الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم

تُعدّ الصيغ الرياضية لميكانيكا الكم تلك الصيغ الرياضية التي تسمح بوصف دقيق لميكانيكا الكم . وتعتمد هذه الصيغ الرياضية بشكل أساسي على جزء من التحليل الوظيفي ، ولا سيما فضاءات هيلبرت ، وهي نوع من الفضاءات الخطية . وتتميز هذه الصيغ عن الصيغ الرياضية لنظريات الفيزياء التي طُوّرت قبل أوائل القرن العشرين باستخدامها لبنى رياضية مجردة، مثل فضاءات هيلبرت اللانهائية الأبعاد ( فضاء L² بشكل رئيسي)، ^{والمؤثرات} على هذه الفضاءات. باختصار، لم تعد قيم الكميات الفيزيائية القابلة للرصد ، مثل الطاقة والزخم ، تُعتبر قيمًا لدوال على فضاء الطور ، بل قيمًا ذاتية ؛ أو بتعبير أدق، قيمًا طيفية لمؤثرات خطية في فضاء هيلبرت. ^{[ 1 ]}

لا تزال هذه الصيغ لميكانيكا الكم مستخدمة حتى اليوم. ويكمن جوهر هذا الوصف في مفاهيم الحالة الكمومية والكميات القابلة للرصد الكمومية ، والتي تختلف اختلافًا جذريًا عن تلك المستخدمة في النماذج السابقة للواقع الفيزيائي. وبينما تسمح الرياضيات بحساب العديد من الكميات التي يمكن قياسها تجريبيًا، إلا أن هناك حدًا نظريًا محددًا للقيم التي يمكن قياسها في آن واحد. وقد أوضح هايزنبرغ هذا القيد لأول مرة من خلال تجربة فكرية ، ويتم تمثيله رياضيًا في الصيغة الجديدة بعدم تبادلية المؤثرات التي تمثل الكميات القابلة للرصد الكمومية.

قبل تطور ميكانيكا الكم كنظرية مستقلة ، كانت الرياضيات المستخدمة في الفيزياء تتألف أساسًا من التحليل الرياضي الصوري ، بدءًا من حساب التفاضل والتكامل ، وصولًا إلى الهندسة التفاضلية والمعادلات التفاضلية الجزئية . استُخدمت نظرية الاحتمالات في الميكانيكا الإحصائية . لعب الحدس الهندسي دورًا بارزًا في المجالين الأولين، وبناءً على ذلك، صِيغت نظريات النسبية بالكامل باستخدام مفاهيم الهندسة التفاضلية. ظهرت ظواهر فيزياء الكم تقريبًا بين عامي 1895 و1915، وخلال السنوات العشر إلى الخمس عشرة التي سبقت تطوير ميكانيكا الكم (حوالي عام 1925)، استمر الفيزيائيون في التفكير في نظرية الكم ضمن حدود ما يُعرف الآن بالفيزياء الكلاسيكية ، وتحديدًا ضمن نفس البنى الرياضية. يُعدّ قانون سومرفيلد-ويلسون-إيشيوارا للتكميم ، الذي صِيغ بالكامل على فضاء الطور الكلاسيكي، المثال الأكثر تطورًا على ذلك .

تاريخ الشكلية

"نظرية الكم القديمة" والحاجة إلى رياضيات جديدة

في تسعينيات القرن التاسع عشر، تمكن بلانك من اشتقاق طيف الجسم الأسود ، الذي استُخدم لاحقًا لتجنب كارثة الأشعة فوق البنفسجية الكلاسيكية ، وذلك من خلال افتراض غير مألوف مفاده أن الطاقة، في تفاعل الإشعاع الكهرومغناطيسي مع المادة ، لا يمكن تبادلها إلا بوحدات منفصلة أطلق عليها اسم الكمات . ^{[ 2 ]} افترض بلانك وجود تناسب طردي بين تردد الإشعاع وكم الطاقة عند ذلك التردد. ويُطلق على ثابت التناسب، $h$ ، الآن اسم ثابت بلانك تكريمًا له.

في عام 1905، شرح أينشتاين بعض سمات التأثير الكهروضوئي بافتراض أن كميات طاقة بلانك كانت جسيمات حقيقية، والتي أطلق عليها فيما بعد اسم الفوتونات .

كانت جميع هذه التطورات ظواهرية، وشكّلت تحديًا للفيزياء النظرية السائدة آنذاك. قام بور وسومرفيلد بتعديل الميكانيكا الكلاسيكية في محاولة لاستنتاج نموذج بور من المبادئ الأساسية. اقترحا أنه من بين جميع المدارات الكلاسيكية المغلقة التي يرسمها نظام ميكانيكي في فضاء طوره، فإن المدارات التي تُحيط بمساحة تُساوي مُضاعفًا لثابت بلانك هي فقط المسموح بها. وكانت النسخة الأكثر تطورًا من هذه الصيغة هي ما يُعرف بتكميم سومرفيلد-ويلسون-إيشيوارا . على الرغم من إمكانية تفسير نموذج بور لذرة الهيدروجين بهذه الطريقة، إلا أنه لم يكن بالإمكان التنبؤ بطيف ذرة الهيليوم (وهي مسألة ثلاثية الأجسام غير قابلة للحل كلاسيكيًا ). وظل الوضع الرياضي لنظرية الكم غير مؤكد لبعض الوقت.

في عام 1923، اقترح دي برولي أن ازدواجية الموجة والجسيم لا تنطبق فقط على الفوتونات ولكن أيضًا على الإلكترونات وكل نظام فيزيائي آخر.

تغير الوضع بسرعة في الفترة ما بين عامي 1925 و1930، حيث تم التوصل إلى أسس رياضية عملية من خلال العمل الرائد لإرفين شرودنغر ، وفيرنر هايزنبرغ ، وماكس بورن ، وباسكوال جوردان ، والعمل التأسيسي لجون فون نيومان ، وهيرمان فايل ، وبول ديراك ، وأصبح من الممكن توحيد العديد من المناهج المختلفة في إطار مجموعة جديدة من الأفكار. كما تم توضيح التفسير الفيزيائي للنظرية في هذه السنوات بعد أن اكتشف فيرنر هايزنبرغ علاقات عدم اليقين، وقدم نيلز بور فكرة التكاملية .

"النظرية الكمومية الجديدة"

كانت ميكانيكا المصفوفات لفيرنر هايزنبرغ أول محاولة ناجحة لمحاكاة التكميم المرصود للأطياف الذرية . وفي وقت لاحق من العام نفسه، وضع شرودنغر ميكانيكا الموجات . واعتُبرت صيغة شرودنغر أسهل فهمًا وتصورًا وحسابًا، إذ أدت إلى معادلات تفاضلية كان الفيزيائيون على دراية بحلها. وفي غضون عام، تبيّن أن النظريتين متكافئتان.

لم يفهم شرودنغر نفسه في البداية الطبيعة الاحتمالية الأساسية لميكانيكا الكم، إذ اعتقد أن مربع القيمة المطلقة لدالة الموجة للإلكترون يجب تفسيره على أنه كثافة الشحنة لجسم ما موزعة على حجم ممتد، وربما لانهائي، من الفضاء. وكان ماكس بورن هو من قدم تفسير مربع القيمة المطلقة لدالة الموجة على أنه التوزيع الاحتمالي لموقع جسم نقطي . وسرعان ما تبنى نيلز بور في كوبنهاغن فكرة بورن، ليصبح فيما بعد "أبو" تفسير كوبنهاغن لميكانيكا الكم. ويمكن ملاحظة أن دالة موجة شرودنغر ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمعادلة هاميلتون-جاكوبي الكلاسيكية . وكان التوافق مع الميكانيكا الكلاسيكية أكثر وضوحًا، وإن كان أكثر رسمية، في ميكانيكا المصفوفات لهايزنبرغ. في مشروع أطروحة الدكتوراه الخاصة به، اكتشف بول ديراك ^{[ 3 ]} أن معادلة المؤثرات في تمثيل هايزنبرغ ، كما يسمى الآن، تترجم بشكل وثيق إلى المعادلات الكلاسيكية لديناميكيات كميات معينة في الشكل الهاميلتوني للميكانيكا الكلاسيكية، عندما يتم التعبير عنها من خلال أقواس بواسون ، وهو إجراء يُعرف الآن باسم التكميم الكنسي .

