البناء باستخدام المسطرة والفرجار

إنشاء شكل سداسي منتظم باستخدام مسطرة وفرجار

في الهندسة ، يُعرف إنشاء المسطرة والفرجار - المعروف أيضًا باسم إنشاء المسطرة والفرجار ، أو الإنشاء الإقليدي ، أو الإنشاء الكلاسيكي - بأنه إنشاء الأطوال والزوايا والأشكال الهندسية الأخرى باستخدام مسطرة مثالية وفرجار فقط .

يُفترض أن المسطرة المثالية، المعروفة باسم الحافة المستقيمة ، لا نهائية الطول، ولها حافة واحدة فقط، وخالية من أي علامات. ويُفترض أن الفرجار ليس له نصف قطر أقصى أو أدنى، ويُفترض أنه "ينطوي" عند رفعه عن الصفحة، لذا لا يمكن استخدامه مباشرةً لنقل المسافات. (هذا قيد غير مهم، إذ يمكن نقل المسافة باستخدام إجراء متعدد الخطوات حتى مع فرجار قابل للطي؛ انظر نظرية تكافؤ الفرجار . مع ذلك، لاحظ أنه على الرغم من أن الفرجار غير القابل للطي الموضوع على حافة مستقيمة قد يبدو مكافئًا لوضع علامة عليه، إلا أن بناء "النيوسيس" لا يزال غير جائز، وهذا هو المعنى الحقيقي لكلمة "غير مُعلَّم": انظر المساطر القابلة للتعليم أدناه). وبشكل أكثر دقة، فإن الإنشاءات المسموح بها الوحيدة هي تلك التي تمنحها المسلمات الثلاث الأولى من كتاب أصول إقليدس .

اتضح أن كل نقطة يمكن إنشاؤها باستخدام المسطرة والفرجار يمكن إنشاؤها أيضًا باستخدام الفرجار وحده ، أو باستخدام المسطرة وحدها إذا تم إعطاء دائرة واحدة ومركزها.

ابتكر علماء الرياضيات اليونانيون القدماء مفهوم الإنشاءات الهندسية باستخدام المسطرة والفرجار، وتفرض العديد من المسائل القديمة في الهندسة المستوية هذا القيد. طوّر اليونانيون القدماء العديد من الإنشاءات، لكنهم لم يتمكنوا من ذلك في بعض الحالات. بيّن غاوس أن بعض المضلعات قابلة للإنشاء، لكن معظمها غير قابل. وقد أثبت بيير وانتزل في عام 1837 استحالة حل بعض أشهر مسائل المسطرة والفرجار باستخدام نظرية الحقول ، وتحديدًا تثليث زاوية عشوائية ومضاعفة حجم مكعب (انظر قسم الإنشاءات المستحيلة ). يمكن حل العديد من هذه المسائل بسهولة بشرط السماح بتحويلات هندسية أخرى؛ على سبيل المثال، يمكن استخدام إنشاء نيوسيس لحل المسألتين السابقتين.

في الجبر ، يكون الطول قابلاً للإنشاء إذا وفقط إذا كان يُمثل عددًا قابلاً للإنشاء ، وتكون الزاوية قابلة للإنشاء إذا وفقط إذا كان جيب تمامها عددًا قابلاً للإنشاء. ويكون العدد قابلاً للإنشاء إذا وفقط إذا أمكن كتابته باستخدام العمليات الحسابية الأربع الأساسية واستخراج الجذور التربيعية فقط، دون إمكانية استخراج جذور من رتب أعلى.

أدوات المسطرة والفرجار

إن " المسطرة" و"الفرجار" في تصميمات المسطرة والفرجار هما نسختان مثاليتان من المساطر والفرجار الحقيقية .

المسطرة هي حافة طويلة بلا حدود وخالية من أي علامات. ولا يمكن استخدامها إلا لرسم قطعة مستقيمة بين نقطتين أو لتمديد قطعة مستقيمة موجودة.
يمكن أن يكون للبوصلة نصف قطر كبير بشكل تعسفي دون وجود علامات عليها (على عكس بعض البوصلات الحقيقية). يمكن رسم الدوائر والأقواس الدائرية بدءًا من نقطتين محددتين: المركز ونقطة على الدائرة. قد تنطوي البوصلة أو لا تنطوي . ^[^أ^]
تتميز القطع المستقيمة والدوائر المرسومة بدقة لا متناهية وعرض صفري.

البوصلات الحقيقية لا تنطوي، وكثيراً ما تستخدم الإنشاءات الهندسية الحديثة هذه الخاصية. قد تبدو "البوصلة القابلة للطي" أداةً أقل فعالية. مع ذلك، وبحسب نظرية تكافؤ البوصلة في القضية الثانية من الكتاب الأول من كتاب الأصول لإقليدس ، لا تُفقد أي فعالية باستخدام البوصلة القابلة للطي. ورغم صحة القضية، فإن براهينها لها تاريخ طويل ومتشعب. ^{[ 1 ]} على أي حال، فإن التكافؤ هو السبب في عدم اشتراط هذه الخاصية في تعريف البوصلة المثالية.

يجب أن يكون كل بناء دقيقًا رياضيًا . لا يُسمح بتقدير المسافات بالنظر ^{[ ب ]} أو استخدام علامات على مسطرة. يجب أن ينتهي كل بناء أيضًا . أي يجب أن يكون للبناء عدد محدود من الخطوات وألا يكون نهاية لتقريبات متزايدة الدقة. ^{[ ج ]}

بهذا المعنى، تبدو عمليات الإنشاء باستخدام المسطرة والفرجار وكأنها لعبة مسلية وليست مشكلة عملية جدية. ومع ذلك، فإن الغرض من هذه القيود هو ضمان إمكانية إثبات صحة هذه الإنشاءات بدقة .

