علم الأجزاء

يتطلب النظام الميرولوجي علاقة ثنائية أولية واحدة على الأقل ( مسند ثنائي ). الخيار الأكثر شيوعًا لهذه العلاقة هو الجزءية (وتسمى أيضًا "الاحتواء")، " س جزء من ص "، وتُكتب Pxy . تتطلب جميع الأنظمة تقريبًا أن تُرتّب الجزءية الكون جزئيًا . العلاقات المحددة التالية، المطلوبة للبديهيات أدناه، تنبثق مباشرةً من الجزءية وحدها: ^{[ 3 ]}

• المسند المُعرَّف مباشرةً هو "س جزءٌ أصيلٌ من ص "، ويُكتب PPxy ، وهو صحيح (أي مُتحقق) إذا كانت Pxy صحيحة و Pyx خاطئة. بالمقارنة مع مفهوم الجزءية (وهو ترتيب جزئي )، فإن ProperPart هو ترتيب جزئي صارم .

${\displaystyle PPxy\leftrightarrow (Pxy\land \lnot Pyx).}$3.3

إن الجسم الذي يفتقر إلى أجزاء محددة هو الذرة . ويتكون الكون الميرولوجي من جميع الأجسام التي نرغب في التفكير فيها، وجميع أجزائها المحددة.

• التداخل : يتداخل x و y ، ويكتب Oxy ، إذا كان هناك كائن z بحيث يتحقق كل من Pzx و Pzy .

${\displaystyle Oxy\leftrightarrow \exists z[Pzx\land Pzy].}$3.1

أجزاء z ، أو "التداخل" أو "الناتج" بين x و y ، هي تحديداً تلك الأشياء التي تشكل أجزاء من كل من x و y .

• التداخل السفلي : يتداخل x و y ، ويكتب Uxy ، إذا كان هناك كائن z بحيث يكون x و y كلاهما أجزاء من z .

${\displaystyle Uxy\leftrightarrow \exists z[Pxz\land Pyz].}$3.2

التداخل والتداخل السفلي هما انعكاسي ومتناظر وغير متعدٍ .

تختلف الأنظمة في العلاقات التي تعتبرها أولية ومحددة. على سبيل المثال، في الميرولوجيا الامتدادية (المُعرّفة أدناه)، يمكن تعريف الجزءية من خلال التداخل على النحو التالي:

${\displaystyle Pxy\leftrightarrow \forall z[Ozx\rightarrow Ozy].}$3.31

لقد وُجدت العديد من الرموز المستخدمة في علم الأجزاء. يعتمد الجدول أدناه على المقارنة الواردة في كتاب بيتر سيمونز، "الأجزاء"، صفحة 99. ^{[ 10 ]}

عملية أو مصطلح	سبتمبر [ 3 ]	سيمونز	ليونارد-غودمان	تارسكي	بيتروسزاك [ 14 ] [ ب ]	أخرى (مفصولة بفواصل)
x جزء من y	${\displaystyle Pxy}$	${\displaystyle x<y}$	${\displaystyle x<y}$	${\displaystyle Pxy}$	${\displaystyle x\sqsubseteq y}$	⊂، ⊆، ≤، ⪯، ⊑
x جزء صحيح من y	${\displaystyle PPxy}$	${\displaystyle x\ll y}$	${\displaystyle x\ll y}$		${\displaystyle x\sqsubset y}$	⊂، ⊊، <
يتداخل المحوران x و y	$أوكسي$	${\displaystyle x\circ y}$	${\displaystyle x\circ y}$		${\displaystyle x\bigcirc y}$	0
تداخل x و y	${\displaystyle Uxy}$				${\displaystyle x\;{\mathsf {Un}}\;y}$
x و y منفصلان	${\displaystyle Dxy}$	${\displaystyle x\mid y}$	${\displaystyle x\mid y}$		${\displaystyle x\wr y}$	∣, )(, Z
حاصل الضرب (الثنائي) لـ x و y	${\displaystyle x\times y}$	${\displaystyle x\cdot y}$	${\displaystyle xy}$	${\displaystyle x\cap y}$	${\displaystyle x\sqcap y}$	${\displaystyle x\land y}$
المجموع (الثنائي) لـ x و y	${\displaystyle x+y}$	${\displaystyle x+y}$	${\displaystyle x+y}$	${\displaystyle x\cup y}$	${\displaystyle x\sqcup y}$
الشيء الشامل (أعلى)	${\displaystyle U}$	${\displaystyle U}$	${\displaystyle U}$	${\displaystyle w}$	${\displaystyle U}$	أ*، غير
يمثل x مجموع المجموعة α		${\displaystyle x\,\mathrm {سو} \,\alpha }$	${\displaystyle x\,\mathrm {فو} \,\alpha }$	${\displaystyle x\Sigma \alpha }$	${\displaystyle x\;{\mathsf {sum}}\;\alpha }$،${\displaystyle x\;{\mathsf {fu}}\;\alpha }$	S، F
x هو حاصل ضرب المجموعة α		${\displaystyle x\,\mathrm {Pr} \,\alpha }$	${\displaystyle x\,\mathrm {نو} \,\alpha }$	${\displaystyle x\Pi \alpha }$		P، N
متمم x	${\displaystyle \sim x}$	${\displaystyle {\bar {x}}}$	${\displaystyle -x}$	${\displaystyle -x}$	${\displaystyle -x}$
المجموع (العام) لـ x بحيث${\displaystyle \varphi x}$	${\displaystyle \sigma x\varphi x}$	${\displaystyle \sigma x\varphi x}$
حاصل الضرب (العام) لـ x بحيث${\displaystyle \varphi x}$	${\displaystyle \pi x\,\varphi x}$	${\displaystyle \pi x\,\varphi x}$

البديهيات هي: ^{[ 13 ] [ 3 ]}

• يُنظّم التقسيم الجزئي الكون جزئياً :

M1، انعكاسي : الشيء جزء من نفسه.

