويلر الافتراضي". ملاحظات رياضية . 82 ( 3-4 ): 352-356 . doi :10.1134/S0001434607090088. MR 2364600. S2CID 121798358.

[84] ريبنبويم، ص 33، 37-41

[Legendre_1823-85] ليجيندر آم (1823). "البحث في بعض كائنات التحليل غير المحددة، وخاصةً حول نظرية فيرما". مذكرات الأكاديمية الملكية للعلوم . 6 : 1 – 60.أعيد طبعه في عام 1825 باعتباره "الملحق الثاني" لطباعة الطبعة الثانية من Essai sur la Théorie des Nombres ، Courcier (باريس). أعيد طبعه أيضًا في عام 1909 في Sphinx-Oedipe ، 4 ، 97-128.

[86] كالزولاري إل (1855). محاولة لإظهار نظرية فيرم لمعادلة غير محددة x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ . فيرارا.

[87] لامي جي (1865). "دراسة des binômes cubiques x ³ ± y ³ ". Comptes rendus hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 61 : 921 – 924 ، 961 – 965.

[88] Tait PG (1872). "Mathematical Notes". Proceedings of the Royal Society of Edinburgh . 7 : 144. doi :10.1017/s0370164600041857.

[89] غونتر ، س. (1878). "Ueber die unbestimmte Gleichung x3 + y3 = a3". Sitzungsberichte der Königliche böhmische Gesellschaft der Wissenschaften في براغ . jharg. 1878-1880: 112-120 .

[90] كري ، هـ. (1909). "Neuer Beweis eines arithmetischen Satzes". الرياضيات-Naturwissenschaftliche Blätter . 6 (12): 179- 180.

[91] ستوكهاوس ح (1910). Beitrag zum Beweis des Fermatschen Satzes . لايبزيغ: Brandstetter.

[92] كارمايكل آر دي (1915). التحليل الديوفانتي . نيويورك: وايلي.

[van_der_Corput_1915-93] أب فان دير كوربوت جي جي (1915). "Quelquesformes Quadratiques et quelques équations indéterminées". أرشيف جديد لـ Wiskunde . 11 : 45 - 75.

[94] ثوي ، أكسل (1917). "ويجب أن تكون الخطوط A3 + B3 = C3 غير قابلة للتغيير من أي شكل من الأشكال A، B og C". أرشيف لMathematik og Naturvidenskab . 34 (15): 3-7 .أعيد طبعه في أوراق رياضية مختارة (1977)، أوسلو: Universitetsforlaget، الصفحات من 555 إلى 559

[95] دوارتي إف جيه (1944). "حول الإكواسيا x ³ + y ³ + z ³ = 0". Boletín de la Academia de Ciencias Físicas, Matemáticas y Naturales (كاراكاس) . 8 : 971 – 979.

[96] Freeman L (28 أكتوبر 2005). "نظرية فيرما الأخيرة: إثبات لـ n = 5" . تم الاسترجاع في 23 مايو 2009 .

[97] ريبنبويم، ص 49

[FOOTNOTEMordell19218–9-98] مورديل 1921، ص 8-9

[Singh,_p._106-99] أب سينغ، ص 106

[100] ريبنبويم، ص 55-57

[101] غاوس CF (1875). "Neue Theorie der Zerlegung der Cuben". Zur Theorie der complexen Zahlen، Werke، vol. الثاني (الطبعة الثانية). كونيجل. جيز. ويس. غوتنغن. ص 387 – 391.(نُشر بعد وفاته)

[102] ليبيسج فيرجينيا (1843). "نظريات جديدة حول المعادلة غير المحددة x ⁵ + y ⁵ = az ⁵ ". مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقات . 8 : 49 – 70.

[103] لامي جي (1847). "ذاكرة حول الحل في عدد من المجمعات للمعادلة A ⁵ + B ⁵ + C ⁵ = 0". مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقات . 12 : 137 - 171.

[104] غامبيولي د (1903-1904). "Intorno all'ultimo teorema di Fermat". إيل بيتاجورا . 10 : 11 – 13 ، 41 – 42 .

