نظرية الأعداد

يتناول علم الأعداد الابتدائي موضوعات نظرية الأعداد باستخدام الطرق الأساسية في الحساب. ^{[ 4 ]} تشمل مواضيعه الرئيسية قابلية القسمة ، والتحليل إلى عوامل ، والأعداد الأولية ، بالإضافة إلى التطابقات في الحساب النمطي. ^{[ 71 ] [ 12 ]} تشمل المواضيع الأخرى في علم الأعداد الابتدائي المعادلات الديوفانتية ، والكسور المستمرة ، وتقسيمات الأعداد الصحيحة ، والتقريبات الديوفانتية . ^{[ 72 ]}

علم الحساب هو دراسة العمليات العددية، ويبحث في كيفية دمج الأعداد وتحويلها باستخدام العمليات الحسابية: الجمع ، والطرح ، والضرب ، والقسمة ، والأسس ، واستخراج الجذور ، واللوغاريتمات . الضرب، على سبيل المثال، عملية تجمع عددين، يُشار إليهما بالعوامل، لتكوين عدد واحد، يُسمى الناتج ، مثل:${\displaystyle 2\times 3=6}$[ ^{73 ]​}

قابلية القسمة هي خاصية بين عددين صحيحين غير صفريين تتعلق بالقسمة.${\displaystyle a}$يقال إنه يقبل القسمة على عدد صحيح غير صفري${\displaystyle b}$لو${\displaystyle a}$هو مضاعف لـ${\displaystyle b}$أي إذا كان هناك عدد صحيح${\displaystyle q}$بحيث${\displaystyle a=bq}$الصيغة المكافئة هي:${\displaystyle b}$يقسم${\displaystyle a}$ويُشار إليه بخط عمودي، وهو في هذه الحالة${\displaystyle b|a}$أما إذا لم يكن الأمر كذلك، فـ${\displaystyle a}$لن يتم تقسيمها بالتساوي على${\displaystyle b}$مما ينتج عنه باقي. وتؤكد نظرية القسمة لإقليدس أن${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$يمكن كتابتها عمومًا على النحو التالي:${\displaystyle a=bq+r}$، حيث الباقي${\displaystyle r}$يمثل أصغر كمية موجبة متبقية. يدرس علم الأعداد الأساسي قواعد قابلية القسمة لتحديد ما إذا كان عدد صحيح معين قابلاً للقسمة على قاسم محدد بسرعة. على سبيل المثال، من المعروف أن أي عدد صحيح قابل للقسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه العشرية قابلاً للقسمة على 3. ^{[ 74 ] [ 9 ] [ 75 ]}

القاسم المشترك لعدة أعداد صحيحة غير صفرية هو عدد صحيح يقسمها جميعًا. القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) هو أكبر هذه القواسم. يُقال إن عددين صحيحين أوليان فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر، وقاسمهما الوحيد في الوقت نفسه، هو${\displaystyle 1}$تحسب خوارزمية إقليدس القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين .${\displaystyle a,b}$وذلك عن طريق تطبيق خوارزمية القسمة بشكل متكرر وتغيير المقسوم عليه والباقي بعد كل خطوة. ويمكن توسيع الخوارزمية لحل حالة خاصة من المعادلات الديوفانتية الخطية.${\displaystyle ax+by=1}$تحتوي المعادلة الديوفانتية على عدة مجاهيل ومعاملات صحيحة. ويُشرح نوع آخر من المعادلات الديوفانتية في نظرية فيثاغورس .${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$تُسمى حلولها ثلاثيات فيثاغورس إذا كانت جميعها أعدادًا صحيحة. ^{[ 9 ] [ 10 ]} وهناك نوع آخر من التعبيرات وهو الكسر المستمر ، الذي يُكتب على شكل مجموع عدد صحيح وكسر مقامه هو مجموع آخر من هذا النوع. ^{[ 76 ]}

