القياس (الرياضيات)

لأي متتالية قابلة للعد${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$من مجموعات قابلة للقياس (ليست بالضرورة منفصلة)${\displaystyle E_{n}}$في${\displaystyle \Sigma$ :} $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).}$$

لو${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$هي مجموعات قابلة للقياس ومتزايدة (بمعنى أن${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq E_{3}\subseteq \ldots }$) ثم اتحاد المجموعات${\displaystyle E_{n}}$قابل للقياس و $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)~=~\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\sup _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

لو${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$هي مجموعات قابلة للقياس تتناقص (بمعنى أن${\displaystyle E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq E_{3}\supseteq \ldots }$ثم تقاطع المجموعات${\displaystyle E_{n}}$قابل للقياس؛ علاوة على ذلك، إذا كان واحد على الأقل من${\displaystyle E_{n}}$إذا كان له قياس محدود $${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\inf _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

تكون هذه الخاصية خاطئة ما لم يُفترض أن واحداً على الأقل من${\displaystyle E_{n}}$له قياس محدود. على سبيل المثال، لكل${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$يترك${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} ,}$والتي جميعها لها قياس ليبيغ لانهائي، لكن التقاطع فارغ.

• كل مقياس سيجما-محدود هو شبه محدود.
• يفترض${\displaystyle {\cal {A}}={\cal {P}}(X),}$يترك${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ],}$وافترض${\displaystyle \mu (A)=\sum _{a\in A}f(a)}$للجميع${\displaystyle A\subseteq X.}$
  • لدينا ذلك${\displaystyle \mu }$تكون المجموعة منتهية سيجما إذا وفقط إذا${\displaystyle f(x)<+\infty }$للجميع${\displaystyle x\in X}$و${\displaystyle f^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}$هو قابل للعد. لدينا ذلك${\displaystyle \mu }$تكون شبه منتهية إذا وفقط إذا${\displaystyle f(x)<+\infty }$للجميع${\displaystyle x\in X.}$^{[ 8 ]}
  • أخذ${\displaystyle f=X\times \{1\}}$أعلاه (بحيث${\displaystyle \mu }$هل يتم حساب المقياس على${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$نلاحظ أن مقياس العد على${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$يكون
    • تكون المجموعة منتهية سيجما إذا وفقط إذا${\displaystyle X}$هو اسم معدود؛ و
    • شبه منتهية (بغض النظر عما إذا${\displaystyle X}$(قابل للعد). (وبالتالي، قياس العد، على مجموعة القوى${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$من مجموعة غير قابلة للعد عشوائية${\displaystyle X,}$(يعطي مثالاً على مقياس شبه منتهٍ ليس منتهيًا سيجما.)
• يترك${\displaystyle d}$أن يكون مقياسًا كاملاً وقابلاً للفصل${\displaystyle X,}$يترك${\displaystyle {\cal {B}}}$ليكن جبر سيجما بوريل المستحث بواسطة${\displaystyle d,}$ودع${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$ثم مقياس هاوسدورف${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$هي شبه منتهية. ^{[ 9 ]}
• يترك${\displaystyle d}$أن يكون مقياسًا كاملاً وقابلاً للفصل${\displaystyle X,}$يترك${\displaystyle {\cal {B}}}$ليكن جبر سيجما بوريل المستحث بواسطة${\displaystyle d,}$ودع${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$ثم قياس التعبئة${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$هي شبه منتهية. ^{[ 10 ]}

المقياس الصفري محدود من حيث سيجما، وبالتالي فهو شبه محدود. إضافةً إلى ذلك، من الواضح أن المقياس الصفري أقل من أو يساوي${\displaystyle \mu .}$يمكن إثبات وجود مقياس أقصى لهذين الخاصيتين:

نقول الجزء شبه المحدد من${\displaystyle \mu }$بمعنى المقياس شبه المحدود${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$كما هو مُعرّف في النظرية أعلاه. نقدم بعض الصيغ الواضحة والبسيطة، والتي قد يعتبرها بعض المؤلفين تعريفًا، للجزء شبه المحدود:

• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$^{[ 11 ]}
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (A\cap B):B\in \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}\}.}$^{[ 12 ]}
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=\mu |_{\mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}=+\infty \}\times \{+\infty \}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}<+\infty \}\times \{0\}.}$^{[ 13 ]}

منذ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$إذا كانت شبه منتهية، فإنه يترتب على ذلك أنه إذا${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}}$ثم${\displaystyle \mu }$هي شبه منتهية. ومن الواضح أيضاً أنه إذا${\displaystyle \mu }$إذا كانت شبه منتهية${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}.}$

كل${\displaystyle 0-\infty }$المقياس الذي ليس مقياسًا صفريًا ليس شبه منتهٍ. (هنا نقول${\displaystyle 0-\infty }$المقياس يعني مقياسًا يقع نطاقه في${\displaystyle \{0,+\infty \}}$:${\displaystyle (\forall A\in {\cal {A}})(\mu (A)\in \{0,+\infty \}).}$فيما يلي أمثلة على${\displaystyle 0-\infty }$مقاييس ليست مقاييس صفرية.

