الجبر المجرد

لدراسة المعادلات متعددة الحدود أو المعادلات الجبرية تاريخ طويل. ففي حوالي عام 1700 قبل الميلاد، تمكن البابليون من حل المعادلات التربيعية التي كانت تُصاغ على شكل مسائل لفظية. تُصنف هذه المرحلة من المسائل اللفظية ضمن الجبر البلاغي ، وكانت هي النهج السائد حتى القرن السادس عشر الميلادي. وقد صاغ الخوارزمي مصطلح "الجبر" عام 830 ميلادي، لكن عمله كان برمته جبرًا بلاغيًا. ولم يظهر الجبر الرمزي الكامل إلا مع كتاب فرانسوا فييت " الجبر الجديد" عام 1591 ، وحتى هذا الكتاب احتوى على بعض الكلمات المكتوبة التي مُنحت رموزًا في كتاب ديكارت " الهندسة" عام 1637. ^{[ 6 ]} وقد دفعت الدراسة الرسمية لحل المعادلات الرمزية ليونارد أويلر إلى قبول ما كان يُعتبر آنذاك جذورًا "غير منطقية" مثل الأعداد السالبة والأعداد التخيلية ، وذلك في أواخر القرن الثامن عشر. ^{[ 7 ]} ومع ذلك، قاوم علماء الرياضيات الأوروبيون، في معظمهم، هذه المفاهيم حتى منتصف القرن التاسع عشر. ^{[ 8 ]}

كان كتاب جورج بيكوك " رسالة في الجبر" الصادر عام 1830 أول محاولة لوضع الجبر على أساس رمزي بحت. وقد ميّز فيه جبرًا رمزيًا جديدًا، يختلف عن الجبر الحسابي القديم . بينما في الجبر الحسابي${\displaystyle ab}$يقتصر على${\displaystyle a\geq b}$في الجبر الرمزي، تسري جميع قواعد العمليات دون قيود. وباستخدام هذا، يمكن لبرنامج بيكوك أن يُظهر قوانين مثل:${\displaystyle (-a)(-b)=ab}$عن طريق السماح${\displaystyle d=0,c=0}$في${\displaystyle (db)(ca)=dc+ba-ad-bc}$استخدم بيكوك ما أسماه مبدأ ثبات الأشكال المتكافئة لتبرير حجته، لكن استدلاله عانى من مشكلة الاستقراء . ^{[ 9 ]} على سبيل المثال،${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$ينطبق هذا على الأعداد الحقيقية غير السالبة ، ولكن ليس على الأعداد المركبة العامة .

أدت عدة مجالات في الرياضيات إلى دراسة الزمر. فدراسة لاغرانج عام 1770 لحلول المعادلة الخماسية أدت إلى زمرة غالوا لكثير الحدود . ودراسة غاوس عام 1801 لنظرية فيرما الصغرى أدت إلى حلقة الأعداد الصحيحة بتردد n ، وزمرة الضرب للأعداد الصحيحة بتردد n ، والمفاهيم الأكثر عمومية للزمر الدورية والزمر الأبيلية . وبرنامج كلاين في إرلانجن عام 1872 الذي درس الهندسة، أدى إلى زمر التناظر مثل الزمرة الإقليدية وزمرة التحويلات الإسقاطية . وفي عام 1874، قدم لي نظرية زمر لي ، ساعيًا إلى "نظرية غالوا للمعادلات التفاضلية". وفي عام 1876، قدم بوانكاريه وكلاين زمرة تحويلات موبيوس ، وزمرها الفرعية مثل الزمرة النمطية وزمرة فوكس ، استنادًا إلى العمل على الدوال الذاتية في التحليل. ^{[ 10 ]}

ظهر المفهوم المجرد للزمرة تدريجيًا خلال منتصف القرن التاسع عشر. وكان غالوا أول من استخدم مصطلح "الزمرة" عام 1832، ^{[ 11 ]} للدلالة على مجموعة من التباديل المغلقة تحت عملية التركيب. ^{[ 12 ]} وفي ورقة بحثية بعنوان "نظرية الزمر " عام 1854، عرّف آرثر كايلي الزمرة بأنها مجموعة ذات عملية تركيب تجميعية وعنصر محايد 1، وتُعرف اليوم باسم " المونويد" . ^{[ 13 ]} وفي عام 1870، عرّف كرونكر عملية ثنائية مجردة كانت مغلقة، وتبديلية، وتجميعية، ولها خاصية الحذف من اليسار.${\displaystyle b\neq c\to a\cdot b\neq a\cdot c}$[ ^{14 ]} مشابهة للقوانين الحديثة للزمرة الأبيلية المنتهية . ^{[ 15 ]} كان تعريف ويبر للزمرة عام 1882 عملية ثنائية مغلقة، تجميعية، ولها حذف من اليسار واليمين. ^{[ 16 ] كان} والتر فون ديك عام 1882 أول من اشترط وجود العناصر المعكوسة كجزء من تعريف الزمرة. ^{[ 17 ]}