يدرس علم الأعداد الأساسي خصائص قابلية قسمة الأعداد الصحيحة، مثل الزوجية (الأعداد الزوجية والفردية)، والأعداد الأولية ، والأعداد الكاملة . تشمل الدوال المهمة في علم الأعداد دالة عد القواسم ، ودالة جمع القواسم وتعديلاتها، ودالة أويلر . العدد الأولي هو عدد صحيح أكبر من${\displaystyle 1}$القواسم الموجبة الوحيدة لها هي${\displaystyle 1}$والعدد الأولي نفسه. عدد صحيح موجب أكبر من${\displaystyle 1}$العدد الذي ليس أوليًا يُسمى عددًا مركبًا . تُبين نظرية إقليدس أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية التي تُشكل المجموعة${\displaystyle \{2,3,5,7,11,\cdots \}}$تم ابتكار غربال إراتوستينس كخوارزمية فعالة لتحديد جميع الأعداد الأولية حتى عدد طبيعي معين عن طريق استبعاد جميع الأعداد المركبة. ^{[ 77 ]}

التحليل إلى عوامل هو طريقة للتعبير عن عدد كحاصل ضرب . في نظرية الأعداد تحديدًا، يُعرف تحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية بأنه تفكيك عدد صحيح إلى حاصل ضرب أعداد صحيحة. وتُعرف عملية تطبيق هذه العملية بشكل متكرر حتى تصبح جميع العوامل أولية باسم التحليل إلى عوامل أولية . تُظهر مبرهنة إقليدس إحدى الخصائص الأساسية للأعداد الأولية . ومن نتائج هذه المبرهنة أنه إذا قسم عدد أولي حاصل ضرب أعداد صحيحة، فإن هذا العدد الأولي يقسم عاملًا واحدًا على الأقل من عوامل حاصل الضرب. تُعد نظرية التحليل الفريد إلى عوامل نظرية أساسية في الحساب تتعلق بتحليل الأعداد إلى عوامل أولية. وتنص هذه النظرية على أن كل عدد صحيح أكبر من 10000 يقسم 10 ...${\displaystyle 1}$يمكن تحليل العدد إلى عوامله الأولية، ويكون هذا التحليل فريدًا حتى رتبة العوامل. على سبيل المثال،${\displaystyle 120}$يُعبَّر عنه بشكل فريد على النحو التالي${\displaystyle 2\times 2\times 2\times 3\times 5}$أو ببساطة${\displaystyle 2^{3}\times 3\times 5}$[ ^{78 ] [ 9 ]​}

يتعامل الحساب النمطي مع مجموعات منتهية من الأعداد الصحيحة، ويُقدّم مفاهيم التطابق وفئات البواقي. تطابق عددين صحيحين${\displaystyle a,b}$modulo${\displaystyle n}$(عدد صحيح موجب يُسمى المعيار) هو علاقة تكافؤ حيث${\displaystyle n|(a-b)}$هذا صحيح. إجراء القسمة الإقليدية على كليهما${\displaystyle a}$و${\displaystyle n}$و على${\displaystyle b}$و${\displaystyle n}$، ينتج عنه نفس الباقي. يُكتب هذا على النحو التالي${\textstyle a\equiv b{\pmod {n}}}$على غرار نظام الساعة ذي الاثنتي عشرة ساعة ، فإن مجموع${\displaystyle 4}$و${\displaystyle 9}$يساوي${\displaystyle 13}$، ومع ذلك متطابقة مع${\displaystyle 1}$فئة البقايا modulo${\displaystyle n}$هي مجموعة تحتوي على جميع الأعداد الصحيحة المطابقة لقيمة محددة${\displaystyle r}$modulo${\displaystyle n}$. على سبيل المثال،${\displaystyle 6\mathbb {Z} +1}$يحتوي على جميع مضاعفات${\displaystyle 6}$تمت زيادتها بواسطة${\displaystyle 1}$يُوفر الحساب النمطي مجموعة من الصيغ لحل التطابقات بسرعة للأعداد ذات القوى الكبيرة جدًا. ومن النظريات المؤثرة في هذا المجال نظرية فيرما الصغرى ، التي تنص على أنه إذا كان عددًا أوليًا${\displaystyle p}$أولي نسبيًا لعدد صحيح ما${\displaystyle a}$، ثم${\textstyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$هذا صحيح. وتوسع نظرية أويلر هذا لتؤكد أن كل عدد صحيح${\displaystyle n}$يحقق التطابق$${\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}},}$$حيث دالة أويلر${\displaystyle \varphi }$يحسب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى${\displaystyle n}$التي هي أولية فيما بينها لـ${\displaystyle n}$كما يوفر الحساب النمطي صيغًا تُستخدم لحل التطابقات ذات المجاهيل بطريقة مشابهة لحل المعادلات في الجبر، مثل نظرية الباقي الصينية . ^{[ 79 ]}

