Eigenvalues and eigenvectors

In linear algebra, an eigenvector (/ˈaɪɡən-/EYE-gən-) or characteristic vector is a (nonzero) vector that has its direction unchanged (or reversed) by a given linear transformation. More precisely, an eigenvector $\mathbf {v}$ of a linear transformation $T$ is scaled by a constant factor $\lambda$ when the linear transformation is applied to it: ⁠ $T\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$ ⁠. The corresponding eigenvalue, characteristic value, or characteristic root is the multiplying factor $\lambda$ (possibly a negative or complex number).

Geometrically, vectors are multi-dimensional quantities with magnitude and direction, often pictured as arrows. A linear transformation rotates, stretches, or shears the vectors upon which it acts. A linear transformation's eigenvectors are those vectors that are only stretched or shrunk, with neither rotation nor shear. The corresponding eigenvalue is the factor by which an eigenvector is stretched or shrunk. If the eigenvalue is negative, then the eigenvector's direction is reversed.^[1]

The eigenvectors and eigenvalues of a linear transformation serve to characterize it, and so they play important roles in all areas where linear algebra is applied, from geology to quantum mechanics. In particular, it is often the case that a system is represented by a linear transformation whose outputs are fed as inputs to the same transformation (feedback). In such an application, the largest eigenvalue is of particular importance, because it governs the long-term behavior of the system after many applications of the linear transformation, and the associated eigenvector is the steady state of the system.

Matrices

For an $n{\times }n$ matrix ⁠ $A$ ⁠ and a nonzero ⁠ $n$ ⁠-vector ⁠ $\mathbf {v}$ ⁠, if multiplying ⁠ $A$ ⁠ by $\mathbf {v}$ (denoted ⁠ $A\mathbf {v}$ ⁠) simply scales $\mathbf {v}$ by a factor ⁠ $\lambda$ ⁠, where ⁠ $\lambda$ ⁠ is a scalar, then $\mathbf {v}$ is called an eigenvector of ⁠ $A$ ⁠, and ⁠ $\lambda$ ⁠ is the corresponding eigenvalue. This relationship can be expressed as: ⁠ $A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$ ⁠.^[2]

Given an ⁠ $n$ ⁠-dimensional vector space and a choice of basis, there is a direct correspondence between linear transformations from the vector space into itself and ⁠ $n\times n$ ⁠square matrices. Hence, in a finite-dimensional vector space, it is equivalent to define eigenvalues and eigenvectors using either the language of linear transformations, or the language of matrices.^[3]^[4]

Overview

Eigenvalues and eigenvectors feature prominently in the analysis of linear transformations. The prefix eigen- is adopted from the German eigen (cognate with the English word own) for 'proper', 'characteristic', 'own'.^[5]^[6] Originally used to study principal axes of the rotational motion of rigid bodies, eigenvalues and eigenvectors have a wide range of applications, for example in stability analysis, vibration analysis, atomic orbitals, facial recognition, and matrix diagonalization.

In essence, an eigenvector $v$ of a linear transformation $T$ is a nonzero vector that, when $T$ is applied to it, does not change direction. Applying $T$ to the eigenvector only scales the eigenvector by the scalar value $λ$ , called an eigenvalue. This condition can be written as the equation $T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,$ referred to as the eigenvalue equation or eigenequation. In general, $λ$ may be any scalar. For example, $λ$ may be negative, in which case the eigenvector reverses direction as part of the scaling, or it may be zero, or complex.

The example here, based on the Mona Lisa, provides a simple illustration. Each point on the painting can be represented as a vector pointing from the center of the painting to that point. The linear transformation in this example is called a shear mapping. Points in the top half are moved to the right, and points in the bottom half are moved to the left, proportional to how far they are from the horizontal axis that goes through the middle of the painting. The vectors pointing to each point in the original image are therefore tilted right or left, and made longer or shorter by the transformation. Points along the horizontal axis do not move at all when this transformation is applied. Therefore, any vector that points directly to the right or left with no vertical component is an eigenvector of this transformation, because the mapping does not change its direction. Moreover, these eigenvectors all have an eigenvalue equal to one, because the mapping does not change their length either.

Linear transformations can take many different forms, mapping vectors in a variety of vector spaces, so the eigenvectors can also take many forms. For example, the linear transformation could be a differential operator like ⁠ ${\tfrac {d}{dx}}$ ⁠, in which case the eigenvectors are functions called eigenfunctions that are scaled by that differential operator, such as ${\frac {d}{dx}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}.$ Alternatively, the linear transformation could take the form of an $n$ × $n$ matrix, in which case the eigenvectors are $n$ × $1$ matrices.

If the linear transformation is expressed in the form of an $n$ × $n$ matrix $A$ , then the eigenvalue equation for a linear transformation above can be rewritten as the matrix multiplication $A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,$ where the eigenvector $v$ is an $n$ × $1$ matrix. For a matrix, eigenvalues and eigenvectors can be used to decompose the matrix; for example, by diagonalizing it. Eigenvalues and eigenvectors give rise to many closely related mathematical concepts, and the prefix eigen- is applied liberally when naming them:

The set of all eigenvectors of a linear transformation, each paired with its corresponding eigenvalue, is called the eigensystem of that transformation.^[7]^[8]
تُسمى مجموعة جميع المتجهات الذاتية لـ $T$ المقابلة لنفس القيمة الذاتية، بالإضافة إلى المتجه الصفري، بالفضاء الذاتي ، أو الفضاء المميز لـ $T$ المرتبط بتلك القيمة الذاتية. ^{[ 9 ]}
إذا شكلت مجموعة من المتجهات الذاتية لـ $T$ أساسًا لمجال $T$ ، فإن هذا الأساس يسمى أساسًا ذاتيًا .

تتوفر رسوم متحركة إضافية للمتجهات الذاتية والقيم الذاتية في بعدين، بما في ذلك التحويلات المتناظرة والتحويلات ذات القيم الذاتية المركبة، على موقع ويكيميديا كومنز .

تاريخ

غالباً ما يتم تقديم القيم الذاتية في سياق الجبر الخطي أو نظرية المصفوفات . ومع ذلك، فقد نشأت تاريخياً في دراسة الأشكال التربيعية والمعادلات التفاضلية .

في القرن الثامن عشر، درس ليونارد أويلر الحركة الدورانية لجسم صلب ، واكتشف أهمية المحاور الرئيسية . ^{[ أ ]} أدرك جوزيف لويس لاغرانج أن المحاور الرئيسية هي المتجهات الذاتية لمصفوفة القصور الذاتي. ^{[ 10 ]}

في أوائل القرن التاسع عشر، أدرك أوغستين لويس كوشي كيف يمكن استخدام عملهم لتصنيف الأسطح التربيعية ، وعمّمه ليشمل أبعادًا عشوائية. ^{[ 11 ]} كما صاغ كوشي مصطلح "الجذر المميز" ( racine caractéristique )، لما يُعرف الآن بالقيمة الذاتية ؛ ولا يزال مصطلحه مستخدمًا في المعادلة المميزة . ^{[ ب ]}

لاحقًا، استخدم جوزيف فورييه أعمال لاغرانج وبيير سيمون لابلاس لحل معادلة الحرارة بفصل المتغيرات في أطروحته "النظرية التحليلية للحرارة" (Théorie analytique de la chaleur) عام 1822. ^{[ 12 ]} ثمّ طوّر شارل فرانسوا ستورم أفكار فورييه، وعرضها على كوشي الذي جمعها مع أفكاره الخاصة، وتوصل إلى أن المصفوفات المتناظرة الحقيقية لها قيم ذاتية حقيقية. ^{[ 11 ]} وقد وسّع شارل هيرميت هذا المفهوم عام 1855 ليشمل ما يُعرف الآن بالمصفوفات الهيرميتية . ^{[ 13 ]}

Around the same time, Francesco Brioschi proved that the eigenvalues of orthogonal matrices lie on the unit circle,^[11] and Alfred Clebsch found the corresponding result for skew-symmetric matrices.^[13] Finally, Karl Weierstrass clarified an important aspect in the stability theory started by Laplace, by realizing that defective matrices can cause instability.^[11]

In the meantime, Joseph Liouville studied eigenvalue problems similar to those of Sturm; the discipline that grew out of their work is now called Sturm–Liouville theory.^[14]Schwarz studied the first eigenvalue of Laplace's equation on general domains towards the end of the 19th century, while Poincaré studied Poisson's equation a few years later.^[15]

At the start of the 20th century, David Hilbert studied the eigenvalues of integral operators by viewing the operators as infinite matrices.^[16] He was the first to use the German word eigen, which means "own",^[6] to denote eigenvalues and eigenvectors in 1904,^[c] though he may have been following a related usage by Hermann von Helmholtz. For some time, the standard term in English was "proper value", but the more distinctive term "eigenvalue" is the standard today.^[17]

The first numerical algorithm for computing eigenvalues and eigenvectors appeared in 1929, when Richard von Mises published the power method. One of the most popular methods today, the QR algorithm, was proposed independently by John G. F. Francis^[18] and Vera Kublanovskaya^[19] in 1961.^[20]^[21]

Eigenvalues and eigenvectors of a matrix

Eigenvalues and eigenvectors are often introduced to students in the context of linear algebra courses focused on matrices.^[22]^[23] Furthermore, linear transformations over a finite-dimensional vector space can be represented using matrices,^[3]^[4] which is especially common in numerical and computational applications.^[24]

Consider two ⁠ $n$ ⁠-dimensional vectors that are formed as a list of ⁠ $n$ ⁠ scalars, such as the three-dimensional vectors $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.$ These vectors are said to be scalar multiples of each other, or parallel, or collinear, if there is a scalar ⁠ $\lambda$ ⁠ such that $\mathbf {y} =\lambda \mathbf {x} .$ In this example, ⁠ $\lambda =-20$ ⁠.

Now consider the linear transformation of ⁠ $n$ ⁠-dimensional vectors defined by an ⁠ $n\times n$ ⁠ matrix ⁠ $A$ ⁠: $A\mathbf {v} =\mathbf {w} ,$ or ${\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}$ where, for each row, $w_{i}=A_{i1}v_{1}+A_{i2}v_{2}+\cdots +A_{in}v_{n}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}v_{j}.$

If it occurs that ⁠ $\mathbf {v}$ ⁠ and ⁠ $\mathbf {w}$ ⁠ are scalar multiples, that is, if

A\mathbf {v} =\mathbf {w} =\lambda \mathbf {v}

,

1

then ⁠ $\mathbf {v}$ ⁠ is an eigenvector of the linear transformation ⁠ $A$ ⁠ and the scale factor ⁠ $\lambda$ ⁠ is the eigenvalue corresponding to that eigenvector. Equation (1) is the eigenvalue equation for the matrix ⁠ $A$ ⁠.

Equation (1) can be stated equivalently as

\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0}

,

2

where ⁠ $I$ ⁠ is the ⁠ $n\times n$ ⁠identity matrix and ⁠ $\mathbf {0}$ ⁠ is the zero vector.

Eigenvalues and characteristic polynomial

Equation (2) has a nonzero solution $v$ if and only if the determinant of the matrix $(A - λI)$ is zero. Therefore, the eigenvalues of $A$ are values of $λ$ that satisfy the equation

\det(A-\lambda I)=0

.

3

باستخدام صيغة لايبنتز للمحددات ، يكون الطرف الأيسر من المعادلة ( 3 ) دالة متعددة الحدود للمتغير $λ$ ، ودرجة هذه الدالة هي n $،$ وهي رتبة المصفوفة $A. تعتمد$ معاملات هذه الدالة على عناصر $A$ ، باستثناء حدها ذي الدرجة $n$ الذي يكون دائمًا $(-1) n λ n$ . تُسمى هذه الدالة متعددة الحدود المميزة لـ $A.$ وتُسمى المعادلة ( 3 ) المعادلة المميزة أو المعادلة العلمانية لـ $A.$

إنّ كثيرة الحدود المميزة للمصفوفة $A$ من الرتبة $n$ × $n$ ، وهي كثيرة حدود من الدرجة $n$ ، لها على الأكثر $n جذرًا$ من الأعداد المركبة ، ويمكن إيجاد هذه الجذور بتحليل كثيرة الحدود المميزة، أو عدديًا عن طريق إيجاد الجذور. ويمكن تحليل كثيرة الحدود المميزة إلى حاصل ضرب $n$ حدًا خطيًا.

\det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda )\cdots (\lambda _{n}-\lambda )

،

4

حيث يمكن أن تتكرر الأعداد المركبة $λ1 ،$ $λ2 ،$ ...، $λn ،$ وكل منها قيمة ذاتية. (يُعرف عدد مرات ظهور القيمة الذاتية في متعددة الحدود المميزة بتعددها الجبري ).

كمثال موجز، والذي سيتم شرحه بمزيد من التفصيل في قسم الأمثلة لاحقًا، ضع في اعتبارك المصفوفة $A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.$ بأخذ محدد $(A - λI)$ ، تكون متعددة الحدود المميزة لـ $A$ هي $\det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.$ بوضع متعددة الحدود المميزة مساوية للصفر، يكون لها جذور عند $λ = 1$ و $λ = 3$ ، وهما القيمتان الذاتيتان للمصفوفة $A.$ يمكن إيجاد المتجهات الذاتية المناظرة لكل قيمة ذاتية $λ$ بحل معادلة $($ $A$ $-$ $λI$ $)$ $v$ $=$ $0 لإيجاد مركبات$ $v$ . في هذا المثال، المتجهات الذاتية هي أي مضاعفات قياسية غير صفرية لـ $\mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.$

إذا كانت عناصر المصفوفة $A$ جميعها أعدادًا حقيقية، فإن معاملات متعددة الحدود المميزة ستكون أيضًا أعدادًا حقيقية، ولكن قد تحتوي القيم الذاتية على أجزاء تخيلية غير صفرية. وبالتالي، قد تحتوي عناصر المتجهات الذاتية المقابلة أيضًا على أجزاء تخيلية غير صفرية. وبالمثل، قد تكون القيم الذاتية أعدادًا غير نسبية حتى لو كانت جميع عناصر $A$ أعدادًا نسبية أو حتى لو كانت جميعها أعدادًا صحيحة. مع ذلك، إذا كانت عناصر $A$ جميعها أعدادًا جبرية ، بما في ذلك الأعداد النسبية، فإن القيم الذاتية يجب أن تكون أيضًا أعدادًا جبرية.

