المنشور المضاد الكبير

المنشور المضاد الكبير
( مخطط شليغل الهيكلي)
يكتب	متعدد الوجوه رباعي منتظم
مؤشر موحد	47
الخلايا	100+200 ( 3.3.3 ) 20 ( 3.3.3.5 )
وجوه	20 {5} 700 {3}
الحواف	500
الرؤوس	100
شكل الرأس	سفينوكورونا
مجموعة التناظر	${\displaystyle \pm [D_{10}\times D_{10}]\cdot 2}$، من الرتبة 400 [ 1 ] [ 2 ]
ملكيات	محدب
شبكة توضح حلقتين منفصلتين من 10 موشورات مضادة. 200 رباعي الأوجه (باللون الأصفر) على اتصال وجهي مع الموشورات المضادة، و100 رباعي الأوجه (باللون الأحمر) تتصل فقط برباعيات أوجه أخرى .

في الهندسة ، يُعرف المنشور المضاد الكبير أو المنشور المضاد الخماسي المزدوج بأنه متعدد سطوح منتظم رباعي الأبعاد ( متعدد سطوح منتظم رباعي الأبعاد ) مُحاط بـ 320 خلية : 20 منشورًا مضادًا خماسيًا ، و300 رباعي سطوح . وهو متعدد سطوح منتظم رباعي الأبعاد شاذ وغير ويثوفي ، اكتشفه جون إتش . كونواي ومايكل جاي عام 1965. ^{[ 3 ] [ 4 ]} من الناحية الطوبولوجية، في ظل أعلى تناظر له، يتمتع المنشور المضاد الخماسي _{بتناظر D20} ( زاوية ثنائية من الرتبة 20)؛ وهناك نوعان من رباعيات السطوح المنتظمة، أحدهما بتناظر C4 والآخر بتناظر C2 _، وذلك بسبب موقعهما في متعدد السطوح الرباعي الأبعاد _.

• منشور مزدوج مضاد للمنشور الخماسي نورمان دبليو جونسون
• فجوة (جوناثان باورز: للمنشور المضاد الكبير) ^{[ 5 ]}

توجد 20 موشورًا خماسيًا متراصًا في حلقتين منفصلتين، كل حلقة تحتوي على 10 موشورات. وترتبط الموشورات في كل حلقة ببعضها البعض عبر أوجهها الخماسية. الحلقتان متعامدتان، في بنية تشبه الموشور المزدوج .

تربط 300 رباعية الأوجه الحلقتين ببعضهما، وهي مرتبة في ترتيب ثنائي الأبعاد مكافئ طوبولوجيًا للحلقة الثنائية ونتوء الأسطوانة المزدوجة . يمكن تقسيم هذه الرباعيات إلى ثلاث مجموعات: 100 وجه متطابق مع إحدى الحلقتين، و100 وجه متطابق مع الحلقة الأخرى، و100 وجه متمركزة في منتصف الأسطوانة المزدوجة تمامًا ومتطابقة الحواف مع كلتا الحلقتين. تشكل هذه المجموعة الأخيرة حلقة مسطحة ، ويمكن فردها إلى مصفوفة مربعة مسطحة 10×10 من رباعيات الأوجه التي تلتقي فقط عند حوافها ورؤوسها. انظر الشكل أدناه.

بالإضافة إلى ذلك، يمكن تقسيم الأوجه الرباعية الـ 300 إلى 10 حلزونات بورديك-كوكسيتر منفصلة ، ​​كل منها يتكون من 30 خلية، وتغلق على بعضها البعض. يشكل أنبوبا الموشور الخماسي المضاد، بالإضافة إلى حلزونات بورديك-كوكسيتر العشرة، تليف هوبف منفصل غير منتظم للموشور الكبير المضاد، والذي يُسقطه هوبف على أوجه الموشور الخماسي المضاد. يُسقط الأنبوبان على الوجهين الخماسيين، بينما تُسقط حلزونات بورديك-كوكسيتر العشرة على الأوجه المثلثية العشرة.

