القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

للمعادلة ( 2 ) حل غير صفري v إذا وفقط إذا كان محدد المصفوفة ( A − λI ) يساوي صفرًا. لذلك، فإن القيم الذاتية للمصفوفة A هي قيم λ التي تحقق المعادلة

${\displaystyle \det(A-\lambda I)=0}$.

3

باستخدام صيغة لايبنتز للمحددات ، يكون الطرف الأيسر من المعادلة ( 3 ) دالة متعددة الحدود للمتغير λ ، ودرجة هذه الدالة هي n ، وهي رتبة المصفوفة A. تعتمد معاملات هذه الدالة على عناصر A ، باستثناء حدها ذي الدرجة n الذي يكون دائمًا (−1) ⁿ λ ⁿ . تُسمى هذه الدالة متعددة الحدود المميزة لـ A. وتُسمى المعادلة ( 3 ) المعادلة المميزة أو المعادلة العلمانية لـ A.

إنّ كثيرة الحدود المميزة للمصفوفة A من الرتبة n × n ، وهي كثيرة حدود من الدرجة n ، لها على الأكثر n جذرًا من الأعداد المركبة ، ويمكن إيجاد هذه الجذور بتحليل كثيرة الحدود المميزة، أو عدديًا عن طريق إيجاد الجذور. ويمكن تحليل كثيرة الحدود المميزة إلى حاصل ضرب n حدًا خطيًا.

${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda )\cdots (\lambda _{n}-\lambda )}$،

4

حيث يمكن أن تتكرر الأعداد المركبة λ1 _، λ2 _، ...، λn _، وكل منها قيمة ذاتية. (يُعرف عدد مرات ظهور القيمة الذاتية في متعددة الحدود المميزة بتعددها الجبري ).

كمثال موجز، والذي سيتم شرحه بمزيد من التفصيل في قسم الأمثلة لاحقًا، ضع في اعتبارك المصفوفة $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$$ بأخذ محدد ( A − λI ) ، تكون متعددة الحدود المميزة لـ A هي $${\displaystyle \det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.}$$ بوضع متعددة الحدود المميزة مساوية للصفر، يكون لها جذور عند λ = 1 و λ = 3 ، وهما القيمتان الذاتيتان للمصفوفة A. يمكن إيجاد المتجهات الذاتية المناظرة لكل قيمة ذاتية λ بحل معادلة ( A − λI ) v = 0 لإيجاد مركبات v . في هذا المثال، المتجهات الذاتية هي أي مضاعفات قياسية غير صفرية لـ $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.}$$

إذا كانت عناصر المصفوفة A جميعها أعدادًا حقيقية، فإن معاملات متعددة الحدود المميزة ستكون أيضًا أعدادًا حقيقية، ولكن قد تحتوي القيم الذاتية على أجزاء تخيلية غير صفرية. وبالتالي، قد تحتوي عناصر المتجهات الذاتية المقابلة أيضًا على أجزاء تخيلية غير صفرية. وبالمثل، قد تكون القيم الذاتية أعدادًا غير نسبية حتى لو كانت جميع عناصر A أعدادًا نسبية أو حتى لو كانت جميعها أعدادًا صحيحة. مع ذلك، إذا كانت عناصر A جميعها أعدادًا جبرية ، بما في ذلك الأعداد النسبية، فإن القيم الذاتية يجب أن تكون أيضًا أعدادًا جبرية.

يمكن تجميع الجذور غير الحقيقية لكثيرة حدود حقيقية ذات معاملات حقيقية في أزواج من المرافقات المركبة ، أي أن لكل زوج جزءًا تخيليًا يختلف فقط في الإشارة وجزءًا حقيقيًا متساويًا. إذا كانت الدرجة فردية، فبحسب نظرية القيمة المتوسطة، يكون أحد الجذور على الأقل حقيقيًا. لذلك، أي مصفوفة حقيقية ذات رتبة فردية لها قيمة ذاتية حقيقية واحدة على الأقل، بينما قد لا يكون للمصفوفة الحقيقية ذات الرتبة الزوجية أي قيم ذاتية حقيقية. المتجهات الذاتية المرتبطة بهذه القيم الذاتية المركبة هي أيضًا مركبة وتظهر في أزواج المرافقات المركبة.

طيف المصفوفة هو قائمة قيمها الذاتية، مكررة وفقًا لتعدداتها؛ أو بصيغة مختصرة، مجموعة قيمها الذاتية مع الإشارة إلى تعدداتها.

