شريط موبيوس

الموسوعة الحرة

شريط موبيوس ورقي

في الرياضيات ، شريط موبيوس ، أو حلقة موبيوس ، هو سطح يمكن تشكيله بربط طرفي شريط ورقي معًا بنصف لفة. اكتشفه يوهان بنديكت ليستينغ وأوغست فرديناند موبيوس ككائن رياضي عام 1858، ولكنه كان قد ظهر بالفعل في الفسيفساء الرومانية منذ القرن الثالث الميلادي . شريط موبيوس سطح غير قابل للتوجيه ، أي أنه لا يمكن التمييز بدقة بين الدوران باتجاه عقارب الساعة وعكسها داخله. كل سطح غير قابل للتوجيه يحتوي على شريط موبيوس.

باعتبارها فضاءً طوبولوجيًا مجردًا ، يمكن تضمين شريط موبيوس في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد بطرقٍ عديدة: فاللفة النصفية باتجاه عقارب الساعة تختلف عن اللفة النصفية عكس اتجاه عقارب الساعة، ويمكن أيضًا تضمينه بأعداد فردية من اللفات أكبر من واحد، أو بخط مركزي معقود . أي تضمينين لهما نفس العقدة للخط المركزي ونفس عدد اللفات واتجاهها متكافئان طوبولوجيًا . جميع هذه التضمينات لها جانب واحد فقط، ولكن عند تضمينها في فضاءات أخرى، قد يكون لشريط موبيوس جانبان. وله منحنى حدودي واحد فقط .

تُضفي العديد من الإنشاءات الهندسية لشريط موبيوس عليه بنيةً إضافية. يمكن مسحه كسطح مُسطّر بواسطة قطعة مستقيمة تدور في مستوى دوار، مع أو بدون تقاطعات ذاتية. يمكن لشريط ورقي رقيق، مُتصل طرفاه لتشكيل شريط موبيوس، أن ينحني بسلاسة كسطح قابل للتطوير أو أن يُطوى بشكل مسطح ؛ ومن بين شرائط موبيوس المُسطّحة الشكل ثلاثي السداسي المرن . يُعد شريط موبيوس السوداني سطحًا أدنى في كرة فائقة ، بينما يُعد شريط موبيوس ميكس سطحًا أدنى متقاطعًا ذاتيًا في الفضاء الإقليدي العادي. يتميز كل من شريط موبيوس السوداني وشريط موبيوس آخر متقاطع ذاتيًا، وهو الغطاء المتقاطع، بحدود دائرية. يمكن لشريط موبيوس بدون حدود، والذي يُسمى شريط موبيوس مفتوح، أن يُشكّل أسطحًا ذات انحناء ثابت . بعض الفضاءات شديدة التناظر، التي تُمثل نقاطها خطوطًا في المستوى، لها شكل شريط موبيوس.

تشمل التطبيقات العديدة لشرائط موبيوس الأحزمة الميكانيكية التي تتآكل بالتساوي على كلا الجانبين، وقطارات الملاهي ذات المسارين التي تتناوب عرباتها بين المسارين، وخرائط العالم المطبوعة بحيث تظهر النقاط المتقابلة متقابلة. تظهر شرائط موبيوس في الجزيئات والأجهزة ذات الخصائص الكهربائية والكهروميكانيكية المبتكرة، وقد استُخدمت لإثبات نتائج الاستحالة في نظرية الاختيار الاجتماعي . في الثقافة الشعبية، تظهر شرائط موبيوس في أعمال فنية لفنانين مثل إم سي إيشر وماكس بيل وغيرهم، وفي تصميم رمز إعادة التدوير . استُلهمت العديد من المفاهيم المعمارية من شريط موبيوس، بما في ذلك تصميم مبنى قاعة مشاهير ناسكار . اعتمد فنانون مثل هاري بلاكستون الأب وتي نيلسون داونز في خدعهم السحرية على خصائص شريط موبيوس. تم تحليل مقطوعات يوهان سيباستيان باخ الموسيقية باستخدام شرائط موبيوس. تتضمن العديد من أعمال الخيال التأملي شرائط موبيوس. وبشكل عام، فإن بنية الحبكة القائمة على شريط موبيوس، أي الأحداث التي تتكرر مع اختلاف في الأحداث، شائعة في الأعمال الروائية.

تاريخ

فسيفساء من سينتينوم القديمة تصور أيون وهو يحمل شريط موبيوس
مضخة سلسلة بسلسلة محرك موبيوس، من صنع إسماعيل الجزري (1206)

يُنسب اكتشاف شريط موبيوس ككائن رياضي بشكل مستقل إلى عالمي الرياضيات الألمانيين يوهان بنديكت ليستينغ وأوغست فرديناند موبيوس عام 1858. [ 2 ] مع ذلك، كان معروفًا قبل ذلك بكثير، سواءً ككائن مادي أو في الرسوم الفنية؛ على وجه الخصوص، يمكن رؤيته في العديد من الفسيفساء الرومانية من القرن الثالث الميلادي. [ 3 ] [ 4 ] في كثير من الحالات، تُصوّر هذه الفسيفساء أشرطةً ملتفة كحدود. عندما يكون عدد اللفات فرديًا، تكون هذه الأشرطة عبارة عن أشرطة موبيوس، أما عندما يكون عدد اللفات زوجيًا، فإنها تُكافئ طوبولوجيًا حلقات غير ملتفة . لذلك، قد يكون كون الشريط شريط موبيوس مصادفةً، وليس اختيارًا مقصودًا. في حالة واحدة على الأقل، رُسم شريط بألوان مختلفة على جوانبه المختلفة بعدد فردي من اللفات، مما أجبر الفنان على إجراء تعديل غير متقن عند النقطة التي لم تتطابق فيها الألوان . [ 3 ] تُظهر فسيفساء أخرى من بلدة سينتينوم (الموضحة) دائرة الأبراج ، التي يحملها الإله أيون ، على شكل شريط ذي لفة واحدة فقط. لا يوجد دليل قاطع على أن أحادية جانب هذا التمثيل البصري للوقت السماوي كانت مقصودة؛ فقد يكون تم اختيارها ببساطة كوسيلة لجعل جميع علامات دائرة الأبراج تظهر على الجانب المرئي من الشريط. يُزعم أيضًا أن بعض التصاوير القديمة الأخرى للأوربوروس أو للزخارف على شكل الرقم ثمانية تُصوّر شرائط موبيوس، ولكن من غير الواضح ما إذا كان المقصود منها تصوير شرائط مسطحة من أي نوع . [ 4 ]

