متعدد الوجوه منتظم مكون من 10 أجزاء

رسوم بيانية لثلاثة متعددات وجوه منتظمة ومتعددات وجوه منتظمة ذات صلة .

10-simplex				10-simplex مختصر				مُقوَّم 10-simplex
كانتليتد 10-سيمبلكس						رونشينيتد 10-سيمبلكس
مُعَزَّز 10-أحادي				خماسي 10-سيمبلكس				سداسي 10-بسيط
سباعي 10-simplex				ثماني الأضلاع 10-simplex				مُحاط بـ 10-simplex
10-orthoplex				10-orthoplex المختصر				10-orthoplex المعدل
مكعب ذو 10 خانات				مكعب مقطوع ذو 10 أبعاد				مكعب مصحح 10
10-نصف مكعب						مكعب صغير مُقتطع بحجم 10 ميكروبوصة

في الهندسة ذات العشرة أبعاد ، فإن متعدد السطوح ذو العشرة أبعاد هو متعدد السطوح ذو حدود تتكون من 9 أوجه متعددة السطوح ، ويلتقي وجهان من هذه الأوجه بالضبط عند كل حافة من حواف متعدد السطوح ذات الثمانية أبعاد .

المضلع المنتظم ذو العشرة أوجه هو مضلع متعدٍ على الرؤوس ، ومبني من أوجه منتظمة .

يمكن تمثيل الأشكال متعددة الأوجه المنتظمة ذات العشرة أضلاع بواسطة رمز شلافلي {p,q,r,s,t,u,v,w,x}، مع x {p,q,r,s,t,u,v,w} وجوه متعددة الأوجه ذات 9 أضلاع حول كل قمة .

يوجد بالضبط ثلاثة من هذه الأشكال المحدبة المنتظمة ذات البعد 10 :

1. {3,3,3,3,3,3,3,3,3} - 10-simplex
2. {4,3,3,3,3,3,3,3,3} - مكعب ذو 10 أبعاد
3. {3,3,3,3,3,3,3,3,4} - 10-orthoplex

لا توجد متعددات وجوه منتظمة غير محدبة من الرتبة 10.

تُحدد طوبولوجيا أي متعدد الوجوه ذي 10 أبعاد بواسطة أعداد بيتي ومعاملات الالتواء الخاصة به . ^{[ 1 ]}

لا يمكن تعميم قيمة خاصية أويلر المستخدمة لوصف المجسمات متعددة الأوجه بشكل مفيد إلى الأبعاد الأعلى، وهي تساوي صفرًا لجميع المجسمات متعددة الأوجه ذات البعد 10، بغض النظر عن بنيتها الطوبولوجية الأساسية. وقد أدى هذا القصور في خاصية أويلر في التمييز بدقة بين البنى الطوبولوجية المختلفة في الأبعاد الأعلى إلى اكتشاف أعداد بيتي الأكثر تطورًا. ^{[ 1 ]}

وبالمثل، فإن مفهوم قابلية توجيه متعدد السطوح غير كافٍ لتوصيف التواءات سطح متعددات السطوح الحلقية، وقد أدى ذلك إلى استخدام معاملات الالتواء. ^{[ 1 ]}

يمكن توليد متعددات الوجوه المنتظمة ذات التناظر الانعكاسي من خلال مجموعات كوكسيتر الثلاث هذه، والتي يتم تمثيلها بتباديل حلقات مخططات كوكسيتر-دينكين :

8	مجموعة كوكسيتر		مخطط كوكسيتر-دينكين
1	١٠​	[3 9 ]
2	ب 10	[4,3 8 ]
3	D 10	[3 7,1,1 ]

تتضمن الأشكال المتعددة المنتظمة والمتجانسة ذات العشرة أوجه المختارة من كل عائلة ما يلي:

1. عائلة سيمبلكس : A ₁₀ [3 ⁹ ] -
   • 527 متعدد الوجوه المنتظم ذو العشرة أبعاد كبدائل للحلقات في مخطط المجموعة، بما في ذلك حلقة منتظمة واحدة:
     1. {3 ⁹ } - 10-simplex -
2. عائلة المكعب الفائق / أورثوبليكس : B ₁₀ [4,3 ⁸ ] -
   • 1023 متعدد الوجوه المنتظم ذو العشرة أبعاد كبدائل للحلقات في مخطط المجموعة، بما في ذلك حلقتان منتظمتان:
     1. {4,3 ⁸ } - مكعب ذو عشرة أبعاد أو مكعب ديكراكت -
     2. {3 ⁸ ,4} - 10-orthoplex أو decacross -
     3. h{4,3 ⁸ } - مكعب نصف قطره 10 -
3. عائلة المكعب الفائق النصفي D ₁₀ : [3 ^7,1,1 ] -
   • 767 متعدد الوجوه المنتظم ذو العشرة أبعاد كبدائل للحلقات في مخطط المجموعة، بما في ذلك:
     1. 1 _7,1 - مكعب نصفي ذو 10 أو مكعب نصفي -
     2. 7 _1,1 - 10-orthoplex -

تتمتع عائلة A ₁₀ بتناظر من الرتبة 39,916,800 ( عامل 11 ).

