ج*-الجبر

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "C*-algebra" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (February 2013) (Learn how and when to remove this message)

في الرياضيات، وتحديدًا في التحليل الوظيفي ، فإن الجبر C ^∗ (يُنطق "C-star") هو جبر باناخ مع ضمير يلبي خصائص المرافق . هناك حالة خاصة تتمثل في الجبر المركب A للمشغلات الخطية المستمرة على فضاء هيلبرت المركب مع خاصيتين إضافيتين:

• أ هي مجموعة مغلقة طوبولوجيًا في طوبولوجيا المعايير للمشغلين.
• أ- يتم إغلاقه تحت تشغيل مرافقي المشغلين .

تتضمن فئة أخرى مهمة من جبر C*-غير هيلبرت جبر الدوال المستمرة ذات القيمة المعقدة على X والتي تختفي عند اللانهاية، حيث X هي مساحة هاوسدورف مضغوطة محليًا . ${\displaystyle C_{0}(X)}$

كانت جبر C* في البداية تُعتبر في المقام الأول لاستخدامها في ميكانيكا الكم لنمذجة جبر القابلات للملاحظة الفيزيائية . بدأ هذا الخط من البحث مع ميكانيكا المصفوفات لفيرنر هايزنبرغ وفي شكل أكثر تطورًا رياضيًا مع باسكوال جوردان حوالي عام 1933. بعد ذلك، حاول جون فون نيومان وضع إطار عام لهذه الجبر، والتي بلغت ذروتها في سلسلة من الأوراق البحثية حول حلقات المشغلات. نظرت هذه الأوراق في فئة خاصة من جبر C* التي تُعرف الآن باسم جبر فون نيومان .

حوالي عام 1943، أسفر عمل إسرائيل جيلفاند ومارك نيمارك عن توصيف تجريدي لجبر C* دون الإشارة إلى المشغلات على فضاء هيلبرت.

أصبحت جبر C* الآن أداة مهمة في نظرية التمثيلات الوحدوية للمجموعات المدمجة محليًا ، كما تُستخدم أيضًا في الصياغات الجبرية لميكانيكا الكم. مجال بحث نشط آخر هو برنامج الحصول على التصنيف، أو تحديد مدى إمكانية التصنيف، لجبر C* النووي البسيط القابل للفصل .

نبدأ بالتوصيف المجرد لجبر C* الوارد في ورقة بحثية عام 1943 كتبها جيلفاند ونايمارك.

الجبر AC*، A ، هو جبر باناخ في مجال الأعداد المركبة ، مع خريطة لـ بالخصائص التالية: ${\textstyle x\mapsto x^{*}}$${\textstyle x\in A}$

• إنه تراجع ، لكل x في A :

${\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$

• لجميع x و y في A :

${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$

${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$

• لكل عدد مركب ولكل x في A :${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$

${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.}$

• لجميع x في A :

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|.}$

ملاحظة: تنص الهويات الأربع الأولى على أن A هي جبر * . وتسمى الهويات الأخيرة هوية C* وهي تعادل:

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2},}$

والتي تسمى أحيانًا بهوية B*. لمعرفة التاريخ وراء أسماء الجبر C* وB*، راجع قسم التاريخ أدناه.

إن هوية C* هي متطلب قوي للغاية. على سبيل المثال، جنبًا إلى جنب مع صيغة نصف القطر الطيفي ، فإنها تعني أن معيار C* يتم تحديده بشكل فريد من خلال البنية الجبرية:

${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ is not invertible}}\}.}$

تسمى الخريطة الخطية المحدودة ، π  : A → B ، بين الجبر C*-A و B ، تماثلًا *-إذا

• بالنسبة لـ x و y في A

${\displaystyle \pi (xy)=\pi (x)\pi (y)\,}$

• بالنسبة لـ x في A

${\displaystyle \pi (x^{*})=\pi (x)^{*}\,}$

في حالة جبر C*، فإن أي تماثل π بين جبر C* يكون انكماشيًا ، أي أنه محدود بمعيار ≤ 1. علاوة على ذلك، فإن التماثل الحقني بين جبر C* يكون متساوي القياس . هذه هي عواقب متطابقة C*.