[105] Werebrusow AS (1905). "حول المعادلة x ⁵ + y ⁵ = Az ⁵(بالروسية) ". موسكو. الرياضيات . المجموعة 25 : 466– 473.

[106] ريشليك ك (1910). “في نظرية فيرما الأخيرة لـ n = 5 (باللغة البوهيمية) ”. كاسوبيس بيست. حصيرة . 39 : 185 – 195 ، 305 – 317.

[107] تيريجانيان جي (1987). "Sur une question de VA Lebesgue". حوليات معهد فورييه . 37 (3): 19– 37. دوى : 10.5802/aif.1096 .

[108] ريبنبويم، ص 57-63

[FOOTNOTEMordell19218-109] مورديل 1921، ص 8

[Lame_1839-110] لامي جي (1839). "ذاكرة حول آخر نظرية فيرما". Comptes rendus hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 9 : 45 - 46.
لامي جي (1840). "ذاكرة التحليل غير المحددة توضح أن المعادلة x ⁷ + y ⁷ = z ⁷ مستحيلة في عدد كامل". مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقات . 5 : 195 - 211.

[111] ليبيسج فيرجينيا (1840). "إظهار استحالة إيجاد المعادلة x ⁷ + y ⁷ + z ⁷ = 0 بأسماء كاملة". مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقات . 5 : 276 – 279 ، 348 – 349.

[112] Freeman L (18 يناير 2006). "نظرية فيرما الأخيرة: إثبات لـ n = 7" . تم الاسترجاع في 23 مايو 2009 .

[113] جينوتشي أ (1864). "Intorno all'equazioni x7 + y7 + z7 = 0". Annali di Matematica Pura ed Applicata . 6 : 287-288 . دوى :10.1007 / bf03198884. S2CID 124916552.
جينوتشي أ (1874). "Sur l'impossibilité de quelques égalités double". Comptes rendus hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 78 : 433 – 436.
جينوكي أ (1876). "تعميم نظرية اللاميه حول استحالة المعادلة x ⁷ + y ⁷ + z ⁷ = 0". Comptes rendus hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 82 : 910- 913.

[114] بيبين تي (1876). "استحالة المعادلة x ⁷ + y ⁷ + z ⁷ = 0". Comptes rendus hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 82 : 676 – 679 ، 743 – 747.

[115] مايليت إي (1897). "Sur l'équation indéterminée axlect + byạt = czạt". الجمعية الفرنسية للنهوض بالعلوم، سانت إتيان، Compte Rendu de la 26me Session، deuxième Partie . 26 : 156 – 168.

[116] ثوي أ (1896). "Über die Auflösbarkeit einiger unbestimmter Gleichungen". Det Kongelige Norske Videnskabers Selskabs Skrifter . 7 .أعيد طبعه في أوراق رياضية مختارة ، الصفحات من 19 إلى 30، أوسلو: Universitetsforlaget (1977).

[117] تافيلماخر WLA (1897). "La ecuación x ³ + y ³ = z ² : عرض جديد لنظرية التخمير لحالة الإمكانيات". أناليس دي لا يونيفرسيداد دي تشيلي . 97 : 63 – 80.

[118] ليند ب (1909). "Einige zahlentheoretische Sätze". أرشيف الرياضيات والفيزياء . 15 : 368 – 369.

[Kapferer_1913-119] أب كابفرير ح (1913). "Beweis des Fermatschen Satzes für die Exponenten 6 und 10". أرشيف الرياضيات والفيزياء . 21 : 143 - 146.

[120] سويفت إي (1914). "حل المشكلة 206". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 21 (7): 238– 239. doi :10.2307/2972379. JSTOR 2972379.

[Breusch_1960-121] Breusch R (1960). "إثبات بسيط لنظرية فيرما الأخيرة لـ n = 6، n = 10". مجلة الرياضيات . 33 (5): 279– 281. doi :10.2307/3029800. JSTOR 3029800.