${\displaystyle \ Pxx.}$الصفحة 1

M2، مضاد التناظر : إذا تحققت كل من Pxy و Pyx ، فإن x و y هما نفس الشيء.

${\displaystyle (Pxy\land Pyx)\rightarrow x=y.}$ص.2

M3، متعدٍ : إذا كان Pxy و Pyz ، فإن Pxz .

${\displaystyle (Pxy\land Pyz)\rightarrow Pxz.}$ص 3

• M4، التكملة الضعيفة : إذا تحققت PPxy ، فهناك z ​​بحيث تتحقق Pzy ولكن Ozx لا تتحقق.

${\displaystyle PPxy\rightarrow \exists z[Pzy\land \lnot Ozx].}$ص 4

• M5، التكملة القوية : إذا لم يتحقق Pyx ، فهناك z ​​بحيث يتحقق Pzy ولكن Ozx لا يتحقق.

${\displaystyle \lnot Pyx\rightarrow \exists z[Pzy\land \lnot Ozx].}$ص. 5

• M5'، التكملة الذرية : إذا لم يتحقق Pxy ، فإنه يوجد ذرة z بحيث يتحقق Pzx ولكن Ozy لا يتحقق.

${\displaystyle \lnot Pxy\rightarrow \exists z[Pzx\land \lnot Ozy\land \lnot \exists v[PPvz]].}$ص.5

• أعلى : يوجد "كائن شامل"، يُشار إليه بـ W ، بحيث يتحقق PxW لأي x .

${\displaystyle \exists W\forall x[PxW].}$3.20

تُعتبر النقطة العليا نظرية إذا تحققت المصفوفة M8.

• أسفل : يوجد "كائن فارغ" ذري، يُشار إليه بـ N ، بحيث يتحقق PNx لأي x .

${\displaystyle \exists N\forall x[PNx].}$3.22

• M6، المجموع : إذا تحقق Uxy ، فهناك z ، يسمى "مجموع" أو "اندماج" x و y ، بحيث تكون الكائنات المتداخلة مع z هي تلك الكائنات التي تتداخل إما مع x أو y .

${\displaystyle Uxy\rightarrow \exists z\forall v[Ovz\leftrightarrow (Ovx\lor Ovy)].}$ص.6

• M7، المنتج : إذا تحققت الفرضية Oxy ، فإنه يوجد z ، يسمى "منتج" x و y ، بحيث تكون أجزاء z هي تلك الأشياء التي هي أجزاء من كل من x و y .

${\displaystyle Oxy\rightarrow \exists z\forall v[Pvz\leftrightarrow (Pvx\land Pvy)].}$ص 7

إذا لم تتحقق المعادلة Oxy ، فإن x و y ليس لهما أجزاء مشتركة، ويكون حاصل ضرب x و y غير معرف.

• M8، الاندماج غير المقيد : ليكن φ( x ) صيغة من الدرجة الأولى حيث x متغير حر . عندئذٍ يوجد اندماج لجميع الكائنات التي تحقق φ.

${\displaystyle \exists x[\phi (x)]\to \exists z\forall y[Oyz\leftrightarrow \exists x[\phi (x)\land Oyx]].}$ص 8

يُطلق على M8 أيضًا اسم "مبدأ المجموع العام"، أو "التركيب غير المقيد"، ^{[ 4 ]} أو "المجموع غير المقيد"، ^{[ 3 ]} أو "التركيب الميرولي غير المقيد"، أو "الشمولية". يتوافق M8 مع مبدأ الفهم غير المقيد لنظرية المجموعات البسيطة ، والذي يُفضي إلى مفارقة راسل . لا يوجد نظير ميرولي لهذه المفارقة ببساطة لأن الجزءية ، على عكس عضوية المجموعة، انعكاسية .

• M8'، الاندماج الفريد : الاندماجات التي يؤكد M8 وجودها فريدة أيضًا. ويُطلق عليها أيضًا "تفرد التركيب". ^{[ 4 ]} ص 8'
• M9، الذرية : جميع الأجسام إما ذرات أو اندماجات من الذرات.

${\displaystyle \exists y[Pyx\land \forall z[\lnot PPzy]].}$ص 10

يصف كلٌّ من سيمونز (1987) ^{[ 10 ]} ، وكاساتي وفارزي (1999) ^{[ 13 ]} ، وهوفدا (2008) ^{[ 15 ]} العديد من الأنظمة الميرولوجية التي تُستمد بديهياتها من القائمة المذكورة أعلاه. نعتمد التسمية المكتوبة بخط غامق لكاساتي وفارزي. يُعدّ النظام المعروف باسم الميرولوجية الامتدادية الكلاسيكية ، والذي يُشار إليه اختصارًا بـ CEM (سيتم شرح الاختصارات الأخرى لاحقًا)، أشهر هذه الأنظمة. في CEM ، تُعتبر البديهيات من P.1 إلى P.8' بديهيات أو نظريات. أما M9 و Top و Bottom فهي اختيارية.

