نظرية الفوضى

تعني الحساسية للشروط الابتدائية أن كل نقطة في نظام فوضوي تُقارب بشكل دقيق للغاية نقاطًا أخرى لها مسارات مستقبلية مختلفة بشكل ملحوظ. وبالتالي، فإن أي تغيير أو اضطراب طفيف في المسار الحالي قد يؤدي إلى سلوك مستقبلي مختلف بشكل ملحوظ. ^{[ 2 ]}

تُعرف الحساسية للظروف الأولية باسم " تأثير الفراشة "، نسبةً إلى عنوان ورقة بحثية قدمها إدوارد لورنز عام 1972 للجمعية الأمريكية لتقدم العلوم في واشنطن العاصمة، بعنوان: "إمكانية التنبؤ: هل رفرفة جناح فراشة في البرازيل تُسبب إعصارًا في تكساس؟" . ^{[ 28 ]} يُمثل رفرفة الجناح تغييرًا طفيفًا في الحالة الأولية للنظام، مما يُسبب سلسلة من الأحداث التي تُعيق إمكانية التنبؤ بالظواهر واسعة النطاق. فلو لم تُرفرف الفراشة بجناحيها، لكان مسار النظام ككل مختلفًا تمامًا.

كما ورد في كتاب لورنز بعنوان "جوهر الفوضى "، المنشور عام ١٩٩٣، ^{[ ٥ ] : ٨} ، "يمكن اعتبار الاعتماد الحساس تعريفًا مقبولًا للفوضى". وفي الكتاب نفسه، عرّف لورنز تأثير الفراشة بأنه: "ظاهرة تؤدي فيها تغييرات طفيفة في حالة نظام ديناميكي إلى اختلاف الحالات اللاحقة اختلافًا كبيرًا عن الحالات التي كانت ستليها لولا هذا التغيير". ^{[ ٥ ] : ٢٣.} يتوافق التعريف أعلاه مع الاعتماد الحساس للحلول على الشروط الابتدائية (SDIC). وقد طُوّر نموذج تزلج مثالي لتوضيح حساسية المسارات المتغيرة مع الزمن للمواقع الابتدائية. ^{[ ٥ ] : ١٨٩-٢٠٤.} ويمكن تحديد أفق التنبؤ قبل ظهور الاعتماد الحساس للحلول على الشروط الابتدائية (أي قبل حدوث تباعد كبير بين المسارات الابتدائية المتقاربة). ^{[ ٢٩ ]}

من نتائج حساسية النظام للظروف الأولية أنه إذا بدأنا بكمية محدودة من المعلومات عنه (كما هو الحال عادةً في الواقع)، فإنه بعد فترة زمنية معينة، يصبح النظام غير قابل للتنبؤ. ويتجلى هذا بوضوح في حالة الطقس، الذي لا يمكن التنبؤ به عمومًا إلا لأسبوع تقريبًا. ^{[ 30 ]} لا يعني هذا استحالة التنبؤ بأي أحداث في المستقبل البعيد، بل يعني فقط وجود بعض القيود على النظام. على سبيل المثال، نعلم أن درجة حرارة سطح الأرض لن تصل بشكل طبيعي إلى 100 درجة مئوية (212 درجة فهرنهايت) أو تنخفض إلى ما دون -130 درجة مئوية (-202 درجة فهرنهايت) (خلال العصر الجيولوجي الحالي )، ولكن لا يمكننا التنبؤ بدقة باليوم الذي سيشهد أعلى درجة حرارة في السنة.    

بصورة رياضية أدق، يقيس مُعامل ليابونوف الحساسية للشروط الابتدائية، وذلك في صورة معدل التباعد الأسي عن الشروط الابتدائية المضطربة. ^{[ 31 ]} وبشكل أكثر تحديدًا، عند وجود مسارين ابتدائيين في فضاء الطور متقاربين بشكل متناهي الصغر، مع وجود فاصل ابتدائي بينهما${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$، ينتهي المساران بالتباعد بمعدل يُعطى بواسطة

${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,}$

أين${\displaystyle t}$هو الوقت و${\displaystyle \lambda }$يمثل ε أس ليابونوف. يعتمد معدل الفصل على اتجاه متجه الفصل الأولي، لذا يمكن أن يوجد طيف كامل من أسس ليابونوف. يساوي عدد أسس ليابونوف عدد أبعاد فضاء الطور، مع أنه من الشائع الإشارة إلى أكبرها. على سبيل المثال، يُستخدم أس ليابونوف الأقصى (MLE) في أغلب الأحيان، لأنه يحدد إمكانية التنبؤ الكلية للنظام. يُعتبر أس ليابونوف الأقصى الموجب، مقترنًا بمحدودية الحل، مؤشرًا على أن النظام فوضوي. ^{[ 8 ]}