من الكميات المهمة المرتبطة بطيف المصفوفة القيمة المطلقة القصوى لجميع قيمها الذاتية. ويُعرف هذا بنصف قطر الطيف للمصفوفة المدروسة.

ليكن λᵢ قيمة ذاتية لمصفوفة A من الرتبة n × n . التعدد الجبري μA ₍ λᵢ ₎ لهذه القيمة الذاتية هو تعددها كجذر لكثير الحدود المميز، أي أكبر عدد صحيح k بحيث يقسم ( λᵢ − _λ ) k كثير ^{الحدود هذا قسمة} تامة . ^{[ 9} _] ^{[ 25 ] [ 26 ]}

لنفترض أن المصفوفة A لها رتبة n و d ≤ n من القيم الذاتية المميزة. في حين أن المعادلة ( 4 ) تحلل متعددة الحدود المميزة لـ A إلى حاصل ضرب n من الحدود الخطية مع احتمال تكرار بعض الحدود، يمكن أيضًا كتابة متعددة الحدود المميزة على أنها حاصل ضرب d من الحدود، كل منها يقابل قيمة ذاتية مميزة، مرفوعة إلى قوة التعدد الجبري: $${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.}$$ إذا كان d = n ، فإن الطرف الأيمن هو حاصل ضرب n من الحدود الخطية، وهذا هو نفسه المعادلة ( 4 ). يرتبط حجم التعدد الجبري لكل قيمة ذاتية بالبعد n كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}}$$ إذا كانت μ _A ( λ _i ) = 1 ، فإن λ _i يُقال إنها قيمة ذاتية بسيطة . ^{[ 26 ]} إذا كانت μ _A ( λ _i ) تساوي التعدد الهندسي لـ λ _i (يرمز له بـ γ _A ( λ _i ) ويُعرف في القسم التالي)، فإن λ _i يُقال إنها قيمة ذاتية شبه بسيطة .

بالنظر إلى قيمة ذاتية معينة${\displaystyle \lambda }$من​​${\displaystyle n\times n}$مصفوفة​​${\displaystyle A}$⁠ ، عرّف المجموعة ⁠${\displaystyle E}$أن تكون جميعها متجهات${\displaystyle \mathbf {v} }$التي تحقق المعادلة ( 2 ): $${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v}$$ :\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} \right\}.} من جهة، ⁠${\displaystyle E}$⁠ هو بالضبط نواة أو فضاء العدم للمصفوفة ⁠${\displaystyle A-\lambda I}$من جهة أخرى ، وبحسب التعريف، فإن أي متجه غير صفري يحقق هذا الشرط هو متجه ذاتي لـ${\displaystyle A}$مرتبط بـ​${\displaystyle \lambda }$; لذا ⁠${\displaystyle E}$⁠ هو اتحاد المتجه الصفري مع مجموعة جميع المتجهات الذاتية لـ ⁠${\displaystyle A}$مرتبط بـ​${\displaystyle \lambda }$المساحة​​${\displaystyle E}$يُطلق عليه اسم الفضاء الذاتي أو الفضاء المميز لـ${\displaystyle A}$مرتبط بـ​${\displaystyle \lambda }$[ ^{27 ] [ 9 ]} بشكل عام ،^​${\displaystyle \lambda }$هو عدد مركب والمتجهات الذاتية أعداد مركبة${\displaystyle n\times 1}$المصفوفات (متجهات الأعمدة). لأن كل فضاء صفري هو فضاء جزئي خطي من المجال ،${\displaystyle E}$⁠ هو فضاء جزئي خطي من ⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$⁠ .

لأن الفضاء الذاتي${\displaystyle E}$إذا كان الفضاء الجزئي خطيًا، فهو مغلق تحت عملية الجمع. أي إذا كان متجهان${\displaystyle \mathbf {u} }$و​​${\displaystyle \mathbf {v} }$ينتمي إلى المجموعة${\displaystyle E}$، مكتوب​${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in E}$ثم​​${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} \in E}$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle A(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} )}$يمكن التحقق من ذلك باستخدام خاصية التوزيع لضرب المصفوفات. وبالمثل ، لأن${\displaystyle E}$إذا كان ⁠ فضاءً جزئياً خطياً، فهو مغلق تحت الضرب القياسي. أي، إذا ⁠${\displaystyle \mathbf {v} \in E}$و​​${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ثم​​${\displaystyle \alpha \mathbf {v} \in E}$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle A(\alpha \mathbf {v} )=\lambda (\alpha \mathbf {v} )}$يمكن التحقق من ذلك بملاحظة أن ضرب المصفوفات المركبة بالأعداد المركبة عملية تبديلية . طالما أن${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} }$و​​${\displaystyle \alpha \mathbf {v} }$ليست صفرًا، بل هي أيضًا متجهات ذاتية لـ${\displaystyle A}$مرتبط بـ​${\displaystyle \lambda }$⁠ .

