5 خلايا

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "5-cell" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (August 2024) (Learn how and when to remove this message)

This article may contain an excessive amount of intricate detail that may interest only a particular audience. Please help by spinning off or relocating any relevant information, and removing excessive detail that may be against Wikipedia's inclusion policy. (August 2024) (Learn how and when to remove this message)

5 خلايا (4-سيمبلكس)
إسقاط عمودي ثلاثي الأبعاد لخمس خلايا تقوم بدوران بسيط
يكتب	محدب منتظم رباعي السطوح
رمز شلايفلي	{3،3،3}
مخطط كوكستر
الخلايا	5 {3،3}
وجوه	10 {3}
الحواف	10
رؤوس	5
شكل الرأس	( رباعي السطوح )
مضلع بتري	البنتاغون
مجموعة كوكستر	أ 4 ، [3،3،3]
مزدوج	ثنائي ذاتي
ملكيات	محدب ، متساوي الأضلاع ، متساوي السموم ، متساوي السطوح
مؤشر موحد	1

في الهندسة ، خماسي الخلايا هو متعدد السطوح المحدب رباعي السطوح برمز شليفلي {3،3،3}. وهو جسم رباعي الأبعاد ذو خمس رؤوس ومحدود بخمس خلايا رباعية السطوح. يُعرف أيضًا باسم C ₅ ، أو رباعي السطوح الفائق ، أو خماسي السطوح ، ^{أو [1]} خماسي السطوح ، أو خماسي السطوح ، أو ^[2] هرم رباعي السطوح ، أو رباعي السطوح البسيط (متعدد السطوح لكوكسيتر )، ^[3] وهو أبسط متعدد السطوح المحدب رباعي السطوح الممكن، وهو مشابه للرباعي السطوح في ثلاثة أبعاد والمثلث في بعدين. خماسي الخلايا هو هرم رباعي الأبعاد بقاعدة رباعية السطوح وأربعة أضلاع رباعية السطوح. ${\displaystyle \alpha _{4}}$

الشكل المنتظم ذو الخمس خلايا محاط بخمسة رباعيات سطوح منتظمة ، وهو أحد متعددات السطوح المحدبة المنتظمة الستة رباعية السطوح (النظائر رباعية الأبعاد للمجسمات الأفلاطونية ). يمكن إنشاء شكل منتظم ذو خمس خلايا من شكل رباعي السطوح منتظم عن طريق إضافة رأس خامس يبعد طول ضلع واحد عن جميع رؤوس الشكل الرباعي السطوح. لا يمكن القيام بذلك في الفضاء ثلاثي الأبعاد. الشكل المنتظم ذو الخمس خلايا هو حل للمشكلة: اصنع 10 مثلثات متساوية الأضلاع، جميعها بنفس الحجم، باستخدام 10 أعواد ثقاب، حيث يكون كل ضلع من كل مثلث هو عود ثقاب واحد بالضبط، ولا يتقاطع أي من المثلثات وأعواد الثقاب مع بعضها البعض. لا يوجد حل في ثلاثة أبعاد.

5-الخلية هي مجسم بسيط رباعي الأبعاد ، وهو أبسط متعدد السطوح رباعي الأبعاد ممكن . بعبارة أخرى، فإن 5-الخلية هي مجسم متعدد الوجوه مشابه لرباعي السطوح في البعد العالي. ^[4] ويتكون من أي خمس نقاط ليست كلها في نفس المستوى الفائق (كما يتكون رباعي السطوح من أي أربع نقاط ليست كلها في نفس المستوى، ويتكون المثلث من أي ثلاث نقاط ليست كلها في نفس الخط). أي من هذه النقاط الخمس تشكل 5-خلية، على الرغم من أنها ليست عادةً 5-خلية منتظمة. لا توجد 5-خلية منتظمة داخل أي من متعددات السطوح المحدبة المنتظمة الأخرى باستثناء واحد: 120 خلية ذات 600 رأس هي مركب من 120 خلية منتظمة من 5-خلية.

الخلية ذات الخمس خلايا مزدوجة ذاتيًا ، مما يعني أن متعدد السطوح المزدوج الخاص بها يتكون من خمس خلايا بحد ذاته. ^[5] تقاطعها الأقصى مع الفضاء ثلاثي الأبعاد هو المنشور الثلاثي . زاويتها الثنائية هي . ^[6]${\textstyle \arccos(-1/4)\approx 75.52^{\circ }}$

إنه الأول في سلسلة من 6 متعددات السطوح المنتظمة المحدبة ذات الأربعة رؤوس، مرتبة حسب الحجم عند نصف قطر معين أو عدد معين من الرؤوس. ^[7]

الغلاف المحدب لخليتين من 5 خلايا في تكوين مزدوج هو ثنائي الوتدي مكون من 30 خلية ، مزدوج من 5 خلايا مقسمة إلى جزئين .