إضافةً إلى الخاصية المذكورة أعلاه، توجد خصائص أخرى تتعلق بحساسية الشروط الابتدائية. وتشمل هذه الخصائص، على سبيل المثال، الخلط النظري القياسي (كما نوقش في نظرية الإرجودية ) وخصائص نظام K. ^{[ 11 ]}

قد يحتوي النظام الفوضوي على سلاسل من قيم المتغير المتطور تتكرر بدقة، مما يُعطي سلوكًا دوريًا بدءًا من أي نقطة في تلك السلسلة. مع ذلك، فإن هذه السلاسل الدورية تنافرية وليست جاذبة، بمعنى أنه إذا كان المتغير المتطور خارج السلسلة، مهما كان قريبًا منها، فلن يدخلها، بل سينحرف عنها. لذا، بالنسبة لجميع الشروط الابتدائية تقريبًا، يتطور المتغير بشكل فوضوي بسلوك غير دوري.

يعني الخلط الطوبولوجي (أو الشرط الأضعف للتعدي الطوبولوجي) أن النظام يتطور بمرور الوقت بحيث تتداخل أي منطقة أو مجموعة مفتوحة معينة من فضاء الطور الخاص به في النهاية مع أي منطقة أخرى معينة. يتوافق هذا المفهوم الرياضي لـ "الخلط" مع الحدس المتعارف عليه، ويُعد خلط الأصباغ الملونة أو السوائل مثالاً على نظام فوضوي.

غالبًا ما يُغفل مفهوم المزج الطوبولوجي في التفسيرات الشائعة للفوضى، والتي تُساوي بين الفوضى والحساسية للشروط الابتدائية فقط. مع ذلك، فإن الحساسية للشروط الابتدائية وحدها لا تُؤدي إلى الفوضى. على سبيل المثال، لنأخذ النظام الديناميكي البسيط الناتج عن مضاعفة قيمة ابتدائية بشكل متكرر. يتميز هذا النظام بحساسية عالية للشروط الابتدائية في كل مكان، حيث أن أي زوج من النقاط المتقاربة يتباعدان في النهاية. ومع ذلك، لا يحتوي هذا المثال على مزج طوبولوجي، وبالتالي لا يُظهر فوضى. في الواقع، يتميز بسلوك بسيط للغاية: جميع النقاط باستثناء الصفر تميل إلى اللانهاية الموجبة أو السالبة.

خريطة${\displaystyle f:X\to X}$يُقال إن المجموعة متعدية طوبولوجيًا إذا كان لأي زوج من المجموعات المفتوحة غير الفارغة${\displaystyle U,V\subset X}$، يوجد${\displaystyle k>0}$بحيث${\displaystyle f^{k}(U)\cap V\neq \emptyset }$التعدي الطوبولوجي هو شكل أضعف من المزج الطوبولوجي . وبشكل بديهي، إذا كانت دالة ما متعدية طوبولوجيًا، فإنه عند وجود نقطة x ومنطقة V ، توجد نقطة y قريبة من x يمر مسارها عبر V. وهذا يعني أنه من المستحيل تقسيم النظام إلى مجموعتين مفتوحتين. ^{[ 32 ]}

من النظريات المهمة ذات الصلة نظرية بيركوف للتعدي. من السهل ملاحظة أن وجود مدار كثيف يستلزم التعدي الطوبولوجي. تنص نظرية بيركوف للتعدي على أنه إذا كان X فضاءً متريًا ثانيًا قابلًا للعد وكاملًا ، فإن التعدي الطوبولوجي يستلزم وجود مجموعة كثيفة من النقاط في X ذات مدارات كثيفة. ^{[ 33 ]}

يعني امتلاك نظام فوضوي مدارات دورية كثيفة أن كل نقطة في الفضاء تقترب منها مدارات دورية بشكل دقيق للغاية. ^{[ 32 ]} تُعدّ الخريطة اللوجستية أحادية البعد، المُعرّفة بالمعادلة x → 4x ( 1 – x ) ، من أبسط الأنظمة ذات كثافة المدارات الدورية. على سبيل المثال،${\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$ →${\displaystyle {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}$ →${\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$(أو ما يقارب 0.3454915  → 0.9045085  → 0.3454915) هو مدار (غير مستقر) ذو دورة 2، وتوجد مدارات مماثلة لدورات 4 و8 و16، إلخ. (في الواقع، لجميع الدورات المحددة في نظرية شاركوفسكي ). ^{[ 34 ]}

تُعد نظرية شاركوفسكي أساس برهان لي ويورك ^{[ 35 ]} (1975) على أن أي نظام أحادي البعد مستمر يُظهر دورة منتظمة من الفترة ثلاثة سيُظهر أيضًا دورات منتظمة من كل طول آخر، بالإضافة إلى مدارات فوضوية تمامًا.