يوجد 512 + 16 − 1 = 527 شكلاً بناءً على جميع تباديل مخططات كوكسيتر-دينكين ذات حلقة واحدة أو أكثر. يُعرض أدناه 31 شكلاً منها: جميع الأشكال ذات الحلقة الواحدة والحلقتين، والشكل النهائي المختصر. تُعطى أسماء الاختصارات على نمط باورز بين قوسين للرجوع إليها.

8	الرسم البياني	مخطط كوكستر-دينكين رمز شلايفلي الاسم	عدد العناصر
			تسعة وجوه	ثمانية وجوه	سبعة وجوه	ستة أوجه	خمسة وجوه	أربعة أوجه	الخلايا	وجوه	الحواف	الرؤوس
1		t 0 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} 10-simplex (ux)	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11
2		t 1 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} مُقوَّم 10-simplex (ru)									495	55
3		t 2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} ثنائي التوجيه 10-simplex (bru)									1980	165
4		t 3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} 10-simplex مصحح ثلاثياً (صحيح)									4620	330
5		t 4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} رباعي التصحيح 10-simplex (teru)									6930	462
6		t 0,1 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} مجموعة عشرية مبتورة (tu)									550	110
7		t 0,2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} مُعَدَّل 10-simplex									4455	495
8		t 1,2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} بتات مقطوعة 10-simplex									2475	495
9		t 0,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} رنسيناتيد 10-سيمبلكس									15840	1320
10		t 1,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} ثنائي القنوات 10-simplex									17820	1980
11		t 2,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} ثلاثي القطع 10-simplex									6600	1320
12		t 0,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} 10-simplex مجزأ									32340	2310
13		t 1,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} ثنائي التناظر 10-simplex									55440	4620
14		t 2,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} ثلاثي الأضلاع 10-simplex									41580	4620
15		t 3,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} رباعية القطع 10-simplex									11550	2310
16		t 0,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} خماسي 10-simplex									41580	2772
17		t 1,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} ثنائي 10-simplex									97020	6930
18		t 2,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} ثلاثي القطع 10-simplex									110880	9240
19		t 3,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} رباعي الأضلاع 10-simplex									62370	6930
20		t 4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} خماسي القطع 10-simplex									13860	2772
21		t 0,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} سداسي عشري بسيط									34650	2310
22		t 1,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} ثنائي خماسي 10-simplex									103950	6930
23		t 2,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} مُركب ثلاثي الستيرات ذو 10 وحدات									161700	11550
24		t 3,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} رباعي القطع 10-simplex									138600	11550
25		t 0,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} سباعي 10-simplex									18480	1320
26		t 1,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} ثنائي سداسي 10-بسيط									69300	4620
27		t 2,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} ثلاثي الأضلاع 10-simplex									138600	9240
28		t 0,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} ثماني الأضلاع 10-simplex									5940	495
29		t 1,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} ثنائي سباعي 10-بسيط									27720	1980
30		t 0,9 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} مُحاطة بـ 10-simplex									990	110
31		t 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} مجموعة عشرية مقطوعة									199584000	39916800

هناك 1023 شكلاً مبنية على جميع تباديل مخططات كوكسيتر-دينكين مع حلقة واحدة أو أكثر.

تُعرض أدناه اثنتا عشرة حالة: عشر حالات ذات حلقة واحدة ( مُعدَّلة )، وحالتان من حالات الاختصار. ترد أسماء الاختصارات على نمط Bowers بين قوسين للرجوع إليها.

8	الرسم البياني	مخطط كوكستر-دينكين رمز شلايفلي الاسم	عدد العناصر
			تسعة وجوه	ثمانية وجوه	سبعة وجوه	ستة أوجه	خمسة وجوه	أربعة أوجه	الخلايا	وجوه	الحواف	الرؤوس
1		t 0 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} مكعب ذو 10 أبعاد (deker)	20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024
2		t 0,1 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} مكعب 10 مقطوع (tade)									51200	10240
3		t 1 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} مكعب مصحح ذو 10 أضلاع (rade)									46080	5120
4		t 2 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} مكعب 10 ثنائي التصحيح (مصفوفة)									184320	11520
5		t 3 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} مكعب ثلاثي التصحيح ذو 10 أبعاد (تبادل)									322560	15360
6		t 4 {4,3,3,3,3,3,3,3,3} مكعب رباعي التصحيح ذو 10 أبعاد (terade)									322560	13440
7		t 4 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} رباعي التصحيح 10-orthoplex (terake)									201600	8064
8		t 3 {3,3,3,3,3,3,3,4} ثلاثي التوجيه 10-orthoplex (trak)									80640	3360
9		t 2 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} ثنائي التوجيه 10-orthoplex (مكابح)									20160	960
10		t 1 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} مُعدَّل 10-orthoplex (مشط)									2880	180
11		t 0,1 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} مقطع 10-orthoplex (مأخوذ)									3060	360
12		t 0 {3,3,3,3,3,3,3,3,4} 10-orthoplex (ka)	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20

تتمتع عائلة D ₁₀ بتناظر من الرتبة 1,857,945,600 (10 مضروب × 2 ⁹ ).