تمثل مصفوفة التكوين هذه الخلية المكونة من 5 خلايا. تتوافق الصفوف والأعمدة مع الرؤوس والحواف والوجوه والخلايا. تشير الأرقام القطرية إلى عدد كل عنصر يحدث في الخلية المكونة من 5 خلايا بالكامل. تشير الأرقام غير القطرية إلى عدد عناصر العمود التي تحدث في عنصر الصف أو عنده. مصفوفة متعدد السطوح ذاتي الازدواج هذه مطابقة لدورانها بمقدار 180 درجة. ^[8] يمكن قراءة الوجوه k كصفوف على يسار القطر، بينما تُقرأ الأشكال k كصفوف بعد القطر. ^[9]

عنصر	وجه حرف k	ف ك	ف 0	ف 1	ف 2	ف 3	التين​
	( )	ف 0	5	4	6	4	{3,3}
	{ }	ف 1	2	10	3	3	{3}
	{3}	ف 2	3	3	10	2	{ }
	{3,3}	ف 3	4	6	4	5	( )

تم إدراج جميع هذه العناصر المكونة من 5 خلايا في مخطط فين المكون من 5 نقاط لبرانكو جرونباوم ، والذي يعتبر في الواقع رسمًا توضيحيًا للخلية المنتظمة المكونة من 5 خلايا في الإسقاط على المستوى.

تحتوي الخلية الخماسية على مستويات مركزية ثنائية الأضلاع تمر عبر الرؤوس. تحتوي على 10 مستويات مركزية ثنائية الأضلاع، حيث يكون كل زوج من الرؤوس حافة، وليس محورًا، للخلية الخماسية. كل مستوى ثنائي الأضلاع متعامد مع 3 مستويات أخرى، ولكنه متعامد تمامًا مع أي منها. يتميز الدوران المتساوي الميل للخلية الخماسية، كأزواج من المستويات الثابتة، بتلك المستويات العشر ثنائية الأضلاع ومستوياتها المركزية المتعامدة تمامًا، والتي هي مستويات ذات 0 أضلاع لا تتقاطع مع أي رؤوس من الخلايا الخماسية.

هناك طريقتان فقط لعمل دائرة للخلية ذات الخمس خلايا تمر عبر جميع الرؤوس الخمس على طول 5 حواف، لذا فهناك ليفتان هوبفان منفصلتان للثنائيات الكبيرة للخلية ذات الخمس خلايا. يتوافق كل من الليفتين مع زوج من الدورات المتساوية الميل يسارًا ويمينًا والتي تدور كل منها جميع الرؤوس الخمس في دائرة من الفترة 5. تحتوي الخلية ذات الخمس خلايا على ليفتين متساويتين الميل في الفترة 5 ( تلك الدوائر التي تمر عبر جميع الرؤوس الخمس)، يعمل كل منهما كليف واحد متساوي الميل لدوران يمين وليف واحد متساوي الميل لدوران يسار في ليفتين مختلفتين.

في الأسفل، يتم تصور خلية دوارة مكونة من خمس خلايا مع ضغط البعد الرابع وعرضه بالألوان. يتم تصوير حلقة كليفورد في شكلها المستطيل (الملفوف).

• تصور الدورانات رباعية الأبعاد
• الدوران ببساطة في المستوى XY
• الدوران ببساطة في مستوى ZW
• الدوران المزدوج في المستويين XY وZW بسرعات زاوية بنسبة 4:3
• الدوران المتساوي الميل لليسار
• الدوران المتساوي الميل إلى اليمين

يُسقط مستوي A ₄ Coxeter الخلية المكونة من 5 خلايا في شكل خماسي منتظم ونجمة خماسية . يكون الإسقاط المستوي A _{3 Coxeter للخلية المكونة من 5 خلايا على شكل} هرم مربع . يكون الإسقاط المستوي A _{2 Coxeter للخلية المكونة من 5 خلايا على شكل} هرم ثنائي الشكل مثلثي (رباعي السطوح متصلان وجهًا لوجه) مع وجود الرأسين المتقابلين في المنتصف.

الإسقاطات التقويمية

طائرة ك ...	أ 4	أ 3	أ 2
الرسم البياني
تماثل ثنائي السطوح	[5]	[4]	[3]

الإسقاطات إلى ثلاثة أبعاد
يحتوي الإسقاط الأول للخلية الخمس في الأبعاد الثلاثة على غلاف إسقاط رباعي السطوح . وتسقط أقرب قمة للخلية الخمس إلى مركز رباعي السطوح، كما هو موضح هنا باللون الأحمر. وتسقط الخلية الأبعد على الغلاف رباعي السطوح نفسه، بينما تسقط الخلايا الأربع الأخرى على المناطق الأربع المسطحة رباعية السطوح المحيطة بالقمة المركزية.	يحتوي الإسقاط من الحافة أولاً للخلايا الخمس في 3 أبعاد على غلاف ثنائي هرمي مثلثي . تبرز الحافة الأقرب (الموضحة هنا باللون الأحمر) على محور ثنائي الهرم، مع إبراز الخلايا الثلاث المحيطة بها إلى 3 أحجام رباعية السطوح مرتبة حول هذا المحور بزاوية 120 درجة بالنسبة لبعضها البعض. تبرز الخليتان المتبقيتان إلى نصفي ثنائي الهرم وتقعان على الجانب البعيد من الخماسي.
كما أن الإسقاط الذي يبدأ بالوجه للخلايا الخمس في الأبعاد الثلاثة له غلاف ثنائي هرمي مثلثي الشكل. ويظهر الوجه الأقرب هنا باللون الأحمر. وتمتد الخليتان اللتان تلتقيان عند هذا الوجه إلى نصفي الهرم الثنائي. وتقع الخلايا الثلاث المتبقية على الجانب البعيد من الهرم الخماسي من وجهة نظر الأبعاد الأربعة، وقد تم انتقاؤها من الصورة من أجل الوضوح. وهي مرتبة حول المحور المركزي للهرم الثنائي، تمامًا كما هو الحال في الإسقاط الذي يبدأ بالحافة.	إن إسقاط الخلية الأولى للخلية الخمس في الأبعاد الثلاثة له غلاف رباعي السطوح. وتسقط الخلية الأقرب على الغلاف بالكامل، ومن وجهة نظر الأبعاد الأربعة، تحجب الخلايا الأربع الأخرى؛ وبالتالي، فهي غير معروضة هنا.