بُعد الفضاء الذاتي${\displaystyle E}$مرتبط بـ​${\displaystyle \lambda }$أو ما يعادله ، الحد الأقصى لعدد المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا المرتبطة بـ${\displaystyle \lambda }$يُشار إلى هذا باسم التعدد الهندسي للقيمة الذاتيةويُرمز له بـ${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )}$لأن​​${\displaystyle E}$⁠ هو أيضًا الفضاء الصفري لـ ⁠${\displaystyle A-\lambda I}$، التعدد الهندسي لـ${\displaystyle \lambda }$⁠ هو بُعد الفضاء الصفري لـ ⁠${\displaystyle A-\lambda I}$، ويسمى أيضًا عدم وجود${\displaystyle A-\lambda I}$ترتبط هذه الكمية بحجم ورتبة${\displaystyle A-\lambda I}$بحسب المعادلة: $${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).}$$ بسبب تعريف القيم الذاتية والمتجهات الذاتية، يجب أن يكون التعدد الهندسي للقيمة الذاتية واحدًا على الأقل، أي أن لكل قيمة ذاتية متجهًا ذاتيًا واحدًا على الأقل. علاوة على ذلك، لا يمكن أن يتجاوز التعدد الهندسي للقيمة الذاتية تعددها الجبري. بالإضافة إلى ذلك، تذكر أن التعدد الجبري للقيمة الذاتية لا يمكن أن يتجاوز ⁠${\displaystyle n}$باختصار ،$${\displaystyle 1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n.}$$

إثبات المتباينة${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )}$ليكن B = A − λI ، حيث λ عدد مركب ثابت، والفضاء الذاتي المرتبط بـ λ هو الفضاء الصفري لـ B. وليكنبُعد هذا الفضاء الذاتي هو${\displaystyle k=\gamma _{A}(\lambda )}$هذا يعني أن الصفوف k الأخيرةمن الشكل المتدرج للمصفوفة B تساوي صفرًا. وبالتالي، توجد مصفوفة قابلة للعكس E ناتجة عن اختزال جاوس-جوردان، بحيث $${\displaystyle EB={\begin{bmatrix}*&*\\\mathbf {0} _{k\times (n-k)}&\mathbf {0} _{k\times k}\end{bmatrix}}.}$$ لذلك، فإن آخر k صفوف من EB − tE تساوي (− t ) مضروبة في آخر k صفوف من E. وبالتالي، فإن متعددة الحدود t ^k تقسم متعددة الحدود det( EB − tE ) بالتساوي ، وذلك بسبب الخصائص الأساسية للمحددات (التجانس). من ناحية أخرى، det( EB − tE ) = det E det( B − tI ) = p _A ( t + λ ) det E ، لذا فإن ( t − λ ) ^k تقسم p _A ( t ) ، وبالتالي فإن التعدد الجبري لـ λ هو على الأقل${\displaystyle k}$. QED

لنفترض أن المصفوفة A لها d ≤ n من _القيم الذاتية المتميزة λ1 _، ...، λd _، حيث التعدد الهندسي لـ _λi هو γA ( λi ) _. التعدد الهندسي الكلي لـ A ، $${\displaystyle \gamma _{A}=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i}),}$$ يمثل بُعد مجموع جميع الفضاءات الذاتية للقيم الذاتية للمصفوفة A ، أو ما يعادله، أكبر عدد من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا للمصفوفة A. وبحسب التعريف ،${\displaystyle d\leq \gamma _{A}\leq n}$إذا​​${\displaystyle \gamma _{A}=n}$ثم :

• المجموع المباشر للفضاءات الذاتية لجميع القيم الذاتية للمصفوفة A هو الفضاء المتجهي بأكمله .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$⁠ .
• أساس لـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$يمكن تشكيلها من n متجهات ذاتية مستقلة خطيًا لـ A ؛ تسمى هذه القاعدة بالقاعدة الذاتية .
• أي متجه في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$يمكن كتابتها كمزيج خطي من المتجهات الذاتية للمصفوفة A.