بمجرد ظهور مفهوم المجموعة المجرد هذا، أُعيدت صياغة النتائج في هذا السياق المجرد. على سبيل المثال، أعاد فروبينيوس إثبات نظرية سيلو عام 1887 مباشرةً من قوانين المجموعة المنتهية، مع أن فروبينيوس أشار إلى أن النظرية تنبع من نظرية كوشي حول مجموعات التبديل وحقيقة أن كل مجموعة منتهية هي مجموعة جزئية من مجموعة تبديل. ^{[ 18 ] [ 19 ]} كان أوتو هولدر غزير الإنتاج بشكل خاص في هذا المجال، حيث عرّف مجموعات القسمة عام 1889، وتشاكلات المجموعات عام 1893، بالإضافة إلى المجموعات البسيطة. كما أكمل نظرية جوردان-هولدر . وصف ديديكيند وميلر بشكل مستقل مجموعات هاميلتون وقدموا مفهوم مبدل عنصرين . وضع بيرنسايد وفروبينيوس ومولين نظرية تمثيل المجموعات المنتهية في نهاية القرن التاسع عشر. ^{[ 18 ]} قدمت دراسة جيه إيه دي سيغييه، الصادرة عام 1905 بعنوان "عناصر نظرية الزمر المجردة"، العديد من هذه النتائج في شكل مجرد وعام، مع إحالة الزمر "الملموسة" إلى ملحق، على الرغم من أنها اقتصرت على الزمر المنتهية. وكانت أول دراسة شاملة تتناول الزمر المجردة المنتهية وغير المنتهية هي دراسة أو كيه شميدت، الصادرة عام 1916 بعنوان " النظرية المجردة للزمر" . ^{[ 20 ]}

بدأت نظرية الحلقات غير التبادلية بتوسيع نطاق الأعداد المركبة لتشمل الأعداد فائقة التعقيد ، وتحديدًا الكواترنيونات التي قدمها ويليام روان هاميلتون عام 1843. وسرعان ما تبعتها العديد من أنظمة الأعداد الأخرى. ففي عام 1844، قدم هاميلتون الكواترنيونات الثنائية ، وقدم كايلي الأوكتونيونات ، وقدم غراسمان الجبر الخارجي . ^{[ 21 ]} وقدم جيمس كوكل التيسارينات عام 1848 ^{[ 22 ]} والكواترنيونات المشتركة عام 1849. ^{[ 23 ]} وقدم ويليام كينغدون كليفورد الكواترنيونات الثنائية المنقسمة عام 1873. بالإضافة إلى ذلك، قدم كايلي جبر الزمر على الأعداد الحقيقية والمركبة عام 1854، والمصفوفات المربعة في ورقتين بحثيتين عامي 1855 و1858. ^{[ 24 ]}

بعد توفر أمثلة كافية، بقي تصنيفها. في دراسة نُشرت عام 1870، صنّف بنجامين بيرس أكثر من 150 نظامًا عدديًا فائق التعقيد ذي بُعد أقل من 6، وقدّم تعريفًا واضحًا للجبر الترابطي . عرّف بيرس العناصر العديمة القوة والعناصر المتساوية القوة، وأثبت أن أي جبر يحتوي على أحد هذين النوعين. كما عرّف تحليل بيرس . في عام 1878، أثبت كلٌ من فروبينيوس وتشارلز ساندرز بيرس في عام 1881، بشكل مستقل، أن جبر القسمة الوحيد ذي البُعد المحدود على${\displaystyle \mathbb {R} }$كانت الأعداد الحقيقية، والأعداد المركبة، والأعداد الرباعية هي الأعداد الحقيقية. في ثمانينيات القرن التاسع عشر، أثبت كيلينغ وكارتان إمكانية تحليل جبر لي شبه البسيط إلى جبر لي بسيط، وصنفا جميع جبر لي البسيط. واستلهامًا من ذلك، في تسعينيات القرن التاسع عشر، أثبت كارتان وفروبينيوس ومولين (بشكل مستقل) أن جبرًا ترابطيًا محدود الأبعاد على${\displaystyle \mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} }$يتحلل بشكل فريد إلى مجموع مباشر لجبر نيلبوتنت وجبر شبه بسيط هو ناتج ضرب عدد من الجبر البسيط ، والمصفوفات المربعة على جبر القسمة. كان كارتان أول من عرّف مفاهيم مثل المجموع المباشر والجبر البسيط، وقد أثبتت هذه المفاهيم تأثيرها الكبير. في عام 1907، وسّع ويدربورن نتائج كارتان لتشمل أي حقل، فيما يُعرف الآن بنظرية ويدربورن الرئيسية ونظرية آرتين-ويدربورن . ^{[ 25 ]}