تعتمد نظرية الأعداد التحليلية، على عكس نظرية الأعداد الأولية، على الأعداد المركبة وتقنيات من التحليل والتفاضل والتكامل. ويمكن تعريف نظرية الأعداد التحليلية على النحو التالي:

• من حيث أدواتها، مثل دراسة الأعداد الصحيحة باستخدام أدوات من التحليل الحقيقي والمركب ؛ ^{[ 64 ]} أو
• من حيث اهتماماتها، باعتبارها دراسة ضمن نظرية الأعداد لتقديرات حجم وكثافة أعداد معينة (مثل الأعداد الأولية)، على عكس الهويات. ^{[ 80 ]}

يدرس هذا المجال توزيع الأعداد الأولية، وسلوك الدوال في نظرية الأعداد، والأعداد غير النسبية. ^{[ 81 ]}

تُعرف نظرية الأعداد بأنها مجالٌ يُمكن شرح العديد من نتائجه لغير المتخصصين. في الوقت نفسه، فإن العديد من براهين هذه النتائج ليست سهلة الفهم، ويعود ذلك جزئيًا إلى أن نطاق الأدوات المستخدمة فيها واسعٌ بشكلٍ استثنائي في الرياضيات. ^{[ 82 ]} فيما يلي أمثلة على مسائل في نظرية الأعداد التحليلية: نظرية الأعداد الأولية ، حدسية غولدباخ ، حدسية الأعداد الأولية التوأم ، حدسيات هاردي-ليتلوود ، مسألة وارينغ ، وفرضية ريمان . من أهم أدوات نظرية الأعداد التحليلية: طريقة الدائرة ، وطرق الغربلة ، ودوال L (أو بالأحرى، دراسة خصائصها). كما تحتل نظرية الأشكال النمطية (وبشكلٍ أعم، الأشكال التلقائية ) مكانةً مركزيةً متزايدة الأهمية في أدوات نظرية الأعداد التحليلية. ^{[ 83 ]}

التحليل هو فرع من الرياضيات يدرس النهاية ، والتي تُعرَّف بأنها القيمة التي تؤول إليها متتالية أو دالة عندما يقترب المتغير (أو الدليل) من قيمة محددة. على سبيل المثال، نهاية المتتالية${\displaystyle 0.9,0.99,0.999,...}$يكون${\displaystyle 1}$في سياق الدوال، فإن نهاية${\textstyle {\frac {1}{x}}}$مثل${\displaystyle x}$يقترب من اللانهاية${\displaystyle 0}$[ ^{84 ]} الأعداد المركبة هي امتداد للأعداد الحقيقية مع الوحدة ^{التخيلية}${\displaystyle i}$يُعرَّف بأنه حل لـ${\displaystyle i^{2}=-1}$يمكن التعبير عن كل عدد مركب على النحو التالي:${\displaystyle x+iy}$، أين${\displaystyle x}$يُطلق عليه الجزء الحقيقي و${\displaystyle y}$يُطلق عليه الجزء التخيلي. ^{[ 85 ]}

