مسرد المصطلحات في الهندسة الحسابية والديوفانتية

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

هذا معجمٌ لمصطلحات الحساب والهندسة الديوفانتية في الرياضيات ، وهما مجالان ينبثقان من الدراسة التقليدية للمعادلات الديوفانتية ليشملَا أجزاءً كبيرة من نظرية الأعداد والهندسة الجبرية . يأتي جزء كبير من النظرية في صورة تخمينات مقترحة ، يمكن ربطها بمستويات مختلفة من العمومية.

الهندسة الديوفانتية عمومًا هي دراسة المتنوعات الجبرية V على الحقول K المولدة نهائيًا على حقولها الأولية - بما في ذلك حقول الأعداد والحقول المنتهية ، التي تحظى باهتمام خاص - وعلى الحقول المحلية . ومن بين هذه الحقول، الأعداد المركبة فقط هي المغلقة جبريًا ؛ أما على أي حقل K آخر، فإن وجود نقاط من V ذات إحداثيات في K هو أمر يجب إثباته ودراسته كموضوع إضافي ، حتى مع معرفة هندسة V.

يمكن تعريف الهندسة الحسابية بشكل أعم بأنها دراسة المخططات ذات النوع المحدود على طيف حلقة الأعداد الصحيحة . [ 1 ] كما عُرّفت الهندسة الحسابية بأنها تطبيق تقنيات الهندسة الجبرية على مسائل نظرية الأعداد . [ 2 ]

انظر أيضًا إلى مسرد مصطلحات نظرية الأعداد في مسرد نظرية الأعداد .

أ

تخمين abc
تحاول فرضية abc لماسر وأويسترلي تحديد أكبر قدر ممكن من المعلومات حول العوامل الأولية المتكررة في المعادلة a + b = c . على سبيل المثال، 3 + 125 = 128 ، لكن القوى الأولية هنا استثنائية.
مجموعة أراكيلوف الصفية
إن مجموعة فئات أراكيلوف هي نظير مجموعة الفئات المثالية أو مجموعة فئات القواسم لقواسم أراكيلوف . [ 3 ]
قاسم أراكيلوف
يُعدّ قاسم أراكيلوف (أو القاسم الكامل [ 4 ] ) على حقل شامل امتدادًا لمفهوم القاسم أو المثالي الكسري . وهو عبارة عن توليفة خطية شكلية لمواضع الحقل ، حيث تكون المواضع المنتهية ذات معاملات صحيحة، والمواضع غير المنتهية ذات معاملات حقيقية. [ 3 ] [ 5 ] [ 6 ]
طول أراكيلوف
يُعد ارتفاع أراكيلوف على فضاء إسقاطي فوق حقل الأعداد الجبرية دالة ارتفاع شاملة ذات مساهمات محلية ناتجة عن مقاييس فوبيني-ستودي على الحقول الأرخميدية والمقياس المعتاد على الحقول غير الأرخميدية . [ 7 ] [ 8 ]
نظرية أراكيلوف
نظرية أراكيلوف هي منهج في الهندسة الحسابية يتضمن بشكل صريح "الأعداد الأولية اللانهائية".
حساب الأصناف الأبيلية
انظر المقال الرئيسي : حساب الأصناف الأبيلية
وظائف آرتين L
تُعرَّف دوال آرتين L لتمثيلات غالوا العامة جدًا . وقد أدى إدخال علم التماثل الإيتالي في الستينيات إلى إمكانية اعتبار دوال هاس-ويل L بمثابة دوال آرتين L لتمثيلات غالوا على مجموعات التماثل l-adic .

ب

التدهور
انظر إلى التخفيض الجيد .
تخمين بيرش وسوينرتون-داير
تفترض فرضية بيرش وسوينرتون-داير حول المنحنيات الإهليلجية وجود علاقة بين رتبة المنحنى الإهليلجي ورتبة قطب دالة هاس-ويل L الخاصة به. وقد شكلت هذه الفرضية علامة فارقة في الهندسة الديوفانتية منذ منتصف ستينيات القرن العشرين، حيث أسفرت عن نتائج مثل نظرية كوتس-وايلز ، ونظرية غروس-زاغير، ونظرية كوليفاجين . [ 9 ]

ج

الارتفاع القانوني
الارتفاع الكنسي على صنف أبيلي هو دالة ارتفاع ذات شكل تربيعي مميز . انظر ارتفاع نيرون-تيت .
طريقة شابوتي
تُعدّ طريقة شابوتي ، القائمة على الدوال التحليلية p -adic، تطبيقًا خاصًا، لكنها قادرة على إثبات حالات حدسية مورديل للمنحنيات التي يكون رتبة جاكوبي لها أقل من بُعدها. وقد طوّرت هذه الطريقة أفكارًا من طريقة ثورالف سكوليم للسطح الجبري الحلقي . (من الطرق القديمة الأخرى لحل مسائل الديوفانتين طريقة رونج ).
نظرية كوتس-وايلز
تنص نظرية كوتس-وايلز على أن المنحنى الإهليلجي الذي له ضرب معقد بحقل تربيعي تخيلي من الفئة رقم 1 ورتبة موجبة له دالة L بصفر عند s  =  1. هذه حالة خاصة من حدسية بيرش وسوينرتون-داير . [ 10 ]
التماثل البلوري
علم التماثل البلوري هو نظرية تماثل p-adic في خاصية p ، قدمها ألكسندر غروتينديك لسد الفجوة التي تركها علم التماثل الإيتالي الذي يعاني من قصور في استخدام معاملات modulo p في هذه الحالة. وهو أحد النظريات العديدة المشتقة بطريقة أو بأخرى من طريقة دورك ، وله تطبيقات تتجاوز المسائل الحسابية البحتة.