يتم ترتيب الأنظمة في الجدول أدناه جزئيًا حسب الاحتواء ، بمعنى أنه إذا كانت جميع نظريات النظام A هي أيضًا نظريات للنظام B، ولكن العكس ليس صحيحًا بالضرورة ، فإن B يشمل A. مخطط هاس الناتج مشابه للشكل 3.2 في Casati و Varzi (1999: 48).

هناك طريقتان متكافئتان لإثبات أن الكون مُرتب جزئيًا : إما افتراض M1-M3، أو افتراض أن الجزءية الصحيحة متعدية وغير متناظرة ، وبالتالي فهي ترتيب جزئي صارم . ينتج عن أي من هذين النظامين البديهيين النظام M. يستبعد M2 الحلقات المغلقة المُشكّلة باستخدام الجزءية، مما يجعل علاقة الجزء مؤسسة جيدًا . تكون المجموعات مؤسسة جيدًا إذا افترضنا بديهية الانتظام . تتضمن الأدبيات اعتراضات فلسفية ومنطقية متفرقة على تعدية الجزءية.

M4 وM5 طريقتان لتأكيد التكميل، وهو النظير الميرولوجيا لتكملة المجموعة ، مع كون M5 أقوى لأن M4 مشتقة من M5. ينتج عن M وM4 الميرولوجيا الدنيا ، MM . وبإعادة صياغتها بدلالة الجزء الخاص، تُعتبر MM النظام الأدنى المفضل لدى سيمونز (1987) ^{[ 10 ]} .

في أي نظام يُفترض فيه وجود M5 أو M5' أو يمكن استنتاجهما، يُمكن إثبات أن كائنين لهما نفس الأجزاء الفعلية متطابقان. تُعرف هذه الخاصية باسم "الامتدادية" ، وهو مصطلح مُستعار من نظرية المجموعات، حيث تُعدّ الامتدادية بديهية أساسية لها. تُسمى الأنظمة الميرولوجية التي تتحقق فيها الامتدادية بالأنظمة الامتدادية ، ويُشار إلى ذلك بإضافة الحرف E إلى أسمائها الرمزية.

تؤكد المبرهنة M6 أن أي كائنين متداخلين من الأسفل لهما مجموع وحيد؛ وتؤكد المبرهنة M7 أن أي كائنين متداخلين من الأعلى لهما حاصل ضرب وحيد. إذا كان الكون محدودًا أو إذا افترضنا وجود المجموعة العليا (Top) ، فإن الكون يكون مغلقًا تحت تأثير المجموعة الكلية (Sum) . يتطلب الإغلاق الشامل لحاصل الضرب (Puttom ) والتكميل بالنسبة إلى المجموعة W وجود المجموعة الدنيا (Bottom) . من الواضح أن W و N هما النظير الميرولوجي للمجموعتين الكلية والفارغة ، كما أن المجموع (Sum) وحاصل الضرب (Puttom) هما نظيرا الاتحاد والتقاطع في نظرية المجموعات . إذا افترضنا وجود المبرهنتين M6 وM7 أو كان من الممكن استنتاجهما، فإن النتيجة هي ميرولوجيا ذات إغلاق.

لأن الجمع والضرب عمليتان ثنائيتان، فإن البديهيتين M6 وM7 تسمحان بجمع وضرب عدد محدود فقط من العناصر. أما بديهية الاندماج غير المقيد ، M8، فتُمكّن من جمع عدد لا نهائي من العناصر. وينطبق الأمر نفسه على الضرب ، عند تعريفه. عند هذه النقطة، غالبًا ما تستدعي نظرية المجموعات علم الأجزاء ، ولكن يمكن الاستغناء عن أي لجوء إلى نظرية المجموعات باستبدال صيغة ذات متغير كمي يمتد على فضاء المجموعات بصيغة تخطيطية ذات متغير حر واحد . وتكون الصيغة صحيحة (مُحققة) عندما يحل اسم عنصر كان سيُشكّل عضوًا في المجموعة (لو وُجد) محل المتغير الحر. وبالتالي، يمكن استبدال أي بديهية تتضمن مجموعات بمخطط بديهي ذي صيغ فرعية ذرية أحادية. M8 وM8' هما مخططان من هذا النوع. لا يمكن لبنية نظرية الرتبة الأولى وصف سوى عدد قابل للعد من المجموعات. وبالتالي، لا يمكن استبعاد سوى عدد لا يحصى من المجموعات بهذه الطريقة، ولكن هذا القيد ليس ملزمًا لنوع الرياضيات التي يتم التفكير فيها هنا.