بغض النظر عن التقاليد الرياضية، لطالما عرف الميكانيكيون أن الأحزمة الميكانيكية تتآكل بنصف السرعة عند تشكيلها على هيئة شريط موبيوس، لأنها تستخدم كامل سطح الحزام بدلاً من السطح الداخلي فقط كما في الحزام غير الملتوي. [ 3 ] إضافةً إلى ذلك، قد يكون هذا النوع من الأحزمة أقل عرضةً للالتفاف من جانب إلى آخر. يعود أول وصف مكتوب لهذه التقنية إلى عام 1871، أي بعد أولى المنشورات الرياضية المتعلقة بشريط موبيوس. وقبل ذلك بكثير، تُظهر صورة لمضخة سلسلة في أحد أعمال إسماعيل الجزري من عام 1206 تكوين شريط موبيوس لسلسلة القيادة الخاصة بها. [ 4 ] كما استُخدم هذا السطح أيضاً من قِبل الخياطات في باريس (في تاريخ غير محدد): حيث كنّ يُدرّبن المبتدئات من خلال مطالبتهن بخياطة شريط موبيوس كياقة على قطعة ملابس. [ 3 ]

ملكيات

جسم ثنائي الأبعاد يجتاز دورة واحدة حول شريط موبيوس يعود في صورة معكوسة

يتمتع شريط موبيوس بعدة خصائص مثيرة للاهتمام. فهو سطح غير قابل للتوجيه : إذا انزلق جسم ثنائي الأبعاد غير متناظر دورة واحدة حول الشريط، فإنه يعود إلى موضعه الأصلي كصورة معكوسة. على وجه الخصوص، سيعود سهم منحني يشير إلى اتجاه عقارب الساعة (↻) كسهم يشير عكس اتجاه عقارب الساعة (↺)، مما يعني أنه ضمن شريط موبيوس، يستحيل تحديد معنى اتجاه عقارب الساعة أو عكسه بشكل متسق. إنه أبسط سطح غير قابل للتوجيه: أي سطح آخر يكون غير قابل للتوجيه إذا وفقط إذا كان شريط موبيوس جزءًا منه. [ 5 ] وبالمثل، عند تضمينه في الفضاء الإقليدي ، يكون لشريط موبيوس جانب واحد فقط. الجسم ثلاثي الأبعاد الذي ينزلق دورة واحدة حول سطح الشريط لا ينعكس، بل يعود إلى نفس النقطة على ما يبدو محليًا أنه جانبه الآخر، مما يدل على أن كلا الموضعين هما في الواقع جزء من جانب واحد. يختلف هذا السلوك عن الأسطح القابلة للتوجيه المألوفة في ثلاثة أبعاد، مثل تلك التي تُمثلها أوراق مسطحة، أو قشات شرب أسطوانية، أو كرات مجوفة، حيث لا يكون أحد جانبي السطح متصلاً بالآخر. [ 6 ] ومع ذلك، فإن هذه خاصية لتضمينها في الفضاء وليست خاصية جوهرية لشريط موبيوس نفسه: توجد فضاءات طوبولوجية أخرى يمكن تضمين شريط موبيوس فيها بحيث يكون له جانبان . [ 7 ] على سبيل المثال، إذا تم لصق الوجهين الأمامي والخلفي لمكعب ببعضهما البعض بانعكاس مرآة يمين-يسار، فإن النتيجة هي فضاء طوبولوجي ثلاثي الأبعاد ( الناتج الديكارتي لشريط موبيوس مع فاصل) يمكن فيه فصل نصفي المكعب العلوي والسفلي عن بعضهما البعض بواسطة شريط موبيوس ثنائي الجوانب. [ ب ] على عكس الأقراص والكرات والأسطوانات، التي يمكن تضمين عدد لا يُحصى من نسخها المنفصلة في الفضاء ثلاثي الأبعاد في آن واحد، لا يمكن تضمين سوى عدد محدود من شرائط موبيوس في آن واحد. [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]

