مجموعة لورنتز

بافتراض وجود _إطارين مرجعيين قصوريين ( t , x , y , z ) و ( t ′, x ′, y ′, z ′) ، ونقطتين P1 _و P2 ، فإن مجموعة لورنتز هي مجموعة جميع التحويلات بين الإطارين المرجعيين التي تحافظ على سرعة الضوء المنتشر بين النقطتين:

${\displaystyle c^{2}(\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}-(\Delta z')^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}}$

في شكل المصفوفة، هذه هي جميع التحويلات الخطية Λ التي تحقق ما يلي:

${\displaystyle \Lambda ^{\textsf {T}}\eta \Lambda =\eta \qquad \eta =\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)}$

وتسمى هذه التحويلات بتحويلات لورنتز .

رياضياً، يمكن وصف مجموعة لورنتز بأنها المجموعة المتعامدة غير المحددة O(1, 3) ، وهي مجموعة لي المصفوفية التي تحافظ على الشكل التربيعي

${\displaystyle (t,x,y,z)\mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

على الفضاء R ⁴ (يُكتب الفضاء المتجهي المزود بهذا الشكل التربيعي أحيانًا R ^1,3 ). يُفسَّر هذا الشكل التربيعي، عند وضعه في شكل مصفوفة (انظر المجموعة المتعامدة الكلاسيكية )، في الفيزياء على أنه موتر القياس لزمكان مينكوفسكي.

يُستخدم كل من O(1, 3) و O(3, 1) بشكل شائع لوصف مجموعة لورنتز. يشير الأول إلى المصفوفات التي تحافظ على مقياس إشارة (+−−−)، بينما يشير الثاني إلى مقياس إشارة (−+++). ولأن الإشارة الإجمالية للمقياس غير مهمة في المعادلة التعريفية، فإن مجموعات المصفوفات الناتجة متطابقة. يبدو أن هناك توجهًا حديثًا من بعض القطاعات لاعتماد الترميز (1, 3) بدلًا من (3, 1) ، إلا أن الأخير لا يزال شائع الاستخدام في الممارسة الحالية، وقد استُخدم في جزء كبير من الأدبيات التاريخية. ينطبق كل ما وُصف في هذه المقالة على الترميز O(3, 1) أيضًا، مع مراعاة الاختلافات . تمتد هذه الاعتبارات إلى التعريفات ذات الصلة أيضًا (مثل SO ⁺ (1, 3) مقابل SO ⁺ (3, 1)) .

زمرة لورنتز هي زمرة لي حقيقية غير متراصة وغير تبديلية سداسية الأبعاد ، وهي غير متصلة . المكونات الأربعة المتصلة ليست متصلة اتصالاً بسيطاً . ^{[ 1 ]} المكون المحايد (أي المكون الذي يحتوي على العنصر المحايد) لزمرة لورنتز هو نفسه زمرة، ويُطلق عليه غالبًا زمرة لورنتز المقيدة ، ويُرمز له بـ SO ⁺ (1, 3) . تتكون زمرة لورنتز المقيدة من تحويلات لورنتز التي تحافظ على كلٍ من اتجاه الفضاء واتجاه الزمن. زمرتها الأساسية من الرتبة 2، وغطاؤها الشامل، زمرة الدوران غير المحددة Spin(1, 3) ، متماثل مع كلٍ من الزمرة الخطية الخاصة SL(2, C ) والزمرة التبادلية Sp(2, C ) . تسمح هذه التماثلات لزمرة لورنتز بالتأثير على عدد كبير من البنى الرياضية المهمة في الفيزياء، وأبرزها السبينورات . وهكذا، في ميكانيكا الكم النسبية وفي نظرية الحقل الكمومي ، من الشائع جدًا تسمية SL(2, C ) بمجموعة لورنتز، مع فهم أن SO ⁺ (1, 3) هو تمثيل محدد (التمثيل المتجهي) لها . 

يستخدم التمثيل التكراري لتأثير مجموعة لورنتز على فضاء مينكوفسكي ثنائيات رباعية ، والتي تشكل جبرًا تركيبيًا . وتتحقق خاصية التساوي القياسي لتحويلات لورنتز وفقًا لخاصية التركيب .${\displaystyle |pq|=|p|\times |q|}$⁠ .

من خصائص مجموعة لورنتز الأخرى خاصية التماثل أو حفظ الزوايا. تعمل تعزيزات لورنتز عن طريق الدوران الزائدي لمستوى الزمكان، وتحافظ هذه "الدورانات" على الزاوية الزائدية ، وهي مقياس السرعة المستخدم في النسبية. لذلك، تُعد مجموعة لورنتز مجموعة فرعية من مجموعة التماثل للزمكان .

