مزاج متساوي

المزاج المتساوي هو مزاج موسيقي أو نظام ضبط يقوم بتقريب الفواصل الزمنية فقط عن طريق تقسيم الأوكتاف (أو أي فاصل زمني آخر) إلى خطوات بحيث تكون نسبة ترددات أي زوج متجاور من النغمات متساوية. ينتج هذا النظام خطوات نغمة يُنظر إليها على أنها متساوية في الحجم، بسبب التغيرات اللوغاريتمية في تردد النغمة. ^[2]

في الموسيقى الكلاسيكية والموسيقى الغربية بشكل عام، كان نظام الضبط الأكثر شيوعًا منذ القرن الثامن عشر هو 12 مزاجًا متساويًا (يُعرف أيضًا باسم 12 مزاجًا متساويًا للنغمة ، 12 TET أو 12 ET ، والمختصر بشكل غير رسمي باسم 12 متساويًا )، والذي يقسم الأوكتاف إلى 12 جزءًا، كلها متساوية على مقياس لوغاريتمي ، بنسبة تساوي الجذر الثاني عشر لـ 2، (  ¹² √ 2 ≈ 1.05946). أصغر فاصل ناتج ،1/12يُطلق على عرض الأوكتاف اسم نصف نغمة أو نصف درجة. في الدول الغربية، يشير مصطلح المزاج المتساوي ، دون قيد أو شرط، عمومًا إلى 12 درجة .

في العصر الحديث، يتم ضبط 12 TET عادةً بالنسبة إلى درجة صوتية قياسية تبلغ 440 هرتز، تسمى A 440 ، مما يعني أن نغمة واحدة، A ، يتم ضبطها على 440  هرتز ويتم تعريف جميع النغمات الأخرى على أنها مضاعفات لبعض أنصاف النغمات بعيدًا عنها، إما أعلى أو أقل في التردد. لم تكن درجة الصوت القياسية دائمًا 440 هرتز؛ فقد تنوعت بشكل كبير وارتفعت بشكل عام على مدار مئات السنين القليلة الماضية. ^[3]

وتقسم المزاجات المتساوية الأخرى الأوكتاف بشكل مختلف. على سبيل المثال، تمت كتابة بعض الموسيقى في 19 TET و 31 TET ، بينما يستخدم نظام النغمة العربية 24 TET .

بدلاً من تقسيم الأوكتاف، يمكن لمزاج متساوٍ أيضًا تقسيم فترة زمنية مختلفة، مثل النسخة ذات المزاج المتساوي من مقياس بوهلين بيرس ، والتي تقسم الفترة الزمنية العادلة للأوكتاف والخامس (نسبة 3:1)، والتي تسمى "تريتاف" أو " أوكتاف زائف " في هذا النظام، إلى 13 جزءًا متساويًا.

بالنسبة لأنظمة الضبط التي تقسم الأوكتاف بالتساوي، ولكنها ليست تقريبات لفترات زمنية فقط، يمكن استخدام مصطلح التقسيم المتساوي للأوكتاف ، أو EDO .

الفرق الموسيقية الوترية غير المقيدة ، والتي يمكنها ضبط ضبط جميع النغمات باستثناء الأوتار المفتوحة ، والمجموعات الصوتية، التي ليس لديها قيود ضبط ميكانيكية، تستخدم أحيانًا ضبطًا أقرب كثيرًا إلى التجويد فقط لأسباب صوتية. غالبًا ما تقترب الآلات الأخرى، مثل بعض آلات النفخ ولوحة المفاتيح والآلات المقيدة ، من المزاج المتساوي فقط، حيث تمنع القيود الفنية الضبط الدقيق. ^[4] تستخدم بعض آلات النفخ التي يمكنها ثني نغمتها بسهولة وعفوية، وأبرزها الترومبون ، ضبطًا مشابهًا للفرق الموسيقية الوترية والمجموعات الصوتية.

لا يذكر هذا القسم أي مصادر . يرجى المساعدة في تحسين هذا القسم عن طريق إضافة الاستشهادات إلى مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها . ( يونيو 2011 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

في المزاج المتساوي، تكون المسافة بين خطوتين متجاورتين من المقياس هي نفس الفاصل . ولأن الهوية المدركة للفاصل تعتمد على نسبته ، فإن هذا المقياس في الخطوات الزوجية هو تسلسل هندسي من الضرب. ( لن يبدو التسلسل الحسابي للفواصل متباعدًا بالتساوي ولن يسمح بالنقل إلى مفاتيح مختلفة .) على وجه التحديد، أصغر فاصل في مقياس متساوي المزاج هو النسبة:

${\displaystyle \r^{n}=p\ }$

${\displaystyle \r={\sqrt[{n}]{p\ }}\ }$

حيث تقسم النسبة r النسبة p (عادةً ما تكون الأوكتاف، والتي تكون 2:1) إلى n أجزاء متساوية. ( انظر المزاج المتساوي ذو الاثني عشر نغمة أدناه. )

غالبًا ما يتم قياس المقاييس بالسنتات ، والتي تقسم الأوكتاف إلى 1200 فاصل متساوٍ (يُطلق على كل منها سنتًا). يجعل هذا المقياس اللوغاريتمي مقارنة أنظمة الضبط المختلفة أسهل من مقارنة النسب، وله استخدام كبير في علم الموسيقى العرقية . يمكن إيجاد الخطوة الأساسية بالسنتات لأي مزاج متساوٍ عن طريق أخذ عرض p أعلاه بالسنتات (عادةً الأوكتاف، الذي يبلغ عرضه 1200 سنت)، والذي يُسمى أدناه w ، وتقسيمه إلى n جزء:

${\displaystyle \ c={\frac {\ w\ }{n}}\ }$

في التحليل الموسيقي، غالبًا ما يتم إعطاء المادة التي تنتمي إلى مزاج متساوٍ تدوينًا صحيحًا ، مما يعني استخدام عدد صحيح واحد لتمثيل كل نغمة. هذا يبسط ويعمم مناقشة مادة النغمة داخل المزاج بنفس الطريقة التي يؤدي بها أخذ لوغاريتم الضرب إلى اختزاله إلى إضافة. علاوة على ذلك، من خلال تطبيق الحساب المعياري حيث يكون المعامل هو عدد أقسام الأوكتاف (عادةً 12)، يمكن اختزال هذه الأعداد الصحيحة إلى فئات النغمة ، مما يزيل التمييز (أو يعترف بالتشابه) بين النغمات التي تحمل نفس الاسم، على سبيل المثال، c هو 0 بغض النظر عن سجل الأوكتاف. يستخدم معيار ترميز MIDI تسميات النغمة الصحيحة.