يمكن تجميع الجذور غير الحقيقية لكثيرة حدود حقيقية ذات معاملات حقيقية في أزواج من المرافقات المركبة ، أي أن لكل زوج جزءًا تخيليًا يختلف فقط في الإشارة وجزءًا حقيقيًا متساويًا. إذا كانت الدرجة فردية، فبحسب نظرية القيمة المتوسطة، يكون أحد الجذور على الأقل حقيقيًا. لذلك، أي مصفوفة حقيقية ذات رتبة فردية لها قيمة ذاتية حقيقية واحدة على الأقل، بينما قد لا يكون للمصفوفة الحقيقية ذات الرتبة الزوجية أي قيم ذاتية حقيقية. المتجهات الذاتية المرتبطة بهذه القيم الذاتية المركبة هي أيضًا مركبة وتظهر في أزواج المرافقات المركبة.

طيف المصفوفة

طيف المصفوفة هو قائمة قيمها الذاتية، مكررة وفقًا لتعدداتها؛ أو بصيغة مختصرة، مجموعة قيمها الذاتية مع الإشارة إلى تعدداتها.

من الكميات المهمة المرتبطة بطيف المصفوفة القيمة المطلقة القصوى لجميع قيمها الذاتية. ويُعرف هذا بنصف قطر الطيف للمصفوفة المدروسة.

التعدد الجبري

ليكن $λᵢ$ قيمة ذاتية لمصفوفة $A$ من الرتبة $n$ × $n$ . التعدد الجبري $μA$ $($ $λᵢ$ $)$ لهذه القيمة الذاتية هو تعددها كجذر لكثير الحدود المميز، أي أكبر عدد صحيح $k$ $بحيث$ $يقسم$ ( $λᵢ$ $-$ $λ$ $)$ $k$ $كثير$ $الحدود هذا$ ^قسمة تامة . ^[⁹ $]$ ^[²⁵^]^[²⁶^]

Suppose a matrix $A$ has order $n$ and $d \leq n$ distinct eigenvalues. Whereas equation (4) factors the characteristic polynomial of $A$ into the product of $n$ linear terms with some terms potentially repeating, the characteristic polynomial can also be written as the product of $d$ terms each corresponding to a distinct eigenvalue and raised to the power of the algebraic multiplicity: $\det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.$ If $d = n$ , then the right-hand side is the product of $n$ linear terms, and this is the same as equation (4). The size of each eigenvalue's algebraic multiplicity is related to the dimension $n$ as ${\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}$ If $μ A (λ i) = 1$ , then $λ i$ is said to be a simple eigenvalue.^[26] If $μ A (λ i)$ equals the geometric multiplicity of $λ i$ (denoted by $γ A (λ i)$ and defined in the next section), then $λ i$ is said to be a semisimple eigenvalue.

Eigenspaces, geometric multiplicities, and eigenbasis for a matrix

Given a particular eigenvalue ⁠ $\lambda$ ⁠ of the ⁠ $n\times n$ ⁠ matrix ⁠ $A$ ⁠, define the set⁠ $E$ ⁠ to be all vectors ⁠ $\mathbf {v}$ ⁠ that satisfy equation (2): $E=\left\{\mathbf {v$ On one hand, ⁠ $E$ ⁠ is precisely the kernel or nullspace of the matrix ⁠ $A-\lambda I$ ⁠. On the other hand, by definition, any nonzero vector that satisfies this condition is an eigenvector of ⁠ $A$ ⁠ associated with ⁠ $\lambda$ ⁠; so ⁠ $E$ ⁠ is the union of the zero vector with the set of all eigenvectors of ⁠ $A$ ⁠ associated with ⁠ $\lambda$ ⁠. The space ⁠ $E$ ⁠ is called the eigenspace or characteristic space of ⁠ $A$ ⁠ associated with ⁠ $\lambda$ ⁠.^[27]^[9] In general, ⁠ $\lambda$ ⁠ is a complex number and the eigenvectors are complex ⁠ $n\times 1$ ⁠ matrices (column vectors). Because every nullspace is a linear subspace of the domain, ⁠ $E$ ⁠ is a linear subspace of ⁠ $\mathbb {C} ^{n}$ ⁠.

Because the eigenspace ⁠ $E$ ⁠ is a linear subspace, it is closed under addition. That is, if two vectors ⁠ $\mathbf {u}$ ⁠ and ⁠ $\mathbf {v}$ ⁠ belong to the set ⁠ $E$ ⁠, written ⁠ $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in E$ ⁠, then ⁠ $\mathbf {u} +\mathbf {v} \in E$ ⁠, or equivalently ⁠ $A(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} )$ ⁠. This can be checked using the distributive property of matrix multiplication. Similarly, because ⁠ $E$ ⁠ is a linear subspace, it is closed under scalar multiplication. That is, if ⁠ $\mathbf {v} \in E$ ⁠ and ⁠ $\alpha \in \mathbb {C}$ ⁠, then ⁠ $\alpha \mathbf {v} \in E$ ⁠, or equivalently ⁠ $A(\alpha \mathbf {v} )=\lambda (\alpha \mathbf {v} )$ ⁠. This can be checked by noting that multiplication of complex matrices by complex numbers is commutative. As long as ⁠ $\mathbf {u} +\mathbf {v}$ ⁠ and ⁠ $\alpha \mathbf {v}$ ⁠ are not zero, they are also eigenvectors of ⁠ $A$ ⁠ associated with ⁠ $\lambda$ ⁠.

The dimension of the eigenspace ⁠ $E$ ⁠ associated with ⁠ $\lambda$ ⁠, or equivalently the maximum number of linearly independent eigenvectors associated with ⁠ $\lambda$ ⁠, is referred to as the eigenvalue's geometric multiplicity and denoted by ⁠ $\gamma _{A}(\lambda )$ ⁠. Because ⁠ $E$ ⁠ is also the nullspace of ⁠ $A-\lambda I$ ⁠, the geometric multiplicity of ⁠ $\lambda$ ⁠ is the dimension of the nullspace of ⁠ $A-\lambda I$ ⁠, also called the nullity of ⁠ $A-\lambda I$ ⁠. This quantity is related to the size and rank of ⁠ $A-\lambda I$ ⁠ by the equation: $\gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).$ Because of the definition of eigenvalues and eigenvectors, an eigenvalue's geometric multiplicity must be at least one, that is, each eigenvalue has at least one associated eigenvector. Furthermore, an eigenvalue's geometric multiplicity cannot exceed its algebraic multiplicity. Additionally, recall that an eigenvalue's algebraic multiplicity cannot exceed ⁠ $n$ ⁠. In summary, $1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n.$

Proof of inequality ⁠ $\gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )$ ⁠: Let $B = A - λI$ , where $λ$ is a fixed complex number, and the eigenspace associated with $λ$ is the nullspace of $B$ . Let the dimension of that eigenspace be ⁠ $k=\gamma _{A}(\lambda )$ هذا $يعني أن الصفوف k$ الأخيرةمن الشكل المتدرج للمصفوفة $B$ تساوي صفرًا. وبالتالي، توجد مصفوفة قابلة للعكس $E$ ناتجة عن اختزال جاوس-جوردان، بحيث $EB={\begin{bmatrix}*&*\\\mathbf {0} _{k\times (n-k)}&\mathbf {0} _{k\times k}\end{bmatrix}}.$ لذلك، فإن آخر $k$ صفوف من $EB - tE$ تساوي $(- t)$ مضروبة في آخر $k$ صفوف من $E.$ وبالتالي، فإن متعددة الحدود $t k$ تقسم متعددة الحدود $det(EB - tE)$ بالتساوي ، وذلك بسبب الخصائص الأساسية للمحددات (التجانس). من ناحية أخرى، $det(EB - tE) =$ $det E det(B - tI) =$ $p A (t + λ) det E$ ، لذا فإن $(t - λ) k$ تقسم $p A (t)$ ، وبالتالي فإن التعدد الجبري لـ $λ$ هو على الأقل $k$ . QED

لنفترض أن المصفوفة $A$ $لها$ d $\leq n من$ $القيم$ الذاتية المتميزة $λ1 ، ...، λd ،$ حيث التعدد الهندسي لـ $λi$ $هو$ γA $(λi) .$ التعدد الهندسي الكلي لـ $A$ ، $\gamma _{A}=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i}),$ يمثل بُعد مجموع جميع الفضاءات الذاتية للقيم الذاتية للمصفوفة $A$ ، أو ما يعادله، أكبر عدد من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا للمصفوفة $A.$ وبحسب التعريف ، $d\leq \gamma _{A}\leq n$ إذا $\gamma _{A}=n$ ثم :

المجموع المباشر للفضاءات الذاتية لجميع القيم الذاتية للمصفوفة $A$ هو الفضاء المتجهي بأكمله . $\mathbb {C} ^{n}$ ⁠ .
أساس لـ $\mathbb {C} ^{n}$ يمكن تشكيلها من $n$ متجهات ذاتية مستقلة خطيًا لـ $A$ ؛ تسمى هذه القاعدة بالقاعدة الذاتية .
أي متجه في $\mathbb {C} ^{n}$ يمكن كتابتها كمزيج خطي من المتجهات الذاتية للمصفوفة $A.$

خصائص إضافية

لتكن $A$ مصفوفة عشوائية من الأعداد المركبة من الرتبة n × n، ذات قيم ذاتية $λ₁$ $, ..., λₙ. تظهر كل قيمة ذاتية μA(λᵢ)$ $مرة$ $في$ هذه $القائمة$ $،$ $حيث μA (λᵢ$ ) $هي التعدد الجبري للقيمة$ الذاتية $. فيما يلي خصائص هذه المصفوفة$ وقيمها الذاتية:

أثر ⁠ $A$ ⁠ ، المعرفة على أنها مجموع عناصرها القطرية، هي أيضًا مجموع جميع قيمها الذاتية:^{[ 28 ]}^{[ 29 ]}^{[ 30 ]} $\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.$
المحدد لـ $A$ ⁠ هو ناتج جميع قيمه الذاتية:^{[ 28 ]}^{[ 31 ]}^{[ 32 ]} $\det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.$
لأي عدد صحيح موجب $k$ ، القيم الذاتية لـ $k$ قوة ⁠ $A$ أي ، $A^{k}$ ⁠ , are ⁠ $\lambda _{1}^{k},\ldots ,\lambda _{n}^{k}$ ⁠ .
القيم الذاتية للمصفوفة ⁠ $A+I$ ( حيث $I$ ( حيث تمثل مصفوفة الوحدة) هي $\lambda _{1}+1,\ldots ,\lambda _{n}+1$ علاوة على ذلك ، بالنسبة لأي $\alpha \in \mathbb {C}$ ، القيم الذاتية للمصفوفة $A+\alpha I$ ⁠ are ⁠ $\lambda _{1}+\alpha ,\ldots ,\lambda _{n}+\alpha$ ⁠ .
وبشكل أعم، بالنسبة لأي متعددة حدود $P$ ، القيم الذاتية للمصفوفة $P(A)$ ⁠ are ⁠ $P(\lambda _{1}),\ldots ,P(\lambda _{n})$ ⁠ .
⁠ $A$ تكون المصفوفة قابلة للعكس إذا وفقط إذا كانت كل قيمة ذاتية $\lambda _{i}$ ⁠ غير صفري.
إذا $A$ إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس، فإن القيم الذاتية لـ $A^{-1}$ هي ${\textstyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\lambda _{n}}}}$ ولكل زوج من القيم الذاتية المتناظرة، التعددات الهندسية ⁠ $\gamma _{A}(\lambda _{i})$ و ${\textstyle \gamma _{A^{-1}}({1 \over \lambda _{i}})}$ تتطابق. علاوة على ذلك، بما أن متعددة الحدود المميزة للمعكوس هي مقلوب متعددة الحدود الأصلية حتى عامل قياسي، فإنه لكل زوج من القيم الذاتية المتناظرة، تكون التعددية الجبرية $\mu _{A}(\lambda _{i})$ و ${\textstyle \mu _{A^{-1}}({1 \over \lambda _{i}})}$ يتزامن.
إذا $A$ يساوي منقوله المرافق $A^{*}$ أي ، $A$ إذا كانت المصفوفة هيرميتية ، فإن كل قيمة ذاتية $\lambda _{i}$ حقيقي . وينطبق الشيء نفسه على أي مصفوفة حقيقية متناظرة .
إذا $A$ إذا لم تكن المصفوفة هيرميتية فحسب، بل موجبة التحديد ، أو موجبة شبه التحديد، أو سالبة التحديد، أو سالبة شبه التحديد، فإن كل قيمة ذاتية $\lambda _{i}$ ⁠ موجب، أو غير سالب، أو سالب، أو غير موجب، على التوالي.
إذا $A$ إذا كانت المصفوفة وحدوية ، فإن كل قيمة ذاتية $\lambda _{i}$ له قيمة مطلقة $\vert \lambda _{i}\vert =1$ ⁠ .

المتجهات الذاتية اليسرى واليمنى

تُمثل العديد من التخصصات المتجهات تقليديًا كمصفوفات ذات عمود واحد بدلاً من مصفوفات ذات صف واحد. ولهذا السبب، فإن مصطلح "المتجه الذاتي" في سياق المصفوفات يشير دائمًا تقريبًا إلى " المتجه الذاتي الأيمن "، أي متجه العمود الذي يُضرب من اليمين في المصفوفة $A$ من الرتبة $n$ × $n$ في المعادلة التعريفية، المعادلة ( 1 ). $A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .$ يمكن أيضًا تعريف مسألة القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمتجهات الصفوف التي تضرب المصفوفة $A$ من اليسار . في هذه الصيغة، تكون المعادلة المحددة هي $\mathbf {u} A=\kappa \mathbf {u} ,$ حيث $κ$ كمية قياسية و $u$ مصفوفة من الرتبة $1$ × $n$ . يُطلق على أي متجه صف $u$ يحقق هذه المعادلة اسم " المتجه الذاتي الأيسر " للمصفوفة $A$ ، ويُطلق على $κ$ اسم القيمة الذاتية المرتبطة به. بأخذ منقولة هذه المعادلة، $A^{\mathsf {T}}\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}=\kappa \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}.$

بمقارنة هذه المعادلة بالمعادلة ( 1 )، يتبين مباشرة أن المتجه الذاتي الأيسر لـ $A$ ⁠ هو نفسه منقول متجه ذاتي أيمن لـ ⁠ $A^{\mathsf {T}}$ ، بنفس القيمة الذاتية. علاوة على ذلك، بما أن متعددة الحدود المميزة لـ $A^{\mathsf {T}}$ ⁠ هو نفسه متعدد الحدود المميز لـ ⁠ $A$ ، المتجهات الذاتية اليسرى واليمنى لـ $A$ ترتبط بنفس القيم الذاتية.