في حالة الأشكال البسيطة مثل الشكل ذي الخلايا الخمس، تكون بعض الأشكال غير المنتظمة أكثر جوهرية من الشكل المنتظم. ورغم أن الخلايا الخمس المنتظمة لا يمكنها ملء الفراغ ذي الخلايا الأربع أو متعددات السطوح الأربع المنتظمة، فهناك خلايا خمسية غير منتظمة يمكنها ذلك. وهذه الخلايا الخمس المميزة هي المجالات الأساسية لمجموعات التناظر المختلفة التي تؤدي إلى ظهور متعددات السطوح الأربع المختلفة.

مخطط رباعي الأبعاد هو مخطط مكون من 5 خلايا حيث تكون جميع الوجوه العشرة مثلثات قائمة . (تشكل الرؤوس الخمس 5 خلايا رباعية السطوح مرتبطة وجهًا ببعضها البعض، بإجمالي 10 حواف و10 وجوه مثلثية.) مخطط رباعي الأبعاد هو شكل بسيط غير منتظم وهو الغلاف المحدب لشجرة تكون جميع حوافها متعامدة بشكل متبادل . في مخطط رباعي الأبعاد، تتكون الشجرة من أربعة حواف متعامدة تربط جميع الرؤوس الخمسة في مسار خطي يصنع ثلاث دورات قائمة الزاوية. عناصر مخطط رباعي الأبعاد هي أيضًا مخططات مستقيمة (تمامًا كما أن عناصر الشكل البسيط المنتظم هي أيضًا أشكال بسيطة منتظمة). كل خلية رباعية السطوح في مخطط رباعي الأبعاد هي مخطط ثلاثي السطوح ، وكل وجه مثلث هو مخطط مستقيم ثنائي السطوح (مثلث قائم الزاوية).

المخططات المستقيمة هي الأشكال البسيطة المميزة لمتعدد السطوح المنتظم، لأن كل متعدد سطوح منتظم يتولد عن طريق الانعكاسات في الأوجه المحيطة بمخططه المستقيم المميز. ^[10] على سبيل المثال، الحالة الخاصة للمستقيم الرباعي ذي الحواف العمودية المتساوية الطول هي المخطط المستقيم المميز للمكعب الرباعي (يُسمى أيضًا المربع المربع أو ثماني الخلايا )، النظير رباعي الأبعاد للمكعب ثلاثي الأبعاد. إذا كانت الحواف العمودية الثلاثة للمستقيم الرباعي بطول واحد، فإن جميع حوافه تكون بطول √ 1 أو √ 2 أو √ 3 أو √ 4 ، وهي على وجه التحديد أطوال وتر المكعب الرباعي الوحدوي (أطوال حواف المكعب الرباعي وأقطاره المختلفة). لذلك فإن هذا المخطط الرباعي يناسب المكعب الرباعي، ويمكن تشريح المكعب الرباعي (مثل كل متعدد السطوح المحدب المنتظم) إلى حالات من المخطط الرباعي المميز له .

