اختبار كوشي للتكثيف

جزء من سلسلة مقالات حول
حساب التفاضل والتكامل
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
النظرية الأساسية الحدود الاستمرارية نظرية رول نظرية القيمة المتوسطة نظرية الدالة العكسية
التفاضلي التعاريف المشتقات  ( التعميمات ) التفاضلي لانهائي في الصغر من وظيفة المجموع المفاهيم تدوين التفاضل المشتقة الثانية التمايز الضمني التفاضل اللوغاريتمي الأسعار ذات الصلة نظرية تايلور القواعد والهويات مجموع منتج سلسلة قوة الحاصل قاعدة لوبيتال معكوس الجنرال لايبنتز صيغة فا دي برونو رينولدز
أساسي قوائم التكاملات تحويل تكاملي قاعدة تكامل لايبنتز التعاريف مشتق مضاد تكامل  ( غير صحيح ) تكامل ريمان تكامل ليبيج تكامل الكنتور تكامل الدوال العكسية التكامل بواسطة أجزاء الأقراص قواقع اسطوانية التعويض  ( مثلثي ، نصف زاوية مماسية ، أويلر ) صيغة أويلر الكسور الجزئية ( طريقة هيفسايد ) تغيير الترتيب صيغ التخفيض التفاضل تحت علامة التكامل خوارزمية ريش
مسلسل هندسي  ( حسابي هندسي ) متناسق متناوب قوة ثنائي الحدين تايلور اختبارات التقارب حد المجموع (اختبار المصطلح) نسبة جذر أساسي مقارنة مباشرة مقارنة الحدود سلسلة متناوبة تكاثف كوشي ديريتشليت هابيل
متجه التدرج التباعد حليقة لابلاسيان المشتق الاتجاهي الهويات نظريات التدرج جرينز ستوكس التباعد ستوكس المعمم تحلل هلمهولتز
متعدد المتغيرات الشكليات المصفوفة الموتر الخارج هندسي التعاريف المشتقة الجزئية تكامل متعدد تكامل خطي التكامل السطحي حجم التكامل جاكوبيان هيسيان
متقدم حساب التفاضل والتكامل في الفضاء الإقليدي الوظائف المعممة حدود التوزيعات
متخصص كسري ماليافين عشوائي الاختلافات
منوعات ما قبل حساب التفاضل والتكامل تاريخ المصطلحات قائمة المواضيع نحلة التكامل التحليل الرياضي تحليل غير قياسي
ف ت هـ

في الرياضيات ، اختبار تكثيف كوشي ، المسمى على اسم أوغستين لويس كوشي ، هو اختبار تقارب قياسي للمتسلسلات اللانهائية . بالنسبة لمتتالية غير متزايدة من الأعداد الحقيقية غير السالبة ، تتقارب السلسلة إذا وفقط إذا تقاربت السلسلة "المكثفة". علاوة على ذلك، إذا تقاربت، فإن مجموع السلسلة المكثفة لا يزيد عن ضعف مجموع السلسلة الأصلية. ${\displaystyle f(n)}$${\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$ ${\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$

يتبع اختبار تكثيف كوشي التقدير الأقوى، والذي ينبغي فهمه باعتباره متباينة للأعداد الحقيقية الممتدة . يتبع ذلك التوجه الأساسي للإثبات ، على غرار إثبات أورسم لتباعد السلسلة التوافقية . $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n),}$$

لرؤية المتباينة الأولى، يتم إعادة تقسيم حدود السلسلة الأصلية إلى مسارات تكون أطوالها قوى للرقم اثنين ، ثم يتم تحديد كل سلسلة من الأعلى عن طريق استبدال كل حد بأكبر حد في تلك السلسلة. يكون هذا الحد دائمًا هو الحد الأول، نظرًا لأن الحدود غير متزايدة وفقًا للافتراض. $${\displaystyle {\begin{array}{rcccccccl}\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&\cdots \\&=&f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(3){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){\Big )}&+&\cdots \\&\leq &f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}&+&\cdots \\&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\end{array}}}$$

ولرؤية المتباينة الثانية، يتم إعادة تقسيم هاتين السلسلتين مرة أخرى إلى مسارات بقوة طولها اثنان، ولكن مع "إزاحة" كما هو موضح أدناه، بحيث يتماشى مسارها الذي يبدأ بـ مع نهاية مسارها الذي ينتهي بـ ، بحيث يبقى الأول دائمًا "متقدمًا" على الأخير. ${\textstyle 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$${\textstyle f(2^{n})}$${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$${\textstyle f(2^{n})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=f(1)+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&={\Big (}f(1)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&\leq {\Big (}f(1)+f(1){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(3)+f(3){\Big )}+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\end{aligned}}}$$