هذا القسم يفتقر إلى معلومات حول الصيغ العامة للفاصل الزمني المتساوي. يرجى توسيع القسم لتضمين هذه المعلومات. قد توجد تفاصيل أخرى على صفحة المناقشة . ( فبراير 2019 )

نظام المزاج المتساوي ذو الـ 12 نغمة، والذي يقسم الأوكتاف إلى 12 فاصلًا متساويًا في الحجم، هو النظام الموسيقي الأكثر استخدامًا اليوم، وخاصة في الموسيقى الغربية.

الشخصان اللذان يُنسب إليهما غالبًا إنجاز الحساب الدقيق للمزاج المتساوي هما تشو زاي يو (يُكتب أيضًا بالحروف اللاتينية Chu-Tsaiyu. بالصينية:朱載堉) في عام 1584 وسيمون ستيفين في عام 1585. ووفقًا لـ FA Kuttner، وهو أحد منتقدي منح الفضل لتشو، ^[5] فمن المعروف أن تشو "قدم طريقة دقيقة للغاية وبسيطة ومبتكرة للحساب الحسابي للأوتار الأحادية المتساوية للمزاج في عام 1584" وأن ستيفين "قدم تعريفًا رياضيًا للمزاج المتساوي بالإضافة إلى حساب أقل دقة إلى حد ما للقيم العددية المقابلة في عام 1585 أو بعد ذلك".

وقد حدثت التطورات بشكل مستقل. ^{[6] (ص200)}

يعزو كينيث روبنسون اختراع المزاج المتساوي إلى تشو ^[7] ويقدم اقتباسات نصية كدليل. ^[8] في عام 1584 كتب تشو:

لقد أسست نظامًا جديدًا. لقد حددت قدمًا واحدة كرقم يتم استخراج الأقدام الأخرى منه، واستخدمت النسب لاستخراجها. في المجمل، يتعين على المرء أن يجد الأرقام الدقيقة لعازفي مزمار القربة في اثنتي عشرة عملية. ^{[9] [8]}

يختلف كاتنر مع هذا الرأي ويشير إلى أن ادعائه "لا يمكن اعتباره صحيحًا دون مؤهلات رئيسية". ^[5] يقترح كاتنر أن تشو وستيفن لم يحققا نفس المزاج وأن أيًا منهما لا ينبغي اعتباره مخترعه. ^[10]

كان المنظرون الصينيون قد توصلوا سابقًا إلى تقريبات لـ 12 TET ، لكن تشو كان أول شخص يحل رياضيًا المزاج المتساوي لـ 12 نغمة، ^[11] والذي وصفه في كتابين نُشرا في عامي 1580 ^[12] و1584. ^{[9] [13]} كما قدم نيدهام أيضًا وصفًا موسعًا. ^[14]

حصل تشو على نتيجته عن طريق تقسيم طول الوتر والأنبوب على التوالي على ¹² √ 2  ≈ 1.059463 ، وطول الأنبوب على ²⁴ √ 2  ≈ 1.029302 ، ^[15] بحيث بعد 12 قسمة (أوكتاف)، تم تقسيم الطول إلى النصف.

ابتكر تشو العديد من الآلات الموسيقية التي تتوافق مع نظامه، بما في ذلك أنابيب الخيزران. ^[16]

كان من أوائل الأوروبيين الذين دعوا إلى المساواة في المزاج عازفو العود فينسينزو جاليلي ، وجياكومو جورزانيس، وفرانشيسكو سبيناسينو ، الذين كتبوا جميعًا الموسيقى بهذه الآلة. ^{[17] [18] [19] [20]}

كان سيمون ستيفين أول من طور 12  TET بناءً على الجذر الثاني عشر للعدد اثنين ، والذي وصفه في كتاب van de Spiegheling der singconst ( حوالي عام  1605 )، والذي نُشر بعد وفاته في عام 1884. ^[21]

فضل عازفو الآلات المقطوعة (عازفو العود والجيتار) عمومًا المزاج المتساوي، ^[22] بينما كان الآخرون أكثر انقسامًا. ^[23] في النهاية، انتصر المزاج المتساوي المكون من 12 نغمة. سمح هذا بتطور وازدهار التعديل المتناغم ، وأنماط جديدة من النغمات المتماثلة والتعددية النغمية ، والموسيقى غير النغمية مثل تلك المكتوبة بتقنية 12 نغمة أو التسلسل ، والجاز (على الأقل مكون البيانو الخاص به).

في المزاج المتساوي المكون من 12 نغمة، والذي يقسم الأوكتاف إلى 12 جزءًا متساويًا، يكون عرض نصف النغمة ، أي نسبة التردد للفاصل بين نغمتين متجاورتين، هو الجذر الثاني عشر لاثنين :

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{2\ }}=2^{\tfrac {1}{12}}\تقريبًا 1.059463}$

يتم تقسيم هذه الفترة إلى 100 سنت.