بعض الأنظمة الديناميكية، مثل الخريطة اللوجستية أحادية البعد المعرفة بالمعادلة x → 4x (1 – x )، تتسم بالفوضى في كل مكان، ولكن في كثير من الحالات لا يُلاحظ السلوك الفوضوي إلا في مجموعة فرعية من فضاء الطور. وتبرز الحالات الأكثر أهمية عندما يحدث السلوك الفوضوي على جاذب ، حيث تؤدي مجموعة كبيرة من الشروط الابتدائية حينها إلى مدارات تتقارب نحو هذه المنطقة الفوضوية. ^{[ 36 ]}

إحدى الطرق السهلة لتصوّر جاذب فوضوي هي البدء بنقطة في حوض جذب الجاذب، ثم رسم مسارها اللاحق. وبسبب شرط التعدي الطوبولوجي، من المرجح أن ينتج عن ذلك صورة للجاذب النهائي بأكمله، وبالفعل، يُظهر كلا المسارين الموضحين في الشكل على اليمين صورة للشكل العام لجاذب لورنز.

على عكس الجاذبات ذات النقاط الثابتة والدورات الحدية ، تتميز الجاذبات الناشئة عن الأنظمة الفوضوية، والمعروفة بالجاذبات الغريبة ، بتفاصيلها وتعقيدها الكبيرين. تظهر الجاذبات الغريبة في كل من الأنظمة الديناميكية المستمرة (مثل نظام لورنز) وفي بعض الأنظمة المنفصلة (مثل خريطة هينون ). تمتلك أنظمة ديناميكية منفصلة أخرى بنية تنافرية تُسمى مجموعة جوليا ، والتي تتشكل عند الحدود بين أحواض جذب النقاط الثابتة. يمكن اعتبار مجموعات جوليا بمثابة طاردات غريبة. عادةً ما تمتلك كل من الجاذبات الغريبة ومجموعات جوليا بنية كسورية ، ويمكن حساب البعد الكسوري لها.

على النقيض من الحلول الفوضوية أحادية النوع، أكدت الدراسات التي تستخدم نماذج لورنز ^{[ 40 ] [ 41 ]} على أهمية مراعاة أنواع الحلول المختلفة. فعلى سبيل المثال، قد يظهر كل من الحلول الفوضوية وغير الفوضوية متعايشة ضمن النموذج نفسه (مثل نظام البندول المزدوج) باستخدام نفس تكوينات النمذجة ولكن بشروط ابتدائية مختلفة. وقد أشارت نتائج تعايش الجاذبات، المستمدة من نماذج لورنز الكلاسيكية والمعممة ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]} ، إلى وجهة نظر منقحة مفادها أن "الطقس برمته يمتلك طبيعة مزدوجة من الفوضى والنظام مع إمكانية تنبؤ متميزة"، وذلك على عكس النظرة التقليدية القائلة بأن "الطقس فوضوي بطبيعته".

يمكن للأنظمة الفوضوية المنفصلة، ​​مثل الخريطة اللوجستية ، أن تُظهر جاذبات غريبة بغض النظر عن أبعادها . في المقابل، بالنسبة للأنظمة الديناميكية المستمرة ، تُبين نظرية بوانكاريه-بنديكسون أن الجاذب الغريب لا يمكن أن يظهر إلا في ثلاثة أبعاد أو أكثر. الأنظمة الخطية ذات الأبعاد المحدودة لا تكون فوضوية أبدًا؛ ولكي يُظهر نظام ديناميكي سلوكًا فوضويًا، يجب أن يكون إما غير خطي أو لانهائي الأبعاد.

