قرص العسل E9

في الهندسة ، فإن قرص العسل E ₉ هو فسيفساء من متعددات السطوح المنتظمة في فضاء زائدي مكوّن من 9 أبعاد. ، أيضًا (E ₁₀ ) عبارة عن مجموعة زائدية شبه مضغوطة، لذلك لن تكون الأوجه أو أشكال الرؤوس محدودة.${\displaystyle {\bar {T}}_{9}}$

E ₁₀ هي المجموعة الأخيرة من سلسلة مجموعات Coxeter ذات مخطط Coxeter-Dynkin المتشعب بأطوال 6 و2 و1. يوجد 1023 قرص عسل فريد من نوعه E ₁₀ حسب جميع تركيبات مخطط Coxeter-Dynkin الخاص به . لا توجد أقراص عسل منتظمة في العائلة لأن مخطط Coxeter الخاص بها عبارة عن رسم بياني غير خطي، ولكن يوجد ثلاثة أبسط منها، بحلقة واحدة في نهاية فروعها الثلاثة: 6 ₂₁ و2 ₆₁ و1 ₆₂ .

6 21 قرص العسل
عائلة	ك 21 متعدد السطوح
رمز شلايفلي	{3،3،3،3،3،3،3 2،1 }
رمز كوكستر	6 21
مخطط كوكستر-داينكين
9 وجوه	6 11 {3 8 }
8 وجوه	{3 7 }
7 وجوه	{3 6 }
6 وجوه	{3 5 }
5 وجوه	{3 4 }
4 وجوه	{3 3 }
الخلايا	{3 2 }
وجوه	{3}
شكل الرأس	5 21
مجموعة التماثل	${\displaystyle {\bar {T}}_{9}}$، [3 6،2،1 ]

يتم إنشاء قرص العسل 6 ₂₁ من أوجه متناوبة 9-simplex و 9-orthoplex ضمن تناسق مجموعة Coxeter E ₁₀ .

هذا القرص العسلي منتظم للغاية بمعنى أن مجموعة التناظر الخاصة به (مجموعة Weyl E ₉ الأفينية ) تعمل بشكل انتقالي على الوجوه k لـ k ≤ 7. جميع الوجوه k لـ k ≤ 8 هي تبسيطات.

هذا القرص العسلي هو الأخير في سلسلة متعددات السطوح k ₂₁ ، التي أحصاها ثورولد جوسيت في عام 1900، حيث أدرج متعددات السطوح وأقراص العسل المكونة بالكامل من جوانب منتظمة، على الرغم من أن قائمته انتهت بقرص العسل الإقليدي ثماني الأبعاد، 5 _21. ^[1 ]

يتم إنشاؤه بواسطة بناء وايثوف على مجموعة من 10 مرايا ذات مستوى زائد في فضاء زائدي ذو 9 أبعاد.

يمكن استخراج معلومات الجوانب من مخطط Coxeter-Dynkin الخاص بها .

إزالة العقدة في نهاية الفرع بطول 2 يترك 9-orthoplex ، 7 ₁₁ .

إزالة العقدة في نهاية الفرع بطول 1 يترك 9 بسيطًا .

يتم تحديد شكل الرأس بإزالة العقدة الحلقية وحلقة العقدة المجاورة. هذا يجعل قرص العسل 5 ₂₁ .

يتم تحديد شكل الحافة من شكل الرأس عن طريق إزالة العقدة الحلقية وحلقة العقدة المجاورة. هذا يجعل متعدد السطوح 4 ₂₁ .

يتم تحديد شكل الوجه من شكل الحافة عن طريق إزالة العقدة الحلقية وحلقة العقدة المجاورة. هذا يجعل متعدد السطوح 3 ₂₁ .

يتم تحديد شكل الخلية من شكل الوجه عن طريق إزالة العقدة الحلقية وحلقة العقدة المجاورة. هذا يجعل متعدد السطوح 2 ₂₁ .

الشكل 6 ₂₁ هو الشكل الأخير في سلسلة أبعاد من متعددات السطوح شبه المنتظمة وخلايا النحل، والتي تم تحديدها في عام 1900 بواسطة ثورولد جوسيت . كل عضو في السلسلة له العضو السابق كشكل رأسي له . جميع جوانب متعددات السطوح هذه هي متعددات سطوح منتظمة ، وهي بسيطة ومستقيمة .