قبل شرودنغر، ابتكر الباحث الشاب ما بعد الدكتوراه، فيرنر هايزنبرغ، ميكانيكا المصفوفات ، التي كانت أول ميكانيكا كمومية صحيحة - أي الاختراق الجوهري. استندت صياغة هايزنبرغ لميكانيكا المصفوفات إلى جبر المصفوفات اللانهائية، وهي صياغة جذرية للغاية في ضوء رياضيات الفيزياء الكلاسيكية، على الرغم من أنه بدأ من مصطلحات المؤشرات التجريبية في ذلك الوقت، دون أن يدرك حتى أن "مخططات المؤشرات" الخاصة به كانت مصفوفات، كما أوضح له بورن لاحقًا. في الواقع، في تلك السنوات المبكرة، لم يكن الجبر الخطي شائعًا بين الفيزيائيين بشكله الحالي.

على الرغم من أن شرودنغر نفسه أثبت بعد عام تكافؤ ميكانيكا الموجة التي وضعها وميكانيكا المصفوفات لهايزنبرغ، فإن التوفيق بين المنهجين وتجريدهما الحديث كحركات في فضاء هيلبرت يُنسب عمومًا إلى بول ديراك، الذي كتب شرحًا وافيًا في كتابه الكلاسيكي " مبادئ ميكانيكا الكم " عام 1930. يُعد ديراك الركن الثالث، وربما الأهم، في هذا المجال (إذ سرعان ما كان الوحيد الذي اكتشف تعميمًا نسبيًا للنظرية). في شرحه المذكور آنفًا، قدّم ديراك ترميز برا-كيت ، إلى جانب صياغة مجردة بدلالة فضاء هيلبرت المستخدم في التحليل الوظيفي؛ وبيّن أن منهجي شرودنغر وهايزنبرغ هما تمثيلان مختلفان للنظرية نفسها، ووجد تمثيلًا ثالثًا أكثر عمومية، يُمثل ديناميكيات النظام. وقد أثمر عمله بشكل خاص في العديد من أنواع تعميمات هذا المجال.

يُنسب الفضل عمومًا إلى جون فون نيومان في كتابه "الأسس الرياضية لميكانيكا الكم" الصادر عام 1932 ، والذي يُعدّ أول صياغة رياضية كاملة لهذا المنهج، والمعروف باسم بديهيات ديراك-فون نيومان . مع ذلك، كان هيرمان فايل قد أشار بالفعل إلى فضاءات هيلبرت (التي سماها الفضاءات الوحدوية ) في بحثه الكلاسيكي عام 1927 وكتابه عام 1928. وقد طُوّر هذا المنهج بالتوازي مع منهج جديد لنظرية الأطياف الرياضية ، قائم على المؤثرات الخطية بدلًا من الصيغ التربيعية التي شكّلت منهج ديفيد هيلبرت قبل جيل. ورغم استمرار تطور نظريات ميكانيكا الكم حتى يومنا هذا، إلا أن هناك إطارًا أساسيًا للصياغة الرياضية لميكانيكا الكم، وهو أساس معظم المناهج، ويمكن تتبعه إلى العمل الرياضي لجون فون نيومان. بعبارة أخرى، تُجرى المناقشات حول تفسير النظرية ، وتوسيعاتها، في الغالب على أساس افتراضات مشتركة حول الأسس الرياضية.

التطورات اللاحقة

أدى تطبيق نظرية الكم الجديدة على الكهرومغناطيسية إلى ظهور نظرية المجال الكمي ، والتي تم تطويرها بدءًا من حوالي عام 1930. وقد دفعت نظرية المجال الكمي إلى تطوير صياغات أكثر تعقيدًا لميكانيكا الكم، والتي تعتبر الصياغات المعروضة هنا حالات خاصة بسيطة منها.

صياغة التكامل المساري
صياغة فضاء الطور لميكانيكا الكم والتكميم الهندسي
نظرية الحقل الكمومي في الزمكان المنحني
نظرية المجال الكمومي البديهية والجبرية والبنائية
الشكلية الجبرية C*
نموذج إحصائي معمّم لميكانيكا الكم

ومن المواضيع ذات الصلة العلاقة بالميكانيكا الكلاسيكية. يُفترض أن أي نظرية فيزيائية جديدة تُختزل، بنوع من التقريب، إلى النظريات القديمة الناجحة. بالنسبة لميكانيكا الكم، يُترجم هذا إلى ضرورة دراسة ما يُسمى بالحد الكلاسيكي لميكانيكا الكم . كما أكد بور، فإن القدرات الإدراكية البشرية واللغة مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالمجال الكلاسيكي، ولذا فإن الأوصاف الكلاسيكية أسهل فهمًا من الناحية البديهية من الأوصاف الكمومية. وعلى وجه الخصوص، يُصبح التكميم ، أي بناء نظرية كمومية حدها الكلاسيكي نظرية كلاسيكية مُعطاة ومعروفة، مجالًا مهمًا في فيزياء الكم بحد ذاته.

أخيرًا، لم يكن بعض مؤسسي نظرية الكم (ولا سيما أينشتاين وشرودنغر) راضين عما اعتبروه دلالات فلسفية لميكانيكا الكم. وعلى وجه الخصوص، تبنى أينشتاين موقفًا مفاده أن ميكانيكا الكم يجب أن تكون ناقصة، مما حفز البحث في ما يُسمى بنظريات المتغيرات الخفية . وقد أصبحت مسألة المتغيرات الخفية، جزئيًا، مسألة تجريبية بفضل البصريات الكمية .

مسلمات ميكانيكا الكم

يُوصَف النظام الفيزيائي عمومًا بثلاثة عناصر أساسية: الحالات ، والكميات القابلة للرصد ، والديناميكيات (أو قانون التطور الزمني )، أو بشكل أعم، مجموعة من التناظرات الفيزيائية . يمكن تقديم وصف كلاسيكي بطريقة مباشرة إلى حد ما من خلال نموذج فضاء الطور للميكانيكا: الحالات هي نقاط في فضاء طور مُصاغ بواسطة مشعب تماثلي ، والكميات القابلة للرصد هي دوال حقيقية القيمة عليه، ويُعطى التطور الزمني بواسطة مجموعة ذات مُعامل واحد من التحويلات التماثلية لفضاء الطور، وتُحقق التناظرات الفيزيائية بواسطة تحويلات تماثلية. يتكون الوصف الكمي عادةً من فضاء هيلبرت للحالات، والكميات القابلة للرصد هي مؤثرات ذاتية الترافق على فضاء الحالات، ويُعطى التطور الزمني بواسطة مجموعة ذات مُعامل واحد من التحويلات الوحدوية على فضاء هيلبرت للحالات، وتُحقق التناظرات الفيزيائية بواسطة تحويلات وحدوية . (من الممكن، عكسيًا، تحويل صورة فضاء هيلبرت هذه إلى صياغة فضاء الطور . انظر أدناه).

يمكن إرجاع الملخص التالي للإطار الرياضي لميكانيكا الكم جزئيًا إلى بديهيات ديراك-فون نيومان . ^{[ 4 ]}

وصف حالة النظام

يرتبط كل نظام فيزيائي معزول بفضاء هيلبرت معقد قابل للفصل (طوبولوجيًا) $H$ مع الضرب الداخلي $⟨$ $φ$ $|$ $ψ$ $⟩$ .

الفرضية الأولى

يتم تمثيل حالة نظام فيزيائي معزول، في وقت محدد $t$ بواسطة متجه الحالة $|\psi \rangle$ ينتمي إلى مساحة هيلبرت ${\mathcal {H}}$ يُطلق عليه اسم فضاء الحالة .