إذا تحققت الفرضية M8، فإن W موجود في الأكوان اللانهائية. لذا، لا يلزم افتراض Top إلا إذا كان الكون لانهائيًا ولم تتحقق الفرضية M8. لا يُعد افتراض Top (بافتراض W ) مثيرًا للجدل، بينما يُعد افتراض Bottom (بافتراض N ) كذلك. رفض ليشنيفسكي Bottom ، وتتبع معظم الأنظمة الميرولوجية نهجه (باستثناء أعمال ريتشارد ميلتون مارتن ). وبالتالي، فبينما يكون الكون مغلقًا تحت عملية الجمع، فإن حاصل ضرب الكائنات التي لا تتداخل يكون عادةً غير مُعرَّف. النظام الذي يحتوي على W ولا يحتوي على N يكون متماثلًا مع:

• جبر بولياني يفتقر إلى الصفر؛
• شبكة شبه متصلة محدودة من الأعلى بـ 1. يفسر الاندماج الثنائي و W عملية الانضمام و 1 على التوالي.

إن افتراض N يجعل جميع المنتجات الممكنة قابلة للتعريف، ولكنه يحول أيضًا علم الأجزاء الامتدادي الكلاسيكي إلى نموذج خالٍ من المجموعات للجبر البولياني .

إذا سُمح بالمجموعات، فإنّ M8 تؤكد وجود اندماج جميع عناصر أي مجموعة غير فارغة. يُطلق على أي نظام ميرولوجي تتحقق فيه M8 اسم النظام العام ، ويتضمن اسمه G. في أي ميرولوجي عام، يمكن إثبات M6 وM7. إضافة M8 إلى ميرولوجي امتدادي ينتج عنه ميرولوجي امتدادي عام ، يُختصر بـ GEM ؛ علاوة على ذلك، فإنّ الامتدادية تجعل الاندماج فريدًا. على العكس من ذلك، إذا افترضنا أن الاندماج الذي تؤكده M8 فريد، بحيث تحل M8' محل M8، فإنّ M3 وM8' - كما بيّن تارسكي (1929) - تكفيان لوضع بديهيات GEM ، وهي نتيجة اقتصادية بشكل ملحوظ. يسرد سيمونز (1987: 38-41) عددًا من نظريات GEM .

إنّ M2 والكون المحدود يستلزمان بالضرورة الذرية ، أي أن كل شيء إما ذرة أو يحتوي على ذرات ضمن أجزائه. إذا كان الكون لانهائيًا، فإن الذرية تتطلب M9. بإضافة M9 إلى أي نظام ميرولوجي، X ، ينتج عنه الصيغة الذرية منه، والتي يُرمز لها بـ AX . تسمح الذرية بالاختصارات، على سبيل المثال، بافتراض أن M5' يستلزم الذرية والامتداد، وتُنتج صياغة بديهية بديلة لـ AGEM .

في علم الوجود، توجد عدة معضلات تتعلق بحالات التكوين الجزئي، أي ما يُشكّل الكل. ^{[ 16 ]} لا يزال هناك اهتمام بالأجزاء والكل، ولكن بدلاً من النظر إلى الأجزاء التي تُشكّل الكل، ينصب التركيز على ما يتكون منه الشيء، مثل مواده، كالبرونز في تمثال برونزي. فيما يلي اثنتان من المعضلات الرئيسية التي يستخدمها الفلاسفة لمناقشة التكوين.

سفينة ثيسيوس: باختصار، اللغز كالتالي: هناك سفينة تُسمى سفينة ثيسيوس . مع مرور الوقت، بدأت ألواحها بالتعفن، فقمنا بإزالتها ووضعناها في كومة. السؤال الأول: هل السفينة المصنوعة من الألواح الجديدة هي نفسها السفينة التي كانت تحتوي على جميع الألواح القديمة؟ ثانيًا، إذا قمنا بإعادة بناء سفينة باستخدام جميع الألواح القديمة، وما إلى ذلك، من سفينة ثيسيوس، وكان لدينا أيضًا سفينة بُنيت من ألواح جديدة (أُضيفت كل واحدة منها تدريجيًا مع مرور الوقت لاستبدال الألواح القديمة المتآكلة)، فأي سفينة هي سفينة ثيسيوس الحقيقية؟

التمثال وكتلة الطين: باختصار، يقرر النحات تشكيل تمثال من كتلة من الطين.${\displaystyle t_{1}}$لدى النحات كتلة من الطين. بعد العديد من عمليات التشكيل في وقت واحد${\displaystyle t_{2}}$يوجد تمثال. السؤال المطروح هو: هل كتلة الطين والتمثال متطابقان (عدديًا)؟ إذا كان الأمر كذلك، فكيف ولماذا؟ ^{[ 17 ]}

عادةً ما يكون للدستور آثارٌ على النظريات المتعلقة بالاستمرارية: كيف يستمر وجود شيء ما عبر الزمن إذا تغيرت أجزاؤه (مواده) أو أُزيلت، كما هو الحال مع البشر الذين يفقدون خلايا، ويتغير طولهم، ولون شعرهم، وذكرياتهم، ومع ذلك يُقال إننا نفس الشخص اليوم كما كنا عند ولادتنا؟ على سبيل المثال، تيد سايدر هو نفسه اليوم كما كان عند ولادته - لقد تغير فقط. ولكن كيف يمكن أن يكون هذا إذا لم تكن أجزاء كثيرة من تيد موجودة اليوم عندما وُلد؟ هل من الممكن لأشياء، مثل الكائنات الحية، أن تستمر؟ وإذا كان الأمر كذلك، فكيف؟ هناك العديد من الآراء التي تحاول الإجابة على هذا السؤال. بعض هذه الآراء هي كما يلي (لاحظ أن هناك العديد من الآراء الأخرى): ^{[ 18 ] [ 19 ]}

(أ) وجهة نظر الدستور. تقبل هذه الوجهة فكرة التعايش، أي أن جسمين يشتركان في نفس المادة تمامًا. ويترتب على ذلك أنه لا توجد أجزاء زمنية.