من السهل توضيح مخطط ثلاثي الأوجه، ولكن من الصعب تصور مخطط رباعي الأوجه. مخطط رباعي الأوجه هو هرم رباعي السطوح مع مخطط ثلاثي الأوجه كقاعدة له. وله أربعة أضلاع أكثر من مخطط ثلاثي الأوجه، ويربط بين الرؤوس الأربعة للقاعدة وقمته (الرأس الخامس من الخلية الخمس). اختر أيًا من مخططات الأضلاع الثلاثية من بين المخططات الستة الموضحة في رسم المكعب الثلاثي الأوجه. لاحظ أنه يلامس أربعة من رؤوس المكعب الثمانية، وترتبط هذه الرؤوس الأربعة بمسار ثلاثي الأضلاع يشكل منعطفين قائمين الزاوية. تخيل أن هذا المستقيم الثلاثي هو قاعدة المستقيم الرباعي، بحيث يتصل من كل من هذه الرؤوس الأربعة حافة غير مرئية للمستقيم الرباعي برأس خامس (يقع خارج المكعب الثلاثي ولا يظهر في الرسم التوضيحي على الإطلاق). وعلى الرغم من أن الحواف الأربعة الإضافية تصل جميعها إلى نفس رأس القمة، إلا أنها ستكون جميعها بأطوال مختلفة. يمتد أولها، عند أحد طرفي المسار المتعامد ذي الحواف الثلاثة، هذا المسار بحافة رابعة متعامدة √ 1 عن طريق إجراء دورة ثالثة بزاوية 90 درجة والوصول بشكل عمودي إلى البعد الرابع إلى القمة. والحافة الثانية من الحواف الأربعة الإضافية هي قطر √ 2 لوجه مكعب (ليس من المكعب الثلاثي الموضح، ولكن من مكعب آخر من مكعبات التيسيراكت الثمانية ذات الحواف الثلاثة). الحافة الإضافية الثالثة هي قطر √ 3 لمكعب 3 (مرة أخرى، ليست المكعب 3 الأصلي الموضح). الحافة الإضافية الرابعة (في الطرف الآخر من المسار المتعامد) هي قطر طويل للمكعب نفسه، بطول √ 4. يمتد عبر المركز الدقيق للمكعب إلى الرأس المقابل (رأس المكعب 3 المقابل)، وهو القمة. وبالتالي فإن الخلية 5 المميزة للمكعب 4 لها أربع حواف √ 1 وثلاث حواف √ 2 وحافتان √ 3 وحافة واحدة √ 4 .

المكعب الرابعيمكن تقسيمها إلى 24 مخططًا رباعيًا ثماني طرق مختلفة، مع ستة مخططات رباعية تحيط بكل من أربعة أقطار رباعية متعامدة بطول √ 4. يمكن أيضًا تشريح المكعب 4 إلى 384 حالة أصغر من نفس مخطط 4 المميز هذا، بطريقة واحدة فقط، من خلال جميع مستويات التناظر الخاصة به في وقت واحد، والتي تقسمه إلى 384 مخططًا رباعيًا تلتقي جميعها في مركز المكعب 4.

بشكل عام، يمكن تشريح أي متعدد السطوح المنتظم إلى g حالات من مخططه المستقيم المميز والتي تلتقي جميعها في مركز متعدد السطوح المنتظم. ^[11] الرقم g هو ترتيب متعدد السطوح، أي عدد الحالات المنعكسة من مخططه المستقيم المميز والتي تشكل متعدد السطوح عندما تنعكس حالة واحدة من مخططات المستقيم ذات السطح المرآة في أوجهها الخاصة. بشكل عام، تكون البسيطات المميزة قادرة على ملء متعددات السطوح المنتظمة لأنها تمتلك جميع العناصر المطلوبة لمتعدد السطوح. كما أنها تمتلك جميع الزوايا المطلوبة بين العناصر (من 90 درجة إلى الأسفل). البسيطات المميزة هي الشفرات الوراثية لمتعددات السطوح: مثل سكين الجيش السويسري ، فهي تحتوي على كل شيء مطلوب لبناء متعدد السطوح عن طريق التضاعف.

كل متعدد السطوح المنتظم، بما في ذلك متعدد الخلايا المنتظم، له مخططه المستقيم المميز. يوجد مخطط رباعي الخلايا وهو المخطط المستقيم المميز لخمس خلايا المنتظم . وهو عبارة عن هرم رباعي السطوح يعتمد على رباعي السطوح المميز لرباعي السطوح المنتظم .يمكن تقسيمها إلى 120 حالة من هذا المخطط الرباعي المميزطريقة واحدة فقط، من خلال جميع مستوياتها التناظرية في وقت واحد، والتي تقسمها إلى 120 مخططًا رباعيًا تلتقي جميعها في مركز الخلية الخمس المنتظمة.

خصائص الخلايا الخمس المنتظمة [12]
	الحافة [13]	قوس		ثنائي السطوح [14]
𝒍	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581}$	104°30′40″	${\displaystyle \pi -2{\text{𝜂}}}$	75°29′20″	${\displaystyle \pi -2{\text{𝟁}}}$
𝟀	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{10}}}\approx 0.316}$	75°29′20″	${\displaystyle 2{\text{𝜂}}}$	60 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
𝝉 [أ]	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{30}}}\approx 0.183}$	52°15′20″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-{\text{𝜂}}}$	60 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
𝟁	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{15}}}\approx 0.103}$	52°15′20″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-{\text{𝜂}}}$	60 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
${\displaystyle _{0}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{20}}}\approx 0.387}$	75°29′20″	${\displaystyle 2{\text{𝜂}}}$	90 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{1}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{20}}}\approx 0.224}$	52°15′20″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-{\text{𝜂}}}$	90 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{2}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{60}}}\approx 0.129}$	52°15′20″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-{\text{𝜂}}}$	90 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{0}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {1}}=1.0}$
${\displaystyle _{1}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{8}}}\approx 0.612}$
${\displaystyle _{2}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408}$
${\displaystyle _{3}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{16}}}=0.25}$
${\displaystyle {\text{𝜼}}}$		37°44′40″	${\displaystyle {\tfrac {{\text{arc sec }}4}{2}}}$