[122] ديريشليت PGL (1832). "عرض نظرية فيرمات لحالة 14 ^قوة ". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 9 : 390 – 393.أعيد طبعه في Werke ، المجلد الأول، ص 189-194، برلين: G. Reimer (1889)؛ أعيد طبعه نيويورك: تشيلسي (1969).

[123] تيريجانيان جي (1974). "المعادلة x ¹⁴ + y ¹⁴ = z ¹⁴ بالأسماء كلها". نشرة العلوم الرياضية . السلسلة 2. 98 : 91 – 95.

[FOOTNOTEEdwards199673–74-124] إدواردز 1996، ص 73-74

[FOOTNOTEEdwards199674-125] Edwards 1996، ص 74

[FOOTNOTEDickson1919733-126] ديكسون 1919، ص 733

[127] Ribenboim P (1979). 13 محاضرة عن نظرية فيرما الأخيرة . نيويورك: دار نشر سبرينغر. ص 51-54 . ISBN 978-0-387-90432-0.

[128] سينغ، ص 97-109

[Laubenbacher_2007-129] من قبل Laubenbacher R، Pengelley D (2007). "Voici ce que j'ai trouvé: Sophie Germain's grand plan to proof Fermat's Last Theorem" (PDF) . مؤرشف من الأصل (PDF) في 5 أبريل 2013. تم الاسترجاع في 19 مايو 2009 .

[FOOTNOTEAczel199657-130] أكزيل 1996، ص 57

[131] تريجانيان ، ج. (1977). "على المعادلة x ²^p + y ²^p = z ²^p ". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB . 285 : 973 – 975.

[132] Adleman LM, Heath-Brown DR (يونيو 1985). "الحالة الأولى لنظرية فيرما الأخيرة". Inventiones Mathematicae . 79 (2). برلين: Springer: 409– 416. Bibcode :1985InMat..79..409A. doi :10.1007/BF01388981. S2CID 122537472.

[FOOTNOTEEdwards199679-133] إدواردز 1996، ص 79

[FOOTNOTEAczel199684–88-134] أكزيل 1996، ص 84-88

[135] سينغ، ص 232-234

[136] فالتينجس جي (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". اختراعات الرياضيات . 73 (3): 349– 366. بيب كود :1983InMat..73..349F. دوى :10.1007/BF01388432. S2CID 121049418.

[137] Ribenboim P (1979). 13 محاضرة عن نظرية فيرما الأخيرة . نيويورك: دار نشر سبرينغر. ص 202. ISBN 978-0-387-90432-0.

[138] Wagstaff SS Jr. (1978). "الأعداد الأولية غير المنتظمة حتى 125000". رياضيات الحوسبة . 32 (142). الجمعية الرياضية الأمريكية: 583- 591. doi :10.2307/2006167. JSTOR 2006167.(PDF) محفوظ في 24 أكتوبر 2012 على موقع Wayback Machine

[Singh-139] نظرية فيرما الأخيرة، سيمون سينغ، 1997، ISBN 1-85702-521-0

[141] Frey G (1986). "الروابط بين المنحنيات الإهليلجية المستقرة ومعادلات ديوفانتين معينة". حوليات جامعة سارافيينسيس. سلسلة الرياضيات . 1 : 1– 40.

[142] سينغ، ص 194-198

[FOOTNOTEAczel1996109–114-143] أكزيل 1996، ص 109-114

[ribet90-144] ريبيت، كين (1990). "حول التمثيلات المعيارية لـ Gal(Q/Q) الناشئة عن الأشكال المعيارية" (PDF) . اختراعات الرياضيات . 100 (2): 431– 476. رمز Bibcode :1990InMat.100..431R. doi :10.1007/BF01231195. hdl :10338.dmlcz/147454. MR 1047143. S2CID 120614740.