تاريخ

حاول علماء الرياضيات اليونانيون القدماء أولاً إنشاء أشكال هندسية باستخدام المسطرة والفرجار، واكتشفوا كيفية إنشاء المجاميع والفروق والضرب والنسب والجذور التربيعية لأطوال معينة. ^[²^]^:^{ص 1.} كما استطاعوا إنشاء نصف زاوية معينة ، ومربع مساحته ضعف مساحة مربع آخر ، ومربع له نفس مساحة مضلع معين، ومضلعات منتظمة ذات 3 أو 4 أو 5 أضلاع ^[²^]^:^{ص 11} (أو مضلع له ضعف عدد أضلاع مضلع معين ^[²^]^:^{ص 49-50} ). لكنهم لم يتمكنوا من إنشاء ثلث زاوية معينة إلا في حالات خاصة، أو مربع له نفس مساحة دائرة معينة ، أو مضلعات منتظمة بأعداد أضلاع أخرى. ^[²^]^:^{ص 11.} كما لم يتمكنوا من إنشاء ضلع مكعب حجمه ضعف حجم مكعب ذي ضلع معين. ^[²^]^:^{ص 29 .}

أثبت أبقراط ومينايخموس أن حجم المكعب يمكن مضاعفته بإيجاد نقاط تقاطع القطع الزائد والقطع المكافئ ، لكن لا يمكن إنشاء هذه النقاط باستخدام المسطرة والفرجار فقط. ^{[ 2 ]}^{: ص 30.} في القرن الخامس قبل الميلاد، استخدم هيباس منحنى أسماه "المربع" لتثليث الزاوية العامة وتربيع الدائرة، وأظهر نيكوميدس في القرن الثاني قبل الميلاد كيفية استخدام " المحارة" لتثليث أي زاوية؛ ^{[ 2 ]}^{: ص 37،} لكن هذه الطرق أيضًا لا يمكن تطبيقها باستخدام المسطرة والفرجار فقط.

لم يُحرز أي تقدم في حل المشكلات العالقة طوال ألفي عام، إلى أن أثبت غاوس في عام 1796 إمكانية إنشاء مضلع منتظم ذي 17 ضلعًا؛ وبعد خمس سنوات، بيّن المعيار الكافي لإنشاء مضلع منتظم ذي n ضلعًا. [ ^{2 ] :}^{ص 51 وما بعدها.}

في عام 1837، نشر بيير وانتزل برهانًا على استحالة تقسيم زاوية عشوائية إلى ثلاثة أجزاء متساوية أو مضاعفة حجم مكعب، ^{[ 3 ]} استنادًا إلى استحالة إنشاء جذور تكعيبية لأطوال. كما بيّن أن شرط جاوس الكافي لإمكانية إنشاء المضلعات المنتظمة ضروري أيضًا. ^{[ 4 ]}

ثم في عام 1882 أثبت ليندمان أن $\pi$ هو عدد متسامٍ ، وبالتالي يستحيل رسم مربع بنفس مساحة دائرة معينة باستخدام المسطرة والفرجار. ^{[ 2 ]}^{: ص 47}

الإنشاءات الأساسية

جميع عمليات الرسم باستخدام المسطرة والفرجار تتكون من تطبيق متكرر لخمسة إنشاءات أساسية باستخدام النقاط والخطوط والدوائر التي تم إنشاؤها مسبقًا. وهذه هي:

إنشاء خط يمر بنقطتين
إنشاء دائرة تحتوي على نقطة واحدة ويكون مركزها عند نقطة أخرى
إنشاء نقطة عند تقاطع خطين (غير متوازيين)
إنشاء نقطة واحدة أو نقطتين عند تقاطع خط ودائرة (إذا تقاطعا)
إنشاء نقطة واحدة أو نقطتين في تقاطع دائرتين (إذا كانتا متقاطعتين).

على سبيل المثال، بدءًا من نقطتين مختلفتين فقط، يمكننا إنشاء خط مستقيم أو إحدى دائرتين (باستخدام كل نقطة كمركز والمرور بالنقطة الأخرى). إذا رسمنا الدائرتين معًا، فستتكون نقطتان جديدتان عند تقاطعهما. برسم خطوط مستقيمة بين النقطتين الأصليتين وإحدى هاتين النقطتين الجديدتين، يكتمل بناء مثلث متساوي الأضلاع.

لذا، في أي مسألة هندسية، لدينا مجموعة أولية من الرموز (نقاط وخطوط)، وخوارزمية، وبعض النتائج. من هذا المنظور، تُعادل الهندسة الجبر البديهي ، مع استبدال عناصره برموز. ربما كان غاوس أول من أدرك ذلك، واستخدمه لإثبات استحالة بعض الإنشاءات؛ ولم يجد هيلبرت مجموعة كاملة من البديهيات للهندسة إلا بعد ذلك بكثير .

الإنشاءات الشائعة باستخدام المسطرة والفرجار

تشمل أكثر عمليات الإنشاء باستخدام المسطرة والفرجار استخدامًا ما يلي:

إنشاء المنصف العمودي من قطعة مستقيمة
إيجاد نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة.
رسم خط عمودي من نقطة إلى خط.
تنصيف الزاوية
عكس نقطة في خط
إنشاء خط يمر بنقطة ماسّ للدائرة
إنشاء دائرة تمر بثلاث نقاط غير واقعة على خط مستقيم واحد
رسم خط يمر بنقطة معينة موازٍ لخط معين.

نقاط قابلة للإنشاء

إنشاءات باستخدام المسطرة والفرجار تتوافق مع العمليات الجبرية
x = a · b ( نظرية التقاطع )	x = a / b ( نظرية التقاطع )	x = √ a ( نظرية المتوسط الهندسي )

يمكننا ربط الجبر بهندستنا باستخدام نظام إحداثيات ديكارتية مكون من خطين، وتمثيل نقاط المستوى لدينا بواسطة متجهات . وأخيرًا، يمكننا كتابة هذه المتجهات كأعداد مركبة.