إن الشكل الرباعي المنتظم المكون من 5 خلايا (المستقيم الرباعي) له أربعة حواف أكثر من رباعي السطوح المميز لقاعدته (المستقيم الثلاثي)، والذي يربط الرؤوس الأربعة للقاعدة بقمتها (الرأس الخامس للشكل الرباعي المنتظم، في مركز الشكل الرباعي المنتظم). إن الحواف الأربعة لكل شكل رباعي والتي تلتقي في مركز متعدد السطوح المنتظم المكون من 4 خلايا غير متساوية الطول، لأنها تمثل الأقطار الأربعة المميزة للشكل الرباعي المنتظم: نصف قطر الرأس، ونصف قطر مركز الحافة، ونصف قطر مركز الوجه، ونصف قطر مركز الخلية. إذا كان للخلية الخمس المنتظمة نصف قطر وحدة وطول حافة ، فإن حوافها العشرة المميزة للخلية الخمس لها أطوال , , حول وجهها الخارجي للمثلث القائم (الحواف المقابلة للزوايا المميزة 𝟀، 𝝉، 𝟁)، ^[أ] زائد , , (الحواف الثلاثة الأخرى للوجه الخارجي ثلاثي الأضلاع للرباعي السطوح المميز، والتي هي الأقطار المميزة للرباعي السطوح المنتظم)، زائد , , , (الحواف التي هي الأقطار المميزة للخلية الخمس المنتظمة). المسار ذو الحواف الأربعة على طول الحواف المتعامدة للمخطط المستقيم هو ، ، ، ، أولاً من رأس منتظم مكون من 5 خلايا إلى مركز حافة منتظم مكون من 5 خلايا، ثم يدور بزاوية 90 درجة إلى مركز وجه منتظم مكون من 5 خلايا، ثم يدور بزاوية 90 درجة إلى مركز خلية رباعية السطوح منتظمة مكونة من 5 خلايا، ثم يدور بزاوية 90 درجة إلى مركز منتظم مكون من 5 خلايا. ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{10}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{30}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{15}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{20}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{20}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{60}}}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{8}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{16}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{30}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{15}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{60}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{16}}}}$

هناك العديد من أشكال التناظر المنخفضة للخلايا الخمس، بما في ذلك تلك الموجودة في أشكال رؤوس متعددة السطوح موحدة :

التماثل	[3,3,3] الأمر 120	[3,3,1] الترتيب 24	[3,2,1] الترتيب 12	[3,1,1] الترتيب 6	~[5,2] + الترتيب 10
اسم	5 خلايا عادية	هرم رباعي السطوح		هرم مثلثي الشكل
شلايفلي	{3،3،3}	{3,3}∨( )	{3}∨{ }	{3}∨( )∨( )
مثال على شكل الرأس	5-بسيط	5-بسيطة مقطوعة	5-بسيطة مقطوعة	مقطع خماسي بسيط مقطوع	قرص العسل رباعي السطوح متعدد الأجزاء

الهرم رباعي السطوح هو حالة خاصة من الهرم متعدد السطوح ذي الخمس خلايا ، والذي تم بناؤه على شكل قاعدة رباعية السطوح منتظمة في مستوٍ فائق ثلاثي الفضاء ، ونقطة قمة فوق المستوى الفائق. تتكون الجوانب الأربعة للهرم من خلايا هرمية مثلثة .

تحتوي العديد من متعددات السطوح الخماسية المنتظمة على أشكال رؤوس هرمية رباعية السطوح مع رموز شليفلي ( )∨{3,3}.

التماثل [3،3،1]، الترتيب 24

مخطط شليجل
الاسم كوكستر	{ }×{3,3,3}	{ }×{4,3,3}	{ }×{5,3,3}	ت{3،3،3،3}	ت{4،3،3،3}	ت{3،4،3،3}

تحتوي الأشكال المتعددة السطوح المنتظمة الأخرى على أشكال غير منتظمة لرؤوس ذات خمس خلايا. يتم تمثيل تناسق شكل الرأس في الشكل المتعدد السطوح المنتظم بإزالة العقد الحلقية من مخطط كوكستر.

التماثل	[3,2,1]، الترتيب 12		[3,1,1]، الترتيب 6		[2 + ,4,1]، الترتيب 8	[2,1,1]، الترتيب 4
شلايفلي	{3}∨{ }		{3}∨( )∨( )		{ }∨{ }∨( )
مخطط شليجل
الاسم كوكستر	ت 12 ألفا 5	ت 12 γ 5	ت 012 ألفا 5	ت 012 γ 5	ت 123 ألفا 5	ت 123 γ 5

التماثل	[2,1,1]، الترتيب 2			[2 + ,1,1]، الترتيب 2	[ ] + ، الترتيب 1
شلايفلي	{ }∨( )∨( )∨( )			( )∨( )∨( )∨( )∨( )
مخطط شليجل
الاسم كوكستر	ت 0123 ألفا 5	ت 0123 γ 5	ت 0123 بيتا 5	ت 01234 ألفا 5	ت 01234 γ 5