[145] سينغ، ص 205

[FOOTNOTEAczel1996117–118-146] أكزيل 1996، ص 117-118

[147] سينغ، ص 237-238

[FOOTNOTEAczel1996121–122-148] أكزيل 1996، ص 121-122

[149] سينغ، ص 239-243

[FOOTNOTEAczel1996122–125-150] أكزيل 1996، ص 122-125

[151] سينغ، ص 244-253

[FOOTNOTEAczel19961–4,_126–128-152] أكزيل 1996، ص 1-4 ، 126-128

[FOOTNOTEAczel1996128–130-153] أكزيل 1996، ص 128-130

[154] سينغ، ص 257

[sept1994-155] سينغ، ص 269-277

[156] بعد مرور عام، لا تزال العقبة قائمة في إثبات الرياضيات 28 يونيو 1994

[157] 26 يونيو – 2 يوليو؛ بعد مرور عام، لغز فيرما لا يزال غير دقيق تمامًا 3 يوليو 1994

[158] سينغ، ص 175-185

[FOOTNOTEAczel1996132–134-159] أكزيل 1996، ص 132-134

[160] سينغ ص 186-187 (النص مختصر)

[161] Wiles, Andrew (1995). "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" (PDF) . Annals of Mathematics . 141 (3): 443– 551. doi :10.2307/2118559. JSTOR 2118559. OCLC 37032255. مؤرشف من الأصل (PDF) في 28 يونيو 2003.

[162] "المنحنيات الإهليلجية المعيارية ونظرية فيرما الأخيرة" (PDF) .

[163] Taylor R , Wiles A (1995). "Ring theoretic properties of some Hecke algebras". Annals of Mathematics . 141 (3): 553– 572. doi :10.2307/2118560. JSTOR 2118560. OCLC 37032255. مؤرشف من الأصل في 27 نوفمبر 2001.

[princeton-companion-164] Barrow-Green, June; Leader, Imre; Gowers, Timothy (2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ص 361– 362. ISBN 9781400830398.

[165] "تخمين مولدين / تيجدمان-زاجير". الألغاز الأولية . تم الاسترجاع في 1 أكتوبر 2016 .

[Elkies-166] إلكيز، نوام د. (2007). "أبجديات نظرية الأعداد" (PDF) . مراجعة الرياضيات في كلية هارفارد . 1 (1).

[167] ميشيل فالدشميت (2004). “مشكلات ديوفانتين المفتوحة”. مجلة موسكو الرياضية . 4 : 245 – 305. أرخايف : الرياضيات/0312440 . دوى :10.17323/1609-4514-2004-4-1-245-305. S2CID 11845578.

[PrimeNumbers-168] كراندال، ريتشارد؛ بوميرانس، كارل (2000). الأعداد الأولية: منظور حسابي . سبرينغر. ص. 417. ISBN 978-0387-25282-7.

[169] "تخمين بيل". الجمعية الرياضية الأمريكية . تم الاسترجاع في 21 أغسطس 2016 .

[170] كاي، تيانشين؛ تشن، ديي. تشانغ، يونغ (2015). “تعميم جديد لنظرية فيرما الأخيرة”. مجلة نظرية الأعداد . 149 : 33 – 45. أرخايف : 1310.0897 . دوى :10.1016/j.jnt.2014.09.014. S2CID 119732583.

[171] ميهايليسكو، بريدا (2007). "دراسة سيكلوتومية لتخمين كاتالان-فيرمات". Mathematica Gottingensis .

[172] Lenstra Jr. HW (1992). "حول معادلة فيرما العكسية". الرياضيات المنفصلة . 106– 107: 329– 331. doi :10.1016/0012-365x(92)90561-s.

[173] Newman M (1981). "معادلة ديوفانتينية جذرية". مجلة نظرية الأعداد . 13 (4): 495- 498. doi : 10.1016/0022-314x(81)90040-8 .

[174] بينيت، كورتيس د.؛ جلاس، إيه إم دبليو؛ سيكيلي، جابور ج. (2004). "نظرية فيرما الأخيرة للأسس النسبية". المجلة الشهرية الأمريكية للرياضيات . 111 (4): 322– 329. doi :10.2307/4145241. JSTOR 4145241. MR 2057186.

[FOOTNOTEDickson1919688–691-175] ديكسون 1919، ص 688-691

[176] فولز، روجر (يوليو 1999). "حلول عددية صحيحة لـ a ⁻² + b ⁻² = d ⁻² ". مجلة الرياضيات . 83 (497): 269– 271. doi :10.2307/3619056. JSTOR 3619056. S2CID 123267065.