يُطلق على التماثل الثنائي * -π اسم تماثل C* ، وفي هذه الحالة يُقال إن A و B متماثلان .

تم تقديم مصطلح جبر B* بواسطة CE Rickart في عام 1946 لوصف جبر Banach * الذي يلبي الشرط:

• ${\displaystyle \lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert ^{2}}$لجميع x في الجبر B* المعطى. (شرط B*)

هذا الشرط يعني تلقائيًا أن الانحدار * متساوي القياس، أي، . وبالتالي، ، وبالتالي، فإن الجبر B* هو أيضًا جبر C*. وعلى العكس من ذلك، فإن الشرط C* يعني الشرط B*. وهذا ليس بالأمر التافه، ويمكن إثباته دون استخدام الشرط . ^[1] ولهذه الأسباب، نادرًا ما يُستخدم مصطلح الجبر B* في المصطلحات الحالية، وقد تم استبداله بمصطلح "الجبر C*". ${\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert }$${\displaystyle \lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert \lVert x^{*}\rVert }$${\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert }$

تم تقديم مصطلح الجبر C* بواسطة IE Segal في عام 1947 لوصف الجبر الفرعي المغلق المعياري لـ B ( H )، أي مساحة المشغلات المحدودة على بعض فضاء هيلبرت H. "C" تعني "مغلق". ^{[2] [3]} في ورقته، يعرّف Segal الجبر C* بأنه "جبر مترافق ذاتي مغلق بشكل موحد لمشغلات محدودة على فضاء هيلبرت". ^[4]

تحتوي جبر C* على عدد كبير من الخصائص الملائمة من الناحية الفنية. يمكن تحديد بعض هذه الخصائص باستخدام حساب التفاضل والتكامل الوظيفي المستمر أو عن طريق الاختزال إلى جبر C* التبديلي. في الحالة الأخيرة، يمكننا استخدام حقيقة أن بنية هذه الخصائص يتم تحديدها بالكامل من خلال تماثل جيلفاند .

العناصر المترافقة ذاتيًا هي تلك التي لها الشكل . تشكل مجموعة عناصر الجبر C*-A من الشكل مخروطًا محدبًا مغلقًا . هذا المخروط مطابق لعناصر الشكل . تسمى عناصر هذا المخروط غير سالبة (أو موجبة أحيانًا ، على الرغم من أن هذا المصطلح يتعارض مع استخدامه لعناصر ) ${\displaystyle x=x^{*}}$${\displaystyle x^{*}x}$${\displaystyle xx^{*}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

إن مجموعة العناصر المترافقة ذاتيًا لجبر C*-A لها بطبيعة الحال بنية فضاء متجه مرتب جزئيًا ؛ وعادة ما يشار إلى الترتيب بـ . في هذا الترتيب، يفي العنصر المترافق ذاتيًا إذا وفقط إذا كان طيف غير سالب ، إذا وفقط إذا لبعض . يفي عنصران مترافقان ذاتيًا و من A إذا . ${\displaystyle \geq }$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=s^{*}s}$${\displaystyle s\in A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\geq y}$${\displaystyle x-y\geq 0}$

تسمح هذه المساحة الفرعية المرتبة جزئيًا بتعريف دالة خطية موجبة على جبر C*، والذي يستخدم بدوره لتحديد حالات جبر C*، والذي يمكن استخدامه بدوره لبناء طيف جبر C* باستخدام بناء GNS .

أي جبر C*-A له هوية تقريبية . في الواقع، هناك عائلة موجهة { e _λ } _λ∈I من العناصر المترافقة ذاتيًا لـ A بحيث

${\displaystyle xe_{\lambda }\rightarrow x}$

${\displaystyle 0\leq e_{\lambda }\leq e_{\mu }\leq 1\quad {\mbox{ whenever }}\lambda \leq \mu .}$

في حالة إمكانية فصل A ، يكون لـ A هوية تقريبية متسلسلة. وبشكل عام، سيكون لـ A هوية تقريبية متسلسلة إذا وفقط إذا احتوت A على عنصر موجب تمامًا ، أي عنصر موجب h بحيث يكون hAh كثيفًا في A.