تجدر الإشارة إلى أن هذه المقالة تُشير إلى O(1, 3) باسم "مجموعة لورنتز"، وإلى SO(1, 3) باسم "مجموعة لورنتز الحقيقية"، وإلى SO ⁺ (1, 3) باسم "مجموعة لورنتز المقيدة". يستخدم العديد من المؤلفين (خاصةً في الفيزياء) مصطلح "مجموعة لورنتز" للإشارة إلى SO(1, 3) (أو حتى SO ⁺ (1, 3) أحيانًا ) بدلًا من O(1, 3) . عند قراءة أعمال هؤلاء المؤلفين، من المهم التمييز بدقة بين ما يُشيرون إليه.

لأنها زمرة لي ، فإن زمرة لورنتز O(1, 3) هي زمرة ولها أيضًا وصف طوبولوجي كمتشعب أملس . وكمتشعب، فهي تتكون من أربعة مكونات متصلة. وهذا يعني، بشكل بديهي، أنها تتألف من أربعة أجزاء منفصلة طوبولوجيًا.

يمكن تصنيف المكونات الأربعة المتصلة وفقًا لخاصيتين تحويليتين تمتلكهما عناصرها:

• تنعكس بعض العناصر تحت تحويلات لورنتز العاكسة للزمن، على سبيل المثال، سيتم عكس متجه زمني يشير إلى المستقبل إلى متجه يشير إلى الماضي
• بعض العناصر لها اتجاه معكوس بسبب تحويلات لورنتز غير الصحيحة ، على سبيل المثال، بعض العناصر الرباعية (الرباعيات).

تُسمى تحويلات لورنتز التي تحافظ على اتجاه الزمنالتحويلات المتعامدة . يُرمز عادةً إلى المجموعة الفرعية من التحويلات المتعامدة بالرمزO ⁺ (1, 3). تُسمى التحويلات التي تحافظ على الاتجاهالصحيحة، وباعتبارها تحويلات خطية، فإن محددها يساوي+1. (أما تحويلات لورنتز غير الصحيحة، فمحددها يساوي-1). يُرمز إلى المجموعة الفرعية من تحويلات لورنتز الصحيحة بالرمزSO(1, 3).

تُسمى المجموعة الفرعية لجميع تحويلات لورنتز التي تحافظ على كل من اتجاه وتوجيه الزمن ، مجموعة لورنتز الصحيحة أو المتعامدة أو مجموعة لورنتز المقيدة ، ويُرمز لها بـ SO ⁺ (1, 3) . ^{[ أ ]}

يمكن إعطاء مجموعة المكونات الأربعة المتصلة بنية زمرة كزمرة القسمة O(1, 3) / SO ⁺ (1, 3) ، وهي متماثلة مع زمرة كلاين الرباعية . يمكن كتابة كل عنصر في O(1, 3) كحاصل ضرب شبه مباشر لتحويل متعامد مناسب وعنصر من الزمرة المنفصلة.

{1, P , T , PT }

حيث P و T هما عاملي التكافؤ وعكس الزمن :

P = diag(1, −1, −1, −1)

T = diag(−1, 1, 1, 1) .

وبالتالي، يمكن تحديد أي تحويل لورنتز كتحويل لورنتز صحيح ومتزامن، بالإضافة إلى بتين إضافيتين من المعلومات، تحددان أحد المكونات الأربعة المتصلة. هذا النمط شائع في زمر لي ذات الأبعاد المحدودة.

سطح زائد ذو ورقة واحدة

سطح مخروطي مشترك

سطح زائد ذو ورقتين

إذا أثرت زمرة G على فضاء V ، فإن السطح S ⊂ V يكون سطحًا متعديًا إذا كان S ثابتًا تحت تأثير G (أي، لكل g ∈ G ، ولكل s ∈ S : gs ∈ S )، ولكل نقطتين _s₁ و s₂ ∈ S ، توجد g ∈ G بحيث gs₁ = s₂ _. وبحسب تعريف زمرة لورنتز، فإنه يحافظ على الشكل _{التربيعي .}

${\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$

أسطح التعدي لمجموعة لورنتز المتعامدة O ⁺ (1, 3) ، Q ( x ) = ثابت. التي تؤثر على الزمكان المسطح R ^1,3 هي كما يلي: ^{[ 3 ]}

• Q ( x ) > 0, x0 _> 0 هو الفرع العلوي لسطح زائد مكون من ورقتين. تفصل متجهة زمنية مستقبلية النقاط الموجودة على هذه الورقة عن نقطة الأصل .
• Q ( x ) > 0, x0 _< 0 هو الفرع السفلي لهذا القطع الزائد. النقاط على هذه الورقة هي متجهات تشبه الزمن الماضي .
• Q ( x ) = 0، x ₀ > 0 هو الفرع العلوي لمخروط الضوء ، مخروط الضوء المستقبلي.
• Q ( x ) = 0، x ₀ < 0 هو الفرع السفلي لمخروط الضوء، مخروط الضوء الماضي.
• Q ( x ) < 0 هو سطح زائد ذو ورقة واحدة. النقاط الموجودة على هذه الورقة منفصلة فضائياً عن نقطة الأصل.
• نقطة الأصل x ₀ = x ₁ = x ₂ = x ₃ = 0 .