تنص نظرية بوانكاريه -بنديكسون على أن المعادلة التفاضلية ثنائية الأبعاد تتميز بسلوك منتظم للغاية. يتم توليد جاذب لورنز المذكور أدناه بواسطة نظام من ثلاث معادلات تفاضلية كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$، و${\displaystyle z}$تكوين حالة النظام ،${\displaystyle t}$الوقت، و${\displaystyle \sigma }$،${\displaystyle \rho }$،${\displaystyle \beta }$تمثل هذه المعاملات النظام . خمسة من الحدود في الطرف الأيمن خطية، بينما اثنان تربيعيان؛ أي سبعة حدود إجمالاً. ومن بين الجاذبات الفوضوية المعروفة الأخرى، تلك الناتجة عن معادلات روسلر ، التي تحتوي على حد غير خطي واحد فقط من أصل سبعة. وقد وجد سبورت ^{[ 42 ]} نظامًا ثلاثي الأبعاد بخمسة حدود فقط، يحتوي على حد غير خطي واحد فقط، ويُظهر فوضى عند قيم معينة للمعاملات. وأظهر تشانغ وهيدل ^{[ 43 ] [ 44 ]} أنه، على الأقل بالنسبة للأنظمة التربيعية المبددة والمحافظة، لا يمكن للأنظمة التربيعية ثلاثية الأبعاد التي تحتوي على ثلاثة أو أربعة حدود فقط في الطرف الأيمن أن تُظهر سلوكًا فوضويًا. والسبب ببساطة هو أن حلول هذه الأنظمة تقترب من سطح ثنائي الأبعاد، وبالتالي تكون الحلول منتظمة.

بينما تُظهر نظرية بوانكاريه-بنديكسون أن النظام الديناميكي المستمر على المستوى الإقليدي لا يمكن أن يكون فوضويًا، إلا أن الأنظمة المستمرة ثنائية الأبعاد ذات الهندسة غير الإقليدية يمكن أن تُظهر بعض الخصائص الفوضوية. ^{[ 45 ]}

تُعرف مجموعة المعادلات التفاضلية العادية الثلاث المذكورة أعلاه بنموذج لورنز ثلاثي الأبعاد. ^{[ 46 ]} ومنذ عام 1963، تم تطوير نماذج لورنز ذات الأبعاد الأعلى في العديد من الدراسات ^{[ 47 ] [ 48 ] [ 37 ] [ 38 ]} لدراسة تأثير زيادة درجة اللاخطية، بالإضافة إلى تأثيرها الجماعي مع التسخين والتبديد، على استقرار الحل.

لعلّ من المفاجئ أن الفوضى قد تحدث أيضاً في الأنظمة الخطية، شريطة أن تكون ذات أبعاد لا نهائية. ^{[ 49 ]} ويجري تطوير نظرية للفوضى الخطية في التحليل الوظيفي . ^{[ 50 ]}

تُعتبر ميكانيكا الكم أيضاً مثالاً رئيسياً على النظرية الخطية غير الفوضوية، التي تُخمد السلوك الفوضوي بنفس الطريقة التي تُخمد بها اللزوجة الاضطراب ، إلا أن هذا ليس هو الحال في أنظمة ميكانيكا الكم ذات درجات الحرية اللانهائية، مثل الأنظمة المترابطة بقوة والتي تُظهر أشكالاً من الاضطراب على المستوى النانوي . ^{[ 51 ] [ 52 ]}

يعتمد التعميم المباشر للخرائط المنفصلة المقترنة ^{[ 53 ] على التكامل التلفيفي الذي يتوسط التفاعل بين الخرائط الموزعة مكانيًا:}${\displaystyle \psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}}$،

حيث النواة${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)}$^{[ 54 ]}​

${\displaystyle f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]}$قد يكون الأمر مشابهاً للخريطة اللوجستية${\displaystyle \psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]}$أو خريطة معقدة . للاطلاع على أمثلة للخرائط المعقدة، انظر مجموعة جوليا${\displaystyle f[\psi ]=\psi ^{2}}$أو خريطة إيكيدا${\displaystyle \psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}}$قد يكون مفيدًا. عند مواجهة مشاكل انتشار الموجات على مسافة${\displaystyle L=ct}$بطول موجي${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$تعتبر النواة${\displaystyle K}$قد يكون لها شكل دالة غرين لمعادلة شرودنغر :. ^{[ 55 ] [ 56 ]}

${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]}$.