باستخدام الهويات التقريبية، يمكن للمرء أن يظهر أن الحاصل الجبري لجبر C* بواسطة مثالي ثنائي الجانب مغلق ، مع القاعدة الطبيعية، هو جبر C*.

على نحو مماثل، فإن المثال المغلق ثنائي الجانب لجبر C* هو في حد ذاته جبر C*.

يصبح الجبر M( n , C ) لمصفوفات n × n على C جبرًا C*-إذا اعتبرنا المصفوفات عوامل على الفضاء الإقليدي، C ⁿ ، واستخدمنا معيار العامل ||·|| على المصفوفات. يتم إعطاء الانحدار بواسطة النقل المترافق . وبشكل عام، يمكن للمرء أن يفكر في مجموعات مباشرة محدودة لجبر المصفوفات. في الواقع، فإن جميع جبر C*-التي لها أبعاد محدودة كمساحات متجهة تكون من هذا الشكل، حتى التماثل. يعني متطلب المرافق الذاتي أن جبر C*-المحدود الأبعاد شبه بسيط ، ومن هذه الحقيقة يمكن للمرء أن يستنتج النظرية التالية من نوع Artin–Wedderburn :

مبرهنة. جبر C*-ذو الأبعاد المحدودة، A ، متماثل بشكل قانوني لمجموع مباشر محدود

${\displaystyle A=\bigoplus _{e\in \min A}Ae}$

حيث min A هي مجموعة الإسقاطات المركزية المترافقة الذاتية غير الصفرية الدنيا لـ A.

كل جبر C*، Ae ، متماثل (بطريقة غير تقليدية) مع جبر المصفوفة الكامل M(dim( e )، C ). تسمى العائلة المحدودة المفهرسة على min A المعطى بواسطة {dim( e )} _e متجه الأبعاد لـ A. يحدد هذا المتجه بشكل فريد فئة التماثل لجبر C* ذي الأبعاد المحدودة. في لغة نظرية K ، هذا المتجه هو المخروط الموجب لمجموعة K ₀ لـ A.

الجبر † (أو بشكل أكثر وضوحًا، الجبر المغلق † ) هو الاسم المستخدم أحيانًا في الفيزياء ^[5] للجبر C* ذي الأبعاد المحدودة. يُستخدم الخنجر ، †، في الاسم لأن الفيزيائيين يستخدمون الرمز عادةً للإشارة إلى المرافقة الهيرميتية ، وغالبًا ما لا يقلقون بشأن التفاصيل الدقيقة المرتبطة بعدد لا نهائي من الأبعاد. (يستخدم علماء الرياضيات عادةً علامة النجمة، *، للإشارة إلى المرافقة الهيرميتية.) تظهر الجبر † بشكل بارز في ميكانيكا الكم ، وخاصة علم المعلومات الكمومية .

التعميم الفوري لجبر C* ذات الأبعاد المحدودة هو جبر C* ذات الأبعاد المحدودة تقريبًا .

المثال النموذجي لجبر C* هو الجبر B(H) للمشغلات الخطية المحدودة (المتصلة بشكل مكافئ) المعرفة على فضاء هيلبرت المركب H ؛ هنا يشير x* إلى المشغل المرافق للمشغل x  : H → H. في الواقع، كل جبر C*، A ، متماثل *- لجبر فرعي مغلق معياريًا مرافق لـ B ( H ) لمساحة هيلبرت مناسبة، H ؛ هذا هو محتوى نظرية جيلفاند-نايمارك .

ليكن H فضاء هيلبرت لانهائي الأبعاد وقابل للفصل . الجبر K ( H ) للمشغلات المدمجة على H هو جبر فرعي مغلق معياريًا لـ B ( H ). وهو أيضًا مغلق تحت الالتفاف؛ وبالتالي فهو جبر C*.