هذه الأسطح ثلاثية الأبعاد ، لذا فإن الصور ليست مطابقة تمامًا، لكنها مطابقة للحقائق المقابلة حول O ⁺ (1, 2) . بالنسبة لمجموعة لورنتز الكاملة، فإن أسطح التعدي أربعة فقط، لأن التحويل T ينقل الفرع العلوي للقطع الزائد (المخروط) إلى الفرع السفلي والعكس صحيح.

تُشكّل هذه الملاحظات نقطة انطلاق جيدة لإيجاد جميع التمثيلات الوحدوية اللانهائية الأبعاد لمجموعة لورنتز، بل ولمجموعة بوانكاريه، باستخدام طريقة التمثيلات المستحثة . ^{[ 4 ]} يبدأ المرء بـ "متجه معياري"، واحد لكل سطح من أسطح التعدي، ثم يسأل عن المجموعة الفرعية التي تحافظ على هذه المتجهات. تُسمى هذه المجموعات الفرعية بالمجموعات الصغيرة من قِبل الفيزيائيين. تُختزل المشكلة حينها بشكل أساسي إلى مشكلة أسهل، وهي إيجاد تمثيلات المجموعات الصغيرة. على سبيل المثال، يمكن اختيار متجه معياري في أحد القطوع الزائدة لورقتين على النحو المناسب كـ ( m , 0, 0, 0) . لكل m ≠ 0 ، يخترق المتجه ورقة واحدة فقط. في هذه الحالة، تكون المجموعة الصغيرة هي SO(3) ، وهي مجموعة الدوران ، وجميع تمثيلاتها معروفة. يُعد التمثيل الوحدوي اللانهائي الأبعاد الدقيق الذي يتحول تحته الجسيم جزءًا من تصنيفه. لا يمكن أن تتوافق جميع التمثيلات مع الجسيمات الفيزيائية (على حد علمنا). تُقابل المتجهات القياسية على القطوع الزائدة ذات الورقة الواحدة جسيمات التاكيون . أما الجسيمات على مخروط الضوء فهي الفوتونات ، وبشكل افتراضي أكثر، الجرافيتونات . والجسيم المقابل لنقطة الأصل هو الفراغ.

تمثيل فايل أو خريطة السبينور هو زوج من التشاكلات الشاملة من SL(2, C ) إلى SO ⁺ (1, 3) . يشكلان زوجًا متطابقًا تحت تحويلات التكافؤ، ويتوافقان مع السبينورات الكيرالية اليسرى واليمنى .

يمكن تعريف تأثير SL(2, C ) على فضاء مينكوفسكي عن طريق كتابة نقطة من الفضاء على شكل مصفوفة هيرميتية ثنائية الأبعاد على النحو التالي:

${\displaystyle {\overline {X}}={\begin{bmatrix}ct+z&x-iy\\x+iy&ct-z\end{bmatrix}}=ct1\!\!1+x\sigma _{x}+y\sigma _{y}+z\sigma _{z}=ct1\!\!1+{\vec {x}}\cdot {\vec {\سيجما }}}$

من حيث مصفوفات باولي .

هذا العرض التقديمي، عرض ويل التقديمي، يفي بالغرض.

${\displaystyle \det \,{\overline {X}}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

لذلك، تم تعريف فضاء المصفوفات الهرميتية (وهو فضاء رباعي الأبعاد، كونه فضاء متجهي حقيقي ) على أنه فضاء مينكوفسكي، بحيث يكون محدد المصفوفة الهرميتية هو مربع طول المتجه المقابل في فضاء مينكوفسكي. يؤثر العنصر S ∈ SL(2, C ) على فضاء المصفوفات الهرميتية عبر

${\displaystyle {\overline {X}}\mapsto S{\overline {X}}S^{\dagger }~,}$

أين${\displaystyle S^{\dagger }}$هي منقولة هيرميتية لـ S. يحافظ هذا الفعل على المحدد، وبالتالي يؤثر SL(2, C ) على فضاء مينكوفسكي بواسطة تماثلات (خطية). الشكل المعكوس للتكافؤ لما سبق هو

${\displaystyle X=ct1\!\!1-{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

والذي يتحول إلى

${\displaystyle X\mapsto \left(S^{-1}\right)^{\dagger }XS^{-1}}$

ويتضح أن هذا هو التحويل الصحيح من خلال ملاحظة أن

${\displaystyle {\overline {X}}X=\left(c^{2}t^{2}-{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}\right)1\!\!1=\left(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)1\!\!1}$

يبقى ثابتاً تحت تأثير التحويلين المذكورين أعلاه.

هذه التطبيقات شاملة ، ونواة أي من التطبيقات هي المجموعة الجزئية المكونة من عنصرين ± I. وبحسب نظرية التشاكل الأولى ، فإن مجموعة القسمة PSL(2, C ) = SL(2, C ) / {± I } متماثلة مع SO ⁺ (1, 3) .