يتشابه هيكل المنشور المضاد الكبير مع هيكل المنشورات المضادة ثلاثية الأبعاد . ومع ذلك، يُعد المنشور المضاد الكبير النظير المحدب المنتظم الوحيد للمنشور المضاد في أربعة  أبعاد (مع أن البنية السداسية عشرة يمكن اعتبارها نظيرًا منتظمًا للمنشور المضاد ثنائي الأضلاع ). أما النظير الوحيد غير المحدب المنتظم للمنشور المضاد في أربعة أبعاد، فيستخدم منشورات مضادة متقاطعة خماسية الأضلاع بدلًا من المنشورات المضادة خماسية الأضلاع، ويُسمى المنشور المضاد المزدوج خماسي الأضلاع .

الشكل الرأسي للمنشور المضاد الكبير هو شكل إسفيني كورونا أو مجسم عشريني منتظم مُجزأ : وهو مجسم عشريني منتظم أُزيل منه رأسان متجاوران.  استُبدلت ثمانية مثلثات بزوج من أشباه المنحرفات، أطوال أضلاعها φ، 1، 1، 1 (حيث φ هي النسبة الذهبية )، متصلة ببعضها على طول ضلعها الذي طوله φ، لتُعطي مجسمًا رباعي عشري الوجوه وجوهه هي شبها المنحرفين والمثلثات الاثني عشر المتبقية متساوية الأضلاع .

12 ( 3.3.3 )

2 ( 3.3.3.5 )

مجسم عشروني الوجوه منتظم مُشَرَّح

يمكن بناء الموشور المضاد الكبير بتقليص حجم الخلية المكونة من 600 خلية : وذلك بطرح 20 هرمًا قاعدتها موشورات مضادة خماسية ثلاثية الأبعاد. في المقابل، يمكن تثليث حلقتي الموشورات المضادة الخماسية في الموشور المضاد الكبير بعشرة رباعيات أوجه متصلة بالوجوه المثلثية لكل موشور مضاد، ودائرة من خمسة رباعيات أوجه بين كل زوج من الموشورات المضادة، تصل بين رباعيات الأوجه العشرة لكل موشور، مما ينتج عنه 150 رباعي أوجه لكل حلقة. هذه الرباعيات مجتمعة مع 300 رباعي أوجه التي تربط الحلقتين معًا تُعطي 600 رباعي أوجه للخلية المكونة من 600 خلية.

يمكن تحقيق هذا التضاؤل ​​بإزالة حلقتين من عشرة رؤوس من المجسم ذي الـ 600 خلية، بحيث تقع كل حلقة في مستويين متعامدين. تُنشئ كل حلقة من الرؤوس المُزالة مجموعة من الموشورات الخماسية المضادة على الغلاف المحدب . هذه العلاقة مماثلة لكيفية إنشاء موشور خماسي مضاد من مجسم عشريني الوجوه بإزالة رأسين متقابلين، وبالتالي إزالة 5 مثلثات من "قطبي" المجسم العشريني الوجوه المتقابلين، تاركةً 10 مثلثات استوائية وخماسيين في الأعلى والأسفل.

( يمكن أيضًا إنشاء الخلية المقطوعة ذات الـ 24 خلية عن طريق تقليص آخر للخلية ذات الـ 600 خلية، وإزالة 24 هرمًا عشريني الوجوه. وبالمثل، يمكن تحقيق ذلك عن طريق أخذ الغلاف المحدب للرؤوس المتبقية بعد إزالة 24 رأسًا، والتي تتوافق مع رؤوس خلية محصورة ذات 24 خلية ، من الخلية ذات الـ 600 خلية.)

