1 42 متعدد الأوجه

• استبعد إي إل إلتي (1912) هذا المجسم متعدد الأوجه من قائمته للمجسمات شبه المنتظمة، لأنه يحتوي على أكثر من نوعين من الأوجه السداسية، ولكن وفقًا لنظام التسمية الخاص به، سيُطلق عليه اسم V ₁₇₂₈₀ نسبةً إلى رؤوسه البالغ عددها 17280 رأسًا. ^{[ 1 ]}
• أطلق كوكسيتر عليه اسم 1 ₄₂ بسبب مخطط كوكسيتر-دينكين المتشعب ، مع حلقة واحدة في نهاية الفرع ذي العقدة الواحدة.
• Diacositetraconta-dischiliahectohexaconta-zetton (اختصار: bif) – 240-2160 متعدد الأوجه (جوناثان باورز) ^{[ 2 ]}

يمكن تعريف الرؤوس الـ 17280 على أنها تباديل الإشارة والموقع لـ:

جميع تركيبات الإشارات (32): (280 × 32 = 8960 رأسًا)

(4, 2, 2, 2, 2, 0, 0, 0)

نصف تركيبات الإشارات (128): ((1 + 8 + 56) × 128 = 8320 رأسًا)

(2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2)

(5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

(3, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 1)

يبلغ طول الحافة 2 √ 2 في مجموعة الإحداثيات هذه، ونصف قطر متعدد السطوح هو 4 √ 2 .

يتم إنشاؤها بواسطة بناء Wythoff على مجموعة من 8 مرايا فائقة المستوى في فضاء ثماني الأبعاد.

يمكن استخراج معلومات الجوانب من مخطط كوكسيتر-دينكين الخاص بها : .

إزالة العقدة الموجودة في نهاية الفرع ذي الطول 2 يترك المكعب النصفي 7 ، 1 ₄₁ ، .

يؤدي حذف العقدة الموجودة في نهاية الفرع ذي الطول 4 إلى ترك 1 ₃₂ ، .

يتم تحديد شكل الرؤوس بإزالة العقدة المحاطة بحلقة وإعادة ربط العقدة المجاورة. وهذا يجعل الشكل الثنائي المصحح 7-simplex ، 0 ₄₂ ، .

يمكن استنتاج عدد العناصر في مصفوفة التكوين عن طريق إزالة المرآة ونسب رتب مجموعة كوكسيتر . ^{[ 3 ]}