توزيع الأعداد الأولية ، الموصوف بالدالة${\displaystyle \pi }$إنّ حساب جميع الأعداد الأولية حتى عدد حقيقي مُعطى أمرٌ غير قابل للتنبؤ، ويُعدّ موضوعًا رئيسيًا للدراسة في نظرية الأعداد. وقد طُوّرت صيغٌ أوليةٌ لمتتالية جزئية من الأعداد الأولية، بما في ذلك كثيرات حدود أويلر المولدة للأعداد الأولية . إلا أن هذه الصيغ تفقد فعاليتها عندما تصبح الأعداد الأولية كبيرة جدًا. تُقدّم نظرية الأعداد الأولية في نظرية الأعداد التحليلية صياغةً رسميةً لفكرة أن الأعداد الأولية تظهر بشكلٍ أقل شيوعًا كلما زادت قيمتها العددية. وينصّ أحد التوزيعات، بشكلٍ غير رسمي، على أن الدالة${\displaystyle {\frac {x}{\log(x)}}}$تقريبي${\displaystyle \pi (x)}$يتضمن توزيع آخر تكاملاً لوغاريتمياً مُزاحاً يتقارب إلى${\displaystyle \pi (x)}$بشكل أسرع. ^{[ 3 ]}

لقد ثبت أن دالة زيتا مرتبطة بتوزيع الأعداد الأولية. وهي تُعرَّف بأنها متسلسلة$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$$يتقارب إذا${\displaystyle s}$أكبر من${\displaystyle 1}$أثبت أويلر وجود رابط يتضمن الضرب اللانهائي على جميع الأعداد الأولية، والذي يُعبَّر عنه بالهوية .$${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}.}$$قام ريمان بتوسيع التعريف ليشمل متغيرًا مركبًا، وافترض أن جميع الحالات غير التافهة (${\displaystyle 0<\Re (s)<1}$) حيث تُرجع الدالة صفرًا هي تلك التي يكون فيها الجزء الحقيقي من${\displaystyle s}$يساوي${\textstyle {\frac {1}{2}}}$لقد أثبت وجود صلة بين الأصفار غير التافهة ودالة عد الأعداد الأولية. وفيما يُعرف الآن بفرضية ريمان غير المحلولة ، فإن حلها سيؤدي إلى نتائج مباشرة لفهم توزيع الأعداد الأولية. ^{[ 86 ]}

يمكن طرح أسئلة تحليلية حول الأعداد الجبرية ، واستخدام الوسائل التحليلية للإجابة عنها؛ ومن هنا يتقاطع علم الأعداد الجبري مع علم الأعداد التحليلي. على سبيل المثال، يمكن تعريف المُثُل الأولية (تعميمات للأعداد الأولية في مجال الأعداد الجبرية) والتساؤل عن عدد المُثُل الأولية الموجودة حتى حجم معين. يمكن الإجابة عن هذا السؤال من خلال دراسة دوال زيتا ديديكيند ، وهي تعميمات لدالة زيتا ريمان ، وهي عنصر تحليلي أساسي في هذا المجال. ^{[ 87 ]} هذا مثال على إجراء عام في علم الأعداد التحليلي: استخلاص معلومات حول توزيع متتالية ( هنا، المُثُل الأولية أو الأعداد الأولية) من السلوك التحليلي لدالة مركبة القيم تم إنشاؤها بشكل مناسب. ^{[ 88 ]}