(ب) الجوهرية الميرولوجية ، التي تنص على أن الأشياء الوحيدة الموجودة هي كميات من المادة، وهي أشياء تُعرَّف بأجزائها. يبقى الشيء موجودًا إذا أُزيلت المادة (أو تغير شكله)؛ لكن الشيء يتلاشى إذا فُنيت أي مادة منه.

(ج) الأنواع السائدة. هذا هو الرأي القائل بأن التتبع يتحدد بالنوع السائد؛ فهم يرفضون التعايش. على سبيل المثال، الكتلة لا تساوي التمثال لأنهما "نوعان" مختلفان.

(د) العدمية - التي تدعي أنه لا توجد أشياء، باستثناء الأشياء البسيطة، لذلك لا توجد مشكلة استمرار.

(هـ) البُعدية الرباعية أو الأجزاء الزمنية (والتي قد تُعرف أيضًا باسم الاستمرارية أو الانقطاعية )، والتي تنص باختصار على أن مجموعات الأجزاء الزمنية مترابطة ترابطًا وثيقًا. على سبيل المثال، طريقان يلتقيان، لحظيًا ومكانيًا، يظلان طريقًا واحدًا، لأنهما يشتركان في جزء.

(و) البعد الثلاثي (أو ما يُعرف أيضاً بالثبات ) ، حيث يكون الكائن حاضراً بالكامل. أي أن الكائن الثابت يحتفظ بهويته العددية.

أحد الأسئلة التي يتناولها الفلاسفة هو: أيهما أكثر جوهرية: الأجزاء، أم الكل، أم لا هذا ولا ذاك؟ ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]} وثمة سؤال ملح آخر يُعرف بسؤال التركيب الخاص (SCQ): لأي مجموعة X، متى يكون هناك مجموعة Y بحيث تُكوّن X مجموعة Y؟ ^{[ 18 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]} وقد دفع هذا السؤال الفلاسفة إلى التساؤل في ثلاثة اتجاهات مختلفة: العدمية، والتركيب الكلي (UC)، أو وجهة نظر معتدلة (التركيب المقيد). ويُعتبر الرأيان الأولان متطرفين، إذ ينفي الأول التركيب، بينما يسمح الثاني لأي كائن، مهما كان غير متداخل مكانيًا، بتكوين كائن آخر. يشمل الرأي المعتدل العديد من النظريات التي تحاول فهم مفهوم SCQ دون قول "لا" للتأليف أو "نعم" للتأليف غير المقيد.

منذ بدايات نظرية المجموعات، نشأ خلاف بين مفهوم المجموعات "ميرولوجيًا"، حيث تُعرَّف المجموعة بأنها المجموع الميرولوجي لعناصرها، ومفهوم المجموعات "جماعيًا"، حيث تُعرَّف المجموعة بأنها كيان مُحدَّد بعضوية غير متعدية، مما يفرض بنية إضافية على العناصر الأولية. ^{[ 40 ]} ميرولوجيًا ، إذا تم قبول "تفرد التركيب" (انظر §  البديهيات )، فإن العناصر a وb وc تُحدِّد اندماجًا واحدًا فقط a+b+c، ولكن جماعيًا ، يمكن استخدام العناصر الأولية a وb وc لتوليد عدد لا نهائي من المجموعات: {a,b,c}؛ {a, {b, c}}؛ {{a}, {b}, {c}} ؛ { {a}} , {b}, {c}}؛ إلخ. يسود الآن المفهوم الجماعي، لكن بعض أوائل منظري المجموعات التزموا بالمفهوم الميرولوجيا: فقد تجنب ريتشارد ديديكيند ، في كتابه "ما هي الأرقام وما ينبغي أن تكون عليه؟" (1888)، المجموعة الفارغة واستخدم الرمز نفسه لعضوية المجموعة واحتواء المجموعة، ^{[ 41 ]} وهما علامتان على أنه تصور المجموعات ميرولوجياً. ^{[ 40 ]} وبالمثل، استخدم إرنست شرودر ، في كتابه "محاضرات في جبر المنطق" (1890)، ^{[ 42 ]} المفهوم الميرولوجيا أيضًا. ^{[ 40 ]} وكان غوتلوب فريجه ، في مراجعة لأعمال شرودر عام 1895، ^{[ 43 ]} أول من أوضح الفرق بين المجموعات والمجاميع الميرولوجية. ^{[ 40 ]} إن تبني إرنست زيرميلو للمفهوم الجماعي عند كتابته لكتابه المؤثر عام 1908 حول بديهيات نظرية المجموعات ^{[ 44 ] [ 45 ]} له دلالة كبيرة، وإن لم يكن يفسر بشكل كامل، لشعبيته الحالية. ^{[ 40 ]}