باستخدام معادلات الخطوط والدوائر، يمكن إثبات أن نقاط تقاطعها تقع في امتداد تربيعي لأصغر حقل F يحتوي على نقطتين على الخط، ومركز الدائرة، ونصف قطر الدائرة. أي أنها من الشكل التالي: $x+y={\sqrt {k}}$ ، حيث x و y و k تنتمي إلى F.

بما أن حقل النقاط القابلة للإنشاء مغلق تحت الجذور التربيعية ، فإنه يحتوي على جميع النقاط التي يمكن الحصول عليها من خلال متتالية منتهية من الامتدادات التربيعية لحقل الأعداد المركبة ذات المعاملات النسبية. وبناءً على ما سبق، يمكن الحصول على أي نقطة قابلة للإنشاء من خلال هذه المتتالية من الامتدادات. وكنتيجة لذلك، نجد أن درجة متعددة الحدود الدنيا لنقطة قابلة للإنشاء (وبالتالي لأي طول قابل للإنشاء) هي قوة للعدد 2. وعلى وجه الخصوص، فإن أي نقطة (أو طول) قابلة للإنشاء هي عدد جبري ، مع العلم أن ليس كل عدد جبري قابل للإنشاء؛ فعلى سبيل المثال، $3\sqrt2 عدد جبري$ ولكنه غير قابل للإنشاء. ^{[ 3 ]}

الزوايا القابلة للإنشاء

توجد علاقة تقابل بين الزوايا القابلة للإنشاء والنقاط القابلة للإنشاء على أي دائرة قابلة للإنشاء. تشكل الزوايا القابلة للإنشاء زمرة تبديلية تحت عملية الجمع بتردد 2π (والتي تُقابل ضرب النقاط على دائرة الوحدة عند اعتبارها أعدادًا مركبة). الزوايا القابلة للإنشاء هي تحديدًا تلك التي يكون ظلها (أو ما يُكافئه، جيبها أو جيب تمامها) قابلاً للإنشاء كعدد. على سبيل المثال، المضلع المنتظم ذو السبعة عشر ضلعًا ( الهيبتاديكاغون ) قابل للإنشاء لأن

{\begin{aligned}\cos {\left({\frac {2\pi }{17}}\right)}&=\,-{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}\,+\,{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\\[5mu]&\qquad +\,{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\end{aligned}}

كما اكتشفها جاوس . ^{[ 5 ]}

مجموعة الزوايا القابلة للإنشاء مغلقة تحت عملية تنصيف الزوايا (التي تُقابل حساب الجذور التربيعية في الأعداد المركبة). الزوايا الوحيدة ذات الرتبة المحدودة التي يمكن إنشاؤها انطلاقًا من نقطتين هي تلك التي تكون رتبتها إما قوة للعدد اثنين، أو حاصل ضرب قوة للعدد اثنين في مجموعة من أعداد فيرما الأولية المختلفة . إضافةً إلى ذلك، توجد مجموعة كثيفة من الزوايا القابلة للإنشاء ذات الرتبة اللانهائية.

العلاقة بالحساب المركب

بالنظر إلى مجموعة من النقاط في المستوى الإقليدي ، فإن اختيار أي منها ليسمى 0 وأخرى ليسمى 1 ، بالإضافة إلى اختيار عشوائي للاتجاه، يسمح لنا باعتبار النقاط كمجموعة من الأعداد المركبة .

بافتراض أي تفسير لمجموعة من النقاط على أنها أعداد مركبة، فإن النقاط التي يمكن إنشاؤها باستخدام الإنشاءات الصحيحة بالفرجار والمسطرة فقط هي تحديدًا عناصر أصغر حقل يحتوي على مجموعة النقاط الأصلية ومغلق تحت عمليتي المرافق المركب والجذر التربيعي (لتجنب الالتباس، يمكننا تحديد الجذر التربيعي بقيمة مركبة أقل من π). عناصر هذا الحقل هي تحديدًا تلك التي يمكن التعبير عنها بصيغة في النقاط الأصلية باستخدام عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة والمرافق المركب والجذر التربيعي فقط ، وهو ما يُلاحظ بسهولة أنه مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد من المستوى. كل عملية من هذه العمليات الست تُقابل إنشاءً بسيطًا بالفرجار والمسطرة. من هذه الصيغة، من السهل إنشاء نقطة مقابلة بدمج عمليات الإنشاء لكل عملية حسابية. الإنشاءات الأكثر كفاءة لمجموعة معينة من النقاط تُقابلها اختصارات في هذه الحسابات.

بصورة مكافئة (ودون الحاجة إلى اختيار نقطتين عشوائيًا)، يمكننا القول إنه عند اختيار اتجاه عشوائي، تحدد مجموعة من النقاط مجموعة من النسب المركبة المعطاة بنسب الفروق بين أي زوجين من النقاط. ومجموعة النسب التي يمكن إنشاؤها باستخدام المسطرة والفرجار من هذه المجموعة من النسب هي تحديدًا أصغر حقل يحتوي على النسب الأصلية ومغلق تحت عملية حساب المرافقات المركبة والجذور التربيعية.

على سبيل المثال، يمكن إنشاء الجزء الحقيقي والجزء التخيلي وقيمة النقطة أو النسبة z (مع الأخذ بإحدى وجهتي النظر المذكورتين أعلاه) حيث يمكن التعبير عنها على النحو التالي:

\mathrm {Re} (z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}\;

\mathrm {Im} (z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}\;

\left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}.\;

مضاعفة مكعب زاوية وتثليثها ( باستثناء الزوايا الخاصة مثل أي زاوية φ بحيث يكون φ /(2π $)$ ) عددًا نسبيًا مقامه لا يقبل القسمة على 3) يتطلبان نسبًا تمثل حلولًا لمعادلات تكعيبية ، بينما يتطلب تربيع الدائرة نسبة متسامية . لا يوجد أي من هذه النسب في الحقول الموصوفة، وبالتالي لا يمكن رسمها باستخدام المسطرة والفرجار.