لتكن A مصفوفة عشوائية من الأعداد المركبة من الرتبة n × n، ذات قيم ذاتية _λ₁ , ..., λₙ. تظهر كل قيمة ذاتية μA(λᵢ) _مرة في هذه القائمة _، حيث _μA ( λᵢ ) هي التعدد الجبري _للقيمة الذاتية . فيما يلي _خصائص هذه المصفوفة وقيمها الذاتية:

• أثر ⁠​​${\displaystyle A}$⁠ ، المعرفة على أنها مجموع عناصرها القطرية، هي أيضًا مجموع جميع قيمها الذاتية: ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}$${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.}$$
• المحدد لـ​​${\displaystyle A}$⁠ هو ناتج جميع قيمه الذاتية: ^{[ 28 ] [ 31 ] [ 32 ]}$${\displaystyle \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$$
• لأي عدد صحيح موجب${\displaystyle k}$، القيم الذاتية لـ${\displaystyle k}$قوة ⁠​${\displaystyle A}$أي ،​${\displaystyle A^{k}}$⁠ , are ⁠${\displaystyle \lambda _{1}^{k},\ldots ,\lambda _{n}^{k}}$⁠ .
• القيم الذاتية للمصفوفة ⁠${\displaystyle A+I}$( حيث​${\displaystyle I}$( حيث تمثل مصفوفة الوحدة) هي${\displaystyle \lambda _{1}+1,\ldots ,\lambda _{n}+1}$علاوة على ذلك ، بالنسبة لأي${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$، القيم الذاتية للمصفوفة${\displaystyle A+\alpha I}$⁠ are ⁠${\displaystyle \lambda _{1}+\alpha ,\ldots ,\lambda _{n}+\alpha }$⁠ .
• وبشكل أعم، بالنسبة لأي متعددة حدود${\displaystyle P}$، القيم الذاتية للمصفوفة${\displaystyle P(A)}$⁠ are ⁠${\displaystyle P(\lambda _{1}),\ldots ,P(\lambda _{n})}$⁠ .
• ⁠${\displaystyle A}$تكون المصفوفة قابلة للعكس إذا وفقط إذا كانت كل قيمة ذاتية${\displaystyle \lambda _{i}}$⁠ غير صفري.
• إذا​${\displaystyle A}$إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس، فإن القيم الذاتية لـ${\displaystyle A^{-1}}$هي​${\textstyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\lambda _{n}}}}$ولكل زوج من القيم الذاتية المتناظرة، التعددات الهندسية ⁠${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda _{i})}$و​${\textstyle \gamma _{A^{-1}}({1 \over \lambda _{i}})}$تتطابق. علاوة على ذلك، بما أن متعددة الحدود المميزة للمعكوس هي مقلوب متعددة الحدود الأصلية حتى عامل قياسي، فإنه لكل زوج من القيم الذاتية المتناظرة، تكون التعددية الجبرية${\displaystyle \mu _{A}(\lambda _{i})}$و​${\textstyle \mu _{A^{-1}}({1 \over \lambda _{i}})}$يتزامن.
• إذا​${\displaystyle A}$يساوي منقوله المرافق​${\displaystyle A^{*}}$أي ،​${\displaystyle A}$إذا كانت المصفوفة هيرميتية ، فإن كل قيمة ذاتية${\displaystyle \lambda _{i}}$حقيقي . وينطبق الشيء نفسه على أي مصفوفة حقيقية متناظرة .
• إذا​${\displaystyle A}$إذا لم تكن المصفوفة هيرميتية فحسب، بل موجبة التحديد ، أو موجبة شبه التحديد، أو سالبة التحديد، أو سالبة شبه التحديد، فإن كل قيمة ذاتية${\displaystyle \lambda _{i}}$⁠ موجب، أو غير سالب، أو سالب، أو غير موجب، على التوالي.
• إذا​${\displaystyle A}$إذا كانت المصفوفة وحدوية ، فإن كل قيمة ذاتية${\displaystyle \lambda _{i}}$له قيمة مطلقة${\displaystyle \vert \lambda _{i}\vert =1}$⁠ .

تُمثل العديد من التخصصات المتجهات تقليديًا كمصفوفات ذات عمود واحد بدلاً من مصفوفات ذات صف واحد. ولهذا السبب، فإن مصطلح "المتجه الذاتي" في سياق المصفوفات يشير دائمًا تقريبًا إلى " المتجه الذاتي الأيمن "، أي متجه العمود الذي يُضرب من اليمين في المصفوفة A من الرتبة n × n في المعادلة التعريفية، المعادلة ( 1 ). $${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .}$$ يمكن أيضًا تعريف مسألة القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمتجهات الصفوف التي تضرب المصفوفة A من اليسار . في هذه الصيغة، تكون المعادلة المحددة هي $${\displaystyle \mathbf {u} A=\kappa \mathbf {u} ,}$$ حيث κ كمية قياسية و u مصفوفة من الرتبة 1 × n . يُطلق على أي متجه صف u يحقق هذه المعادلة اسم " المتجه الذاتي الأيسر " للمصفوفة A ، ويُطلق على κ اسم القيمة الذاتية المرتبطة به. بأخذ منقولة هذه المعادلة، $${\displaystyle A^{\mathsf {T}}\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}=\kappa \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}.}$$