د

الأشكال القطرية
تُعدّ الأشكال القطرية من أبسط أنواع المتنوعات الإسقاطية التي يمكن دراستها من وجهة نظر حسابية (بما في ذلك تنوعات فيرما ). تُحسب دوال زيتا المحلية الخاصة بها بدلالة مجاميع جاكوبي . وتُعتبر مسألة وارينغ المثال الكلاسيكي الأكثر شيوعًا.
البعد الديوفانتي
البعد الديوفانتي للحقل هو أصغر عدد طبيعي k ، إن وُجد، بحيث يكون الحقل من الفئة C k : أي بحيث يكون لأي متعددة حدود متجانسة من الدرجة d في N متغيرات جذر غير تافه عندما N > d k . الحقول المغلقة جبريًا لها بعد ديوفانتي 0؛ والحقول شبه المغلقة جبريًا لها بعد 1. [ 11 ]
تمييز نقطة
يشير مُميِّز النقطة إلى مفهومين مترابطين يتعلقان بنقطة P على مُتنوِّع جبري V مُعرَّف على حقل عددي K : المُميِّز الهندسي (اللوغاريتمي) [ 12 ] d ( P ) والمُميِّز الحسابي ، الذي عرَّفه فويتا. [ 13 ] يُمكن مُقارنة الفرق بينهما بالفرق بين الجنس الحسابي لمنحنى شاذ والجنس الهندسي لإزالة الشذوذ . [ 13 ] الجنس الحسابي أكبر من الجنس الهندسي، ويمكن تحديد ارتفاع النقطة بدلالة الجنس الحسابي. سيكون للحصول على حدود مُماثلة تتضمن الجنس الهندسي نتائج هامة. [ 13 ]
طريقة دوورك
استخدم برنارد دورك أساليب مميزة في التحليل p-adic ، والمعادلات التفاضلية الجبرية p-adic ، ومركبات كوزول ، وتقنيات أخرى لم تُدمج جميعها في نظريات عامة مثل علم التماثل البلوري . وقد أثبت أولاً عقلانية دوال زيتا المحلية، وهو التقدم الأولي في اتجاه حدسيات ويل .

هـ

علم التماثل إيتال
لقد تحققت جزئياً على الأقل مساعي البحث عن علم التماثل لـ Weil (انظر المرجع) في نظرية علم التماثل لـ étale التي وضعها ألكسندر غروتينديك ومايكل أرتين . وقد قدمت هذه النظرية برهاناً للمعادلة الوظيفية لدوال زيتا المحلية ، وكانت أساسية في صياغة حدسية تيت (انظر المرجع) والعديد من النظريات الأخرى.

F

ارتفاع الحواجز
يُعد ارتفاع فالتينغز لمنحنى إهليلجي أو صنف أبيلي معرف على حقل عددي مقياسًا لتعقيده، وقد قدمه فالتينغز في برهانه على حدسية مورديل . [ 14 ] [ 15 ]
نظرية فيرما الأخيرة
تم إثبات نظرية فيرما الأخيرة ، وهي أشهر تخمين في الهندسة الديوفانتية، بواسطة أندرو وايلز وريتشارد تايلور .
التماثل المسطح
تُعدّ الكوهومولوجيا المسطحة ، بالنسبة لمدرسة غروتينديك، إحدى نقاط التطور النهائية. إلا أنها تعاني من صعوبة حسابية كبيرة. ويعود سبب اعتبار الطوبولوجيا المسطحة الطوبولوجيا التأسيسية "الصحيحة" لنظرية المخططات إلى حقيقة النزول المسطح الأمين ، واكتشاف غروتينديك أن الدوال التمثيلية هي حزم لها (أي أن بديهية اللصق العامة تنطبق).
تشبيه المجال الوظيفي
في القرن التاسع عشر، تبيّن أن حلقة الأعداد الصحيحة في حقل عددي تُشابه حلقة الإحداثيات الأفينية لمنحنى جبري أو سطح ريمان متراص، حيث تُقابل نقطة أو أكثر "الأماكن اللانهائية" في الحقل العددي. وتتجلى هذه الفكرة بوضوح في نظرية ضرورة التعامل مع جميع الحقول الشاملة على أساس واحد. بل وتتجاوز الفكرة ذلك، إذ نجد أن الأسطح الإهليلجية فوق الأعداد المركبة تُشابه أيضاً المنحنيات الإهليلجية فوق الحقول العددية تشابهاً دقيقاً .

