المعين

المعين
معين في اتجاهين مختلفين
يكتب	رباعي الأضلاع ، شبه منحرف ، متوازي الأضلاع ، طائرة ورقية
الحواف والرؤوس​	4
رمز شلايفلي	{ } + { } {2 ألفا }
مخططات كوكستر-دينكين
مجموعة التماثل	ثنائي السطوح (D 2 )، [2]، (*22)، من الدرجة 4
منطقة	${\displaystyle K={\frac {p\cdot q}{2}}}$(نصف حاصل ضرب الأقطار)
ملكيات	محدب ، متساوي الأضلاع
مضلع مزدوج	المستطيل

في الهندسة الإقليدية المستوية ، المعين ( جمع : معينات أو معينات ) هو شكل رباعي أضلاعه الأربعة لها نفس الطول. اسم آخر هو رباعي متساوي الأضلاع ، لأن متساوي الأضلاع يعني أن جميع أضلاعه متساوية في الطول. غالبًا ما يُطلق على المعين اسم "ماسة " ، بعد مجموعة الماس في أوراق اللعب التي تشبه نتوء الماس ثماني السطوح ، أو معين ، على الرغم من أن الأول يشير أحيانًا على وجه التحديد إلى معين بزاوية 60 درجة ( يسميه بعض المؤلفين كاليسون بعد كلمة سويت الفرنسية ^[1] - انظر أيضًا متعدد الماسات )، ويشير الأخير أحيانًا على وجه التحديد إلى معين بزاوية 45 درجة.

كل معين بسيط (غير متقاطع ذاتيًا)، وهو حالة خاصة من متوازي الأضلاع والطائرة الورقية . المعين ذو الزوايا القائمة هو مربع . ^[2]

كلمة "معين" تأتي من الكلمة اليونانية القديمة : ῥόμβος ، الرومانية :  rhómbos ، وتعني شيئًا يدور، ^[3] والتي اشتُقت من الفعل ῥέμβω ، الرومانية: rhémbō ، وتعني "الدوران والدوران". ^[4] وقد استخدم الكلمة كل من إقليدس وأرخميدس ، اللذين استخدما مصطلح "معين صلب" للإشارة إلى مخروطين دائريين قائمين يتشاركان قاعدة مشتركة. ^[5]

السطح الذي نشير إليه اليوم باسم المعين هو مقطع عرضي للمخروطين على مستوى يمر عبر قمم المخروطيين.

الشكل الرباعي البسيط (غير المتقاطع ذاتيًا ) يكون معينًا إذا وفقط إذا كان أيًا من الآتي: ^{[6] [7]}

• متوازي أضلاع ينصف فيه قطر زاوية داخلية
• متوازي أضلاع يكون فيه على الأقل ضلعان متتاليان متساويان في الطول
• متوازي أضلاع تكون أقطاره متعامدة ( متوازي أضلاع قطري متعامد )
• شكل رباعي له أربعة أضلاع متساوية الطول (حسب التعريف)
• شكل رباعي تكون أقطاره متعامدة وتنصف بعضها البعض
• شكل رباعي ينصف كل قطر فيه زاويتين داخليتين متقابلتين
• شكل رباعي ABCD يحتوي على نقطة P في مستواه بحيث تكون المثلثات الأربعة ABP و BCP و CDP و DAP متطابقة جميعها ^[8]
• شكل رباعي ABCD حيث الدوائر الداخلية في المثلثات ABC و BCD و CDA و DAB لها نقطة مشتركة ^[9]

يحتوي كل معين على قطرين يربطان بين أزواج من الرؤوس المتقابلة، وزوجين من الأضلاع المتوازية. وباستخدام المثلثات المتطابقة ، يمكن للمرء أن يثبت أن المعين متماثل عبر كل من هذه الأقطار. ويترتب على ذلك أن أي معين له الخصائص التالية:

• الزوايا المتقابلة في المعين لها قياس متساوي.
• القطران في المعين متعامدان ، أي أن المعين هو شكل رباعي أضلاع قطري متعامد .
• أقطارها تنصف الزوايا المتقابلة.