بمقارنة هذه المعادلة بالمعادلة ( 1 )، يتبين مباشرة أن المتجه الذاتي الأيسر لـ${\displaystyle A}$⁠ هو نفسه منقول متجه ذاتي أيمن لـ ⁠${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$، بنفس القيمة الذاتية. علاوة على ذلك، بما أن متعددة الحدود المميزة لـ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$⁠ هو نفسه متعدد الحدود المميز لـ ⁠${\displaystyle A}$، المتجهات الذاتية اليسرى واليمنى لـ${\displaystyle A}$ترتبط بنفس القيم الذاتية.

للمصفوفة نفس القيم الذاتية لمصفوفة النقل، كما يمكن ملاحظة ذلك مباشرة كما يلي. افترض ⁠${\displaystyle \lambda }$⁠ هي قيمة ذاتية لـ ⁠${\displaystyle n\times n}$مصفوفة​​${\displaystyle A}$مع متجه ذاتي${\displaystyle x}$ثم​​${\displaystyle Ax=\lambda x}$; أو بعبارة أخرى، ⁠${\displaystyle (A-\lambda I)x=0}$⁠ .

وبالتالي، فإن أعمدة ⁠${\displaystyle (A-\lambda I)}$⁠ مرتبطة خطيًا. أو بعبارة أخرى، رتبة المصفوفة أقل من ⁠${\displaystyle n}$⁠ .

لكن بما أن رتبة العمود تساوي رتبة الصف، فإن الصفوف مرتبطة خطيًا أيضًا. ومن ثم، هناك أعداد${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}}$، وليس كلها أصفارًا، بحيث${\textstyle \sum _{i=1}^{i=n}y_{i}R_{i}=0,}$حيث​${\displaystyle R_{i}}$' s هي صفوف '${\displaystyle (A-\lambda I)}$. ليكن متجه الصف ⁠${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$ثم​​${\displaystyle y\,(A-\lambda I)=0}$. بأخذ المنقول ،${\displaystyle (A^{\mathsf {T}}-\lambda I)\,y^{\mathsf {T}}=0}$علاوة على ذلك ،${\displaystyle y^{\mathsf {T}}}$ليس المتجه الصفري؛ لذا${\displaystyle \lambda }$⁠ هي أيضًا قيمة ذاتية لـ ⁠${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$⁠ .

علاوة على ذلك، تُظهر هذه الحجة أن القيم الذاتية لـ${\displaystyle A}$و${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$لها نفس التعدد الهندسي (لأن فراغ العمود = فراغ الصف).

لنفترض أن المتجهات الذاتية للمصفوفة A تشكل أساسًا لـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$أو بصورة مكافئة ، تمتلكالمصفوفة A _عدد n _من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا v₁ _, v₂ _, ..., vₙ (مع القيم الذاتية المرتبطة بها λ₁ , λ₂ _, ..., λₙ ₎ . لا يشترط أن تكون المتجهات الذاتية متعامدة، ولا يشترط أن تكون القيم الذاتية مختلفة. عرّف المصفوفة المربعة Q التي أعمدتها هيالمتجهات الذاتية المستقلة خطيًا للمصفوفة A.$${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.}$$ بما أن كل عمود من Q هو متجه ذاتي لـ A ، فإن ضرب A من اليمين في Q يؤدي إلى تغيير مقياس كل عمود من Q بقيمته الذاتية المرتبطة به: $${\displaystyle AQ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}&\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.}$$