القيم الذاتية للمُنَقَّل

للمصفوفة نفس القيم الذاتية لمصفوفة النقل، كما يمكن ملاحظة ذلك مباشرة كما يلي. افترض ⁠ $\lambda$ ⁠ هي قيمة ذاتية لـ ⁠ $n\times n$ مصفوفة $A$ مع متجه ذاتي $x$ ثم $Ax=\lambda x$ ; أو بعبارة أخرى، ⁠ $(A-\lambda I)x=0$ ⁠ .

وبالتالي، فإن أعمدة ⁠ $(A-\lambda I)$ ⁠ مرتبطة خطيًا. أو بعبارة أخرى، رتبة المصفوفة أقل من ⁠ $n$ ⁠ .

لكن بما أن رتبة العمود تساوي رتبة الصف، فإن الصفوف مرتبطة خطيًا أيضًا. ومن ثم، هناك أعداد $y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}$ ، وليس كلها أصفارًا، بحيث ${\textstyle \sum _{i=1}^{i=n}y_{i}R_{i}=0,}$ حيث $R_{i}$ ' s هي صفوف ' $(A-\lambda I)$ . ليكن متجه الصف ⁠ $y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ ثم $y\,(A-\lambda I)=0$ . بأخذ المنقول ، $(A^{\mathsf {T}}-\lambda I)\,y^{\mathsf {T}}=0$ علاوة على ذلك ، $y^{\mathsf {T}}$ ليس المتجه الصفري؛ لذا $\lambda$ ⁠ هي أيضًا قيمة ذاتية لـ ⁠ $A^{\mathsf {T}}$ ⁠ .

علاوة على ذلك، تُظهر هذه الحجة أن القيم الذاتية لـ $A$ و $A^{\mathsf {T}}$ لها نفس التعدد الهندسي (لأن فراغ العمود = فراغ الصف).

القطرنة وتحليل القيم الذاتية

لنفترض أن المتجهات الذاتية للمصفوفة $A$ تشكل أساسًا لـ $\mathbb {C} ^{n}$ أو بصورة مكافئة ، تمتلكالمصفوفة $A$ $عدد$ $n$ $من$ المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا $v₁,$ $v₂,$ ..., $vₙ$ (مع القيم الذاتية المرتبطة بها $λ₁$ , $λ₂,$ ..., $λₙ)$ . لا يشترط أن تكون المتجهات الذاتية متعامدة، ولا يشترط أن تكون القيم الذاتية مختلفة. عرّف المصفوفة المربعة $Q$ التي أعمدتها هيالمتجهات الذاتية المستقلة خطيًا $للمصفوفة$ $A.$ $Q={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.$ بما أن كل عمود من $Q$ هو متجه ذاتي للمصفوفة $A$ ، فإن ضرب $A$ من اليمين في $Q$ يؤدي إلى تغيير مقياس كل عمود من $Q$ بقيمته الذاتية المرتبطة به: $AQ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}&\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.$

مع وضع ذلك في الاعتبار، عرّف المصفوفة القطرية $Λ$ حيث يمثل كل عنصر قطري $Λ ii$ القيمة الذاتية المرتبطة بالعمود $i$ من $Q.$ ثم $AQ=Q\varLambda .$ بما أن أعمدة المصفوفة $Q$ مستقلة خطيًا، فإن $Q$ قابلة للعكس. بضرب طرفي المعادلة من اليمين في $Q -1$ ، $A=Q\varLambda Q^{-1};$ أو بدلاً من ذلك، نضرب كلا الطرفين في $Q -1$ ، $Q^{-1}AQ=\varLambda .$ $يمكن بالتالي تحليل المصفوفة A$ إلى مصفوفة تتألف من متجهاتها الذاتية، ومصفوفة قطرية تحتوي على قيمها الذاتية على طول القطر، ومعكوس مصفوفة المتجهات الذاتية. يُسمى هذا التحليل بالتحليل الذاتي ، وهو تحويل تشابهي . يُقال إن هذه المصفوفة $A$ مشابهة للمصفوفة القطرية $Λ$ ، أو قابلة للتقطير . المصفوفة $Q$ هي مصفوفة تغيير الأساس للتحويل التشابهي. في جوهرها، تُمثل المصفوفتان $A$ و $Λ$ نفس التحويل الخطي مُعبرًا عنه بأساسين مختلفين. تُستخدم المتجهات الذاتية كأساس عند تمثيل التحويل الخطي بـ $Λ$ .

على النقيض، لنفترض أن المصفوفة $A$ قابلة للتقطير. ولتكن $P$ مصفوفة مربعة غير منفردة بحيث تكون $P⁻¹AP$ مصفوفة قطرية $D.$ بضرب كلتيهما في $P من اليسار$ $،$ نحصل على $AP = PD . بالتالي$ $،$ يجب أن يكون كل عمود من $P$ متجهًا ذاتيًا للمصفوفة $A،$ وقيمته الذاتية هي العنصر القطري المقابل في $D.$ ولأن أعمدة $P$ يجب أن تكون مستقلة خطيًا لكي تكون $P$ قابلة للعكس ، فإنه يوجد $n$ متجهًا ذاتيًا مستقلًا خطيًا للمصفوفة $A.$

وختاماً، المتجهات الذاتية لـ $A$ تشكل أساسًا لـ $\mathbb {C} ^{n}$ إذا وفقط إذا $A$ قابل للقطر .

تُسمى المصفوفة التي لا يمكن تحويلها إلى مصفوفة قطرية مصفوفة معيبة . بالنسبة للمصفوفات المعيبة، يُعمم مفهوم المتجهات الذاتية إلى المتجهات الذاتية المعممة ، وتُعمم مصفوفة القيم الذاتية القطرية إلى الشكل الطبيعي لجوردان . على حقل مغلق جبريًا، تمتلك أي مصفوفة $A$ شكلًا طبيعيًا لجوردان، وبالتالي تقبل أساسًا من المتجهات الذاتية المعممة وتفكيكًا إلى فضاءات ذاتية معممة .

التوصيف التبايني

في حالة المصفوفة الهرميتية ، يمكن إعطاء القيم الذاتية توصيفًا تباينيًا. أكبر قيمة ذاتية للمصفوفة $الهرميتية$ هي القيمة القصوى للصيغة التربيعية $x T H x / x T x$ . قيمة $x$ التي تحقق هذه القيمة القصوى هي متجه ذاتي.

أمثلة على المصفوفات

مثال على مصفوفة ثنائية الأبعاد

مصفوفة التحويل $A = ⎡ ⎣ 2112 ⎤ ⎦$ يحافظ على اتجاه المتجهات الأرجوانية الموازية للمتجه $vλ = 1 = [$ $1 - 1] T$ ، والمتجهات الزرقاء الموازية للمتجه $vλ = 3 =$ $[1 1] T.$ أما المتجهات الحمراء، فهي ليست موازية لأي من المتجهات الذاتية، لذا تتغير اتجاهاتها بفعل التحويل. تبقى أطوال المتجهات الأرجوانية ثابتة بعد التحويل (بسبب قيمتها الذاتية $1$ )، بينما يبلغ طول المتجهات الزرقاء ثلاثة أضعاف طولها الأصلي (بسبب قيمتها الذاتية $3$ ). انظر أيضًا: نسخة موسعة تُظهر الأرباع الأربعة جميعها .

ضع في اعتبارك المصفوفة $A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.$ يوضح الشكل على اليمين تأثير هذا التحويل على إحداثيات النقاط في المستوى. تحقق المتجهات الذاتية $v$ لهذا التحويل المعادلة ( 1 )، وقيم $λ$ التي يكون عندها محدد المصفوفة $(A - λI)$ مساوياً للصفر هي القيم الذاتية.

بأخذ المحدد لإيجاد متعددة الحدود المميزة لـ $A$ ، ${\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}\\[6pt]&=3-4\lambda +\lambda ^{2}\\[6pt]&=(\lambda -3)(\lambda -1).\end{aligned}}$ بوضع متعددة الحدود المميزة مساوية للصفر، فإن لها جذورًا عند $λ = 1$ و $λ = 3$ ، وهما القيمتان الذاتيتان لـ $A.$

عندما تكون $قيمة λ تساوي 1$ ، تصبح المعادلة ( 2 ) كما يلي: ${\begin{aligned}(A-I)\mathbf {v} _{\lambda =1}&={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\1v_{1}+1v_{2}&=0\end{aligned}}$ أي متجه غير صفري يحقق $v1$ $= -v2 يحل هذه المعادلة$ . لذلك، $\mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}v_{1}\\-v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}$ هو متجه ذاتي للمصفوفة $A$ يتوافق مع $λ = 1$ ، وكذلك أي مضاعف قياسي لهذا المتجه.

بالنسبة لـ $λ = 3$ ، تصبح المعادلة ( 2 ) ${\begin{aligned}(A-3I)\mathbf {v} _{\lambda =3}&={\begin{bmatrix}-1&{\hphantom {-}}1\\{\hphantom {-}}1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\-1v_{1}+1v_{2}&=0;\\1v_{1}-1v_{2}&=0\end{aligned}}$ أي متجه غير صفري يحقق $v1$ $=$ $v2 يحل هذه$ المعادلة. لذلك، $\mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$ يمثل متجهًا ذاتيًا للمصفوفة $A$ عند القيمة الذاتية $λ = 3$ ، وكذلك أي مضاعف عددي لهذا المتجه. وبالتالي، فإن المتجهين $v λ = 1$ و $v λ = 3$ هما متجهان ذاتيان للمصفوفة $A$ مرتبطان بالقيم الذاتية $λ = 1$ و $λ = 3$ على التوالي.

مثال على المصفوفة ثلاثية الأبعاد

ضع في اعتبارك المصفوفة $A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}.$ متعددة الحدود المميزة لـ $A$ هي ${\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0\\0&3-\lambda &4\\0&4&9-\lambda \end{vmatrix}},\\[6pt]&=(2-\lambda ){\bigl [}(3-\lambda )(9-\lambda )-16{\bigr ]}=-\lambda ^{3}+14\lambda ^{2}-35\lambda +22.\end{aligned}}$

جذور متعددة الحدود المميزة هي 2 و 1 و 11، وهي القيم الذاتية الثلاث الوحيدة لـ $A.$ تتوافق هذه القيم الذاتية مع المتجهات الذاتية $[1 0 0] T$ و $[0 -2 1] T$ و $[0 1 2] T$ ، أو أي مضاعف غير صفري لها.

مثال على مصفوفة ثلاثية الأبعاد ذات قيم ذاتية مركبة

لنفترض مصفوفة التبديل الدورية $A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}.$

تقوم هذه المصفوفة بإزاحة إحداثيات المتجه للأعلى بمقدار خانة واحدة، ونقل الإحداثي الأول إلى الأسفل. متعدد الحدود المميز لها هو $1 - λ 3$ ، وجذوره هي ${\begin{aligned}\lambda _{1}&=1\\\lambda _{2}&=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\lambda _{3}&=\lambda _{2}^{*}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}$ حيث $i$ هي وحدة تخيلية مع $i 2 = -1$ .

بالنسبة للقيمة الذاتية الحقيقية $λ 1 = 1$ ، فإن أي متجه يحتوي على ثلاثة عناصر متساوية غير صفرية هو متجه ذاتي. على سبيل المثال، $A{\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}.$

بالنسبة للزوج المترافق المركب للقيم الذاتية التخيلية، $\lambda _{2}\lambda _{3}=1,\quad \lambda _{2}^{2}=\lambda _{3},\quad \lambda _{3}^{2}=\lambda _{2}.$ ثم $A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{2}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}},$ و $A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{3}\\\lambda _{2}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{3}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.$

$لذلك$ $،$ $فإن$ المتجهين الذاتيين الآخرين للمصفوفة $A$ $هما$ $متجهان$ $مركبان$ $،$ وهما $vλ₂ = [1λ₂λ₃] T$ و $vλ₃ = [1λ₃λ₂] T$ $،$ بقيم ذاتية $λ₂$ و $λ₃$ $على$ $التوالي. ويظهر$ هذان المتجهان الذاتيان المركبان أيضًا في $زوج$ $مترافق$ $مركب$ $.$ $\mathbf {v} _{\lambda _{2}}=\mathbf {v} _{\lambda _{3}}^{*}.$

مثال على المصفوفة القطرية

تُسمى المصفوفات التي تحتوي عناصرها على القطر الرئيسي فقط بالمصفوفات القطرية . القيم الذاتية للمصفوفة القطرية هي عناصر القطر نفسها. لنفترض المصفوفة التالية $A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}.$ متعددة الحدود المميزة لـ $A$ هي $\det(A-\lambda I)=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),$ والتي لها الجذور $λ 1 = 1$ و $λ 2$ = $2$ و $λ 3 = 3.$ هذه الجذور هي العناصر القطرية بالإضافة إلى القيم الذاتية للمصفوفة $A.$

كل عنصر قطري يُقابل متجهًا ذاتيًا يكون مُركّبه الوحيد غير الصفري في نفس صف ذلك العنصر القطري. في المثال، القيم الذاتية تُقابل المتجهات الذاتية. $\mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},$ على التوالي، وكذلك المضاعفات العددية لهذه المتجهات.

مثال على المصفوفة المثلثية

تُسمى المصفوفة التي تكون جميع عناصرها فوق القطر الرئيسي أصفارًا مصفوفة مثلثية سفلية ، بينما تُسمى المصفوفة التي تكون جميع عناصرها تحت القطر الرئيسي أصفارًا مصفوفة مثلثية علوية . وكما هو الحال مع المصفوفات القطرية، فإن القيم الذاتية للمصفوفات المثلثية هي عناصر القطر الرئيسي.