الخاصية الأولى تعني أن كل معين هو متوازي أضلاع . وبالتالي فإن المعين له كل خصائص متوازي الأضلاع : على سبيل المثال، الأضلاع المتقابلة متوازية؛ والزوايا المتجاورة متكاملة ؛ والقطران ينصف أحدهما الآخر؛ وأي خط يمر عبر نقطة المنتصف ينصف المساحة؛ ومجموع مربعي الأضلاع يساوي مجموع مربعي الأقطار ( قانون متوازي الأضلاع ). وبالتالي، فإن الإشارة إلى الضلع المشترك بـ a والقطرين بـ p و q ، في كل معين

${\displaystyle \displaystyle 4a^{2}=p^{2}+q^{2}.}$

ليس كل متوازي أضلاع معينًا، على الرغم من أن أي متوازي أضلاع به أقطار متعامدة (الخاصية الثانية) هو معين. بشكل عام، أي شكل رباعي به أقطار متعامدة، يكون أحدها خط تماثل، هو طائرة ورقية . كل معين هو طائرة ورقية، وأي شكل رباعي هو طائرة ورقية ومتوازي أضلاع في نفس الوقت هو معين.

المعين هو شكل رباعي مماسي . ^[10] أي أنه يحتوي على دائرة محاطة مماسة لجميع الأضلاع الأربعة.

يمكن التعبير عن طول القطرين p = AC و q = BD من حيث ضلع المعين a وزاوية الرأس α على النحو التالي:

${\displaystyle p=a{\sqrt {2+2\cos {\alpha }}}}$

و

${\displaystyle q=a{\sqrt {2-2\cos {\alpha }}}.}$

هذه الصيغ هي نتيجة مباشرة لقانون جيب التمام .

يمكن التعبير عن نصف القطر الداخلي (نصف قطر الدائرة المرسومة في المعين)، والمشار إليه بـ r ، من حيث القطرين p و q على النحو التالي ^[10]

${\displaystyle r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}},}$

أو من حيث طول الضلع أ وأي زاوية رأس α أو β كما

${\displaystyle r={\frac {a\sin \alpha }{2}}={\frac {a\sin \beta }{2}}.}$

كما هو الحال بالنسبة لجميع متوازي الأضلاع ، فإن مساحة المعين K هي حاصل ضرب قاعدته في ارتفاعه ( h ). القاعدة هي ببساطة أي طول ضلع a :

${\displaystyle K=a\cdot h.}$

يمكن أيضًا التعبير عن المساحة على أنها القاعدة التربيعية مضروبة في جيب أي زاوية:

${\displaystyle K=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta ,}$

أو من حيث الارتفاع وزاوية الرأس :

${\displaystyle K={\frac {h^{2}}{\sin \alpha }},}$

أو نصف حاصل ضرب القطرين p و q :

${\displaystyle K={\frac {p\cdot q}{2}},}$

أو كما هو الحال في حاصل ضرب نصف المحيط في نصف قطر الدائرة المحيطة بالمعين (داخل نصف القطر) :

${\displaystyle K=2a\cdot r.}$

هناك طريقة أخرى، مشتركة مع متوازي الأضلاع، وهي اعتبار ضلعين متجاورين كمتجهين، يشكلان متجهًا ثنائيًا ، وبالتالي تكون المساحة هي مقدار المتجه الثنائي (مقدار حاصل ضرب المتجهين)، وهو محدد إحداثيات ديكارت للمتجهين: K = x ₁ y ₂ – x ₂ y _1. ^[11]

المضلع المزدوج للمعين هو مستطيل : ^[12]

• المعين له جميع الأضلاع متساوية، في حين أن المستطيل له جميع زواياه متساوية.
• المعين له زوايا متقابلة متساوية، في حين أن المستطيل له ضلعان متقابلان متساويان.
• يحتوي المعين على دائرة محاطة، في حين أن المستطيل يحتوي على دائرة محيطة .
• يحتوي المعين على محور تماثل يمر عبر كل زوج من زوايا الرأس المتقابلة، في حين يحتوي المستطيل على محور تماثل يمر عبر كل زوج من الأضلاع المتقابلة.
• تتقاطع أقطار المعين بزوايا متساوية، في حين أن أقطار المستطيل متساوية في الطول.
• الشكل الناتج عن توصيل النقاط الوسطى لأضلاع المعين هو مستطيل ، والعكس صحيح.