تعتمد نظرية الأعداد الأولية على البراهين الأولية ، وهو مصطلح يستثني استخدام الأعداد المركبة ولكنه قد يشمل التحليل الأساسي. ^{[ 72 ]} على سبيل المثال، تم إثبات نظرية الأعداد الأولية لأول مرة باستخدام التحليل المركب عام 1896، ولكن لم يُعثر على برهان أولي لها إلا عام 1949 على يد إردوش وسيلبرغ. [ 89 ] ^{هذا المصطلح غامض} إلى حد ما. فعلى سبيل المثال، غالبًا ما يُنظر إلى البراهين القائمة على نظريات تاوبر المركبة ، مثل برهان وينر-إيكيهارا ، على أنها مفيدة للغاية ولكنها ليست أولية على الرغم من استخدامها لتحليل فورييه ، وليس التحليل المركب. هنا كما في غيره، قد يكون البرهان الأولي أطول وأكثر صعوبة بالنسبة لمعظم القراء من البرهان الأكثر تقدمًا.

بعض المواضيع التي تُعتبر عمومًا جزءًا من نظرية الأعداد التحليلية (مثل نظرية المناخل ) يُغطّيها التعريف الثاني بشكل أفضل من التعريف الأول. ^{[ ملاحظة 5 ]} المناخل الصغيرة، على سبيل المثال، لا تستخدم الكثير من التحليل، ومع ذلك فهي تنتمي إلى نظرية الأعداد التحليلية. ^{[ ملاحظة 6 ]}

العدد الجبري هو أي عدد مركب يمثل حلاً لمعادلة متعددة الحدود${\displaystyle f(x)=0}$بمعاملات نسبية؛ على سبيل المثال، كل حل${\displaystyle x}$ل${\displaystyle x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0}$هو عدد جبري. تُسمى حقول الأعداد الجبرية أيضًا حقول الأعداد الجبرية ، أو باختصار حقول الأعداد . يدرس علم نظرية الأعداد الجبرية حقول الأعداد الجبرية. ^{[ 90 ]}

يمكن القول إن أبسط أنواع حقول الأعداد، وهي الحقول التربيعية ، قد درسها غاوس بالفعل، إذ يمكن إعادة صياغة مناقشة الأشكال التربيعية في كتابه "Disquisitiones Arithmeticae" من حيث المُثُل والمعايير في الحقول التربيعية. ( يتكون الحقل التربيعي من جميع الأعداد التي تأخذ الشكل 1/2) .${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$، أين ${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هي أعداد نسبية و${\displaystyle d}$ (هو عدد نسبي ثابت جذره التربيعي ليس عددًا نسبيًا). في الواقع، تُعدّ طريقة تشاكرافالا التي ظهرت في القرن الحادي عشر - بمصطلحات حديثة - خوارزمية لإيجاد وحدات حقل أعداد تربيعي حقيقي. مع ذلك، لم يكن بهاسكارا ولا غاوس على دراية بحقول الأعداد بهذا الشكل.

وُضعت أسس هذا الموضوع في أواخر القرن التاسع عشر، عندما طُرحت الأعداد المثالية ، ونظرية المُثُل ، ونظرية التقييم ؛ وهي ثلاث طرق مُتكاملة للتعامل مع غياب التحليل الفريد في حقول الأعداد الجبرية. (على سبيل المثال، في الحقل المُوَلَّد بواسطة الأعداد النسبية و${\displaystyle {\sqrt {-5}}}$الرقم${\displaystyle 6}$يمكن تحليل كليهما إلى عوامل${\displaystyle 6=2\cdot 3}$و ${\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$جميع${\displaystyle 2}$،${\displaystyle 3}$،${\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}$و ${\displaystyle 1-{\sqrt {-5}}}$ غير قابلة للاختزال، وبالتالي، بمعنى ساذج، مماثلة للأعداد الأولية بين الأعداد الصحيحة.) يبدو أن الدافع الأولي لتطوير الأعداد المثالية (بواسطة كومر ) قد جاء من دراسة قوانين التبادل الأعلى، ^{[ 91 ]} أي تعميمات التبادل التربيعي .