ك 21 شخصية في أبعاد ن
فضاء	محدود						إقليدي	زائدي
ع ن	3	4	5	6	7	8	9	10
مجموعة كوكستر	هـ 3 = أ 2 أ 1	هـ 4 = أ 4	هـ 5 = د 5	هـ 6	هـ 7	هـ 8	ع 9 = = ع 8 +${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	ع 10 = = ع 8 ++${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
مخطط كوكستر
التماثل	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4،2،1 ]	[3 5،2،1 ]	[3 6,2,1 ]
طلب	12	120	1,920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
الرسم البياني							-	-
اسم	-1 21	0 21	1 21	2 21	3 21	4 21	5 21	6 21

2 61 قرص العسل
عائلة	2 ك1 متعدد السطوح
رمز شلايفلي	{3,3,3 6,1 }
رمز كوكستر	2 61
مخطط كوكستر-داينكين
9 أنواع من الوجوه	2 51 {3 7 }
أنواع الوجوه الثمانية	2 41، {3 7 }
أنواع الوجوه السبعة	2 31، {3 6 }
أنواع الوجوه الستة	2 21، {3 5 }
5 أنواع الوجوه	2 11، {3 4 }
نوع ذو 4 وجوه	{3 3 }
الخلايا	{3 2 }
وجوه	{3}
شكل الرأس	1 61
مجموعة كوكستر	${\displaystyle {\bar {T}}_{9}}$، [3 6،2،1 ]

يتألف قرص العسل 2 61 من 2 51 قرص عسل مكون من 9 أوجه _و 9 _أوجه بسيطة . وهو الشكل الأخير في عائلة 2 _k1 .

يتم إنشاؤه بواسطة بناء وايثوف على مجموعة من 10 مرايا ذات مستوى زائد في فضاء زائدي ذو 9 أبعاد.

يمكن استخراج معلومات الجوانب من مخطط Coxeter-Dynkin الخاص بها .

إزالة العقدة الموجودة على الفرع القصير يترك 9-simplex .

يؤدي إزالة العقدة الموجودة في نهاية الفرع ذي الستة أطوال إلى ترك قرص العسل 2 _51. هذا وجه لا نهائي لأن E10 عبارة عن مجموعة زائدية شبه مضغوطة.

يتم تحديد شكل الرأس بإزالة العقدة الحلقية وحلقة العقدة المجاورة. هذا يجعل المكعب ذو التسعة أنصاف أضلاع ، 1 ₆₁ .

شكل الحافة هو شكل رأس شكل الحافة. ​​هذا يجعل 8-simplex المعدل ، 0 ₅₁ .

يتم تحديد شكل الوجه من شكل الحافة عن طريق إزالة العقدة الحلقية وحلقة العقدة المجاورة. هذا يجعل المنشور الخماسي البسيط .

يعد الشكل 2 ₆₁ هو الشكل الأخير في سلسلة الأبعاد من متعددات السطوح وأقراص العسل المنتظمة .

2 ك 1 شخصية في أبعاد n
فضاء	محدود						إقليدي	زائدي
ن	3	4	5	6	7	8	9	10
مجموعة كوكستر	هـ 3 = أ 2 أ 1	هـ 4 = أ 4	هـ 5 = د 5	هـ 6	هـ 7	هـ 8	ع 9 = = ع 8 +${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	ع 10 = = ع 8 ++${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
مخطط كوكستر
التماثل	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[[3 1,2,1 ]]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4،2،1 ]	[3 5،2،1 ]	[3 6,2,1 ]
طلب	12	120	384	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
الرسم البياني							-	-
اسم	2 −1,1	2 01	2 11	2 21	2 31	2 41	2 51	2 61

1 62 قرص العسل
عائلة	1 متعدد السطوح k2
رمز شلايفلي	{3,3 6,2 }
رمز كوكستر	1 62
مخطط كوكستر-داينكين
9 أنواع من الوجوه	1 52 ، 1 61
أنواع الوجوه الثمانية	1 42، 1 51
أنواع الوجوه السبعة	1 32، 1 41
أنواع الوجوه الستة	1 22، {3 1،3،1 } {3 5 }
5 أنواع الوجوه	1 21، {3 4 }
نوع ذو 4 وجوه	1 11، {3 3 }
الخلايا	{3 2 }
وجوه	{3}
شكل الرأس	ت 2 {3 8 }
مجموعة كوكستر	${\displaystyle {\bar {T}}_{9}}$، [3 6،2،1 ]

يحتوي قرص العسل 1 _{62 على} 1 ₅₂ (قرص عسل 9) و 1 ₆₁ 9 أوجه نصف مكعب . وهو الشكل الأخير في عائلة متعدد السطوح 1 _k2 .