يشمل المسار على طول حافة شريط موبيوس، عند تتبعه حتى يعود إلى نقطة بدايته على الحافة، جميع نقاط حدود شريط موبيوس في منحنى متصل واحد. بالنسبة لشريط موبيوس المُشكَّل من لصق ولف مستطيل، يكون طوله ضعف طول خط المنتصف للشريط. وبهذا المعنى، يختلف شريط موبيوس عن الحلقة غير الملتوية، ويشبه القرص الدائري في امتلاكه حدًا واحدًا فقط. [ 6 ] لا يمكن تحريك شريط موبيوس في الفضاء الإقليدي أو تمديده إلى صورته المرآوية؛ فهو جسم كيرالي ذو اتجاه يميني أو يساري. [ 12 ] تتميز شرائط موبيوس ذات عدد فردي من أنصاف اللفات أكبر من واحد، أو تلك المعقودة قبل اللصق، كمجموعات فرعية مضمنة في الفضاء ثلاثي الأبعاد، على الرغم من أنها جميعًا متكافئة كسطوح طوبولوجية ثنائية الأبعاد . [ 13 ] بتعبير أدق، يكون شريطا موبيوس متماثلين في الفضاء ثلاثي الأبعاد عندما تحدد خطوطهما المركزية العقدة نفسها، ويكون لهما العدد نفسه من الالتواءات . [ 14 ] أما مع عدد زوجي من الالتواءات، فنحصل على سطح طوبولوجي مختلف يُسمى الحلقة . [ 15 ]

يمكن تحويل شريط موبيوس باستمرار إلى خطه المركزي، وذلك بتضييقه مع تثبيت النقاط الواقعة عليه. يُعد هذا التحويل مثالًا على انكماش التشوه ، ووجوده يعني أن شريط موبيوس يمتلك العديد من الخصائص نفسها التي يمتلكها خطه المركزي، الذي يُمثل دائرة من الناحية الطوبولوجية. على وجه الخصوص، فإن مجموعته الأساسية هي نفسها المجموعة الأساسية للدائرة، وهي مجموعة دورية لانهائية . لذلك، يمكن تمييز المسارات على شريط موبيوس التي تبدأ وتنتهي عند النقطة نفسها طوبولوجيًا (حتى التماثل ) فقط من خلال عدد مرات التفافها حول الشريط. [ 16 ]

يؤدي قطع الخط المركزي إلى إنتاج شريط مزدوج الطول ذي وجهين (غير موبيوس)
ينتج عن قطع واحد غير مركزي شريط موبيوس (أرجواني) متصل بشريط مزدوج الطول ذي وجهين

يؤدي قص شريط موبيوس على طول خطه المركزي باستخدام مقص إلى شريط طويل واحد يحتوي على أربعة أنصاف لفات (مقارنةً بحلقة أو أسطوانة غير ملتوية) بدلاً من شريطين منفصلين. اثنان من أنصاف اللفات ناتجان عن مرور هذا الشريط الأرق مرتين عبر نصف اللفة في شريط موبيوس الأصلي، والاثنان الآخران ناتجان عن طريقة التفاف نصفي الشريط الأرق حول بعضهما. والنتيجة ليست شريط موبيوس، بل هي مكافئة طوبولوجيًا لأسطوانة. يؤدي قص هذا الشريط الملتوي مرتين مرة أخرى على طول خطه المركزي إلى إنتاج شريطين ملتويين مرتين متصلين. أما إذا قُطع شريط موبيوس طوليًا، عند ثلث عرضه، فإنه ينتج شريطين متصلين. أحدهما شريط موبيوس مركزي أرق، بينما يحتوي الآخر على نصفي لفة . [ 6 ] تُسمى هذه الأشكال المترابطة، التي تتكون من شرائح طولية من شرائط موبيوس ذات عروض متفاوتة، أحيانًا بالحلقات المتوازية . [ 17 ] [ 18 ]

التقسيم إلى ست مناطق متجاورة، محددة بمخطط تيتز
حل مسألة المرافق الثلاثة على شريط موبيوس

يمكن تقسيم شريط موبيوس إلى ست مناطق متجاورة، مما يُظهر أن الخرائط على سطح شريط موبيوس قد تتطلب أحيانًا ستة ألوان، على عكس نظرية الألوان الأربعة للمستوى . [ 19 ] ستة ألوان كافية دائمًا. هذه النتيجة جزء من نظرية رينجل-يونغز ، التي تُحدد عدد الألوان التي يحتاجها كل سطح طوبولوجي. [ 20 ] تُشكل حواف ورؤوس هذه المناطق الست مخطط تيتز ، وهو مخطط ثنائي على هذا السطح للمخطط الكامل ذي الرؤوس الستة، لكن لا يمكن رسمه دون تقاطعات على مستوى . هناك عائلة أخرى من المخططات التي يمكن تضمينها على شريط موبيوس، ولكن ليس على المستوى، وهي سلالم موبيوس ، وهي حدود تقسيمات شريط موبيوس إلى مستطيلات تلتقي طرفًا بطرف. [ 21 ] تشمل هذه الأمثلة مخطط المنفعة، وهو مخطط ثنائي الأجزاء كامل بستة رؤوس ، ويُظهر تضمينه في شريط موبيوس أنه، على عكس المستوى، يمكن حل مسألة المنفعة الثلاث على شريط موبيوس شفاف. [ 22 ] خاصية أويلر لشريط موبيوس تساوي صفرًا ، مما يعني أنه لأي تقسيم للشريط بواسطة الرؤوس والحواف إلى مناطق، فإن الأعدادV{\displaystyle V}،هـ{\displaystyle E}، وF{\displaystyle F}من الرؤوس والحواف والمناطق تحققV-هـ+F=0{\displaystyle V-E+F=0}على سبيل المثال، يحتوي رسم تيتز البياني على12{\displaystyle 12}الرؤوس،18{\displaystyle 18}الحواف، و6{\displaystyle 6}المناطق؛12-18+6=0{\displaystyle 12-18+6=0}[ 19 ]​

الإنشاءات

هناك العديد من الطرق المختلفة لتعريف الأسطح الهندسية باستخدام طوبولوجيا شريط موبيوس، مما ينتج عنه تطبيقات ذات خصائص هندسية إضافية.