جي

نظرية الحقول الهندسية للفئات
يُطلق على امتداد نتائج نظرية حقل الفئة - على غرار نظرية حقل الفئة - على الأغطية الأبيلية إلى أصناف ذات بُعد اثنين على الأقل اسم نظرية حقل الفئة الهندسية .
تخفيض جيد
يُعدّ اختزال الأعداد الأولية بتردد p، أو بشكل أعم، المُثُل الأولية ، أمرًا أساسيًا في التحليل المحلي للمسائل الحسابية . في الحالة النموذجية، لا يُمثّل هذا صعوبة تُذكر لجميع قيم p تقريبًا ؛ فعلى سبيل المثال ، تُشكّل مقامات الكسور تحديًا، إذ يبدو اختزالها بتردد عدد أولي في المقام كقسمة على صفر ، لكن هذا يستبعد عددًا محدودًا فقط من قيم p لكل كسر. مع بعض التعقيد الإضافي، تسمح الإحداثيات المتجانسة بتفريغ المقامات عن طريق الضرب في عدد قياسي مشترك. بالنسبة لنقطة واحدة مُعطاة، يُمكن القيام بذلك دون ترك عامل مشترك p . مع ذلك، تدخل نظرية التفرد حيز التنفيذ : قد تُصبح نقطة غير متفردة نقطة متفردة عند اختزالها بتردد p ، لأن فضاء زاريسكي المماسي قد يتسع عندما تُختزل الحدود الخطية إلى صفر (يُبيّن الصياغة الهندسية أن هذا ليس خطأ مجموعة إحداثيات واحدة). يشير مصطلح "الاختزال الجيد" إلى امتلاك المتنوع المختزل نفس خصائص المتنوع الأصلي، على سبيل المثال، امتلاك منحنى جبري من نفس الجنس ، أو بقاء المتنوع الأملس أملسًا. بشكل عام، توجد مجموعة منتهية S من الأعداد الأولية لمتنوع معين V ، يُفترض أنه أملس، بحيث يوجد، بخلاف ذلك، تنوع V مختزل أملس V p على Z / p Z. بالنسبة للمتنوعات الأبيلية ، يرتبط الاختزال الجيد بالتفرع في حقل نقاط التقسيم وفقًا لمعيار نيرون-أوغ-شافاريفيتش . النظرية دقيقة، بمعنى أن حرية تغيير المتغيرات لمحاولة تحسين الأمور غير واضحة تمامًا: انظر نموذج نيرون ، الاختزال الجيد المحتمل ، منحنى تيت ، المتنوع الأبيلي شبه المستقر ، المنحنى الإهليلجي شبه المستقر ، نظرية سير-تيت . [ 16 ]
تخمين غروتينديك-كاتز
تُطبّق فرضية غروتينديك -كاتز للانحناء من الرتبة p عملية الاختزال بتردد الأعداد الأولية على المعادلات التفاضلية الجبرية ، لاستخلاص معلومات حول حلول الدوال الجبرية . وكانت أول نتيجة من هذا النوع هي نظرية أيزنشتاين .

ح

مبدأ هاس
ينص مبدأ هاس على أن قابلية الحل في حقل شامل هي نفسها قابلية الحل في جميع الحقول المحلية ذات الصلة . أحد الأهداف الرئيسية للهندسة الديوفانتية هو تصنيف الحالات التي ينطبق عليها مبدأ هاس. عادةً ما يكون ذلك لعدد كبير من المتغيرات، مع تثبيت درجة المعادلة. يرتبط مبدأ هاس غالبًا بنجاح طريقة هاردي-ليتلوود الدائرية . عندما تنجح هذه الطريقة، فإنها توفر معلومات كمية إضافية، مثل العدد التقاربي للحلول. يؤدي تقليل عدد المتغيرات إلى صعوبة تطبيق الطريقة الدائرية؛ لذا فإن إخفاقات مبدأ هاس، على سبيل المثال بالنسبة للأشكال التكعيبية في عدد قليل من المتغيرات (وخاصةً بالنسبة للمنحنيات الإهليلجية كمنحنيات تكعيبية )، ترتبط عمومًا بقيود المنهج التحليلي.
دالة هاس-ويل L
دالة هاس-ويل L ، والتي تُسمى أحيانًا دالة L شاملة ، هي حاصل ضرب أويلر مُشتق من دوال زيتا محلية. لا تزال خصائص هذه الدوال L في نطاق التخمين إلى حد كبير، مع اعتبار إثبات حدسية تانياما-شيمورا إنجازًا هامًا. تُكمّل فلسفة لانجلاندز إلى حد كبير نظرية دوال L الشاملة.
وظيفة الارتفاع
تُحدد دالة الارتفاع في الهندسة الديوفانتية حجم حلول المعادلات الديوفانتية. [ 17 ]
حقول هيلبرت
الحقل الهيلبرتي K هو حقل لا تُعتبر فضاءاته الإسقاطية مجموعات رقيقة بالمعنى الذي وضعه جان بيير سير . هذا تفسير هندسي لنظرية هيلبرت في عدم الاختزال، والتي تُبين أن الأعداد النسبية هيلبرتية. تُطبق النتائج على مسألة غالوا العكسية . تُشابه المجموعات الرقيقة ( mince ) إلى حد ما المجموعات الهزيلة ( maigre ) في نظرية باير للفئات .