لنأخذ في الاعتبار المصفوفة المثلثية السفلية، $A={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&2&0\\2&3&3\end{bmatrix}}.$

متعددة الحدود المميزة لـ $A$ هي $\det(A-\lambda I)=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),$ والتي لها الجذور $λ 1 = 1$ و $λ 2$ = $2$ و $λ 3 = 3.$ هذه الجذور هي العناصر القطرية بالإضافة إلى القيم الذاتية للمصفوفة $A.$

تتوافق هذه القيم الذاتية مع المتجهات الذاتية، $\mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\-1\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\-3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},$ على التوالي، وكذلك المضاعفات العددية لهذه المتجهات.

مثال على مصفوفة ذات قيم ذاتية متكررة

كما في المثال السابق، المصفوفة المثلثية السفلية $A={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&1&3\end{bmatrix}},$ لها متعددة حدود مميزة هي حاصل ضرب عناصرها القطرية، $\det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0&0\\1&2-\lambda &0&0\\0&1&3-\lambda &0\\0&0&1&3-\lambda \end{vmatrix}}=(2-\lambda )^{2}(3-\lambda )^{2}.$

جذور هذه المعادلة، وبالتالي قيمها الذاتية، هي 2 و3. التعدد الجبري لكل قيمة ذاتية هو 2؛ أي أنهما جذران مزدوجان. مجموع التعددات الجبرية لجميع القيم الذاتية المختلفة هو $μA =$ $4 = n$ $، حيث n$ رتبة المعادلة المميزة و n بُعد المصفوفة $A.$

من جهة أخرى، فإن التعدد الهندسي للقيمة الذاتية 2 يساوي 1 فقط، لأن فضاءها الذاتي مُوَلَّد بمتجه واحد فقط $[0 1 -1 1] T$ ، وبالتالي فهو أحادي البعد. وبالمثل، فإن التعدد الهندسي للقيمة الذاتية 3 يساوي 1 لأن فضاءها الذاتي مُوَلَّد بمتجه واحد فقط $[0 0 0 1] T$ . يبلغ التعدد الهندسي الكلي $γA 2$ ، وهو أصغر قيمة ممكنة لمصفوفة ذات قيمتين ذاتيتين مختلفتين. سيتم تعريف التعدد الهندسي في قسم لاحق.

هوية المتجه الذاتي والقيمة الذاتية

بالنسبة للمصفوفة الهرميتية $A$ ، يمكن حساب مربع معيار المكون $α$ للمتجه الذاتي المعياري باستخدام القيم الذاتية للمصفوفة والقيم الذاتية للمصفوفة الصغرى المقابلة فقط . $|v_{i\alpha }|^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A_{\alpha }))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A))}}},$ أين $A_{\alpha }$ هي المصفوفة الفرعية المتكونة من حذفالصف والعمود $α من المصفوفة الأصلية.$ ^{[ 33 ]}^{[ 34 ]} تمتد هذه المتطابقة أيضًا إلى المصفوفات القابلة للتقطير . وقد تم اكتشافها في^{[ 35 ]} وأعيد اكتشافها عدة مرات في الأدبيات (انظر، على سبيل المثال،^{[ 34 ]}^{[ 36 ]} ).

القيم الذاتية والدوال الذاتية للمؤثرات التفاضلية

تظل تعريفات القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للتحويل الخطي $T$ صالحة حتى لو كان الفضاء المتجهي الأساسي فضاء هيلبرت أو باناخ لانهائي الأبعاد . ومن بين فئات التحويلات الخطية الشائعة الاستخدام التي تعمل على فضاءات لانهائية الأبعاد، المؤثرات التفاضلية على فضاءات الدوال . ليكن $D$ مؤثرًا تفاضليًا خطيًا على الفضاء $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ للدوال الحقيقية القابلة للتفاضل بلا حدود ذات وسيط حقيقي $t$ . معادلة القيم الذاتية لـ $D$ هي المعادلة التفاضلية $Df(t)=\lambda f(t)$ الدوال التي تحقق هذه المعادلة هي متجهات ذاتية لـ $D$ وتسمى عادة " الدوال الذاتية ".

أمثلة على عامل الاشتقاق

ضع في اعتبارك عامل الاشتقاق ${\tfrac {d}{dt}}$ معادلة القيم الذاتية ${\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).$ يمكن حل هذه المعادلة التفاضلية بضرب طرفيها في $dt / f (t)$ والتكامل . وحلها هو الدالة الأسية $f(t)=f(0)e^{\lambda t},$ هي الدالة الذاتية لمؤثر الاشتقاق. في هذه الحالة، تكون الدالة الذاتية نفسها دالة لقيمتها الذاتية المرتبطة بها. على وجه الخصوص، عندما $λ = 0،$ تكون الدالة الذاتية $f (t)$ ثابتة.

التعريف العام

يمتد مفهوم القيم الذاتية والمتجهات الذاتية بشكل طبيعي إلى التحويلات الخطية العشوائية على أي فضاءات متجهة. ليكن $V$ أي فضاء متجه على حقل $K$ من الأعداد القياسية ، وليكن $T$ تحويلاً خطياً يحول $V$ إلى $V.$ $T\colon V\to V.$

نقول إن المتجه غير الصفري $v \in V$ هو " متجه ذاتي " لـ $T$ إذا وفقط إذا وُجد عدد قياسي $λ \in K$ بحيث

T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} .

5

تُسمى هذه المعادلة معادلة القيم الذاتية لـ $T$ ، والقيمة العددية $λ$ هي القيمة الذاتية لـ $T$ المقابلة للمتجه الذاتي $v$ . $و T (v)$ هي نتيجة تطبيق التحويل $T$ ^على المتجه $v$ ، بينما $λv$ هو حاصل ضرب القيمة العددية $λ$ في $v$ . ^{[ 37 ]} $[$ ^{38 ]}

الفضاءات الذاتية، والتعدد الهندسي، والأساس الذاتي

بفرض قيمة ذاتية $λ$ ، ضع في اعتبارك المجموعة $E=\left\{\mathbf {v} :T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} \right\},$ وهو اتحاد المتجه الصفري مع مجموعة جميع المتجهات الذاتية المرتبطة بـ $λ$ . يُطلق على $E اسم الفضاء$ الذاتي أو الفضاء المميز لـ $T$ المرتبط بـ $λ$ . ^[³⁹^] وهو نواة التحويل الخطي $T$ $-$ $λI$ .

بحسب تعريف التحويل الخطي، ${\begin{align}T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )&=T(\mathbf {x} )+T(\mathbf {y} ),\\T(\alpha \mathbf {x} )&=\alpha T(\mathbf {x} ),\end{محاذاة}}$ لـ $x و y \in V$ و $α \in K.$ بالتالي، إذا كان $u$ و $v$ متجهين ذاتيين لـ $T$ مرتبطين بالقيمة الذاتية $λ$ ، أي $u و v \in E$ ، فإن ${\begin{aligned}T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )&=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} ),\\T(\alpha \mathbf {v} )&=\lambda (\alpha \mathbf {v} ).\end{محاذاة}}$ إذن، كل من $u + v$ و $α v$ إما أن يكونا صفرًا أو متجهين ذاتيين للمصفوفة $T$ المرتبطة بـ $λ$ ، أي $u + v$ و $α v \in E$ ، و $E$ فضاء مغلق تحت عمليتي الجمع والضرب القياسي. وبالتالي، فإن الفضاء الذاتي $E$ المرتبط بـ $λ$ هو فضاء جزئي خطي من $V.$ ^{[ 40 ]} إذا كان لهذا الفضاء الجزئي بُعد 1 ، فإنه يُسمى أحيانًا خطًا ذاتيًا . ^{[ 41 ]}

التعدد الهندسي γ $T (λ) للقيمة$ الذاتية $λ$ هو بُعد الفضاء الذاتي المرتبط بـ $λ$ ؛ أي أنه أكبر عدد من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا المرتبطة بتلك القيمة الذاتية. ^{[ 42 ]} وبحسب تعريف القيم الذاتية والمتجهات الذاتية، فإن $γ T (λ) \geq 1$ لأن لكل قيمة ذاتية متجه ذاتي واحد على الأقل.

تشكل الفضاءات الذاتية للدالة $T$ دائمًا مجموعًا مباشرًا . ونتيجةً لذلك، تكون المتجهات الذاتية ذات القيم الذاتية المختلفة مستقلة خطيًا دائمًا. لذا، لا يمكن أن يتجاوز مجموع أبعاد الفضاءات الذاتية البعد $n$ للفضاء المتجهي الذي تعمل عليه الدالة $T$ ، ولا يمكن أن يكون هناك أكثر من $n$ قيمة ذاتية مميزة. ^{[ د ]}

أي فضاء جزئي مُوَلَّد بواسطة المتجهات الذاتية لـ $T$ هو فضاء جزئي ثابت من $T$ ، وتقييد $T$ على هذا الفضاء الجزئي قابل للتقطير. علاوة على ذلك، إذا كان بالإمكان توليد الفضاء المتجهي $V$ بالكامل بواسطة المتجهات الذاتية لـ $T$ ، أو بصورة مكافئة، إذا كان المجموع المباشر للفضاءات الذاتية المرتبطة بجميع القيم الذاتية لـ $T هو الفضاء المتجهي$ $V$ بالكامل ، فإنه يمكن تكوين أساس لـ $V$ يُسمى أساسًا ذاتيًا من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا لـ $T.$ عندما يكون لـ $T$ أساس ذاتي، يكون $T قابلًا للتقطير.$

النظرية الطيفية

If $λ$ is an eigenvalue of $T$ , then the operator $(T - λI)$ is not one-to-one, and therefore its inverse $(T - λI) -1$ does not exist. The converse is true for finite-dimensional vector spaces, but not for infinite-dimensional vector spaces. In general, the operator $(T - λI)$ may not have an inverse even if $λ$ is not an eigenvalue.

For this reason, in functional analysis eigenvalues can be generalized to the spectrum of a linear operator $T$ as the set of all scalars $λ$ for which the operator $(T - λI)$ has no bounded inverse. The spectrum of an operator always contains all its eigenvalues but is not limited to them.

Associative algebras and representation theory

One can generalize the algebraic object that is acting on the vector space, replacing a single operator acting on a vector space with an algebra representation – an associative algebra acting on a module. The study of such actions is the field of representation theory.

The representation-theoretical concept of weight is an analog of eigenvalues, while weight vectors and weight spaces are the analogs of eigenvectors and eigenspaces, respectively.

Hecke eigensheaf is a tensor-multiple of itself and is considered in Langlands correspondence.

Dynamic equations

The simplest difference equations have the form $x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{tk}.$ The solution of this equation for $x$ in terms of $t$ is found by using its characteristic equation $\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0,$ يمكن إيجاد ذلك بتجميع مجموعة من المعادلات في شكل مصفوفة، تتألف من معادلة الفرق المذكورة أعلاه والمعادلات k $- 1 التالية:$ $x t - 1 = x t - 1$ ، ...، $x t - k + 1 = x t - k + 1$ ، مما يُعطي نظامًا $k-$ الأبعاد من الرتبة الأولى في متجه المتغيرات المُكدس $[x t \cdot\cdot\cdot x t - k + 1]$ بدلالة قيمته المتأخرة مرة واحدة، ثم بأخذ المعادلة المميزة لمصفوفة هذا النظام. تُعطي هذه المعادلة $k$ جذرًا مميزًا $λ 1 ، ...، λ k$ ، لاستخدامها في معادلة الحل. $x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.$

يُستخدم إجراء مماثل لحل معادلة تفاضلية من الشكل التالي: ${\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.$

حساب

إن حساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية هو موضوع غالباً ما تكون فيه النظرية، كما هي معروضة في كتب الجبر الخطي الابتدائية، بعيدة جداً عن الممارسة.

الطريقة الكلاسيكية

تتمثل الطريقة التقليدية في إيجاد القيم الذاتية أولاً، ثم حساب المتجهات الذاتية لكل قيمة ذاتية. وهي غير مناسبة من نواحٍ عديدة للعمليات الحسابية غير الدقيقة، مثل العمليات الحسابية ذات الفاصلة العائمة .

القيم الذاتية

يمكن تحديد القيم الذاتية للمصفوفة $A$ بإيجاد جذور متعددة الحدود المميزة. هذا سهل بالنسبة للمصفوفات من الرتبة 2 × 2 ، لكن الصعوبة تزداد بسرعة مع ازدياد حجم المصفوفة.

نظريًا، يمكن حساب معاملات متعددة الحدود المميزة بدقة، لأنها عبارة عن مجموع حاصل ضرب عناصر المصفوفة؛ وهناك خوارزميات قادرة على إيجاد جميع جذور متعددة حدود من أي درجة بدقة مطلوبة . ^{[ 43 ]} مع ذلك، فإن هذا النهج غير عملي لأن المعاملات ستتأثر بأخطاء التقريب الحتمية ، وقد تكون جذور متعددة الحدود دالة حساسة للغاية للمعاملات (كما هو الحال في متعددة حدود ويلكنسون ). ^{[ 43 ]} حتى بالنسبة للمصفوفات التي عناصرها أعداد صحيحة، يصبح الحساب معقدًا، لأن المجاميع طويلة جدًا؛ الحد الثابت هو المحدد ، وهو بالنسبة لمصفوفة من الرتبة $n$ × $n$ مجموع $n!$ من حاصل ضرب عناصر مختلفة. ^{[ هـ ]}

لا توجد صيغ جبرية صريحة لجذور متعددة الحدود إلا إذا كانت درجتها $n$ تساوي 4 أو أقل. ووفقًا لنظرية أبيل-روفيني، لا توجد صيغة جبرية عامة وصريحة ودقيقة لجذور متعددة الحدود من الدرجة 5 أو أعلى. (العمومية مهمة لأن أي متعددة حدود من الدرجة $n$ هي متعددة الحدود المميزة لمصفوفة مصاحبة من الرتبة $n$ ). لذلك، بالنسبة للمصفوفات من الرتبة 5 أو أعلى، لا يمكن الحصول على القيم الذاتية والمتجهات الذاتية بصيغة جبرية صريحة، وبالتالي يجب حسابها بطرق عددية تقريبية . حتى الصيغة الدقيقة لجذور متعددة حدود من الدرجة 3 غير عملية حسابيًا.