لإيجاد التردد، P _n ، لملاحظة في 12  TET ، يمكن استخدام الصيغة التالية:

${\displaystyle \ P_{n}=P_{a}\ \cdot \ {\Bigl (}\ {\sqrt[{12}]{2\ }}\ {\Bigr )}^{na}\ }$

في هذه الصيغة، يمثل P _n درجة الصوت أو التردد (عادةً بالهرتز ) الذي تحاول إيجاده. P _a هو تردد درجة الصوت المرجعية. الأرقام غير المتماثلة n و a هي التسميات المعينة لدرجة الصوت المطلوبة ( n ) ودرجة الصوت المرجعية ( a ). هذان الرقمان هما من قائمة الأعداد الصحيحة المتتالية المعينة لنصف نغمة متتالية. على سبيل المثال، A ₄ (درجة الصوت المرجعية) هو المفتاح 49 من الطرف الأيسر للبيانو (المضبوط على 440 هرتز )، و C ₄ ( C الوسطى )، و F ♯ ₄ هما المفتاحان 40 و46 على التوالي. يمكن استخدام هذه الأرقام لإيجاد تردد C ₄ و F ♯ ₄ :

${\displaystyle P_{40}=440\ {\mathsf {هرتز}}\ \cdot \ {\Bigl (}{\sqrt[{12}]{2}}\ {\Bigr )}^{(40-49)}\approx 261.626\ {\mathsf {هرتز}}\ }$

${\displaystyle P_{46}=440\ {\mathsf {هرتز}}\ \cdot \ {\Bigl (}{\sqrt[{12}]{2}}\ {\Bigr )}^{(46-49)}\approx 369.994\ {\mathsf {هرتز}}\ }$

لتحويل التردد (بالهرتز) إلى نظيره المعادل له والذي يساوي 12  TET ، يمكن استخدام الصيغة التالية:

${\displaystyle \E_{n}=E_{a}\ \cdot \ 2^{\x}\ \quad }$أين بشكل عام${\displaystyle \quad \ x\ \equiv \ {\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ n\ }{a}}\right){\Biggr )}~.}$

E _n هو تردد النغمة في مزاج متساوٍ، و E _a هو تردد النغمة المرجعية. على سبيل المثال، إذا جعلنا النغمة المرجعية تساوي 440 هرتز، يمكننا أن نرى أن E ₅ و C ♯ ₅ لهما الترددات التالية على التوالي:

${\displaystyle E_{660}=440\ {\mathsf {هرتز}}\ \cdot \ 2^{\left({\frac {7}{\ 12\ }}\right)}\ \approx \ 659.255\ {\mathsf {هرتز}}\ \quad }$أين في هذه الحالة${\displaystyle \quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}\ 12\log _{2}\left({\frac {\ 660\ }{440}}\right)\ {\Biggr )}={\frac {7}{\ 12\ }}~.}$

${\displaystyle E_{550}=440\ {\mathsf {هرتز}}\ \cdot \ 2^{\left({\frac {1}{\ 3\ }}\right)}\ \approx \ 554.365\ {\mathsf {هرتز}}\ \quad }$ أين في هذه الحالة${\displaystyle \quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ 550\ }{440}}\right){\Biggr )}={\frac {4}{\ 12\ }}={\frac {1}{\ 3\ }}~.}$

تقترب فترات 12  TET بشكل وثيق من بعض الفواصل في التنغيم الصحيح . ^[24] الخماسيات والرابعات قريبة بشكل لا يمكن تمييزه تقريبًا من الفواصل الصحيحة، في حين أن الثلثات والسادسات أبعد.

في الجدول التالي، تتم مقارنة أحجام الفواصل الزمنية المختلفة مع نظيراتها ذات المزاج المتساوي، معطاة كنسبة بالإضافة إلى السنتات.

اسم الفاصل الزمني	القيمة الدقيقة في 12  TET	القيمة العشرية في 12  TET	المساهمة في	مجرد فاصل زمني للتجويد	سنتات في التجويد العادل	خطأ في ضبط 12  سنتًا من TET
انسجام ( ج )	2 0 ⁄ 12 = 1	1	0	⁠1/1= 1​	0	0
ثانية ثانوية ( D ♭ )	2 1 ⁄ 12 = 12 √ 2	1.059463	100	⁠16/15= 1.06666 ...	111.73	-11.73
الثانية الكبرى ( د )	2 2 ⁄ 12 = 6 √ 2	1.122462	200	⁠9/8= 1.125​	203.91	-3.91
ثالث ثانوي ( E ♭ )	2 3 ⁄ 12 = 4 √ 2	1.189207	300	⁠6/5= 1.2​	315.64	-15.64
ثالث رئيسي ( E )	2 4 ⁄ 12 = 3 √ 2	1.259921	400	⁠5/4= 1.25​	386.31	+13.69
رابعة مثالية ( ف )	2 5 ⁄ 12 = 12 √ 32	1.33484	500	⁠4/3= 1.33333 ...	498.04	+1.96
تريتون ( G ♭ )	2 6 ⁄ 12 = √ 2	1.414214	600	⁠64/45= 1.42222 ...	609.78	-9.78
الخامس التام ( ج )	2 7 ⁄ 12 = 12 √ 128	1.498307	700	⁠3/2= 1.5​	701.96	-1.96
السادسة الصغرى ( لا ♭ )	2 8 ⁄ 12 = 3 √ 4	1.587401	800	⁠8/5= 1.6​	813.69	-13.69
السادس الرئيسي ( أ )	2 9 ⁄ 12 = 4 √ 8	1.681793	900	⁠5/3= 1.66666 ...	884.36	+15.64
السابعة الصغرى ( B ♭ )	2 10 ⁄ 12 = 6 √ 32	1.781797	1000	⁠16/9= 1.77777 ...	996.09	+3.91
السابع الرئيسي ( ب )	2 11 ⁄ 12 = 12 √ 2048	1.887749	1100	⁠15/8= 1.875​	1088.270	+11.73
أوكتاف ( C )	2 12 ⁄ 12 = 2	2	1200	⁠2/1= 2​	1200.00	0

يتم ضبط الكمانات والكمانات المتوسطة والتشيلو على خماسيات مثالية ( GDAE للكمان و CGDA للكمان المتوسط ​​والتشيلو)، مما يشير إلى أن نسبة نصف النغمة أعلى قليلاً من المزاج المتساوي التقليدي المكون من 12 نغمة. نظرًا لأن الخماسية المثالية في علاقة 3:2 مع نغمتها الأساسية، وتتكون هذه الفترة من سبع خطوات، فإن كل نغمة تكون بنسبة ⁷ √3/2إلى التالي (100.28 سنتًا)، والذي يوفر خامسًا مثاليًا بنسبة 3:2، ولكن أوكتافًا موسعًا قليلاً بنسبة≈ 517:258 أو ≈ 2.00388:1بدلاً من 2:1 المعتادة، لأن 12 خامسًا مثاليًا لا تساوي سبع أوكتافات.^[25]ومع ذلك، أثناء اللعب الفعلي، يختار عازفو الكمان النغمات عن طريق الأذن، ويتم ضمان أن تظهر هذه النسبة 3:2 فقط النغمات الأربعة غير المتوقفة للأوتار.