أنا

وظيفة زيتا إيغوسا
دالة زيتا إيغوسا ، نسبةً إلى جون-إيتشي إيغوسا ، هي دالة مولدة تحسب عدد النقاط على تنوع جبري بتردد قوى عالية p n لعدد أولي ثابت p . وقد أصبحت نظريات العقلانية العامة معروفة الآن، بالاعتماد على أساليب المنطق الرياضي . [ 18 ]
هبوط لا نهائي
كان الانحدار اللانهائي طريقة بيير دي فيرما الكلاسيكية لحل المعادلات الديوفانتية. وقد أصبح أحد جزئي البرهان القياسي لنظرية مورديل-ويل، أما الجزء الآخر فهو برهان باستخدام دوال الارتفاع (انظر المرجع). يُشبه الانحدار القسمة على اثنين في زمرة من الفضاءات المتجانسة الرئيسية (والتي تُسمى غالبًا "الانحدارات" عند كتابتها بالمعادلات)؛ أو بتعبير أدق، في زمرة غالوا المتجانسة التي يُراد إثبات أنها منتهية. انظر زمرة سيلمر .
نظرية إيواساوا
تستند نظرية إيواساوا إلى نظرية الأعداد التحليلية ونظرية ستيكلبرغر كنظرية لمجموعات الفئات المثالية كوحدات غالوا ودوال L-أدية-p (مع جذور في تطابق كومر على أعداد برنولي ). في بداياتها في أواخر الستينيات، كانت تُعرف باسم نظير إيواساوا للمصفوفة اليعقوبية . ويكمن التشابه مع تنوع جاكوبي J لمنحنى C فوق حقل منتهٍ F ( كتنوع بيكارد )، حيث يُضاف إلى الحقل المنتهي جذور الوحدة لتكوين امتدادات الحقل المنتهي F ′. ويمكن استخلاص دالة زيتا المحلية (qv) لـ C من النقاط J ( F ′ ) كوحدة غالوا. وبالمثل، أضاف إيواساوا جذور الوحدة من الرتبة p n لـ p ثابتة ومع n → ∞، بالنسبة لنظيره، إلى حقل عددي K ، ونظر في النهاية العكسية لمجموعات الفئات، ووجد دالة L من الرتبة p التي قدمها كوبوتا وليوبولد سابقًا.

ك

نظرية K
تُعدّ نظرية K الجبرية، من جهة، نظرية عامة ذات طابع جبري مجرد ، ومن جهة أخرى، متضمنة في بعض صياغات التخمينات الحسابية. انظر على سبيل المثال تخمين بيرش-تيت ، وتخمين ليشتنباوم .

ل

تخمين لانغ
افترض كلٌّ من إنريكو بومبيري (في البُعد 2)، وسيرج لانغ وبول فويتا (في حالة النقاط التكاملية)، وبيوتر بلاس، أنَّ المتنوعات الجبرية من النوع العام لا تحتوي على مجموعات جزئية كثيفة زاريسكي من النقاط العقلانية من الرتبة K ، حيث K حقل مُوَلَّد نهائيًا. تشمل هذه الدائرة الفكرية فهمَ التَزْرِيبِ التحليلي ، وتخمينات لانغ بشأنه، وتخمينات فويتا. المتنوع الجبري V ذو التَزْرِيب التحليلي على الأعداد المركبة هو الذي لا يوجد فيه أي تطبيق هولومورفي من المستوى المركب بأكمله إليه، أي تطبيق غير ثابت. ومن الأمثلة على ذلك أسطح ريمان المدمجة من الرتبة g > 1. افترض لانغ أنَّ V ذو تَزْرِيب تحليلي إذا وفقط إذا كانت جميع المتنوعات الفرعية من النوع العام. [ 19 ]
الطارة الخطية
الطارة الخطية هي زمرة فرعية مغلقة زاريسكي غير قابلة للاختزال هندسيًا من طارة أفينية (ناتج ضرب الزمر المضاعفة). [ 20 ]
دالة زيتا المحلية
الدالة زيتا المحلية هي دالة مولدة لعدد النقاط على تنوع جبري V فوق حقل منتهٍ F ، فوق امتدادات الحقل المنتهي لـ F. وفقًا لتخمينات ويل (انظر أدناه)، فإن هذه الدوال، بالنسبة للتنوعات غير الشاذة ، تُظهر خصائص مشابهة جدًا لدالة زيتا لريمان ، بما في ذلك فرضية ريمان .