هياكل مستحيلة

اعتقد الإغريق القدماء أن مشاكل البناء التي لم يتمكنوا من حلها كانت ببساطة عنيدة، وليست مستعصية على الحل. ^{[ 6 ]} ومع ذلك، فقد ثبت بالأساليب الحديثة أن هذه الإنشاءات التي تتم باستخدام المسطرة والفرجار مستحيلة منطقياً.

تربيع الدائرة

إن أشهر هذه المسائل، وهي تربيع الدائرة ، والمعروفة أيضًا باسم تربيع الدائرة ، تتضمن إنشاء مربع له نفس مساحة دائرة معينة باستخدام المسطرة والفرجار فقط.

لقد ثبت استحالة تربيع الدائرة، لأنه ينطوي على توليد عدد متسامٍ . ${\sqrt {\pi }}$ لا يمكن إنشاء سوى أعداد جبرية معينة باستخدام المسطرة والفرجار فقط، وهي تلك التي تُنشأ من الأعداد الصحيحة بتسلسل محدود من عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة وإيجاد الجذور التربيعية. ولهذا السبب، يُستخدم مصطلح "تربيع الدائرة" غالبًا بمعنى "فعل المستحيل".

وبدون التقيد بشرط الحل باستخدام المسطرة والفرجار فقط، يمكن حل المشكلة بسهولة باستخدام مجموعة متنوعة من الوسائل الهندسية والجبرية؛ وقد تم حلها مرات عديدة في العصور القديمة. ^{[ 7 ]}

يمكن تحقيق طريقة تقترب كثيراً من تقريب "تربيع الدائرة" باستخدام مثلث كبلر .

مضاعفة المكعب

مضاعفة المكعب هي عملية إنشاء حافة مكعب، باستخدام المسطرة والفرجار فقط، بحيث يكون حجمها ضعف حجم مكعب آخر له نفس الحافة. وهذا مستحيل لأن ${\sqrt[{3}]{2}}$ على الرغم من كونها جبرية، لا يمكن حسابها من الأعداد الصحيحة عن طريق الجمع والطرح والضرب والقسمة وإيجاد الجذور التربيعية. ويعود ذلك إلى أن الحد الأدنى لكثير الحدود الخاص بها على الأعداد النسبية من الدرجة الثالثة. ويمكن إنشاء هذا باستخدام مسطرة عليها علامتان وفرجار.

تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء

تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية هو إنشاء زاوية، باستخدام المسطرة والفرجار فقط، بحيث تكون الزاوية التي قياسها ثلث زاوية أخرى معطاة. وهذا مستحيل في الحالة العامة. فعلى سبيل المثال، لا يمكن تقسيم زاوية قياسها 60° إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام المسطرة والفرجار فقط (إذ ينتج عن ذلك زاوية قياسها 20°). وكما بيّن أرخميدس ، يمكن تقسيم أي زاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام مسطرة عليها علامتان. ^{[ 8 ]}

المسافة إلى قطع ناقص

يمكن إنشاء قطعة مستقيمة من أي نقطة في المستوى إلى أقرب نقطة على دائرة ، ولكن لا يمكن، بشكل عام، إنشاء قطعة مستقيمة من أي نقطة في المستوى إلى أقرب نقطة على قطع ناقص ذي انحراف مركزي موجب. ^{[ 9 ]} تجدر الإشارة إلى أن النتائج المُثبتة هنا هي في الغالب نتيجة لعدم إمكانية إنشاء القطوع المخروطية. إذا اعتُبر القطع المخروطي الأولي مُعطى، فيجب مراجعة البرهان للتحقق مما إذا كانت هناك حاجة إلى إنشاء قطوع مخروطية أخرى مختلفة. على سبيل المثال، تُعرف طرق إنشاء أعمدة القطع المكافئ، ولكنها تتطلب استخدام تقاطع بين دائرة والقطع المكافئ نفسه. لذلك، لا يمكن إنشاؤها بالمعنى نفسه الذي لا يمكن به إنشاء القطع المكافئ.

مشكلة ابن الهيثم

في عام 1997، أثبت عالم الرياضيات بجامعة أكسفورد، بيتر م. نيومان، النظرية القائلة بأنه لا يوجد بناء باستخدام المسطرة والفرجار للحل العام لمسألة ابن الهيثم القديمة (مسألة البلياردو أو الانعكاس من مرآة كروية). ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

إنشاء المضلعات المنتظمة

بعض المضلعات المنتظمة (مثل الخماسي ) يسهل رسمها باستخدام المسطرة والفرجار؛ بينما يصعب رسم البعض الآخر. وهذا ما أثار التساؤل: هل من الممكن رسم جميع المضلعات المنتظمة باستخدام المسطرة والفرجار؟

أثبت كارل فريدريش غاوس في عام 1796 أنه يمكن إنشاء مضلع منتظم ذي 17 ضلعًا، وبعد خمس سنوات أثبت أنه يمكن إنشاء مضلع منتظم ذي n ضلعًا باستخدام المسطرة والفرجار إذا كانت العوامل الأولية الفردية لـ n أعدادًا أولية مختلفة من نوع فيرما . افترض غاوس أن هذا الشرط ضروري أيضًا ؛ وقد أثبت بيير وانتزل هذا الافتراض في عام 1837. ^{[ 4 ]}

تحتوي المضلعات المنتظمة القليلة الأولى القابلة للإنشاء على الأعداد التالية من الأضلاع:

3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12 ، 15 ، 16 ، 17 ، 20 ، 24 ، 30 ، 32 ، 34 ، 40 ، 48 ، 51 ، 60 ، 64 ، 68، 80 ، 85، 96 ، 102 ، 120، 128، 136، 160، 170، 192، 204، 240، 255، 256، 257 ، 272... (التسلسل A003401 في OEIS )

من المعروف أن هناك عددًا لا نهائيًا من المضلعات المنتظمة القابلة للإنشاء ذات عدد زوجي من الأضلاع (لأنه إذا كان المضلع المنتظم ذو n ضلعًا قابلًا للإنشاء، فإن المضلع المنتظم ذو 2 n ضلعًا قابل للإنشاء أيضًا، وبالتالي المضلع المنتظم ذو 4 n ضلعًا، و8 n ضلعًا، وهكذا). ومع ذلك، لا يوجد سوى 5 أعداد أولية معروفة من أعداد فيرما، مما ينتج عنه 31 مضلعًا منتظمًا معروفًا قابلًا للإنشاء ذو n ضلعًا وعدد فردي من الأضلاع.