مسح قطعة مستقيمة

شريط موبيوس يتم مسحه بواسطة قطعة مستقيمة دوارة في مستوى دوار
مخروط بلوكر الذي تم مسحه بحركة مختلفة لقطعة مستقيمة

إحدى طرق تضمين شريط موبيوس في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد هي مسحه بقطعة مستقيمة تدور في مستوى، والذي بدوره يدور حول أحد خطوطه . [ 23 ] ولكي يلتقي السطح الممسوح مع نفسه بعد نصف لفة، يجب أن تدور القطعة المستقيمة حول مركزه بنصف السرعة الزاوية لدوران المستوى. ويمكن وصف ذلك بأنه سطح وسيطي مُعرَّف بمعادلات الإحداثيات الديكارتية لنقاطه. x(u،v)=(1+v2كوس⁡u2)كوس⁡uy(u،v)=(1+v2كوس⁡u2)الخطيئة⁡uz(u،v)=v2الخطيئة⁡u2\begin{aligned}x(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos{\frac{u}{2}}\right)\cos u\\y(u,v)=\left(1+\frac{v}{2}\cos{\frac{u}{2}}\right)\sin u\\z(u,v)=\frac{v}{2}\sin{\frac{u}{2}}\\\end{aligned}}} ل0≤u<2π{\displaystyle 0\leq u<2\pi }و-1≤v≤1{\displaystyle -1\leq v\leq 1}، حيث يكون أحد المعلماتu{\displaystyle u}يصف زاوية دوران المستوى حول محوره المركزي والمعامل الآخرv{\displaystyle v}يصف هذا موضع نقطة على طول قطعة مستقيمة دوارة. ينتج عن ذلك شريط موبيوس بعرض 1، ودائرته المركزية نصف قطرها 1، ويقع فيxy{\displaystyle xy}المستوى - ويتمركز عند(0،0،0){\displaystyle (0,0,0)}[ 24 ] يمكن استخدام الطريقة نفسها لإنتاج شرائط موبيوس بأي عدد فردي من أنصاف اللفات، وذلك بتدوير القطعة بسرعة أكبر في مستواها. تمسح القطعة الدوارة قرصًا دائريًا في المستوى الذي تدور فيه، ويشكل شريط موبيوس الناتج شريحةً عبر الحلقة الصلبة التي مسحها هذا القرص. وبسبب كون هذه الشريحة أحادية الجانب، تبقى الحلقة المقطوعة متصلة. [ 25 ]

يشكّل خط أو قطعة مستقيمة تتحرك بحركة مختلفة، وتدور في مستوى أفقي حول نقطة الأصل أثناء تحركها لأعلى ولأسفل، ما يُعرف بمخروط بلوكر أو أسطوانته، وهو سطح جبري مُسطّر على شكل شريط موبيوس متقاطع ذاتيًا. [ 26 ] وله تطبيقات في تصميم التروس . [ 27 ]

الأسطح متعددة الأوجه والطيات المسطحة

ثني المضلع ثلاثي السداسي المرن

يمكن تشكيل شريط من الورق على شكل شريط موبيوس مسطح في المستوى عن طريق طيه عند60∘{\displaystyle 60^{\circ }}زوايا بحيث يقع خطها المركزي على طول مثلث متساوي الأضلاع ، مع توصيل الأطراف. أقصر شريط يمكن تحقيق ذلك له يتكون من ثلاثة مثلثات متساوية الأضلاع، مطوية عند الحواف حيث يلتقي مثلثان. نسبة أبعاده  - نسبة طول الشريط [ c ] إلى عرضه  - هي3≈1.73{\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.73}وينطبق أسلوب الطي نفسه على أي نسبة أبعاد أكبر. [ 28 ] [ 29 ] بالنسبة لشريط مكون من تسعة مثلثات متساوية الأضلاع، تكون النتيجة شكلًا سداسي مرن ثلاثي ، يمكن ثنيه لإظهار أجزاء مختلفة من سطحه . [ 30 ] بالنسبة للأشرطة القصيرة جدًا بحيث لا يمكن تطبيق هذه الطريقة عليها مباشرة، يمكن أولًا طي الشريط على شكل "أكورديون" في اتجاهه العريض ذهابًا وإيابًا باستخدام عدد زوجي من الطيات. على سبيل المثال، بطيتين،1×1{\displaystyle 1\times 1}سيصبح الشريط1×13{\displaystyle 1\times {\tfrac {1}{3}}}شريط مطويّ مقطعه العرضي على شكل حرف "N"، ويبقى كذلك بعد نصف لفة. يمكن طي الشريط الأضيق المطويّ على شكل أكورديون وضمّه بنفس طريقة ضم الشريط الأطول . [ 28 ] [ 29 ]

شرائط موبيوس متعددة الأوجه ذات خمسة رؤوس ومطوية بشكل مسطح

يمكن أيضًا تضمين شريط موبيوس كسطح متعدد السطوح في الفضاء أو طيه بشكل مسطح في المستوى، حيث تشترك خمسة أوجه مثلثية فقط في خمسة رؤوس. وبهذا المعنى، فهو أبسط من الأسطوانة ، التي تتطلب ستة مثلثات وستة رؤوس، حتى عند تمثيلها بشكل أكثر تجريدًا كمركب تبسيطي . [ 31 ] [ د ] يمكن تمثيل شريط موبيوس ذي الخمسة مثلثات بشكل متناظر للغاية بخمسة من المثلثات العشرة متساوية الأضلاع لمركب بسيط منتظم رباعي الأبعاد . يُعد شريط موبيوس متعدد السطوح رباعي الأبعاد هذا هو شريط موبيوس المحكم الوحيد ، وهو شريط رباعي الأبعاد بالكامل، وتفصله جميع القطوع بواسطة المستويات الفائقة إلى جزأين متكافئين طوبولوجيًا مع الأقراص أو الدوائر. [ 32 ]