المتجهات الذاتية

بمجرد معرفة القيمة (الدقيقة) للقيمة الذاتية، يمكن إيجاد المتجهات الذاتية المقابلة لها من خلال إيجاد حلول غير صفرية لمعادلة القيمة الذاتية، والتي تصبح نظامًا من المعادلات الخطية ذات المعاملات المعروفة. على سبيل المثال، بمجرد معرفة أن 6 هي قيمة ذاتية للمصفوفة $A={\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}$ يمكننا إيجاد متجهاتها الذاتية عن طريق حل المعادلة $Av = 6 v$ ، أي ${\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=6\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ هذه المعادلة المصفوفية مكافئة لمعادلتين خطيتين $\left\{{\begin{aligned}4x+{\hphantom {3}}y&=6x\\6x+3y&=6y\end{aligned}}\right.$ إنه، $\left\{{\begin{aligned}-2x+{\hphantom {3}}y&=0\\6x-3y&=0\end{aligned}}\right.$

تُختزل المعادلتان إلى المعادلة الخطية الوحيدة $y = 2 x . لذلك،$ $فإن$ أي متجه من الشكل $[a 2a] T$ ، لأي عدد حقيقي غير صفري $a$ ، هو متجه ذاتي للمصفوفة $A$ بقيمة ذاتية $λ = 6$ .

للمصفوفة $A$ أعلاه قيمة ذاتية أخرى $λ = 1. تُظهر عملية حسابية$ $مماثلة$ أن المتجهات الذاتية المقابلة هي حلول غير صفرية للمعادلة $3x + y = 0$ ، أي أي متجه من الشكل $[b -3b] T ،$ لأي عدد حقيقي غير صفري $b$ .

أساليب تكرارية بسيطة

يُعدّ النهج المعاكس، المتمثل في البحث أولًا عن المتجهات الذاتية ثم تحديد كل قيمة ذاتية من متجهها الذاتي، أكثر ملاءمةً للحواسيب. وتتلخص أبسط خوارزمية هنا في اختيار متجه ابتدائي عشوائي ثم ضربه بشكل متكرر بالمصفوفة (مع إمكانية تطبيع المتجه للحفاظ على عناصره ذات حجم معقول)؛ مما يؤدي إلى تقارب المتجه نحو متجه ذاتي. ويتمثل أحد الاختلافات في ضرب المتجه في $(A - μI) - 1$ ؛ مما يؤدي إلى تقاربه نحو متجه ذاتي للقيمة الذاتية الأقرب إلى $\mu \in \mathbb {C}$ .

إذا كان $v$ $متجهًا ذاتيًا للمصفوفة A$ (تقريبًا جيدًا له) ، فيمكن حساب القيمة الذاتية المقابلة له على النحو التالي: $\lambda ={\frac {\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} }{\mathbf {v} ^{*}\mathbf {v} }}$ حيث يرمز $v *$ إلى منقولة $v$ المرافقة .

الأساليب الحديثة

لم تكن الطرق الفعالة والدقيقة لحساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفات العشوائية معروفة حتى تم تصميم خوارزمية QR في عام 1961. ^{[ 43 ]} يؤدي الجمع بين تحويل هاوسهولدر وتحليل LU إلى خوارزمية ذات تقارب أفضل من خوارزمية QR. بالنسبة للمصفوفات المتفرقة الهرميتية الكبيرة ، تُعد خوارزمية لانكزوس مثالًا على طريقة تكرارية فعالة لحساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية، من بين العديد من الاحتمالات الأخرى. ^[⁴³^]

معظم الطرق العددية التي تحسب القيم الذاتية للمصفوفة تحدد أيضًا مجموعة من المتجهات الذاتية المقابلة كمنتج ثانوي للحساب، على الرغم من أن المنفذين يختارون أحيانًا التخلص من معلومات المتجهات الذاتية بمجرد عدم الحاجة إليها.

التطبيقات

التحويلات الهندسية

تُعدّ المتجهات الذاتية والقيم الذاتية مفيدةً لفهم التحويلات الخطية للأشكال الهندسية. يعرض الجدول التالي بعض الأمثلة على التحويلات في المستوى، بالإضافة إلى مصفوفاتها من الرتبة 2×2 ، وقيمها الذاتية، ومتجهاتها الذاتية.

القيم الذاتية للتحويلات الهندسية
	التوسع	التفاوت في الحجم	تناوب	القص الأفقي	الدوران الزائدي
توضيح
المصفوفة	${\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}k_{1}&0\\0&k_{2}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi \\\sinh \varphi &\cosh \varphi \end{bmatrix}}$
متعددة الحدود المميزة	$\ (\lambda -k)^{2}$	$(\lambda -k_{1})(\lambda -k_{2})$	$\lambda ^{2}-2\cos(\theta )\lambda +1$	$\ (\lambda -1)^{2}$	$\lambda ^{2}-2\cosh(\varphi )\lambda +1$
القيم الذاتية، $\lambda _{i}$	$\lambda _{1}=\lambda _{2}=k$	${\begin{aligned}\lambda _{1}&=k_{1}\\\lambda _{2}&=k_{2}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{i\theta }\\&=\cos \theta +i\sin \theta \\\lambda _{2}&=e^{-i\theta }\\&=\cos \theta -i\sin \theta \end{aligned}}$	$\lambda _{1}=\lambda _{2}=1$	${\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{\varphi }\\&=\cosh \varphi +\sinh \varphi \\\lambda _{2}&=e^{-\varphi }\\&=\cosh \varphi -\sinh \varphi \end{aligned}}$
الضرب الجبري ، $\mu _{i}=\mu (\lambda _{i})$	$\mu _{1}=2$	${\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}$	$\mu _{1}=2$	${\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}$
الضرب الهندسي ، $\gamma _{i}=\gamma (\lambda _{i})$	$\gamma _{1}=2$	${\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}$	$\gamma _{1}=1$	${\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}$
المتجهات الذاتية	جميع المتجهات غير الصفرية	${\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}1\\+i\end{bmatrix}}\end{aligned}}$	$\mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$	${\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

المعادلة المميزة للدوران هي معادلة تربيعية مميزة، ومميزها D $= -4(sin θ) 2$ ، وهو عدد سالب عندما لا تكون $θ$ مضاعفًا صحيحًا لـ $π$ (180°). لذلك، باستثناء هذه الحالات الخاصة، فإن القيمتين الذاتيتين هما عددان مركبان، $cos θ \pm i sin θ$ ؛ وجميع المتجهات الذاتية لها عناصر غير حقيقية. في الواقع، باستثناء تلك الحالات الخاصة، يُغير الدوران اتجاه كل متجه غير صفري في المستوى.

التحويل الخطي الذي يحول المربع إلى مستطيل له نفس المساحة ( تحويل الضغط ) له قيم ذاتية متبادلة.

تحليل المكونات الرئيسية

PCA of the multivariate Gaussian distribution centered at $(1, 3)$ with a standard deviation of $3$ in roughly the $(0.878, 0.478)$ direction and of $1$ in the orthogonal direction. The vectors shown are unit eigenvectors of the (symmetric, positive-semidefinite) covariance matrix scaled by the square root of the corresponding eigenvalue. Just as in the one-dimensional case, the square root is taken because the standard deviation is more readily visualized than the variance.

The eigendecomposition of a symmetric positive semidefinite (PSD) matrix yields an orthogonal basis of eigenvectors, each of which has a nonnegative eigenvalue. The orthogonal decomposition of a PSD matrix is used in multivariate analysis, where the sample covariance matrices are PSD. This orthogonal decomposition is called principal component analysis (PCA) in statistics. PCA studies linear relations among variables. PCA is performed on the covariance matrix or the correlation matrix (in which each variable is scaled to have its sample variance equal to one). For the covariance or correlation matrix, the eigenvectors correspond to principal components and the eigenvalues to the variance explained by the principal components. Principal component analysis of the correlation matrix provides an orthogonal basis for the space of the observed data: In this basis, the largest eigenvalues correspond to the principal components that are associated with most of the covariability among a number of observed data.

Principal component analysis is used as a means of dimensionality reduction in the study of large data sets, such as those encountered in bioinformatics. In Q methodology, the eigenvalues of the correlation matrix determine the Q-methodologist's judgment of practical significance (which differs from the statistical significance of hypothesis testing; cf. criteria for determining the number of factors). More generally, principal component analysis can be used as a method of factor analysis in structural equation modeling.

Graphs

في نظرية الرسم البياني الطيفية ، تُعرَّف القيمة الذاتية للرسم البياني بأنها القيمة الذاتية لمصفوفة التجاور $A للرسم البياني، أو (بشكل متزايد)$ لمصفوفة لابلاس للرسم البياني نظرًا لمؤثر لابلاس المنفصل ، والذي يكون إما $D - A$ (يُسمى أحيانًا لابلاس التوافقي ) أو $I - D -1/2 AD -1/2$ (يُسمى أحيانًا لابلاس المعياري )، حيث $D$ هي مصفوفة قطرية يكون فيها $D ii$ مساويًا لدرجة الرأس $v i$ ، وفي $D -1/2$ ، يكون العنصر القطري رقم $i هو$ ${\textstyle 1/{\sqrt {\deg(v_{i})}}}$ يُعرَّف المتجه الذاتي الرئيسي رقم $k$ للرسم البياني بأنه إما المتجه الذاتي المقابل لأكبر قيمة ذاتية رقم $k$ أو أصغر قيمة ذاتية رقم $k$ لمؤثر لابلاس. ويُشار إلى المتجه الذاتي الرئيسي الأول للرسم البياني أيضًا ببساطة باسم المتجه الذاتي الرئيسي.

يُستخدم المتجه الذاتي الرئيسي لقياس مركزية رؤوس الرسم البياني. ومن الأمثلة على ذلك خوارزمية PageRank من جوجل . يُعطي المتجه الذاتي الرئيسي لمصفوفة التجاور المُعدّلة لرسم بياني للشبكة العالمية ترتيب الصفحات كمكونات له. يتوافق هذا المتجه مع التوزيع الثابت لسلسلة ماركوف المُمثلة بمصفوفة التجاور المُعَيَّرة للصفوف؛ ومع ذلك، يجب تعديل مصفوفة التجاور أولًا لضمان وجود توزيع ثابت. يُمكن استخدام ثاني أصغر متجه ذاتي لتقسيم الرسم البياني إلى مجموعات، عبر التجميع الطيفي . كما تتوفر طرق أخرى للتجميع.

سلاسل ماركوف

تُمثَّل سلسلة ماركوف بمصفوفة عناصرها احتمالات الانتقال بين حالات النظام. وبالتحديد، تكون عناصر المصفوفة غير سالبة، ومجموع كل صف فيها يساوي واحدًا، وهو مجموع احتمالات الانتقال من حالة إلى أخرى في النظام. وتُقدِّم نظرية بيرون-فروبينيوس شروطًا كافية لامتلاك سلسلة ماركوف قيمة ذاتية مهيمنة فريدة، تُحدِّد تقارب النظام نحو حالة مستقرة.

تحليل الاهتزازات

Eigenvalue problems occur naturally in the vibration analysis of mechanical structures with many degrees of freedom. The eigenvalues are the natural frequencies (or 'eigenfrequencies') of vibration, and the eigenvectors are the shapes of these vibrational modes. In particular, undamped vibration is governed by $m{\ddot {x}}+kx=0$ or $m{\ddot {x}}=-kx$

That is, acceleration is proportional to position (i.e., we expect $x$ to be sinusoidal in time).

In $n$ dimensions, $m$ becomes a mass matrix and $k$ a stiffness matrix. Admissible solutions are then a linear combination of solutions to the generalized eigenvalue problem $kx=\omega ^{2}mx$ where $ω 2$ is the eigenvalue and $ω$ is the (imaginary) angular frequency. The principal vibration modes are different from the principal compliance modes, which are the eigenvectors of $k$ alone. Furthermore, damped vibration, governed by $m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0$ leads to a so-called quadratic eigenvalue problem, $\left(\omega ^{2}m+\omega c+k\right)x=0.$ This can be reduced to a generalized eigenvalue problem by algebraic manipulation at the cost of solving a larger system.

The orthogonality properties of the eigenvectors allows decoupling of the differential equations so that the system can be represented as linear summation of the eigenvectors. The eigenvalue problem of complex structures is often solved using finite element analysis, but neatly generalize the solution to scalar-valued vibration problems.

Tensor of moment of inertia

In mechanics, the eigenvectors of the moment of inertia tensor define the principal axes of a rigid body. The tensor of moment of inertia is a key quantity required to determine the rotation of a rigid body around its center of mass.

Stress tensor

In solid mechanics, the stress tensor is symmetric and so can be decomposed into a diagonal tensor with the eigenvalues on the diagonal and eigenvectors as a basis. Because it is diagonal, in this orientation, the stress tensor has no shear components; the components it does have are the principal components.

Schrödinger equation

يمكن اعتبار الدوال الموجية المرتبطة بالحالات المقيدة للإلكترون في ذرة الهيدروجين بمثابة المتجهات الذاتية لهاملتونيان ذرة الهيدروجين ، وكذلك لمؤثر الزخم الزاوي . وترتبط هذه الدوال بقيم ذاتية تُفسَّر على أنها طاقاتها (تزداد نزولًا: $n$ $= 1، 2، 3، ...$ ) وزخمها الزاوي (يزداد أفقيًا: s، p، d، ...). يوضح الشكل مربع القيمة المطلقة للدوال الموجية. تشير المناطق الأكثر سطوعًا إلى كثافة احتمالية أعلى لقياس الموضع . يمثل مركز كل شكل نواة الذرة ، أي البروتون .

ومن الأمثلة على معادلة القيم الذاتية حيث يتم تمثيل التحويل $T$ بدلالة عامل تفاضلي معادلة شرودنغر المستقلة عن الزمن في ميكانيكا الكم : $H\psi _{E}=E\psi _{E}$ حيث أن الهاميلتوني $H هو$ عامل تفاضلي من الدرجة الثانية ، والدالة الموجية $ψ E$ هي إحدى الدوال الذاتية الخاصة به والتي تتوافق مع القيمة الذاتية $E$ ، والتي تفسر على أنها طاقتها .

