متعدد الوجوه رباعي منتظم

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 315 صور
الموسوعة الحرة
مخطط شليغل للخلية المبتورة المكونة من 120 خلية مع ظهور الخلايا رباعية الأوجه
إسقاط متعامد للخلية المبتورة المكونة من 120 خلية، في مستوى كوكسيتر H3 ( تناظر D10 ). تم رسم الرؤوس والحواف فقط.

في الهندسة ، متعدد السطوح المنتظم 4 (أو متعدد السطوح المنتظم ) [ 1 ] هو متعدد السطوح رباعي الأبعاد متعدٍ على الرؤوس وخلاياه عبارة عن متعددات سطوح منتظمة ، ووجوهه عبارة عن مضلعات منتظمة .

يوجد 47 شكلاً متعدد الوجوه رباعي الأبعاد محدباً منتظماً غير موشوري . يوجد مجموعتان لانهائيتان من الأشكال الموشورية المحدبة، بالإضافة إلى 17 حالة تنشأ كموشورات للأشكال متعددة الوجوه المحدبة المنتظمة. كما يوجد عدد غير معروف من الأشكال النجمية غير المحدبة.

تاريخ الاكتشاف

  • المضلعات المنتظمة المحدبة :
    • 1852 : أثبت لودفيج شلايفلي في مخطوطته Theorie der vielfachen Kontinuität أن هناك بالضبط 6 بوليتوبات منتظمة في 4 أبعاد و3 فقط في 5 أبعاد أو أكثر.
  • متعددات الوجوه النجمية المنتظمة ذات 4 أوجه ( خلايا متعددة السطوح النجمية و/أو أشكال الرؤوس )
  • المضلعات شبه المنتظمة المحدبة : (تعريفات مختلفة قبل فئة كوكسيتر المنتظمة )
  • متعددات الوجوه المنتظمة المحدبة :
    • 1940 : تم توسيع البحث بشكل منهجي بواسطة إتش إس إم كوكسيتر في منشوره " المضلعات المنتظمة وشبه المنتظمة" .
    • متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة ذات البعد 4 :
      • 1965 : تم أخيرًا حصر القائمة الكاملة للأشكال المحدبة بواسطة جون هورتون كونواي ومايكل جاي ، في منشورهم " متعددات الوجوه الأرخميدية رباعية الأبعاد" ، والتي تم إنشاؤها بواسطة التحليل الحاسوبي، مع إضافة متعدد وجوه محدب رباعي الأبعاد غير ويثوفي واحد فقط، وهو المنشور المضاد الكبير.
      • في عام 1966 أكمل نورمان جونسون أطروحته للدكتوراه بعنوان " نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل" تحت إشراف كوكسيتر، وأكمل النظرية الأساسية لمتعددات الوجوه المنتظمة للأبعاد 4 وما فوق.
      • في عام 1986 نشر كوكسيتر ورقة بحثية بعنوان Regular and Semi-Regular Polytopes II والتي تضمنت تحليلًا لبنية snub الفريدة المكونة من 24 خلية ، وتناظر المنشور المضاد الكبير الشاذ.
      • ١٩٩٨ [ ٨ ] - ٢٠٠٠ : قام نورمان جونسون بتسمية الأشكال الرباعية بشكل منهجي، وقدمها جورج أولشيفسكي في فهرسه الإلكتروني (المستخدم كأساس لهذه القائمة). أطلق جونسون على الأشكال الرباعية اسم "بوليشورا"، مثل "بوليهيدرا" للأشكال الثلاثية، من الكلمتين اليونانيتين " بولي" (كثير) و " خوروس " (غرفة) أو "فضاء". [ ٩ ] بدأت أسماء البوليشورا المنتظمة بالبوليشورا الستة المنتظمة ذات البادئات المستندة إلى الحلقات في مخططات كوكسيتر؛ وهي: القطع t ٠,١ ، والترقيم t ٠,٢ ، والقطع t ٠,٣ ، مع أشكال ذات حلقة واحدة تسمى "مُقوَّمة"، وتُضاف البادئات "ثنائية" و"ثلاثية" عندما تكون الحلقة الأولى على العقدة الثانية أو الثالثة. [ ١٠ ] [ ١١ ]
      • 2004 : نشر ماركو مولر في أطروحته، " متعددة الأضلاع الأرشيميدية رباعية الأبعاد "، برهاناً على اكتمال مجموعة كونواي-جاي . وقد أعاد مولر إنتاج نظام تسمية جونسون في قائمته. [ 12 ]
      • في عام ٢٠٠٨ ، نشر جون إتش. كونواي كتاب "تناظرات الأشياء " [ ١٣ ] ، والذي يتضمن أول قائمة مطبوعة منشورة للمضلعات المحدبة المنتظمة رباعية الأبعاد والمضلعات متعددة الأبعاد ذات الأبعاد الأعلى، مصنفة حسب عائلة زمرة كوكسيتر، مع مخططات عامة لأشكال الرؤوس لكل تبديل من تبديلات مخطط كوكسيتر الحلقي - التقطيع، والمنشور المضاد الكبير، والمنشورات المزدوجة - التي أطلق عليها اسم "منشورات الضرب". استخدم كونواي نظام التسمية الخاص به ijk -ambo لتبديلات الحلقة المفهرسة التي تتجاوز التقطيع والتقطيع الثنائي، وقد أُدرجت جميع أسماء جونسون في فهرس الكتاب.
  • متعددات الوجوه النجمية المنتظمة غير المنتظمة ذات 4 أوجه : (مشابهة لمتعددات الوجوه المنتظمة غير المحدبة )
    • 1966 : وصف جونسون ثلاثة موشورات مضادة منتظمة غير محدبة في الفضاء الرباعي في أطروحته. [ 14 ]
    • 1990-2006 : في بحثٍ تعاوني، وحتى عام 2005، حدّد جوناثان باورز وجورج أولشيفسكي ما مجموعه 1845 متعدد الوجوه رباعي الأبعاد منتظم (محدب وغير محدب)، [ 15 ] مع اكتشاف أربعة أخرى في عام 2006 ليصبح المجموع 1849. يشمل هذا العدد 74 موشورًا من أصل 75 متعدد وجوه منتظم غير موشوري (لأنها مجموعة منتهية - يُستثنى الموشور المكعب لأنه يُكرر المكعب الفائق)، ولكنه لا يشمل الفئات اللانهائية من الموشورات المزدوجة أو موشورات الموشورات المضادة. [ 16 ]
    • 2020-2023 : تم اكتشاف 342 نوعًا جديدًا من متعددات الألوان، ليصل إجمالي عدد متعددات الوجوه الرباعية الموحدة المعروفة إلى 2191. ولم يتم إثبات اكتمال القائمة. [ 16 ] [ 17 ]

متعددات الوجوه المنتظمة ذات 4 أوجه

تُعدّ المضلعات الرباعية المنتظمة مجموعة فرعية من المضلعات الرباعية المنتظمة، والتي تستوفي متطلبات إضافية. يمكن التعبير عن المضلعات الرباعية المنتظمة برمز شلافلي { p , q , r }، حيث تحتوي على خلايا من النوع { p , q }، ووجوه من النوع { p }، وأشكال حواف { r }، وأشكال رؤوس { q , r }.

إن وجود متعدد الوجوه المنتظم 4- { p , q , r } مقيد بوجود متعددات الوجوه المنتظمة { p , q } التي تصبح خلايا، و { q , r } التي تصبح شكل الرأس .

يعتمد الوجود كشكل متعدد الوجوه رباعي الأبعاد محدود على متباينة: [ 18 ]

الخطيئة⁡(πص)الخطيئة⁡(πر)>كوس⁡(πq).{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)>\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right).}

المضلعات المنتظمة ذات البعد 4، وعددها 16 مضلعًا ، والتي تتميز بخاصية أن جميع الخلايا والوجوه والحواف والرؤوس متطابقة:

متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة ذات 4 أبعاد

تناظر متعددات الوجوه الرباعية المنتظمة في أربعة أبعاد

المجموعات الفرعية المتعامدة
يمكن تقسيم المرايا الـ 24 لـ F 4 إلى مجموعتين متعامدتين D 4 :
  1. = (12 مرآة)
  2. = (12 مرآة)
يمكن تحليل المرايا العشرة للمجموعة B 3 × A 1 إلى مجموعات متعامدة، 4 A 1 و D 3 :
  1. = (3+1 مرايا)
  2. = (6 مرايا)

توجد خمس عائلات أساسية من مجموعات النقاط المتناظرة المرآوية في أربعة أبعاد: A₄ = ، B₄ = ، D₄ = ، F₄ = ، H₄ = . [ 10 ] كما توجد ثلاث مجموعات موشورية : A₃A₁ = ، B₃A₁ = ، H₃A₁ = ، ومجموعات موشورية مزدوجة : I₂ ( p ) × I₂ ( q ) = . تُعرَّف كل مجموعة بمجال أساسي رباعي الأوجه من نوع غورسات ، محاط بمستويات انعكاس .

يمكن إنشاء كل متعدد سطوح رباعي منتظم عاكس في مجموعة نقطية عاكسة واحدة أو أكثر في أربعة أبعاد باستخدام بناء ويثوف ، ممثلاً بحلقات حول تباديل العقد في مخطط كوكسيتر . يمكن تجميع المستويات الفائقة المرآوية ، كما هو موضح بالعقد الملونة، مفصولة بفروع زوجية. تتمتع مجموعات التناظر من الشكل [a,b,a] بتناظر ممتد، [[a,b,a]] ، يضاعف رتبة التناظر. يشمل ذلك [3,3,3] و[3,4,3] و[ p ,2, p ]. تحتوي متعددات السطوح المنتظمة في هذه المجموعة ذات الحلقات المتناظرة على هذا التناظر الممتد.

إذا كانت جميع المرايا ذات لون معين غير محاطة بحلقات (غير نشطة) في متعدد السطوح منتظم معين، فسيكون له بنية ذات تناظر أقل بإزالة جميع المرايا غير النشطة. أما إذا كانت جميع العقد ذات لون معين محاطة بحلقات (نشطة)، فيمكن لعملية التناوب أن تولد متعدد سطوح رباعي جديد ذو تناظر حلزوني، يظهر على شكل عقد دائرية "فارغة"، ولكن لا يمكن تعديل الهندسة بشكل عام لإنشاء حلول منتظمة .