• يترك${\displaystyle X}$ليكن غير فارغ، ليكن${\displaystyle {\cal {A}}}$كن${\displaystyle \sigma }$الجبر على${\displaystyle X,}$يترك${\displaystyle f:X\to \{0,+\infty \}}$لا تكون الدالة الصفرية، ولتكن${\displaystyle \mu =(\sum _{x\in A}f(x))_{A\in {\cal {A}}}.}$يمكن إثبات ذلك${\displaystyle \mu }$هو مقياس.
  • ${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0)\}\cup ({\cal {A}}\setminus \{\emptyset \})\times \{+\infty \}.}$^{[ 14 ]}
    • ${\displaystyle X=\{0\},}$${\displaystyle {\cal {A}}=\{\emptyset ,X\},}$${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0),(X,+\infty )\}.}$^{[ 15 ]}
• يترك${\displaystyle X}$كن غير معدود، دع${\displaystyle {\cal {A}}}$كن${\displaystyle \sigma }$الجبر على${\displaystyle X,}$يترك${\displaystyle {\cal {C}}=\{A\in {\cal {A}}:A{\text{ is countable}}\}}$لتكن العناصر القابلة للعد من${\displaystyle {\cal {A}},}$ودع${\displaystyle \mu ={\cal {C}}\times \{0\}\cup ({\cal {A}}\setminus {\cal {C}})\times \{+\infty \}.}$يمكن إثبات ذلك${\displaystyle \mu }$هو مقياس. ^{[ 7 ]}

تكون المقاييس غير شبه المنتهية غير منتظمة للغاية عند تقييدها بمجموعات معينة. ^{[ ملاحظة 1 ]} كل مقياس، بمعنى ما، شبه منتهٍ بمجرد أن${\displaystyle 0-\infty }$يتم إزالة جزء (الجزء الجامح).

نقول الـ${\displaystyle \mathbf {0-\infty } }$جزء من${\displaystyle \mu }$بمعنى المقياس${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$كما هو مُعرَّف في النظرية أعلاه. إليك صيغة صريحة لـ${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$:${\displaystyle \mu _{0-\infty }=(\sup\{\mu (B)-\mu _{\text{sf}}(B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu _{\text{sf}}^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$

• يترك${\displaystyle \mathbb {F} }$يكون${\displaystyle \mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ودع${\displaystyle T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.}$ثم${\displaystyle \mu }$تكون شبه منتهية إذا وفقط إذا${\displaystyle T}$هي دالة حقنية. ^{[ 18 ] [ 19 ]} (لهذه النتيجة أهمية في دراسة الفضاء الثنائي لـ${\displaystyle L^{1}=L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}$.)
• يترك${\displaystyle \mathbb {F} }$يكون${\displaystyle \mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ودع${\displaystyle {\cal {T}}}$لتكن طوبولوجيا التقارب في القياس على${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{0}(\mu ).}$ثم${\displaystyle \mu }$تكون شبه منتهية إذا وفقط إذا${\displaystyle {\cal {T}}}$هو هاوسدورف. ^{[ 20 ] [ 21 ]}
• (جونسون) دع${\displaystyle X}$لنفترض أن لدينا مجموعة،${\displaystyle {\cal {A}}}$كن جبر سيجما على${\displaystyle X,}$يترك${\displaystyle \mu }$كن مقياسًا لـ${\displaystyle {\cal {A}},}$يترك${\displaystyle Y}$لنفترض أن لدينا مجموعة،${\displaystyle {\cal {B}}}$كن جبر سيجما على${\displaystyle Y,}$ودع${\displaystyle \nu }$كن مقياسًا لـ${\displaystyle {\cal {B}}.}$لو${\displaystyle \mu ,\nu }$كلاهما ليسا${\displaystyle 0-\infty }$قم بالقياس، ثم كليهما${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \nu }$تكون شبه منتهية إذا وفقط إذا${\displaystyle (\mu \times _{\text{cld}}\nu )}$${\displaystyle (A\times B)=\mu (A)\nu (B)}$للجميع${\displaystyle A\in {\cal {A}}}$و${\displaystyle B\in {\cal {B}}.}$(هنا،${\displaystyle \mu \times _{\text{cld}}\nu }$هو المقياس المحدد في النظرية 39.1 في كتاب بربريان عام 1965. ^{[ 22 ]}