تتكون أضلاع المعين التي يقع مركزها عند الأصل، مع وجود أقطار تقع على محور، من جميع النقاط ( x، y ) التي تحقق

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|\!=1.}$

الرؤوس تقع عند و هذه حالة خاصة من القطع الناقص الفائق ، مع الأس 1. ${\displaystyle (\pm a,0)}$${\displaystyle (0,\pm b).}$

• أحد أنواع الشبكات ثنائية الأبعاد الخمسة هو الشبكة المعينية، والتي تسمى أيضًا الشبكة المستطيلة المركزية .
• يمكن لـ Rhombi تبليط المستوى ثنائي الأبعاد من الحافة إلى الحافة وبشكل دوري بثلاث طرق مختلفة، بما في ذلك، بالنسبة لمعين 60 درجة، تبليط rhombille .

كبلاطات مربعة طوبولوجية		مثل بلاط المعين بزاوية 30-60 درجة

• تشمل نظائر المعين ثلاثية الأبعاد الهرم الثنائي والمخروط الثنائي كسطح دوران .

تتضمن متعددات السطوح المحدبة ذات المعينات مجموعة لا نهائية من الزونهيدرونات المعينية ، والتي يمكن رؤيتها كأغلفة إسقاطية للمكعبات الفائقة .

• المعين السطوح (ويسمى أيضًا سداسي السطوح المعيني) هو شكل ثلاثي الأبعاد مثل المكعب (ويسمى أيضًا متوازي السطوح المستطيلي)، باستثناء أن أزواجه الثلاثة من الوجوه المتوازية تصل إلى 3 أنواع من المعين بدلاً من المستطيلات.
• المعين الاثني عشري الوجوه هو متعدد السطوح محدب له 12 معينًا متطابقًا كأوجه .
• المثلث السطوح المعينية هو متعدد السطوح محدب يحتوي على 30 معينًا ذهبيًا (معينات قطرها في النسبة الذهبية ) كوجوه.
• ثلاثي السطوح المعين الكبير هو متعدد السطوح غير محدب متساوي السطوح ومتساوي الزوايا ويحتوي على 30 وجهًا معينيًا متقاطعًا.
• السداسي السطوح المعيني هو مجموعة من الأشكال الثلاثية السطوح المعينية. وهو غير محدب وله 60 وجهًا معينيًا ذهبيًا بتناظر عشريني السطوح .
• المجسم الإينيكونتاهيدرون المعيني هو مجسم متعدد السطوح يتكون من 90 وجهًا معينيًا، مع ثلاثة أو خمسة أو ستة معينات تلتقي عند كل رأس. يحتوي المجسم على 60 معينًا عريضًا و30 معينًا نحيفًا.
• المجسم المعين العشريني الوجوه هو مجسم متعدد السطوح يتكون من عشرين وجهًا معينيًا، تلتقي ثلاثة أو أربعة أو خمسة منها عند كل رأس. وله عشرة وجوه على المحور القطبي، عشرة وجوه تتبع خط الاستواء.

مثال على متعددات السطوح ذات الوجوه المعينية

متساوي السطوح		معين ذهبي متساوي السطوح		2- متساوي السطوح	3- متساوي السطوح
شبه منحرف ثلاثي السطوح	المعين الاثني عشري الوجوه	ثلاثي السطوح المعينية	عشريني الوجوه المعينية	مجسم رباعي الوجوه	المعين السطوحي

• ميركل-روتي
• معين ميخائيل ، في تشريح الإنسان
• المعين ، إما متوازي أضلاع أو متوازي أضلاع ليس معينًا ولا مستطيلًا
• هوائي معيني
• الشطرنج المعيني
• علم مقاطعة سانتاندير الشمالية في كولومبيا، يحتوي على أربعة نجوم على شكل معين
• القطع الناقص الفائق (يتضمن معينًا بزوايا مستديرة)

• متوازي الأضلاع والمعين - دورة متحركة (البناء، المحيط، المساحة)
• تعريف المعين، مرجع الرياضيات المفتوح مع أداة تفاعلية.
• مساحة المعين، مرجع الرياضيات المفتوح - يعرض ثلاث طرق مختلفة لحساب مساحة المعين، باستخدام أداة تفاعلية