تتضمن التضمينات متعددة السطوح الأخرى لشرائط موبيوس تضمينًا بأربعة أشكال رباعية محدبة كأوجه، وتضمينًا آخر بثلاثة أشكال رباعية غير محدبة، [ 33 ] وتضمينًا ثالثًا يستخدم رؤوس ومركز ثماني السطوح منتظم ، مع حدود مثلثة . [ 34 ] يمكن تضمين أي تثليث مجرد للمستوى الإسقاطي في الفضاء ثلاثي الأبعاد كشريط موبيوس متعدد السطوح ذي حدود مثلثة بعد إزالة أحد أوجهه؛ [ 35 ] ومن الأمثلة على ذلك المستوى الإسقاطي ذو الستة رؤوس الذي يتم الحصول عليه بإضافة رأس واحد إلى شريط موبيوس ذي الخمسة رؤوس، والمتصل بمثلثات بكل حافة من حواف حدوده . [ 31 ] ومع ذلك، لا يمكن تمثيل كل تثليث مجرد لشريط موبيوس هندسيًا، كسطح متعدد السطوح . [ 36 ] لكي يكون قابلاً للتحقيق، من الضروري والكافي ألا يكون هناك دورتان ثلاثيتان منفصلتان غير قابلتين للانكماش في التثليث. [ 37 ]

مستطيلات مدمجة بسلاسة

يمكن تضمين شريط موبيوس مستطيل الشكل، مصنوع عن طريق ربط طرفي مستطيل ورقي، بسلاسة في الفضاء ثلاثي الأبعاد كلما كانت نسبة أبعاده أكبر من3≈1.73{\displaystyle {\sqrt {3}}\approx 1.73}وهي نفس النسبة كما في نسخة شريط موبيوس المثلثية متساوية الأضلاع المطوية بشكل مسطح . [ 38 ] يمكن رفع هذا التضمين المثلثي المسطح إلى تضمين أملس [ e ] في ثلاثة أبعاد، حيث يستقر الشريط بشكل مسطح في ثلاثة مستويات متوازية بين ثلاث بكرات أسطوانية، كل منها مماس لاثنين من المستويات. [ 38 ] رياضيًا، يمكن نمذجة ورقة مغمورة بسلاسة كسطح قابل للتطوير ، يمكن ثنيه ولكن لا يمكن تمديده. [ 39 ] [ 40 ] مع انخفاض نسبة أبعاده باتجاه3{\displaystyle {\sqrt {3}}}يبدو أن جميع التضمينات السلسة تقترب من نفس الشكل المثلثي. [ 41 ]

تمنع الطيات الطولية لشريط موبيوس المسطح المطوي على شكل أكورديون من تشكيل بنية ثلاثية الأبعاد تنفصل فيها الطبقات عن بعضها البعض وتنحني بسلاسة دون تجعد أو تمدد بعيدًا عن الطيات. [ 29 ] على عكس حالة الطي المسطح، يوجد حد أدنى لنسبة العرض إلى الارتفاع لشرائط موبيوس المستطيلة الملساء. لا يمكن أن تقل نسبة العرض إلى الارتفاع عنπ/2≈1.57{\displaystyle \pi /2\approx 1.57}حتى في حال السماح بالتقاطعات الذاتية. توجد شرائط موبيوس ملساء متقاطعة ذاتيًا لأي نسبة عرض إلى ارتفاع أعلى من هذا الحد. [ 29 ] [ 42 ] بدون تقاطعات ذاتية، يجب أن تكون نسبة العرض إلى الارتفاع على الأقل [ 43 ]233+23≈1.695.{\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {3+2{\sqrt {3}}}}\approx 1.695.}

مشكلة لم تُحل في الرياضيات
هل يمكن لـ12×7{\displaystyle 12\times 7}هل يمكن لصق مستطيل ورقي من طرف إلى طرف لتشكيل شريط موبيوس أملس مغمور في الفضاء؟ [ f ]
المزيد من المسائل غير المحلولة في الرياضيات

بالنسبة لنسب العرض إلى الارتفاع بين هذا الحد و3{\displaystyle {\sqrt {3}}}لطالما كانت مسألة وجود تضمينات ملساء، دون تقاطع ذاتي، مسألة مفتوحة . [ 29 ] [ 42 ] [ 43 ] في عام 2023، أعلن ريتشارد شوارتز عن برهان على عدم وجودها، لكن هذه النتيجة لا تزال بانتظار مراجعة الأقران والنشر. [ 44 ] [ 45 ] إذا تم تخفيف شرط السلاسة للسماح بالأسطح القابلة للتفاضل باستمرار ، فإن نظرية ناش-كويبر تشير إلى أنه يمكن لصق أي حافتين متقابلتين لأي مستطيل لتشكيل شريط موبيوس مضمن، بغض النظر عن صغر نسبة العرض إلى الارتفاع . [ g ] تُسمى الحالة الحدية، وهي سطح مُستمد من شريط لانهائي من المستوى بين خطين متوازيين، مُلصقين باتجاهين متعاكسين، شريط موبيوس غير المحدود أو حزمة الخطوط الحقيقية التكرارية . [ 46 ] على الرغم من أنه لا يوجد له تضمين مغلق أملس في الفضاء ثلاثي الأبعاد، إلا أنه يمكن تضمينه بسلاسة كمجموعة فرعية مغلقة من الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد . [ 47 ]