	مصفوفة التكوين
E 8		الوجه k	ف ك	f 0	f 1	f 2	f 3		f 4			f 5			و 6			و 7		شكل k	ملحوظات
7​		( )	f 0	17280	56	420	280	560	70	280	420	56	168	168	28	56	28	8	8	2r{3 6 }	ه 8 /أ 7 = 192·10!/8! = 17280
أ 4 أ 2 أ 1		{ }	f 1	2	483840	15	15	30	5	30	30	10	30	15	10	15	3	5	3	{3}x{3,3,3}	ه 8 /أ 4 أ 2 أ 1 = 192·10!/5!/2/2 = 483840
أ 3 أ 2 أ 1		{3}	f 2	3	3	2419200	2	4	1	8	6	4	12	4	6	8	1	4	2	{3.3}v{ }	ه 8 /أ 3 أ 2 أ 1 = 192·10!/4!/3!/2 = 2419200
أ 3 أ 3		1 10	f 3	4	6	4	1209600	*	1	4	0	4	6	0	6	4	0	4	1	{3,3}v() )	ه 8 /أ 3 أ 3 = 192·10!/4!/4! = 1209600
أ 3 أ 2 أ 1				4	6	4	*	2419200	0	2	3	1	6	3	3	6	1	3	2	{3}v{ }	ه 8 /أ 3 أ 2 أ 1 = 192·10!/4!/3!/2 = 2419200
أ 4 أ 3		1 20	f 4	5	10	10	5	0	241920	*	*	4	0	0	6	0	0	4	0	{3,3}	ه 8 /أ 4 أ 3 = 192·10!/4!/4! = 241920
D 4 A 2		1 11		8	24	32	8	8	*	604800	*	1	3	0	3	3	0	3	1	{3}v() )	E 8 /D 4 A 2 = 192·10!/8/4!/3! = 604800
أ 4 أ 1 أ 1		1 20		5	10	10	0	5	*	*	1451520	0	2	2	1	4	1	2	2	{ }v{ }	ه 8 /أ 4 أ 1 أ 1 = 192·10!/5!/2/2 = 1451520
D 5 A 2		1 21	f 5	16	80	160	80	40	16	10	0	60480	*	*	3	0	0	3	0	{3}	E 8 /D 5 A 2 = 192·10!/16/5!/3! = 40480
D 5 A 1				16	80	160	40	80	0	10	16	*	181440	*	1	2	0	2	1	{ }v() )	E 8 /D 5 A 1 = 192·10!/16/5!/2 = 181440
أ ٥ أ ١		1 30		6	15	20	0	15	0	0	6	*	*	483840	0	2	1	1	2		ه 8 /أ 5 أ 1 = 192·10!/6!/2 = 483840
E 6 A 1		1 22	و 6	72	720	2160	1080	1080	216	270	216	27	27	0	6720	*	*	2	0	{ }	ه 8 / ه 6 أ 1 = 192·10!/72/6!/2 = 6720
د 6		1 31		32	240	640	160	480	0	60	192	0	12	32	*	30240	*	1	1		E 8 /D 6 = 192·10!/32/6! = 30240
أ 6 أ 1		1 40		7	21	35	0	35	0	0	21	0	0	7	*	*	69120	0	2		ه 8 /أ 6 أ 1 = 192·10!/7!/2 = 69120
E 7		1 32	و 7	576	10080	40320	20160	30240	4032	7560	12096	756	1512	2016	56	126	0	240	*	( )	ه 8 / ه 7 = 192·10!/72/8! = 240
د 7		1 41		64	672	2240	560	2240	0	280	1344	0	84	448	0	14	64	*	2160		E 8 /D 7 = 192·10!/64/7! = 2160

E8 [30]	E7 [18]	E6 [12]
(1)	(1،3،6)	(8,16,24,32,48,64,96)
[20]	[24]	[6]
		(1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,14,16,18,19,20)

تظهر الإسقاطات المتعامدة للتناظرات الفرعية لـ E ₈ : E ₇ ، E ₆ ، B ₈ ، B ₇ ، B ₆ ، B ₅ ، B ₄ ، B ₃ ، B ₂ ، A ₇ ، و A ₅ مستويات كوكسيتر ، بالإضافة إلى مستويين تناظر إضافيين من الرتبة 20 و 24. تظهر الرؤوس على شكل دوائر، ملونة حسب عدد تداخلها في كل مستوى إسقاطي بترتيب تصاعدي: أحمر، برتقالي، أصفر، أخضر، سماوي، أزرق، بنفسجي، أرجواني، أحمر بنفسجي.

D3 / B2 / A3 [4]	D4 / B3 / A2 [6]	D5 / B4 [8]
(32,160,192,240,480,512,832,960)	(72,216,432,720,864,1080)	(8,16,24,32,48,64,96)
D6 / B5 / A4 [10]	D7 / B6 [12]	D8 / B7 / A6 [14]
B8 [16/2]	A5 [6]	A7 [8]

• 0 ₄₂₁ متعدد الأوجه
• متعدد الأوجه ثنائي التوجيه 2 ₄₁
• متعدد السطوح رباعي التصحيح 4 ₂₁
• Rectified diacositetraconta-dischiliahectohexaconta-zetton as a rectified 240-2160 facetted polyzetton (الاختصار: buffy) (جوناثان باورز) ^{[ 4 ]}

يتم إنشاؤها بواسطة بناء Wythoff على مجموعة من 8 مرايا فائقة المستوى في فضاء ثماني الأبعاد.

يمكن استخراج معلومات الجوانب من مخطط كوكسيتر-دينكين الخاص بها : .