بدلاً من ذلك، يمكن أيضاً بناؤه من ثنائي رباعي الأضلاع ذي العشرة أضلاع (الغلاف المحدب لموشورين ثنائيين غير منتظمين متعامدين بنسبة 10-10 حيث تكون نسبة المضلعين العشريين هي النسبة الذهبية ) عبر عملية تناوب . تتناوب الموشورات العشرية إلى موشورات مضادة خماسية ، وتتناوب الموشورات شبه المنحرفة المستطيلة إلى رباعيات أوجه مع إنشاء رباعيي أوجه منتظمين جديدين (يمثلان هرمًا ثنائيًا مثلثيًا غير كوراليمي ) عند الرؤوس المحذوفة. هذا هو الحل المنتظم الوحيد للموشورات المضادة المزدوجة p-gonal إلى جانب مرافقه، وهو الموشور المضاد المزدوج الخماسي النجمي من ثنائي رباعي الأضلاع ذي العشرة أضلاع.

الإسقاطات المتعامدة

600 خلية	المنشور المضاد الكبير
مستوى كوكسيتر H 4
20 ضلعًا
مستوى كوكسيتر H 3 (إزاحة طفيفة)

هذان إسقاطان منظورين، حيث يقوم أحدهما بإسقاط متعدد الأوجه في كرة فائقة ، والآخر بتطبيق إسقاط مجسم في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

هيكل سلكي، يُرى من أسفل أحد أعمدة المنشور المضاد الخماسي.	بأوجه مثلثة شفافة
إسقاط متعامد متمركز على مستوى فائق لمنشور مضاد في إحدى الحلقتين.	إسقاط ثلاثي الأبعاد متعامد لـ 100 من 120 رأسًا مكونة من 600 خلية و 500 حافة {488 من 1/2 (3-Sqrt[5]) و 12 من 2/(3+Sqrt[5])}.

• 600 خلية
• سنوب 24 خلية
• متعدد الوجوه رباعي منتظم
• المنشور المزدوج
• أسطوانة مزدوجة

• كتاب "المناظير: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيك فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، رقم ISBN 978-0-471-01003-6
  • (الورقة 23) إتش إس إم كوكسيتر ، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة II ، [مجلة الرياضيات 188 (1985) 559-591] 2.8 المنشور المضاد الكبير
• متعدد الألوان منتظم محدب شاذ - النموذج 47 ، جورج أولشيفسكي.
• كليتزينغ، ريتشارد. "فجوة متعددات الوجوه المنتظمة رباعية الأبعاد (متعددات الوجوه)" .
• جون إتش. كونواي ، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس، تناظرات الأشياء 2008، رقم ISBN 978-1-56881-220-5(الفصل 26) المنشور المضاد الكبير
• المنشور المضاد الكبير والرباعياتمحمد كوكا، مظهر العجمي، نظيف أوزديس كوكا (2009)؛ محمد كوكا وآخرون. 2009 ج. فيز. ج: الرياضيات. النظرية. 42 495201
• ديشان، بيير-فيليب (2021). "متجهات كليفورد الدورانية واستقراء نظام الجذور: H4 والمنشور المضاد الكبير" . التقدم في جبر كليفورد التطبيقي . 31 (3). سبرينغر للعلوم والأعمال. arXiv : 2103.07817 . doi : 10.1007/s00006-021-01139-2 .
• جون إتش. كونواي ، ديريك أ. سميث، حول الرباعيات والأوكتونيات ، إيه كيه بيترز المحدودة، 2003، رقم ISBN 1-56881-134-9(الفصل 4) الكواترنيونات والمجموعات رباعية الأبعاد
• باري مونسون، "مجموعة التناظر للمنشور المضاد الكبير"، التناظر (2024)، 16(8)، 1071؛ https://doi.org/10.3390/sym16081071

• في جوف المنشور المضاد الكبير، مؤرشف بتاريخ 2006-02-07 في آلة Wayback (القسم الأوسط، الذي يصف التشابه مع المجسم العشري الوجوه والمنشور المضاد الخماسي).