تُعدّ قابلية الفصل فرضية ملائمة رياضيًا، ويُفسَّر ذلك فيزيائيًا بأن الحالة تُحدَّد بشكل فريد من خلال عدد لا نهائي من الملاحظات. ويمكن تحديد الحالات الكمومية بفئات التكافؤ في $H$ ، حيث يُمثِّل متجهان (طولهما 1) الحالة نفسها إذا اختلفا فقط بعامل الطور : ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} $|\psi _{k}\rangle \sim |\psi _{l}\rangle \;\;\Leftrightarrow \;\;|\psi _{k}\rangle =e^{i\alpha }|\psi _{l}\rangle ,\quad \ \alpha \in \mathbb {R} .$ وبالتالي، فإن الحالة الكمومية هي عنصر من عناصر فضاء هيلبرت الإسقاطي ، والذي يُطلق عليه اصطلاحاً اسم "شعاع" . ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

والمسلمة المصاحبة الأولى هي مسلمة النظام المركب: ^{[ 9 ]}

مسلمة النظام المركب

فضاء هيلبرت لنظام مركب هو حاصل ضرب فضاء هيلبرت الموتري لفضاءات الحالة المرتبطة بالأنظمة المكونة له. بالنسبة لنظام غير نسبي يتكون من عدد محدود من الجسيمات المتميزة، فإن الأنظمة المكونة هي الجسيمات الفردية.

في وجود التشابك الكمومي ، لا يمكن تحليل الحالة الكمومية للنظام المركب كحاصل ضرب موتر لحالات مكوناته المحلية؛ بل تُعبَّر عنها كمجموع، أو تراكب ، لحاصل ضرب موتر لحالات الأنظمة الفرعية المكونة له. لا يمكن وصف النظام الفرعي في نظام مركب متشابك عمومًا بمتجه حالة (أو شعاع)، بل يُوصف بمؤثر كثافة ؛ تُعرف هذه الحالة الكمومية بالحالة المختلطة . مؤثر الكثافة للحالة المختلطة هو مؤثر ذاتي الترافق من فئة الأثر ، غير سالب ( شبه موجب )، وغير محدد. $\rho$ تمت معايرتها لتكون ذات أثر 1. بدورها، يمكن تمثيل أي عامل كثافة لحالة مختلطة كنظام فرعي لنظام مركب أكبر في حالة نقية (انظر نظرية التنقية ).

في غياب التشابك الكمومي، تُسمى الحالة الكمومية للنظام المركب حالة قابلة للفصل . ويمكن التعبير عن مصفوفة الكثافة لنظام ثنائي الأجزاء في حالة قابلة للفصل على النحو التالي: $\rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}$ ، أين $\;\sum _{k}p_{k}=1$ إذا كان هناك عدد واحد فقط غير صفري $p_{k}$ عندئذٍ يمكن التعبير عن الحالة تمامًا كما يلي ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$ ويُطلق عليه ببساطة حالة قابلة للفصل أو حالة المنتج.

القياس على النظام

وصف الكميات الفيزيائية

تُمثَّل الكميات الفيزيائية القابلة للرصد بمصفوفات هيرميتية على $H.$ ولأن هذه المؤثرات هيرميتية، فإن قيمها الذاتية تكون دائمًا حقيقية، وتمثل النتائج المحتملة لقياس الكمية القابلة للرصد المقابلة. إذا كان طيف الكمية القابلة للرصد منفصلًا ، فإن النتائج المحتملة تكون مُكمَّمة .

الفرضية الثانية أ

كل كمية فيزيائية قابلة للقياس ${\mathcal {A}}$ يتم وصفه بواسطة عامل هيرميتي $A$ العمل في فضاء الحالة ${\mathcal {H}}$ هذا المؤثر هو كمية قابلة للرصد، مما يعني أن متجهاته الذاتية تشكل أساسًا لـ ${\mathcal {H}}$ نتيجة قياس كمية فيزيائية ${\mathcal {A}}$ يجب أن تكون إحدى القيم الذاتية للكمية القابلة للرصد المقابلة. $A$ .

نتائج القياس

باستخدام نظرية الأطياف، يمكننا ربط مقياس احتمالي بقيم $A$ في أي حالة $ψ .$ $كما$ يمكننا إثبات أن القيم الممكنة للمتغير القابل للرصد $A$ في أي حالة يجب أن تنتمي إلى طيف A. القيمة المتوقعة (بمعنى نظرية الاحتمالات) للمتغير القابل للرصد $A$ للنظام في الحالة المُمثلة بمتجه الوحدة $ψ$ ∈ H هي $\langle \psi |A|\psi \rangle$ إذا قمنا بتمثيل الحالة $ψ$ في الأساس المشكل بواسطة المتجهات الذاتية لـ $A$ ، فإن مربع معيار المكون المرفق بمتجه ذاتي معين هو احتمال ملاحظة قيمته الذاتية المقابلة.

المسلّمة الثانية ب

عندما تكون الكمية الفيزيائية ${\mathcal {A}}$ يتم قياسه على نظام في حالة معايرة $|\psi \rangle$ ، احتمال الحصول على قيمة ذاتية (يرمز لها بـ $a_{n}$ بالنسبة للأطياف المنفصلة و $\alpha$ (للأطياف المستمرة) للكمية القابلة للرصد المقابلة $A$ يتم تحديدها بواسطة مربع سعة الدالة الموجية المناسبة (الإسقاط على الفضاء الذاتي المقابل).
${\begin{alignedat}{3}\mathbb {P} (a_{n})&=|\langle a_{n}|\psi \rangle |^{2}&&\,\,{\text{(Discrete, nondegenerate spectrum)}}\\\mathbb {P} (a_{n})&=\sum _{i}^{g_{n}}|\langle a_{n}^{i}|\psi \rangle |^{2}&&\,\,{\text{(Discrete, degenerate spectrum)}}\\d\mathbb {P} (\alpha )&=|\langle \alpha |\psi \rangle |^{2}d\alpha &&\,\,{\text{(Continuous, nondegenerate spectrum)}}\end{alignedat}}$

بالنسبة لحالة مختلطة $ρ$ ، فإن القيمة المتوقعة لـ $A$ في الحالة $ρ$ هي $\operatorname {tr} (A\rho )$ ، واحتمالية الحصول على قيمة ذاتية $a_{n}$ في طيف منفصل وغير متدهور للكمية القابلة للرصد المقابلة $A$ يُعطى بواسطة $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle$ .

إذا كانت القيمة الذاتية $a_{n}$ له متجهات ذاتية متدهورة ومتعامدة $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ إذاً، يمكن تعريف عامل الإسقاط على الفضاء الذاتي الفرعي على أنه عامل التطابق في الفضاء الذاتي الفرعي: $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|,$ وثم $\mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (P_{n}\rho )$ .

تُعرف المسلمتان II.a و II.b مجتمعتين باسم قاعدة بورن لميكانيكا الكم.

تأثير القياس على الحالة

عند إجراء قياس، لا نحصل إلا على نتيجة واحدة (وفقًا لبعض تفسيرات ميكانيكا الكم ). يُنمذج هذا رياضيًا على أنه معالجة معلومات إضافية من القياس، مما يحد من احتمالات إجراء قياس ثانٍ مباشر لنفس الكمية القابلة للرصد. في حالة الطيف المنفصل غير المتدهور، سيعطي قياسان متتاليان لنفس الكمية القابلة للرصد دائمًا نفس القيمة، بافتراض أن القياس الثاني يتبع الأول مباشرةً. لذلك، يجب أن يتغير متجه الحالة نتيجةً للقياس، وأن ينهار على الفضاء الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية المقاسة.