تقوم خريطة التكافؤ بتبديل هذين الغطاءين. وهي تُقابل كون الاقتران الهرميتي تشاكلاً ذاتياً لـ SL(2, C ) . يتوافق هذان الغطاءان المتميزان مع التأثيرين الكيراليين المتميزين لمجموعة لورنتز على السبينورات . يتوافق الشكل غير المُسطَّر مع السبينورات اليمينية التي تتحول كما يلي :${\displaystyle \psi _{R}\mapsto S\psi _{R}}$بينما يتوافق شكل الخط العلوي مع تحويلات الدوران اليسارية على النحو التالي :${\displaystyle \psi _{L}\mapsto \left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{L}}$. ^{[ ب ]}​

من المهم ملاحظة أن هذا الزوج من الأغطية لا يصمد أمام التكميم؛ فعند تكميمه، يؤدي ذلك إلى ظاهرة الشذوذ الكيرالي . تُكسر التناظرات الكلاسيكية (أي غير المُكمّمة) لمجموعة لورنتز بالتكميم؛ وهذا هو مضمون نظرية مؤشر أتياس-سينجر .

في الفيزياء، من المتعارف عليه الإشارة إلى تحويل لورنتز Λ ∈ SO ⁺ (1, 3) بالرمز ⁠${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }}$وبالتالي ، تُظهر المصفوفة ذات مؤشرات الزمكان μ و ν = 0، 1، 2، 3. يمكن إنشاء متجه رباعي من مصفوفات باولي بطريقتين مختلفتين: كما${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})}$وكما​${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }=\left(I,-{\vec {\sigma }}\right)}$يرتبط الشكلان بتحويل التكافؤ . لاحظ أن${\displaystyle {\overline {\sigma }} _ {\mu }=\sigma ^{\mu }}$⁠ .

بالنظر إلى تحويل لورنتز${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_ {\nu }x^{\nu }}$، يمكن كتابةالتغطية المزدوجة لمجموعة لورنتز المتعامدة بواسطة S ∈ SL(2, C ) المذكورة أعلاه على النحو التالي

${\displaystyle x^{\prime \mu }{\overline {\sigma }}_ {\mu }={\overline {\sigma }}_ {\mu }{\Lambda ^{\mu }}_ {\nu }x^{\nu }=Sx^{\nu }{\overline {\sigma }}_ {\nu }S^{\dagger }}$

إسقاط${\displaystyle x^{\mu }}$ويتخذ هذا الشكل

${\displaystyle {\overline {\sigma }} _ {\mu }{\Lambda ^{\mu }}_ {\nu }=S{\overline {\sigma }}_ {\nu }S^{\dagger }}$

صيغة المرافق الزوجي هي

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

المجموعة التبسيطية Sp(2, C ) متماثلة مع SL(2, C ) . تم بناء هذا التماثل للحفاظ على شكل ثنائي خطي تبسيطي على C² ^، أي لجعل الشكل ثابتًا تحت تحويلات لورنتز. يمكن توضيح ذلك على النحو التالي. تُعرَّف المجموعة التبسيطية كما يلي:

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbf {C} )=\left\{S\in \operatorname {GL} (2,\mathbf {C} ):S^{\textsf {T}}\omega S=\omega \right\}}$

أين

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

الرموز الشائعة الأخرى هي${\displaystyle \omega =\epsilon }$بالنسبة لهذا العنصر؛ في بعض الأحيان يتم استخدام J ، لكن هذا يدعو إلى الخلط مع فكرة الهياكل المعقدة تقريبًا ، والتي ليست متشابهة، لأنها تتحول بشكل مختلف.

بافتراض وجود زوج من سبينورات ويل (سبينورات ثنائية المكونات)

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}~,\quad v={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}}$

يُكتب الشكل الثنائي الخطي الثابت عادةً على النحو التالي:

${\displaystyle \langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v}$

هذا الشكل ثابت تحت زمرة لورنتز، بحيث يكون لدينا S ∈ SL(2, C )

${\displaystyle \langle Su,Sv\rangle =\langle u,v\rangle }$

يُعرّف هذا نوعًا من "الضرب القياسي" للسبينورات، ويُستخدم عادةً لتعريف حد الكتلة الثابت لورنتز في لاغرانجيان . هناك العديد من الخصائص البارزة التي يجب ذكرها والتي تُعدّ مهمة في الفيزياء. إحداها هي أن${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$وهكذا${\displaystyle \omega ^{-1}=\omega ^{\textsf {T}}=\omega ^{\dagger }=-\omega }$

يمكن كتابة العلاقة المحددة على النحو التالي

${\displaystyle \omega S^{\textsf {T}}\omega ^{-1}=S^{-1}}$

وهو ما يشبه إلى حد كبير العلاقة المميزة لمجموعة لورنتز

${\displaystyle \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta ^{-1}=\Lambda ^{-1}}$

أين${\displaystyle \eta =\operatorname {diag} (+1,-1,-1,-1)}$هو موتر القياس لفضاء مينكوفسكي ، وبالطبع،${\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)}$كما كان من قبل.

