مكعب فائق

في الإسقاطات المنظورية التالية ، المكعب هو مكعب ثلاثي الأبعاد، والمكعب الرباعي الأبعاد هو مكعب رباعي الأبعاد.

في الهندسة ، المكعب الفائق هو نظير ذو n بُعد للمربع ( n = 2 ) والمكعب ( n = 3 ) ؛ وتُعرف الحالة الخاصة لـ n = 4 باسم التيسيراكت . وهو شكل مغلق ، مضغوط ، محدب ، يتكون هيكله الأساسي من مجموعات من القطع المستقيمة المتوازية المتقابلة، والمحاذية في كل بُعد من أبعاد الفضاء ، والمتعامدة على بعضها البعض، والمتساوية في الطول. يساوي أطول قطر للمكعب الفائق ذي الوحدة في n بُعدًا${\displaystyle {\sqrt {n}}}$.

يُشار إلى المكعب الفائق ذي الأبعاد n عادةً باسم المكعب n أو أحيانًا باسم المكعب ذي الأبعاد n . ^{[ 1 ] [ 2 ]} كما يُستخدم مصطلح متعدد السطوح القياسي (الذي ورد أصله في Elte، 1912) ^{[ 3 ]} ، لا سيما في أعمال HSM Coxeter الذي أطلق أيضًا على المكعبات الفائقة اسم متعددات السطوح γ n . ^{[ 4 ]}

المكعب الفائق هو الحالة الخاصة للمستطيل الفائق (يسمى أيضًا n-orthotope ).

المكعب الفائق ذو الوحدة هو مكعب فائق طول ضلعه وحدة واحدة . غالبًا ما يُطلق اسم المكعب الفائق الذي تكون زواياه (أو رؤوسه ) هي النقاط 2^ ⁿ في R^ ⁿ التي تساوي إحداثياتها 0 أو 1 على المكعب الفائق ذي الوحدة.

كل مكعب فائق يقبل، كأوجه له، مكعبات فائقة ذات بُعد أقل موجودة في حدوده. مكعب فائق ذو بُعد${\displaystyle n}$يُقر${\displaystyle 2n}$أوجه، أو وجوه ذات أبعاد${\displaystyle n-1}$: أ (${\displaystyle 1}$(الأبعاد) قطعة مستقيمة لها${\displaystyle 2}$نقاط النهاية؛ أ (${\displaystyle 2}$المربع ذو الأبعاد${\displaystyle 4}$الجوانب أو الحواف؛ أ${\displaystyle 3}$مكعب ذو أبعاد${\displaystyle 6}$وجوه مربعة؛ أ (${\displaystyle 4}$المكعب الفائق الأبعاد (التيسيراكت)${\displaystyle 8}$مكعبات ثلاثية الأبعاد كأوجه لها. عدد رؤوس مكعب فائق ذي بُعد${\displaystyle n}$يكون${\displaystyle 2^{n}}$(كالمعتاد،${\displaystyle 3}$مكعب ذو أبعاد${\displaystyle 2^{3}=8}$الرؤوس، على سبيل المثال). ^{[ 5 ]}

عدد${\displaystyle m}$المكعبات الفائقة ذات الأبعاد n (يشار إليها ببساطة باسم${\displaystyle m}$(المكعبات من هنا فصاعدًا) الموجودة في حدود${\displaystyle n}$المكعب هو

${\displaystyle E_{m,n}=2^{nm}{n \choose m}}$، ^{[ 6 ]} حيث   ${\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(nm)!}}}$و${\displaystyle n!}$يرمز إلى مضروب العدد${\displaystyle n}$.

على سبيل المثال، حدود أ${\displaystyle 4}$-مكعب (${\displaystyle n=4}$) يتضمن${\displaystyle 8}$مكعبات (${\displaystyle 3}$-مكعبات)،${\displaystyle 24}$مربعات (${\displaystyle 2}$-مكعبات)،${\displaystyle 32}$القطع المستقيمة (${\displaystyle 1}$(مكعبات) و${\displaystyle 16}$الرؤوس (${\displaystyle 0}$(المكعبات). يمكن إثبات هذه المتطابقة بحجة توافقية بسيطة: لكل من${\displaystyle 2^{n}}$رؤوس المكعب الفائق، هناك${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$طرق لاختيار مجموعة من${\displaystyle m}$الحواف المتصلة بهذا الرأس. كل مجموعة من هذه المجموعات تحدد واحدة من${\displaystyle m}$الوجوه ذات الأبعاد n المتصلة بالرأس المدروس. عند القيام بذلك لجميع رؤوس المكعب الفائق، كل منها${\displaystyle m}$يتم حساب عدد الأوجه ذات الأبعاد n للمكعب الفائق.${\displaystyle 2^{m}}$مرات لأن لها هذا العدد من الرؤوس، ونحتاج إلى القسمة${\displaystyle 2^{n}{\tbinom {n}{m}}}$بهذا الرقم.