يستذكر تحويل "التكثيف" استبدال المتغير التكاملي الذي يعطي . ${\textstyle f(n)\rightarrow 2^{n}f(2^{n})}$${\textstyle x\rightarrow e^{x}}$${\textstyle f(x)\,\mathrm {d} x\rightarrow e^{x}f(e^{x})\,\mathrm {d} x}$

وبمتابعة هذه الفكرة، فإن اختبار التكامل للتقارب يعطينا، في حالة رتيبة ، أن تتقارب إذا وفقط إذا تقاربت. ويعطي التعويض التكامل . ثم نلاحظ أن ، حيث يأتي الجانب الأيمن من تطبيق اختبار التكامل على المتسلسلة المكثفة . وبالتالي، تتقارب إذا وفقط إذا تقاربت. ${\displaystyle f}$${\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$${\displaystyle \displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}$${\textstyle x\rightarrow 2^{x}}$${\displaystyle \displaystyle \log 2\ \int _{2}^{\infty }\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm {d} x}$${\displaystyle \displaystyle \log 2\ \int _{2}^{\infty }\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm {d} x<\log 2\ \int _{0}^{\infty }\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm {d} x}$${\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$${\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$${\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$

يمكن أن يكون الاختبار مفيدًا للسلسلة حيث يظهر n في المقام في f . بالنسبة لأبسط مثال من هذا النوع، يتم تحويل السلسلة التوافقية إلى السلسلة ، والتي تتباعد بوضوح. ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }1/n}$${\textstyle \sum 1}$

كمثال أكثر تعقيدًا، خذ $${\displaystyle f(n):=n^{-a}(\log n)^{-b}(\log \log n)^{-c}.}$$

هنا تتقارب السلسلة بالتأكيد عندما تكون a > 1 ، وتتباعد عندما تكون a < 1. عندما تكون a = 1 ، فإن تحويل التكثيف يعطي السلسلة $${\displaystyle \sum n^{-b}(\log n)^{-c}.}$$

"تنتقل اللوغاريتمات إلى اليسار". لذا عندما تكون a = 1 ، يكون لدينا تقارب عندما تكون b > 1 ، وتباعد عندما تكون b < 1. وعندما تكون b = 1 ، تدخل قيمة c .

يمكن تعميم هذه النتيجة بسهولة: يمكن استخدام اختبار التكثيف، المطبق بشكل متكرر، لإظهار أنه بالنسبة لـ ، تتقارب سلسلة برتراند المعممة بالنسبة لـ وتتباعد بالنسبة لـ . ^[1] يشير هنا إلى تكرار m لدالة ، بحيث تم اختيار الحد الأدنى للمجموع، ، بحيث تكون جميع حدود السلسلة موجبة. والجدير بالذكر أن هذه السلاسل توفر أمثلة على مبالغ لا نهائية تتقارب أو تتباعد ببطء شديد. على سبيل المثال، في حالة و ، يتجاوز المجموع الجزئي 10 فقط بعد ( جوجول بليكس ) من الحدود؛ ومع ذلك تتباعد السلسلة مع ذلك. ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$$${\displaystyle \sum _{n\geq N}{\frac {1}{n\cdot \log n\cdot \log \log n\cdots \log ^{\circ (k-1)}n\cdot (\log ^{\circ k}n)^{\alpha }}}\quad \quad (N=\lfloor \exp ^{\circ k}(0)\rfloor +1)}$$${\displaystyle \alpha >1}$${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$${\displaystyle f^{\circ m}}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f^{\circ m}(x):={\begin{cases}f(f^{\circ (m-1)}(x)),&m=1,2,3,\ldots ;\\x,&m=0.\end{cases}}}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle k=2}$${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle 10^{10^{100}}}$

أعطى أوسكار شلوميلش تعميمًا لاختبار التكثيف . ^[2] دع u ( n ) تكون متوالية متزايدة تمامًا من الأعداد الصحيحة الموجبة بحيث تكون نسبة الاختلافات المتتالية محدودة: يوجد عدد حقيقي موجب N ، حيث $${\displaystyle {\Delta u(n) \over \Delta u(n{-}1)}\ =\ {u(n{+}1)-u(n) \over u(n)-u(n{-}1)}\ <\ N\ {\text{ for all }}n.}$$

ثم، بشرط أن تفي بنفس الشروط المسبقة كما في اختبار تقارب كوشي ، فإن تقارب السلسلة يعادل تقارب ${\displaystyle f(n)}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\Delta u(n)}\,f(u(n))\ =\ \sum _{n=0}^{\infty }{\Big (}u(n{+}1)-u(n){\Big )}f(u(n)).}$$

وبناءً على ذلك ، فإن اختبار كوشي للتكثيف يظهر كحالة خاصة. ${\textstyle u(n)=2^{n}}$${\textstyle \Delta u(n)=u(n{+}1)-u(n)=2^{n}}$

• بونار، خوري (2006). المتسلسلة اللانهائية الحقيقية . الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-88385-745-6 . 

• إثبات اختبار التكثيف لكوشي