العنصر الإهليلجي لـ SL(2, C ) هو

${\displaystyle P_{1}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {i}{2}}\theta \right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {i}{2}}\theta \right)\end{bmatrix}}}$

ولها نقاط ثابتة ξ = 0، ∞. بكتابة الفعل على الصورة X ↦ P ₁ X P ₁ ^† وتجميع الحدود، يحول مخطط السبينور هذا إلى تحويل لورنتز (المقيد).

${\displaystyle Q_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

يمثل هذا التحويل دورانًا حول المحور z ، exp( iθJ _z ). يتم الحصول على المجموعة الفرعية ذات المعامل الواحد التي يولدها بأخذ θ كمتغير حقيقي، زاوية الدوران، بدلاً من ثابت.

تشترك جميع التحويلات المستمرة المقابلة للكرة السماوية (باستثناء التحويل المحايد) في نقطتين ثابتتين، هما القطب الشمالي والقطب الجنوبي. تُحرك هذه التحويلات جميع النقاط الأخرى حول دوائر خطوط العرض، بحيث تُنتج هذه المجموعة دورانًا مستمرًا عكس اتجاه عقارب الساعة حول المحور z مع ازدياد قيمة θ . يُعد تضاعف الزاوية الظاهر في خريطة السبينور سمة مميزة للأغطية المزدوجة للسبينور .

العنصر الزائدي لـ SL(2, C ) هو

${\displaystyle P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {\eta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$

ولها نقاط ثابتة ξ = 0، ∞. في ظل الإسقاط المجسم من كرة ريمان إلى المستوى الإقليدي، يكون تأثير تحويل موبيوس هذا هو التمدد من الأصل.

تقوم خريطة السبينور بتحويل هذا إلى تحويل لورنتز

${\displaystyle Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp \left(\eta {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

يمثل هذا التحويل زيادةً على طول المحور z بسرعة η . وتُستنتج المجموعة الفرعية ذات المعامل الواحد الناتجة عنه باعتبار η متغيرًا حقيقيًا بدلًا من ثابت. تشترك جميع التحويلات المستمرة المقابلة للكرة السماوية (باستثناء تحويل الوحدة) في نفس النقاط الثابتة (القطبين الشمالي والجنوبي)، وتُحرك جميع النقاط الأخرى على طول خطوط الطول بعيدًا عن القطب الجنوبي ونحو القطب الشمالي.

العنصر اللوكسودرومي لـ SL(2, C ) هو

${\displaystyle P_{3}=P_{2}P_{1}=P_{1}P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)\end{bmatrix}}}$

ولها نقاط ثابتة ξ = 0، ∞. يحول مخطط السبينور هذا إلى تحويل لورنتز

${\displaystyle Q_{3}=Q_{2}Q_{1}=Q_{1}Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp {\begin{bmatrix}0&0&0&\eta \\0&0&\theta &0\\0&-\theta &0&0\\\eta &0&0&0\end{bmatrix}}~.}$

تُحصل المجموعة الفرعية ذات المعامل الواحد الناتجة عن ذلك باستبدال η + i θ بأي مضاعف حقيقي لهذا الثابت المركب. (إذا تغيرت η و θ بشكل مستقل، فسيتم الحصول على مجموعة فرعية أبيلية ثنائية الأبعاد ، تتكون من دورانات متزامنة حول المحور z وحركات تعزيز على طول المحور z ؛ في المقابل، تتكون المجموعة الفرعية أحادية البعد التي نناقشها هنا من عناصر هذه المجموعة الفرعية ثنائية الأبعاد بحيث تكون سرعة حركة التعزيز وزاوية الدوران بنسبة ثابتة .)

تشترك جميع التحويلات المستمرة المقابلة للكرة السماوية (باستثناء التحويل المحايد) في نقطتين ثابتتين (القطب الشمالي والقطب الجنوبي). وتحرك هذه التحويلات جميع النقاط الأخرى بعيدًا عن القطب الجنوبي ونحو القطب الشمالي (أو العكس)، على طول مجموعة من المنحنيات تُسمى اللوكسودرومات . يلتف كل لوكسودروم حلزونيًا حول كل قطب عددًا لا نهائيًا من المرات.

العنصر المكافئ لـ SL(2, C ) هو

${\displaystyle P_{4}={\begin{bmatrix}1&\alpha \\0&1\end{bmatrix}}}$

ولها نقطة ثابتة وحيدة ξ = ∞ على كرة ريمان. في الإسقاط المجسم، تظهر كإزاحة عادية على طول المحور الحقيقي .