لا يوجد وصف تحليلي معروف لشكل شريط موبيوس أملس مُلصق من مستطيل، والذي يحقق أدنى طاقة، ولكن يمكن حسابه عدديًا، وقد كان موضوعًا للعديد من الدراسات في نظرية الصفائح منذ العمل الأولي في هذا الموضوع عام 1930 على يد مايكل سادوفسكي . [ 39 ] [ 40 ] من الممكن أيضًا إيجاد أسطح جبرية تحتوي على شرائط موبيوس مستطيلة قابلة للتطوير. [ 48 ] [ 49 ]

جعل الحدود دائرية

لصق شريطين من شريط موبيوس لتشكيل زجاجة كلاين
إسقاط لشريط موبيوس السوداني

حافة شريط موبيوس ، أو حدوده ، تُعادل الدائرة من الناحية الطوبولوجية . في الأشكال الشائعة لشريط موبيوس، يكون شكلها مختلفًا عن الدائرة، لكنها غير معقودة ، وبالتالي يمكن مدّ الشريط بأكمله دون أن يتقاطع مع نفسه لجعل الحافة دائرية تمامًا. [ 50 ] أحد الأمثلة على ذلك يعتمد على طوبولوجيا زجاجة كلاين ، وهي سطح أحادي الجانب بدون حدود لا يمكن تضمينه في الفضاء ثلاثي الأبعاد، لكن يمكن غمره (مما يسمح للسطح بتقاطع نفسه بطرق محددة). زجاجة كلاين هي السطح الناتج عن لصق شريطي موبيوس معًا من الحافة إلى الحافة، وبعكس هذه العملية ، يمكن تقطيع زجاجة كلاين على طول قطع مُختار بعناية لإنتاج شريطي موبيوس. [ 51 ] بالنسبة لشكل من أشكال زجاجة كلاين يُعرف باسم زجاجة كلاين لوسون، يمكن جعل المنحنى الذي يتم تقطيعها على طوله دائريًا، مما ينتج عنه شرائط موبيوس ذات حواف دائرية. [ 52 ]  

زجاجة كلاين الخاصة بلاوسون هي سطح أدنى ذاتي التقاطع في الكرة الفائقة الوحدوية للفضاء رباعي الأبعاد، وهي مجموعة النقاط التي على شكل(كوس⁡θكوس⁡ϕ،الخطيئة⁡θكوس⁡ϕ،كوس⁡2θالخطيئة⁡ϕ،الخطيئة⁡2θالخطيئة⁡ϕ){\displaystyle (\cos \theta \cos \phi ,\sin \theta \cos \phi ,\cos 2\theta \sin \phi ,\sin 2\theta \sin \phi )}ل0≤θ<π،0≤ϕ<2π{\displaystyle 0\leq \theta <\pi ,0\leq \phi <2\pi }[ 53 ] نصف زجاجة كلاين هذه، المجموعة الفرعية مع0≤ϕ<π{\displaystyle 0\leq \phi <\pi }[ 54 ] يُقدّم هذا الشكل شريط موبيوس مُضمّنًا في الكرة الفائقة كسطح أدنى بحدود دائرة عظمى . [ 55 ] يُطلق على هذا التضمين أحيانًا اسم "شريط موبيوس السوداني" نسبةً إلى عالمي الطوبولوجيا سو غودمان ودانيال أسيموف، اللذين اكتشفاه في سبعينيات القرن العشرين. [ 56 ] هندسيًا، يُمكن إنشاء زجاجة كلاين الخاصة بلاوسون عن طريق مسح دائرة عظمى بحركة دائرية عظمى في الكرة ثلاثية الأبعاد ، ويُحصل على شريط موبيوس السوداني عن طريق مسح نصف دائرة بدلًا من دائرة كاملة، أو بشكل مكافئ عن طريق تقطيع زجاجة كلاين على طول دائرة عمودية على جميع الدوائر الممسوحة. [ 52 ] [ 56 ] يُحوّل الإسقاط المجسم هذا الشكل من فضاء كروي ثلاثي الأبعاد إلى فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد، مع الحفاظ على دائرية حدوده . [ 52 ] يُحصل على الإسقاط الأكثر تناظرًا باستخدام نقطة إسقاط تقع على الدائرة العظمى التي تمر بمنتصف كل نصف دائرة، ولكنه يُنتج تضمينًا غير محدود عند إزالة نقطة الإسقاط من محورها المركزي. [ 54 ] في المقابل، فإن ترك شريط موبيوس السوداني دون إسقاط، في الكرة ثلاثية الأبعاد، يُبقيه مع مجموعة لانهائية من التناظرات المتماثلة مع المجموعة المتعامدة.يا(2){\displaystyle \mathrm {O} (2)}، مجموعة تناظرات الدائرة . [ 53 ]

رسم تخطيطي لغطاء متقاطع ذي قاعدة مفتوحة، يوضح مستوياته . يتقاطع هذا السطح مع نفسه على طول القطعة المستقيمة الرأسية.