مجموعة ويلرباعي كونوايبنية مجردةطلبمخطط كوكسيترتدوين كوكسيترمجموعة فرعية للمبدلرقم كوكسيتر (ح)المرايا m = 2 h
غير قابل للاختزال
أ 4+1/60[I×I].21S 5120[3,3,3][3,3,3] +510
د 4±1/3[T×T].21/2. 2 S 4192[3 1,1,1 ][3 1,1,1 ] +612
ب 4±1/6[O×O].22 S 4 = S 2 ≀S 4384[4,3,3]8412
F 4±1/2[O×O].2 33. 2 S 41152[3,4,3][3 + ,4,3 + ]121212
H 4±[I×I].22. (A 5 × A 5 ) .214400[5,3,3][5,3,3] +3060
المجموعات المنشورية
أ 3 أ 1+1/24[O×O].2 3S 4 ×D 148[3,3,2] = [3,3]×[ ][3,3] +-61
ب 3 أ 1±1/24[O×O].2S 4 ×D 196[4,3,2] = [4,3]×[ ]-361
H 3 A 1±1/60[I×I].2A 5 × D 1240[5,3,2] = [5,3]×[ ][5,3] +-151
الزمر ثنائية المنشور (استخدم 2p، 2q للأعداد الزوجية)
I 2 ( p )I 2 ( q )±1/2[D 2 p ×D 2 q ]D p ×D q4 pq[ p ,2, q ] = [ p ]×[ q ][ p + ,2, q + ]-صq
I 2 ( 2p )I 2 ( q )±1/2[D 4 p ×D 2 q ]D 2 p ×D q8 pq[2 p ,2, q ] = [2 p ]×[ q ]-صصq
I 2 ( 2p )I 2 ( 2q )±1/2[D 4 p ×D 4 q ]D 2p ×D 2q16 pq[2 p ,2,2 q ] = [2 p ]×[2 q ]-صصqq

تعداد

يوجد 64 متعدد الوجوه المحدب المنتظم ذو 4 أبعاد، بما في ذلك 6 متعدد الوجوه المحدب المنتظم ذو 4 أبعاد، وباستثناء المجموعات اللانهائية من الموشورات المزدوجة والموشورات المضادة للموشور .

  • خمسة منها عبارة عن موشورات متعددة الأوجه مبنية على المجسمات الأفلاطونية (واحد منها يتداخل مع الموشور المنتظم لأن الموشور المكعب الفائق هو تيسيراكت ).
  • 13 منها عبارة عن موشورات متعددة الأوجه مبنية على المجسمات الأرخميدية.
  • 9 تنتمي إلى عائلة المجموعة المنتظمة ذاتية الازدواجية A 4 [3,3,3] ( 5 خلايا ).
  • 9 منها تنتمي إلى عائلة المجموعة المنتظمة ذاتية الازدواج F4 [ 3,4,3] ( ذات 24 خلية ). (باستثناء الخلايا ذات 24 خلية المقطوعة)
  • 15 منها تنتمي إلى عائلة المجموعة B 4 [3,3,4] العادية ( المكعب / 16 خلية ) (3 منها تتداخل مع عائلة 24 خلية).
  • 15 منها تنتمي إلى عائلة H 4 [3,3,5] العادية ( 120 خلية / 600 خلية ).
  • شكل خاص واحد من أشكال الحذف في مجموعة [3,4,3] ( عائلة 24 خلية ).
  • 1 متعدد الوجوه رباعي خاص غير تابع لويثوف، وهو المنشور المضاد الكبير.
  • المجموع: 68 - 4 = 64

تم فهرسة هذه الأشكال الرباعية المنتظمة الـ 64 أدناه بواسطة جورج أولشيفسكي. تم فهرسة أشكال التناظر المتكررة بين قوسين.

بالإضافة إلى الـ 64 المذكورة أعلاه، هناك مجموعتان منشوريتان لانهائيتان تولدان جميع الأشكال المحدبة المتبقية:

عائلة A 4

تتمتع الخلية الخماسية بتناظر ثنائي الصبغيات خماسي [3,3,3] ، [ 10 ] من الرتبة 120، متماثل مع تباديل العناصر الخمسة، لأن جميع أزواج الرؤوس مرتبطة بنفس الطريقة.

يتم إعطاء الأوجه (الخلايا)، وتجميعها في مواقعها في مخطط كوكسيتر عن طريق إزالة العقد المحددة.

[3,3,3] متعددات الوجوه المنتظمة
8اسم باورز (والاختصار)شكل الرأسمخطط كوكستر ورموز شلافليعدد الخلايا حسب الموقععدد العناصر
المركز 3 (5)المركز 2 (10)المركز 1 (10)المركز 0 (5)الخلاياوجوهالحوافالرؤوس
1بنتاشورون ذو 5 خلايا [ 10 ] (pen){3,3,3}(4) (3.3.3)510105
2خماسي الخلايا المقوم (rap)r{3,3,3}(3) (3.3.3.3)(2) (3.3.3)10303010
3خماسي الخلايا المبتور (طرف)t{3,3,3}(3) (3.6.6)(1) (3.3.3)10304020
4خلية خماسية صغيرة ذات 5 خلايا (srip)rr{3,3,3}(2) (3.4.3.4)(2) (3.4.4)(1) (3.3.3.3)20809030
7خماسي الخلايا المقطوعة (قبضة) خماسي المعين الكبيرtr{3,3,3}(2) (4.6.6)(1) (3.4.4)(1) (3.6.6)208012060
8runcitruncated 5-cell Prismatorhombated pentachoron (prip)t 0,1,3 {3,3,3}(1) (3.6.6)(2) (4.4.6)(1) (3.4.4)(1) (3.4.3.4)3012015060
[[3,3,3]] متعددات الوجوه المنتظمة
8اسم باورز (والاختصار)شكل الرأسمخطط كوكستر ورموز شلافليعدد الخلايا حسب الموقععدد العناصر
المركز 3-0 (10)المركز 1-2 (20)Altالخلاياوجوهالحوافالرؤوس
5* prismatodecachoron صغير ذو 5 خلايا مسننة (spid)t 0,3 {3,3,3}(2) (3.3.3)(6) (3.4.4)30706020
6* ديكاشورون خماسي الخلايا مُقتطع ثنائيًا (ديكا)2t{3,3,3}(4) (3.6.6)10406030
9* omnitruncated 5-cell Great prismatodecachoron (gippid)t 0,1,2,3 {3,3,3}(2) (4.6.6)(2) (4.4.6)30150240120
غير منتظمomnisnub 5-cell Snub decachoron (snad) Snub pentachoron (snip) [ 19 ]ht 0,1,2,3 {3,3,3}(2) (3.3.3.3.3)(2) (3.3.3.3)(4) (3.3.3)9030027060

الأشكال الثلاثة المنتظمة ذات 4 أوجه والمميزة بعلامة النجمة ( * ) لها تناظر خماسي ممتد أعلى ، من الرتبة 240، [[3،3،3لأن العنصر المقابل لأي عنصر من عناصر الخلية الخماسية الأساسية يمكن استبداله بأحد العناصر المقابلة لعنصر من عناصرها الثنائية. توجد مجموعة فرعية صغيرة واحدة ذات فهرس [3,3,3] + ، رتبتها 60، أو مضاعفتها [ [3،3،3]] + ، الترتيب 120 ، الذي يحدد خلية omnisnub 5 التي تم إدراجها من أجل الاكتمال، ولكنها ليست موحدة.

عائلة B 4

تتمتع هذه العائلة بتناظر سداسي عشري ثنائي الصبغيات ، [ 10 ] [4,3,3]، من الرتبة 24 × 16 = 384: 4! = 24 تبديلاً للمحاور الأربعة، 2 ^4 = 16 للانعكاس حول كل محور. توجد ثلاث مجموعات فرعية صغيرة للمؤشر، حيث تولد المجموعتان الأوليان متعددات وجوه رباعية منتظمة تتكرر أيضًا في عائلات أخرى، [1 + ,4,3,3]، [4,(3,3) + ]، و[4,3,3] + ، جميعها من الرتبة 192.

اقتطاعات المكعب الفائق

8الاسم (اسم باورز واختصاره)شكل الرأسمخطط كوكستر ورموز شلافليعدد الخلايا حسب الموقععدد العناصر
المركز 3 (8)المركز 2 (24)المركز 1 (32)المركز 0 (16)الخلاياوجوهالحوافالرؤوس
10تيسيراكت أو تيسيراكت ذو 8 خلايا (tes){4,3,3}(4) (4.4.4)8243216
11المكعب المصحح (rit)r{4,3,3}(3) (3.4.3.4)(2) (3.3.3)24889632
13مكعب رباعي الأبعاد مبتور (تات)t{4,3,3}(3) (3.8.8)(1) (3.3.3)248812864
14مكعب رباعي الأضلاع صغير معيني الشكل (srit)rr{4,3,3}(2) (3.4.4.4)(2) (3.4.4)(1) (3.3.3.3)5624828896
15مكعب رباعي الأضلاع (يُعرف أيضًا باسم مكعب رباعي الأضلاع ذو 16 خلية )مكعب رباعي الأضلاع صغير ثنائي المنشور (اللب الجانبي)t 0,3 {4,3,3}(1) (4.4.4)(3) (4.4.4)(3) (3.4.4)(1) (3.3.3)8020819264
16مكعب رباعي الأبعاد مقطوع (يُعرف أيضًا باسم مكعب رباعي الأبعاد ذو 16 خلية مقطوع )Tesseractihexadecachoron (tah)2t{4,3,3}(2) (4.6.6)(2) (3.6.6)2412019296
18مكعب رباعي الأبعاد مقطوع، مكعب رباعي الأبعاد معيني كبير (حصى)tr{4,3,3}(2) (4.6.8)(1) (3.4.4)(1) (3.6.6)56248384192
19Runcitruncated tesseract Prismatorhombated hexadecachoron (proh)t 0,1,3 {4,3,3}(1) (3.8.8)(2) (4.4.8)(1) (3.4.4)(1) (3.4.3.4)80368480192
21مكعب رباعي الأبعاد مقطوع بالكامل (يُعرف أيضًا باسم مكعب رباعي الأبعاد ذو 16 خلية )منشور ثلاثي الأبعاد كبير سداسي عشر الخلايا (جيدبيث)t 0,1,2,3 {3,3,4}(1) (4.6.8)(1) (4.4.8)(1) (4.4.6)(1) (4.6.6)80464768384
مكعب رباعي الأبعاد متماثل، [1 + ،4،3،3] متعدد الوجوه رباعي الأبعاد منتظم
8الاسم (اختصار على طريقة باورز)شكل الرأسمخطط كوكستر ورموز شلافليعدد الخلايا حسب الموقععدد العناصر
المركز 3 (8)المركز 2 (24)المركز 1 (32)المركز 0 (16)Altالخلاياوجوهالحوافالرؤوس
[12]نصف مكعب رباعي الأبعاد (Demitesseract) = 16 خلية (سداسي)= h{4,3,3}={3,3,4}(4) (3.3.3)(4) (3.3.3)1632248
[17]المكعب الرباعي الكانتيكي = المكعب الرباعي الست عشري المقتطع (thex)= h 2 {4,3,3}=t{4,3,3}(4) (6.6.3)(1) (3.3.3.3)249612048
[11]مكعب رونسيك = مكعب مصحح (rit)= h 3 {4,3,3}=r{4,3,3}(3) (3.4.3.4)(2) (3.3.3)24889632
[16]مكعب رباعي الأبعاد مقطوع = مكعب رباعي الأبعاد مقطوع (tah)= h 2,3 {4,3,3}=2t{4,3,3}(2) (3.4.3.4)(2) (3.6.6)2412019296
[11]= مكعب رباعي الأضلاع مُعدّل (فأر)= h 1 {4,3,3}=r{4,3,3}24889632
[16]= مكعب رباعي الأبعاد مقطوع (tah)= h 1,2 {4,3,3}=2t{4,3,3}2412019296
[23]= 24 خلية مُقوَّمة (ريكو)= h 1,3 {4,3,3}=rr{3,3,4}4824028896
[24]= خلايا 24 مختصرة (تيكو)= h 1,2,3 {4,3,3}=tr{3,3,4}48240384192
8الاسم (اختصار على طريقة باورز)شكل الرأسمخطط كوكستر ورموز شلافليعدد الخلايا حسب الموقععدد العناصر
المركز 3 (8)المركز 2 (24)المركز 1 (32)المركز 0 (16)Altالخلاياوجوهالحوافالرؤوس
غير منتظمomnisnub tesseract Snub tesseract (snet) [ 20 ] (أو omnisnub 16-cell )ht 0,1,2,3 {4,3,3}(1) (3.3.3.3.4)(1) (3.3.3.4)(1) (3.3.3.3)(1) (3.3.3.3.3)(4) (3.3.3)272944864192