المزاج المتساوي ذو الخمس والسبع نغمات ( 5 TET Play ^ⓘ و {{7 TET }} Play ^ⓘ )، مع خطوات 240 سنتًا Play ^ⓘ و171 سنتًا Play ^ⓘ ، على التوالي، شائع إلى حد ما.

5 TET و 7 TET تمثل نقاط النهاية لنطاق الضبط الصحيح للمزاج المتناغم ، كما هو موضح في الشكل 1.

• في 5 TET ، يبلغ عرض الخامسة المثالية المعتدلة 720 سنتًا (في الجزء العلوي من استمرارية الضبط)، ويمثل نقطة النهاية على استمرارية الضبط حيث ينكمش عرض الثانية الثانوية إلى عرض 0 سنت.
• في 7 TET ، يبلغ عرض الخامسة المثالية المعتدلة 686 سنتًا (في أسفل استمرارية الضبط)، وتمثل نقطة النهاية على استمرارية الضبط، حيث تتوسع الثانية الثانوية لتصبح بنفس عرض الثانية الرئيسية (بواقع 171 سنتًا لكل منهما).

وفقًا لكونست (1949)، يتم ضبط الغاميلان الإندونيسية على 5 TET ، ولكن وفقًا لهود (1966) وماكفي (1966) فإن ضبطها يختلف على نطاق واسع، ووفقًا لتينزر (2000) فإنها تحتوي على أوكتافات ممتدة . من المقبول الآن أنه من بين نظامي الضبط الأساسيين في موسيقى الغاميلان، السليندرو والبيلوج ، فإن السليندرو فقط يشبه إلى حد ما المزاج المتساوي ذي الخمس نغمات، بينما البيلوج غير متساوٍ للغاية؛ ومع ذلك، في عام 1972، قام سورجودينينجرات وسودارجانا وسوزانتو بتحليل البيلوج على أنه يعادل 9-TET (خطوات 133 سنتًا Play ^ⓘ ). ^[26]

"لقد تباين سعر إكسيليفون تايلاندي تم قياسه بواسطة مورتون في عام 1974 ""بزيادة أو نقصان 5 سنتات فقط"" من 7 تيت . ^[27] ووفقًا لمورتون،

"الآلات التايلاندية ذات النغمة الثابتة مضبوطة على نظام متساوي المسافة من سبع نغمات لكل أوكتاف ... ومع ذلك، كما هو الحال في الموسيقى التقليدية الغربية، لا تُستخدم جميع نغمات نظام الضبط في وضع واحد (يُشار إليه غالبًا باسم "السلم")؛ في النظام التايلاندي، تُستخدم خمسة من السبع نغمات في النغمات الرئيسية في أي وضع، وبالتالي إنشاء نمط من الفواصل غير المتساوية المسافة للوضع." ^[28] Play ^ⓘ

مقياس هندي من أمريكا الجنوبية من ثقافة ما قبل الآلات الموسيقية تم قياسه بواسطة بويلز في عام 1969 يتميز بمزاج متساوٍ يبلغ 175 سنتًا وسبع نغمات، مما يمد الأوكتاف قليلاً، كما هو الحال مع موسيقى الغاميلان الآلية. ^[29]

لقد استخدمت الموسيقى الصينية تقليديا 7 TET . ^{[ب] [ج]}

This section needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources in this section. Unsourced material may be challenged and removed. (March 2020) (Learn how and when to remove this message)

19 ايدو

تم بناء العديد من الآلات باستخدام ضبط 19 EDO . ما يعادل ⁠ 1 /3⁠ تعني فاصلة ، فهي تحتوي على خامس مثالي مسطح قليلاً (عند 695 سنتًا)، لكن الثلث الصغير والسادس الرئيسي أقل من خمس سنت بعيدًا عن just، مع أدنى EDO ينتج ثالثًا صغيرًا وسادسًا رئيسيًا أفضل من 19 EDO وهو 232 EDO. رابعها المثالي (عند 505 سنتات) أكثر حدة من تجويد just وخمسة سنتات أكثر حدة من 12 EDO.

22 ايدو

22 EDO هو أحد أكثر EDO دقة لتمثيل مزاج superpyth (حيث 7:4 و 16:9 هما نفس الفاصل الزمني) وهو قريب من المولد الأمثل لمزاج القنفذ. الخماسيات حادة لدرجة أن الثلث الرئيسي والثانوي الذي نحصل عليه من تكديس الخماسيات سيكون الثلث الرئيسي الفائق (9/7) والثلث الفرعي (7/6). أقرب خطوة إلى بعضها البعض هي الثلث الرئيسي والثانوي الكلاسيكي (5/4 و 6/5).

23 ايدو

23 EDO هو أكبر EDO يفشل في تقريب التوافقيات الثالثة والخامسة والسابعة والحادية عشرة (3:2، 5:4، 7:4، 11:8) في حدود 20 سنتًا. ومع ذلك، فإنه يقرب بعض النسب بينها (مثل الثلث الصغير 6:5) بشكل جيد للغاية، مما يجعله جذابًا لهواة النغمات الدقيقة الذين يبحثون عن منطقة توافقية غير عادية.

24 ايدو

24 EDO ، مقياس ربع النغمة ، شائع بشكل خاص، لأنه يمثل نقطة وصول ملائمة للملحنين الذين يعتمدون على ممارسات النغمة والتدوين الغربية القياسية 12 EDO والذين يهتمون أيضًا بالدرجات اللونية الدقيقة. نظرًا لأن 24 EDO يحتوي على جميع نغمات 12 EDO، يستخدم الموسيقيون الألوان الإضافية دون فقدان أي تكتيكات متاحة في تناغم 12 نغمة. إن كون 24 مضاعفًا لـ 12 يجعل أيضًا 24 EDO سهل التحقيق آليًا من خلال استخدام آلتين تقليديتين من 12 EDO مضبوطتين على ربع نغمة، مثل بيانوين، مما يسمح أيضًا لكل عازف (أو عازف واحد يعزف على بيانو مختلف بكل يد) بقراءة تدوين 12 نغمة مألوف. جرب العديد من الملحنين، بما في ذلك تشارلز إيفز ، الموسيقى للبيانو ربع النغمة. يقترب 24 EDO أيضًا من التوافقيات الحادية عشرة والثالثة عشرة بشكل جيد للغاية، على عكس 12 EDO.