بالنسبة للحلقات التبديلية، أدت عدة مجالات مجتمعة إلى نظرية الحلقات التبديلية. ^{[ 26 ]} في ورقتين بحثيتين نُشرتا عامي 1828 و1832، صاغ غاوس الأعداد الصحيحة الغاوسية وأظهر أنها تُشكّل مجال تحليل فريد (UFD)، كما أثبت قانون التبادلية التربيعي الثنائي . وفي نفس الفترة تقريبًا، أثبت جاكوبي وإيزنشتاين قانون التبادلية التكعيبي لأعداد أيزنشتاين الصحيحة . ^{[ 25 ]} أدت دراسة نظرية فيرما الأخيرة إلى الأعداد الصحيحة الجبرية . في عام 1847، اعتقد غابرييل لاميه أنه أثبت نظرية فيرما الأخيرة، لكن برهانه كان خاطئًا لأنه افترض أن جميع الحقول الدائرية هي مجالات تحليل فريدة، ومع ذلك، كما أشار كومر،${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{23}))}$لم يكن مجالًا فريدًا للتحليل. ^{[ 27 ]} في عامي 1846 و1847، قدّم كومر مفهوم الأعداد المثالية وأثبت التحليل الفريد إلى الأعداد الأولية المثالية للحقول الدائرية. ^{[ 28 ]} وسّع ديديكيند هذا المفهوم في عام 1871 ليُبيّن أن كل مثالي غير صفري في مجال الأعداد الصحيحة لحقل عددي جبري هو ناتج فريد من نوعه لأعداد أولية مثالية ، وهو ما يُعدّ مقدمة لنظرية مجالات ديديكيند . إجمالًا، أسّس عمل ديديكيند موضوع نظرية الأعداد الجبرية . ^{[ 29 ]}

في خمسينيات القرن التاسع عشر، قدّم ريمان المفهوم الأساسي لسطح ريمان . اعتمدت طرق ريمان على فرضية أطلق عليها اسم مبدأ ديريشليه ، ^{[ 30 ]} والتي شكّك فيها فايرشتراس عام 1870. وفي وقت لاحق، عام 1900، برّر هيلبرت منهج ريمان بتطوير الطريقة المباشرة في حساب التفاضل والتكامل . ^{[ 31 ]} في ستينيات وسبعينيات القرن التاسع عشر، درس كل من كليبش، وغوردان، وبريل، وخاصةً م. نوثر، الدوال والمنحنيات الجبرية . وعلى وجه الخصوص، درس نوثر الشروط اللازمة لكي يكون كثير الحدود عنصرًا من المثالي الناتج عن منحنيين جبريين في حلقة كثيرات الحدود.${\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}$على الرغم من أن نوثر لم يستخدم هذه اللغة الحديثة. في عام 1882، قام ديديكيند وويبر، قياسًا على عمل ديديكيند السابق في نظرية الأعداد الجبرية، بوضع نظرية لحقول الدوال الجبرية سمحت بأول تعريف دقيق لسطح ريمان وبرهان دقيق لنظرية ريمان-روخ . واصل كرونكر في ثمانينيات القرن التاسع عشر، وهيلبرت في عام 1890، ولاسكر في عام 1905، وماكولي في عام 1913، دراسة مُثُل حلقات كثيرات الحدود الضمنية في عمل إي . نوثر. أثبت لاسكر حالة خاصة من نظرية لاسكر-نوثر ، وهي أن كل مُثُل في حلقة كثيرات الحدود هو تقاطع محدود للمُثُل الأولية . أثبت ماكولي تفرد هذا التفكيك. ^{[ 32 ]} إجمالًا، أدى هذا العمل إلى تطوير الهندسة الجبرية . ^{[ 26 ]}