في نظرية المجموعات، تُعرف العناصر المفردة بأنها "ذرات" لا تحتوي على أجزاء فعلية (غير فارغة). أما نظرية المجموعات التي لا يمكن فيها بناء مجموعات من مجموعات الوحدة، فهي نوع غير قياسي من نظرية المجموعات، يُسمى نظرية المجموعات غير المؤسسة . كان يُعتقد أن حساب الأفراد يتطلب إما ألا يحتوي الكائن على أجزاء فعلية، وفي هذه الحالة يكون "ذرة"، أو أن يكون المجموع الميرولوجي للذرات. إلا أن إيبرل (1970) بيّن كيفية بناء حساب للأفراد يفتقر إلى " الذرات "، أي حساب يكون فيه لكل كائن " جزء فعلي "، بحيث يكون الكون لانهائيًا.

يُقدَّم في الفصل 13 من كتاب بونت (1985) مقارنةٌ مُفصَّلة بين علم الأجزاء، ونظرية المجموعات، و "نظرية التجميع" الدلالية ؛ ^{[ 46 ]} عندما كتب ديفيد لويس قسمه  الشهير " أجزاء الفئات " ، وجد أن "أطروحته الرئيسية قد تم التنبؤ بها في" نظرية التجميع لبونت. ^{[ 47 ]}

كان لعلم الأجزاء تأثيرٌ كبيرٌ في التصورات المبكرة لنظرية المجموعات (انظر §  نظرية المجموعات )، والتي تُعتبر حاليًا أساسًا لجميع النظريات الرياضية . ^{[ 53 ] [ 54 ]} حتى بعد أن ساد المفهوم "الجماعي" للمجموعات، وهو المفهوم السائد حاليًا، طُوِّر علم الأجزاء أحيانًا كأساس بديل، لا سيما من قِبَل مؤلفين كانوا من أتباع المذهب الاسمي ، وبالتالي رفضوا المفاهيم المجردة كالمجموعات. وتكمن ميزة علم الأجزاء بالنسبة لأتباع المذهب الاسمي في بساطته الأنطولوجية النسبية مقارنةً بنظرية المجموعات، إذ أن علم الأجزاء، عند قبول مبدأ تفرد التركيب ، يُولِّد كيانًا واحدًا على الأكثر من بعض الكيانات المُعطاة (أي مجموعها أو اندماجها)، بينما تُولَّد مجموعات لا حصر لها من عنصر واحد فقط (مثل ويكيبيديا، {Wikipedia}، {{Wikipedia}} ، {{{Wikipedia}}} ، { {{{Wikipedia}} } ...). ^{[ 3 ]} ذهب بعض الفلاسفة، مثل ديفيد لويس ، إلى أبعد من ذلك، فاعتقدوا أن المجاميع الميرولوجية ليست التزامًا وجوديًا إضافيًا يتجاوز عناصرها، على الرغم من أن هذا الأمر محل خلاف. ^{[ 4 ] : ​​الملحق}

قد تظلّ الميرولوجيا ذات قيمة لغير الاسميين: فقد دافع إيبرل (1970) عن "البراءة الأنطولوجية" للميرولوجيا، وهي فكرة إمكانية استخدام الميرولوجيا بغض النظر عن الموقف الأنطولوجي للفرد تجاه المجموعات. وتنتج هذه البراءة عن إمكانية صياغة الميرولوجيا رسميًا بإحدى طريقتين متكافئتين: إما متغيرات كمية تغطي فضاءً من المجموعات، أو محمولات تخطيطية بمتغير حر واحد .

مع ذلك، كان ستانيسواف ليشنيفسكي ونيلسون غودمان ، اللذان طورا علم الأجزاء الامتدادي الكلاسيكي، من أتباع المذهب الاسمي، ^{[ 55 ]} وقد طورا علم الأجزاء بوعي كبديل لنظرية المجموعات كأساس للرياضيات. ^{[ 4 ]} دافع غودمان ^{[ 56 ]} عن مبدأ الاسمية ، الذي ينص على أنه كلما تشابهت مكونات كيانين أساسيين، فإنهما متطابقان. ^{[ 57 ]} وقد قبل معظم علماء الرياضيات والفلاسفة نظرية المجموعات كأساس مشروع وقيم للرياضيات، رافضين بذلك مبدأ الاسمية لصالح نظرية أخرى، مثل الأفلاطونية الرياضية . ^{[ 57 ]} وكان ديفيد لويس، الذي حاول في كتابه "  أجزاء الفئات" إعادة بناء نظرية المجموعات باستخدام علم الأجزاء، اسميًا أيضًا. ^{[ 58 ]}

استخدم ريتشارد ميلتون مارتن ، وهو أيضًا من أتباع المذهب الاسمي، نسخةً من حساب الأفراد طوال مسيرته المهنية، بدءًا من عام 1941. حاول غودمان وكواين (1947) تطوير الأعداد الطبيعية والحقيقية باستخدام حساب الأفراد، لكنهما لم ينجحا في ذلك في الغالب؛ ولم يُعد كواين نشر تلك المقالة في كتابه " أوراق مختارة في المنطق" . في سلسلة من الفصول في الكتب التي نشرها في العقد الأخير من حياته، شرع ريتشارد ميلتون مارتن في القيام بما تخلى عنه غودمان وكواين قبل 30 عامًا. تتمثل إحدى المشكلات المتكررة في محاولات تأسيس الرياضيات على علم الأجزاء في كيفية بناء نظرية العلاقات مع تجنب التعريفات النظرية للمجموعات للزوج المرتب . جادل مارتن بأن نظرية إيبرلي (1970) للأفراد العلائقيين قد حلت هذه المشكلة.