المسلّمة الثانية ج

إذا كان قياس الكمية الفيزيائية ${\mathcal {A}}$ على النظام في الولاية $|\psi \rangle$ يعطي النتيجة $a_{n}$ إذاً، فإن حالة النظام مباشرة بعد القياس هي الإسقاط المعياري لـ $|\psi \rangle$ على الفضاء الذاتي المرتبط بـ $a_{n}$ $|\psi \rangle \quad {\overset {a_{n}}{\Longrightarrow }}\quad {\frac {P_{n}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |P_{n}|\psi \rangle }}}$

بالنسبة لحالة مختلطة $ρ$ ، بعد الحصول على قيمة ذاتية $a_{n}$ في طيف منفصل وغير متدهور للكمية القابلة للرصد المقابلة $A$ يتم تحديد الحالة المحدثة بواسطة ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ إذا كانت القيمة الذاتية $a_{n}$ له متجهات ذاتية متدهورة ومتعامدة $\{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}$ إذن، يكون عامل الإسقاط على الفضاء الذاتي الفرعي هو $P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|$ .

يُطلق على المسلّمات II.c أحيانًا اسم "قاعدة تحديث الحالة" أو "قاعدة الانهيار"؛ إلى جانب قاعدة بورن (المسلّمات II.a و II.b)، فإنها تشكل تمثيلًا كاملاً للقياسات ، وتُسمى أحيانًا بشكل جماعي مسلّمات القياس.

تجدر الإشارة إلى أن المقاييس ذات القيم الإسقاطية (PVM) الموصوفة في مسلمات القياس يمكن تعميمها إلى مقاييس ذات قيم موجبة للمؤثر (POVM)، وهي أكثر أنواع القياس عمومية في ميكانيكا الكم. ويمكن فهم مقياس POVM على أنه تأثير تطبيق مقياس PVM على نظام مركب أكبر على نظام فرعي مكون (انظر نظرية نايمارك للتمدد ).

التطور الزمني للنظام

تصف معادلة شرودنغر كيفية تطور متجه الحالة مع الزمن. وبحسب النص، قد تُشتق هذه المعادلة من افتراضات أخرى، أو تُبنى على أسس استدلالية، أو تُطرح كمسلمة. وتشمل الاشتقاقات استخدام علاقة دي برولي بين الطول الموجي والزخم، أو تكاملات المسار .

المذهب الثالث

التطور الزمني لمتجه الحالة $|\psi (t)\rangle$ تخضع لمعادلة شرودنغر، حيث $H(t)$ هو المتغير القابل للرصد المرتبط بالطاقة الكلية للنظام (يسمى الهاميلتوني ). $i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle =H(t)|\psi (t)\rangle$

وبالمثل، يمكن صياغة فرضية تطور الزمن على النحو التالي:

المذهب الثالث

يتم وصف التطور الزمني لنظام مغلق عن طريق تحويل وحدوي على الحالة الأولية. $|\psi (t)\rangle =U(t;t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$

بالنسبة لنظام مغلق في حالة مختلطة $ρ$ ، يكون التطور الزمني هو $\rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})$ .

يمكن وصف تطور النظام الكمومي المفتوح بواسطة العمليات الكمومية (في شكل مجموع المؤثرات) والأدوات الكمومية ، ولا يجب أن يكون وحدويًا بشكل عام.

الآثار الأخرى للمسلمات

تؤثر التناظرات الفيزيائية على فضاء هيلبرت للحالات الكمومية بشكل وحدوي أو مضاد للوحدوية بسبب نظرية ويغنر ( التناظر الفائق هو مسألة أخرى تمامًا).
مؤثرات الكثافة هي تلك الموجودة في الغلاف المحدب للمساقط المتعامدة أحادية البعد. في المقابل، تُعد المساقط المتعامدة أحادية البعد نقاطًا قصوى لمجموعة مؤثرات الكثافة. ويُطلق الفيزيائيون أيضًا على المساقط المتعامدة أحادية البعد اسم الحالات النقية ، وعلى مؤثرات الكثافة الأخرى اسم الحالات المختلطة .
يمكن للمرء في هذا الشكل الرسمي أن يصرح بمبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ ويثبته كنظرية، على الرغم من أن التسلسل التاريخي الدقيق للأحداث، فيما يتعلق بمن استنتج ماذا وتحت أي إطار، هو موضوع تحقيقات تاريخية خارج نطاق هذه المقالة.

علاوة على ذلك، ينبغي إضافة البيانات الأساسية المتعلقة بخصائص الدوران ومبدأ استبعاد باولي إلى مسلمات ميكانيكا الكم ، انظر أدناه.

يلف

إضافةً إلى خصائصها الأخرى، تمتلك جميع الجسيمات كمية تُسمى اللف المغزلي ، وهي زخم زاوي ذاتي . على الرغم من الاسم، فإن الجسيمات لا تدور حرفيًا حول محور، ولا يوجد ما يُقابل اللف المغزلي في ميكانيكا الكم في الفيزياء الكلاسيكية. في تمثيل الموضع، يكون للدالة الموجية عديمة اللف المغزلي الموضع $r$ والزمن $t$ كمتغيرات متصلة، $ψ = ψ (r, t)$ . أما بالنسبة للدوال الموجية ذات اللف المغزلي، فإن اللف المغزلي هو متغير منفصل إضافي: $ψ = ψ (r, t, σ)$ ، حيث تأخذ $σ$ القيم التالية: $\sigma =-S\hbar ,-(S-1)\hbar ,\dots ,0,\dots ,+(S-1)\hbar ,+S\hbar \,.$

أي أن حالة جسيم واحد ذو دوران $S$ يتم تمثيلها بواسطة سبينور مكون $(2 S + 1)$ من الدوال الموجية ذات القيم المركبة.

$هناك$ فئتان من الجسيمات ذات سلوك مختلف تمامًا $، وهما$ البوزونات $التي$ لها دوران صحيح ( $S$ $=$ $0، 1، 2، ...$ )، $والفيرميونات$ التي تمتلك دورانًا نصف صحيح ( $S = 1/2 ، 3/2 ، 5/2 ، ...$ ).

مسلمة التناظر

في ميكانيكا الكم، يمكن التمييز بين جسيمين باستخدام طريقتين. الأولى هي قياس الخصائص الذاتية لكل جسيم، ما يسمح بالتمييز بين الجسيمات المختلفة. أما الثانية، فإذا كانت الجسيمات متطابقة، فيمكن تتبع مساراتها، ما يميزها بناءً على موقع كل جسيم. في حين أن الطريقة الثانية مسموحة في الميكانيكا الكلاسيكية (أي أن جميع الجسيمات الكلاسيكية تُعامل على أنها قابلة للتمييز)، لا ينطبق الأمر نفسه على جسيمات ميكانيكا الكم، لأن هذه العملية غير ممكنة عمليًا بسبب مبادئ عدم اليقين الأساسية التي تحكم المقاييس الصغيرة. لذا، فإن شرط عدم قابلية جسيمات الكم للتمييز يُقدم من خلال مسلمة التناظر. تنطبق هذه المسلمة على نظام من البوزونات أو الفرميونات، على سبيل المثال، في التنبؤ بأطياف ذرة الهيليوم . ويمكن صياغة هذه المسلمة، الموضحة في الأقسام التالية، على النحو التالي:

مسلمة التناظر ^{[ 10 ]}

تكون الدالة الموجية لنظام مكون من N جسيم متطابق (في 3D) إما متناظرة تمامًا (البوزونات) أو مضادة للتناظر تمامًا (الفيرميونات) عند تبادل أي زوج من الجسيمات.

قد تحدث استثناءات عندما تقتصر الجسيمات على بُعدين مكانيين، حيث يكون وجود جسيمات تُعرف باسم الأنيونات ممكنًا، والتي يُقال إن لها سلسلة متصلة من الخصائص الإحصائية تمتد بين الفرميونات والبوزونات. ^{[ 10 ]} وتُحدد نظرية إحصاءات اللف المغزلي العلاقة بين سلوك الجسيمات المتطابقة ودورانها .

يمكن إثبات أن جسيمين متمركزين في منطقتين مختلفتين من الفضاء يمكن تمثيلهما باستخدام دالة موجية متناظرة/مضادة للتناظر، وأن المعالجة المستقلة لهذه الدوال الموجية تعطي النتيجة نفسها. ^{[ 11 ]} ومن ثم، فإن مسلمة التناظر قابلة للتطبيق في الحالة العامة لنظام من الجسيمات المتطابقة.