يمكن استخدام عدد أوجه المكعب الفائق لحساب${\displaystyle (n-1)}$حجم حدودها ذو الأبعاد n: هذا الحجم هو${\displaystyle 2n}$مضروبًا في حجم أ${\displaystyle (n-1)}$مكعب فائق الأبعاد؛ أي${\displaystyle 2ns^{n-1}}$أين${\displaystyle s}$هو طول حواف المكعب الفائق.

ويمكن أيضًا توليد هذه الأرقام بواسطة علاقة التكرار الخطي .

${\displaystyle E_{m,n}=2E_{m,n-1}+E_{m-1,n-1}\!}$، مع  ${\displaystyle E_{0,0}=1}$، و${\displaystyle E_{m,n}=0}$متى${\displaystyle n<m}$،${\displaystyle n<0}$، أو${\displaystyle m<0}$.

على سبيل المثال، يؤدي تمديد مربع عبر رؤوسه الأربعة إلى إضافة قطعة مستقيمة (ضلع) إضافية لكل رأس. كما أن إضافة المربع المقابل لتكوين مكعب يوفر${\displaystyle E_{1,3}=12}$قطع مستقيمة.

يمكن أيضًا حساب متجه f الموسع لمكعب n عن طريق التوسيع${\displaystyle (2x+1)^{n}}$(باختصار، (2,1) ⁿ )، وقراءة معاملات متعددة الحدود الناتجة . على سبيل المثال، عناصر المكعب الفائق هي (2,1) ⁴ = (4,4,1) ² = (16,32,24,8,1).

رقم${\displaystyle E_{m,n}}$ل${\displaystyle m}$الوجوه ذات الأبعاد لـ${\displaystyle n}$مكعب فائق الأبعاد (التسلسل A038207 في OEIS )

			م	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ن	مكعب من الرتبة n	الأسماء	شلافلي كوكسيتر	الوجه 0 للرأس	وجه الحافة 1	وجهان​	الخلية 3-الوجه	أربعة أوجه	خمسة أوجه	6-وجه	سبعة أوجه	ثمانية أوجه	9-وجه	عشرة أوجه
0	مكعب صفري	نقطة مونون	( )	1
1	مكعب واحد	القطعة المستقيمة ديون [ 7 ]	{}	2	1
2	مكعبان	مربع رباعي الأضلاع	{4}	4	4	1
3	مكعب ثلاثي	مكعب سداسي الأوجه	{4,3}	8	12	6	1
4	مكعب رباعي	تيسيراكت أوكتاكورون	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	5 مكعبات	بنتراكت ديكا-5-توب	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	6 مكعبات	هيكسيراكت دوديكا-6-توب	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	مكعب 7	هيبتيراكت تيتراديكا-7-توب	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	8 مكعبات	أوكتيراكت هيكساديكا-8-توب	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	مكعب 9	إنيراكت أوكتاديكا-9-توب	{4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	مكعب ذو 10 خانات	ديكراكت إيكوسا-10-توب	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

الرسوم البيانية

يمكن إسقاط مكعب ذي n ضلع داخل مضلع منتظم ذي 2 n ضلع بواسطة إسقاط متعامد مائل ، كما هو موضح هنا من القطعة المستقيمة إلى المكعب ذي 15 ضلعًا.

مضلع بيتري، الإسقاطات المتعامدة

قطعة مستقيمة	مربع	مكعب	تيسيراكت
5 مكعبات	6 مكعبات	مكعب 7	8 مكعبات
مكعب 9	مكعب ذو 10 خانات	11 مكعبًا	12 مكعبًا
مكعب 13	14 مكعبًا	15 مكعبًا

تُعد المكعبات الفائقة واحدة من العائلات القليلة من متعددات الوجوه المنتظمة التي يمكن تمثيلها في أي عدد من الأبعاد. ^{[ 8 ]}

تُعدّ عائلة المكعبات الفائقة إحدى ثلاث عائلات من متعددات الوجوه المنتظمة ، وقد أطلق عليها كوكسيتر الرمز γ _n . أما العائلتان الأخريان فهما عائلة المكعبات الفائقة الثنائية، ومتعددات الوجوه المتقاطعة ، والتي يُرمز لها بالرمز β _n، والمُبسطات ، والتي يُرمز لها بالرمز α _n . وهناك عائلة رابعة، وهي التبليطات اللانهائية للمكعبات الفائقة ، ويُرمز لها بالرمز δ _n .