إنشاء مثلث من ثلاث نقاط أو أطوال مميزة معطاة

تتألف المثلثات من ست عشرة نقطة رئيسية: رؤوسه ، ومنتصفات أضلاعه ، وقواعد ارتفاعاته ، وقواعد منصفات زواياه الداخلية ، ومركز الدائرة المحيطة به ، ومركز ثقله ، ومركز تعامده ، ومركز الدائرة الداخلية . يمكن تحديد كل نقطة من هذه النقاط الثلاث على حدة، مما ينتج عنه 139 مسألة مختلفة غير تافهة لإنشاء مثلث من ثلاث نقاط. ^{[ 12 ]} من بين هذه المسائل، ثلاث مسائل تتضمن نقطة يمكن إنشاؤها بشكل فريد من النقطتين الأخريين؛ و23 مسألة يمكن إنشاؤها بشكل غير فريد (في الواقع، لعدد لا نهائي من الحلول) ولكن فقط إذا كانت مواقع النقاط تخضع لقيود معينة؛ وفي 74 مسألة، تكون المسألة قابلة للإنشاء في الحالة العامة؛ وفي 39 مسألة، يكون المثلث المطلوب موجودًا ولكنه غير قابل للإنشاء.

الأطوال الرئيسية الاثنا عشر للمثلث هي أطوال الأضلاع الثلاثة، والارتفاعات الثلاثة، والمتوسطات الثلاثة ، ومنصفات الزوايا الثلاثة . بالإضافة إلى الزوايا الثلاث، تُعطي هذه الأطوال 95 تركيبة مختلفة، 63 منها تُنتج مثلثًا قابلًا للإنشاء، و30 لا تُنتجه، واثنان غير مُحددين. ^{[ 13 ]}^{: ص 201-203}

الإنشاءات المقيدة

لقد بذلت محاولات مختلفة لتقييد الأدوات المسموح بها في الإنشاءات بموجب قواعد مختلفة، وذلك لتحديد ما لا يزال قابلاً للإنشاء وكيف يمكن إنشاؤه، بالإضافة إلى تحديد الحد الأدنى من المعايير اللازمة لكي يظل بالإمكان إنشاء كل ما يمكن إنشاؤه باستخدام البوصلة والمسطرة.

البناء باستخدام المسطرة فقط أو الفرجار فقط

من الممكن (وفقًا لنظرية مور-ماسكيروني ) إنشاء أي شيء باستخدام الفرجار فقط إذا كان من الممكن إنشاؤه باستخدام المسطرة والفرجار، شريطة أن تتكون البيانات المعطاة والبيانات المطلوب إيجادها من نقاط منفصلة (وليست خطوطًا أو دوائر). وتعتمد صحة هذه النظرية على صحة بديهية أرخميدس ، ^{[ 14 ]} وهي ليست بديهية من الدرجة الأولى. ومن أمثلة الإنشاءات التي تتم باستخدام الفرجار فقط مسألة نابليون .

لا ينطبق الأمر نفسه على الإنشاءات التي تستخدم المسطرة فقط . فباستخدام المسطرة وحدها، يستحيل حساب الجذر التربيعي، أو تحديد نقطة منتصف قطعة مستقيمة؛ ولكن (بحسب نظرية بونسيليه-شتاينر ) يمكن إنشاء هذه الأشكال بمعرفة دائرة واحدة ومركزها.

الإنشاءات الممتدة

صنّف الإغريق القدماء الإنشاءات الهندسية إلى ثلاث فئات رئيسية، بناءً على مدى تعقيد الأدوات اللازمة لحلها. فإذا اقتصر الإنشاء على المسطرة والفرجار، سُمّيَ مُسطّحًا؛ وإذا تطلّب أيضًا مقطعًا مخروطيًا واحدًا أو أكثر (بخلاف الدائرة)، سُمّيَ مُجسمًا؛ أما الفئة الثالثة فشملت جميع الإنشاءات التي لم تندرج ضمن الفئتين السابقتين. ^{[ 15 ]} يتوافق هذا التصنيف تمامًا مع المنظور الجبري الحديث. فالعدد المركب الذي يُمكن التعبير عنه باستخدام عمليات الحقل والجذور التربيعية فقط (كما ذُكر أعلاه ) له إنشاء مُسطّح. أما العدد المركب الذي يتضمن أيضًا استخراج الجذور التكعيبية فله إنشاء مُجسم.

في لغة الحقول، يكون للعدد المركب المستوي درجة من قوى العدد اثنين، ويقع في امتداد حقل يمكن تقسيمه إلى سلسلة من الحقول، حيث تكون درجة كل امتداد اثنين. أما العدد المركب ذو البنية الصلبة، فتكون درجته من عوامل أولية اثنين وثلاثة فقط، ويقع في امتداد حقل يقع في قمة سلسلة من الحقول، حيث تكون درجة كل امتداد اثنين أو ثلاثة.