يمكن إنشاء خلية من 5 خلايا على شكل حلزون بورديك-كوكسيتر من خمسة رباعيات السطوح متسلسلة، مطوية في حلقة رباعية الأبعاد. ^[15] يمكن رؤية وجوه المثلث العشرة في شبكة ثنائية الأبعاد داخل بلاط مثلثي ، مع 6 مثلثات حول كل رأس، على الرغم من أن الطي في 4 أبعاد يتسبب في تطابق الحواف. تشكل الحواف الأرجوانية خماسيًا منتظمًا وهو مضلع بتري للخلية المكونة من 5 خلايا. تتصل الحواف الزرقاء بكل رأس ثانٍ، لتشكل نجمة خماسية وهي مضلع كليفورد للخلية المكونة من 5 خلايا. حواف النجمة الخماسية الزرقاء هي أوتار خط التساوي الميل للخلية المكونة من 5 خلايا ، وهو المسار الدوراني الدائري الذي تتخذه رؤوسها أثناء الدوران المتساوي الميل ، والمعروف أيضًا باسم إزاحة كليفورد .

عندما يتم طي شبكة من خمسة رباعيات السطوح في فضاء رباعي الأبعاد بحيث يكون كل رباعي السطوح مرتبطًا وجهًا بالأربعة الآخرين، فإن الخلايا الخمس الناتجة لها إجمالي 5 رؤوس و10 حواف و10 أوجه. تلتقي أربع حواف عند كل رأس، وتلتقي ثلاث خلايا رباعية السطوح عند كل حافة. ​​هذا يجعل رباعي السطوح الست خلية . [ ^6]

أبسط مجموعة من إحداثيات ديكارت هي: (2,0,0,0)، (0,2,0,0)، (0,0,2,0)، (0,0,0,2)، (𝜙,𝜙,𝜙,𝜙)، بطول ضلع 2 √ 2 ، حيث 𝜙 هي النسبة الذهبية . ^[16] في حين أن هذه الإحداثيات ليست مركز الأصل، فإن الطرح من كل منها ينقل مركز محيط متعدد السطوح رباعي السطوح إلى الأصل بنصف قطر ، بالإحداثيات التالية: ${\displaystyle (1,1,1,1)/(2-{\tfrac {1}{\phi }})}$${\displaystyle 2(\phi -1/(2-{\tfrac {1}{\phi }}))={\sqrt {\tfrac {16}{5}}}\approx 1.7888}$

${\displaystyle \left({\tfrac {2}{\phi }}-3,1,1,1\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)}$

${\displaystyle \left(1,{\tfrac {2}{\phi }}-3,1,1\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)}$

${\displaystyle \left(1,1,{\tfrac {2}{\phi }}-3,1\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)}$

${\displaystyle \left(1,1,1,{\tfrac {2}{\phi }}-3\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)}$

${\displaystyle \left({\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }}\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)}$

يمكن رؤية المجموعة التالية من إحداثيات مركز الأصل بنفس نصف القطر وطول الحافة كما هو موضح أعلاه على أنها هرم فائق ذو قاعدة رباعية السطوح منتظمة في الفضاء ثلاثي الأبعاد:

${\displaystyle \left(1,1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(1,-1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(-1,1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(-1,-1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,0,0,{\frac {4}{\sqrt {5}}}\right)}$

قياس هذه المجموعة أو المجموعة السابقة من الإحداثيات عن طريق إعطاء 5 خلايا منتظمة مركزية الأصل بنصف قطر الوحدة مع أطوال الحواف . يحتوي الهرم الفائق على إحداثيات: ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{4}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$

${\displaystyle \left({\sqrt {5}},{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left({\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(0,0,0,1\right)}$

إحداثيات رؤوس شكل منتظم آخر مركزه الأصل ومكون من 5 خلايا وطول ضلعه 2 ونصف قطره هي: ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {8}{5}}}\approx 1.265}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

يؤدي قياس هذه القيم حسب نصف القطر الوحدوي وطول الحافة إلى: ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{8}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {10}},\pm {\sqrt {30}}\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {40}},0\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},-{\sqrt {45}},0,0\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left(-1,0,0,0\right)}$

يمكن إنشاء رؤوس متوازي الأضلاع رباعي البسط (بحافة √ 2 ونصف قطر 1) بشكل أكثر بساطة على مستوٍ فائق في فضاء 5، كتبديلات (متميزة) لـ (0,0,0,0,1) أو (0,1,1,1,1)؛ في هذه المواضع، يكون وجهًا من أوجه متوازي الأضلاع 5 أو متوازي الأضلاع المُصحح على التوالي .

يمكن رؤية مركب خليتين من 5 خلايا في تكوينات مزدوجة في إسقاط مستوي Coxeter A5 هذا ، مع رؤوس وحواف حمراء وزرقاء مكونة من 5 خلايا. يتمتع هذا المركب بتناظر [[3,3,3]]، من الدرجة 240. تقاطع هاتين الخليتين من 5 خلايا هو تقاطع موحد مكون من 5 خلايا .=∩.

يمكن رؤية هذا المركب باعتباره نظيرًا رباعي الأبعاد للسداسي ثنائي الأبعاد { ⁠6/2} والمركب ثلاثي الأبعاد لرباعي السطوح .