م

تخمين مانين-مامفورد
تنص فرضية مانين -مامفورد ، التي أثبتها الآن ميشيل رينو ، على أن المنحنى C في تنوعه اليعقوبي J لا يمكن أن يحتوي إلا على عدد محدود من النقاط ذات الرتبة المحدودة في J ، إلا إذا كان C = J. [ 21 ] [ 22 ]
تخمين مورديل
تُعرف حدسية مورديل الآن باسم نظرية فالتينغز ، وتنص على أن المنحنى ذي الجنس 2 على الأقل لا يحتوي إلا على عدد محدود من النقاط العقلانية. أما حدسية التوحيد فتنص على أنه ينبغي أن يكون هناك حد موحد لعدد هذه النقاط، يعتمد فقط على الجنس ومجال التعريف.
تخمين مورديل-لانغ
إن حدسية مورديل-لانغ، التي أثبتها ماكويلان الآن بعد أعمال لوران، وراينو ، وهيندري، وفويتا ، وفالتينغز ، هي حدسية لانغ التي توحد حدسية مورديل وحدسية مانين-مامفورد في صنف أبيلي أو صنف شبه أبيلي . [ 23 ] [ 24 ]
نظرية مورديل-ويل
تُعدّ نظرية مورديل -ويل نتيجةً أساسيةً تنصّ على أنه بالنسبة لمتنوّع أبيلي A على حقل عددي K، فإنّ المجموعة A ( K ) هي مجموعة أبيلية منتهية التوليد . وقد أُثبتت هذه النظرية مبدئيًا للحقول العددية K ، ولكنها تُعمّم على جميع الحقول منتهية التوليد.
صنف موردليك
التنوع الموردلي هو تنوع جبري يحتوي على عدد محدود فقط من النقاط في أي حقل مولد نهائياً. [ 25 ]

شمال

طول ساذج
الارتفاع البسيط أو الارتفاع الكلاسيكي لمتجه من الأعداد النسبية هو القيمة المطلقة القصوى لمتجه الأعداد الصحيحة الأولية فيما بينها، والناتجة عن ضرب جميع عناصره في مقام مشترك أصغر . ويمكن استخدام هذا لتحديد الارتفاع عند نقطة في الفضاء الإسقاطي على Q ، أو عند كثير حدود، باعتباره متجه معاملات، أو عند عدد جبري، انطلاقًا من ارتفاع كثير الحدود الأدنى له. [ 26 ]
رمز نيرون
رمز نيرون هو اقتران ثنائي الضرب بين القواسم والدورات الجبرية على صنف أبيلي، ويُستخدم في صياغة نيرون لارتفاع نيرون-تيت كمجموع للمساهمات المحلية. [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] رمز نيرون الكلي، وهو مجموع الرموز المحلية، هو ببساطة معكوس اقتران الارتفاع. [ 30 ]
ارتفاع نيرون-تيت
يُعد ارتفاع نيرون -تيت (ويُشار إليه غالبًا بالارتفاع الكنسي ) على تنوع أبيلي A دالة ارتفاع (انظر) جوهرية، وهي دالة تربيعية دقيقة، وليست تقريبًا تربيعية بالنسبة للجمع على A كما تنص عليه النظرية العامة للارتفاعات. ويمكن تعريفها من ارتفاع عام بعملية تقريبية؛ كما توجد صيغ رياضية، بمعنى أنها مجموع مساهمات محلية. [ 30 ]
ثابت نيفانلينا
ثابت نيفانلينا لقاسم وافر D على منوع إسقاطي طبيعي X هو عدد حقيقي يصف معدل نمو عدد النقاط النسبية على المنوع بالنسبة للتضمين المحدد بواسطة القاسم. [ 31 ] وله خصائص شكلية مشابهة لفاصلة تقارب دالة زيتا للارتفاع، ويُفترض أنهما متطابقان جوهريًا. [ 32 ]

يا

التخفيض العادي
تتمتع مجموعة أبيلية A ذات البعد d باختزال عادي عند عدد أولي p إذا كان لديها اختزال جيد عند p بالإضافة إلى أن الالتواء p له رتبة d . [ 33 ]

سؤال

الإغلاق شبه الجبري
نشأ موضوع الإغلاق شبه الجبري ، أي قابلية الحل المضمونة بعدد من المتغيرات متعددة الحدود في درجة المعادلة، من دراسات زمرة براور ونظرية شيڤالي-وارنينغ . وقد توقف هذا الموضوع أمام أمثلة مضادة ؛ ولكن انظر نظرية آكس-كوشين من المنطق الرياضي .