هياكل متينة

تُعتبر النقطة ذات بنية صلبة إذا أمكن إنشاؤها باستخدام مسطرة وفرجار وأداة رسم مخروطية (افتراضية على الأرجح) قادرة على رسم أي قطع مخروطي ذي بؤرة ودليل وانحراف مركزي مُحددين مسبقًا. غالبًا ما يمكن إنشاء نفس مجموعة النقاط باستخدام مجموعة أدوات أصغر. على سبيل المثال، باستخدام فرجار ومسطرة وورقة عليها القطع المكافئ y = x² مع النقطتين (0,0) و(1,0) ^، يمكن إنشاء أي عدد مركب ذي بنية صلبة. وبالمثل، فإن أداة قادرة على رسم أي قطع ناقص ذي بؤرتين ومحور رئيسي مُحددين مسبقًا (كاستخدام دبوسين وخيط) تُعدّ بنفس القدر من الفعالية. ^{[ 16 ]}

عرف الإغريق القدماء أن مضاعفة المكعب وتثليث أي زاوية لهما إنشاءات هندسية مجسمة. وقدّم أرخميدس إنشاءً هندسيًا للمضلع السباعي المنتظم ، والذي فسّره بعض المفسرين العرب في العصور الوسطى، مثل بارتل ليندرت فان دير فاردن ، على أنه قائم على إنشاء هندسي مجسم، إلا أن هذا التفسير محل خلاف، إذ توجد تفسيرات أخرى محتملة. ^{[ 17 ]} أما تربيع الدائرة فلا يمتلك إنشاءً هندسيًا مجسمًا.

يكون للمضلع المنتظم ^ذي n ضلعًا بنية صلبة إذا وفقط إذا كان n = 2a³bm، حيث a ^و b عددان صحيحان غير سالبين ، و m هو حاصل ضرب صفر أو أكثر من أعداد بيربونت الأولية المختلفة (أعداد أولية من الشكل ^2r³s + 1 ⁾ . لذلك، يقبل المضلع المنتظم ذو n ضلعًا بنية صلبة، ولكن ليس مستوية، إذا وفقط إذا كان n ضمن المتتالية

7 ، 9 ، 13 ، 14 ، 18 ، 19 ، 21 ، 26، 27، 28، 35، 36، 37، 38، 39، 42 ، 45، 52، 54، 56، 57، 63، 65، 70، 72، 73، 74، 76، 78، 81، 84، 90، 91، 95، 97... (التسلسل A051913 في OEIS )

مجموعة n التي لا يمكن فيها إنشاء مجسم منتظم ذي n ضلع هي المتتالية

11 ، 22 ، 23 ، 25، 29، 31، 33، 41، 43، 44، 46، 47، 49، 50، 53، 55، 58، 59، 61، 62، 66، 67، 69، 71، 75، 77، 79، 82، 83، 86، 87، 88، 89، 92، 93، 94، 98، 99، 100... (التسلسل A048136 في OEIS )

ومثل السؤال المتعلق بأعداد فيرما الأولية، فإن السؤال ما إذا كان هناك عدد لا نهائي من أعداد بيربونت الأولية يبقى سؤالاً مفتوحاً.

تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء

ماذا لو امتلكنا، إلى جانب المسطرة والفرجار، أداةً قادرةً على تقسيم أي زاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية؟ تُعدّ هذه الأشكال هندسيةً صلبة، ولكن توجد أعدادٌ ذات أشكال هندسية صلبة لا يمكن إنشاؤها باستخدام هذه الأداة. على سبيل المثال، لا يمكننا مضاعفة المكعب باستخدامها. ^{[ 18 ]} من جهة أخرى، يمكن إنشاء أي مضلع منتظم ذي n ضلعًا له شكل هندسي صلب باستخدام هذه الأداة.

فن طي الورق (الأوريغامي)

تُعدّ النظرية الرياضية لفن طي الورق (الأوريغامي) أكثر قوة من مجرد استخدام المسطرة والفرجار. إذ يمكن للطيّات التي تُحقق بديهيات هوزيتا-هاتوري أن تُشكّل نفس مجموعة النقاط التي تُشكّلها الطيّات المُوسّعة باستخدام الفرجار وأداة الرسم المخروطي. ولذلك، يُمكن استخدام الأوريغامي أيضًا لحلّ المعادلات التكعيبية (وبالتالي المعادلات الرباعية)، وبالتالي حلّ اثنتين من المسائل الكلاسيكية. ^{[ 19 ]}

مساطر قابلة للتمييز

قدّم أرخميدس ونيكوميدس وأبولونيوس طرقًا إنشائيةً باستخدام مسطرة قابلة للتحديد. تسمح لهم هذه الطرق، على سبيل المثال، بأخذ قطعة مستقيمة، وخطين (أو دائرتين)، ونقطة؛ ثم رسم خط يمر بالنقطة المعطاة ويتقاطع مع الخطين المعطيين، بحيث تكون المسافة بين نقطتي التقاطع مساويةً للقطعة المستقيمة المعطاة. أطلق الإغريق على هذه الطريقة اسم " نيوسيس " (الميل أو التقارب)، لأن الخط الجديد يميل نحو النقطة. في هذا المخطط الموسّع، يمكننا تقسيم أي زاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية (انظر تقسيم أرخميدس إلى ثلاثة أجزاء متساوية) أو استخراج أي جذر تكعيبي (بفضل نيكوميدس). وبالتالي، يمكن إنشاء أي مسافة تكون نسبتها إلى مسافة موجودة حلاً لمعادلة تكعيبية أو رباعية . باستخدام مسطرة قابلة للتحديد، يمكن إنشاء المضلعات المنتظمة ذات الأشكال الهندسية الصلبة، مثل المضلع السباعي ؛ وقدّم جون هـ. كونواي وريتشارد ك. جاي طرقًا إنشائيةً لعدد منها. ^[²⁰^]

يُعدّ بناء النيوسيس أكثر فعالية من أداة رسم المخروط، إذ يُمكن من خلاله بناء أعداد مركبة لا تملك تمثيلات هندسية صلبة. في الواقع، باستخدام هذه الأداة، يُمكن حلّ بعض المعادلات الخماسية التي لا يُمكن حلّها باستخدام الجذور . ^{[ 21 ]} من المعروف أنه لا يُمكن حلّ كثير حدود غير قابل للاختزال من الدرجة الأولية 7 أو أكبر باستخدام بناء النيوسيس، لذا لا يُمكن بناء مضلع منتظم ذي 23 أو 29 ضلعًا باستخدام هذه الأداة. أثبت بنجامين وسنايدر إمكانية بناء مضلع منتظم ذي 11 ضلعًا، لكنهما لم يُقدّما طريقةً لبنائه. ^{[ 22 ]} ولا يزال من غير المعروف ما إذا كان من الممكن بناء مضلع منتظم ذي 25 أو 31 ضلعًا باستخدام هذه الأداة.