انحطاط التبادل

في نظام من الجسيمات المتطابقة، لنفترض أن P هو عامل التبادل الذي يؤثر على الدالة الموجية على النحو التالي:

P{\bigg (}\cdots |\psi \rangle |\phi \rangle \cdots {\bigg )}\equiv \cdots |\phi \rangle |\psi \rangle \cdots

إذا توفر نظام فيزيائي مكون من جسيمات متطابقة، يمكن معرفة دالة الموجة لجميع الجسيمات بدقة من خلال الملاحظة، ولكن لا يمكن ربط كل جسيم بآخر. وبالتالي، فإن دالة الموجة المتبادلة المذكورة أعلاه تمثل الحالة الفيزيائية نفسها للحالة الأصلية، مما يعني أن دالة الموجة ليست فريدة. يُعرف هذا باسم انحلال التبادل. ^{[ 12 ]}

وبشكل أعم، لنأخذ في الاعتبار توليفة خطية من هذه الحالات، $|\Psi \rangle$ للحصول على أفضل تمثيل للنظام الفيزيائي، نتوقع أن يكون هذا متجهًا ذاتيًا لـ P، حيث لا يُتوقع أن يُعطي عامل التبادل متجهات مختلفة تمامًا في فضاء هيلبرت الإسقاطي. $P^{2}=1$ القيم الذاتية المحتملة للمصفوفة P هي +1 و -1. $|\Psi \rangle$ يتم تمثيل حالات نظام الجسيمات المتطابقة على أنها متناظرة للقيمة الذاتية +1 أو غير متناظرة للقيمة الذاتية -1 كما يلي:

P|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;S\rangle =+|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;S\rangle

P|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;A\rangle =-|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;A\rangle

الشكل الصريح المتناظر/غير المتناظر لـ $|\Psi \rangle$ يُبنى هذا التصنيف باستخدام مُعامل التناظر أو مُعامل التناظر العكسي . تُسمى الجسيمات التي تُشكل حالات متناظرة بالبوزونات ، بينما تُسمى تلك التي تُشكل حالات غير متناظرة بالفيرميونات. وتُحدد نظرية إحصاءات اللف المغزلي العلاقة بين اللف المغزلي وهذا التصنيف ، حيث تُبين أن الجسيمات ذات اللف المغزلي الصحيح هي بوزونات، والجسيمات ذات اللف المغزلي نصف الصحيح هي فيرميونات.

مبدأ استبعاد باولي

ترتبط خاصية اللف المغزلي بخاصية أساسية أخرى تتعلق بأنظمة مكونة من $N$ جسيمًا متطابقًا: مبدأ استبعاد باولي ، وهو نتيجة لسلوك التبديل التالي لدالة موجية مكونة من $N$ جسيمًا؛ ومرة أخرى، في تمثيل الموضع، يجب افتراض أنه لتبديل أي جسيمين من الجسيمات $N،$ يجب دائمًا أن يكون

مبدأ باولي

$\psi (\dots ,\,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\,\dots ,\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\,\dots )=(-1)^{2S}\cdot \psi (\dots ,\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\,\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\,\dots )$

أي، عند تبديل وسيطي أي جسيمين، يجب أن تُعيد الدالة الموجية إنتاج الدالة الأصلية ، باستثناء عامل $(-1) 2 S$ الذي يساوي $+1$ للبوزونات، ولكنه يساوي ( $-1$ ) للفيرميونات . الإلكترونات هي فيرميونات ذات $S = 1/2$ ؛ أما كمات الضوء فهي بوزونات ذات $S = 1$ .

بسبب شكل الدالة الموجية غير المتناظرة:

\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right|

إذا كانت الدالة الموجية لكل جسيم محددة تمامًا بمجموعة من الأعداد الكمومية، فلا يمكن لفيرميونين أن يشتركا في نفس مجموعة الأعداد الكمومية، لأن الدالة الناتجة لا يمكن أن تكون مضادة للتناظر (أي أن الصيغة أعلاه تعطي صفرًا). ولا ينطبق هذا على البوزونات، لأن دالتها الموجية هي:

|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle ={\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle

أين $n_{j}$ يمثل عدد الجسيمات التي لها نفس الدالة الموجية.

استثناءات من مسلمة التناظر

في ميكانيكا الكم غير النسبية، تُصنف جميع الجسيمات إما كبوزونات أو فرميونات ؛ وفي نظريات الكم النسبية، توجد أيضًا نظريات "متناظرة فائقة" ، حيث يكون الجسيم عبارة عن توليفة خطية من جزء بوزوني وجزء فرميوني. فقط في البعد $d = 2$ يمكن بناء كيانات حيث يُستبدل $(-1) 2 S$ بعدد مركب اختياري مقداره 1، يُسمى الأنيونات . في ميكانيكا الكم النسبية، تُثبت نظرية الإحصاء الدوراني أنه في ظل مجموعة معينة من الافتراضات، تُصنف الجسيمات ذات الدوران الصحيح كبوزونات، وتُصنف الجسيمات ذات الدوران النصفي كفرميونات . أما الأنيونات التي لا تُشكل حالات متناظرة ولا متناظرة مضادة، فتُسمى ذات دوران كسري.

على الرغم من أن اللف المغزلي ومبدأ باولي لا يمكن استنتاجهما إلا من تعميمات نسبية لميكانيكا الكم، فإن الخصائص المذكورة في الفقرتين الأخيرتين تنتمي إلى المسلّمات الأساسية حتى في الحد غير النسبي. وعلى وجه الخصوص، فإن العديد من الخصائص المهمة في العلوم الطبيعية، مثل الجدول الدوري للكيمياء، هي نتائج لهاتين الخاصيتين.