26 ايدو

26 هو مقام متقارب إلى log ₂ (7)، يضبط التوافقي السابع (7:4) بأقل من نصف سنت من الخطأ. على الرغم من أنه مزاج متوسط ​​النغمة، إلا أنه مسطح للغاية، مع أربعة من خماسياته المثالية التي تنتج ثلثًا رئيسيًا مسطحًا 17 سنتًا (معادل للثلث المحايد 11:9). 26 EDO لديه ثلثان صغيران وسادسان صغيران ويمكن أن يكون مزاجًا بديلًا لتناغم صالون الحلاقة .

27 ايدو

27 هو أقل عدد من الأقسام المتساوية للأوكتاف الذي يمثل بشكل فريد جميع الفواصل التي تتضمن أول ثمانية نغمات متناغمة. وهو يخفف من حدة الفاصلة السبعية ولكن ليس الفاصلة التوافقية .

29 ايدو

29 هو أقل عدد من الأقسام المتساوية للأوكتاف الذي يكون خامسه المثالي أقرب إلى مجرد ما هو عليه في 12 EDO، حيث يكون الخامس حادًا بمقدار 1.5 سنتًا بدلاً من 2 سنتًا مسطحًا. الثلث الرئيسي الكلاسيكي غير دقيق تقريبًا مثل 12 EDO، ولكن يتم ضبطه بمقدار 14 سنتًا مسطحًا بدلاً من 14 سنتًا حادًا. كما أنه يضبط التوافقيات السابعة والحادية عشرة والثالثة عشرة بشكل مسطح بنفس المقدار تقريبًا، مما يسمح لـ 29 EDO بمطابقة الفواصل الزمنية مثل 7:5 و11:7 و13:11 بدقة شديدة. يؤدي قطع جميع الفواصل الزمنية الـ 29 إلى النصف إلى إنتاج 58 EDO ، مما يسمح بأخطاء أقل لبعض النغمات فقط.

31 ايدو

تم الترويج لـ 31 EDO من قبل كريستيان هويجنز وأدريان فوكر ويمثل توحيدًا لفاصلة الربع النغمي . لا يحتوي 31 EDO على خامس مثالي دقيق مثل 12 EDO (مثل 19 EDO)، لكن الثلث الرئيسي والسادس الثانوي أقل من سنت واحد بعيدًا عن just. كما يوفر تطابقات جيدة للتوافقيات حتى 11، حيث يكون التوافق السابع دقيقًا بشكل خاص.

34 ايدو

يعطي 34 EDO إجمالي أخطاء مجمعة أقل قليلاً في التقريب إلى 3:2 و5:4 و6:5 وانعكاساتها مقارنة بـ 31 EDO، على الرغم من وجود ملاءمة أقل دقة قليلاً لـ 5:4. لا يقترب 34 EDO بدقة من التوافق السابع أو النسب التي تتضمن 7، ولا يُقصد به واحد لأن الخامس حاد بدلاً من مسطح. إنه يمكّن من تريتون 600 سنت، لأن 34 هو رقم زوجي.

41 ايدو

41 هو EDO التالي الذي يتمتع بخماسية مثالية أفضل من 29 EDO و12 EDO. كما أن ثلثه الرئيسي الكلاسيكي أكثر دقة، حيث يبلغ ستة سنتات فقط. إنه ليس مزاجًا متوسطًا، لذا فهو يميز بين 10:9 و9:8، جنبًا إلى جنب مع الثلث الرئيسي الكلاسيكي والفيثاغورسي، على عكس 31 EDO. إنه أكثر دقة في الحد 13 من 31 EDO.

46 ايدو

يوفر نظام 46 EDO ثلثيات رئيسية وخماسيات مثالية حادة قليلاً أو مجردة، ويقول العديد من ^{[ من؟ ]} إن هذا يعطي الثالوثات الرئيسية صوتًا ساطعًا مميزًا. تبلغ دقة التوافقيات الأولية حتى 17 حوالي 6 سنتات، مع 10:9 و9:5 بخمس سنت بعيدًا عن النقاء. نظرًا لأنه ليس نظامًا متوسطًا، فإنه يميز بين 10:9 و9:8.

53 ايدو

لم يكن لـ 53 EDO استخدام سوى عرضي، ولكنه أفضل في تقريب التوافقيات التقليدية من 12 أو 19 أو 31 EDO. تجعله خماسياته المثالية الدقيقة للغاية معادلاً لضبط فيثاغورس الممتد ، حيث أن 53 هو مقام متقارب إلى لوغاريتم ₂ (3). بفضل دورته الدقيقة من الخماسيات وخطوة الفاصلة متعددة الأغراض، تم استخدام 53 EDO في نظرية الموسيقى التركية . إنه ليس مزاجًا متوسطًا، مما يضع الثلثات الجيدة في متناول اليد عن طريق تكديس الخماسيات؛ بدلاً من ذلك، مثل جميع المزاجات الانشقاقية ، يتم تمثيل الثلثات المتوافقة تمامًا بواسطة رابع فيثاغورس المنقوص (CF ♭ )، والذي يتم الوصول إليه عن طريق تكديس ثمانية أرباع مثالية. كما أنه يخفف من حدة الكليزما ، مما يسمح بالوصول إلى خامسته من خلال تكديس ستة أثلاث ثانوية (6:5).

58 ايدو

58 مزاج متساوي هو تكرار لـ 29 EDO، والذي يحتوي على مزاج مضمن. مثل 29 EDO، يمكنه مطابقة فترات مثل 7:4، 7:5، 11:7، و13:11 بدقة شديدة، بالإضافة إلى التقريب الأفضل للثلث والسادس فقط.