R

الاختزال بتردد عدد أولي أو مثالي
انظر إلى التخفيض الجيد .
مثالي كامل
المثالي الكامل في حقل عددي K هو حاصل ضرب شكلي لمثالي كسري في K ومتجه من الأعداد الحقيقية الموجبة، حيث تكون عناصره مفهرسة بالأماكن اللانهائية لـ K. [ 34 ] القاسم الكامل هو قاسم أراكيلوف . [ 4 ]

S

تخمين ساتو-تيت
تصف حدسية ساتو -تيت توزيع عناصر فروبينيوس في وحدات تيت للمنحنيات الإهليلجية على الحقول المنتهية، والمستمدة من اختزال منحنى إهليلجي معين على الأعداد النسبية. وقد اقترحها ميكيو ساتو ، وجون تيت بشكل مستقل [ 35 ] حوالي عام 1960. وهي نموذج أولي لتمثيلات غالوا بشكل عام.
طريقة سكوليم
انظر إلى طريقة شابوتي .
مجموعة خاصة
المجموعة الخاصة في التنوع الجبري هي المجموعة الجزئية التي يُتوقع وجود العديد من النقاط العقلانية فيها. يختلف التعريف الدقيق باختلاف السياق. أحد التعريفات هو إغلاق زاريسكي لاتحاد صور الزمر الجبرية تحت الخرائط العقلانية غير التافهة؛ أو يمكن اعتبارها صورًا للتنوعات الأبيلية؛ [ 36 ] تعريف آخر هو اتحاد جميع التنوعات الجزئية التي ليست من النوع العام. [ 19 ] بالنسبة للتنوعات الأبيلية، يكون التعريف هو اتحاد جميع تحويلات التنوعات الجزئية الأبيلية الصحيحة. [ 37 ] بالنسبة للتنوع المركب، فإن المجموعة الخاصة الهولومورفية هي إغلاق زاريسكي لصور جميع الخرائط الهولومورفية غير الثابتة من C. افترض لانغ أن المجموعتين الخاصتين التحليلية والجبرية متساويتان. [ 38 ]
نظرية الفضاء الجزئي
تُبيّن نظرية شميدت للفضاء الجزئي أن النقاط ذات الارتفاع الصغير في الفضاء الإسقاطي تقع ضمن عدد محدود من المستويات الفائقة. وقد توصل شميدت أيضًا إلى صيغة كمية للنظرية، تُحدد عدد الفضاءات الجزئية التي تحتوي على جميع الحلول، ثم عمّمها شليكوي (1977) لتشمل قيمًا مطلقة أكثر عمومية في حقول الأعداد . ويمكن استخدام هذه النظرية للحصول على نتائج تتعلق بالمعادلات الديوفانتية ، مثل نظرية سيجل حول النقاط الصحيحة وحل معادلة الوحدة S. [ 39 ]

تي

أرقام تاماغاوا
لا يُجدي تعريف عدد تاماغاوا المباشر نفعًا إلا مع الزمر الجبرية الخطية . وهناك، تم إثبات حدسية ويل حول أعداد تاماغاوا . أما بالنسبة للأصناف الأبيلية، ولا سيما حدسية بيرش-سوينرتون-داير (انظر هناك)، فإن منهج عدد تاماغاوا للوصول إلى مبدأ محلي-عالمي يفشل في المحاولة المباشرة، على الرغم من قيمته الاستدلالية على مر السنين. واليوم، تُعدّ حدسية عدد تاماغاوا المتغيرة والمتطورة مشكلة بحثية رئيسية.
تخمين تيت
قدمت حدسية تيت ( جون تيت ، 1963) نظيراً لحدسية هودج ، أيضاً فيما يتعلق بالدورات الجبرية ، ولكن ضمن نطاق الهندسة الحسابية. كما قدمت، بالنسبة للأسطح الإهليلجية ، نظيراً لحدسية بيرش-سوينرتون-داير (انظر هناك)، مما أدى سريعاً إلى توضيح الأخيرة وإدراك أهميتها.
منحنى تيت
منحنى تيت هو منحنى إهليلجي خاص على الأعداد p-adic قدمه جون تيت لدراسة الاختزال السيئ (انظر الاختزال الجيد ).
رتبة تسين
رتبة تسين للحقل ، نسبةً إلى سي سي تسين الذي قدم دراستها عام 1936، [ 40 ] هي أصغر عدد طبيعي i ، إن وُجد، بحيث يكون الحقل من الفئة Ti : أي أن أي نظام من كثيرات الحدود التي لا تحتوي على حد ثابت من الدرجة dj في n متغيرًا له جذر غير تافه عندما يكون n > Σ dj i . الحقول المغلقة جبريًا لها رتبة تسين صفر. رتبة تسين أكبر من أو تساوي البعد الديوفانتي، ولكن من غير المعروف ما إذا كانا متساويين إلا في حالة الرتبة صفر. [ 41 ]

يو

فرضية التوحيد
تنص فرضية التوحيد على أنه لأي حقل عددي K و g > 2، يوجد حد موحد B ( g , K ) على عدد النقاط العقلانية من الرتبة K على أي منحنى من الرتبة g . وتستنتج هذه الفرضية من فرضية بومبيري-لانغ . [ 42 ]
تقاطع غير متوقع
التقاطع غير المحتمل هو مجموعة فرعية جبرية تتقاطع مع مجموعة فرعية من الطارة أو مجموعة أبيلية في مجموعة ذات بُعد كبير بشكل غير عادي، كما هو الحال في حدسية مورديل-لانغ . [ 43 ]

V

تخمين فويتا
إن تخمين فويتا عبارة عن مجموعة من التخمينات التي وضعها بول فويتا ، والتي تقارن بين التقريب الديوفانتي ونظرية نيفانلينا .