حساب الأرقام الثنائية

في عام 1998، قدم سيمون بلوف خوارزمية المسطرة والفرجار التي يمكن استخدامها لحساب الأرقام الثنائية لأرقام معينة، مثل $\arctan(1/2)/\pi$ تتضمن الخوارزمية مضاعفة الزاوية بشكل متكرر، وتصبح غير عملية من الناحية الفيزيائية بعد حوالي 20 رقمًا ثنائيًا. ^{[ 23 ]}

انظر أيضاً

دائرة كارلايل
علم الجغرافيا
قائمة ببرامج الهندسة التفاعلية ، معظمها يعرض عمليات الإنشاء باستخدام المسطرة والفرجار.
رياضيات طي الورق
أندروود دادلي ، عالم رياضيات اتخذ من جمع البراهين الزائفة باستخدام المسطرة والفرجار هواية جانبية.

ملحوظات

↑ قد تنطوي البوصلة بعد إزالتها من الصفحة، مما يؤدي إلى محو نصف قطرها "المخزن".
↑ على سبيل المثال، النظر إلى البناء وتخمين مدى دقته
↑ إذا سُمح بعدد غير محدود من الخطوات، فإن بعض الإنشاءات التي كانت مستحيلة لولا ذلك تصبح ممكنة عن طريق تسلسلات لا نهائية تتقارب إلى حد معين.

مراجع

↑ توسان، غودفريد (1993). "نظرة جديدة على القضية الثانية لإقليدس". مجلة الرياضيات الذكية . 15 (3): 12-24 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 بولد، بنيامين. مسائل الهندسة الشهيرة وكيفية حلها ، منشورات دوفر، 1982 (الأصل 1969).
1 2 وانتزل، بيير لوران (1837). "البحث عن طرق التعرف على ما إذا كانت هناك مشكلة هندسية قد تنشأ مع القاعدة والحساب" (PDF) . مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقات . 1. 2 : 366 - 372 . تم الاسترجاع 3 مارس 2014 .
1 2 كازارينوف، نيكولاس د. (2003) [1970]. المسطرة والدائرة . مينولا، نيويورك: دوفر. ص 29-30 . ISBN 978-0-486-42515-3.
^ وايزستين، إيريك دبليو. “زوايا علم المثلثات--Pi/17” . عالم الرياضيات .
↑ ستيوارت، إيان. نظرية غالوا . ص 75.
↑ أوكونور، جيه جيه؛ روبرتسون، إي إف. "تربيع الدائرة" . www-gap.dcs.st-and.ac.uk/ . مؤرشف من الأصل في 25 يونيو 2017.
↑ مارتن، جورج إي. (1998). الإنشاءات الهندسية . نصوص جامعية في الرياضيات. سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك. ص 49-50 . ISBN 0-387-98276-0.
↑ آزاد، ح.؛ لارادجي، أ. (نوفمبر 2004). "بعض الإنشاءات المستحيلة في الهندسة الابتدائية". المجلة الرياضية . 88 : 548-551 .
↑ نيومان، بيتر م. ( 1998). "تأملات حول الانعكاس في مرآة كروية". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 105 (6): 523-528 . doi : 10.1080/00029890.1998.12004920 . JSTOR 2589403. MR 1626185 .
↑ هايفيلد، روجر (1 أبريل 1997). "دون يحل اللغز الأخير الذي تركه الإغريق القدماء" . التلغراف الإلكتروني . 676. مؤرشف من الأصل في 23 نوفمبر 2004. تم الاسترجاع في 24 سبتمبر 2008 .
↑ باسكال شريك، باسكال ماتيس، فيسنا مارينكوفيتش، وبريدراج يانيتشيتش. "قائمة فيرنيك: تحديث نهائي"، منتدى الهندسة 16، 2016، ص 69-80. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201610.pdf مؤرشف بتاريخ 8 أبريل 2016 في أرشيف الإنترنت
↑ بوسامنتير، ألفريد إس، وليمان، إنغمار. أسرار المثلثات ، كتب بروميثيوس، 2012.
↑ أفْرون، أرنون (1990). "حول إمكانية الإنشاء القوي الصارم باستخدام الفرجار فقط". مجلة الهندسة . 38 ( 1-2 ): 12-15 . doi : 10.1007/BF01222890 . S2CID 1537763 .
↑ تي إل هيث، "تاريخ الرياضيات اليونانية، المجلد الأول"
↑ P. Hummel, "Solid constructions using ellipses", The Pi Mu Epsilon Journal , 11 (8), 429 -- 435 (2003)
↑ كنور، ويلبر ر. (1989)، "حول بناء أرخميدس للمضلع السباعي المنتظم"، سنتوروس ، 32 (4): 257-271 ، Bibcode : 1989Cent...32..257K ، doi : 10.1111/j.1600-0498.1989.tb00848.x ، MR 1078083
↑ جليسون، أندرو : "تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء، والمضلع السباعي، والمضلع الثلاثي عشري"، المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية 95 (1988)، العدد 3، 185-194.
↑ رو، تي. سوندارا (1966). تمارين هندسية في طي الورق . نيويورك: دوفر.
↑ كونواي، جون هـ. وريتشارد جاي: كتاب الأعداد
↑ أ. باراجار، "إنشاءات باستخدام مسطرة ذات شقين"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 109 (2)، 151 - 164 (2002).
↑ بنجامين، إليوت؛ سنايدر، سي. (2014). "حول إنشاء الشكل المنتظم ذي الأحد عشر ضلعًا باستخدام المسطرة والفرجار". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 156 (3): 409-424 . Bibcode : 2014MPCPS.156..409B . doi : 10.1017/S0305004113000753 .
↑ سيمون بلوف (1998). "حساب بعض الأعداد باستخدام المسطرة والفرجار" . مجلة متواليات الأعداد الصحيحة . 1 : 13. رمز Bibcode : 1998JIntS...1...13P . الرقم الدولي الموحد للدوريات : 1530-7638 .