يقدم بورغيس وروزن (1997) مسحًا لمحاولات تأسيس الرياضيات دون استخدام نظرية المجموعات، مثل استخدام علم الأجزاء.

يُعدّ التمييز بين الكتلة والعدد من أقدم تطبيقات علم الأجزاء وأكثرها تطورًا في اللسانيات. إذ تُعامل دلالات بونت القائمة على نظرية المجموعات مصطلحات الكتلة، مثل الماء والرمل والذهب ، على أنها تدل على مجموعات من المجاميع الميرولوجية لأجزاء صغيرة من المادة، بدلًا من كونها مجموعات من أشياء منفصلة. ^{[ 73 ]} وهذا يسمح للدلالات باستيعاب الخصائص المميزة لأسماء الكتلة، مثل الإشارة التراكمية : فإذا كانت إحدى الكميتين ماءً والأخرى ماءً، فإن مجموعهما الميرولي هو أيضًا ماء.

• يوجد ماء في الكأس، ويوجد ماء في الإبريق ⟶ يوجد ماء في الكأس والإبريق معًا.

على النقيض من ذلك، تُصاغ الأسماء المعدودة النموذجية مثل كتاب أو تفاحة على أنها تدل على مجموعات من الذرات في البنية الميرولوجية: أفراد أصغر حجماً وغير قابلة للتجزئة بالنسبة للسياق. إن مجموع ذرتين ليس ذرة بحد ذاته، مما يساعد على تفسير سبب عدم إمكانية الإشارة عادةً إلى كتابين على أنهما كتاب واحد .

استُخدمت البنى الميرولوجية أيضًا لتحليل تعابير القياس مثل ثلاثة لترات من الماء أو كيلوغرامين من الأرز . في العديد من المناهج، يُحوّل التشاكل المتجانس المجال الميرولوجي لكميات الأشياء إلى مقياس قياس عددي، مع الحفاظ على المجاميع: قياس المجموع يساوي مجموع قياسات أجزائه، على الأقل عندما تكون الأجزاء منفصلة. ^{[ 74 ] [ 75 ]} يُستخدم هذا الربط بين الميرولوجيا والقياس لتفسير سبب إمكانية تفسير جمل مثل " يزن الماء في الزجاجتين ثلاثة كيلوغرامات" على أنها تتحدث عن الكتلة الإجمالية لمجموع ميرولوجي لكميات من الماء.

كما طُبِّقَ علم الأجزاء على تعابير جماعية أكثر تعقيدًا، بما في ذلك ما يُسمى بأسماء الأشياء الجماعية مثل الأثاث والأمتعة والمجوهرات ، والتي تتصرف نحويًا مثل الأسماء الجماعية ولكنها تبدو وكأنها تشير إلى مجموعات من الأشياء المنفصلة. تُشكِّل هذه الحالات ضغطًا على توصيفات علم الأجزاء الامتدادية البسيطة للتمييز بين الأسماء الجماعية والعددية، وقد حفَّزت تحسينات على النظرية ومقترحات بديلة. ^{[ 76 ]}

يلعب علم الأجزاء دورًا محوريًا في النظريات الدلالية للجمع . ففي منهج لينك المؤثر القائم على نظرية الشبكة، تُعتبر الدلالات الفردية المفردة بمثابة ذرات في بنية علم الأجزاء، بينما تُعتبر الدلالات الجمع (مثل: الأولاد ) بمثابة مجموع هذه الذرات. ^{[ 77 ]} وهذا يسمح بتعريف المسندات الجمع من حيث سلوكها على المجاميع. فعلى سبيل المثال، يمكن التعبير عن السلوك التراكمي للعديد من المسندات الجمعية والكتلية بمصطلحات علم الأجزاء.

• إذا كان a و b مجموع عدد من الأولاد الذين يضحكون ، فإن مجموعهما a+b هو أيضًا شيء يضحك.
• إذا كانت a و b كميات من الماء، فإن مجموعهما a+b لا يزال ماءً.

يساعد تمثيل الأفراد الجمع على أساس المجموع في تفسير الغموض بين القراءات الجماعية والتوزيعية في جمل مثل :

• رفع الأولاد البيانو.

في القراءة الجماعية، يكفي أن يقف مجموع الأولاد في وضعية الرفع نحو البيانو. أما في القراءة التوزيعية، فيجب على كل جزء من هذا المجموع (كل ولد) أن يرفع البيانو بشكل فردي. في أطر عمل Link، يمكن نمذجة القراءات التوزيعية بواسطة عوامل توزع المسندات على الأجزاء الفردية لمجموع جمعي، بينما تطبق القراءات الجماعية المسند على المجموع ككل. ^{[ 78 ]}

كما تم استخدام دلالات الجمع القائمة على علم الأجزاء لنمذجة أنماط أكثر تعقيدًا مثل القراءات التراكمية ( حمل ثلاثة أولاد خمسة صناديق )، حيث تكون الجملة صحيحة طالما أن المجاميع ذات الصلة من الأولاد والصناديق تقع في علاقة الحمل، دون تحديد اقتران واحد لواحد.