في ظل الظروف المناسبة، يتطور الفوضى تلقائيًا إلى نمط متزامن. في نموذج كوراموتو ، تكفي أربعة شروط لإحداث التزامن في نظام فوضوي. تشمل الأمثلة التذبذب المقترن لبندولات كريستيان هيغنز ، واليراعات، والخلايا العصبية ، ورنين جسر الألفية في لندن ، ومصفوفات كبيرة من وصلات جوزيفسون . ^{[ 57 ]}

علاوة على ذلك، من وجهة نظر الفيزياء النظرية، تُعدّ الفوضى الديناميكية، في أعم تجلياتها، نظامًا تلقائيًا. ويكمن جوهر الأمر هنا في أن معظم الأنظمة في الطبيعة تنشأ من الانهيار التلقائي لتناظرات مختلفة. وتشمل هذه المجموعة الواسعة من الظواهر المرونة، والموصلية الفائقة، والمغناطيسية الحديدية، وغيرها الكثير. ووفقًا لنظرية التناظر الفائق للديناميكيات العشوائية ، فإن الفوضى، أو بتعبير أدق، تعميمها العشوائي، تُعدّ أيضًا جزءًا من هذه المجموعة. والتناظر المقابل الذي يتم كسره هو التناظر الفائق الطوبولوجي الكامن في جميع المعادلات التفاضلية (الجزئية) العشوائية ، ومعامل النظام المقابل هو تجسيد نظري للمجال لتأثير الفراشة. ^{[ 58 ]}

توجد أيضًا تعريفات للفوضى لا تشترط حساسيةً للشروط الابتدائية، مثل الفوضى التوافقية (أي تطبيق فعل توافقي منفصل بشكل متكرر). ^{[ 59 ]} وهذا يُشابه الفوضى الناتجة عن الأوتوماتا الخلوية . وهذا مهم لأنه بما أن هذا النوع من الفوضى قد يُكافئ آلة تورينج ، فمن الممكن تنفيذ عمليات حسابية باستخدام هذه الأنظمة الديناميكية، وهو ما يُفسر بديهيًا أن مشكلة التوقف غير قابلة للحل، مما يعني أن بعض الخوارزميات الحسابية قد لا تنتهي أبدًا. عادةً ما يكون عدم القدرة على التنبؤ في هذا النوع من الأنظمة ذا طبيعة مختلفة عن أنواع الفوضى الأخرى. ^{[ 60 ]}

استُخدمت نظرية الفوضى لسنوات عديدة في علم التشفير . ففي العقود القليلة الماضية، استُخدمت الفوضى والديناميكيات غير الخطية في تصميم مئات من الأدوات التشفيرية الأساسية . تشمل هذه الخوارزميات خوارزميات تشفير الصور ، ودوال التجزئة ، ومولدات الأرقام العشوائية الزائفة الآمنة ، وتشفير التدفق ، والعلامات المائية ، وإخفاء المعلومات . ^{[ 119 ]} تعتمد غالبية هذه الخوارزميات على الخرائط الفوضوية أحادية النمط، ويستخدم جزء كبير منها معلمات التحكم والشروط الأولية للخرائط الفوضوية كمفاتيح لها. ^{[ 120 ]} من منظور أوسع، ودون الإخلال بعمومية النتائج، يُعد التشابه بين الخرائط الفوضوية وأنظمة التشفير الدافع الرئيسي لتصميم خوارزميات التشفير القائمة على الفوضى. ^{[ 119 ]} يعتمد أحد أنواع التشفير، وهو المفتاح السري أو المفتاح المتناظر ، على الانتشار والتشويش ، وهما عمليتان تُحاكى جيدًا بنظرية الفوضى. ^{[ 121 ]}

يُعدّ علم الروبوتات مجالًا آخر استفاد مؤخرًا من نظرية الفوضى. فبدلًا من أن تعمل الروبوتات بطريقة تجريبية لتحسين تفاعلها مع بيئتها، استُخدمت نظرية الفوضى لبناء نموذج تنبؤي . ^{[ 122 ]} وقد أظهرت الروبوتات ثنائية الأرجل التي تمشي بشكل سلبي ديناميكيات فوضوية . ^{[ 123 ]}

لأكثر من مئة عام، دأب علماء الأحياء على تتبع أعداد أنواع مختلفة باستخدام نماذج سكانية . معظم هذه النماذج متصلة ، لكن تمكن العلماء مؤخرًا من تطبيق نماذج فوضوية على بعض التجمعات السكانية. ^{[ 124 ]} على سبيل المثال، أظهرت دراسة أجريت على نماذج الوشق الكندي وجود سلوك فوضوي في نمو التجمع السكاني. ^{[ 125 ]} يمكن أيضًا ملاحظة الفوضى في الأنظمة البيئية، مثل علم المياه . ورغم وجود بعض أوجه القصور في النموذج الفوضوي لعلم المياه، إلا أنه لا يزال هناك الكثير مما يمكن تعلمه من خلال النظر إلى البيانات من منظور نظرية الفوضى. ^{[ 126 ]} يُعد تخطيط قلب الجنين تطبيقًا بيولوجيًا آخر . فمراقبة الجنين عملية دقيقة تتطلب توازنًا بين الحصول على معلومات دقيقة وبأقل قدر ممكن من التدخل الجراحي. ويمكن الحصول على نماذج أفضل لعلامات التحذير من نقص الأكسجين لدى الجنين من خلال النمذجة الفوضوية. ^{[ 127 ]}