يمتد شريط موبيوس السوداني على جميع جوانب دائرة حدوده، وهو أمر لا مفر منه لتجنب تقاطع السطح مع نفسه. وهناك شكل آخر لشريط موبيوس، يُسمى الغطاء المتقاطع ، وله حدود دائرية أيضًا، ولكنه يبقى على جانب واحد فقط من مستوى هذه الدائرة، [ 57 ] مما يجعله أكثر ملاءمة للالتصاق بالثقوب الدائرية في الأسطح الأخرى. وللقيام بذلك، يتقاطع مع نفسه. ويمكن تشكيله عن طريق إزالة شكل رباعي من أعلى نصف كرة، وتوجيه حواف الشكل الرباعي في اتجاهات متبادلة، ثم لصق أزواج متقابلة من هذه الحواف بما يتوافق مع هذا التوجيه. [ 58 ] يتقاطع جزآ السطح المتكونان من زوجي الحواف الملصقة مع بعضهما البعض بنقطة ضغط تشبه نقطة مظلة ويتني عند كل طرف من أطراف القطعة المتقاطعة ، [ 59 ] وهو نفس التركيب الطوبولوجي الموجود في مخروط بلوكر . [ 26 ]

أسطح ذات انحناء ثابت

شريط موبيوس المفتوح هو الجزء الداخلي النسبي لشريط موبيوس القياسي، ويتكون بحذف النقاط الواقعة على حافته الخارجية. يمكن إعطاؤه هندسة ريمانية ذات انحناء غاوسي ثابت موجب أو سالب أو صفري . تشكل حالتا الانحناء السالب والصفري أسطحًا كاملة جيوديسيًا، مما يعني أن جميع الخطوط الجيوديسية ("الخطوط المستقيمة" على السطح) يمكن تمديدها إلى ما لا نهاية في أي من الاتجاهين.

انحناء صفري
يمكن إنشاء شريط مفتوح ذي انحناء صفري عن طريق لصق الجانبين المتقابلين لشريط مستوٍ بين خطين متوازيين، وهو ما يُعرف أعلاه بحزمة الخطوط التكرارية. [ 46 ] يجعل المقياس الناتج شريط موبيوس المفتوح سطحًا مستويًا كاملًا (جيوديسيًا) (أي ذو انحناء غاوسي صفري في كل مكان). هذا هو المقياس الوحيد على شريط موبيوس، حتى التدرج المنتظم، الذي يكون مستويًا وكاملًا في آنٍ واحد. وهو فضاء القسمة لمستوى بواسطة انعكاس انزلاقي ، وهو (إلى جانب المستوى والأسطوانة والحلقة وزجاجة كلاين ) واحد من خمسة فضاءات مسطحة كاملة ثنائية الأبعاد فقط . [ 60 ]
انحناء سلبي
يسمح شريط موبيوس المفتوح أيضًا بمقاييس كاملة ذات انحناء سالب ثابت. إحدى طرق فهم ذلك هي البدء بنموذج النصف العلوي (بوانكاريه) للمستوى الزائدي ، وهو هندسة ذات انحناء ثابت تُمثل خطوطها في النموذج بأنصاف دوائر تتقاطع معx{\displaystyle x}محور السينات بزاوية قائمة. خذ مجموعة جزئية من النصف العلوي للمستوى بين أي نصفي دائرة متداخلين، وحدد نصف الدائرة الخارجية بانعكاس نصف الدائرة الداخلية من اليسار إلى اليمين. والنتيجة هي شريط موبيوس كامل وغير متراص من الناحية الطوبولوجية، ذو انحناء سالب ثابت. وهو سطح زائدي كامل "غير قياسي" بمعنى أنه يحتوي على نصف مستوى زائدي كامل (في الواقع نصفان، على جانبين متقابلين من محور الانعكاس الانزلاقي)، وهو واحد من 13 سطحًا غير قياسي فقط. [ 61 ] مرة أخرى، يمكن فهم هذا على أنه خارج قسمة المستوى الزائدي على انعكاس انزلاقي. [ 62 ]
انحناء إيجابي
لا يمكن أن يكون شريط موبيوس ذو الانحناء الموجب الثابت كاملاً، إذ من المعروف أن السطحين الكاملين الوحيدين ذوي الانحناء الموجب الثابت هما الكرة والمستوى الإسقاطي . [ 60 ] ومع ذلك، فهو من ناحية ما على بُعد نقطة واحدة فقط من أن يكون سطحًا كاملاً، لأن شريط موبيوس المفتوح متماثل شكليًا مع المستوى الإسقاطي المثقوب مرة واحدة ، وهو السطح الناتج عن إزالة أي نقطة من المستوى الإسقاطي. [ 63 ]

تُوصَف الأسطح الدنيا بأنها ذات انحناء متوسط ​​ثابت يساوي صفرًا بدلًا من انحناء غاوسي ثابت. بُني شريط موبيوس السوداني كسطح أدنى مُحاط بدائرة عظمى في كرة ثلاثية الأبعاد، ولكن يوجد أيضًا سطح أدنى كامل فريد (بدون حدود) مغمور في الفضاء الإقليدي، وله طوبولوجيا شريط موبيوس مفتوح. يُسمى هذا السطح شريط موبيوس ميكس، [ 64 ] نسبةً إلى وصفه عام 1982 من قِبَل ويليام هاميلتون ميكس الثالث . [ 65 ] على الرغم من عدم استقراره عالميًا كسطح أدنى، إلا أن أجزاءً صغيرة منه، مُحاطة بمنحنيات غير قابلة للانكماش داخل السطح، يُمكن أن تُشكِّل شرائط موبيوس مُضمَّنة مستقرة كأسطح دنيا. [ 66 ] يمكن إنشاء كل من شريط ميكس موبيوس، وكل سطح أدنى ذي أبعاد أعلى وله طوبولوجيا شريط موبيوس، باستخدام حلول مسألة بيورلينغ ، التي تحدد السطح الأدنى بشكل فريد من منحنى حدوده والمستويات المماسية على طول هذا المنحنى. [ 67 ]