مع وضع ذلك في الاعتبار، عرّف المصفوفة القطرية Λ حيث يمثل كل عنصر قطري Λ _ii القيمة الذاتية المرتبطة بالعمود i من Q. ثم $${\displaystyle AQ=Q\varLambda .}$$ بما أن أعمدة المصفوفة Q مستقلة خطيًا، فإن Q قابلة للعكس. بضرب طرفي المعادلة من اليمين في Q ⁻¹ ، $${\displaystyle A=Q\varLambda Q^{-1};}$$ أو بدلاً من ذلك، نضرب كلا الطرفين في Q ⁻¹ ، $${\displaystyle Q^{-1}AQ=\varLambda .}$$يمكن بالتالي تحليل المصفوفة A إلى مصفوفة تتألف من متجهاتها الذاتية، ومصفوفة قطرية تحتوي على قيمها الذاتية على طول القطر، ومعكوس مصفوفة المتجهات الذاتية. يُسمى هذا التحليل بالتحليل الذاتي ، وهو تحويل تشابهي . يُقال إن هذه المصفوفة A مشابهة للمصفوفة القطرية Λ ، أو قابلة للتقطير . المصفوفة Q هي مصفوفة تغيير الأساس للتحويل التشابهي. في جوهرها، تُمثل المصفوفتان A و Λ نفس التحويل الخطي مُعبرًا عنه بأساسين مختلفين. تُستخدم المتجهات الذاتية كأساس عند تمثيل التحويل الخطي بـ Λ .

على النقيض، لنفترض أن المصفوفة A قابلة للتقطير. ولتكن P مصفوفة مربعة غير منفردة بحيث تكون P⁻¹AP مصفوفة قطرية D. بضرب كلتيهما في P من اليسار ، نحصل على AP = PD . بالتالي ^، يجب أن يكون كل عمود من P متجهًا ذاتيًا للمصفوفة A، وقيمته الذاتية هي العنصر القطري المقابل في D. ولأن أعمدة P يجب أن تكون مستقلة خطيًا لكي تكون P قابلة للعكس ، فإنه يوجد n متجهًا ذاتيًا مستقلًا خطيًا للمصفوفة A.

وختاماً، المتجهات الذاتية لـ${\displaystyle A}$تشكل أساسًا لـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle A}$قابل للقطر .

تُسمى المصفوفة التي لا يمكن تحويلها إلى مصفوفة قطرية مصفوفة معيبة . بالنسبة للمصفوفات المعيبة، يُعمم مفهوم المتجهات الذاتية إلى المتجهات الذاتية المعممة ، وتُعمم مصفوفة القيم الذاتية القطرية إلى الشكل الطبيعي لجوردان . على حقل مغلق جبريًا، تمتلك أي مصفوفة A شكلًا طبيعيًا لجوردان، وبالتالي تقبل أساسًا من المتجهات الذاتية المعممة وتفكيكًا إلى فضاءات ذاتية معممة .

في حالة المصفوفة الهرميتية ، يمكن إعطاء القيم الذاتية توصيفًا تباينيًا. أكبر قيمة ذاتية للمصفوفة الهرميتية هي القيمة القصوى للصيغة التربيعية x ^T H x / x ^T x . قيمة x التي تحقق هذه القيمة القصوى هي متجه ذاتي.

بالنسبة للمصفوفة الهرميتية A ، يمكن حساب مربع معيار المكون α للمتجه الذاتي المعياري باستخدام القيم الذاتية للمصفوفة والقيم الذاتية للمصفوفة الصغرى المقابلة فقط . $${\displaystyle |v_{i\alpha }|^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A_{\alpha }))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A))}}},}$$ أين​${\displaystyle A_{\alpha }}$هي المصفوفة الفرعية المتكونة من حذفالصف والعمود α من المصفوفة الأصلية. ^{[ 33 ] [ 34 ]} تمتد هذه المتطابقة أيضًا إلى المصفوفات القابلة للتقطير . وقد تم اكتشافها في ^{[ 35 ]} وأعيد اكتشافها عدة مرات في الأدبيات (انظر، على سبيل المثال، ^{[ 34 ] [ 36 ]} ).

ضع في اعتبارك عامل الاشتقاق${\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}}$معادلة القيم الذاتية $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).}$$ يمكن حل هذه المعادلة التفاضلية بضرب طرفيها في dt / f ( t ) والتكامل . وحلها هو الدالة الأسية$${\displaystyle f(t)=f(0)e^{\lambda t},}$$ هي الدالة الذاتية لمؤثر الاشتقاق. في هذه الحالة، تكون الدالة الذاتية نفسها دالة لقيمتها الذاتية المرتبطة بها. على وجه الخصوص، عندما λ = 0، تكون الدالة الذاتية f ( t ) ثابتة.

بفرض قيمة ذاتية λ ، ضع في اعتبارك المجموعة $${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} \right\},}$$ وهو اتحاد المتجه الصفري مع مجموعة جميع المتجهات الذاتية المرتبطة بـ λ . يُطلق على E اسم " الفضاء الذاتي " أو " الفضاء المميز " لـ T المرتبط بـ λ . ^{[ 39 ]} وهو نواة التحويل الخطي T − λI .  