كما يشير بيري، فإن نمذجة السلاسل الزمنية الفوضوية في علم البيئة تستفيد من القيود. ^{[ 128 ] : 176، 177} دائمًا ما توجد صعوبة محتملة في التمييز بين الفوضى الحقيقية والفوضى الموجودة فقط في النموذج. ^{[ 128 ] : 176، 177} لذا، فإن كلًا من القيود في النموذج أو بيانات السلاسل الزمنية المكررة للمقارنة سيكون مفيدًا في تقييد النموذج ليكون أقرب إلى الواقع، على سبيل المثال بيري ووال 1984. ^{[ 128 ] : 176، 177} يُظهر التطور المشترك بين الجينات أحيانًا ديناميكيات فوضوية في ترددات الأليلات . ^{[ 129 ]} إضافة المتغيرات تُفاقم هذا: فالفوضى أكثر شيوعًا في النماذج التي تتضمن متغيرات إضافية لتعكس جوانب إضافية من التجمعات السكانية الحقيقية. ^{[ 129 ]} أجرى روبرت م. ماي نفسه بعضًا من هذه الدراسات التأسيسية للتطور المشترك للمحاصيل، وهذا بدوره ساعد في تشكيل المجال بأكمله. ^{[ 129 ]} حتى في بيئة مستقرة، فإن مجرد الجمع بين محصول واحد ومسبب مرض واحد قد يؤدي إلى تذبذبات شبه دورية أو فوضوية في أعداد مسببات الأمراض . ^{[ 130 ] : 169}

من الممكن تحسين النماذج الاقتصادية من خلال تطبيق نظرية الفوضى، إلا أن التنبؤ بصحة النظام الاقتصادي وتحديد العوامل الأكثر تأثيرًا فيه مهمة بالغة التعقيد. ^{[ 131 ]} تختلف الأنظمة الاقتصادية والمالية اختلافًا جوهريًا عن تلك الموجودة في العلوم الطبيعية الكلاسيكية، إذ تتسم الأولى بطبيعتها العشوائية، كونها نتاجًا لتفاعلات الأفراد، وبالتالي فمن غير المرجح أن تقدم النماذج الحتمية البحتة تمثيلات دقيقة للبيانات. وتُظهر الدراسات التجريبية التي تختبر الفوضى في الاقتصاد والتمويل نتائج متباينة للغاية، ويعود ذلك جزئيًا إلى الخلط بين الاختبارات الخاصة بالفوضى والاختبارات العامة للعلاقات غير الخطية. ^{[ 132 ]}

يمكن رصد الفوضى في الاقتصاد من خلال تحليل التكرار الكمي . في الواقع، تمكن أورلاندو وآخرون ^{[ 133 ]} ، باستخدام ما يُسمى بمؤشر ارتباط التكرار الكمي، من الكشف عن تغيرات خفية في السلاسل الزمنية. ثم استُخدمت التقنية نفسها للكشف عن التحولات من المراحل الصفائحية (المنتظمة) إلى المراحل المضطربة (الفوضوية)، بالإضافة إلى الفروقات بين متغيرات الاقتصاد الكلي، وتسليط الضوء على السمات الخفية للديناميكيات الاقتصادية. ^{[ 134 ]} وأخيرًا، يمكن لنظرية الفوضى أن تُسهم في نمذجة كيفية عمل الاقتصاد، وكذلك في تضمين الصدمات الناتجة عن أحداث خارجية مثل جائحة كوفيد-19. ^{[ 135 ]}