تُدرس حقول الأعداد غالبًا كامتدادات لحقول أعداد أصغر: يُقال إن الحقل L هو امتداد للحقل K إذا كان L يحتوي على K. (على سبيل المثال، الأعداد المركبة C هي امتداد للأعداد الحقيقية R ، والأعداد الحقيقية R هي امتداد للأعداد النسبية Q ). يُعد تصنيف الامتدادات الممكنة لحقل عددي مُعطى مشكلة صعبة ومفتوحة جزئيًا . أما الامتدادات الأبيلية - أي الامتدادات L لـ K بحيث تكون زمرة غالوا ^{[ ملاحظة 7 ]} Gal( L / K ) لـ L على K زمرة أبيلية - فهي مفهومة جيدًا نسبيًا. وكان تصنيفها هدفًا لبرنامج نظرية حقول الأصناف ، الذي بدأ في أواخر القرن التاسع عشر (بمساهمة جزئية من كرونكر وإيزنشتاين ) ونُفذ بشكل كبير في الفترة 1900-1950 .

من الأمثلة على المجالات البحثية النشطة في نظرية الأعداد الجبرية نظرية إيواساوا . ويُوصف برنامج لانجلاندز ، وهو أحد أهم خطط البحث واسعة النطاق الحالية في الرياضيات، أحيانًا بأنه محاولة لتعميم نظرية حقل الأصناف لتشمل امتدادات غير تبديلية لحقول الأعداد.

تتمثل المشكلة الأساسية في الهندسة الديوفانتية في تحديد متى يكون للمعادلة الديوفانتية حلول صحيحة أو نسبية، وإذا كان لها حلول، فكم عددها. ويتمثل النهج المتبع في اعتبار حلول المعادلة شكلاً هندسياً.

على سبيل المثال، تُعرّف معادلة بمتغيرين منحنىً في المستوى. وبشكل أعم، تُعرّف معادلة أو نظام معادلات بمتغيرين أو أكثر منحنىً أو سطحًا أو أي شكل آخر في فضاء ذي أبعاد n . في الهندسة الديوفانتية، يُسأل عما إذا كانت هناك أي نقاط نسبية (نقاط إحداثياتها جميعًا نسبية) أو نقاط صحيحة (نقاط إحداثياتها جميعًا صحيحة) على المنحنى أو السطح. إذا وُجدت مثل هذه النقاط، فإن الخطوة التالية هي تحديد عددها وكيفية توزيعها. ومن الأسئلة الأساسية في هذا السياق: هل يوجد عدد محدود أم لا نهائي من النقاط النسبية على منحنى أو سطح معين؟

لنأخذ على سبيل المثال معادلة فيثاغورس${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$يرغب المرء في معرفة حلولها المنطقية، وهي:${\displaystyle (x,y)}$بحيث يكون كل من x و y عددًا نسبيًا. وهذا يُعادل طلب جميع الحلول الصحيحة للمعادلة${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$أي حل للمعادلة الأخيرة يعطينا حلاً${\displaystyle x=a/c}$،${\displaystyle y=b/c}$بالنسبة للأول. وهو أيضاً بمثابة طلب جميع النقاط ذات الإحداثيات النسبية على المنحنى الموصوف بواسطة${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$(دائرة نصف قطرها 1 مركزها نقطة الأصل).

إعادة صياغة الأسئلة المتعلقة بالمعادلات بدلالة النقاط على المنحنيات أمرٌ موفق. يتناول هذا السؤال مدى محدودية أو عدم محدودية عدد النقاط النسبية أو الصحيحة على منحنى جبري (أي الحلول النسبية أو الصحيحة للمعادلة).${\displaystyle f(x,y)=0}$، أين${\displaystyle f}$(وهي دالة متعددة الحدود في متغيرين) تعتمد بشكل حاسم على جنس المنحنى. ^{[ ملاحظة 8 ]} ومن الإنجازات الرئيسية لهذا النهج برهان وايلز لنظرية فيرما الأخيرة ، والتي تُعد المفاهيم الهندسية الأخرى فيها بنفس القدر من الأهمية.