72 ايدو

تقترب 72 EDO من العديد من فترات التجويد العادل بشكل جيد، مما يوفر مكافئات شبه عادلة للتوافقيات الثالثة والخامسة والسابعة والحادية عشرة. تم تدريس 72 EDO وكتابتها وأدائها عمليًا بواسطة Joe Maneri وطلابه (الذين تتجنب ميولهم غير النغمية عادةً أي إشارة إلى التجويد العادل على الإطلاق). نظرًا لأنه مضاعف لـ 12، يمكن اعتبار 72 EDO امتدادًا لـ 12 EDO، حيث يحتوي على ست نسخ من 12 EDO تبدأ بدرجات مختلفة، وثلاث نسخ من 24 EDO، ونسختين من 36 EDO.

96 ايدو

تقترب قيمة 96 EDO من جميع الفواصل الزمنية ضمن 6.25 سنتًا، وهو ما يصعب تمييزه. وباعتبارها مضاعفًا ثمانيًا للرقم 12، يمكن استخدامها بالكامل مثل قيمة 12 EDO الشائعة. وقد دافع عنها العديد من الملحنين، وخاصة جوليان كاريو . ^[34]

تشمل التقسيمات المتساوية الأخرى للأوكتاف التي وجدت استخدامًا عرضيًا 13 EDO و 15 EDO و 17 EDO .

2، 5، 12، 41، 53، 306، 665 و15601 هي مقامات للمتقاربات الأولى للوغاريتم ₂ (3)، لذا فإن 2، 5، 12، 41، 53، 306، 665 و15601 اثني عشر (وخماسات)، كونها في مزاجات متساوية متطابقة تساوي عددًا صحيحًا من الأوكتافات، هي تقريبات أفضل لـ 2، 5، 12، 41، 53، 306، 665 و15601 اثني عشر/خماس فقط من أي مزاج متساوٍ مع نغمات أقل. ^{[35] [36]}

1، 2، 3، 5، 7، 12، 29، 41، 53، 200، ... (التسلسل A060528 في OEIS ) هو تسلسل أقسام الأوكتاف الذي يوفر تقريبًا أفضل وأفضل للخامس المثالي. يتم سرد التسلسلات ذات الصلة التي تحتوي على أقسام تقرب فترات عادلة أخرى في حاشية سفلية. ^[د]

تتكون النسخة المتساوية المزاج من مقياس بوهلين بيرس من النسبة 3:1 (1902 سنتًا) والتي تُعرف تقليديًا باسم الخماسي المثالي بالإضافة إلى أوكتاف (أي اثني عشر مثاليًا)، والتي تسمى في هذه النظرية تريتاف ( play ^ⓘ )، ومقسمة إلى 13 جزءًا متساويًا. يوفر هذا تطابقًا وثيقًا جدًا للنسب المضبوطة بشكل عادل والتي تتكون فقط من أرقام فردية. كل خطوة تساوي 146.3 سنتًا ( play ^ⓘ )، أو ¹³ √ 3 .

ابتكرت ويندي كارلوس ثلاثة مزاجات متساوية غير عادية بعد دراسة شاملة لخصائص المزاجات المحتملة بحجم خطوة بين 30 و120 سنتًا. وقد أطلق عليها اسم ألفا وبيتا وجاما . ويمكن اعتبارها أقسامًا متساوية للخامس المثالي. يوفر كل منها تقريبًا جيدًا جدًا لعدة فترات عادلة. ^[37] أحجام خطواتها:

• ألفا : ⁹ √​3/2( 78.0 سنتًا) تشغيل ^ⓘ
• بيتا : ¹¹ √​3/2( 63.8 سنتًا) تشغيل ^ⓘ
• جاما : ²⁰ √​3/2( 35.1 سنتًا) تشغيل ^ⓘ

من الممكن سماع ألفا وبيتا في الأغنية الرئيسية لألبوم كارلوس Beauty in the Beast الصادر عام 1986 .

This section needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources in this section. Unsourced material may be challenged and removed. (August 2017) (Learn how and when to remove this message)

في هذا القسم، قد لا يكون للنغمة شبه النغمية والنغمة الكاملة معانيها المعتادة في EDO 12، حيث يناقش كيف يمكن تعديلها بطرق مختلفة عن إصداراتها العادلة لإنتاج العلاقات المرغوبة. دع عدد الخطوات في نصف النغمة يكون s ، وعدد الخطوات في النغمة يكون t .

هناك عائلة واحدة فقط من المزاجات المتساوية التي تثبت نصف النغمة على أي جزء صحيح من نغمة كاملة، مع الحفاظ على النغمات بالترتيب الصحيح (وهذا يعني، على سبيل المثال، أن C و D و E و F و F ♯ تكون في ترتيب تصاعدي إذا حافظت على علاقاتها المعتادة مع C ). وهذا يعني أن تثبيت q على جزء صحيح في العلاقة qt = s يحدد أيضًا عائلة فريدة من مزاج واحد متساوٍ ومضاعفاته التي تحقق هذه العلاقة.

على سبيل المثال، حيث k عدد صحيح، 12 k EDO يحدد q = ⁠1/2⁠ , 19 ألف مجموعة EDO q = ⁠1/3⁠ و31 ألف مجموعة EDO q = ⁠​ 2 /5⁠ .أصغر المضاعفات في هذه العائلات (على سبيل المثال 12 و 19 و 31 أعلاه) لها خاصية إضافية وهي عدم وجود نوتات خارج دائرةالخماسيات. (هذا ليس صحيحًا بشكل عام؛ في 24  EDO ، لا توجد نصف الحادة ونصف المسطحة في دائرة الخماسيات المولدة بدءًا من C. ) الحالات المتطرفة هي5 k EDO ،حيث q = 0 ويصبح نصف النغمة متناغمًا، و7 k EDO ، حيث q = 1 ونصف النغمة والنغمة هما نفس الفاصل.