يؤدي حذف العقدة الموجودة في نهاية الفرع ذي الطول 1 إلى الحصول على 7-simplex ثنائي التصحيح ،

يؤدي حذف العقدة الموجودة في نهاية الفرع ذي الطول 2 إلى ترك المكعب 7 المصحح ثنائياً .

يؤدي حذف العقدة الموجودة في نهاية الفرع ذي الطول 3 إلى ترك 1 ₃₂ المعدلة .

يتم تحديد شكل الرؤوس بإزالة العقدة المحاطة بحلقة وإعادة تشكيل حلقة حول العقدة المجاورة. وهذا يجعل الموشور الثنائي ذو الخلايا الخمس على شكل مثلث موشورًا .

يمكن استنتاج عدد العناصر في مصفوفة التكوين عن طريق إزالة المرآة ونسب رتب مجموعة كوكسيتر . ^{[ 3 ]}

	مصفوفة التكوين
E 8		الوجه k	ف ك	f 0	f 1	f 2			f 3					f 4						f 5						و 6					و 7			شكل k
أ 4 أ 2 أ 1		( )	f 0	483840	30	30	15	60	10	15	60	30	60	5	20	30	60	30	30	10	20	30	30	15	6	10	10	15	6	3	5	2	3	{3,3,3}x{3,3}x{}
أ 3 أ 1 أ 1		{ }	f 1	2	7257600	2	1	4	1	2	8	4	6	1	4	8	12	6	4	4	6	12	8	4	1	6	4	8	2	1	4	1	2
أ 3 أ 2		{3}	f 2	3	3	4838400	*	*	1	1	4	0	0	1	4	4	6	0	0	4	6	6	4	0	0	6	4	4	1	0	4	1	1
أ 3 أ 2 أ 1				3	3	*	2419200	*	0	2	0	4	0	1	0	8	0	6	0	4	0	12	0	4	0	6	0	8	0	1	4	0	2
أ ٢ أ ٢ أ ١				3	3	*	*	9676800	0	0	2	1	3	0	1	2	6	3	3	1	3	6	6	3	1	3	3	6	2	1	3	1	2
أ 3 أ 3		0 200	f 3	4	6	4	0	0	1209600	*	*	*	*	1	4	0	0	0	0	4	6	0	0	0	0	6	4	0	0	0	4	1	0
		0 110		6	12	4	4	0	*	1209600	*	*	*	1	0	4	0	0	0	4	0	6	0	0	0	6	0	4	0	0	4	0	1
أ 3 أ 2				6	12	4	0	4	*	*	4838400	*	*	0	1	1	3	0	0	1	3	3	3	0	0	3	3	3	1	0	3	1	1
أ 3 أ 2 أ 1				6	12	0	4	4	*	*	*	2419200	*	0	0	2	0	3	0	1	0	6	0	3	0	3	0	6	0	1	3	0	2
أ 3 أ 1 أ 1		0 200		4	6	0	0	4	*	*	*	*	7257600	0	0	0	2	1	2	0	1	2	4	2	1	1	2	4	2	1	2	1	2
أ 4 أ 3		0 210	f 4	10	30	20	10	0	5	5	0	0	0	241920	*	*	*	*	*	4	0	0	0	0	0	6	0	0	0	0	4	0	0
أ 4 أ 2				10	30	20	0	10	5	0	5	0	0	*	967680	*	*	*	*	1	3	0	0	0	0	3	3	0	0	0	3	1	0
D 4 A 2		0 111		24	96	32	32	32	0	8	8	8	0	*	*	604800	*	*	*	1	0	3	0	0	0	3	0	3	0	0	3	0	1
أ 4 أ 1		0 210		10	30	10	0	20	0	0	5	0	5	*	*	*	2903040	*	*	0	1	1	2	0	0	1	2	2	1	0	2	1	1
أ 4 أ 1 أ 1				10	30	0	10	20	0	0	0	5	5	*	*	*	*	1451520	*	0	0	2	0	2	0	1	0	4	0	1	2	0	2
أ 4 أ 1		0 300		5	10	0	0	10	0	0	0	0	5	*	*	*	*	*	2903040	0	0	0	2	1	1	0	1	2	2	1	1	1	2