$مع ذلك$ ، في حالة الاهتمام فقط بحلول الحالة المقيدة لمعادلة شرودنغر، يُبحث عن $ψE$ ضمن فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي . ولأن هذا الفضاء هو فضاء هيلبرت ذو جداء قياسي مُعرَّف جيدًا ، يُمكن تعريف مجموعة أساسية يُمكن فيها تمثيل $ψE و$ $H$ كمصفوفة أحادية البعد (أي متجه) ومصفوفة على التوالي. وهذا يُتيح تمثيل معادلة شرودنغر في صورة مصفوفة .

يُستخدم ترميز برا -كيت غالبًا في هذا السياق. يُرمز للمتجه الذي يُمثل حالة النظام في فضاء هيلبرت للدوال القابلة للتكامل التربيعي بالرمز $| ΨE⟩$ . في هذا الترميز، تكون معادلة شرودنغر كما $يلي$ $:$ $H|\Psi _{E}\rangle =E|\Psi _{E}\rangle$ حيث $| ΨE⟩$ هي حالة ذاتية للمؤثر $H$ ، و $E$ تمثل القيمة الذاتية. $H$ مؤثر ذاتي الترافق قابل للملاحظة $،$ وهو النظير اللانهائي $الأبعاد$ $للمصفوفات الهرميتية . وكما$ $هو الحال في حالة المصفوفات، يُفهم من المعادلة أعلاه أن |$ $ΨE⟩$ هو $المتجه$ $الناتج$ $عن$ تطبيق التحويل $H$ على $|$ $ΨE⟩$ $.$

نقل الموجات

تتشتت الموجات الضوئية والصوتية والميكروية عشوائيًا عدة مرات عند مرورها عبر نظام ساكن غير منتظم . ورغم أن التشتت المتعدد يُعيد توزيع الموجات عشوائيًا بشكل متكرر، إلا أن انتقال الموجات المتماسكة عبر النظام هو في النهاية عملية حتمية يمكن وصفها بمصفوفة نقل المجال t $.$ [ ⁴⁴^]^[⁴⁵^]^تُشكل المتجهات الذاتية لمؤثر النقل $t$ $†$ $t$ مجموعة من جبهات الموجة المدخلة الخاصة بالاضطراب، والتي تُمكّن الموجات من الاقتران بالقنوات الذاتية للنظام غير المنتظم: وهي المسارات المستقلة التي يمكن للموجات أن تسلكها عبر النظام. تتوافق القيم الذاتية $τ$ لـ $t$ $†$ $t مع معامل نفاذية الشدة المرتبط بكل قناة ذاتية. ومن الخصائص المميزة لمؤثر النقل في الأنظمة$ $الانتشارية$ توزيع قيمها الذاتية ثنائي النمط، حيث $τmax$ $=$ $1$ و $τmin$ $= 0$ . ^[⁴⁵^] علاوة على ذلك، فإن إحدى الخصائص اللافتة للنظر للقنوات الذاتية المفتوحة، بالإضافة إلى النفاذية المثالية، هي المظهر المكاني القوي إحصائياً للقنوات الذاتية. ^[⁴⁶^]

المدارات الجزيئية

In quantum mechanics, and in particular in atomic and molecular physics, within the Hartree–Fock theory, the atomic and molecular orbitals can be defined by the eigenvectors of the Fock operator. The corresponding eigenvalues are interpreted as ionization potentials via Koopmans' theorem. In this case, the term eigenvector is used in a somewhat more general meaning, since the Fock operator is explicitly dependent on the orbitals and their eigenvalues. Thus, if one wants to underline this aspect, one speaks of nonlinear eigenvalue problems. Such equations are usually solved by an iteration procedure, called in this case self-consistent field method. In quantum chemistry, one often represents the Hartree–Fock equation in a non-orthogonal basis set. This particular representation is a generalized eigenvalue problem called Roothaan equations.

Geology and glaciology

In geology, especially in the study of glacial till, (roughly the rock below the ice), eigenvectors and eigenvalues are used to represent data about orientation. When the data is given in the form eigenvalue, eigenvector azimuth◦, eigenvector plunge◦, this allows understanding the eigenvector's orientation in a real world setting ^[47] The three different eigenvalues of the three eigenvectors describing a sample can be compared to determine a possible preferred direction of orientation.

Basic reproduction number

The basic reproduction number ( $R 0$ ) is a fundamental number in the study of how infectious diseases spread. If one infectious person is put into a population of completely susceptible people, then $R 0$ is the average number of people that one typical infectious person will infect. The generation time of an infection is the time, $t G$ , from one person becoming infected to the next person becoming infected. In a heterogeneous population, the next generation matrix defines how many people in the population will become infected after time $t G$ has passed. The value $R 0$ is then the largest eigenvalue of the next generation matrix.^[48]^[49]

Eigenfaces

In image processing, processed images of faces can be seen as vectors whose components are the brightnesses of each pixel.^[50] The dimension of this vector space is the number of pixels. The eigenvectors of the covariance matrix associated with a large set of normalized pictures of faces are called eigenfaces; this is an example of principal component analysis. They are very useful for synthesizing images as a linear combination of vectors. In the facial recognition branch of biometrics, eigenfaces provide a means of applying data compression to faces for identification purposes. Research related to eigen vision systems determining hand gestures has also been made.

Similar to this concept, eigenvoices represent the general direction of variability in human pronunciations of a particular utterance, such as a word in a language. Based on a linear combination of such eigenvoices, a new voice pronunciation of the word can be constructed. These concepts have been found useful in automatic speech recognition systems for speaker adaptation.

Notes

↑
Note:
- In 1751, Leonhard Euler proved that any body has a principal axis of rotation: Leonhard Euler (presented: October 1751; published: 1760) "Du mouvement d'un corps solide quelconque lorsqu'il tourne autour d'un axe mobile" (On the movement of any solid body while it rotates around a moving axis), Histoire de l'Académie royale des sciences et des belles lettres de Berlin, pp. 176–227. On p. 212, Euler proves that any body contains a principal axis of rotation: "Théoreme 44. De quelque figure que soit le corps, on y peut toujours assigner un tel axe, qui passe par son centre de gravité, autour duquel le corps peut tourner librement & d'un mouvement uniforme." (Theorem 44. Whatever be the shape of the body, one can always assign to it such an axis, which passes through its center of gravity, around which it can rotate freely and with a uniform motion.)
- في عام 1755، أثبت يوهان أندرياس سيغنر أن أي جسم له ثلاثة محاور دوران رئيسية: يوهان أندرياس سيغنر، Specimen theoriae turbinum [مقال في نظرية الأجسام الدوارة] (هاله ("هالي")، (ألمانيا): غيباور، 1755). ( https://books.google.com/books?id=29 ص. xxviiii [29])، ويستنتج سيغنر معادلة من الدرجة الثالثة في $t$ وهذا يثبت أن للجسم ثلاثة محاور دوران رئيسية. ثم يذكر (في الصفحة نفسها): "مع ذلك، ليس من غير المنطقي وجود ثلاثة مواضع للمستوى HM، لأنه في المعادلات التكعيبية، يمكن أن يكون هناك ثلاثة جذور، وثلاث قيم للمماس t."
- ناقش آرثر كايلي بإيجاز المقطع ذي الصلة من عمل سيغنر . انظر: أ. كايلي (1862) "تقرير عن التقدم المحرز في حل بعض المسائل الخاصة في الديناميكا"، تقرير الاجتماع الثاني والثلاثين للجمعية البريطانية لتقدم العلوم؛ الذي عُقد في كامبريدج في أكتوبر 1862 ، 32 : 184-252؛ انظر على وجه الخصوص الصفحتين 225-226.
^ كلاين 1972 ، ص 807–808 أوغستين كوشي (1839) “Mémoire sur l'intégration des équations linéaires” (مذكرات عن تكامل المعادلات الخطية)، Comptes rendus ، 8 : 827–830، 845–865، 889–907، 931–937. من ص. 827: "فيما يلي الخطوات التالية لطريقة لاغرانج، للحصول على قيمة عامة للمتغير الرئيسي وظيفة في الطبقة التي تدخل في المتغير الرئيسي لعناصر معادلة معينة ستطلق عليها خصائص المعادلة ، درجة هذه المعادلة دقيقة جدًا لترتيب المعادلة التفاضلية التي تمثل التكامل." (علاوة على ذلك، يعرف المرء أنه باتباع طريقة لاغرانج، يحصل المرء على القيمة العامة للمتغير الرئيسي دالة تظهر فيها، مع المتغير الرئيسي، جذور معادلة معينة سأسميها "المعادلة المميزة"، ودرجة هذه المعادلة هي بالضبط ترتيب المعادلة التفاضلية التي يجب تكاملها.)
↑
انظر:
- ديفيد هيلبرت (1904) “ Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linear Integralgleichungen. (Erste Mitteilung)” (أساسيات النظرية العامة للمعادلات التكاملية الخطية. (التقرير الأول)))، Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen، Mathematisch-Physikalische Klasse (أخبار الجمعية الفلسفية في غوتنغن، القسم الرياضي الفيزيائي)، الصفحات من ٤٩ إلى ٩١. من ص. 51: "Insbesondere in dieser ersten Mitteilung gelange ich zu Formeln, die die die Entwickelung einer willkürlichen Funktion nach gewissen ausgezeichneten Funktionen, die ich 'Eigenfunktionen' nenne, liefern: ..." (على وجه الخصوص، في هذا التقرير الأول وصلت إلى الصيغ التي توفر التطوير [السلسلة] لوظيفة عشوائية في مصطلحات لبعض الوظائف المميزة، والتي أسميها الوظائف الذاتية: ... ) لاحقًا في نفس الصفحة: "Dieser Erfolg ist wesentlich durch den Umstand bedingt, daß ich nicht, wie es bisher geschah, in erster Linie auf den Beweis für die Existenz der Eigenwerte ausgehe ,..." (يُعزى هذا النجاح بشكل أساسي إلى حقيقة أنني أفعل ذلك لا، كما حدث ما حدث حتى الآن، أولاً وقبل كل شيء، الهدف هو إثبات وجود القيم الذاتية...)
- للاطلاع على أصل وتطور مصطلحات القيمة الذاتية، والقيمة المميزة، وما إلى ذلك، انظر: أقدم الاستخدامات المعروفة لبعض كلمات الرياضيات (E)
↑ للحصول على برهان على هذه اللمة، انظر Roman 2008 ، ص 186، النظرية 8.2؛ Shilov 1977 ، ص 109؛ Hefferon 2001 ، ص 364؛ و Beezer 2006 ، ص 469، نظرية EDELI.
↑ من خلال إجراء عملية الحذف الغاوسي على متسلسلات القوى الرسمية المقطوعة إلى $n حدًا$ $،$ من الممكن التخلص من $O(n4)$ عملية، لكن هذا لا يأخذ الانفجار التوافقي في الاعتبار.

الاقتباسات

^ العبء والعروض 1993 ، ص. 401.
↑ سترانج، جيلبرت. "6: القيم الذاتية والمتجهات الذاتية". مقدمة في الجبر الخطي (ملف PDF) ( الطبعة الخامسة). مطبعة ويليسلي-كامبريدج.
1 2 هيرستين 1964 ، ص 228 ، 229.
1 2 نيرينج 1970 ، ص. 38.
↑ بيتريدج 1965 .
1 2 "المتجه الذاتي والقيمة الذاتية" . www.mathsisfun.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 أغسطس 2020 .
↑ Press et al. 2007 ، ص 536.
↑ Wolfram.com: Eigenvector .
1 2 3 نيرينغ 1970 ، ص 107.
↑ هوكينز 1975 ، §2.
1 2 3 4 هوكينز 1975 ، §3.
↑ كلاين 1972 ، ص 673.
1 2 كلاين 1972 ، ص 807-808.
↑ كلاين 1972 ، ص 715-716.
↑ كلاين 1972 ، ص 706-707.
↑ كلاين 1972 ، ص. 1063، ص.
↑ ألدريتش 2006 .
^ فرانسيس 1961 ، ص 265 – 271.
↑ كوبلانوفسكايا 1962 .
^ جولوب وفان لون 1996 ، §7.3.
↑ ماير 2000 ، §7.3.
↑ قسم الرياضيات بجامعة كورنيل (2016) مقررات المستوى الأدنى لطلاب السنة الأولى والثانية. مؤرشف في 7 أبريل 2018 على موقع Wayback Machine . تم الاطلاع عليه في 27 مارس 2016.
↑ قسم الرياضيات بجامعة ميشيغان (2016). كتالوج مقررات الرياضيات. مؤرشف بتاريخ 1 نوفمبر 2015 في أرشيف الإنترنت . تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 مارس 2016.
↑ Press et al. 2007 ، ص 38.
↑ فرالي 1976 ، ص 358.
1 2 جولوب وفان لون 1996 ، ص. 316.
^ انطون 1987 ، ص 305 ، 307.
1 2 بيوريجارد وفرالي 1973 ، ص. 307.
↑ هيرستين 1964 ، ص 272.
^ نيرينج 1970 ، ص 115 – 116.
↑ هيرستين 1964 ، ص 290.
↑ نيرينج 1970 ، ص 116.
↑ فان ميغيم 2014 .
1 2 دينتون وآخرون 2022 .
↑ تومسون، آر سي (يونيو 1966). "المصفوفات الفرعية الرئيسية للمصفوفات العادية والهرميتية" . مجلة إلينوي للرياضيات . 10 (2): 296-308 . doi : 10.1215/ijm/1256055111 .
↑ فان ميغيم 2024 .
^ كورن وكورن 1968 ، القسم 14.3.5 أ.
↑ فريدبيرج، إنسل وسبنس 1989 ، ص 217.
↑ رومان 2008 ، ص 186 §8.
^ نيرينج 1970 ، ص. 107؛ شيلوف 1977 ، ص. 109.
^ ليبشوتز وليبسون 2002 ، ص. 111.
^ نيرينج 1970 ، ص. 107؛ جولوب وفان لون 1996 ، ص. 316؛ رومان 2008 ، ص. 189 §8.
1 2 3 4 Trefethen & Bau 1997 .
^ فيليكوب وموسك 2007 ، ص 2309-2311.
1 2 روتر وجيجان 2017 ، ص. 15005.
↑ بندر وآخرون 2020 .
↑ https://www.researchgate.net/profile/John-Menzies-3/publication/366979136_An_experimental_baseline_for_ice-till_strain_indicators/links/63ee8c5d2958d64a5cd5f6a9/An-experimental-baseline-for-ice-till-strain-indicators.pdf?_tp=eyJjb250ZXh0Ijp7ImZpcnN0UGFnZS
^ ديكمان وهيستربيك وميتز 1990 ، ص 365–382.
^ هيستيربيك وديكمان 2000 .
^ زيروهاكيس وفوتسيس وديلوبولوس 1999 .