بمجرد معرفة عدد خطوات نصف النغمة والنغمة في هذا المزاج المتساوي، يمكن للمرء أن يجد عدد الخطوات التي تحتوي عليها في الأوكتاف. المزاج المتساوي مع الخصائص المذكورة أعلاه (بما في ذلك عدم وجود نغمات خارج دائرة الخماسيات) يقسم الأوكتاف إلى 7 خطوات t − 2 s والخامس التام إلى 4 خطوات t − s . إذا كانت هناك نغمات خارج دائرة الخماسيات، فيجب على المرء بعد ذلك ضرب هذه النتائج في n ، عدد دوائر الخماسيات غير المتداخلة المطلوبة لتوليد جميع النغمات (على سبيل المثال، اثنتان في 24  EDO ، وستة في 72  EDO ). (يجب على المرء أن يأخذ نصف النغمة الصغيرة لهذا الغرض: 19  EDO لها نغمتان نصفيتان، إحداهما ⁠ 1 /3النغمة والكائن الآخر 2 /3. وبالمثل، فإن 31  EDO له نغمتان نصفيتان، إحداهما هي 2 /5النغمة والكائن الآخر 3 /5) .

أصغر هذه العائلات هي 12 k EDO ، وعلى وجه الخصوص، 12  EDO هي أصغر مزاج متساوٍ مع الخصائص المذكورة أعلاه. بالإضافة إلى ذلك، فإنها تجعل نصف النغمة بالضبط نصف نغمة كاملة، وهي أبسط علاقة ممكنة. هذه بعض الأسباب التي جعلت 12  EDO أكثر المزاجات المتساوية استخدامًا. (سبب آخر هو أن 12 EDO هي أصغر مزاج متساوٍ يقترب بشكل وثيق من 5 حد الانسجام، وأصغرها التالي هو 19 EDO.)

كل اختيار للكسر q للعلاقة يؤدي إلى عائلة مزاجية واحدة متساوية تمامًا، ولكن العكس ليس صحيحًا: 47  EDO لديه نغمتان نصفيتان مختلفتان، حيث يكون أحدهما ⁠ 1 /7النغمة والأخرى هي 8 /9⁠ ، والتي ليست مكملة لبعضها البعض كما هو الحال في 19  EDO ( ⁠ 1 /3و ⁠​ 2 /3) . يؤدي أخذ كل نصف نغمة إلى اختيار مختلف للخامس المثالي.

يمكن تعميم الضبط الدياتوني في المزاج المتساوي المكون من 12 نغمة (12 TET ) على أي ضبط دياتوني منتظم يقسم الأوكتاف كتسلسل من الخطوات T ts T t T s (أو بعض التحولات الدائرية أو "الدوران" لها). لكي يُطلق عليه ضبط دياتوني منتظم ، يجب أن يكون كل من نصف النغمتين (  s  ) أصغر من أي من النغمتين ( نغمة أكبر ،  T  ، ونغمة أصغر ،  t  ). الفاصلة κ ضمنية كنسبة الحجم بين النغمتين الأكبر والأصغر: معبرًا عنها كترددات κ = ⁠   ت / ت ⁠ ،أو كماسنتات κ = T − t .   

ترتبط النوتات في الضبط الدياتوني المنتظم في "دوامة من الخماسيات" التي لا تغلق (على عكس دائرة الخماسيات في 12 TET ). بدءًا من F الفرعية (بمفتاح C ) توجد ثلاث خماسيات مثالية على التوالي - F - C و C - G و G - D - كل منها مركب من بعض التباديل للفواصل الأصغر TT ts  . تتم مقاطعة الخماسيات الثلاثة المتناغمة بواسطة الخماسي الخطير D - A = T tts ( يعني الخطير "مسطح بفاصلة " )، يتبعه خامس مثالي آخر، E - B ، وخامس خطير آخر، B - F ♯ ، ثم إعادة البدء في النغمات الحادة مع F ♯ - C ♯ ؛ يتكرر نفس النمط من خلال النغمات الحادة، ثم النغمات الحادة المزدوجة، وهكذا، إلى أجل غير مسمى. لكن كل أوكتاف من النغمات الطبيعية أو الحادة أو الحادة المزدوجة تُسطح بمقدار فاصلتين مع كل انتقال من النغمات الطبيعية إلى الحادة، أو من الحادة المفردة إلى الحادة المزدوجة، وما إلى ذلك. يكون النمط أيضًا متماثلًا عكسيًا في الشقق: يتناقص النمط بمقدار أرباعًا، ويُشحذ النغمات بشكل متبادل بمقدار فاصلتين مع كل انتقال من النغمات الطبيعية إلى النغمات المسطحة، أو الشقق إلى الشقق المزدوجة، وما إلى ذلك. إذا تُركت دون تعديل، فإن الخماسيين الخطيرين في كل كتلة من النغمات الطبيعية، أو الحادة، أو المسطحة بالكامل، هي فترات "ذئب" : كل من الخماسين الخطيرين خارج اللحن بفاصلة دياتونية .     

نظرًا لأن الفاصلة، κ ، توسع النغمة الأصغر t = sc ، إلى النغمة الأكبر ، T = sc κ ، يمكن تقسيم الأوكتاف T ts T t T s إلى تسلسل sc κ sc s sc κ sc sc κ s ، (أو تحول دائري منه) من أنصاف النغمات الدياتونية s ، وأنصاف النغمات الكروماتية c ، والفواصل κ . تغير المزاجات المتساوية المختلفة أحجام الفواصل، وعادةً ما تفصل الفواصل الثلاث ثم تعيد توزيع أجزائها إلى أنصاف النغمات الدياتونية السبع s ، أو إلى أنصاف النغمات الكروماتية الخمس c ، أو إلى كل من s و c ، مع بعض النسب الثابتة لكل نوع من أنصاف النغمات.        

يمكن إضافة تسلسل الفواصل الزمنية s و c و κ مرارًا وتكرارًا إلى نفسه في دوامة أكبر من 12 خامسًا ، وجعلها متصلة في نهاياتها البعيدة من خلال تعديلات طفيفة على حجم واحد أو أكثر من الفواصل الزمنية، أو تركها دون تعديل مع خماسيات أقل من مثالية في بعض الأحيان، مسطحة بفاصلة.