اقتطاعات من 16 خلية

8الاسم (اسم باورز واختصاره)شكل الرأسمخطط كوكستر ورموز شلافليعدد الخلايا حسب الموقععدد العناصر
المركز 3 (8)المركز 2 (24)المركز 1 (32)المركز 0 (16)Altالخلاياوجوهالحوافالرؤوس
12هيكساديكاشورون ذو 16 خلية [ 10 ] (سداسي){3,3,4}(8) (3.3.3)1632248
[22]*مقوم ذو 16 خلية (نفس 24 خلية ) (ico)= r{3,3,4}(2) (3.3.3.3)(4) (3.3.3.3)24969624
17هيكساديكاشورون (thex) مُختزل ذو 16 خليةt{3,3,4}(1) (3.3.3.3)(4) (3.6.6)249612048
[23]*مُقوِّم ذو 16 خلية (نفس مُقوِّم ذو 24 خلية ) (ريكو)= rr{3,3,4}(1) (3.4.3.4)(2) (4.4.4)(2) (3.4.3.4)4824028896
[15]خلية ذات 16 خلية محدبة (وتسمى أيضًا مكعب رباعي الأبعاد محدب ) (اللب الجانبي)t 0,3 {3,3,4}(1) (4.4.4)(3) (4.4.4)(3) (3.4.4)(1) (3.3.3)8020819264
[16]خلية 16 مقطوعة ( وتسمى أيضًا مكعب رباعي الأبعاد مقطوع ) (tah)2t{3,3,4}(2) (4.6.6)(2) (3.6.6)2412019296
[24]*خلايا 16 مبتورة (نفس خلايا 24 مبتورة ) (تيكو)= tr{3,3,4}(1) (4.6.6)(1) (4.4.4)(2) (4.6.6)48240384192
20مكعب رباعي الأبعاد ذو 16 خلية مقطوعة بشكل غير منتظم (prit)t 0,1,3 {3,3,4}(1) (3.4.4.4)(1) (4.4.4)(2) (4.4.6)(1) (3.6.6)80368480192
[21]خلية كاملة الاختصار مكونة من 16 خلية (وتسمى أيضًا مكعب رباعي الأبعاد كامل الاختصار ) (gidpith)t 0,1,2,3 {3,3,4}(1) (4.6.8)(1) (4.4.8)(1) (4.4.6)(1) (4.6.6)80464768384
[31]خلية متناوبة مقطوعة ذات 16 خلية (نفس خلية سنوب ذات 24 خلية ) (سادي)sr{3,3,4}(1) (3.3.3.3.3)(1) (3.3.3)(2) (3.3.3.3.3)(4) (3.3.3)14448043296
غير منتظممكعب بيريتوسنوب ذو 16 خلية مصححة من نوع Runcic snub (pysnet)sr 3 {3,3,4}(1) (3.4.4.4)(2) (3.4.4)(1) (4.4.4)(1) (3.3.3.3.3)(2) (3.4.4)176656672192
(*) كما أن تقويم رباعي الأوجه ينتج ثماني الأوجه ، فإن تقويم الخلية ذات 16 خلية ينتج الخلية ذات 24 خلية، وهي العضو المنتظم في العائلة التالية.

يُكرر الشكل ذو الـ ٢٤ خلية المقطوعة ضمن هذه المجموعة من أجل الاكتمال. وهو عبارة عن تناوب بين الشكل ذي الـ ١٦ خلية المقطوعة أو الشكل ذي الـ ٢٤ خلية المقطوعة ، مع مجموعة التناظر النصفية [(٣،٣) + ،٤]. تتحول الخلايا الثمانية السطوح المقطوعة إلى عشرينيات السطوح. وتتحول المكعبات إلى رباعيات السطوح، ويتم إنشاء ٩٦ رباعي سطوح جديد في الفراغات الناتجة عن إزالة الرؤوس.

عائلة F 4

تتمتع هذه العائلة بتناظر ثنائي الصبغيات من نوع icositetrachoric ، [ 10 ] [3,4,3]، من الرتبة 24 × 48 = 1152: حيث تمثل 48 تناظرًا لثماني السطوح لكل خلية من الخلايا الـ 24. توجد 3 مجموعات فرعية صغيرة للمؤشر، حيث يُولّد الزوجان المتماثلان الأولان متعددات وجوه رباعية منتظمة تتكرر أيضًا في عائلات أخرى، [3 + ,4,3]، [3,4,3+ ] ، و[3,4,3] + ، وجميعها من الرتبة 576.

[3,4,3] متعددات الوجوه الرباعية المنتظمة
8اسمشكل الرأسمخطط كوكستر ورموز شلافليعدد الخلايا حسب الموقععدد العناصر
المركز 3 (24)المركز 2 (96)المركز 1 (96)المركز 0 (24)الخلاياوجوهالحوافالرؤوس
2224 خلية (نفس خلية 16 المعدلة ) Icositetrachoron [ 10 ] (ico){3,4,3}(6) (3.3.3.3)24969624
23مقوم ذو 24 خلية (نفس مقوم ذو 16 خلية ) مقوم ذو 16 خلية (ريكو)r{3,4,3}(3) (3.4.3.4)(2) (4.4.4)4824028896
24خلية مبتورة ذات 24 خلية (نفس خلية مبتورة ذات 16 خلية ) إيكوسيتتراكورون مبتور (تيكو)t{3,4,3}(3) (4.6.6)(1) (4.4.4)48240384192
25خلية صغيرة ذات 24 خلية من نوع icositetrachoron (srico)rr{3,4,3}(2) (3.4.4.4)(2) (3.4.4)(1) (3.4.3.4)144720864288
28cantitruncated 24-cell Great rhombated icositetrachoron (grico)tr{3,4,3}(2) (4.6.8)(1) (3.4.4)(1) (3.8.8)1447201152576
29runcitruncated 24-cell Prismatorhombated icositetrachoron (prico)t 0,1,3 {3,4,3}(1) (4.6.6)(2) (4.4.6)(1) (3.4.4)(1) (3.4.4.4)24011041440576
[3 + ,4,3] متعددات الوجوه الرباعية المنتظمة
8اسمشكل الرأسمخطط كوكستر ورموز شلافليعدد الخلايا حسب الموقععدد العناصر
المركز 3 (24)المركز 2 (96)المركز 1 (96)المركز 0 (24)Altالخلاياوجوهالحوافالرؤوس
31† سنوب 24-خلية سنوب ديسيكوسيتتراكورون (سادي)s{3,4,3}(3) (3.3.3.3.3)(1) (3.3.3)(4) (3.3.3)14448043296
غير منتظمruncic snub 24 خلية Prismatorhombisnub icositetrachoron (prissi)s 3 {3,4,3}(1) (3.3.3.3.3)(2) (3.4.4)(1) (3.6.6)(3) كأس ثلاثي2409601008288
[25]24 خلية كانتيك سنوب (نفس كانتيليتد 24 خلية ) (سريكو)s 2 {3,4,3}(2) (3.4.4.4)(1) (3.4.3.4)(2) (3.4.4)144720864288
[29]runcicantic snub 24-cell (نفس runcitruncated 24-cell ) (prico)s 2,3 {3,4,3}(1) (4.6.6)(1) (3.4.4)(1) (3.4.4.4)(2) (4.4.6)24011041440576
(†) على الرغم من الاسم الشائع، فإنّ الخلية المقطوعة ذات الـ 24 خلية هنا لا تُشابه المكعب المقطوع ؛ بل هي مشتقة من خلال تناوب الخلية المقطوعة ذات الـ 24 خلية. عدد تناظرها هو 576 فقط ( المجموعة الأيونية المختزلة ذات العشرة عشر ذرة ، [3 + ,4,3]).

مثل الخلية الخماسية، فإن الخلية الرباعية والعشرون ذاتية التناظر، وبالتالي فإن الأشكال الثلاثة التالية لها ضعف عدد التناظرات، ليصل مجموعها إلى 2304 ( تناظر إيكوسيتيتراكوريك ممتد [[3،4،3]] ).

[[3،4،3]] متعددات الوجوه الرباعية المنتظمة
8اسمشكل الرأسمخطط كوكستر ورموز شلافليعدد الخلايا حسب الموقععدد العناصر
المركز 3-0 (48)المركز 2-1 (192)الخلاياوجوهالحوافالرؤوس
26منشور صغير مكون من 24 خلية (spic)t 0,3 {3,4,3}(2) (3.3.3.3)(6) (3.4.4)240672576144
27Tetracontoctachoron ثنائي الخلايا ذو 24 خلية (تابع)2t{3,4,3}(4) (3.8.8)48336576288
30omnitruncated 24-cell Great prismatotetracontoctachoron (gippic)t 0,1,2,3 {3,4,3}(2) (4.6.8)(2) (4.4.6)240139223041152
[[3,4,3]] + متعدد الوجوه رباعي الزوايا متساوي الزوايا
8اسمشكل الرأسمخطط كوكستر ورموز شلافليعدد الخلايا حسب الموقععدد العناصر
المركز 3-0 (48)المركز 2-1 (192)Altالخلاياوجوهالحوافالرؤوس
غير منتظمomnisnub 24-cell Snub tetracontoctachoron (snoc) Snub icositetrachoron (sni) ​​[ 21 ]ht 0,1,2,3 {3,4,3}(2) (3.3.3.3.4)(2) (3.3.3.3)(4) (3.3.3)81628322592576

عائلة H 4

تتمتع هذه العائلة بتناظر سداسي ثنائي الصبغيات ، [ 10 ] [5,3,3]، من الرتبة 120 × 120 = 24 × 600 = 14400: 120 لكل من المجسمات الاثني عشرية الـ 120، أو 24 لكل من المجسمات الرباعية الـ 600. يوجد أيضًا مجموعة فرعية صغيرة واحدة [5,3,3] + ، من الرتبة 7200.