مصادر

ألدريتش، جون (2006)، "القيمة الذاتية، والدالة الذاتية، والمتجه الذاتي، والمصطلحات ذات الصلة" ، في ميلر، جيف (محرر)، أقدم الاستخدامات المعروفة لبعض كلمات الرياضيات
أنطون، هوارد (1987)، الجبر الخطي الابتدائي ( الطبعة الخامسة)، نيويورك: وايلي ، رقم ISBN 978-0-471-84819-6
بوريجارد، ريموند أ.؛ فرالي، جون ب. (1973)، دورة تمهيدية في الجبر الخطي: مع مقدمة اختيارية للمجموعات والحلقات والحقول ، بوسطن: شركة هوتون ميفلين ، رقم ISBN 978-0-395-14017-8
بيزر، روبرت أ. (2006)، دورة تمهيدية في الجبر الخطي ، كتاب إلكتروني مجاني بموجب ترخيص جنو، جامعة بيوجت ساوند، مؤرشف من الأصل في 29 أغسطس 2024 ، تم استرجاعه في 26 نوفمبر 2023
بيندر، نيكولاس؛ ياميلوف، أليكسي؛ يلماز، حسن؛ كاو، هوي (14 أكتوبر 2020). "تقلبات وارتباطات قنوات النقل الذاتية في الأوساط الانتشارية" . مجلة Physical Review Letters . 125 (16) 165901. arXiv : 2004.12167 . doi : 10.1103/physrevlett.125.165901 . ISSN 0031-9007 . PMID 33124845 .
بين، د.؛ إيفانز، د. (2004)، دليل عملي لدراسة الرواسب الجليدية ، لندن: أرنولد، ص 103-107
بيتريدج، هارولد ت. (1965)، قاموس كاسيل الألماني الجديد ، نيويورك: فونك وواغنال ، LCCN 58-7924
بيردن، ريتشارد ل.؛ فيرز، ج. دوغلاس (1993)، التحليل العددي ( الطبعة الخامسة)، بوسطن: بريندل، ويبر وشميدت، ISBN 978-0-534-93219-0
دينتون، بيتر ب.؛ بارك، ستيفن ج.؛ تاو، تيرينس؛ تشانغ، شينينغ (يناير 2022). "المتجهات الذاتية من القيم الذاتية: دراسة استقصائية لهوية أساسية في الجبر الخطي" (ملف PDF) . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 59 (1): 31-58 . arXiv : 1908.03795 . doi : 10.1090/bull/1722 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 19 يناير 2022.
ديكمان، أو؛ هيستربيك، جيه إيه؛ ميتز، جيه إيه (1990)، "حول تعريف وحساب نسبة التكاثر الأساسية R0 في نماذج الأمراض المعدية في المجتمعات غير المتجانسة" ، مجلة البيولوجيا الرياضية ، 28 (4): 365-382 ، doi : 10.1007/BF00178324 ، hdl : 1874/8051 ، PMID 2117040
فرالي، جون ب. (1976)، مدخل إلى الجبر المجرد ( الطبعة الثانية)، ريدينغ: أديسون-ويسلي ، رقم ISBN 978-0-201-01984-1
فرانسيس، جي جي إف (1961)، "تحويل QR، الجزء الأول (الجزء 1)"، مجلة الكمبيوتر ، المجلد 4، العدد 3، الصفحات 265-271 ، doi : 10.1093/comjnl/4.3.265
فرانسيس، جي جي إف (1962)، "تحويل QR، الجزء الثاني (الجزء 2)"، مجلة الكمبيوتر ، 4 (4): 332-345 ، doi : 10.1093/comjnl/4.4.332
فريدبيرغ، ستيفن هـ.؛ إنسل، أرنولد ج.؛ سبنس، لورانس إي. (1989)، الجبر الخطي ( الطبعة الثانية)، إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول، ISBN 978-0-13-537102-2
جولوب، جين هـ .؛ فان لون، تشارلز ف. (1996)، حسابات المصفوفات ( الطبعة الثالثة)، بالتيمور، ماريلاند: مطبعة جامعة جونز هوبكنز، ISBN 978-0-8018-5414-9
غراهام، د.؛ ميدجلي، ن. (2000)، "التمثيل البياني لشكل الجسيمات باستخدام المخططات المثلثية: طريقة جدولة بيانات إكسل"، عمليات سطح الأرض وتضاريسها ، 25 (13): 1473-1477 ، doi : 10.1002/1096-9837(200012)25:13 < 1473::AID-ESP158 > 3.0.CO ; 2-C
هوكينز، ت. (1975)، "كوشي والنظرية الطيفية للمصفوفات"، هيستوريا ماثيماتيكا ، 2 : 1-29 ، doi : 10.1016/0315-0860(75)90032-4
هيستربيك، جيه إيه بي؛ ديكمان، أودو (2000)، علم الأوبئة الرياضي للأمراض المعدية ، سلسلة وايلي في علم الأحياء الرياضي والحسابي، غرب ساسكس، إنجلترا: جون وايلي وأولاده
هيفرون، جيم (2001)، الجبر الخطي ، كولشيستر، فيرمونت: كتاب إلكتروني، كلية سانت مايكل، مؤرشف من الأصل في 4 أكتوبر 2023 ، تم استرجاعه في 26 نوفمبر 2023
هيرستين، إنديانا (1964)، مواضيع في الجبر ، والتهام: شركة بلايسديل للنشر، رقم ISBN 978-1-114-54101-6{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
كلاين، موريس (1972)، الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى الحديثة ، مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 978-0-19-501496-9
نوكس-روبنسون، سي.؛ غاردول، ستيفن جيه. (1998)، "GIS-stereoplot: وحدة رسم ستيريو تفاعلية لنظام المعلومات الجغرافية ArcView 3.0"، الحوسبة وعلوم الأرض ، 24 (3): 243، doi : 10.1016/S0098-3004(97)00122-2
كورن، غرانينو أ.؛ كورن، تيريزا م. (1968)، دليل الرياضيات للعلماء والمهندسين: تعريفات ونظريات وصيغ للرجوع إليها ومراجعتها (الطبعة الثانية )، نيويورك: ماكجرو هيل، LCCN 67-16304
كوبلانوفسكايا، فيرا ن. (1962)، "حول بعض الخوارزميات لحل مسألة القيم الذاتية الكاملة"، الرياضيات الحاسوبية والفيزياء الرياضية في الاتحاد السوفيتي ، 1 (3): 637-657 ، doi : 10.1016/0041-5553(63)90168-X
ليبشوتز، سيمور؛ ليبسون، مارك (12 أغسطس 2002). ملخص شوم المبسط للجبر الخطي . ماكجرو هيل بروفيشنال. ص 111. ISBN 978-0-07-139880-0.
ماير، كارل د. (2000)، تحليل المصفوفات والجبر الخطي التطبيقي ، فيلادلفيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية (SIAM)، رقم ISBN 978-0-89871-454-8
نيرينج، إيفار د. (1970)، الجبر الخطي ونظرية المصفوفات (الطبعة الثانية )، نيويورك: وايلي ، LCCN 76091646
بريس، ويليام هـ.؛ تيوكولسكي، شاول أ .؛ فيترلينغ، ويليام ت.؛ فلاني، برايان ب. (2007)، وصفات عددية: فن الحوسبة العلمية ( الطبعة الثالثة)، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-88068-8
رومان، ستيفن (2008)، الجبر الخطي المتقدم ( الطبعة الثالثة)، نيويورك: سبرينغر ساينس + بزنس ميديا، رقم ISBN 978-0-387-72828-5
روتر، ستيفان؛ جيجان، سيلفان (2 مارس 2017). "حقول الضوء في الأوساط المعقدة: التشتت الميزوسكوبي يلتقي بالتحكم الموجي" . مراجعات الفيزياء الحديثة . 89 (1) 015005. arXiv : 1702.05395 . doi : 10.1103/RevModPhys.89.015005 .
شيلوف، جورجي إي. (1977)، الجبر الخطي ، ترجمة وتحرير ريتشارد أ. سيلفرمان، نيويورك: منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-63518-7
سنيد، إي دي؛ فولك، آر إل (1958)، "الحصى في نهر كولورادو السفلي، تكساس، دراسة لتكوين الجسيمات"، مجلة الجيولوجيا ، 66 (2): 114-150 ، doi : 10.1086/626490
تريفثين، لويد ن.؛ باو، ديفيد (1997)، الجبر الخطي العددي ، SIAM
فان ميغيم، بيت (18 يناير 2014). "المتجهات الذاتية للرسم البياني، والأوزان الأساسية، ومقاييس المركزية للعقد في الشبكات". arXiv : 1401.4580 [ math.SP ].
فيليكوب، آي إم؛ موسك، إيه بي (15 أغسطس 2007). "تركيز الضوء المتماسك عبر أوساط معتمة ذات تشتت قوي" . رسائل البصريات . 32 (16): 2309-2311 . doi : 10.1364/OL.32.002309 . ISSN 1539-4794 . PMID 17700768 .
وايسشتاين، إريك دبليو. "المتجه الذاتي" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 أغسطس 2019 .
وايسشتاين، إريك و. (بدون تاريخ). "القيمة الذاتية" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 أغسطس 2020 .
وولتشوفر، ناتالي (13 نوفمبر 2019). "النيوترينوات تقود إلى اكتشاف غير متوقع في الرياضيات الأساسية" . مجلة كوانتا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 نوفمبر 2019 .
زيروهاكيس، أ.؛ فوتسيس، ج.؛ ديلوبولوس، أ. (1999). تزافيستاس، سبيروس ج. (محرر). تقدير الحركة ثلاثية الأبعاد وبنية وجوه الإنسان . دوردريخت: الجامعة التقنية الوطنية في أثينا. ص 333-344 . doi : 10.1007/978-94-011-4840-5_30 . ISBN 978-1-4020-0393-6.
فان ميغيم، ب. (2024). "مكونات المتجهات الذاتية للمصفوفات المتناظرة المرتبطة بالرسوم البيانية" . الجبر الخطي وتطبيقاته . 692 : 91-134 . doi : 10.1016/j.laa.2024.03.035 .

للمزيد من القراءة

جولوب، جين هـ .؛ فان دير فورست، هينك أ. (2000)، "حساب القيم الذاتية في القرن العشرين" (ملف PDF) ، مجلة الرياضيات الحسابية والتطبيقية ، 123 ( 1-2 ): 35-65 ، doi : 10.1016/S0377-0427(00)00413-1 ، hdl : 1874/2663
هيل، روجر (2009). "λ – القيم الذاتية" . ستون رمزاً . برادي هاران لجامعة نوتنغهام .
كوتلر، كينيث (2017)، مقدمة في الجبر الخطي (ملف PDF) ، جامعة بريغام يونغ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) في 17 ديسمبر 2023 ، تم استرجاعه في 26 نوفمبر 2023
سترانج، جيلبرت (1993)، مقدمة في الجبر الخطي ، ويليسلي، ماساتشوستس: مطبعة ويليسلي-كامبريدج، رقم ISBN 978-0-9614088-5-5
سترانج، جيلبرت (2006)، الجبر الخطي وتطبيقاته ، بلمونت، كاليفورنيا: تومسون، بروكس/كول، ISBN 978-0-03-010567-8

روابط خارجية

تستخدم ويكيفيرسيتي الفيزياء التمهيدية لتقديم القيم الذاتية والمتجهات الذاتية
ما هي القيم الذاتية؟ – مقدمة غير تقنية من قسم "اسأل الخبراء" على موقع PhysLink.com
القيم الذاتية والمتجهات الذاتية: أمثلة عددية - برنامج تعليمي وتفاعلي من Revoledu.
مقدمة في المتجهات الذاتية والقيم الذاتية – محاضرة من أكاديمية خان
المتجهات الذاتية والقيم الذاتية | جوهر الجبر الخطي، الفصل العاشر - شرح مرئي باستخدام 3Blue1Brown
حاسبة المتجهات الذاتية للمصفوفة من Symbolab (انقر على الزر السفلي الأيمن لشبكة 2×12 لتحديد حجم المصفوفة. حدد $n\times n$ حدد الحجم (لمصفوفة مربعة)، ثم املأ الحقول رقميًا وانقر على زر "انتقال". يمكنه قبول الأعداد المركبة أيضًا.

نظرية

حساب القيم الذاتية
الحل العددي لمشاكل القيمة الذاتية تحرير تشاوجون باي، جيمس ديميل ، جاك دونجارا، أكسل روهي، وهينك فان دير فورست

[10] Note:
In 1751, Leonhard Euler proved that any body has a principal axis of rotation: Leonhard Euler (presented: October 1751; published: 1760) "Du mouvement d'un corps solide quelconque lorsqu'il tourne autour d'un axe mobile" (On the movement of any solid body while it rotates around a moving axis), Histoire de l'Académie royale des sciences et des belles lettres de Berlin, pp. 176–227. On p. 212, Euler proves that any body contains a principal axis of rotation: "Théoreme 44. De quelque figure que soit le corps, on y peut toujours assigner un tel axe, qui passe par son centre de gravité, autour duquel le corps peut tourner librement & d'un mouvement uniforme." (Theorem 44. Whatever be the shape of the body, one can always assign to it such an axis, which passes through its center of gravity, around which it can rotate freely and with a uniform motion.)
في عام 1755، أثبت يوهان أندرياس سيغنر أن أي جسم له ثلاثة محاور دوران رئيسية: يوهان أندرياس سيغنر، Specimen theoriae turbinum [مقال في نظرية الأجسام الدوارة] (هاله ("هالي")، (ألمانيا): غيباور، 1755). ( https://books.google.com/books?id=29 ص. xxviiii [29])، ويستنتج سيغنر معادلة من الدرجة الثالثة في $t$ وهذا يثبت أن للجسم ثلاثة محاور دوران رئيسية. ثم يذكر (في الصفحة نفسها): "مع ذلك، ليس من غير المنطقي وجود ثلاثة مواضع للمستوى HM، لأنه في المعادلات التكعيبية، يمكن أن يكون هناك ثلاثة جذور، وثلاث قيم للمماس t."
ناقش آرثر كايلي بإيجاز المقطع ذي الصلة من عمل سيغنر . انظر: أ. كايلي (1862) "تقرير عن التقدم المحرز في حل بعض المسائل الخاصة في الديناميكا"، تقرير الاجتماع الثاني والثلاثين للجمعية البريطانية لتقدم العلوم؛ الذي عُقد في كامبريدج في أكتوبر 1862 ، 32 : 184-252؛ انظر على وجه الخصوص الصفحتين 225-226.