تقوم خريطة السبينور بتحويل هذا إلى مصفوفة (تمثل تحويل لورنتز).

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{4}&={\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\\\operatorname {Re} (\alpha )&1&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&1&\operatorname {Im} (\alpha )\\{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&1-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=\exp {\begin{bmatrix}0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\\\operatorname {Re} (\alpha )&0&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&0&\operatorname {Im} (\alpha )\\0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}}$

ينتج عن ذلك زمرة فرعية أبيلية ذات معلَمين، تُستنتج باعتبار α متغيرًا عقديًا بدلًا من ثابت. تُحرك التحويلات المستمرة المقابلة للكرة السماوية (باستثناء تحويل التطابق) النقاط على طول مجموعة من الدوائر التي تُماس جميعها عند القطب الشمالي لدائرة عظمى معينة . تتحرك جميع النقاط الأخرى غير القطب الشمالي نفسه على طول هذه الدوائر.

تُسمى تحويلات لورنتز المكافئة غالبًا بالدوران الصفري . ولأنها على الأرجح الأقل شيوعًا بين أنواع تحويلات لورنتز غير المطابقة الأربعة (الإهليلجية، والزائدية، واللوكسودرومية، والمكافئة)، فسيتم توضيح كيفية تحديد تأثير مثال على تحويل لورنتز مكافئ على فضاء مينكوفسكي.

تُعطي المصفوفة المذكورة أعلاه التحويل

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}+\operatorname {Re} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}x\\t-z\\0\\x\end{bmatrix}}-\operatorname {Im} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}y\\0\\z-t\\y\end{bmatrix}}+{\frac {\vert \alpha \vert ^{2}}{2}}\;{\begin{bmatrix}t-z\\0\\0\\t-z\end{bmatrix}}.}$

الآن، دون فقدان للعمومية ، اختر Im( α ) = 0. إن اشتقاق هذا التحويل بالنسبة إلى معامل المجموعة الحقيقي α وتقييمه عند α = 0 ينتج عنه حقل المتجهات المقابل (مؤثر تفاضلي جزئي خطي من الدرجة الأولى).

${\displaystyle x\,\left(\partial _{t}+\partial _{z}\right)+(t-z)\,\partial _{x}.}$

طبّق هذا على دالة f ( t , x , y , z ) ، واشترط أن تظل ثابتة؛ أي أنها تُفنى بفعل هذا التحويل. يمكن التعبير عن حل المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية من الرتبة الأولى الناتجة بالشكل التالي:

${\displaystyle f(t,x,y,z)=F\left(y,\,t-z,\,t^{2}-x^{2}-z^{2}\right),}$

حيث F دالة سلسة اختيارية . تعطي وسائط F ثلاثة ثوابت نسبية تصف كيفية تحرك النقاط (الأحداث) تحت هذا التحويل المكافئ، لأنها في حد ذاتها لا تتحرك.

${\displaystyle y=c_{1},~~~~t-z=c_{2},~~~~t^{2}-x^{2}-z^{2}=c_{3}.}$

يؤدي اختيار قيم حقيقية للثوابت في الجانب الأيمن إلى ثلاثة شروط، وبالتالي يحدد منحنى في فضاء مينكوفسكي. هذا المنحنى هو مدار التحويل.

يُظهر شكل الثوابت النسبية أن خطوط التدفق هذه (المدارات) لها وصف بسيط: بحذف الإحداثي غير الأساسي y ، يكون كل مدار هو تقاطع مستوى صفري ، t = z + c² _، مع قطع زائد ، t² − x² ⁻ z² ⁼ c³ ^. _في حالة c³ = 0 ، _{يتحول القطع الزائد إلى مخروط ضوئي ،} وتصبح المدارات قطعًا مكافئة تقع في مستويات صفرية مقابلة.

يبقى خط صفري معين يقع على مخروط الضوء ثابتًا ؛ وهذا يُقابل النقطة الثابتة (المزدوجة) الفريدة على كرة ريمان المذكورة سابقًا. أما الخطوط الصفرية الأخرى المارة بنقطة الأصل، فتدور حول المخروط بفعل التحويل. ويُقابل تتبع حركة أحد هذه الخطوط الصفرية مع ازدياد قيمة α تتبع حركة نقطة على طول أحد خطوط التدفق الدائرية على الكرة السماوية، كما وُصف سابقًا.

إن اختيار Re( α ) = 0 بدلاً من ذلك، ينتج مدارات مماثلة، مع تبادل أدوار x و y الآن.