اقتطاعات من 120 خلية

8الاسم (اسم باورز واختصاره)شكل الرأسمخطط كوكستر ورموز شلافليعدد الخلايا حسب الموقععدد العناصر
المركز 3 (120)المركز 2 (720)المركز 1 (1200)الموضع 0 (600)Altالخلاياوجوهالحوافالرؤوس
32120 خلية (هيكاتونيكوساكورون أو دوديكاكونتاكورون) [ 10 ] هيكاتونيكوساكورون (hi){5,3,3}(4) (5.5.5)1207201200600
33مقوم هيكاتونيكوساكورون (راهي) ذو 120 خليةr{5,3,3}(3) (3.5.3.5)(2) (3.3.3)720312036001200
36هيكاتونيكوساكورون (thi) مُقَطَّع ذو 120 خليةt{5,3,3}(3) (3.10.10)(1) (3.3.3)720312048002400
37خلية صغيرة ذات 120 خلية ، معينية الشكل (srahi).rr{5,3,3}(2) (3.4.5.4)(2) (3.4.4)(1) (3.3.3.3)19209120108003600
38120 خلية محروقة (وأيضًا 600 خلية محروقة )صغير disprismatohexacosihecatonicosachoron (sidpixhi)t 0,3 {5,3,3}(1) (5.5.5)(3) (4.4.5)(3) (3.4.4)(1) (3.3.3)2640744072002400
39Hexacosihecatonicosachoron (xhi) ذو 120 خلية مقطوعة (وأيضًا ذو 600 خلية مقطوعة )2t{5,3,3}(2) (5.6.6)(2) (3.6.6)720432072003600
42كراكي ذو 120 خلية مقطوعة، هيكاتونيكوساكورون كبير معيني الشكل (غراهي)tr{5,3,3}(2) (4.6.10)(1) (3.4.4)(1) (3.6.6)19209120144007200
43runcitruncated 120-cell Prismatorhombated hexacosichoron (prix)t 0,1,3 {5,3,3}(1) (3.10.10)(2) (4.4.10)(1) (3.4.4)(1) (3.4.3.4)264013440180007200
46omnitruncated 120-cell (also omnitruncated 600-cell )Great disprismatohexacosihecatonicosachoron (gidpixhi)t 0,1,2,3 {5,3,3}(1) (4.6.10)(1) (4.4.10)(1) (4.4.6)(1) (4.6.6)2640170402880014400
غير منتظمomnisnub 120-cell Snub hecatonicosachoron (snixhi) [ 22 ] (نفس omnisnub 600-cell )ht 0,1,2,3 {5,3,3}(1) (3.3.3.3.5)(1) (3.3.3.5)(1) (3.3.3.3)(1) (3.3.3.3.3)(4) (3.3.3)984035040324007200

اقتطاعات من 600 خلية

8الاسم (اختصار على طريقة باورز)شكل الرأسمخطط كوكستر ورموز شلافليالتناظرعدد الخلايا حسب الموقععدد العناصر
المركز 3 (120)المركز 2 (720)المركز 1 (1200)الموضع 0 (600)الخلاياوجوهالحوافالرؤوس
35هيكساكوسيكورون ذو 600 خلية [ 10 ] (مثال){3,3,5}[5,3,3] رقم الطلب 14400(20) (3.3.3)6001200720120
[47]20-منخفض 600-خلية = منشور مضاد كبير (فجوة)بناء غير ويثوفي[[10,2 + ,10]] الترتيب 400 الفهرس 36(2) (3.3.3.5)(12) (3.3.3)320720500100
[31]24-diminished 600-cell = Snub 24-cell (sadi)بناء غير ويثوفي[3 + ,4,3] الترتيب 576 الفهرس 25(3) (3.3.3.3.3)(5) (3.3.3)14448043296
غير منتظمثنائي-24-منقوص 600 خلية ثنائي-إيكوسيتيترا منقوص سداسي الكوسيكورون (بيدكس)بناء غير ويثوفيرقم الطلب 144، رقم الفهرس 100(6) tdi4819221672
34مقوم 600 خلية مقوم سداسي الكوزيكورون (rox)r{3,3,5}[5,3,3](2) (3.3.3.3.3)(5) (3.3.3.3)72036003600720
غير منتظم120-مقوم مخفض 600 خلية Swirlprismatodiminished rectified hexacosichoron (spidrox)بناء غير ويثوفيرقم الطلب 1200، رقم الفهرس 12(2) 3.3.3.5(2) 4.4.5(5) P484026402400600
41هيكساكوسيكورون (tex) مُختزل ذو 600 خليةt{3,3,5}[5,3,3](1) (3.3.3.3.3)(5) (3.6.6)720360043201440
40خلية صغيرة ذات 600 خلية، معينية الشكل ، سداسية الشكل (srix)rr{3,3,5}[5,3,3](1) (3.5.3.5)(2) (4.4.5)(1) (3.4.3.4)14408640108003600
[38]خلايا محروقة 600 (وأيضًا خلايا محروقة 120 ) (sidpixhi)t 0,3 {3,3,5}[5,3,3](1) (5.5.5)(3) (4.4.5)(3) (3.4.4)(1) (3.3.3)2640744072002400
[39]خلية 600 مقطوعة (وأيضًا خلية 120 مقطوعة ) (xhi)2t{3,3,5}[5,3,3](2) (5.6.6)(2) (3.6.6)720432072003600
45سداسي الخلايا المعيني الكبير (grix) ذو 600 خلية مقطوعةtr{3,3,5}[5,3,3](1) (5.6.6)(1) (4.4.5)(2) (4.6.6)14408640144007200
44runcitruncated 600-cell Prismatorhombated hecatonicosachoron (prahi)t 0,1,3 {3,3,5}[5,3,3](1) (3.4.5.4)(1) (4.4.5)(2) (4.4.6)(1) (3.6.6)264013440180007200
[46]خلية 600 مقطوعة بالكامل (وأيضًا خلية 120 مقطوعة بالكامل ) (gidpixhi)t 0,1,2,3 {3,3,5}[5,3,3](1) (4.6.10)(1) (4.4.10)(1) (4.4.6)(1) (4.6.6)2640170402880014400

عائلة D 4

لا تُقدّم هذه العائلة من المكعبات شبه المنفصلة ، ​​[3 1,1,1 ]، أي متعددات وجوه رباعية منتظمة جديدة، ولكن يجدر تكرار هذه الإنشاءات البديلة. رتبة هذه العائلة هي 192 = 12 × 16: أي 12 تبديلاً للمحاور الأربعة، نصفها بالتناوب، و 16 تبديلاً للانعكاس حول كل محور. توجد مجموعة فرعية صغيرة واحدة تُولّد متعددات وجوه رباعية منتظمة، [3 1,1,1 ] + ، رتبتها 96.

[3 1,1,1 ] متعددات الوجوه الرباعية المنتظمة
8الاسم (اختصار على طريقة باورز)شكل الرأسمخطط كوكسيتر = =عدد الخلايا حسب الموقععدد العناصر
المركز 0 (8)المركز 2 (24)المركز 1 (8)المركز 3 (8)الوضع البديل (96)3210
[12]نصف مكعب رباعي الأبعاد (نفس مكعب ذي 16 خلية ) (سداسي عشري)= h{4,3,3}(4) (3.3.3)(4) (3.3.3)1632248
[17]المكعب الرباعي الكانتيكي (نفس المكعب الرباعي الست عشري المقتطع ) (thex)= h 2 {4,3,3}(1) (3.3.3.3)(2) (3.6.6)(2) (3.6.6)249612048
[11]مكعب رونسيك (نفس مكعب مصحح ) (rit)= h 3 {4,3,3}(1) (3.3.3)(1) (3.3.3)(3) (3.4.3.4)24889632
[16]مكعب رباعي الأبعاد مقطوع (نفس مكعب رباعي الأبعاد مقطوع ثنائياً ) (tah)= h 2,3 {4,3,3}(1) (3.6.6)(1) (3.6.6)(2) (4.6.6)24969624

عندما تكون عقد الفروع المتشعبة الثلاثة محاطة بحلقات متطابقة، يمكن زيادة التناظر بمقدار 6، حيث أن [3[3 1,1,1 ]] = [3,4,3]، وبالتالي تتكرر هذه الأشكال متعددة الوجوه من عائلة الخلايا الـ 24 .

[3[3 1,1,1 ]] متعددات الوجوه الرباعية المنتظمة
8الاسم (اختصار على طريقة باورز)شكل الرأسمخطط كوكسيتر = =عدد الخلايا حسب الموقععدد العناصر
الموضع 0، 1، 3 (24)المركز 2 (24)الوضع البديل (96)3210
[22]مقوم ذو 16 خلية (نفس مقوم ذو 24 خلية ) (ico)= = = {3 1,1,1 } = r{3,3,4} = {3,4,3}(6) (3.3.3.3)4824028896
[23]مضخم صوت ذو 16 خلية (نفس مضخم الصوت ذو 24 خلية المعدل ) (ريكو)= = = r{3 1,1,1 } = rr{3,3,4} = r{3,4,3}(3) (3.4.3.4)(2) (4.4.4)2412019296
[24]خلية مقطوعة ذات 16 خلية (نفس الخلية المقطوعة ذات 24 خلية ) (تيكو)= = = ر{3 1,1,1 } = ر{3,3,4} = ر{3,4,3}(3) (4.6.6)(1) (4.4.4)48240384192
[31]مسدس سنوب ذو 24 خلية (سادي)= = = ق{3 1,1,1 } = ص{3,3,4} = ق{3,4,3}(3) (3.3.3.3.3)(1) (3.3.3)(4) (3.3.3)14448043296

هنا أيضًا، يُمثل الشكل المُختزل ذو الـ 24 خلية ، مع مجموعة التناظر [3 1,1,1 ] + هذه المرة، اقتطاعًا مُتبادلًا للشكل المُختزل ذي الـ 24 خلية، مما يُنشئ 96 رباعي وجوه جديدًا في موضع الرؤوس المحذوفة. وعلى عكس ظهوره في المجموعات السابقة كشكل مُتعدد الوجوه رباعي مُختزل جزئيًا، فإنه فقط ضمن مجموعة التناظر هذه يُظهر التشابه الكامل مع أشكال كبلر المُختزلة، أي المكعب المُختزل والمجسم الاثني عشري المُختزل .

المنشور المضاد الكبير

يوجد شكل متعدد السطوح محدب منتظم رباعي الأبعاد غير تابع لنظرية ويثوف، يُعرف باسم الموشور المضاد الكبير ، ويتكون من 20 موشورًا مضادًا خماسيًا تشكل حلقتين متعامدتين متصلتين بـ 300 رباعي الأوجه . وهو يُشابه إلى حد ما الموشورات المضادة ثلاثية الأبعاد ، التي تتكون من مضلعين متوازيين متصلين بشريط من المثلثات . إلا أنه على عكسها، لا يُعد الموشور المضاد الكبير عضوًا في عائلة لانهائية من متعددات السطوح المنتظمة.