البنية الرياضية لميكانيكا الكم

صور ديناميكية

في ما يُعرف بصورة شرودنغر لميكانيكا الكم، تُعطى الديناميكيات على النحو التالي: يُعطى التطور الزمني للحالة بدالة قابلة للتفاضل من الأعداد الحقيقية $R$ ، التي تُمثل لحظات زمنية، إلى فضاء هيلبرت لحالات النظام. تتميز هذه الدالة بمعادلة تفاضلية كما يلي: إذا كانت $| ψ (t) ⟩$ تُمثل حالة النظام عند أي لحظة زمنية $t$ ، فإن معادلة شرودنغر التالية صحيحة:
معادلة شرودنغر (بشكل عام)
$i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi (t)\right\rangle =H\left|\psi (t)\right\rangle$
حيث $H$ هو مؤثر ذاتي مرافق مُعرَّف بكثافة، يُسمى هاميلتوني النظام ، $و i$ هي الوحدة التخيلية و $ħ$ هو ثابت بلانك المُختزل . وباعتباره كمية قابلة للرصد، فإن $H$ يُقابل الطاقة الكلية للنظام.
أو بدلاً من ذلك، يمكن القول، وفقًا لنظرية ستون، أن هناك تطبيقًا وحدويًا ذا مُعامل واحد متصلًا بقوة $U (t)$ : $H \to H$ بحيث $\left|\psi (t+s)\right\rangle =U(t)\left|\psi (s)\right\rangle$ لجميع الأوقات $s و t$ . وجود هاميلتوني ذاتي الترافق $H$ بحيث $U(t)=e^{-(i/\hbar )tH}$ هي نتيجة لنظرية ستون حول المجموعات الوحدوية ذات المعامل الواحد. يُفترض أن $H$ لا يعتمد على الزمن وأن الاضطراب يبدأ عند $t₀ = 0$ ؛ وإلا يجب استخدام متسلسلة دايسون ، المكتوبة رسميًا على النحو التالي $:$ $U(t)={\mathcal {T}}\left[\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'\,H(t')\right)\right],$ أين ${\mathcal {T}}$ هو رمز ترتيب الوقت الخاص بشركة دايسون .
(هذا الرمز يبدل ناتج ضرب عوامل غير تبادلية من الشكل $B_{1}(t_{1})\cdot B_{2}(t_{2})\cdot \dots \cdot B_{n}(t_{n})$ إلى التعبير المعاد ترتيبه المحدد بشكل فريد $B_{i_{1}}(t_{i_{1}})\cdot B_{i_{2}}(t_{i_{2}})\cdot \dots \cdot B_{i_{n}}(t_{i_{n}})$ مع $t_{i_{1}}\geq t_{i_{2}}\geq \dots \geq t_{i_{n}}\,.$
والنتيجة هي سلسلة سببية، حيث يكون السبب الرئيسي في الماضي في أقصى اليمين، وأخيراً يكون التأثير الحالي في أقصى اليسار .
يركز نموذج هايزنبرغ لميكانيكا الكم على الكميات القابلة للرصد، وبدلاً من اعتبار الحالات متغيرة مع الزمن، يعتبرها ثابتة والكميات القابلة للرصد متغيرة. وللانتقال من نموذج شرودنغر إلى نموذج هايزنبرغ، يجب تعريف الحالات غير المعتمدة على الزمن والمؤثرات المعتمدة على الزمن على النحو التالي: $\left|\psi \right\rangle =\left|\psi (0)\right\rangle$ $A(t)=U(-t)AU(t).$ ومن ثم يسهل التحقق من أن القيم المتوقعة لجميع المتغيرات القابلة للرصد هي نفسها في كلتا الصورتين $\langle \psi \mid A(t)\mid \psi \rangle =\langle \psi (t)\mid A\mid \psi (t)\rangle$ وأنّ مؤثرات هايزنبرغ المعتمدة على الزمن تحقق
صورة هايزنبرغ (عامة)
${\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]+{\frac {\partial A(t)}{\partial t}},$
وهذا صحيح بالنسبة للمتغير $A = A (t)$ المتغير مع الزمن . لاحظ أن تعبير المُبدِّل يكون شكليًا بحتًا عندما يكون أحد المؤثرات غير محدود . يجب تحديد تمثيل للتعبير لجعله مفهومًا.
تتميز ما يُسمى بصورة ديراك أو صورة التفاعل بوجود حالات وكميات قابلة للرصد تعتمد على الزمن ، وتتطور وفقًا لهاملتونيانات مختلفة. تُعد هذه الصورة مفيدة للغاية عندما يُمكن حل تطور الكميات القابلة للرصد بدقة، مما يحصر أي تعقيدات في تطور الحالات. لهذا السبب، يُطلق على هاملتونيان الكميات القابلة للرصد اسم "هاملتونيان الحر"، بينما يُطلق على هاملتونيان الحالات اسم "هاملتونيان التفاعل". بالرموز:
صورة ديراك
$i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi (t)\right\rangle ={H}_{\rm {int}}(t)\left|\psi (t)\right\rangle$
$i\hbar {\frac {d}{dt}}A(t)=[A(t),H_{0}].$
مع ذلك، لا توجد صورة التفاعل دائمًا. ففي نظريات الحقول الكمومية التفاعلية، تنص نظرية هاغ على عدم وجود صورة التفاعل. ويعود ذلك إلى عدم إمكانية تقسيم الهاميلتوني إلى جزء حر وجزء متفاعل ضمن قطاع الانتقاء الفائق . علاوة على ذلك، حتى لو لم يعتمد الهاميلتوني على الزمن في صورة شرودنغر، مثلاً $H$ $= H₀ + V ،$ فإنه يعتمد عليه في صورة التفاعل، على الأقل إذا لم يكن $V يتبادل مع$ $H₀ ،$ لأن $H_{\rm {int}}(t)\equiv e^{{(i/\hbar })tH_{0}}\,V\,e^{{(-i/\hbar })tH_{0}}.$
لذا يجب استخدام سلسلة دايسون المذكورة أعلاه على أي حال.
تُعدّ صورة هايزنبرغ الأقرب إلى ميكانيكا هاميلتون الكلاسيكية (فعلى سبيل المثال، تُترجم المُبدِّلات الظاهرة في المعادلات أعلاه مباشرةً إلى أقواس بواسون الكلاسيكية )؛ إلا أن هذه الصورة تُعتبر مُعقّدة نوعًا ما، بينما تُعتبر صورة شرودنغر الأسهل في التصوّر والفهم لدى معظم الناس، استنادًا إلى الشروحات التربوية لميكانيكا الكم. أما صورة ديراك فهي المُستخدمة في نظرية الاضطراب ، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية الحقل الكمومي وفيزياء الأجسام المتعددة .
يمكن كتابة معادلات مماثلة لأي مجموعة تناظرات وحدوية ذات مُعامل واحد للنظام الفيزيائي. يُستبدل الزمن بإحداثية مناسبة تُحدد المجموعة الوحدوية (على سبيل المثال، زاوية الدوران، أو مسافة الانتقال)، ويُستبدل الهاميلتوني بالكمية المحفوظة المرتبطة بالتناظر (على سبيل المثال، الزخم الزاوي أو الزخم الخطي).

ملخص :

تطور:	صورة ( v ت هـ )
تطور:	شرودنغر (S)	هايزنبرغ (H)	التفاعل (I)
حالة الكيتو	$\|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle$	ثابت	$\|\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle$
قابل للملاحظة	ثابت	$A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	$A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$
مصفوفة الكثافة	$\rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }$	ثابت	$\rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }$

التمثيلات

يعتمد الشكل الأصلي لمعادلة شرودنغر على اختيار تمثيل معين لعلاقات التبادل الكلاسيكية لهايزنبرغ . تنص نظرية ستون-فون نيومان على أن جميع التمثيلات غير القابلة للاختزال لعلاقات التبادل لهايزنبرغ ذات الأبعاد المحدودة متكافئة وحدويًا. وقد أدى الفهم المنهجي لنتائجها إلى صياغة ميكانيكا الكم في فضاء الطور ، والتي تعمل في فضاء الطور الكامل بدلًا من فضاء هيلبرت ، مما يوفر ارتباطًا أكثر بديهية بالحد الكلاسيكي . كما تُبسط هذه الصورة أيضًا دراسة التكميم ، وهو امتداد التشوه من الميكانيكا الكلاسيكية إلى ميكانيكا الكم.

يُعدّ المذبذب التوافقي الكمومي نظامًا قابلًا للحل بدقة، حيث يسهل مقارنة تمثيلاته المختلفة. فإلى جانب تمثيلات هايزنبرغ، أو شرودنغر (الموقع أو الزخم)، أو فضاء الطور، نجد أيضًا تمثيل فوك (العدد) وتمثيل سيغال -بارغمان (فضاء فوك أو الحالة المتماسكة) (نسبةً إلى إيرفينغ سيغال وفالنتين بارغمان ). جميع هذه التمثيلات الأربعة متكافئة وحدويًا.

الوقت الذي قضيته كمشغل

يُركز الإطار المُقدم حتى الآن على الزمن باعتباره المُعامل الذي يعتمد عليه كل شيء. من الممكن صياغة الميكانيكا بطريقة تجعل الزمن نفسه كمية قابلة للرصد مرتبطة بمؤثر ذاتي الترافق. على المستوى الكلاسيكي، يُمكن تحديد مسارات الجسيمات بشكل اعتباطي بدلالة مُعامل غير فيزيائي $s$ ، وفي هذه الحالة يُصبح الزمن t إحداثية مُعممة إضافية للنظام الفيزيائي. على المستوى الكمي، تُولد الإزاحات في $s بواسطة "هاميلتوني"$ $H - E$ ، حيث E هو مُؤثر الطاقة و $H$ هو الهاميلتوني "العادي". مع ذلك، بما أن s مُعامل غير فيزيائي، يجب أن تظل الحالات الفيزيائية ثابتة بواسطة "تطور s "، وبالتالي فإن فضاء الحالة الفيزيائية هو نواة $H - E$ (يتطلب هذا استخدام فضاء هيلبرت مُجهز وإعادة تطبيع المعيار).