الخماسي (5 خلايا) هو أبسط 9 متعددات الخلايا المنتظمة المكونة من مجموعة كوكستر [3،3،3] .

شلايفلي	{3،3،3}	ت{3،3،3}	ر{3،3،3}	ر{3،3،3}	2ت{3،3،3}	تر{3،3،3}	ت 0,3 {3,3,3}	ت 0،1،3 {3،3،3}	ت 0،1،2،3 {3،3،3}
كوكستر
شليجل

1 k2 أرقام في أبعاد n
فضاء	محدود						إقليدي	زائدي
ن	3	4	5	6	7	8	9	10
مجموعة كوكستر	هـ 3 = أ 2 أ 1	هـ 4 = أ 4	هـ 5 = د 5	هـ 6	هـ 7	هـ 8	ع 9 = = ع 8 +${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	ع 10 = = ع 8 ++${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
مخطط كوكستر
التماثل (الترتيب)	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[[3 2,2,1 ]]	[3 3,2,1 ]	[3 4،2،1 ]	[3 5،2،1 ]	[3 6،2،1 ]
طلب	12	120	1,920	103,680	2,903,040	696,729,600	∞
الرسم البياني							-	-
اسم	1 −1,2	102	1 12	1 22	1 32	1 42	1 52	1 62

2 ك 1 أرقام في أبعاد n
فضاء	محدود						إقليدي	زائدي
ن	3	4	5	6	7	8	9	10
مجموعة كوكستر	هـ 3 = أ 2 أ 1	هـ 4 = أ 4	هـ 5 = د 5	هـ 6	هـ 7	هـ 8	ع 9 = = ع 8 +${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	ع 10 = = ع 8 ++${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
مخطط كوكستر
التماثل	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[[3 1,2,1 ]]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4،2،1 ]	[3 5،2،1 ]	[3 6،2،1 ]
طلب	12	120	384	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
الرسم البياني							-	-
اسم	2 −1,1	2 01	2 11	2 21	2 31	2 41	2 51	2 61

إنه موجود في تسلسل {p,3,3} من متعددات الألوان المنتظمة ذات شكل رأسي رباعي السطوح : المربع {4,3,3} و 120 خلية {5,3,3} من الفضاء الإقليدي الرباعي، وقرص العسل السداسي {6,3,3} من الفضاء الزائدي.

{ص،3،3} متعددات السطوح
فضاء		س 3			ح 3
استمارة		محدود			باراكوباكت	غير مضغوط
اسم		{3،3،3}	{4،3،3}	{5،3،3}	{6،3،3}	{7،3،3}	{8،3،3}	... {∞,3,3}
صورة
الخلايا {ص،3}		{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

إنه أحد ثلاثة أشكال متعددة السطوح منتظمة {3,3,p} ذات خلايا رباعية السطوح، إلى جانب {3,3,4} ذات 16 خلية و {3,3,5} ذات 600 خلية . يحتوي قرص العسل الرباعي السطوح من الدرجة السادسة {3,3,6} من الفضاء الزائدي أيضًا على خلايا رباعية السطوح.

{3,3,p} متعددات السطوح
فضاء	س 3			ح 3
استمارة	محدود			باراكوباكت	غير مضغوط
اسم	{3،3،3}	{3،3،4}	{3،3،5}	{3،3،6}	{3،3،7}	{3،3،8}	... {3,3,∞}
صورة
شكل الرأس	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3، ∞}

إنه ثنائي ذاتي مثل {3,4,3} المكون من 24 خلية ، وله رمز Schläfli متناظر {3,p,3} .

{3، ص ،3} متعددات السطوح
فضاء	س 3		ح 3
استمارة	محدود		مضغوط	باراكوباكت	غير مضغوط
{3، ص ،3}	{3،3،3}	{3،4،3}	{3،5،3}	{3،6،3}	{3،7،3}	{3،8،3}	... {3، ∞، 3}
صورة
الخلايا	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3، ∞}
شكل الرأس	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

{ص، 3، ص} أقراص عسل منتظمة
فضاء	س 3	إقليدية هـ 3	ح 3
استمارة	محدود	أفيني	مضغوط	باراكوباكت	غير مضغوط
اسم	{3،3،3}	{4،3،4}	{5،3،5}	{6،3،6}	{7،3،7}	{8،3،8}	... {∞,3,∞}
صورة
الخلايا	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}
شكل الرأس	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3، ∞}