نظراً لاعتماد الحلول الحساس على الشروط الابتدائية (SDIC)، والمعروف أيضاً بتأثير الفراشة، فإن الأنظمة الفوضوية مثل نموذج لورنز لعام 1963 تشير إلى أفق تنبؤ محدود. وهذا يعني أنه بينما يمكن التنبؤ بدقة خلال فترة زمنية محدودة، فإن ذلك غير ممكن على مدى زمني غير محدود. وبالنظر إلى طبيعة حلول لورنز الفوضوية، استنتجت اللجنة التي ترأسها تشارني وآخرون في عام 1966 ^{[ 136 ]} زمن تضاعف يبلغ خمسة أيام من نموذج الدوران العام، مما يشير إلى حد تنبؤ يبلغ أسبوعين. وقد سُجِّل هذا الارتباط بين زمن التضاعف البالغ خمسة أيام وحد التنبؤ الذي يبلغ أسبوعين أيضاً في تقرير عام 1969 الصادر عن البرنامج العالمي لأبحاث الغلاف الجوي (GARP) ^{[ 137 ]} . ولإدراك التأثيرات المباشرة وغير المباشرة مجتمعة من نموذجي مينتز وأراكاوا ونماذج لورنز، فضلاً عن ريادة تشارني وآخرون، شين وآخرون. ^{[ 138 ]} يشير إلى حد التنبؤ لمدة أسبوعين باسم "فرضية حد التنبؤ"، ويجري مقارنة بقانون مور.

في نماذج اللغة الكبيرة المدعومة بالذكاء الاصطناعي، قد تُظهر الاستجابات حساسيةً لعوامل مثل التغييرات في التنسيق والاختلافات في المطالبات. تُشبه هذه الحساسية تأثير الفراشة. ^{[ 139 ]} على الرغم من أن تصنيف نماذج اللغة الكبيرة المدعومة بالذكاء الاصطناعي كنظم فوضوية حتمية كلاسيكية يطرح تحديات، إلا أنه يمكن استخدام مناهج وتقنيات مستوحاة من الفوضى (مثل نمذجة المجموعات) لاستخلاص معلومات موثوقة من هذه النماذج اللغوية الواسعة (انظر أيضًا " تأثير الفراشة في الثقافة الشعبية ").

في الكيمياء، يُعدّ التنبؤ بذوبان الغازات أمرًا بالغ الأهمية لتصنيع البوليمرات ، إلا أن النماذج التي تستخدم خوارزمية تحسين سرب الجسيمات (PSO) تميل إلى التقارب نحو نقاط خاطئة. وقد طُوّرت نسخة محسّنة من خوارزمية PSO بإدخال عنصر الفوضى، مما يمنع عمليات المحاكاة من التوقف. ^{[ 140 ]} في علم الميكانيكا السماوية ، وخاصة عند رصد الكويكبات، يؤدي تطبيق نظرية الفوضى إلى تنبؤات أفضل حول موعد اقتراب هذه الأجسام من الأرض والكواكب الأخرى. ^{[ 141 ]} تدور أربعة من أقمار بلوتو الخمسة بشكل فوضوي. في فيزياء الكم والهندسة الكهربائية ، استفادت دراسة المصفوفات الكبيرة من وصلات جوزيفسون بشكل كبير من نظرية الفوضى. ^{[ 57 ]} وعلى الصعيد المحلي، لطالما كانت مناجم الفحم أماكن خطرة حيث تتسبب تسربات الغاز الطبيعي المتكررة في العديد من الوفيات. وحتى وقت قريب، لم تكن هناك طريقة موثوقة للتنبؤ بموعد حدوثها. ولكن لهذه التسربات الغازية ميول فوضوية، يمكن التنبؤ بها بدقة معقولة عند نمذجتها بشكل صحيح. ^{[ 142 ]}

يمكن تطبيق نظرية الفوضى خارج نطاق العلوم الطبيعية، ولكن تاريخيًا، عانت جميع هذه الدراسات تقريبًا من نقص في إمكانية التكرار، وضعف في الصلاحية الخارجية، و/أو إهمال التحقق المتبادل، مما أدى إلى ضعف دقة التنبؤ (إن وُجدت محاولة للتنبؤ خارج العينة). وقد وجد كل من جلاس ^{[ 143 ]} وماندل وسيلز ^{[ 144 ]} أنه لم تُشر أي دراسة لتخطيط كهربية الدماغ حتى الآن إلى وجود جاذبات غريبة أو علامات أخرى على السلوك الفوضوي.