تناظرها هو مجموعة كوكسيتر الأيونية المنقوصة ، [[10,2 + ,10]]، من الرتبة 400.

8الاسم (اختصار على طريقة باورز)صورةشكل الرأسمخطط كوكستر ورموز شلافليالخلايا حسب النوععدد العناصرشبكة
الخلاياوجوهالحوافالرؤوس
47المنشور المضاد الكبير (فجوة)لا يوجد رمز300 ( 3.3.3 )20 ( 3.3.3.5 )32020 {5} 700 {3}500100

متعددات الوجوه المنتظمة المنشورية ذات 4 أبعاد

المجسم المنشوري هو حاصل ضرب ديكارتي لمجسمين من أبعاد أقل؛ ومن الأمثلة الشائعة عليه المناشير ثلاثية الأبعاد ، وهي حاصل ضرب مضلع وقطعة مستقيمة . تتكون المجسمات المنشورية المنتظمة رباعية الأبعاد من عائلتين لانهائيتين:

  • الموشورات متعددة الأوجه : هي نتاج قطع مستقيم ومجسم متعدد الأوجه منتظم. هذه المجموعة لا نهائية لأنها تشمل الموشورات المبنية على الموشورات ثلاثية الأبعاد والموشورات المضادة .
  • الموشورات المزدوجة : ناتج ضرب مضلعين.

موشورات متعددة الأوجه محدبة

أكثر أنواع المجسمات الرباعية المنشورية وضوحًا هي المناشير متعددة السطوح، أي نواتج ضرب مجسم متعدد السطوح بقطعة مستقيمة . تتكون خلايا هذا النوع من المجسمات الرباعية من مجسمين متطابقين منتظمين يقعان في مستويين متوازيين ( الخلايا الأساسية )، وطبقة من المناشير تربط بينهما ( الخلايا الجانبية ). تشمل هذه العائلة مناشيرًا للمجسمات المنتظمة غير المنشورية البالغ عددها 75 مجسمًا (منها 18 مجسمًا محدبًا؛ أحدها، وهو المنشور المكعب، مذكور أعلاه باسم التيسيراكت ).

يوجد 18 منشورًا متعدد السطوح محدبًا مُشتقًا من 5 مجسمات أفلاطونية و13 مجسمًا أرخميديًا ، بالإضافة إلى عائلات لا حصر لها من المناشير والمناشير المضادة ثلاثية الأبعاد . عدد التناظر للمنشور متعدد السطوح يساوي ضعف عدد التناظر للمجسم الأساسي.

الموشورات رباعية الأوجه: A 3 × A 1

هذا التناظر الرباعي الأوجه المنشوري هو [3,3,2]، من الرتبة 48. هناك مجموعتان فرعيتان من الدليل 2، [(3,3) + ,2] و [3,3,2] + ، لكن الثانية لا تولد متعدد الوجوه رباعي منتظم.

[3,3,2] متعددات الوجوه الرباعية المنتظمة
8الاسم (اختصار على طريقة باورز)صورةشكل الرأسمخطط كوكستر ورموز شلافليالخلايا حسب النوععدد العناصرشبكة
الخلاياوجوهالحوافالرؤوس
48منشور رباعي الأوجه (tepe){3,3}×{  } t 0,3 {3,3,2}2 3.3.34 3.4.468 {3} 6 {4}168
49منشور رباعي الأوجه مقطوع (توتيب)t{3,3}×{  } t 0,1,3 {3,3,2}2 3.6.64 3.4.44 4.4.6108 {3} 18 {4} 8 {6}4824
[[ 3,3],2] متعددات الوجوه الرباعية المنتظمة
8الاسم (اختصار على طريقة باورز)صورةشكل الرأسمخطط كوكستر ورموز شلافليالخلايا حسب النوععدد العناصرشبكة
الخلاياوجوهالحوافالرؤوس
[51]منشور رباعي الأوجه مُعدَّل (نفس منشور ثماني الأوجه ) (ope)r{3,3}×{  } t 1,3 {3,3,2}2 3.3.3.34 3.4.4616 {3} 12 {4}3012
[50]منشور رباعي الأوجه ذو حواف مزخرفة (يشبه المنشور المكعب الثماني الأوجه ) (كوب)rr{3,3}×{  } t 0,2,3 {3,3,2}2 3.4.3.48 3.4.46 4.4.41616 {3} 36 {4}6024
[54]منشور رباعي الأوجه مقطوع (نفس منشور ثماني الأوجه مقطوع ) (توب)ص{3,3}×{  } ر 0,1,2,3 {3,3,2}2 4.6.68 6.4.46 4.4.41648 {4} 16 {6}9648
[59]منشور رباعي الأوجه مقطوع (نفس منشور عشريني الأوجه ) (ipe)sr{3,3}×{  }2 3.3.3.3.320 3.4.42240 {3} 30 {4}7224
غير منتظمomnisnub tetrahedral antiprism Pyritohedral icosahedral antiprism (pikap)s{332}{\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\2\end{array}}\right\}}2 3.3.3.3.38 3.3.3.36+24 3.3.34016+96 {3}9624

الموشورات الثمانية الأوجه: B 3 × A 1

تتميز هذه العائلة من الأشكال الثمانية السطوح المنشورية بتناظر [4,3,2]، من الرتبة 96. يوجد ست مجموعات فرعية ذات دليل 2، من الرتبة 48، معبر عنها في متعددات الوجوه الرباعية المتناوبة الموضحة أدناه. التناظرات هي: [(4,3) + ,2]، [1 + ,4,3,2]، [4,3,2 + ]، [4,3 + ,2]، [4,(3,2) + ]، و[4,3,2] + .

8الاسم (اختصار على طريقة باورز)صورةشكل الرأسمخطط كوكستر ورموز شلافليالخلايا حسب النوععدد العناصرشبكة
الخلاياوجوهالحوافالرؤوس
[10]المنشور المكعب (نفس المكعب الفائق ) (نفس المنشور المزدوج 4-4 ) (tes){4,3}×{  } t 0,3 {4,3,2}2 4.4.46 4.4.4824 {4}3216
50منشور مكعب ثماني الأوجه (نفس منشور رباعي الأوجه ذو زخارف ) (كوب)r{4,3}×{  } t 1,3 {4,3,2}2 3.4.3.48 3.4.46 4.4.41616 {3} 36 {4}6024
51منشور ثماني الأوجه (نفس منشور رباعي الأوجه المعدل )(نفس منشور ثلاثي مضاد للمنشور ) (ope){3,4}×{  } t 2,3 {4,3,2}2 3.3.3.38 3.4.41016 {3} 12 {4}3012
52منشور ذو ثمانية أوجه مكعبة معينية (سيركوب)rr{4,3}×{  } t 0,2,3 {4,3,2}2 3.4.4.48 3.4.418 4.4.42816 {3} 84 {4}12048
53منشور مكعب مقطوع (منشور الكأس)t{4,3}×{  } t 0,1,3 {4,3,2}2 3.8.88 3.4.46 4.4.81616 {3} 36 {4} 12 {8}9648
54منشور ثماني الأوجه مقطوع (نفس منشور رباعي الأوجه مقطوع ) (توب)t{3,4}×{  } t 1,2,3 {4,3,2}2 4.6.66 4.4.48 4.4.61648 {4} 16 {6}9648
55منشور مكعب ثماني الأوجه مقطوع (جيركوب)ص{4,3}×{  } ر 0,1,2,3 {4,3,2}2 4.6.812 4.4.48 4.4.66 4.4.82896 {4} 16 {6} 12 {8}19296
56منشور مكعب قصير (منشور مكعب قصير)sr{4,3}×{  }2 3.3.3.3.432 3.4.46 4.4.44064 {3} 72 {4}14448
[48]منشور رباعي الأوجه (tepe)h{4,3}×{  }2 3.3.34 3.4.468 {3} 6 {4}168
[49]منشور رباعي الأوجه مقطوع (توتيب)h 2 {4,3}×{  }2 3.3.64 3.4.44 4.4.668 {3} 6 {4}168
[50]منشور مكعب ثماني الأوجه (غطاء)rr{3,3}×{  }2 3.4.3.48 3.4.46 4.4.41616 {3} 36 {4}6024
[52]منشور ذو ثمانية أوجه مكعبة معينية (سيركوب)s 2 {3,4}×{  }2 3.4.4.48 3.4.418 4.4.42816 {3} 84 {4}12048
[54]منشور ثماني الأوجه مقطوع (توب)tr{3,3}×{  }2 4.6.66 4.4.48 4.4.61648 {4} 16 {6}9648
[59]منشور ذو عشرين وجهاً (ipe)s{3,4}×{  }2 3.3.3.3.320 3.4.42240 {3} 30 {4}7224
[12]16 خلية (سداسي)s{2,4,3}2+6+8 3.3.3.31632 {3}248
غير منتظمOmnisnub tetrahedral antiprism = Pyritohedral icosahedral antiprism (pikap)sr{2,3,4}2 3.3.3.3.38 3.3.3.36+24 3.3.34016+96 {3}9624
غير منتظمهوسوكورون ثماني الأوجه ذو حافة مقطوعة، بيريتوسنوب ألتيربريسم (بيسنا)sr 3 {2,3,4}2 3.4.4.46 4.4.48 3.3.3.324 3.4.44016+48 {3} 12+12+24+24 {4}14448
غير منتظممنشور مكعب مضاد ذو طرف مقعر (أومنيسنوب) منشور مكعب مضاد ذو طرف مقعر (سنيكاب)s{432}{\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}4\\3\\2\end{array}}\right\}}2 3.3.3.3.412+48 3.3.38 3.3.3.36 3.3.3.47616+192 {3} 12 {4}19248
غير منتظمRuncic snub cubic hosochoron Truncated tetrahedral alterprism (tuta)s 3 {2,4,3}2 3.6.66 3.3.38 قبة مثلثة16526024

الموشورات العشرية الوجوه: الارتفاع 3 × المساحة 1

هذا التناظر المنشوري العشري الوجوه هو [5,3,2]، من الرتبة 240. هناك مجموعتان فرعيتان من الدليل 2، [(5,3) + ,2] و [5,3,2] + ، لكن الثانية لا تولد متعددًا منتظمًا.