دبليو

الأوزان
يُعدّ مفهوم "يوجا الأوزان" صياغةً من قِبل ألكسندر غروتينديك للتشابهات بين نظرية هودج وعلم التماثل l-adic . [ 44 ]
علم التماثل لويل
كانت الفكرة الأولية، التي عُدّلت لاحقًا بعض الشيء، لإثبات حدسيات ويل (انظر هناك)، هي بناء نظرية تماثلية تُطبّق على المتنوعات الجبرية فوق الحقول المنتهية ، بحيث تكون بنفس كفاءة التماثلية المفردة في الكشف عن البنية الطوبولوجية، وأن يكون لتطبيقات فروبينيوس فيها دورٌ يسمح بتطبيق نظرية ليفشيتز للنقطة الثابتة على العدّ في دوال زيتا المحلية . للاطلاع على تاريخ لاحق، انظر الدافع (الهندسة الجبرية) ، التماثلية الدافعية .
تخمينات ويل
كانت حدسيات ويل ثلاث حدسيات بالغة التأثير لأندريه ويل ، نُشرت حوالي عام 1949، حول دوال زيتا المحلية. اكتمل برهانها عام 1973. بعد إثبات هذه الحدسيات، لا تزال هناك امتدادات لتطابق نظرية شيڤالي-وارنينغ ، المستمدة من طريقة أولية، وتحسينات لحدود ويل ، مثل تقديرات أفضل لعدد النقاط في المنحنيات مقارنةً بما هو مستقى من نظرية ويل الأساسية لعام 1940. وقد تبين أن هذه الأخيرة ذات أهمية لبرامج الهندسة الجبرية .
توزيعات ويل على الأصناف الجبرية
اقترح أندريه ويل نظرية في عشرينيات وثلاثينيات القرن العشرين حول تحليل الأعداد الجبرية إلى مثاليات أولية في إحداثيات النقاط على المتنوعات الجبرية. وقد ظلت هذه النظرية غير متطورة إلى حد ما.
دالة ويل
دالة ويل على صنف جبري هي دالة حقيقية القيمة معرفة انطلاقاً من قاسم كارتييه ، وهي تعمم مفهوم دالة غرين في نظرية أراكيلوف . [ 45 ] تُستخدم هذه الدوال في بناء المكونات المحلية لارتفاع نيرون-تيت . [ 46 ]
جهاز قياس الارتفاع من ويل
تُعد آلة ويل للارتفاع إجراءً فعالاً لتعيين دالة ارتفاع لأي قاسم على صنف إسقاطي أملس فوق حقل عددي (أو لقواسم كارتييه على أصناف غير ملساء). [ 47 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ الهندسة الحسابية في المختبر ن
  2. ↑ ساذرلاند، أندرو ف. (5 سبتمبر 2013). "مقدمة في الهندسة الحسابية" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 مارس 2019 .
  3. 1 2 شوف، رينيه (2008). "حساب مجموعات أراكيلوف". في: بوهلر، جيه بي؛ ستيفنهاجن، بي (محرران). نظرية الأعداد الخوارزمية: الشبكات، حقول الأعداد، المنحنيات، والتشفير . منشورات معهد أبحاث العلوم الرياضية. المجلد 44. مطبعة جامعة كامبريدج . الصفحات 447-495 . ISBN   978-0-521-20833-8. السيد 2467554 . زبل 1188.11076 .  
  4. 1 2 نوكيرش (1999) ص 189
  5. ↑ لانغ (1988) ص 74-75
  6. ^ فان دير جير، ج. شوف، ر. (2000). “فعالية مقسومات أراكيلوف ومقسوم ثيتا لحقل الرقم”. اختر الرياضيات . سلسلة جديدة. 6 (4): 377– 398. أرخايف : الرياضيات/9802121 . دوى : 10.1007/PL00001393 . S2CID 12089289 . زبل 1030.11063 .  
  7. ^ بومبيري وجوبلر (2006) ص 66-67
  8. ↑ لانغ (1988) ص 156-157
  9. ↑ لانغ (1997) ص 91-96
  10. ↑ كوتس، ج .؛ وايلز ، أ. (1977). "حول حدسية بيرش وسوينرتون-داير". Inventiones Mathematicae . 39 (3): 223–251 . Bibcode : 1977InMat..39..223C . doi : 10.1007/BF01402975 . S2CID 189832636. Zbl 0359.14009 .  
  11. ^ نيوكيرش، يورغن. شميدت، الكسندر. وينجبرج، كاي (2008). علم التجانس لحقول الأرقام . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. المجلد. 323 ( الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ . ص. 361. ردمك    978-3-540-37888-4.
  12. ↑ لانغ (1997) ص 146
  13. 1 2 3 لانغ (1997) ص 171
  14. ^ فالتينجس ، جيرد (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". اختراعات الرياضيات . 73 (3): 349– 366. بيب كود : 1983InMat..73..349F . دوى : 10.1007/BF01388432 . S2CID 121049418 . 
  15. ↑ كورنيل، غاري؛ سيلفرمان، جوزيف هـ. (1986). الهندسة الحسابية . نيويورك: سبرينغر. ISBN 0-387-96311-1.→ يحتوي على ترجمة إنجليزية لكتاب فالتينغز (1983)