تحتوي هذه العائلة على 767 متعدد وجوه منتظم من نوع Wythoffian، تم توليدها بتحديد عقدة واحدة أو أكثر من مخطط Coxeter-Dynkin _D10 . من بين هذه المتعددات، 511 (2 × 256 - 1) مكررة من عائلة B10، _و 256 فريدة لهذه العائلة، مع ذكر اثنين منها أدناه. ترد أسماء الاختصارات على نمط Bowers بين قوسين للرجوع إليها.

8	الرسم البياني	مخطط كوكستر-دينكين رمز شلايفلي الاسم	عدد العناصر
			تسعة وجوه	ثمانية وجوه	سبعة وجوه	ستة أوجه	خمسة وجوه	أربعة أوجه	الخلايا	وجوه	الحواف	الرؤوس
1		10-نصف مكعب (هيد)	532	5300	24000	64800	115584	142464	122880	61440	11520	512
2		مكعب 10-ديميكوب مقطوع (thede)									195840	23040

توجد أربع مجموعات كوكسيتر أفينية أساسية تولد تبليطات منتظمة وموحدة في الفضاء ذي 9 أبعاد:

8	مجموعة كوكسيتر		مخطط كوكسيتر-دينكين
1	${\displaystyle {\tilde {A}}_{9}}$	[3 [10] ]
2	${\displaystyle {\tilde {B}}_{9}}$	[4,3 7 ,4]
3	${\displaystyle {\tilde {C}}_{9}}$	h[4,3 7 ,4] [4,3 6 ,3 1,1 ]
4	${\displaystyle {\tilde {D}}_{9}}$	q[4,3 7 ,4] [3 1,1 ,3 5 ,3 1,1 ]

تشمل الأشكال الهندسية المنتظمة والموحدة ما يلي:

• خلية نحل مكعبة فائقة منتظمة ذات 9 عناصر ، برموز { ^4،3،7،4 }،
• قرص عسل مكعب فائق متناوب منتظم ذو 9 رموز h{4,3 ⁷ ,4}،

خلايا نحل زائدة منتظمة وموحدة

لا توجد زمر كوكسيتر زائدية متراصة من الرتبة 10، وهي زمر قادرة على توليد أشكال قرص العسل ذات أوجه منتهية وشكل رأس منتهٍ . مع ذلك، توجد ثلاث زمر كوكسيتر زائدية شبه متراصة من الرتبة 9، تولد كل منها أشكال قرص العسل المنتظمة في الفضاء ذي الأبعاد 9 كتباديل لحلقات مخططات كوكسيتر.

${\displaystyle {\bar {Q}}_{9}}$= [3 1,1 ,3 4 ,3 2,1 ]:

${\displaystyle {\bar {S}}_{9}}$= [4,3 5 ,3 2,1 ]:

${\displaystyle E_{10}}$أو${\displaystyle {\bar {T}}_{9}}$= [3 6,2,1 ]:

ثلاث خلايا نحل من${\displaystyle E_{10}}$العائلة، التي يتم إنشاؤها بواسطة مخططات كوكسيتر ذات الحلقات الطرفية هي:

• 6 ₂₁ قرص العسل :
• 2 ₆₁ قرص العسل :
• 1 ₆₂ قرص العسل :

• تي. جوسيت : حول الأشكال المنتظمة وشبه المنتظمة في فضاء ذي أبعاد ن ، رسول الرياضيات ، ماكميلان، 1900
• أ. بول ستوت (1910). "الخصم الهندسي للشبه المنتظم من متعددات الأسطح العادية وحشوات الفضاء" (PDF) . Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . الحادي عشر (1). أمستردام: يوهانس مولر. مؤرشفة من الأصلي (PDF) في 29 أبريل 2025.
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins und JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1954
  • إتش إس إم كوكسيتر، الأشكال المتعددة المنتظمة ، الطبعة الثالثة، دوفر، نيويورك، 1973
• كتاب "المناظير: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيتش فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، wiley.com ، ISBN 978-0-471-01003-6
  • (الورقة 22) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة I ، [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407، MR 2,10]
  • (الورقة 23) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة II ، [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• إن دبليو جونسون : نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل ، أطروحة دكتوراه، جامعة تورنتو، 1966
• كليتزينغ، ريتشارد. "متعددات الوجوه المنتظمة ذات الأبعاد العشرة (بوليكسينّا) مع الاختصارات" .

• أسماء متعددة الأوجه
• متعددات الوجوه ذات الأبعاد المختلفة ، جوناثان باورز
• مسرد متعدد الأبعاد
• مسرد مصطلحات الفضاء الفائق ، جورج أولشيفسكي.