[mwBvI] In 1751, Leonhard Euler proved that any body has a principal axis of rotation: Leonhard Euler (presented: October 1751; published: 1760) "Du mouvement d'un corps solide quelconque lorsqu'il tourne autour d'un axe mobile" (On the movement of any solid body while it rotates around a moving axis), Histoire de l'Académie royale des sciences et des belles lettres de Berlin, pp. 176–227. On p. 212, Euler proves that any body contains a principal axis of rotation: "Théoreme 44. De quelque figure que soit le corps, on y peut toujours assigner un tel axe, qui passe par son centre de gravité, autour duquel le corps peut tourner librement & d'un mouvement uniforme." (Theorem 44. Whatever be the shape of the body, one can always assign to it such an axis, which passes through its center of gravity, around which it can rotate freely and with a uniform motion.)

[mwBvc] في عام 1755، أثبت يوهان أندرياس سيغنر أن أي جسم له ثلاثة محاور دوران رئيسية: يوهان أندرياس سيغنر، Specimen theoriae turbinum [مقال في نظرية الأجسام الدوارة] (هاله ("هالي")، (ألمانيا): غيباور، 1755). ( https://books.google.com/books?id=29 ص. xxviiii [29])، ويستنتج سيغنر معادلة من الدرجة الثالثة في $t$ وهذا يثبت أن للجسم ثلاثة محاور دوران رئيسية. ثم يذكر (في الصفحة نفسها): "مع ذلك، ليس من غير المنطقي وجود ثلاثة مواضع للمستوى HM، لأنه في المعادلات التكعيبية، يمكن أن يكون هناك ثلاثة جذور، وثلاث قيم للمماس t."

[mwBwg] ناقش آرثر كايلي بإيجاز المقطع ذي الصلة من عمل سيغنر . انظر: أ. كايلي (1862) "تقرير عن التقدم المحرز في حل بعض المسائل الخاصة في الديناميكا"، تقرير الاجتماع الثاني والثلاثين للجمعية البريطانية لتقدم العلوم؛ الذي عُقد في كامبريدج في أكتوبر 1862 ، 32 : 184-252؛ انظر على وجه الخصوص الصفحتين 225-226.

[13] كلاين 1972 ، ص 807–808 أوغستين كوشي (1839) “Mémoire sur l'intégration des équations linéaires” (مذكرات عن تكامل المعادلات الخطية)، Comptes rendus ، 8 : 827–830، 845–865، 889–907، 931–937. من ص. 827: "فيما يلي الخطوات التالية لطريقة لاغرانج، للحصول على قيمة عامة للمتغير الرئيسي وظيفة في الطبقة التي تدخل في المتغير الرئيسي لعناصر معادلة معينة ستطلق عليها خصائص المعادلة ، درجة هذه المعادلة دقيقة جدًا لترتيب المعادلة التفاضلية التي تمثل التكامل." (علاوة على ذلك، يعرف المرء أنه باتباع طريقة لاغرانج، يحصل المرء على القيمة العامة للمتغير الرئيسي دالة تظهر فيها، مع المتغير الرئيسي، جذور معادلة معينة سأسميها "المعادلة المميزة"، ودرجة هذه المعادلة هي بالضبط ترتيب المعادلة التفاضلية التي يجب تكاملها.)

[19] انظر:
ديفيد هيلبرت (1904) “ Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linear Integralgleichungen. (Erste Mitteilung)” (أساسيات النظرية العامة للمعادلات التكاملية الخطية. (التقرير الأول)))، Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen، Mathematisch-Physikalische Klasse (أخبار الجمعية الفلسفية في غوتنغن، القسم الرياضي الفيزيائي)، الصفحات من ٤٩ إلى ٩١. من ص. 51: "Insbesondere in dieser ersten Mitteilung gelange ich zu Formeln, die die die Entwickelung einer willkürlichen Funktion nach gewissen ausgezeichneten Funktionen, die ich 'Eigenfunktionen' nenne, liefern: ..." (على وجه الخصوص، في هذا التقرير الأول وصلت إلى الصيغ التي توفر التطوير [السلسلة] لوظيفة عشوائية في مصطلحات لبعض الوظائف المميزة، والتي أسميها الوظائف الذاتية: ... ) لاحقًا في نفس الصفحة: "Dieser Erfolg ist wesentlich durch den Umstand bedingt, daß ich nicht, wie es bisher geschah, in erster Linie auf den Beweis für die Existenz der Eigenwerte ausgehe ,..." (يُعزى هذا النجاح بشكل أساسي إلى حقيقة أنني أفعل ذلك لا، كما حدث ما حدث حتى الآن، أولاً وقبل كل شيء، الهدف هو إثبات وجود القيم الذاتية...)
للاطلاع على أصل وتطور مصطلحات القيمة الذاتية، والقيمة المميزة، وما إلى ذلك، انظر: أقدم الاستخدامات المعروفة لبعض كلمات الرياضيات (E)

[mwBxo] ديفيد هيلبرت (1904) “ Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linear Integralgleichungen. (Erste Mitteilung)” (أساسيات النظرية العامة للمعادلات التكاملية الخطية. (التقرير الأول)))، Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen، Mathematisch-Physikalische Klasse (أخبار الجمعية الفلسفية في غوتنغن، القسم الرياضي الفيزيائي)، الصفحات من ٤٩ إلى ٩١. من ص. 51: "Insbesondere in dieser ersten Mitteilung gelange ich zu Formeln, die die die Entwickelung einer willkürlichen Funktion nach gewissen ausgezeichneten Funktionen, die ich 'Eigenfunktionen' nenne, liefern: ..." (على وجه الخصوص، في هذا التقرير الأول وصلت إلى الصيغ التي توفر التطوير [السلسلة] لوظيفة عشوائية في مصطلحات لبعض الوظائف المميزة، والتي أسميها الوظائف الذاتية: ... ) لاحقًا في نفس الصفحة: "Dieser Erfolg ist wesentlich durch den Umstand bedingt, daß ich nicht, wie es bisher geschah, in erster Linie auf den Beweis für die Existenz der Eigenwerte ausgehe ,..." (يُعزى هذا النجاح بشكل أساسي إلى حقيقة أنني أفعل ذلك لا، كما حدث ما حدث حتى الآن، أولاً وقبل كل شيء، الهدف هو إثبات وجود القيم الذاتية...)

[mwByU] للاطلاع على أصل وتطور مصطلحات القيمة الذاتية، والقيمة المميزة، وما إلى ذلك، انظر: أقدم الاستخدامات المعروفة لبعض كلمات الرياضيات (E)

[46] للحصول على برهان على هذه اللمة، انظر Roman 2008 ، ص 186، النظرية 8.2؛ Shilov 1977 ، ص 109؛ Hefferon 2001 ، ص 364؛ و Beezer 2006 ، ص 469، نظرية EDELI.

[48] من خلال إجراء عملية الحذف الغاوسي على متسلسلات القوى الرسمية المقطوعة إلى $n حدًا$ $،$ من الممكن التخلص من $O(n4)$ عملية، لكن هذا لا يأخذ الانفجار التوافقي في الاعتبار.

[FOOTNOTEBurdenFaires1993401-1] العبء والعروض 1993 ، ص. 401.

[2] سترانج، جيلبرت. "6: القيم الذاتية والمتجهات الذاتية". مقدمة في الجبر الخطي (ملف PDF) ( الطبعة الخامسة). مطبعة ويليسلي-كامبريدج.

[FOOTNOTEHerstein1964228,_229-3] 1 2 هيرستين 1964 ، ص 228 ، 229.

[FOOTNOTENering197038-4] 1 2 نيرينج 1970 ، ص. 38.

[FOOTNOTEBetteridge1965-5] بيتريدج 1965 .

[:0-6] 1 2 "المتجه الذاتي والقيمة الذاتية" . www.mathsisfun.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 أغسطس 2020 .

[FOOTNOTEPressTeukolskyVetterlingFlannery2007536-7] Press et al. 2007 ، ص 536.

[FOOTNOTEWolfram.com:_Eigenvector-8] Wolfram.com: Eigenvector .

[FOOTNOTENering1970107-9] 1 2 3 نيرينغ 1970 ، ص 107.

[FOOTNOTEHawkins1975§2-11] هوكينز 1975 ، §2.

[FOOTNOTEHawkins1975§3-12] 1 2 3 4 هوكينز 1975 ، §3.

[FOOTNOTEKline1972p._673-14] كلاين 1972 ، ص 673.

[FOOTNOTEKline1972pp._807–808-15] 1 2 كلاين 1972 ، ص 807-808.

[FOOTNOTEKline1972pp._715–716-16] كلاين 1972 ، ص 715-716.

[FOOTNOTEKline1972pp._706–707-17] كلاين 1972 ، ص 706-707.

[FOOTNOTEKline19721063p.-18] كلاين 1972 ، ص. 1063، ص.

[FOOTNOTEAldrich2006-20] ألدريتش 2006 .

[FOOTNOTEFrancis1961265–271-21] فرانسيس 1961 ، ص 265 – 271.

[FOOTNOTEKublanovskaya1962-22] كوبلانوفسكايا 1962 .

[FOOTNOTEGolubVan_Loan1996§7.3-23] جولوب وفان لون 1996 ، §7.3.

[FOOTNOTEMeyer2000§7.3-24] ماير 2000 ، §7.3.

[CornellMathCourses-25] قسم الرياضيات بجامعة كورنيل (2016) مقررات المستوى الأدنى لطلاب السنة الأولى والثانية. مؤرشف في 7 أبريل 2018 على موقع Wayback Machine . تم الاطلاع عليه في 27 مارس 2016.

[UMichMathCourses-26] قسم الرياضيات بجامعة ميشيغان (2016). كتالوج مقررات الرياضيات. مؤرشف بتاريخ 1 نوفمبر 2015 في أرشيف الإنترنت . تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 مارس 2016.

[FOOTNOTEPressTeukolskyVetterlingFlannery200738-27] Press et al. 2007 ، ص 38.

[FOOTNOTEFraleigh1976358-28] فرالي 1976 ، ص 358.

[FOOTNOTEGolubVan_Loan1996316-29] 1 2 جولوب وفان لون 1996 ، ص. 316.

[FOOTNOTEAnton1987305,_307-30] انطون 1987 ، ص 305 ، 307.

[FOOTNOTEBeauregardFraleigh1973307-31] 1 2 بيوريجارد وفرالي 1973 ، ص. 307.

[FOOTNOTEHerstein1964272-32] هيرستين 1964 ، ص 272.

[FOOTNOTENering1970115–116-33] نيرينج 1970 ، ص 115 – 116.

[FOOTNOTEHerstein1964290-34] هيرستين 1964 ، ص 290.

[FOOTNOTENering1970116-35] نيرينج 1970 ، ص 116.

[FOOTNOTEVan_Mieghem2014-36] فان ميغيم 2014 .

[FOOTNOTEDentonParkeTaoZhang2022-37] 1 2 دينتون وآخرون 2022 .

[38] تومسون، آر سي (يونيو 1966). "المصفوفات الفرعية الرئيسية للمصفوفات العادية والهرميتية" . مجلة إلينوي للرياضيات . 10 (2): 296-308 . doi : 10.1215/ijm/1256055111 .

[FOOTNOTEVan_Mieghem2024-39] فان ميغيم 2024 .

[FOOTNOTEKornKorn1968Section_14.3.5a-40] كورن وكورن 1968 ، القسم 14.3.5 أ.

[FOOTNOTEFriedbergInselSpence1989p._217-41] فريدبيرج، إنسل وسبنس 1989 ، ص 217.

[FOOTNOTERoman2008p._186_§8-42] رومان 2008 ، ص 186 §8.

[FOOTNOTENering1970107Shilov1977109-43] نيرينج 1970 ، ص. 107؛ شيلوف 1977 ، ص. 109.

[FOOTNOTELipschutzLipson2002111-44] ليبشوتز وليبسون 2002 ، ص. 111.

[FOOTNOTENering1970107GolubVan_Loan1996316Roman2008p._189_§8-45] نيرينج 1970 ، ص. 107؛ جولوب وفان لون 1996 ، ص. 316؛ رومان 2008 ، ص. 189 §8.

[FOOTNOTETrefethenBau1997-47] 1 2 3 4 Trefethen & Bau 1997 .

[FOOTNOTEVellekoopMosk20072309–2311-49] فيليكوب وموسك 2007 ، ص 2309-2311.

[FOOTNOTERotterGigan201715005-50] 1 2 روتر وجيجان 2017 ، ص. 15005.

[FOOTNOTEBenderYamilovYilmazCao2020-51] بندر وآخرون 2020 .

[52] ttps://www.researchgate.net/profile/John-Menzies-3/publication/366979136_An_experimental_baseline_for_ice-till_strain_indicators/links/63ee8c5d2958d64a5cd5f6a9/An-experimental-baseline-for-ice-till-strain-indicators.pdf?_tp=eyJjb250ZXh0Ijp7ImZpcnN0UGFnZS

[FOOTNOTEDiekmannHeesterbeekMetz1990365–382-53] ديكمان وهيستربيك وميتز 1990 ، ص 365–382.

[FOOTNOTEHeesterbeekDiekmann2000-54] هيستيربيك وديكمان 2000 .

[FOOTNOTEXirouhakisVotsisDelopoulus1999-55] زيروهاكيس وفوتسيس وديلوبولوس 1999 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[7]

[ 9 ]

[ أ ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ ب ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[14]

[15]

[16]

[c]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

قسمة

[

[27]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

على

[ 37 ]

[

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ د ]

[ 43 ]

[ هـ ]

44

45

[

[47]

[48]

[49]

[50]