روابط خارجية

إنشاء المضلعات المنتظمة بواسطة دكتور ماث في منتدى الرياضيات بجامعة دريكسل
البناء باستخدام البوصلة فقط في موقع cut-the-knot
تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء بواسطة أبقراط في موقع cut-the-not
وايسستين، إريك دبليو. “تثليث الزاوية” . عالم الرياضيات .

[1] قد تنطوي البوصلة بعد إزالتها من الصفحة، مما يؤدي إلى محو نصف قطرها "المخزن".

[3] على سبيل المثال، النظر إلى البناء وتخمين مدى دقته

[4] إذا سُمح بعدد غير محدود من الخطوات، فإن بعض الإنشاءات التي كانت مستحيلة لولا ذلك تصبح ممكنة عن طريق تسلسلات لا نهائية تتقارب إلى حد معين.

[2] توسان، غودفريد (1993). "نظرة جديدة على القضية الثانية لإقليدس". مجلة الرياضيات الذكية . 15 (3): 12-24 .

[Bold-5] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 بولد، بنيامين. مسائل الهندسة الشهيرة وكيفية حلها ، منشورات دوفر، 1982 (الأصل 1969).

[Wantzel-6] 1 2 وانتزل، بيير لوران (1837). "البحث عن طرق التعرف على ما إذا كانت هناك مشكلة هندسية قد تنشأ مع القاعدة والحساب" (PDF) . مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقات . 1. 2 : 366 - 372 . تم الاسترجاع 3 مارس 2014 .

[Kazarinoff-7] 1 2 كازارينوف، نيكولاس د. (2003) [1970]. المسطرة والدائرة . مينولا، نيويورك: دوفر. ص 29-30 . ISBN 978-0-486-42515-3.

[8] وايزستين، إيريك دبليو. “زوايا علم المثلثات--Pi/17” . عالم الرياضيات .

[9] ستيوارت، إيان. نظرية غالوا . ص 75.

[10] أوكونور، جيه جيه؛ روبرتسون، إي إف. "تربيع الدائرة" . www-gap.dcs.st-and.ac.uk/ . مؤرشف من الأصل في 25 يونيو 2017.

[11] مارتن، جورج إي. (1998). الإنشاءات الهندسية . نصوص جامعية في الرياضيات. سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك. ص 49-50 . ISBN 0-387-98276-0.

[12] آزاد، ح.؛ لارادجي، أ. (نوفمبر 2004). "بعض الإنشاءات المستحيلة في الهندسة الابتدائية". المجلة الرياضية . 88 : 548-551 .

[13] نيومان، بيتر م. ( 1998). "تأملات حول الانعكاس في مرآة كروية". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 105 (6): 523-528 . doi : 10.1080/00029890.1998.12004920 . JSTOR 2589403. MR 1626185 .

[14] هايفيلد، روجر (1 أبريل 1997). "دون يحل اللغز الأخير الذي تركه الإغريق القدماء" . التلغراف الإلكتروني . 676. مؤرشف من الأصل في 23 نوفمبر 2004. تم الاسترجاع في 24 سبتمبر 2008 .

[15] باسكال شريك، باسكال ماتيس، فيسنا مارينكوفيتش، وبريدراج يانيتشيتش. "قائمة فيرنيك: تحديث نهائي"، منتدى الهندسة 16، 2016، ص 69-80. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201610.pdf مؤرشف بتاريخ 8 أبريل 2016 في أرشيف الإنترنت

[16] بوسامنتير، ألفريد إس، وليمان، إنغمار. أسرار المثلثات ، كتب بروميثيوس، 2012.

[17] أفْرون، أرنون (1990). "حول إمكانية الإنشاء القوي الصارم باستخدام الفرجار فقط". مجلة الهندسة . 38 ( 1-2 ): 12-15 . doi : 10.1007/BF01222890 . S2CID 1537763 .

[18] تي إل هيث، "تاريخ الرياضيات اليونانية، المجلد الأول"

[19] P. Hummel, "Solid constructions using ellipses", The Pi Mu Epsilon Journal , 11 (8), 429 -- 435 (2003)

[20] كنور، ويلبر ر. (1989)، "حول بناء أرخميدس للمضلع السباعي المنتظم"، سنتوروس ، 32 (4): 257-271 ، Bibcode : 1989Cent...32..257K ، doi : 10.1111/j.1600-0498.1989.tb00848.x ، MR 1078083

[21] جليسون، أندرو : "تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء، والمضلع السباعي، والمضلع الثلاثي عشري"، المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية 95 (1988)، العدد 3، 185-194.

[22] رو، تي. سوندارا (1966). تمارين هندسية في طي الورق . نيويورك: دوفر.

[23] كونواي، جون هـ. وريتشارد جاي: كتاب الأعداد

[24] أ. باراجار، "إنشاءات باستخدام مسطرة ذات شقين"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 109 (2)، 151 - 164 (2002).

[25] بنجامين، إليوت؛ سنايدر، سي. (2014). "حول إنشاء الشكل المنتظم ذي الأحد عشر ضلعًا باستخدام المسطرة والفرجار". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 156 (3): 409-424 . Bibcode : 2014MPCPS.156..409B . doi : 10.1017/S0305004113000753 .

[Plouffe1998-26] سيمون بلوف (1998). "حساب بعض الأعداد باستخدام المسطرة والفرجار" . مجلة متواليات الأعداد الصحيحة . 1 : 13. رمز Bibcode : 1998JIntS...1...13P . الرقم الدولي الموحد للدوريات : 1530-7638 .

[

[ 1 ]

[ ب ]

[ ج ]

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