بحسب تعريف التحويل الخطي، $${\displaystyle {\begin{align}T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )&=T(\mathbf {x} )+T(\mathbf {y} ),\\T(\alpha \mathbf {x} )&=\alpha T(\mathbf {x} ),\end{محاذاة}}}$$ لـ x و y ∈ V و α ∈ K. بالتالي، إذا كان u و v متجهين ذاتيين لـ T مرتبطين بالقيمة الذاتية λ ، أي u و v ∈ E ، فإن $${\displaystyle {\begin{align}T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )&=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} ),\\T(\alpha \mathbf {v} )&=\lambda (\alpha \mathbf {v} ).\end{محاذاة}}}$$ إذن، كل من u + v و α v إما أن يكونا صفرًا أو متجهين ذاتيين للمصفوفة T المرتبطة بـ λ ، أي u + v و α v ∈ E ، و E فضاء مغلق تحت عمليتي الجمع والضرب القياسي. وبالتالي، فإن الفضاء الذاتي E المرتبط بـ λ هو فضاء جزئي خطي من V. ^{[ 40 ]} إذا كان لهذا الفضاء الجزئي بُعد 1، يُطلق عليه أحيانًا اسم " خط ذاتي ". ^{[ 41 ]}

إنّ " التعدد الهندسي " γ _T ( λ ) للقيمة الذاتية λ هو بُعد الفضاء الذاتي المرتبط بـ λ ، أي أكبر عدد من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا المرتبطة بتلك القيمة الذاتية. ^{[ 42 ]} وبحسب تعريف القيم الذاتية والمتجهات الذاتية، فإنّ γ _T ( λ ) ≥ 1 لأنّ لكل قيمة ذاتية متجهًا ذاتيًا واحدًا على الأقل.

تشكل الفضاءات الذاتية للدالة T دائمًا مجموعًا مباشرًا . ونتيجةً لذلك، تكون المتجهات الذاتية ذات القيم الذاتية المختلفة مستقلة خطيًا دائمًا. لذا، لا يمكن أن يتجاوز مجموع أبعاد الفضاءات الذاتية البعد n للفضاء المتجهي الذي تعمل عليه الدالة T ، ولا يمكن أن يكون هناك أكثر من n قيمة ذاتية مميزة. ^{[ د ]}

أي فضاء جزئي مُوَلَّد بواسطة المتجهات الذاتية لـ T هو فضاء جزئي ثابت من T ، وتقييد T على هذا الفضاء الجزئي قابل للتقطير. علاوة على ذلك، إذا كان بالإمكان توليد الفضاء المتجهي V بالكامل بواسطة المتجهات الذاتية لـ T ، أو بصورة مكافئة، إذا كان المجموع المباشر للفضاءات الذاتية المرتبطة بجميع القيم الذاتية لـ T هو الفضاء المتجهي V بالكامل ، فإنه يمكن تكوين أساس لـ V يُسمى " الأساس الذاتي " من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا لـ T. عندما يكون لـ T أساس ذاتي، يكون T قابلًا للتقطير.

إذا كانت λ قيمة ذاتية للمؤثر T ، فإن المؤثر ( T − λI ) ليس أحاديًا ، وبالتالي فإن معكوسه ( T − λI ) ⁻¹ غير موجود. ويصح العكس في الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة، ولكنه لا يصح في الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد غير المحدودة. وبشكل عام، قد لا يكون للمؤثر ( T − λI ) معكوس حتى لو لم تكن λ قيمة ذاتية.

لهذا السبب، في التحليل الوظيفي ، يمكن تعميم القيم الذاتية لتشمل طيف المؤثر الخطي T باعتباره مجموعة جميع القيم العددية λ التي لا يمتلك المؤثر ( T - λI ) معكوسًا محدودًا لها. يحتوي طيف المؤثر دائمًا على جميع قيمه الذاتية، ولكنه لا يقتصر عليها.

يمكن تعميم الكائن الجبري الذي يؤثر على الفضاء المتجهي، وذلك باستبدال مؤثر واحد يؤثر على الفضاء المتجهي بتمثيل جبري - جبر ترابطي يؤثر على وحدة نمطية . ودراسة هذه التأثيرات هي مجال نظرية التمثيل . 

إن المفهوم النظري للتمثيل للوزن هو نظير للقيم الذاتية، في حين أن متجهات الوزن وفضاءات الوزن هي نظائر للمتجهات الذاتية والفضاءات الذاتية، على التوالي.

Hecke eigensheaf هو مضاعف موتر لنفسه ويتم اعتباره في مراسلة لانجلاندز .