D 5 A 2		0 211	f 5	80	480	320	160	160	80	80	80	40	0	16	16	10	0	0	0	60480	*	*	*	*	*	3	0	0	0	0	3	0	0	{3}
أ ٥ أ ١		0 220		20	90	60	0	60	15	0	30	0	15	0	6	0	6	0	0	*	483840	*	*	*	*	1	2	0	0	0	2	1	0	{ }v()
D 5 A 1		0 211		80	480	160	160	320	0	40	80	80	80	0	0	10	16	16	0	*	*	181440	*	*	*	1	0	2	0	0	2	0	1
5​		0 310		15	60	20	0	60	0	0	15	0	30	0	0	0	6	0	6	*	*	*	967680	*	*	0	1	1	1	0	1	1	1	( )v( )v()
أ ٥ أ ١				15	60	0	20	60	0	0	0	15	30	0	0	0	0	6	6	*	*	*	*	483840	*	0	0	2	0	1	1	0	2	{ }v()
		0 400		6	15	0	0	20	0	0	0	0	15	0	0	0	0	0	6	*	*	*	*	*	483840	0	0	0	2	1	0	1	2
E 6 A 1		0 221	و 6	720	6480	4320	2160	4320	1080	1080	2160	1080	1080	216	432	270	432	216	0	27	72	27	0	0	0	6720	*	*	*	*	2	0	0	{ }
أ 6		0 320		35	210	140	0	210	35	0	105	0	105	0	21	0	42	0	21	0	7	0	7	0	0	*	138240	*	*	*	1	1	0
د 6		0 311		240	1920	640	640	1920	0	160	480	480	960	0	0	60	192	192	192	0	0	12	32	32	0	*	*	30240	*	*	1	0	1
أ 6		0 410		21	105	35	0	140	0	0	35	0	105	0	0	0	21	0	42	0	0	0	7	0	7	*	*	*	138240	*	0	1	1
أ 6 أ 1				21	105	0	35	140	0	0	0	35	105	0	0	0	0	21	42	0	0	0	0	7	7	*	*	*	*	69120	0	0	2
E 7		0 321	و 7	10080	120960	80640	40320	120960	20160	20160	60480	30240	60480	4032	12096	7560	24192	12096	12096	756	4032	1512	4032	2016	0	56	576	126	0	0	240	*	*	( )
7​		0 420		56	420	280	0	560	70	0	280	0	420	0	56	0	168	0	168	0	28	0	56	0	28	0	8	0	8	0	*	17280	*
د 7		0 411		672	6720	2240	2240	8960	0	560	2240	2240	6720	0	0	280	1344	1344	2688	0	0	84	448	448	448	0	0	14	64	64	*	*	2160

تُعرض الإسقاطات المتعامدة للتناظرات الفرعية لمستويات كوكسيتر _B6 ، وB5 _، وB4 _، وB3 _، وB2 _، و _A7 ، وA5 _. وتُعرض الرؤوس على شكل دوائر، مُلونة حسب عدد مرات تداخلها في كل مستوى إسقاطي بترتيب تصاعدي: أحمر، برتقالي، أصفر، أخضر، سماوي، أزرق، بنفسجي، أرجواني، أحمر بنفسجي.

(لم يتم عرض المستويات E ₈ : E ₇ ، E ₆ ، B ₈ ، B ₇ ، [24] لأنها كبيرة جدًا بحيث لا يمكن عرضها، ولكن يمكن رؤية الإسقاطات في مستويات كوكسيتر E ₇ و E _{6 في} متعدد السطوح E8 §  الرسوم البيانية و E ₆ في الجدول الرئيسي أعلاه.)

D3 / B2 / A3 [4]	D4 / B3 / A2 [6]	D5 / B4 [8]
D6 / B5 / A4 [10]	D7 / B6 [12]	[6]
A5 [6]	A7 [8]	[20]