8الاسم (اسم باورز واختصاره)صورةشكل الرأسمخطط كوكستر ورموز شلافليالخلايا حسب النوععدد العناصرشبكة
الخلاياوجوهالحوافالرؤوس
57منشور ذو اثني عشر وجهًا (مادة تلميع){5,3}×{  } t 0,3 {5,3,2}2 5.5.512 4.4.51430 {4} 24 {5}8040
58منشور ذو عشرين وجهًا (iddip)r{5,3}×{  } t 1,3 {5,3,2}2 3.5.3.520 3.4.412 4.4.53440 {3} 60 {4} 24 {5}15060
59منشور ذو عشرين وجهاً (يشبه المنشور الرباعي الأوجه المقطوع ) (ipe){3,5}×{  } t 2,3 {5,3,2}2 3.3.3.3.320 3.4.42240 {3} 30 {4}7224
60منشور ذو اثني عشر وجهًا مقطوعًا (تيديب)t{5,3}×{  } t 0,1,3 {5,3,2}2 3.10.1020 3.4.412 4.4.103440 {3} 90 {4} 24 {10}240120
61منشور ذو شكل معيني اثني عشري (sriddip)rr{5,3}×{  } t 0,2,3 {5,3,2}2 3.4.5.420 3.4.430 4.4.412 4.4.56440 {3} 180 {4} 24 {5}300120
62منشور عشروني الوجوه مقطوع (أنبوب)t{3,5}×{  } t 1,2,3 {5,3,2}2 5.6.612 4.4.520 4.4.63490 {4} 24 {5} 40 {6}240120
63منشور ذو عشرين وجهًا مقطوعًا (griddip)ص{5,3}×{  } ر 0,1,2,3 {5,3,2}2 4.6.1030 4.4.420 4.4.612 4.4.1064240 {4} 40 {6} 24 {10}480240
64منشور ذو اثني عشر وجهًا مقطوعًا (sniddip)sr{5,3}×{  }2 3.3.3.3.580 3.4.412 4.4.594160 {3} 150 {4} 24 {5}360120
غير منتظممنشور مضاد ذو اثني عشر وجهًا من نوع Omnisnub، منشور مضاد ذو اثني عشر وجهًا من نوع Snub (sniddap).s{532}{\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}5\\3\\2\end{array}}\right\}}2 3.3.3.3.530+120 3.3.320 3.3.3.312 3.3.3.518420+240 {3} 24 {5}220120

الموشورات المزدوجة: [p] × [q]

أبسط أنواع الموشورات المزدوجة، الموشور المزدوج 3،3، في مخطط شليجل ، هو واحد من 6 خلايا موشورية مثلثة موضحة.

أما النوع الثاني فهو عائلة لانهائية من الموشورات الثنائية المنتظمة ، وهي ناتج ضرب مضلعين منتظمين . مخطط كوكسيتر-دينكين للموشور الثنائي هو . شكل رأسه هو رباعي الأوجه ثنائي الوتد ، .

تتداخل هذه المجموعة مع المجموعة الأولى: عندما يكون أحد المضلعين "العاملين" مربعًا، يكون الناتج مكافئًا لمنشور فائق قاعدته منشور ثلاثي الأبعاد. عدد التناظر لمنشور مزدوج عوامله مضلع ذو p ضلع ومضلع ذو q ضلع ( منشور مزدوج من النوع p,q ) هو 4pq إذا كان p ≠ q ؛ أما إذا كان كلا العاملين مضلعين من النوع p ضلع، فإن عدد التناظر هو 8p² . ويمكن أيضًا اعتبار المكعب الفائق منشورًا مزدوجًا من النوع 4,4 .

المتجه f الممتد لـ { p }×{ q } هو ( p , p ,1)*( q , q ,1) = ( pq ,2 pq , pq + p + q , p + q ).

  • الخلايا: موشورات p -gonal q ، موشورات q -gonal p
  • الوجوه: pq مربعات ، pq مضلعات ، qp مضلعات
  • الحواف: 2pq
  • الرؤوس: pq

لا يوجد نظير موحد في أربعة أبعاد للعائلة اللانهائية من الموشورات المضادة ثلاثية الأبعاد .

مجموعة لانهائية من pq موشور مزدوج - - p موشورات q مضلعة، q موشورات p مضلعة:

اسمرسم بياني كوكسيترالخلاياصورشبكة
3-3 منشور مزدوج (ثلاثي الانعكاس)3+3 موشورات مثلثة
3-4 منشور مزدوج (tisdip)3 مكعبات 4 موشورات مثلثة
4-4 منشور مزدوج (tes) (نفس المكعب الفائق)4+4 مكعبات
3-5 منشور مزدوج (منشور مزدوج)3 موشورات خماسية، 5 موشورات مثلثة
4-5 منشور مزدوج (squipdip)4 موشورات خماسية 5 مكعبات
5-5 منشور مزدوج (pedip)5+5 موشورات خماسية
3-6 منشور مزدوج (ثيديب)3 موشورات سداسية، 6 موشورات مثلثة
4-6 منشور مزدوج (شيديب)4 موشورات سداسية 6 مكعبات
5-6 منشور مزدوج (phiddip)5 موشورات سداسية 6 موشورات خماسية
6-6 منشور مزدوج (hiddip)6+6 موشورات سداسية
3-33-43-53-63-73-8
4-34-44-54-64-74-8
5-35-45-55-65-75-8
6-36-46-56-66-76-8
7-37-47-57-67-77-8
8-38-48-58-68-78-8

التناوب ممكن. = يُعطي عائلة الموشورات الثنائية المضادة ، ولكن لا يمكن جعلها منتظمة بشكل عام. p=q=2 هي الحالة المحدبة الوحيدة التي يمكن جعلها منتظمة، مما يُعطي الخلية السداسية عشرة المنتظمة. p=5، q=5/3 هي الحالة غير المحدبة الوحيدة التي يمكن جعلها منتظمة، مما يُعطي ما يُسمى بالموشور الثنائي المضاد الكبير . يُعطي موشورًا ثنائيًا مضادًا من نوع p-2q (تناوب حواف للموشور الثنائي 2p-4q)، ولكن لا يمكن جعله منتظمًا في أي حالة. [ 23 ]

الموشورات المضلعة: [p] × [ ] × [ ]

تتداخل المجموعة اللانهائية من الموشورات المنتظمة مع الموشورات الثنائية 4-p: (p≥3) - - مكعبات p والموشورات 4- p - (جميعها متشابهة مع الموشور الثنائي 4-p ) متعدد السطوح الثاني في السلسلة هو تناظر أقل من المكعب الرباعي المنتظم ، {4}×{4}.

موشورات محدبة من النوع p
اسم{3}×{4}{4}×{4}{5}×{4}{6}×{4}{7}×{4}{8}×{4}{p}×{4}
مخططات كوكسيتر
صورة
الخلايا3 {4}×{} 4 {3}×{}4 {4}×{} 4 {4}×{}5 {4}×{} 4 {5}×{}6 {4}×{} 4 {6}×{}7 {4}×{} 4 {7}×{}8 {4}×{} 4 {8}×{}p {4}×{} 4 {p}×{}
شبكة

الموشورات المضادة متعددة الأضلاع: [p] × [ ] × [ ]

يتم إنشاء المجموعات اللانهائية من الموشورات المضادة المنتظمة من موشورين مضادين منتظمين متوازيين ): (p≥2) - - 2 موشور مضاد ذو p ضلع، متصل بواسطة 2 موشور ذو p ضلع و 2p موشور مثلثي.

موشورات محدبة مضادة للمنشورات من النوع p
اسمs{2,2}×{}s{2,3}×{}s{2,4}×{}s{2,5}×{}s{2,6}×{}s{2,7}×{}s{2,8}×{}s{2,p}×{}
مخطط كوكسيتر
صورة
شكل الرأس
الخلايا2 s{2,2} (2) {2}×{}= {4} 4 {3}×{}2 s{2,3} 2 {3}×{} 6 {3}×{}2 s{2,4} 2 {4}×{} 8 {3}×{}2 s{2,5} 2 {5}×{} 10 {3}×{}2 s{2,6} 2 {6}×{} 12 {3}×{}2 s{2,7} 2 {7}×{} 14 {3}×{}2 s{2,8} 2 {8}×{} 16 {3}×{}2 s{2,p} 2 {p}×{} 2 p {3}×{}
شبكة

المنشور المضاد ذو الأضلاع p له 4p وجه مثلث، و 4p وجه مربع، و 4 أوجه ذات أضلاع p. وله 10p ضلع، و 4p رأس.

تناوب غير منتظم

كما هو الحال في المكعب ثلاثي الأبعاد ، فإن التناوب يزيل نصف الرؤوس، في مجموعتين متماثلتين من الرؤوس من الشكل الحلقي ، إلا أن الحل المنتظم يتطلب تعديل مواقع الرؤوس لتكون متساوية الأطوال. في أربعة أبعاد، لا يكون هذا التعديل ممكنًا إلا لشكلين متناوبين، بينما توجد الأشكال المتبقية فقط كأشكال متناوبة غير متساوية الأضلاع.

أظهر كوكسيتر حلين منتظمين فقط لمجموعات كوكسيتر من الرتبة 4 ذات الحلقات المتناوبة (موضحة بعقد دائرية فارغة). الحل الأول هو s{2 1,1,1 }، والذي يمثل شكل مجموعة فرعية من الدليل 24 ( تناظر [2,2,2] + ، الرتبة 8) للديميتسيراكت h{4,3,3} (تناظر [1+ ، 4,3,3 ] = [3 1,1,1 ]، الرتبة 192). أما الحل الثاني فهو s{3 1,1,1 }، وهو شكل مجموعة فرعية من الدليل 6 (تناظر [3 1,1,1 ] + ، الرتبة 96) للخلية المقطوعة ذات 24 خلية s {3,4,3} (تناظر [3+ ، 4,3]، الرتبة 576).

لا يمكن جعل التناوبات الأخرى، مثل التناوب الناتج عن المكعب الفائق المقطوع بالكامل ، منتظمةً لأن حل معادلات أطوال الحواف المتساوية يكون في الغالب مُفرط التحديد (هناك ست معادلات ولكن أربعة متغيرات فقط). يمكن إنشاء هذه الأشكال المتناوبة غير المنتظمة كمضلعات رباعية متعدية الرؤوس عن طريق إزالة إحدى مجموعتي نصف رؤوس الشكل الحلقي الكامل، ولكن ستكون أطوال حوافها غير متساوية. ومثل التناوبات المنتظمة، سيكون لها نصف تناظر الشكل المنتظم، مثل [4,3,3] + ، من الرتبة 192، وهو تناظر المكعب الفائق المقطوع بالكامل المتناوب . [ 24 ]

تُنتج هياكل ويثوف ذات التناوب أشكالًا متعدية الرؤوس يمكن جعلها متساوية الأضلاع، ولكنها ليست منتظمة لأن الفجوات المتناوبة (حول الرؤوس المُزالة) تُنشئ خلايا غير منتظمة أو شبه منتظمة. يُقترح تسمية هذه الأشكال بالمضلعات المتدرجة . [ 25 ] تسمح هذه الفئة باستخدام مجموعة فرعية من مجسمات جونسون كخلايا، على سبيل المثال القبة المثلثية .

يجب أن يوجد كل تكوين رأسي داخل مجسم جونسون ضمن شكل الرأس. على سبيل المثال، يحتوي الهرم المربع على تكوينين رأسيين: 3.3.4 حول القاعدة، و3.3.3.3 عند القمة.

يتم عرض الشبكات وأشكال الرؤوس للحالات الأربع المحدبة متساوية الأضلاع أدناه، إلى جانب قائمة بالخلايا المحيطة بكل رأس.