إلى جانب المجال الاسمي، طُبقت علم الأجزاء على دلالات الأحداث والجوانب . في العديد من أطر دلالات الأحداث، تُشكل الأحداث بنية أجزاء موازية لبنية الأفراد: فالأحداث المعقدة هي مجموع أحداث أبسط، وتُقابل الجزئية التضمين الزمني أو السببي للأحداث الفرعية. ^{[ 1 ] [ 79 ]}

يربط كريفكا، على وجه الخصوص، البنية الميرولوجية للأحداث ببنية الإشارة الاسمية. ويُبين أن التمييز بين المسندات الفعلية الغائية وغير الغائية يوازي التمييز بين الدلالات الاسمية الكمية والتراكمية . [ ^{74 ] على} سبيل المثال:

• شربت ماري البيرة لمدة عشر دقائق. – محمول غير مكتمل يكون دلالة حدثه مغلقة عند أخذ الأجزاء المناسبة: أي جزء زمني مناسب من حدث شرب البيرة يظل حدث شرب البيرة.
• شربت ماري كأسًا من البيرة في عشر دقائق. – مسند غائي له دلالة حدثية تتضمن نقاط نهاية متأصلة: لا تُحتسب الأحداث الفرعية الصحيحة بشكل عام كأحداث شرب كأس من البيرة مكتملة .

من هذا المنظور، يمكن أن تؤثر بنية الحجج الاسمية (على سبيل المثال، ما إذا كان الاسم يدل على مجموعة كمية أو تراكمية من الأفراد) بشكل منهجي على البنية الميرولوجية للأحداث، وبالتالي على التفسير الجانبي للجملة.

استُخدمت الأدوات الميرولوجية أيضًا لتحليل تعابير المسار والظروف المكانية، على سبيل المثال في جمل مثل " حلّقت الطائرات فوق وتحت السحب" . هنا، يمكن ربط أجزاء مسار أو منطقة معقدة (أجزاء فوق السحب مقابل أجزاء تحتها) بأجزاء من حدث الحركة الكلي باستخدام العلاقات الميرولوجية، وغالبًا العلاقات الميروتوبولوجية (الجزئية بالإضافة إلى الاتصال أو الربط). ^{[ 80 ] [ 13 ]}

رغم أن علم الأجزاء قد وفر مجموعة أدوات قوية لنمذجة دلالات الأسماء والأحداث، إلا أن تطبيقه على اللغة الطبيعية لا يخلو من الجدل. يرى نيكولاس أن المعالجات الميرولوجية البحتة (أو النظرية الشبكية) للأسماء غير المعدودة قاصرة عن استيعاب بعض القراءات "الوسيطة" وعبارات الهوية التي تتضمن مجموعات، ويدعو إلى استخدام منطق الجمع بدلاً من ذلك، حيث يمكن أن تتصرف مصطلحات المجموعة كمصطلحات جمع تشير إلى عدة أشياء في آن واحد. ^{[ 76 ]} وقد جمع باحثون آخرون بين علم الأجزاء والمفاهيم الطوبولوجية ( الطوبولوجيا الميرولوجية ) لمعالجة مشكلات مثل مشكلة الأجزاء الدنيا، ولنمذجة مفاهيم مثل الترابط والاتصال التي تُعدّ مهمة لتفسير تعابير المجموعة والعد. ^{[ 81 ]}

علاوة على ذلك، فإن عبارة "جزء من" في اللغة العادية متعددة المعاني وحساسة للسياق. فهي تعبر، من بين أمور أخرى، عن الإدماج المكاني ( المقبض جزء من الباب )، والانتماء الجماعي ( هي جزء من الفريق )، والإدماج الزمني ( تلك الحلقة جزء من المسلسل )، وحتى عن علاقات صلة أقل شمولية ( هذا جزء من المشكلة ). ويؤكد سيمونز أن العديد من هذه الاستخدامات لا تتوافق بشكل مباشر مع علاقة جزئية محددة، مما يعقد أي محاولة لقراءة " جزء" في اللغة الطبيعية كمسند جزئي بسيط Pxy . ^{[ 82 ]}

ونظرًا لهذه الصعوبات، يتبنى بعض المؤلفين موقفًا حذرًا بشأن نطاق علم الأجزاء الشكلي في دلالات اللغة الطبيعية. فعلى سبيل المثال، يقصر كاساتي وفارزي أنطولوجيتهما صراحةً على الأشياء المادية والمناطق المكانية، ويحذران من افتراض إمكانية التعبير بدقة عن جميع أحاديث الجزء والكل العادية من خلال علاقة أجزاء شاملة واحدة. ^{[ 13 ]} ومع ذلك، يظل علم الأجزاء - غالبًا بالاقتران مع بنية إضافية كالطوبولوجيا أو الترتيب أو القياس - عنصرًا مهمًا في العديد من النظريات المعاصرة للمعنى اللغوي.