  16. ↑ سير، جان بيير ؛ تيت، جون (نوفمبر 1968). "اختزال جيد للأصناف الأبيلية". حوليات الرياضيات . الثانية. 88 (3): 492-517 . doi : 10.2307/1970722 . JSTOR 1970722. Zbl 0172.46101 .  
  17. ↑ لانغ  ( 1997 )
  18. ^ إيجوسا، جون إيتشي (1974). “القوى المعقدة والتوسعات المقاربة. I. وظائف أنواع معينة “. Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1974 ( 268–269 ): 110–130 . دوى : 10.1515/crll.1974.268-269.110 . S2CID 117772856 . زبل 0287.43007 .  
  19. 1 2 هيندري وسيلفرمان (2000) ص 479
  20. ^ بومبيري وجوبلر (2006) ص 82 – 93
  21. ↑ رينو، ميشيل (1983). "المتغيرات الفرعية لمتغير أبيلي ونقاط الالتواء". في: آرتين، مايكل ؛ تيت، جون (محرران). الحساب والهندسة. أوراق مُهداة إلى آي آر شافاريفيتش بمناسبة عيد ميلاده الستين. المجلد الأول: الحساب . سلسلة التقدم في الرياضيات (بالفرنسية). المجلد 35. بيركهاوزر-بوسطن. الصفحات 327-352 . Zbl 0581.14031 .   
  22. ↑ روسلر، داميان (2005). "ملاحظة حول حدسية مانين-مامفورد". في: فان دير جير، جيرارد؛ مونين، بن؛ شوف، رينيه (محررون). حقول الأعداد وحقول الدوال - عالمان متوازيان . سلسلة التقدم في الرياضيات. المجلد 239. بيركهاوزر. الصفحات 311-318 . ISBN   0-8176-4397-4. Zbl 1098.14030 . 
  23. ↑ ماكويلان، مايكل (1995). "نقاط التقسيم على المتنوعات شبه الأبيلية". مجلة الرياضيات 120 ( 1): 143-159 . رمز Bibcode : 1995InMat.120..143M . doi : 10.1007/BF01241125 . S2CID 120053132 . 
  24. ↑ "شرح من صفحتين لفرضية مورديل-لانغ بقلم ب. مازور، 3 نوفمبر 2005" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 24 فبراير 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 أكتوبر 2015 .
  25. ↑ لانغ (1997) ص 15
  26. ↑Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert (2007). Logarithmic Forms and Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. Vol. 9. Cambridge University Press. p. 3. ISBN 978-0-521-88268-2. Zbl 1145.11004.
  27. ↑Bombieri & Gubler (2006) pp.301–314
  28. ↑Lang (1988) pp.66–69
  29. ↑Lang (1997) p.212
  30. 12Lang (1988) p.77
  31. ↑Hindry & Silverman (2000) p.488
  32. ↑Batyrev, V.V.; Manin, Yu.I. (1990). "On the number of rational points of bounded height on algebraic varieties". Math. Ann. 286: 27–43. doi:10.1007/bf01453564. S2CID 119945673. Zbl 0679.14008.
  33. ↑Lang (1997) pp.161–162
  34. ↑Neukirch (1999) p.185
  35. ↑It is mentioned in J. Tate, Algebraic cycles and poles of zeta functions in the volume (O. F. G. Schilling, editor), Arithmetical Algebraic Geometry, pages 93–110 (1965).
  36. ↑Lang (1997) pp.17–23
  37. ↑Hindry & Silverman (2000) p.480
  38. ↑Lang (1997) p.179
  39. ↑Bombieri & Gubler (2006) pp.176–230
  40. ↑Tsen, C. (1936). "Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper". J. Chinese Math. Soc. 171: 81–92. Zbl 0015.38803.
  41. ↑Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer. pp. 109–126. ISBN 978-0-387-72487-4.
  42. ↑Caporaso, Lucia; Harris, Joe; Mazur, Barry (1997). "Uniformity of rational points". Journal of the American Mathematical Society. 10 (1): 1–35. doi:10.1090/S0894-0347-97-00195-1. JSTOR 2152901. Zbl 0872.14017.
  43. ↑Zannier, Umberto (2012). Some Problems of Unlikely Intersections in Arithmetic and Geometry. Annals of Mathematics Studies. Vol. 181. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15371-1.
  44. ^ بيير ديلين ، Poids dans la cohomologie des variétés algébriques ، Actes ICM، Vancouver، 1974، 79–85.
  45. ↑ لانغ (1988) ص 1-9
  46. ↑ لانغ (1997) ص 164، 212
  47. ↑ هيندري وسيلفرمان (2000) 184–185

للمزيد من القراءة