وهناك عائلة أخرى ذات صلة من متعددات الوجوه شبه المنتظمة والموحدة وهي المكعبات الفائقة النصفية ، والتي يتم إنشاؤها من المكعبات الفائقة مع حذف الرؤوس البديلة وإضافة أوجه بسيطة في الفجوات، وتسمى hγ _n .

يمكن دمج المكعبات من الرتبة n مع ثنائياتها ( المضلعات المتقاطعة ) لتشكيل مضلعات مركبة:

• في بعدين، نحصل على شكل النجمة الثمانية {8/2}،
• في ثلاثة أبعاد نحصل على مركب من المكعب وثماني الأوجه ،
• في أربعة أبعاد نحصل على مركب من المكعب الفائق والخلايا ذات الـ 16 خلية.

يُظهر الرسم البياني لحواف المكعب الفائق ذي البعد n تماثلاً مع مخطط هاس لشبكة وجوه المُجسم البسيط ذي البعد ( n -1) . ويمكن ملاحظة ذلك بتوجيه المكعب الفائق ذي البعد n بحيث يقع رأسان متقابلان عموديًا، يُقابلان المُجسم البسيط ذي البعد ( n -1) نفسه والمتعدد الوجوه الصفري، على التوالي. يرتبط كل رأس متصل بالرأس العلوي بشكل فريد بأحد أوجه المُجسم البسيط ذي البعد ( n -1) (عددها n -2 وجهًا)، ويرتبط كل رأس متصل بهذين الرأسين بأحد أوجه المُجسم البسيط ذي البعد n -3، وهكذا، وترتبط الرؤوس المتصلة بالرأس السفلي برؤوس المُجسم البسيط.

يمكن استخدام هذه العلاقة لتوليد شبكة الوجوه لـ ( n −1)-simplex بكفاءة، لأن خوارزميات تعداد شبكة الوجوه المطبقة على متعددات الوجوه العامة أكثر تكلفة من الناحية الحسابية.

يمكن تعريف متعددات الوجوه المركبة المنتظمة في فضاء هيلبرت المركب باسم المكعبات الفائقة المعممة ، γ ^p _n = _p {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ ، أو ... . توجد حلول حقيقية عندما p = 2، أي γ ² _n = γ _n = ₂ {4} ₂ {3}... ₂ {3} ₂ = {4,3,..,3}. أما عندما p > 2، فإنها موجودة في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. الأوجه عبارة عن مكعب ( n −1) معمّم وشكل الرأس عبارة عن أشكال بسيطة منتظمة .

يُطلق على محيط المضلع المنتظم الظاهر في هذه الإسقاطات المتعامدة اسم مضلع بيتري . تُعرض المربعات المعممة ( n = 2) بحواف محددة باللونين الأحمر والأزرق بالتناوب ، بينما تُرسم المكعبات ذات n الأعلى بحواف محددة باللون الأسود .

عدد العناصر ذات m وجه في مكعب n المعمم من الرتبة p هو:${\displaystyle p^{nm}{n \choose m}}$هذا يتكون من p ⁿ رأس و pn وجه. ^{[ 9 ]}