أربعة متعددات وجوه رباعية الأضلاع متساوية الأضلاع محدبة ذات خلايا غير منتظمة، وتنتقل رؤوسها بشكل متعدٍ.
مخطط كوكسيترs 3 {2,4,3},s 3 {3,4,3},آحرون
العلاقة24 من أصل 48 رأسًا من رؤوس الموشور المكعب الثماني الأوجه المعيني288 من أصل 576 رأسًا من خلايا 24 مقطوعة72 من أصل 120 رأسًا من 600 خلية600 من أصل 720 رأسًا من خلايا 600 المعدلة
عرضحلقتان من الأهرامات
شبكةruncic snub cubic hosochoron [ 26 ] [ 27 ]runcic snub 24-cell [ 28 ] [ 29 ][ 30 ] [ 31 ] [ 32 ][ 33 ] [ 34 ]
الخلايا
شكل الرأس(1) 3.4.3.4: قبة مثلثة (2) 3.4.6: قبة مثلثة (1) 3.3.3: رباعي الأوجه (1) 3.6.6: رباعي الأوجه المقطوع(1) 3.4.3.4: قبة مثلثة (2) 3.4.6: قبة مثلثة (2) 3.4.4: منشور مثلث (1) 3.6.6: هرم رباعي الأوجه مقطوع (1) 3.3.3.3.3: هرم عشروني الأوجه(2) 3.3.3.5: مجسم عشريني الوجوه ثلاثي الأبعاد (4) 3.5.5: مجسم عشريني الوجوه ثلاثي الأبعاد(1) 3.3.3.3: هرم مربع (4) 3.3.4: هرم مربع (2) 4.4.5: منشور خماسي (2) 3.3.3.5: منشور خماسي مضاد

الاشتقاقات الهندسية لـ 46 شكلًا متعدد الألوان منتظمًا من نوع Wythoffian غير موشوري

تشمل متعددات الوجوه الرباعية الـ 46 من نوع ويثوف ستة متعددات وجوه رباعية منتظمة محدبة . أما الأربعون الأخرى، فيمكن اشتقاقها من متعددات الوجوه المنتظمة عن طريق عمليات هندسية تحافظ على معظم أو كل تناظراتها ، وبالتالي يمكن تصنيفها وفقًا لمجموعات التناظر المشتركة بينها.

مخطط موجز لعمليات الاقتطاعأمثلة على مواقع نقطة مولد الكاليديوسكوب على المجال الأساسي.

العمليات الهندسية التي تُشتق منها الأشكال الرباعية المنتظمة الأربعون هي عمليات اقتطاع . يمكن اقتطاع الشكل الرباعي عند رؤوسه أو حوافه أو وجوهه، مما يؤدي إلى إضافة خلايا تُقابل تلك العناصر، كما هو موضح في أعمدة الجداول أدناه.

يُظهر مخطط كوكسيتر -دينكين المرايا الأربع لمنظار ويثوف كعُقد، وتُسمى الحواف بين العُقد بعدد صحيح يُشير إلى الزاوية بين المرايا ( π / n راديان أو 180/ n درجة). تُشير العُقد المُحاطة بدائرة إلى المرايا النشطة لكل شكل؛ وتكون المرآة نشطة بالنسبة لرأس لا يقع عليها.

صفعمليةرمز شلافليالتناظرمخطط كوكسيتروصف
1أحد الوالدينt 0 {p,q,r}[p,q,r]الصيغة المنتظمة الأصلية {p,q,r}
2تصحيحt 1 {p,q,r}يتم تطبيق عملية الاقتطاع حتى تتحول الحواف الأصلية إلى نقاط.
3التوجيه المزدوج (التقويم الثنائي)t 2 {p,q,r}يتم اقتطاع الأوجه بالكامل إلى نقاط. نفس الشيء بالنسبة للثنائي المصحح.
4التوجيه الثلاثي ( ثنائي )t 3 {p,q,r}تُختزل الخلايا إلى نقاط. ثنائي منتظم {r,q,p}
5الاقتطاعt 0,1 {p,q,r}يتم قطع كل رأس بحيث يبقى منتصف كل حافة أصلية. في مكان الرأس، تظهر خلية جديدة، وهي شكل رأس الأصل . وبالمثل، يتم اقتطاع كل خلية أصلية.
6ترنيمةt 0,2 {p,q,r}عملية اقتطاع مطبقة على الحواف والرؤوس وتحدد تدرجًا بين الشكل المنتظم والشكل المصحح المزدوج.
7التمدد (أو التوسع )t 0,3 {p,q,r}عملية اقتطاع تُطبق على الخلايا والوجوه والحواف؛ تحدد التدرج بين الشكل المنتظم والشكل الثنائي.
8اقتطاع مزدوجt 1,2 {p,q,r}اقتطاع بين الشكل المصحح والشكل المصحح المزدوج.
9التألق الثنائيt 1,3 {p,q,r}الثنائي المُقنّع {r,q,p}.
10اقتطاع ثلاثيt 2,3 {p,q,r}ثنائي مقطوع {r,q,p}.
11اقتطاعt 0,1,2 {p,q,r}تم تطبيق عمليتي الحذف والقطع معًا .
12الاقتطاعt 0,1,3 {p,q,r}تم تطبيق عمليتي التفتيت والقطع معًا .
13الرونكانتليشنt 0,2,3 {p,q,r}ثنائي غير مكتمل {r,q,p}.
14اقتطاع ثنائيt 1,2,3 {p,q,r}ثنائي مبتورة {r,q,p}.
15الاختصار الكامل (الاختصار الجزئي)t 0,1,2,3 {p,q,r}تطبيق جميع العوامل الثلاثة.
16سحقs{p,2q,r}[p + ,2q,r]الاقتطاع المتناوب
17تجاهل ترنيمةs 2 {p,2q,r}اقتطاع متناوب ذو نهايات مزخرفة
18تجاهل رونسيتشs 3 {p,2q,r}قطع متناوب غير منتظم
19رونسيكانتيك سنوبs 2,3 {p,2q,r}اقتطاع متناوب غير منتظم
20تم تصحيح الانحناءsr{p,q,2r}[(p,q) + ,2r]التصحيح المقتطع المتناوب
21ht 0,3 {2p,q,2r}[(2p,q,2r,2 + )]التفتيت المتناوب
22بيسنوب2s{2p,q,2r}[2p,q + ,2r]اقتطاع البتات المتناوب
23أومنيسنوبht 0,1,2,3 {p,q,r}[p,q,r] +التقطيع المتبادل
24نصفh{2p,3,q}[1 + 2p,3,q] =[(3,p,3),q]تناوب ، كما هو
25ترنيمةh 2 {2p,3,q}نفس الشيء
26رونشيتشh 3 {2p,3,q}نفس الشيء
27رونسيكانتيكh 2,3 {2p,3,q}نفس الشيء
28ربعq{2p,3,2q}[1 + ،2p،3،2q،1 + ]نفس الشيء

انظر أيضًا إلى خلايا النحل المحدبة المنتظمة ، والتي يوضح بعضها هذه العمليات كما تم تطبيقها على خلية النحل المكعبة المنتظمة .

إذا كان شكلان متعددا الوجوه متناظرين (مثل المكعب الفائق والشكل ذي الـ 16 خلية، أو الشكل ذي الـ 120 خلية والشكل ذي الـ 600 خلية)، فإن عملية اقتطاع البتات ، أو اقتطاع التكرارات، أو اقتطاع جميع الأشكال ، تُنتج الشكل نفسه عند تطبيق العملية نفسها على الشكل الآخر. لذا، عندما يظهر اسم الفاعل فقط في الجدول، يُفهم أنه ينطبق على أي من الشكلين الأصليين.

ملخص الإنشاءات باستخدام التناظر الممتد

تُعرض في هذا الجدول الأشكال المتعددة الألوان المتجانسة الستة والأربعون المُنشأة من تناظر A₄ و B₄ و F₄ و H₄ ، وذلك من خلال تناظرها الممتد الكامل ومخططات كوكسيتر. كما يُدرج تناظر D₄ ، على الرغم من أنه يُنتج نسخًا مُكررة فقط. تُصنف التناوبات حسب تناظرها الكيرالي. جميع التناوبات مُدرجة، باستثناء الشكل المُختصر ذي الـ 24 خلية ، والذي يتكون من 3 هياكل من عائلات مختلفة، فهو الشكل المتجانس الوحيد. تُشير الأعداد بين قوسين إلى التكرارات أو عدم التجانس. تُعرض مخططات كوكسيتر بمؤشرات سفلية من 1 إلى 46. تُدرج عائلة الموشورات المزدوجة 3-3 و4-4، وذلك لعلاقتها بعائلة B₄ .

مجموعة كوكسيترالتناظر الممتدبوليكوراالتناظر الممتد الكيراليخلايا النحل المتناوبة
[3,3,3][3,3,3] (الترتيب 120)6(1) | (2) | (3) (4) | (7) | (8)
[2 + [3,3,3 ]] (الرتبة 240)3(5) | (6) | (9)[2 + [3,3,3 ]] + (الرتبة 120)(1)(-)
[3,3 1,1 ][3,3 1,1 ] (الترتيب 192)0(لا أحد)
[1[3,3 1,1 ]] =[4,3,3] = (الترتيب 384)(4)(12) | (17) | (11) | (16)
[3[3 1,1,1 ]] =[3,4,3] = (الترتيب 1152)(3)(22) | (23) | (24)[3[3,3 1,1 ]] + =[3,4,3] + (الرتبة 576)(1)(31) (= ) (−)
[4,3,3][3[1 + ,4,3,3 ]] =[3,4,3] = (الترتيب 1152)(3)(22) | (23) | (24)
[4,3,3] (الترتيب 384)12(10) | (11) | (12) | (13) | ( 14 ) (15 ) | (16) | (17) | (18) | (19) (20) | (21)[1 + ,4,3,3] + (الترتيب 96)(2)(12) (= ) (31) (−)
[4,3,3] + (الترتيب 192)(1)(-)
[3,4,3][3,4,3] (الترتيب 1152)6(22) | (23) | (24) (25) | (28) | (29)[2 + [3 + ,4,3 + ]] (الترتيب 576)1(31)
[2 + [3,4,3 ]] (الترتيب 2304)3(26) | (27) | (30)[2 + [3,4,3 ]] + (الرتبة 1152)(1)(-)
[5,3,3][5,3,3] (الترتيب 14400)15(32) | (33) | (34) | ( 35) | (36) (37) | (38 ) | (39) | (40) | (41) (42) | (43) | (44) | (45) | (46)[5,3,3] + (الترتيب 7200)(1)(-)
[3,2,3][3,2,3] (الترتيب 36)0(لا أحد)[3,2,3] + (الرتبة 18)0(لا أحد)
[2 + [3,2,3 ]] (الرتبة 72)0[2 + [3,2,3 ]] + (الرتبة 36)0(لا أحد)
[[ 3],2,3]=[6,2,3] = (الترتيب 72)1[1[3,2,3 ]] = [[ 3],2,3] + =[6,2,3] + (الرتبة 36)(1)
[(2 + ,4)[3,2,3 ]] =[2 + [6,2,6 ]] = (الرتبة 288)1[(2 + ,4)[3,2,3 ]] + =[2 + [6,2,6 ]] + (الرتبة 144)(1)
[4,2,4][4,2,4] (الترتيب 64)0(لا أحد)[4,2,4] + (الرتبة 32)0(لا أحد)
[2 + [4,2,4 ]] (الرتبة 128)0(لا أحد)[2 + [(4,2 + ,4,2 + ) ]] (الرتبة 64)0(لا أحد)
[(3,3)[4,2*,4 ]] =[4,3,3] = (الترتيب 384)(1)(10)[(3,3)[4,2*,4 ]] + =[4,3,3] + (الرتبة 192)(1)(12)
[[ 4],2,4]=[8,2,4] = (الترتيب 128)(1)[1[4,2,4 ]] = [[ 4],2,4] + =[8,2,4] + (الرتبة 64)(1)
[(2 + ,4)[4,2,4 ]] =[2 + [8,2,8 ]] = (الرتبة 512)(1)[(2 + ,4)[4,2,4 ]] + =[2 + [8,2,8 ]] + (الرتبة 256)(1)