يرتبط هذا بتكميم الأنظمة المقيدة وتكميم نظريات القياس . ومن الممكن أيضاً صياغة نظرية كمومية للأحداث حيث يصبح الزمن قابلاً للرصد. ^{[ 13 ]}

مشكلة القياس

الصورة الواردة في الفقرات السابقة كافية لوصف نظام معزول تمامًا. مع ذلك، فهي لا تُفسر أحد الفروق الرئيسية بين ميكانيكا الكم والميكانيكا الكلاسيكية، ألا وهو تأثيرات القياس . ^{[ 14 ]} وصف فون نيومان للقياس الكمي لكمية قابلة للرصد $A$ ، عندما يكون النظام مُهيأً في حالة نقية $ψ،$ هو كما يلي (مع ملاحظة أن وصف فون نيومان يعود إلى ثلاثينيات القرن العشرين، ويستند إلى تجارب أُجريت خلال تلك الفترة - وتحديدًا تجربة كومبتون-سايمون ؛ وهو لا ينطبق على معظم القياسات الحالية في المجال الكمي):

لنفترض أن $A$ لها دقة طيفية $A=\int \lambda \,d\operatorname {E} _{A}(\lambda ),$ حيث $EA$ هي حل الهوية (وتسمى أيضًا مقياسًا ذا قيمة إسقاطية ) المرتبط بـ $A. عندئذٍ،$ $يكون$ احتمال وقوع نتيجة القياس في فترة $B$ من $R$ هو $|EA (B) ψ | ² .$ بعبارة أخرى، يُحسب الاحتمال بتكامل الدالة المميزة لـ $B$ مقابل المقياس الجمعي القابل للعد. $\langle \psi \mid \operatorname {E} _{A}\psi \rangle .$
إذا كانت القيمة المقاسة موجودة في $المجموعة B$ ، فإن النظام سيكون في الحالة $EA (B) ψ ($ غير المعيارية عمومًا) مباشرةً بعد القياس . أما إذا لم تكن القيمة المقاسة موجودة في $المجموعة B$ ، فاستبدل $B$ بمتممتها للحالة المذكورة أعلاه.

على سبيل المثال، لنفترض أن فضاء الحالة هو فضاء هيلبرت المركب ذو البعد $n$ $، C n$ ، وأن $A$ مصفوفة هيرميتية ذات قيم ذاتية $λ i$ ، ومتجهات ذاتية مقابلة $ψ i$ . عندئذٍ، يكون المقياس ذو القيم الإسقاطية المرتبط بـ $A$ ، $أي E A$ ، هو $\operatorname {E} _{A}(B)=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,$ حيث $B$ هي مجموعة بوريل تحتوي فقط على القيمة الذاتية الوحيدة $λ i$ . إذا تم تحضير النظام في الحالة $|\psi \rangle$ ثم يمكن حساب احتمالية أن تُعيد القياسات القيمة $λᵢ عن طريق$ تكامل المقياس الطيفي $\langle \psi \mid \operatorname {E} _{A}\psi \rangle$ على $B i$ . وهذا يعطي بشكل بديهي $\langle \psi |\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}\mid \psi \rangle =|\langle \psi \mid \psi _{i}\rangle |^{2}.$

تتمثل الخاصية المميزة لطريقة قياس فون نيومان في أن تكرار القياس نفسه سيعطي النتائج نفسها. ويُطلق على هذه الخاصية أيضاً اسم مسلمة الإسقاط .

يستبدل نموذج أكثر عمومية المقياس ذي القيمة الإسقاطية بمقياس ذي قيمة عامل موجب (POVM). وللتوضيح، لنأخذ الحالة ذات الأبعاد المحدودة مرة أخرى. هنا سنستبدل الإسقاطات من الرتبة 1 $|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|$ بواسطة مجموعة محدودة من المؤثرات الموجبة $F_{i}F_{i}^{*}$ $مجموعها لا يزال عامل الهوية كما كان$ من قبل (حل الهوية). وكما ترتبط مجموعة من النتائج المحتملة ${λ1 ... λn}$ بمقياس ذي قيمة إسقاطية، ينطبق الأمر نفسه على مقياس POVM. لنفترض أن نتيجة القياس هي $λi .$ بدلاً من الانهيار إلى الحالة (غير المُعَيَّرة) $.$ $|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\psi \rangle$ بعد القياس، سيكون النظام الآن في الحالة $F_{i}|\psi \rangle .$

بما أن عوامل $F i F i *$ لا يلزم أن تكون إسقاطات متعامدة متبادلة، فإن فرضية الإسقاط لفون نيومان لم تعد صحيحة.

وينطبق نفس المبدأ على الحالات المختلطة العامة .

في منهج فون نيومان، يختلف تحوّل الحالة الناتج عن القياس عن تحوّل الحالة الناتج عن التطور الزمني في عدة جوانب. فعلى سبيل المثال، التطور الزمني حتمي ووحدوي، بينما القياس غير حتمي وغير وحدوي. ومع ذلك، ولأن كلا النوعين من تحوّل الحالة ينقل حالة كمومية إلى أخرى، فقد اعتبر الكثيرون هذا الاختلاف غير مُرضٍ. ينظر نموذج POVM إلى القياس كواحد من بين العديد من العمليات الكمومية الأخرى ، والتي تُوصف بخرائط موجبة تمامًا لا تزيد من الأثر.

قائمة الأدوات الرياضية

جزء من التراث الشعبي لهذا الموضوع يتعلق بكتاب الفيزياء الرياضية " أساليب الفيزياء الرياضية" الذي جمعه ريتشارد كوران من محاضرات ديفيد هيلبرت في جامعة غوتنغن . يروي علماء الرياضيات أن الفيزيائيين استبعدوا المادة باعتبارها غير ذات صلة بمجالات البحث الحالية، إلى أن ظهرت معادلة شرودنغر. عندئذٍ، أُدرك أن رياضيات ميكانيكا الكم الجديدة كانت مُبينة فيه بالفعل. ويُقال أيضًا أن هايزنبرغ استشار هيلبرت بشأن ميكانيكا المصفوفات، ولاحظ هيلبرت أن خبرته مع المصفوفات اللانهائية الأبعاد مستمدة من المعادلات التفاضلية، وهي نصيحة تجاهلها هايزنبرغ، ففوّت بذلك فرصة توحيد النظرية كما فعل فايل وديراك بعد بضع سنوات. ومهما كانت دوافع هذه الحكايات، فقد كانت رياضيات النظرية تقليدية في ذلك الوقت، بينما كانت الفيزياء جديدة جذريًا.

تشمل الأدوات الرئيسية ما يلي:

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ بايرون وفولر 1992 ، ص 277.
↑ الاستخدام الرسمي (2025-12-03). "كيف حلّ بلانك مشكلة إشعاع الجسم الأسود؟" . تم الاسترجاع في 2026-07-23 .
↑ ديراك 1925 .
^ كوهين تانودجي وديو ولالوي 2020 .
^ باورلي ودي كيرف 1990 ، ص. 330.
↑ Solem & Biedenharn 1993 .
^ باورلي ودي كيرف 1990 ، ص. 341.
^ ويل 1950 ، ص 180-181.
^ جاوتش، فيجنر وياناسي 1997 .
1 2 ساكوراي ونابوليتانو 2021 ، ص. 443.
^ ساكوراي ونابوليتانو 2021 ، ص. 434-437.
^ كوهين تانودجي، ديو ولالوي 2020 ، ص. 1375-1377.
↑ إدواردز 1979 .
↑ جرينشتاين وزايونك 2006 ، ص 215.