وهناك أيضًا مجال التقريبات الديوفانتية المرتبط ارتباطًا وثيقًا : بالنظر إلى عدد${\displaystyle x}$حدد مدى دقة تقريبها بالأعداد النسبية. يُبحث عن تقريبات جيدة نسبيًا لحجم المساحة المطلوبة لكتابة العدد النسبي: يُسمى${\displaystyle a/q}$(مع${\displaystyle \gcd(a,q)=1}$) تقريب جيد لـ${\displaystyle x}$لو${\displaystyle |x-a/q|<{\frac {1}{q^{c}}}}$، أين${\displaystyle c}$كبير. هذا السؤال ذو أهمية خاصة إذا${\displaystyle x}$هو عدد جبري. إذا${\displaystyle x}$إذا لم يكن بالإمكان تقريبها بدقة، فإن بعض المعادلات لا تملك حلولًا صحيحة أو نسبية. علاوة على ذلك، تُعدّ مفاهيم عديدة (وخاصة مفهوم الارتفاع ) بالغة الأهمية في كلٍّ من الهندسة الديوفانتية ودراسة التقريبات الديوفانتية. وتكتسب هذه المسألة أهمية خاصة في نظرية الأعداد المتسامية : فإذا أمكن تقريب عدد ما بدقة أفضل من أي عدد جبري، فهو عدد متسامٍ . وبناءً على هذه الحجة، تم إثبات أن π و e عددان متساميان.

لا ينبغي الخلط بين الهندسة الديوفانتية وهندسة الأعداد ، التي تُعنى بمجموعة من الأساليب البيانية للإجابة عن بعض المسائل في نظرية الأعداد الجبرية. وتُعدّ الهندسة الحسابية مصطلحًا معاصرًا لنفس المجال الذي تغطيه الهندسة الديوفانتية، لا سيما عند الرغبة في التركيز على الروابط مع الهندسة الجبرية الحديثة (على سبيل المثال، في نظرية فالتينغز ) بدلًا من التركيز على تقنيات التقريبات الديوفانتية.

تبدأ نظرية الأعداد الاحتمالية بأسئلة من قبيل: لنأخذ عددًا صحيحًا n عشوائيًا بين واحد ومليون. ما احتمال أن يكون عددًا أوليًا؟ (هذه طريقة أخرى للسؤال عن عدد الأعداد الأولية بين واحد ومليون). كم عدد القواسم الأولية التي يمتلكها n في المتوسط؟ ما احتمال أن يكون لديه قواسم أكثر بكثير أو أقل بكثير أو عدد أقل بكثير من القواسم الأولية مقارنةً بالمتوسط؟

يبدأ علم التوافيق في نظرية الأعداد بأسئلة مثل السؤال التالي: هل مجموعة لانهائية "سميكة" إلى حد ما${\displaystyle A}$تحتوي على العديد من العناصر في المتتابعة الحسابية:${\displaystyle a}$،

${\displaystyle a+b,a+2b,a+3b,\ldots ,a+10b}$هل من الممكن كتابة الأعداد الصحيحة الكبيرة كمجموع عناصر من${\displaystyle A}$؟

هناك سؤالان رئيسيان: "هل يمكن حساب ذلك؟" و"هل يمكن حسابه بسرعة؟" يستطيع أي شخص اختبار ما إذا كان العدد أوليًا، أو تحليله إلى عوامله الأولية إذا لم يكن كذلك؛ لكن القيام بذلك بسرعة أمر آخر. توجد الآن خوارزميات سريعة لاختبار أولية الأعداد ، ولكن على الرغم من الجهود الكبيرة (النظرية والعملية)، لا توجد خوارزمية سريعة حقًا لتحليل الأعداد إلى عواملها الأولية.

• تتضمن هذه المقالة مواد من مقالة Citizendium بعنوان " نظرية الأعداد "، والتي تم ترخيصها بموجب رخصة Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported ولكنها ليست مرخصة بموجب رخصة GFDL .