المكعبات الفائقة المعممة

	p = 2		p = 3	p = 4	p = 5	p = 6	p = 7	p = 8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	γ 2 2 = {4} = 4 رؤوس	${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$	γ 3 2 = 9 رؤوس	γ 4 2 = 16 رأسًا	γ 5 2 = 25 رأسًا	γ 6 2 = 36 رأسًا	γ 7 2 = 49 رأسًا	γ 8 2 = 64 رأسًا
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	γ 2 3 = {4,3} = 8 رؤوس	${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	γ 3 3 = 27 رأسًا	γ 4 3 = 64 رأسًا	γ 5 3 = 125 رأسًا	γ 6 3 = 216 رأسًا	γ 7 3 = 343 رأسًا	γ 8 3 = 512 رأسًا
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	γ 2 4 = {4,3,3} = 16 رأسًا	${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$	γ 3 4 = 81 رأسًا	γ 4 4 = 256 رأسًا	γ 5 4 = 625 رأسًا	γ 6 4 = 1296 رأسًا	γ 7 4 = 2401 رأسًا	γ 8 4 = 4096 رأسًا
${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$	γ 2 5 = {4,3,3,3} = 32 رأسًا	${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$	γ 3 5 = 243 رأسًا	γ 4 5 = 1024 رأسًا	γ 5 5 = 3125 رأسًا	γ 6 5 = 7776 رأسًا	γ 7 5 = 16807 رأسًا	γ 8 5 = 32,768 رأسًا
${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$	γ 2 6 = {4,3,3,3,3} = 64 رأسًا	${\displaystyle \mathbb {C} ^{6}}$	γ 3 6 = 729 رأسًا	γ 4 6 = 4096 رأسًا	γ 5 6 = 15625 رأسًا	γ 6 6 = 46,656 رأسًا	γ 7 6 = 117,649 رأسًا	γ 8 6 = 262,144 رأسًا
${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$	γ 2 7 = {4,3,3,3,3,3} = 128 رأسًا	${\displaystyle \mathbb {C} ^{7}}$	γ 3 7 = 2187 رأسًا	γ 4 7 = 16384 رأسًا	γ 5 7 = 78,125 رأسًا	γ 6 7 = 279,936 رأسًا	γ 7 7 = 823,543 رأسًا	γ 8 7 = 2,097,152 رأسًا
${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$	γ 2 8 = {4,3,3,3,3,3,3} = 256 رأسًا	${\displaystyle \mathbb {C} ^{8}}$	γ 3 8 = 6561 رأسًا	γ 4 8 = 65,536 رأسًا	γ 5 8 = 390,625 رأسًا	γ 6 8 = 1,679,616 رأسًا	γ 7 8 = 5,764,801 رأسًا	γ 8 8 = 16,777,216 رأسًا

أي عدد صحيح موجب مرفوع إلى قوة عدد صحيح موجب آخر ينتج عنه عدد صحيح ثالث، وهذا العدد الثالث هو نوع محدد من الأعداد الشكلية التي تُقابل مكعبًا من الرتبة n، بعدد أبعاد يُطابق الأس. على سبيل المثال، الأس 2 ينتج عنه مربع كامل ، يمكن ترتيبه على شكل مربع طول ضلعه مساويًا لطول القاعدة. وبالمثل، الأس 3 ينتج عنه مكعب كامل ، وهو عدد صحيح يمكن ترتيبه على شكل مكعب طول ضلعه مساويًا لطول القاعدة. ونتيجة لذلك، يُشار إلى عملية رفع عدد إلى 2 أو 3 عادةً باسم " التربيع " و"التكعيب" على التوالي. مع ذلك، لا يبدو أن أسماء المكعبات الفائقة ذات الرتب الأعلى شائعة الاستخدام للقوى الأعلى.

• شبكة الربط البيني المكعبة الفائقة لهندسة الحاسوب
• مجموعة التماثل الفائق الثماني السطوح ، مجموعة التماثل للمكعب الفائق
• كرة فائقة
• سيمبلكس
• متوازي السطوح
• لوحة "الصلب" (Corpus Hypercubus) ، للفنان سلفادور دالي، والتي تصور مكعبًا رباعيًا غير مطوي.

• بوين، جيه بي (أبريل 1982). "المكعب الفائق" . الحوسبة العملية . 5 (4): 97-99 . مؤرشف من الأصل في 30 يونيو 2008. تم الاطلاع عليه في 30 يونيو 2008 .
• كوكسيتر، إتش إس إم (1973). "§7.2. انظر الشكل التوضيحي 7-2ج". متعددات الوجوه المنتظمة (  الطبعة الثالثة). دوفر . الصفحات 122-123 . ISBN  0-486-61480-8.ص  296، الجدول الأول (ثالثًا): متعددات الوجوه المنتظمة، ثلاثة متعددات وجوه منتظمة في n أبعاد ( n  ≥  5)
• هيل، فريدريك جيه؛ جيرالد ر. بيترسون (1974). مقدمة في نظرية التبديل والتصميم المنطقي: الطبعة الثانية . نيويورك: جون وايلي وأولاده . ISBN 0-471-39882-9.انظر الفصل 7.1 "التمثيل المكعب للدوال البوليانية" حيث يتم تقديم مفهوم "المكعب الفائق" كوسيلة لإظهار رمز المسافة 1 ( رمز غراي ) كرؤوس للمكعب الفائق، ثم يتم ضغط المكعب الفائق مع رؤوسه التي تم تسميتها بهذه الطريقة إلى بعدين لتشكيل إما مخطط فيتش أو خريطة كارنو .

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المكعب الفائق" . عالم الرياضيات .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "الرسوم البيانية المكعبة الفائقة" . عالم الرياضيات .
• تدوير مكعب فائق بواسطة إنريكي زيليني، مشروع عروض وولفرام .
• تنزيلات برنامج هايبركيوب من رودي روكر وفريدة دورميشيان
• A001787 عدد الحواف في مكعب فائق الأبعاد n.     في OEIS