تسمح جبر C* الملموسة للمشغلات المدمجة بتوصيف مماثل لنظرية ويديربيرن لجبر C* ذي الأبعاد المحدودة:

مبرهنة. إذا كانت A جبرًا فرعيًا C* لـ K ( H )، فهناك فضاءات هيلبرت { H _i } _{i ∈ I} بحيث

${\displaystyle A\cong \bigoplus _{i\in I}K(H_{i}),}$

حيث يتكون المجموع المباشر (C*-) من عناصر ( T _i ) من حاصل الضرب الديكارتي Π K ( H _i ) مع || T _i || → 0.

على الرغم من أن K ( H ) ليس له عنصر محايد، إلا أنه يمكن تطوير محايد تقريبي متتالي لـ K ( H ). على وجه التحديد، H متماثل مع فضاء المتتاليات القابلة للجمع التربيعي l ² ؛ يمكننا أن نفترض أن H = l ² . لكل عدد طبيعي n، دع H _n تكون الفضاء الجزئي لمتتاليات l ² التي تختفي عند المؤشرات k ≥ n ودع e _n تكون الإسقاط المتعامد على H _n . المتتالية { e _n } _n هي محايدة تقريبية لـ K ( H ).

K ( H ) هو مثالي مغلق ذو جانبين لـ B ( H ). بالنسبة لمساحات هيلبرت المنفصلة، ​​فهو المثالي الوحيد. حاصل قسمة B ( H ) على K ( H ) هو جبر كالكين .

ليكن X فضاء هاوسدورف مضغوط محليًا . يشكل فضاء الدوال المستمرة ذات القيم المركبة على X والتي تتلاشى عند اللانهاية (كما هو محدد في المقالة حول الاكتناز المحلي ) جبر C*-تبديلي تحت الضرب والجمع النقطي. يكون الالتفاف اقترانًا نقطيًا. يحتوي على عنصر وحدة مضاعفة إذا وفقط إذا كان مضغوطًا. كما هو الحال مع أي جبر C*-، له هوية تقريبية . في حالة هذا يكون فوريًا: ضع في اعتبارك المجموعة الموجهة للمجموعات الفرعية المضغوطة لـ ، ولكل مضغوط، دع تكون دالة دعم مضغوطة تكون متطابقة 1 على . توجد مثل هذه الدوال وفقًا لنظرية امتداد تيتزه ، والتي تنطبق على فضاءات هاوسدورف المضغوطة محليًا. أي تسلسل من الدوال من هذا القبيل هو هوية تقريبية. ${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \{f_{K}\}}$

تنص تمثيلات جيلفاند على أن كل جبر C*-تبادلي يكون متماثلًا *- للجبر ، حيث هي مساحة الأحرف المزودة بطوبولوجيا ضعيفة* . وعلاوة على ذلك، إذا يكون متماثلًا مع جبر C*-، فإنه يتبع ذلك أن و متماثلان . هذا التوصيف هو أحد الدوافع وراء برامج الطوبولوجيا غير التبادلية والهندسة غير التبادلية . ${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

إذا كان هناك جبر باناخ A بهوية تقريبية ، فهناك جبر C* E ( A ) فريد (حتى تماثل C*) وتماثل * π من A إلى E ( A ) وهو عالمي ، أي أن كل تماثل * مستمر آخر π ' : A → B يتحلل بشكل فريد عبر π. يسمى الجبر E ( A ) جبر C* المغلف لجبر باناخ A.

من الأهمية بمكان جبر C* للمجموعة المدمجة محليًا G. ويُعرَّف هذا بأنه جبر C* المغلف لجبر المجموعة G. يوفر جبر C* لـ G سياقًا للتحليل التوافقي العام لـ G في حالة كون G غير أبيلية. وعلى وجه الخصوص، يُعرَّف ثنائي المجموعة المدمجة محليًا بأنه الفضاء المثالي البدائي للمجموعة C*. انظر طيف جبر C* .

جبر فون نيومان ، المعروف باسم جبر W* قبل ستينيات القرن العشرين، هو نوع خاص من جبر C*. ويشترط أن يكون مغلقًا في طوبولوجيا العامل الضعيف ، وهو أضعف من طوبولوجيا القاعدة.