تتمثل الطريقة التقليدية في إيجاد القيم الذاتية أولاً، ثم حساب المتجهات الذاتية لكل قيمة ذاتية. وهي غير مناسبة من نواحٍ عديدة للعمليات الحسابية غير الدقيقة، مثل العمليات الحسابية ذات الفاصلة العائمة .

يُعدّ النهج المعاكس، المتمثل في البحث أولًا عن المتجهات الذاتية ثم تحديد كل قيمة ذاتية من متجهها الذاتي، أكثر ملاءمةً للحواسيب. وتتلخص أبسط خوارزمية هنا في اختيار متجه ابتدائي عشوائي ثم ضربه بشكل متكرر بالمصفوفة (مع إمكانية تطبيع المتجه للحفاظ على عناصره ذات حجم معقول)؛ مما يؤدي إلى تقارب المتجه نحو متجه ذاتي. ويتمثل أحد الاختلافات في ضرب المتجه في ( A − μI ) ^{− 1} ؛ مما يؤدي إلى تقاربه نحو متجه ذاتي للقيمة الذاتية الأقرب إلى${\displaystyle \mu \in \mathbb {C} }$.

إذا كان v متجهًا ذاتيًا للمصفوفة A (تقريبًا جيدًا له) ، فيمكن حساب القيمة الذاتية المقابلة له على النحو التالي: $${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} }{\mathbf {v} ^{*}\mathbf {v} }}}$$ حيث يرمز v ^∗ إلى منقولة v المرافقة .

لم تكن الطرق الفعالة والدقيقة لحساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفات العشوائية معروفة حتى تم تصميم خوارزمية QR في عام 1961. ^{[ 43 ]} يؤدي الجمع بين تحويل هاوسهولدر وتحليل LU إلى خوارزمية ذات تقارب أفضل من خوارزمية QR. بالنسبة للمصفوفات المتفرقة الهرميتية الكبيرة ، تُعد خوارزمية لانكزوس مثالًا على طريقة تكرارية فعالة لحساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية، من بين العديد من الاحتمالات الأخرى. ^{[ 43 ]}

معظم الطرق العددية التي تحسب القيم الذاتية للمصفوفة تحدد أيضًا مجموعة من المتجهات الذاتية المقابلة كمنتج ثانوي للحساب، على الرغم من أن المنفذين يختارون أحيانًا التخلص من معلومات المتجهات الذاتية بمجرد عدم الحاجة إليها.

تُعدّ المتجهات الذاتية والقيم الذاتية مفيدةً لفهم التحويلات الخطية للأشكال الهندسية. يعرض الجدول التالي بعض الأمثلة على التحويلات في المستوى، بالإضافة إلى مصفوفاتها من الرتبة 2×2 ، وقيمها الذاتية، ومتجهاتها الذاتية.

القيم الذاتية للتحويلات الهندسية

	التوسع	التفاوت في الحجم	تناوب	القص الأفقي	الدوران الزائدي
توضيح
المصفوفة	${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}k_{1}&0\\0&k_{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi \\\sinh \varphi &\cosh \varphi \end{bmatrix}}}$
متعددة الحدود المميزة	${\displaystyle \ (\lambda -k)^{2}}$	${\displaystyle (\lambda -k_{1})(\lambda -k_{2})}$	${\displaystyle \lambda ^{2}-2\cos(\theta )\lambda +1}$	${\displaystyle \ (\lambda -1)^{2}}$	${\displaystyle \lambda ^{2}-2\cosh(\varphi )\lambda +1}$
القيم الذاتية،${\displaystyle \lambda _{i}}$	${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=k}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=k_{1}\\\lambda _{2}&=k_{2}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{i\theta }\\&=\cos \theta +i\sin \theta \\\lambda _{2}&=e^{-i\theta }\\&=\cos \theta -i\sin \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=1}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{\varphi }\\&=\cosh \varphi +\sinh \varphi \\\lambda _{2}&=e^{-\varphi }\\&=\cosh \varphi -\sinh \varphi \end{aligned}}}$
الضرب الجبري ،${\displaystyle \mu _{i}=\mu (\lambda _{i})}$	${\displaystyle \mu _{1}=2}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mu _{1}=2}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}}$
الضرب الهندسي ،${\displaystyle \gamma _{i}=\gamma (\lambda _{i})}$	${\displaystyle \gamma _{1}=2}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}}$	${\displaystyle \gamma _{1}=1}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}}$
المتجهات الذاتية	جميع المتجهات غير الصفرية	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}1\\+i\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$