حاول ريدينغتون وريدبورد (1992) إثبات أن قلب الإنسان قد يُظهر سمات فوضوية. راقبا التغيرات في الفترات الزمنية بين نبضات القلب لمريضة واحدة تخضع للعلاج النفسي أثناء مرورها بفترات متفاوتة الشدة العاطفية خلال جلسة علاجية. كانت النتائج، كما هو مُسلّم به، غير حاسمة. لم تقتصر المشكلة على وجود غموض في الرسوم البيانية المختلفة التي أنتجها الباحثان لإظهار أدلة على الديناميكيات الفوضوية (التحليل الطيفي، ومسار الطور، ورسوم الارتباط الذاتي)، بل وجد الباحثان أيضًا أنه عند محاولتهما حساب مُعامل ليابونوف كدليل قاطع على السلوك الفوضوي، لم يتمكنا من القيام بذلك بشكل موثوق. ^{[ 145 ]}

في بحثهما المنشور عام ١٩٩٥، أكد ميتكالف وآلن ^{[ ١٤٦ ]} أنهما اكتشفا في سلوك الحيوانات نمطًا من تضاعف الفترات الزمنية يؤدي إلى الفوضى. درس الباحثان استجابة معروفة تُسمى العطاش المُستحث بالجدول الزمني، حيث يشرب الحيوان المحروم من الطعام لفترات زمنية محددة كميات غير معتادة من الماء عند تقديم الطعام له أخيرًا. كان مُعامل التحكم (r) المُستخدم هنا هو طول الفترة الفاصلة بين الوجبات، بمجرد استئنافها. حرص الباحثان على اختبار عدد كبير من الحيوانات وإجراء العديد من التكرارات، وصمما تجربتهما بحيث يستبعدان احتمال أن تكون التغيرات في أنماط الاستجابة ناتجة عن اختلاف القيم الابتدائية لـ r.

تُقدّم سلاسل الزمن ومخططات التأخير الأولى أفضل دعم للادعاءات المطروحة، إذ تُظهر انتقالًا واضحًا نسبيًا من الدورية إلى عدم الانتظام مع زيادة أوقات التغذية. من ناحية أخرى، لا تتطابق مخططات مسارات الطور المختلفة والتحليلات الطيفية بشكل كافٍ مع الرسوم البيانية الأخرى أو مع النظرية العامة لتؤدي حتمًا إلى تشخيص فوضوي. على سبيل المثال، لا تُظهر مسارات الطور تقدمًا واضحًا نحو مزيد من التعقيد (والابتعاد عن الدورية)؛ تبدو العملية غامضة إلى حد كبير. كذلك، في حين لاحظ ميتكالف وآلن فترات زمنية مقدارها اثنان وستة في مخططاتهما الطيفية، هناك مجال لتفسيرات بديلة. كل هذا الغموض يستلزم تفسيرًا متعرجًا لاحقًا لإثبات أن النتائج تتوافق مع نموذج فوضوي.

من خلال تكييف نموذج الإرشاد المهني ليشمل تفسيرًا فوضويًا للعلاقة بين الموظفين وسوق العمل، وجد أموندسون وبرايت أنه يمكن تقديم اقتراحات أفضل للأشخاص الذين يواجهون صعوبة في اتخاذ قرارات مهنية. ^{[ 147 ]} يُنظر إلى المنظمات الحديثة بشكل متزايد على أنها أنظمة تكيفية معقدة مفتوحة ذات هياكل طبيعية غير خطية، تخضع لقوى داخلية وخارجية قد تُسهم في الفوضى. على سبيل المثال، يُجرى بحث متزايد حول بناء الفريق وتطوير المجموعة باعتباره نظامًا لا يمكن التنبؤ به بطبيعته، حيث أن عدم اليقين الناتج عن لقاء أفراد مختلفين لأول مرة يجعل مسار الفريق غير معروف. ^{[ 148 ]}

قد تستفيد التنبؤات المرورية من تطبيقات نظرية الفوضى. فالتنبؤات الأفضل بموعد حدوث الازدحام المروري تسمح باتخاذ تدابير لتخفيفه قبل وقوعه. وقد أدى الجمع بين مبادئ نظرية الفوضى وبعض الأساليب الأخرى إلى نموذج تنبؤ قصير المدى أكثر دقة، مثل نموذج BML المروري . ^{[ 149 ]}

طُبقت نظرية الفوضى على بيانات دورة المياه البيئية (وكذلك البيانات الهيدرولوجية )، مثل هطول الأمطار وتدفق الأنهار. ^{[ 150 ]} وقد أسفرت هذه الدراسات عن نتائج مثيرة للجدل، لأن طرق الكشف عن بصمة الفوضى غالبًا ما تكون ذاتية نسبيًا. وقد نجحت الدراسات المبكرة في إيجاد الفوضى، بينما شككت الدراسات اللاحقة والتحليلات التلوية في تلك الدراسات وقدمت تفسيرات لسبب عدم احتمالية امتلاك مجموعات البيانات هذه لديناميكيات فوضوية منخفضة الأبعاد. ^{[ 151 ]}