في عام 1801، قدّم غاوس الأشكال التربيعية الثنائية على الأعداد الصحيحة، وحدّد تكافؤها . كما عرّف مميز هذه الأشكال، وهو ثابت الشكل الثنائي . بين ستينيات وتسعينيات القرن التاسع عشر، تطورت نظرية الثوابت وأصبحت مجالًا رئيسيًا في الجبر. اكتشف كايلي وسيلفستر وغوردان وآخرون المصفوفة اليعقوبية والمصفوفة الهيسية للأشكال الرباعية والتكعيبية الثنائية. ^{[ 33 ]} في عام 1868، أثبت غوردان أن الجبر المتدرج لثوابت الشكل الثنائي على الأعداد المركبة مُوَلَّد توليدًا منتهيًا، أي أنه يمتلك أساسًا. ^{[ 34 ]} كتب هيلبرت أطروحة عن الثوابت في عام 1885، وفي عام 1890 بيّن أن أي شكل من أي درجة أو عدد من المتغيرات يمتلك أساسًا. ثم وسّع هذا المفهوم في عام 1890 ليُصبح نظرية هيلبرت للأساس . ^{[ 35 ]}

بعد تطوير هذه النظريات، استغرق الأمر عدة عقود قبل ظهور مفهوم الحلقة المجرد. وقدّم أبراهام فرانكل أول تعريف بديهي لها عام 1914. ^{[ 35 ]} واعتمد تعريفه بشكل أساسي على البديهيات القياسية: مجموعة تحتوي على عمليتين: الجمع، الذي يُشكّل زمرة (ليس بالضرورة تبديلية)، والضرب، وهو تجميعي، ويوزّع على الجمع، وله عنصر محايد. ^{[ 36 ]} إضافةً إلى ذلك، وضع فرانكل بديهيتين حول "العناصر المنتظمة" مستوحيتين من العمل على الأعداد p-adic ، والتي استبعدت الحلقات الشائعة حاليًا مثل حلقة الأعداد الصحيحة. وقد مكّنت هذه البديهيات فرانكل من إثبات أن الجمع تبديلي. ^{[ 37 ]} هدف عمل فرانكل إلى نقل تعريف شتاينيتز للحقول عام 1910 إلى الحلقات، لكنه لم يكن مرتبطًا بالعمل القائم على الأنظمة الملموسة. وكان تعريف ماسازو سونو عام 1917 أول تعريف مكافئ للتعريف الحالي. ^{[ 38 ]}

في عام ١٩٢٠، نشرت إيمي نوثر ، بالتعاون مع دبليو. شميدلر، بحثًا حول نظرية المُثُل، عرّفا فيه المُثُل اليسرى واليمنى في الحلقة . وفي العام التالي، نشرت بحثًا رائدًا بعنوان "نظرية المُثُل في الحلقات " ( Idealtheorie in Ringbereichen )، حللت فيه شروط السلسلة الصاعدة فيما يتعلق بالمُثُل (الرياضية). وقد أدى هذا النشر إلى ظهور مصطلح " الحلقة النوثرية "، بالإضافة إلى تسمية العديد من الكائنات الرياضية الأخرى بالنوثرية . ^{[ ٣٩ ] [ ٤٠ ]} وصف عالم الجبر الشهير إيرفينغ كابلانسكي هذا العمل بأنه "ثوري"؛ ^{[ ٣٩ ]} فقد تبين أن النتائج التي بدت مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بخصائص حلقات كثيرات الحدود تنبع من بديهية واحدة. ^{[ ٤١ ]} واستلهم آرتين من عمل نوثر، فابتكر شرط السلسلة الهابطة . وقد مثّلت هذه التعريفات ميلاد نظرية الحلقات المجردة. ^{[ ٤٢ ]}

في عام 1801، قدّم غاوس مفهوم الأعداد الصحيحة modulo p ، حيث p عدد أولي. وفي عام 1830، وسّع غالوا هذا المفهوم ليشمل الحقول المنتهية .${\displaystyle p^{n}}$العناصر. ^{[ 43 ]} في عام 1871، قدّم ريتشارد ديديكيند ، لمجموعة من الأعداد الحقيقية أو المركبة المغلقة تحت العمليات الحسابية الأربع، ^{[ 44 ]} الكلمة الألمانية Körper ، والتي تعني "جسم" أو "مجموعة" (للدلالة على كيان مغلق عضويًا). وقدّم مور المصطلح الإنجليزي "field" في عام 1893. ^{[ 45 ]} في عام 1881، عرّف ليوبولد كرونكر ما أسماه مجال العقلانية ، وهو حقل الكسور النسبية بالمصطلحات الحديثة. ^{[ 46 ]} يعود أول تعريف واضح للحقل المجرد إلى هاينريش مارتن فيبر في عام 1893. كان هذا التعريف يفتقر إلى قانون التجميع للضرب، ولكنه شمل الحقول المنتهية وحقول نظرية الأعداد الجبرية والهندسة الجبرية. ^{[ 47 ]} في عام 1910، قام شتاينيتز بتجميع المعرفة المتراكمة في نظرية الحقول المجردة حتى ذلك الحين. لقد عرّف الحقول تعريفاً بديهياً بالتعريف الحديث، وصنفها حسب خصائصها ، وأثبت العديد من النظريات الشائعة اليوم. ^{[ 48 ]}