نجمة موحدة بوليشورا

إلى جانب عائلتي الموشورات المزدوجة والموشورات المضادة اللانهائية المذكورة آنفًا، والتي تضم عددًا لا نهائيًا من العناصر غير المحدبة، تم اكتشاف العديد من النجوم متعددة الألوان المنتظمة. في عام 1852، اكتشف لودفيج شلافلي أربعة نجوم متعددة الألوان منتظمة : {5,3,5/2}، {5/2,3,5}، {3,3,5/2}، و{5/2,3,3}. وفي عام 1883، اكتشف إدموند هيس النجوم الستة الأخرى: {3,5,5/2}، {5/2,5,3}، {5,5/2,5}، {5/2,5,5/2}، {5,5/2,3}، و{3,5/2,5}. وصف نورمان جونسون في أطروحته للدكتوراه عام 1966 ثلاثة أشكال نجمية متعددة الألوان منتظمة تشبه الموشور المضاد: وهي مبنية على ثلاثة مجسمات ثلاثية الأضلاع تشترك في حواف ورؤوس المجسم الاثني عشري المنتظم. وقد اكتشف باحثون آخرون، من بينهم جوناثان باورز وجورج أولشيفسكي، العديد من هذه الأشكال منذ ذلك الحين، ليصل العدد الإجمالي المعروف حاليًا إلى 2127 شكلًا نجميًا متعدد الألوان منتظمًا (دون احتساب المجموعة اللانهائية من الموشورات الثنائية المبنية على مضلعات نجمية). ولا يوجد حاليًا أي دليل على اكتمال هذه المجموعة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ إن دبليو جونسون : الهندسة والتحويلات ، (2018) ISBN 978-1-107-10340-5الفصل 11: مجموعات التناظر المحدودة ، 11.1 متعددات الوجوه وخلايا النحل ، ص 224
  2. ↑ تي. جوسيت : حول الأشكال المنتظمة وشبه المنتظمة في فضاء ذي أبعاد ن ، رسول الرياضيات، ماكميلان، 1900
  3. ^ أ. بول ستوت (1910). "الخصم الهندسي للشبه المنتظم من متعددات الأسطح العادية وحشوات الفضاء" (PDF) . Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . الحادي عشر (1). أمستردام: يوهانس مولر. مؤرشفة من الأصلي (PDF) في 29 أبريل 2025.
  4. ↑ بولو بلانكو، إيرين (2007). "أليسيا بول ستوت والمضلعات رباعية الأبعاد". نظرية وتاريخ النماذج الهندسية (ملف PDF) (أطروحة دكتوراه). جامعة جرونينجن. ص 155-156 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 22 يناير 2025. 
  5. ^ بي إتش شوت (1911). "المعالجة التحليلية للبوليتوبات المستمدة بانتظام من البوليتوبات العادية" (PDF) . Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . القسم الأول. الحادي عشر (3). أمستردام: يوهانس مولر. مؤرشفة من الأصلي (PDF) في 22 يناير 2025.
  6. ^ بي إتش شوت (1913). "المعالجة التحليلية للبوليتوبات المستمدة بانتظام من البوليتوبات العادية" (PDF) . Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . الأقسام الثاني والثالث والرابع. الحادي عشر (5). أمستردام: يوهانس مولر. مؤرشفة من الأصلي (PDF) في 22 فبراير 2025.
  7. ↑ إلت (1912)
  8. ↑ متعددات الوجوه المنتظمة في أربعة أبعاد، 6 ديسمبر 1998، أقدم أرشيف
  9. ↑ كتاب الرياضيات الشامل: من أبراكادابرا إلى مفارقات زينون، بقلم ديفيد دارلينج، (2004) ASIN: B00SB4TU58
  10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 جونسون (2015)، الفصل 11، القسم 11.5 مجموعات كوكسيتر الكروية، 11.5.5 مجموعات متعددة الألوان كاملة
  11. ↑ متعددات الوجوه المنتظمة في أربعة أبعاد ، جورج أولشيفسكي.
  12. ^ ماركو مولر (2004). Vier Dimensione Archimedische Polytope (PDF) (أطروحة الدكتوراه) (باللغة الألمانية). جامعة هامبورغ.
  13. ↑ كونواي، بورجيل، جودمان-ستراوس (2008)
  14. ↑ معجم متعدد الأبعاد ، جورج أولشيفسكي
  15. ↑ https://www.mit.edu/~hlb/Associahedron/program.pdf ورشة عمل حول الأشكال متعددة الأوجه المحدبة والمجردة (2005)، ن. جونسون — ملخص "متعددة الألوان المنتظمة"
  16. 1 2 "Uniform Polychora" . www.polytope.net . تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 فبراير 2020 .
  17. ↑ "متعدد السطوح المنتظم" . ويكي متعدد السطوح . 6 نوفمبر 2023. تم الاسترجاع في 11 نوفمبر 2023 .
  18. ↑ كوكسيتر، متعددات الوجوه المنتظمة، 7.7 معيار شلايفلي معادلة 7.78، ص 135
  19. ↑ "S3s3s3s" .
  20. ↑ "S3s3s4s" .
  21. ↑ "S3s4s3s" .
  22. ↑ "S3s3s5s" .
  23. ↑ sns2s2mx ، ريتشارد كليتزينغ
  24. ↑ HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة II، [Math. Zeit. 188 (1985) ص 582-588 2.7 النظائر رباعية الأبعاد للمكعب المقطوع
  25. ↑ "شجرة متعددة الأشكال" .
  26. ↑ "tuta" .
  27. ↑ الفئة S1: قشريات بسيطة على شكل كأس
  28. ↑ "prissi" .
  29. ↑ الفئة S3: سكاليفورمز بريسّي
  30. ↑ "bidex" . bendwavy.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 نوفمبر 2023 .
  31. ↑ الفئة S3: حشرات
  32. ↑ خلية Bi-icositetradiminished 600
  33. ↑ "spidrox" . bendwavy.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 نوفمبر 2023 .
  34. ↑ الفئة S4: موشورات حلزونية متقشرة spidrox
  • ب. غرونباوم، متعددات الوجوه المحدبة ، نيويورك، لندن: سبرينغر، 2003. ISBN 0-387-00424-6. الطبعة الثانية أعدها فولكر كايبيل، وفيكتور كلي ، وغونتر إم. زيغلر.
  • إلت، إيمانويل لودويجك (2006). متعددات الوجوه شبه المنتظمة للفضاءات الفائقة . مكتب النشر العلمي، مكتبة جامعة ميشيغان. ISBN 1-4181-7968-X.
  • HSM Coxeter :
    • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins and JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1954
    • إتش إس إم كوكسيتر، الأشكال المتعددة المنتظمة ، الطبعة الثالثة، دوفر، نيويورك، 1973
  • كتاب "المناظير: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيتش فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، رقم ISBN 978-0-471-01003-6
    • (الورقة 22) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة I ، [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407، MR 2,10]
    • (الورقة 23) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة II ، [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
  • HSM Coxeter و WOJ Moser. مولدات وعلاقات للمجموعات المنفصلة ، ​​الطبعة الرابعة، Springer-Verlag. نيويورك. 1980. الصفحات 92، 122.
  • جون إتش. كونواي ، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس ، تناظرات الأشياء 2008، رقم ISBN 978-1-56881-220-5(الفصل 26)
  • جون إتش. كونواي وإم جيه تي جاي : متعددات الوجوه الأرخميدية رباعية الأبعاد ، وقائع ندوة التحدب في كوبنهاغن، الصفحات 38-39، 1965
  • إن دبليو جونسون : نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل ، أطروحة دكتوراه، جامعة تورنتو، 1966
  • إن دبليو جونسون: الهندسات والتحويلات ، (2015) الفصل 11: مجموعات التناظر المحدودة
  • ريتشارد كليتزينج، Snubs، و altated facetings، و Stott-Coxeter-Dynkin diagrams ، Symmetry: Culture and Science، المجلد 21، العدد 4، الصفحات 329-344، (2010)
  • v
  • ت
  • هـ
المضلعات المحدبة الأساسية المنتظمة والمتجانسة في الأبعاد من 2 إلى 10
عائلةأن​ب نI 2 ( p ) / D nE 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2H n
مضلع منتظممثلثمربعبي-جونمسدسالبنتاغون
متعدد السطوح منتظمرباعي الأوجهثماني الأوجه • مكعبمكعب ديميكيوبالمجسم ذو الاثني عشر وجهًا • المجسم ذو العشرين وجهًا
بوليكلورون موحدبنتاشورون16 خلية • تيسيراكتديميتسيراكت24 خلية120 خلية • 600 خلية
متعدد الوجوه الخماسي المنتظم5-simplex5-أورثوبليكس • 5-كيوب5-نصف مكعب
متعدد الوجوه سداسي منتظم6-simplex6-أورثوبليكس • 6-كيوب6-نصف مكعب1 22 • 2 21
متعدد الوجوه منتظم ذو 7 أوجه7-simplex7-أورثوبليكس • 7-كيوب7-نصف مكعب1 32 • 2 31 • 3 21
متعدد الوجوه منتظم ذو 8 أوجه8-simplex8-أورثوبليكس • 8-كيوب8-نصف مكعب1 42 • 2 41 • 4 21
متعدد الوجوه ذو 9 أجزاء متجانس9-simplex9-أورثوبليكس • 9-كيوب9-نصف مكعب
متعدد الوجوه منتظم مكون من 10 أجزاء10-simplex10-أورثوبليكس • 10-كيوب10-نصف مكعب
متعدد السطوح المنتظم من النوع nn - سيمبلكسن - أورثوبليكس • ن - كيوبن - نصف مكعب1 k2 • 2 k1 • k 21متعدد الوجوه الخماسي n
المواضيع: عائلات متعددات الوجوه • متعدد الوجوه المنتظم • قائمة متعددات الوجوه المنتظمة والمركبات • عمليات متعددات الوجوه