• أكياما، جين؛ هيتوتوماتو، سين؛ ساتو، إيكورو (2012). “تحديد أرقام العناصر للبوليتوبات العادية”. Geometriae Dedicata . 159 : 89- 97. دوى :10.1007 / s10711-011-9647-3.
• Diudea, MV (2018). مجموعات متعددة السطوح متعددة السطوح. المواد الكربونية: الكيمياء والفيزياء. المجلد 10. Springer . doi :10.1007/978-3-319-64123-2. ISBN 978-3-319-64123-2.
• جيكا، ماتيلا (1977). هندسة الفن والحياة. منشورات دوفر . رقم ISBN 978-0-486-23542-4.
• جونسون، إن دبليو (2018). "مجموعات التناظر المحدود، 11.5 مجموعة كوكستر كروية". الهندسة والتحويلات . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-1-107-10340-5.
• ميازاكي، ك.؛ إيشي، م. (2021). "التناظر في إسقاط متعدد الألوان المنتظم رباعي الأبعاد". في دارفاس، جيورجي (المحرر). التناظرات المعقدة. doi :10.1007/978-3-030-88059-0. ISBN 978-3-030-88059-0.
• ت. جوسيت : حول الأشكال المنتظمة وشبه المنتظمة في الفضاء ذي الأبعاد n ، رسول الرياضيات، ماكميلان، 1900
• HSM كوكستر :
  • كوكستر، إتش إس إم (1973). متعددات السطوح المنتظمة (الطبعة الثالثة). نيويورك: دوفر.
    • ص 120، الفقرة 7.2. انظر الرسم التوضيحي الشكل 7.2 أ
    • ص 296، الجدول الأول (ثالثًا): متعددات السطوح المنتظمة، ثلاثة متعددات سطوح منتظمة في أبعاد n (n ≥ 5)
  • كوكستر، إتش إس إم (1991)، متعددات السطوح المعقدة المنتظمة (الطبعة الثانية)، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج
  • الكالييدوسكوب: كتابات مختارة لـ HSM Coxeter، تحرير F. Arthur Sherk، Peter McMullen، Anthony C. Thompson، Asia Ivic Weiss، Wiley-Interscience Publication، 1995، ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
    • (الورقة 22) HSM Coxeter، متعددات السطوح المنتظمة وشبه المنتظمة I ، [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407، MR 2,10]
    • (الورقة 23) HSM Coxeter، متعددات السطوح المنتظمة وشبه المنتظمة، المجلد الثاني ، [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات السطوح المنتظمة وشبه المنتظمة، المجلد الثالث ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• كيم، هيونا؛ روتي، جي. (2016). "اختبار التطابق لمجموعات النقاط في 4 أبعاد". arXiv : 1603.07269 [cs.CG].
• جون إتش كونواي ، هايدي بورجيل، حاييم جودمان شتراوس، تماثلات الأشياء 2008، ISBN 978-1-56881-220-5 (الفصل 26، ص 409: نصف مكعب: 1 _{عدد 1} ) 
• نورمان جونسون ، متعددات السطوح المنتظمة ، مخطوطة (1991)
  • NW Johnson: نظرية متعددات السطوح المنتظمة وأقراص العسل ، دكتوراه (1966)
• بانشوف، توماس ف. (2013). "تحللات طورية لمتعددات السطوح المنتظمة في الفضاء رباعي الأضلاع". في سينشال، مارغوري (المحرر). تشكيل الفضاء . سبرينغر نيويورك. ص 257-266. doi :10.1007/978-0-387-92714-5_20. ISBN 978-0-387-92713-8.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "خماسي الأضلاع". MathWorld .
• كليتزينج، ريتشارد. "متعددات السطوح المنتظمة رباعية الأبعاد (متعددات السطوح) x3o3o3o - قلم".
• Der 5-Zeller (5 خلايا) متعددات الأسطح المنتظمة لماركو مولر في R ⁴ (الألمانية)
• جوناثان باورز، متعدد الألوان المنتظم
• تطبيقات Java3D
• بايروكورون

ف ت هـ متعددات السطوح المنتظمة والمنتظمة الأساسية في أبعاد 2-10
عائلة	أ ن	ب ن	أنا 2 (ص) / د ن	ع 6 / ع 7 / ع 8 / ف 4 / ج 2	ح ن
مضلع منتظم	مثلث	مربع	ب-غون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح المنتظم	رباعي السطوح	ثماني السطوح • مكعب	ديميكيوب		اثني عشر وجهًا • عشرين وجهًا
متعدد الألوان موحد	خماسي	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد السطوح الخماسي الموحد	5-بسيط	5-أورثوبلكس • 5-مكعب	5-ديميكوب
متعدد السطوح موحد ذو ستة أوجه	6-بسيط	6-أورثوبلكس • 6-مكعب	6- ديميكوب	1 22 • 2 21
متعدد السطوح الموحد ذو السبعة أوجه	7-بسيط	7-أورثوبلكس • 7-مكعب	7- ديميكوب	1 32 • 2 31 • 3 21
متعدد السطوح الموحد ذو الثمانية	8-بسيط	8-أورثوبلكس • 8-مكعب	8-ديميكوب	1 42 • 2 41 • 4 21
متعدد السطوح الموحد ذو التسعة أوجه	9-بسيط	9-أورثوبلكس • 9-مكعب	9-ديميكوب
متعدد السطوح موحد ذو 10 أوجه	10-بسيط	10-أورثوبلكس • 10-مكعب	10-ديميكوب
متعدد السطوح موحد n	ن - بسيط	ن - أورثوبليكس • ن - مكعب	ن - ديميكوبي	1 ك2 • 2 ك1 • ك 21	ن - متعدد السطوح الخماسي
المواضيع: عائلات متعددات السطوح • متعددات السطوح المنتظمة • قائمة متعددات السطوح المنتظمة والمركبات