• حل أنظمة المعادلات الخطية ، مما أدى إلى الجبر الخطي ^{[ 49 ]}

شهدت أواخر القرن التاسع عشر وبداية القرن العشرين تحولاً في منهجية الرياضيات. فقد ظهر الجبر المجرد في مطلع القرن العشرين، تحت مسمى الجبر الحديث . وكانت دراسته جزءًا من السعي نحو مزيد من الدقة الفكرية في الرياضيات. في البداية، اتخذت افتراضات الجبر الكلاسيكي ، التي تعتمد عليها الرياضيات بأكملها (وأجزاء كبيرة من العلوم الطبيعية )، شكل أنظمة بديهية . ولم يعد الرياضيون يكتفون بتحديد خصائص الكائنات الملموسة، بل بدأوا يوجهون اهتمامهم نحو النظرية العامة. وبدأت تظهر تعريفات رسمية لبعض البنى الجبرية في القرن التاسع عشر. فعلى سبيل المثال، أصبحت النتائج المتعلقة بمجموعات مختلفة من التباديل تُعتبر أمثلة على نظريات عامة تتعلق بمفهوم عام للمجموعة المجردة . وبرزت مسائل بنية وتصنيف مختلف الكائنات الرياضية. ^{[ 50 ]}

كانت هذه العمليات تحدث في جميع فروع الرياضيات ، لكنها برزت بشكل خاص في الجبر. وقد طُرحت تعريفات رسمية، من خلال العمليات الأولية والمسلمات، للعديد من البنى الجبرية الأساسية، مثل الزمر والحلقات والحقول . ومن هنا، احتلت مفاهيم مثل نظرية الزمر ونظرية الحلقات مكانتها في الرياضيات البحتة . وقد ساهمت الدراسات الجبرية للحقول العامة التي أجراها إرنست شتاينيتز ، والحلقات التبادلية ثم العامة التي أجراها ديفيد هيلبرت وإميل آرتين وإيمي نوثر ، بالاستناد إلى أعمال إرنست كومر وليوبولد كرونكر وريتشارد ديديكيند ، الذين تناولوا المُثُل في الحلقات التبادلية، وجورج فروبينيوس وإساي شور ، فيما يتعلق بنظرية تمثيل الزمر، في تعريف الجبر المجرد. وقد تم عرض هذه التطورات في الربع الأخير من القرن التاسع عشر والربع الأول من القرن العشرين بشكل منهجي في كتاب بارتل فان دير فاردن " الجبر الحديث" ، وهو دراسة من مجلدين نُشرت في الفترة 1930-1931 والتي أعادت توجيه فكرة الجبر من نظرية المعادلات إلى نظرية البنى الجبرية . ^{[ 51 ]}

المجموعة هي مجموعة${\displaystyle G}$بالإضافة إلى "الضرب الجماعي"، وهي عملية ثنائية${\displaystyle \cdot :G\times G\rightarrow G}$تحقق المجموعة البديهيات التعريفية التالية

هوية

يوجد عنصر${\displaystyle e}$بحيث يكون لكل عنصر${\displaystyle a}$في${\displaystyle G}$ويرى ذلك أن${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$.

معكوس

لكل عنصر${\displaystyle a}$في${\displaystyle G}$يوجد عنصر${\displaystyle b}$في${\displaystyle G}$لهذا السبب.${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$.

الترابط

لكل ثلاثية من العناصر${\displaystyle a,b,c}$في${\displaystyle G}$ويرى ذلك أن${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$.

الخاتم هو مجموعة${\displaystyle R}$باستخدام عمليتين ثنائيتين ، الجمع:${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$والضرب:${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$تحقيق البديهيات التالية .

• ${\displaystyle R}$هي مجموعة تبديلية تحت عملية الجمع.
• ${\displaystyle R}$هو أحادي تحت عملية الضرب.
• الضرب عملية توزيعية بالنسبة للجمع.