[177] ريتشينيك، جينيفر (يوليو 2008). "نظرية فيثاغورس المقلوبة". الجريدة الرياضية . 92 : 313– 317. doi :10.1017/S0025557200183275. S2CID 125989951.

[178] Lang, Serge (2002). Algebra . Graduate Texts in Mathematics. المجلد 211. Springer-Verlag New York. ص 196.

[179] Elkies, Noam (1991). "ABC means Mordell". International Mathematics Research Notices . 1991 (7): 99– 109. doi : 10.1155/S1073792891000144 . يُعمم دليلنا الاستدلال المعروف "ABC الفعال [سهم يمين] فيرما النهائي" والذي كان الدافع الأصلي لتخمين ABC

[Granville-Tucker-180] Granville, Andrew ; Tucker, Thomas (2002). "It's As Easy As abc" (PDF) . إشعارات الجمعية الأمريكية للطب . 49 (10): 1224– 1231.

[181] جوزيف أوسترلي (1988). "Nouvelles تقترب من "théorème" de Fermat". النجمية . ندوة بوربكي EXP 694 (161): 165– 186. ISSN 0303-1179. السيد 0992208.

[FOOTNOTEAczel199669-182] Aczel 1996، ص 69

[183] سينغ، ص 105

[Koshy_2001-184] Koshy T (2001). نظرية الأعداد الأولية مع التطبيقات . نيويورك: أكاديميك بريس. ص 544. ISBN 978-0-12-421171-1.

[185] سينغ، ص 120-125، 131-133، 295-296

[FOOTNOTEAczel199670-186] أكزيل 1996، ص 70

[187] سينغ، ص 120-125

[188] سينغ، ص 284

[189] "جائزة آبل 2016". جائزة آبل . لجنة جائزة آبل. مارس 2016. مؤرشف من الأصل في 20 مايو 2020. تم الاسترجاع 16 مارس 2016 .

[190] سينغ، ص 295

[191] العجلات والحياة وغيرها من التسلية الرياضية ، مارتن جاردنر

[192] سينغ، ص 295-296

[193] جارمون، جاي (21 فبراير 2006). "حقائق غريبة: الرياضيات وراء الأسطورة". TechRepublic . تم الاسترجاع في 21 مايو 2022 .

[194] كاسمان، أليكس (يناير 2003). "الرياضيات في الخيال: دورة تدريبية متعددة التخصصات". PRIMUS . 13 (1): 1– 16. doi :10.1080/10511970308984042. ISSN 1051-1970. S2CID 122365046.

[SinghSimpsons-195] سينغ، سيمون (2013). عائلة سمبسون وأسرارهم الرياضية. دار نشر إيه آند سي بلاك. ص 35-36 . رقم ISBN 978-1-4088-3530-2.

[196] موسمان، أندرو (1 سبتمبر 2017). "إليك خطأ رياضيًا ممتعًا في "ستار تريك: الجيل التالي". ميكانيكا شعبية . تم الاسترجاع في 9 يونيو 2023 .

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗

تتضمن طبعة 1670 من كتاب ديوفانتوس الحساب تعليق فيرما، المشار إليه باسم "النظرية الأخيرة" ( Observatio Domini Petri de Fermat )، التي نشرها ابنه بعد وفاته.
مجال	نظرية الأعداد
إفادة	بالنسبة لأي عدد صحيح $n > 2$ ، فإن المعادلة $a n + b n = c n$ ليس لها حلول صحيحة موجبة.
صرح بذلك لأول مرة	بيير دي فيرما
تم ذكره لأول مرة في	حوالي 1637
أول دليل بواسطة	أندرو وايلز
أول دليل في	صدر عام 1994 ونشر عام 1995
ضمنيًا بواسطة	تخمين abc الفعال تخمين Szpiro المعدل الفعال نظرية الوحدات النمطية
التعميمات	تخمين بيل تخمين فيرما-كاتالوني