مراجع

باورلي، جيرارد جي إيه؛ دي كيرف، إيدي إيه. (1990). جبر لي، الجزء 1: جبر لي ذو الأبعاد المحدودة وغير المحدودة وتطبيقاته في الفيزياء . دراسات في الفيزياء الرياضية. أمستردام: نورث هولاند. ISBN 0-444-88776-8.
بايرون، فريدريك دبليو؛ فولر، روبرت دبليو (1992). رياضيات الفيزياء الكلاسيكية والكمية . نيويورك: مؤسسة كورير. ISBN 978-0-486-67164-2.
كوهين تنودجي، كلود؛ ديو، برنارد. لالوي ، فرانك (2020). ميكانيكا الكم. المجلد 2: الزخم الزاوي، والدوران، وطرق التقريب . فاينهايم: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. رقم ISBN 978-3-527-82272-0.
ديراك، بام (1925). "المعادلات الأساسية لميكانيكا الكم" . وقائع الجمعية الملكية أ: العلوم الرياضية والفيزيائية والهندسية . 109 (752): 642-653 . رمز Bibcode : 1925RSPSA.109..642D . doi : 10.1098/rspa.1925.0150 .
إدواردز، ديفيد أ. (1979). "الأسس الرياضية لميكانيكا الكم". سينثيز . 42 (1). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا ذ.م.م.: 1-70 . doi : 10.1007/bf00413704 . ISSN 0039-7857 . S2CID 46969028 .
غرينشتاين، جورج؛ زايونك، آرثر (2006). التحدي الكمي . سودبري، ماساتشوستس: جونز وبارتليت ليرنينج. ISBN 978-0-7637-2470-2.
جاوتش، جيه إم؛ ويغنر، إي بي ؛ ياناس، إم إم (1997). "بعض التعليقات المتعلقة بالقياسات في ميكانيكا الكم" . الجزء الأول: الجسيمات والمجالات. الجزء الثاني: أسس ميكانيكا الكم . برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ. الصفحات 475-482 . doi : 10.1007/978-3-662-09203-3_52 . ISBN 978-3-642-08179-8.
سوليم، جيه سي؛ بيدنهارت، إل سي (1993). "فهم الأطوار الهندسية في ميكانيكا الكم: مثال أولي". أسس الفيزياء . 23 (2): 185-195 . Bibcode : 1993FoPh...23..185S . doi : 10.1007/BF01883623 . S2CID 121930907 .
ستريتر، ريموند فريدريك؛ وايتمان، آرثر سترونج (2000). نظرية الضغط، والتأثيرات، والإحصاء، وكل ما يتعلق بها . برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-07062-9.
ساكوراي، جون جون؛ نابوليتانو، جيم (2021). ميكانيكا الكم الحديثة ( الطبعة الثالثة). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-108-47322-4.
فايل، هيرمان (1950) [1931]. نظرية المجموعات وميكانيكا الكم . ترجمة روبرتسون، إتش بي دوفر. رمز ببليوغرافي : 1950tgqm.book.....W .

للمزيد من القراءة

أويانغ، ساني واي. (1995). كيف يمكن لنظرية الحقل الكمومي أن تكون ممكنة؟ نيويورك، نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد عند الطلب. ISBN 978-0-19-509344-5.
إمخ، جيرار ج. (1972). الأساليب الجبرية في الميكانيكا الإحصائية ونظرية الحقل الكمومي . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-23900-3.
جياكيتا، جيوفاني؛ مانجياروتي، لويجي؛ سارداناشفيلي، جينادي (2005). الأساليب الطوبولوجية الهندسية والجبرية في ميكانيكا الكم . وورلد ساينتيفيك. arXiv : math-ph/0410040 . doi : 10.1142/5731 . ISBN 978-981-256-129-9.
غليسون، أندرو م. (1957). "القياسات على الفضاءات الجزئية المغلقة لفضاء هيلبرت" . مجلة الرياضيات والميكانيكا . 6 (6). قسم الرياضيات بجامعة إنديانا: 885-893 . JSTOR 24900629 .
هول، برايان سي. (2013). نظرية الكم للرياضيين . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 267. نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. Bibcode : 2013qtm..book.....H . doi : 10.1007/978-1-4614-7116-5 . ISBN 978-1-4614-7115-8ISSN 0072-5285 . S2CID 117837329 .
جوتش، جوزيف ماريا (1968). أسس ميكانيكا الكم . ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ISBN 0-201-03298-8.
جوست، ر. (1965). النظرية العامة للحقول الكمية . محاضرات في الرياضيات التطبيقية. الجمعية الرياضية الأمريكية.
كون، توماس س. (1987). نظرية الجسم الأسود والانقطاع الكمي، 1894-1912 . شيكاغو: مطبعة جامعة شيكاغو. ISBN 978-0-226-45800-7.
لاندسمان، كلاس (2017). أسس نظرية الكم . النظريات الأساسية للفيزياء. المجلد 188. تشام: دار نشر سبرينغر الدولية. doi : 10.1007/978-3-319-51777-3 . ISBN 978-3-319-51776-6ISSN 0168-1222
ماكي، جورج و. (2004). الأسس الرياضية لميكانيكا الكم . مينولا، نيويورك: شركة كورير. ISBN 978-0-486-43517-6.
مكماهون، ديفيد (2013). تبسيط ميكانيكا الكم، الطبعة الثانية (ملف PDF) . نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل بروف ميد/تك. رقم ISBN 978-0-07-176563-3.
موريتي، فالتر (2017). نظرية الأطياف وميكانيكا الكم . يونيتكست. المجلد 110. تشام: سبرينغر للنشر الدولي. doi : 10.1007/978-3-319-70706-8 . ISBN 978-3-319-70705-1ISSN 2038-5714 . S2CID 125121522 .
موريتي، فالتر (2019). البنى الرياضية الأساسية لنظرية الكم . تشام: دار نشر سبرينغر الدولية. doi : 10.1007/978-3-030-18346-2 . ISBN 978-3-030-18345-5. S2CID 197485828 .
بروغوفيتسكي، إدوارد (2006). ميكانيكا الكم في فضاء هيلبرت . مينولا، نيويورك: منشورات كوريير دوفر. ISBN 978-0-486-45327-9.
ريد، مايكل؛ سيمون، باري (1972). أساليب الفيزياء الرياضية الحديثة . نيويورك: دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-585001-8.
شانكار، ر. (2013). مبادئ ميكانيكا الكم (ملف PDF) . سبرينغر. ISBN 978-1-4615-7675-4.
تيشل، جيرالد (2009). الأساليب الرياضية في ميكانيكا الكم (ملف PDF) . بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-8218-4660-5.
فون نيومان، جون (2018). الأسس الرياضية لميكانيكا الكم . برينستون، أكسفورد: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-17856-1.
ويفر، نيك (2001). التكميم الرياضي . تشابمان آند هول/سي آر سي. doi : 10.1201/9781420036237 . ISBN 978-0-429-07514-8.

[FOOTNOTEByronFuller1992277-1] بايرون وفولر 1992 ، ص 277.

[2] الاستخدام الرسمي (2025-12-03). "كيف حلّ بلانك مشكلة إشعاع الجسم الأسود؟" . تم الاسترجاع في 2026-07-23 .

[FOOTNOTEDirac1925-3] ديراك 1925 .

[FOOTNOTECohen-TannoudjiDiuLaloë2020-4] كوهين تانودجي وديو ولالوي 2020 .

[FOOTNOTEBäuerlede_Kerf1990330-5] باورلي ودي كيرف 1990 ، ص. 330.

[FOOTNOTESolemBiedenharn1993-6] Solem & Biedenharn 1993 .

[FOOTNOTEBäuerlede_Kerf1990341-7] باورلي ودي كيرف 1990 ، ص. 341.

[FOOTNOTEWeyl1950180–181-8] ويل 1950 ، ص 180-181.

[FOOTNOTEJauchWignerYanase1997-9] جاوتش، فيجنر وياناسي 1997 .

[FOOTNOTESakuraiNapolitano2021443-10] 1 2 ساكوراي ونابوليتانو 2021 ، ص. 443.

[FOOTNOTESakuraiNapolitano2021434-437-11] ساكوراي ونابوليتانو 2021 ، ص. 434-437.

[FOOTNOTECohen-TannoudjiDiuLaloë20201375–1377-12] كوهين تانودجي، ديو ولالوي 2020 ، ص. 1375-1377.

[FOOTNOTEEdwards1979-13] إدواردز 1979 .

[FOOTNOTEGreensteinZajonc2006215-14] جرينشتاين وزايونك 2006 ، ص 215.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