يتم إنشاؤه بواسطة بناء وايثوف على مجموعة من 10 مرايا فائقة المستوى في فضاء ذي 9 أبعاد.

يمكن استخراج معلومات الجوانب من مخطط Coxeter-Dynkin الخاص بها .

إزالة العقدة في نهاية الفرع بطول 2 يترك نصف مكعب 9 ، 1 ₆₁ .

إزالة العقدة في نهاية الفرع بطول 6 يترك قرص العسل 1 ₅₂ .

يتم تحديد شكل الرأس عن طريق إزالة العقدة الحلقية وحلقة العقدة المجاورة. هذا يجعل 9-simplex ثنائي التصحيح ، 0 ₆₂ .

1 ₆₂ هو الشكل الأخير في سلسلة الأبعاد من متعددات السطوح وأقراص العسل المنتظمة .

1 k2 أرقام في أبعاد n
فضاء	محدود						إقليدي	زائدي
ن	3	4	5	6	7	8	9	10
مجموعة كوكستر	هـ 3 = أ 2 أ 1	هـ 4 = أ 4	هـ 5 = د 5	هـ 6	هـ 7	هـ 8	ع 9 = = ع 8 +${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	ع 10 = = ع 8 ++${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
مخطط كوكستر
التماثل (الترتيب)	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[[3 2,2,1 ]]	[3 3,2,1 ]	[3 4،2،1 ]	[3 5،2،1 ]	[3 6,2,1 ]
طلب	12	120	1,920	103,680	2,903,040	696,729,600	∞
الرسم البياني							-	-
اسم	1 −1,2	1 02	1 12	1 22	1 32	1 42	1 52	1 62

• تناسق الأشياء 2008، جون إتش كونواي، هايدي بورجيل، حاييم جودمان شتراوس، ISBN  978-1-56881-220-5 [1]
• كوكستر، جمال الهندسة: اثنا عشر مقالاً ، منشورات دوفر، 1999، رقم ISBN 978-0-486-40919-1 (الفصل 3: بناء وايثوف لمتعددات السطوح المنتظمة) 
• متعددات السطوح المنتظمة من نوع Coxeter (1963)، شركة Macmillan
  • متعددات السطوح المنتظمة ، الطبعة الثالثة، (1973)، طبعة دوفر، ISBN 0-486-61480-8 (الفصل 5: المشكال) 
• الكالييدوسكوب: كتابات مختارة لـ HSM Coxeter ، تحرير F. Arthur Sherk، Peter McMullen، Anthony C. Thompson، Asia Ivic Weiss، Wiley-Interscience Publication، 1995، ISBN 978-0-471-01003-6 [2]  
  • (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات السطوح المنتظمة وشبه المنتظمة، المجلد الثالث ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

ف ت هـ متعددات السطوح المنتظمة والمنتظمة الأساسية في أبعاد 2-10
عائلة	أ ن	ب ن	أنا 2 (ص) / د ن	ع 6 / ع 7 / ع 8 / ف 4 / ج 2	ح ن
مضلع منتظم	مثلث	مربع	ب-غون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح المنتظم	رباعي السطوح	ثماني السطوح • مكعب	ديميكيوب		اثني عشر وجهًا • عشرين وجهًا
متعدد الألوان موحد	خماسي	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد السطوح موحد الخماسي	5-بسيط	5-أورثوبلكس • 5-مكعب	5-ديميكوب
متعدد السطوح موحد ذو ستة أوجه	6-بسيط	6-أورثوبلكس • 6-مكعب	6- ديميكوب	1 22 • 2 21
متعدد السطوح الموحد ذو السبعة أوجه	7-بسيط	7-أورثوبلكس • 7-مكعب	7- ديميكوب	1 32 • 2 31 • 3 21
متعدد السطوح الموحد ذو الثمانية	8-بسيط	8-أورثوبلكس • 8-مكعب	8-ديميكوب	1 42 • 2 41 • 4 21
متعدد السطوح الموحد ذو التسعة أوجه	9-بسيط	9-أورثوبلكس • 9-مكعب	9-ديميكوب
متعدد السطوح موحد ذو 10 أوجه	10-بسيط	10-أورثوبلكس • 10-مكعب	10-ديميكوب
متعدد السطوح موحد n	ن - بسيط	ن - أورثوبليكس • ن - مكعب	ن - ديميكوبي	1 ك2 • 2 ك1 • ك 21	ن - متعدد السطوح الخماسي
المواضيع: عائلات متعددات السطوح • متعددات السطوح المنتظمة • قائمة متعددات السطوح المنتظمة والمركبات