تتضمن نظرية شيرمان-تاكيدا أن أي جبر C* له جبر W* مغلف عالمي، بحيث أن أي تشابه في جبر W* يمر من خلاله.

الجبر AC*-A هو من النوع I إذا وفقط إذا كان جبر فون نيومان π( A ) ″ (أي ثنائي التحول لـ π( A )) هو جبر فون نيومان من النوع I. في الواقع، يكفي النظر فقط في تمثيلات العوامل، أي التمثيلات π التي يكون فيها π( A )″ عاملاً.

يقال أن المجموعة المدمجة محليًا هي من النوع الأول إذا وفقط إذا كانت مجموعتها C*-algebra من النوع الأول.

ومع ذلك، إذا كان الجبر C* يحتوي على تمثيلات غير من النوع الأول، فوفقًا لنتائج جيمس جليم ، فإنه يحتوي أيضًا على تمثيلات من النوع الثاني والنوع الثالث. وبالتالي، بالنسبة للجبر C* والمجموعات المدمجة محليًا، فمن المنطقي فقط التحدث عن خصائص من النوع الأول وغير النوع الأول.

في ميكانيكا الكم ، يصف المرء عادةً نظامًا فيزيائيًا بجبر C*-A مع عنصر الوحدة؛ ويُنظر إلى العناصر المترافقة ذاتيًا لـ A (العناصر x مع x* = x ) على أنها العناصر القابلة للملاحظة ، والكميات القابلة للقياس، للنظام. تُعرَّف حالة النظام بأنها دالة موجبة على A ( خريطة خطية C -φ: A → C مع φ( u*u ) ≥ 0 لجميع u ∈ A ) بحيث φ(1) = 1. والقيمة المتوقعة للعنصر القابل للملاحظة x ، إذا كان النظام في الحالة φ، هي φ( x ).

يتم استخدام نهج الجبر C* هذا في بديهية هاج-كاستلر لنظرية المجال الكمومي المحلي ، حيث ترتبط كل مجموعة مفتوحة من زمكان مينكوفسكي بجبر C*.

• جبر باناخ
• باناخ *-الجبر
• *-الجبر
• وحدة هيلبرت C*
• مشغل نظرية K
• نظام المشغل ، فضاء فرعي وحادي لجبر C* مغلق *.
• بناء جلفاند-نايمارك-سيجال
• جبر المشغل الأردني

• أرفيسون، دبليو. (1976)، دعوة إلى الجبر C* ، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 0-387-90176-0. مقدمة ممتازة للموضوع، متاحة لأولئك الذين لديهم معرفة بالتحليل الوظيفي الأساسي .
• كونيس، آلان (1994)، الهندسة غير التبادلية ، ISBN 0-12-185860-Xيعتبر هذا الكتاب على نطاق واسع مصدرًا لمواد بحثية جديدة، حيث يوفر الكثير من الحدس الداعم، ولكنه أمر صعب.
• ديكسميير، جاك (1969)، Les C*-algèbres et leurspresentations ، غوتييه فيلار، ISBN 0-7204-0762-1هذا مرجع قديم إلى حد ما، لكنه لا يزال يعتبر عرضًا تقنيًا عالي الجودة. وهو متاح باللغة الإنجليزية من دار نشر شمال هولندا.
• دوران، روبرت س . Belfi، Victor A. (1986)، خصائص جبر C*: نظريات جلفاند-نايمارك ، مطبعة CRC، ISBN 978-0-8247-7569-8.
• Emch, G. (1972)، الأساليب الجبرية في الميكانيكا الإحصائية ونظرية المجال الكمومي ، Wiley-Interscience، ISBN 0-471-23900-3. مرجع رياضي دقيق يوفر خلفية واسعة في الفيزياء.
• AI Shtern (2001) [1994]، "الجبر C*"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press
• ساكاي، س. (1971)، جبر C* وجبر W* ، سبرينغر، رقم ISBN 3-540-63633-1.
• سيجال، إيرفينج (1947)، "تمثيلات غير قابلة للاختزال لجبر المشغل"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 53 (2): 73-88، doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08742-5.