تؤدي التحويلات المكافئة إلى تناظر قياسي للجسيمات عديمة الكتلة (مثل الفوتونات ) ذات الحلزونية | h | ≥ 1. في المثال الصريح أعلاه، لا يتأثر جسيم عديم الكتلة يتحرك في الاتجاه z ، أي ذو زخم رباعي P = ( p , 0, 0, p ) ، بتاتًا بتوليفة التعزيز x والدوران y _، Kx − Jy _، المعرفة أدناه، في "المجموعة الصغيرة" لحركته. ويتضح هذا من قانون التحويل الصريح الذي نوقش: فمثل أي متجه ضوئي، _يصبح P نفسه ثابتًا؛ أي _أن جميع آثار α قد اختفت. c1 ₌ c2 = c3 = 0 ، في الحالة الخاصة التي نوقشت. (يشكل المولد المماثل الآخر، Ky + _{Jx ،} بالإضافة إلى Jz ، المجموعة الصغيرة للمتجه الضوئي، المتماثلة مع _E ( 2) ).

هذا التماثل له نتيجة تتمثل في أن تحويلات موبيوس لكرة ريمان تمثل الطريقة التي تغير بها تحويلات لورنتز مظهر سماء الليل، كما يراها مراقب يتحرك بسرعات نسبية بالنسبة إلى "النجوم الثابتة".

لنفترض أن "النجوم الثابتة" موجودة في فضاء مينكوفسكي الزمكاني، ويتم تمثيلها بنقاط على الكرة السماوية. عندئذٍ، يمكن ربط نقطة معينة على الكرة السماوية بـ ξ = u + iv ، وهو عدد مركب يُقابل النقطة على كرة ريمان ، ويمكن تحديده بمتجه صفري ( متجه شبيه بالضوء ) في فضاء مينكوفسكي.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}+1\\2u\\-2v\\u^{2}+v^{2}-1\end{bmatrix}}}$

أو، في تمثيل ويل (خريطة السبينور)، المصفوفة الهرميتية

${\displaystyle N=2{\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}&u+iv\\u-iv&1\end{bmatrix}}.}$

تمثل مجموعة المضاعفات العددية الحقيقية لهذا المتجه الصفري، والتي تُسمى خطًا صفريًا يمر بنقطة الأصل، خط رؤية من مراقب في مكان وزمان محددين (حدث اعتباطي يمكننا ربطه بنقطة أصل فضاء مينكوفسكي) إلى أجسام بعيدة مختلفة، مثل النجوم. ثم تُحدد نقاط الكرة السماوية (أو خطوط الرؤية) بمصفوفات هيرميتية معينة.

يمكن فهرسة مصفوفات الأساس القياسية على النحو التالي:${\displaystyle M^{\mu \nu }}$أين${\displaystyle \mu ,\nu }$تأخذ قيمًا في المجموعة {0، 1، 2، 3} . وتنشأ هذه القيم من اختيار قيمة واحدة فقط من القيم المذكورة.${\displaystyle a,b,\cdots ,f}$أن تكون قيمة كل عنصر واحدًا، وقيمة العناصر الأخرى صفرًا، بالتناوب. ويمكن كتابة المكونات على النحو التالي:

${\displaystyle {(M^{\mu \nu })^{\rho }}_{\sigma }=\eta ^{\nu \sigma }{\delta ^{\rho }}_{\mu }-\eta ^{\mu \sigma }{\delta ^{\rho }}_{\nu }}$.

علاقات التبادل هي

${\displaystyle [M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=M^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-M^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+M^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-M^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }.}$

توجد خيارات مختلفة ممكنة للاصطلاحات المستخدمة. في الفيزياء، من الشائع تضمين عامل من${\displaystyle i}$مع العناصر الأساسية، مما يعطي عاملًا من${\displaystyle i}$في علاقات التبادل.

ثم${\displaystyle M^{0i}}$توليد تعزيزات و${\displaystyle M^{ij}}$توليد دورات.

يمكن استنتاج ثوابت البنية لجبر لورنتز من علاقات التبادل. أي مجموعة من عناصر الأساس التي تحقق هذه العلاقات تشكل تمثيلاً لجبر لورنتز.

يمكن اعتبار زمرة لورنتز زمرةً جزئيةً من ^زمرة التشاكل التفاضلي للفضاء R⁴ ^، وبالتالي يمكن تعريف جبر لي الخاص بها بحقول متجهة على R⁴ . وبالتحديد، فإن المتجهات التي تولد التماثلات على الفضاء هي متجهات كيلينغ الخاصة بها ، مما يوفر بديلاً مناسباً لحقل المتجهات الثابت من اليسار لحساب جبر لي. ويمكننا كتابة مجموعة من ستة مولدات :

• حقول متجهة على R ⁴ تولد ثلاث دورات i J ،

  ${\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}\equiv iJ_{z}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}\equiv iJ_{x}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}\equiv iJ_{y}~;}$

• حقول متجهة على R ⁴ تولد ثلاثة تعزيزات i K ،

  ${\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}\equiv iK_{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}\equiv iK_{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}\equiv iK_{z}.}$

يبدو أن العامل i يضمن أن مولدات الدوران هيرميتية.