يمكن إنشاء مزاج متساوٍ إذا تم تغيير أحجام النغمات الرئيسية والثانوية ( T ، t ) لتكون هي نفسها (على سبيل المثال، عن طريق ضبط κ = 0 ، مع توسيع الآخرين لملء الأوكتاف)، وكلا النغمتين النصفيتين ( s و c ) بنفس الحجم، ثم ينتج عن ذلك اثنتي عشرة نغمة نصفية متساوية، اثنتان لكل نغمة. في 12 TET ، تكون نصف النغمة، s ، نصف حجم النغمات الكاملة بنفس الحجم T = t تمامًا .

يمكن أيضًا توليد بعض الأحجام المتوسطة للنغمات ونصف النغمات في أنظمة مزاجية متساوية، عن طريق تعديل أحجام الفاصلة ونصف النغمات. نحصل على 7 TET في الحد حيث يميل حجم c و κ إلى الصفر، مع بقاء الأوكتاف ثابتًا، و 5 TET في الحد حيث يميل s و κ إلى الصفر؛ 12 TET بالطبع، في حالة s = c و κ = 0. على سبيل المثال :   

5 TET و 7 TET

هناك حالتان متطرفتان تحصران هذا الإطار: عندما يتم تقليل s و κ إلى الصفر مع الحفاظ على حجم الأوكتاف ثابتًا، تكون النتيجة ttttt ، مزاج متساوٍ بخمس نغمات. مع زيادة حجم s (وامتصاص المساحة المستخدمة سابقًا للفاصلة κ )، تصبح الخطوات كلها في النهاية بنفس الحجم، ttttttt ، والنتيجة هي مزاج متساوٍ بسبع نغمات. لا يتم تضمين هذين المتطرفين باعتبارهما ضبطًا دياتونيًا "عاديًا".

19 تيت

إذا تم ضبط نصف النغمة الدياتونية على ضعف حجم نصف النغمة الكروماتية، أي s = 2 c (بالسنتات) و κ = 0 ، تكون النتيجة 19 TET ، مع خطوة واحدة لنصف النغمة الكروماتية c ، وخطوتين لنصف النغمة الدياتونية s ، وثلاث خطوات للنغمات T = t ، والعدد الإجمالي للخطوات  3 T + 2 t + 2 s = 9 + 6 + 4 =  19 خطوة. يقترب نظام النغمة الفرعي المضمن المكون من 12 نغمة بشكل وثيق من نظام ⁠ المهم تاريخيًا.    1 /3⁠ فاصلة تعني نظام .

31 تيت

إذا كان حجم النصف نغمة اللوني ثلثي حجم النصف نغمة الدياتونية، أي c = ⁠ 2 /3s ،مع κ = 0 ،تكون النتيجة31 TET ، مع خطوتين لنصف النغمة اللونية، وثلاث خطوات لنصف النغمة الدياتونية، وخمس خطوات للنغمة، حيث 3  T + 2 t + 2 s = 15 + 10 + 6 =  31 خطوة. يقترب نظام النغمة الفرعي المضمن المكون من 12 نغمة بشكل وثيق من نظام النغمة المهم تاريخيًا 1 /4⁠ فاصلة تعني.

43 تيت

إذا كان حجم النصف نغمة اللوني ثلاثة أرباع حجم النصف نغمة الدياتونية، أي c = ⁠ 3 /4s ،مع κ = 0 ،تكون النتيجة 43 TET، مع ثلاث خطوات لنصف النغمة اللونية، وأربع خطوات لنصف النغمة الدياتونية، وسبع خطوات للنغمة، حيث 3  T + 2 t + 2 s = 21 + 14 + 8 = 43. يقترب نظام النغمة الفرعي المضمن المكون من 12 نغمة تقريبًا من 1 /5⁠ فاصلة تعني.

53 تيت

إذا تم جعل نصف النغمة اللونية بنفس حجم ثلاث فواصل، c = 3 κ (بالسنتات، بالتردد c = κ ³ ) فإن النغمة الدياتونية هي نفسها خمس فواصل، s = 5 κ ، مما يجعل النغمة الأصغر ثماني فواصل t = s + c = 8 κ ، والنغمة الأكبر تسع، T = s + c + κ = 9 κ . وبالتالي  3 T + 2 t + 2 s = 27 κ + 16 κ + 10 κ = 53 κ لـ 53 خطوة من فاصلة واحدة لكل منها. حجم الفاصلة / حجم الخطوة هو κ = ⁠       1300/53⁠  ¢بالضبط، أو κ = 22.642 ¢ ≈ 21.506 ¢،الفاصلةالتوافقية. وهي تقريب قريب للغاية من 5 حدودللتجويد العادلوضبط فيثاغورس، وهي الأساس لنظريةالموسيقى التركية.   

• Helmholtz, H. (2005) [1877 (الطبعة الألمانية الرابعة)، 1885 (الطبعة الإنجليزية الثانية)]. حول أحاسيس النغمة كأساس فسيولوجي لنظرية الموسيقى. ترجمة Ellis, AJ (طبعة أعيد طبعها). Whitefish, MT: Kellinger Publishing. ISBN 978-1-41917893-1. OCLC  71425252 – عبر Internet Archive (archive.org).
  — عمل أساسي في علم الصوتيات وإدراك الصوت. وخاصة المادة الموجودة في الملحق XX: إضافات المترجم ، الصفحات 430-556، (ملف pdf الصفحات 451-577) (انظر أيضًا مقالة ويكيبيديا حول أحاسيس النغمة )

• مقدمة عن الضبط التاريخي بقلم كايل جان
• ويكي Xenharmonic حول EDOs مقابل Equal Temperaments
• مركز مؤسسة هويجنز فوكر للموسيقى الدقيقة
• أ. أورلانديني: الصوتيات الموسيقية
• "المزاج" من ملحق موسوعة السيد تشامبرز (1753)
• باربييري، باتريزيو. الآلات والموسيقى التوافقية، 1470-1900. (2008) لاتينا، Il Levante Libreria Editrice
• موسيقى كسورية ميكروتونية، جيم كوكولا .
• جميع الاقتباسات الموجودة من القرن الثامن عشر عن يوهان سيباستيان باخ والمزاج
• دومينيك إيكرسلي: "روزيتا من جديد: مزاج باخ العادي جدًا"
• المزاجات الجيدة، استنادًا إلى تعريف Werckmeister
• الكارديناليات المفضلة للمقاييس بقلم بيتر بوخ