قد يكون من المفيد هنا أن نتذكر بإيجاز كيفية الحصول على مجموعة ذات مُعامل واحد من حقل متجه ، مكتوبة على شكل مُؤثر تفاضلي جزئي خطي من الدرجة الأولى مثل:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-y\partial _{x}+x\partial _{y}.}$

مسألة القيمة الابتدائية المقابلة (ضع في اعتبارك)${\displaystyle r=(x,y)}$دالة لعدد قياسي${\displaystyle \lambda }$وحل${\displaystyle \partial _{\lambda }r={\mathcal {L}}r}$(مع بعض الشروط الأولية) هو

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=-y,\;{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=x,\;x(0)=x_{0},\;y(0)=y_{0}.}$

يمكن كتابة الحل على النحو التالي

${\displaystyle x(\lambda )=x_{0}\cos(\lambda )-y_{0}\sin(\lambda ),\;y(\lambda )=x_{0}\sin(\lambda )+y_{0}\cos(\lambda )}$

أو

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\lambda )&-\sin(\lambda )&0\\0&\sin(\lambda )&\cos(\lambda )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t_{0}\\x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{bmatrix}}}$

حيث يمكننا بسهولة التعرف على مجموعة المصفوفات ذات المعلمة الواحدة للدوران exp( iλJ _z ) حول المحور z.

وبإجراء التفاضل بالنسبة لمعامل المجموعة λ ووضعه λ = 0 في تلك النتيجة، نستعيد المصفوفة القياسية.

${\displaystyle iJ_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}~,}$

وهذا يُطابق حقل المتجهات الذي بدأنا به. يُوضح هذا كيفية الانتقال بين تمثيلات المصفوفة وحقل المتجهات لعناصر جبر لي. يلعب التحويل الأسي هذا الدور الخاص ليس فقط لمجموعة لورنتز، بل لمجموعات لي بشكل عام.

بعكس الإجراء في القسم السابق، نرى أن تحويلات موبيوس التي تتوافق مع مولداتنا الستة تنشأ من رفع الأس على التوالي η /2 (للتعزيزات الثلاثة) أو iθ /2 (للدورانات الثلاثة) في مصفوفات باولي الثلاثة.

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

تنشأ مجموعة مولدة أخرى عبر التشاكل مع مجموعة موبيوس. يسرد الجدول التالي المولدات الستة، والتي

• يُعطي العمود الأول مولد التدفق تحت تأثير موبيوس (بعد الإسقاط المجسم من كرة ريمان) كحقل متجه حقيقي على المستوى الإقليدي.
• يُعطي العمود الثاني المجموعة الفرعية المقابلة ذات المعلمة الواحدة لتحويلات موبيوس.
• يُعطي العمود الثالث المجموعة الفرعية المقابلة ذات المعلمة الواحدة لتحويلات لورنتز (الصورة تحت تماثلنا للمجموعة الفرعية السابقة ذات المعلمة الواحدة).
• يُعطي العمود الرابع المولد المقابل للتدفق تحت تأثير لورنتز كحقل متجه حقيقي على فضاء مينكوفسكي الزمني.

لاحظ أن المولدات تتكون من

• قطعان مكافئان (دوران صفري)
• زيادة واحدة زائدة (في${\displaystyle \partial _{z}}$اتجاه)
• ثلاثة أشكال إهليلجية (دوران حول المحاور x و y و z على التوالي)

حقل متجه على R 2	مجموعة فرعية ذات معلمة واحدة من SL(2, C ) ، تمثل تحويلات موبيوس	مجموعة فرعية ذات مُعامل واحد من SO + (1, 3) ، تمثل تحويلات لورنتز	حقل متجه على R 1,3
القطع المكافئ
${\displaystyle \partial _{u}\,\!}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\alpha \\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&\alpha &0&-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\\\alpha &1&0&-\alpha \\0&0&1&0\\{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&\alpha &0&1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}=x&(\partial _{t}+\partial _{z})+{}\\&(t-z)\partial _{x}\end{aligned}}}$
${\displaystyle \partial _{v}\,\!}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&i\alpha \\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&0&\alpha &-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\\0&1&0&0\\\alpha &0&1&-\alpha \\{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&0&\alpha &1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2}=y&(\partial _{t}+\partial _{z})+{}\\&(t-z)\partial _{y}\end{aligned}}}$
القطع الزائد
${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(u\partial _{u}+v\partial _{v}\right)}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {\eta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{3}=z\partial _{t}+t\partial _{z}\,\!}$
بيضاوي الشكل
${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(-v\partial _{u}+u\partial _{v}\right)}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {i\theta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left({\frac {-i\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{4}=-y\partial _{x}+x\partial _{y}}$
${\displaystyle {\frac {v^{2}-u^{2}-1}{2}}\partial _{u}-uv\,\partial _{v}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{5}=-x\partial _{z}+z\partial _{x}}$
${\displaystyle uv\,\partial _{u}+{\frac {1-u^{2}+v^{2}}{2}}\partial _{v}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{6}=-z\partial _{y}+y\partial _{z}}$