مسافات الخطوط

يمكن إعطاء عائلة الخطوط في المستوى بنية فضاء أملس، حيث يُمثل كل خط بنقطة في هذا الفضاء. فضاء الخطوط الناتج مكافئ طوبولوجيًا لشريط موبيوس المفتوح . [ 68 ] إحدى طرق توضيح ذلك هي تمديد المستوى الإقليدي إلى المستوى الإسقاطي الحقيقي بإضافة خط آخر، وهو الخط عند اللانهاية . وبفضل الازدواجية الإسقاطية، فإن فضاء الخطوط في المستوى الإسقاطي مكافئ لفضاء نقاطه، أي المستوى الإسقاطي نفسه. إزالة الخط عند اللانهاية، لإنتاج فضاء الخطوط الإقليدية، تُثقب فضاء الخطوط الإسقاطية هذا. [ 69 ] لذلك، فإن فضاء الخطوط الإقليدية هو مستوى إسقاطي مثقوب، وهو أحد أشكال شريط موبيوس المفتوح . [ 63 ] يمكن تمثيل فضاء الخطوط في المستوى الزائدي بأزواج غير مرتبة من نقاط متميزة على دائرة، وهي أزواج النقاط عند اللانهاية لكل خط. هذا الفضاء، مرة أخرى، له بنية شريط موبيوس مفتوح. [ 70 ]

تتميز هذه الفضاءات الخطية بتناظر عالٍ. تشمل تناظرات الخطوط الإقليدية التحويلات الأفينية ، بينما تشمل تناظرات الخطوط الزائدية تحويلات موبيوس . [ 71 ] تُشكل كل من التحويلات الأفينية وتحويلات موبيوس زمر لي سداسية الأبعاد ، وهي فضاءات طوبولوجية ذات بنية جبرية متوافقة تصف تركيب التناظرات. [ 72 ] [ 73 ] ولأن كل خط في المستوى متناظر مع كل خط آخر، فإن شريط موبيوس المفتوح هو فضاء متجانس ، أي فضاء ذو ​​تناظرات تنقل كل نقطة إلى كل نقطة أخرى. تُسمى الفضاءات المتجانسة لزمر لي بالفضاءات الحلية ، ويمكن استخدام شريط موبيوس كمثال مضاد ، يُبين أن ليس كل فضاء حلي هو فضاء صفري ، وأنه لا يمكن تحليل كل فضاء حلي إلى حاصل ضرب مباشر لفضاء حلي مضغوط معRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}توفر هذه التناظرات أيضًا طريقة أخرى لبناء شريط موبيوس نفسه، كنموذج زمر لهذه الزمر اللي. يتكون نموذج الزمرة من زمرة لي وزمرة فرعية مثبتة لفعلها؛ يؤدي تقليص المشاركات في الزمرة الفرعية إلى نقاط إلى إنتاج فضاء له نفس طوبولوجيا الفضاء المتجانس الأساسي . في حالة تناظرات الخطوط الإقليدية، يكون مثبت...x{\displaystyle x}يتكون المحور من جميع التناظرات التي تجعل المحور نفسه. كل خطℓ{\displaystyle \ell }يتوافق مع مجموعة مشتركة، وهي مجموعة التناظرات التي تُسقطℓ{\displaystyle \ell }إلىx{\displaystyle x}المحور - لذلك، فإن فضاء القسمة ، وهو فضاء يحتوي على نقطة واحدة لكل مجموعة مشاركة ويرث طوبولوجيته من فضاء التناظرات، هو نفسه فضاء الخطوط، وهو مرة أخرى شريط موبيوس مفتوح. [ 74 ]

التطبيقات

التدفق الكهربائي في مقاومة موبيوس

بالإضافة إلى التطبيقات التي سبق مناقشتها لشرائط موبيوس في تصميم الأحزمة الميكانيكية التي تتآكل بالتساوي على سطحها بالكامل، وتطبيقات مخروط بلوكر في تصميم التروس، تشمل التطبيقات الأخرى لشرائط موبيوس ما يلي:

كما درس العلماء طاقة أغشية الصابون المصممة على شكل شرائط موبيوس، [ 88 ] [ 89 ] والتخليق الكيميائي للجزيئات ذات شكل شريط موبيوس، [ 90 ] [ 91 ] وتكوين شرائط موبيوس نانوية أكبر باستخدام تقنية طي الحمض النووي . [ 92 ]

"الالتواء اللانهائي" ، ماكس بيل ، 1956، من متحف ميدلهيم للنحت في الهواء الطلق

تتضمن الأعمال الفنية ثنائية الأبعاد التي تُصوّر شريط موبيوس لوحةً غير معنونة رسمها كورادو كالي عام 1947 (خُلّدت في قصيدة لتشارلز أولسون )، [ 93 ] [ 94 ] ومطبوعتين للفنان إم سي إيشر : "شريط موبيوس الأول" (1961)، الذي يصور ثلاث ديدان مسطحة مطوية تعض ذيول بعضها البعض؛ و "شريط موبيوس الثاني " (1963)، الذي يصور نملًا يزحف حول شريط موبيوس على شكل دائرة . [ 95 ] [ 96 ] كما أنه موضوع شائع في النحت الرياضي ، بما في ذلك أعمال ماكس بيل ( الشريط اللانهائي ، 1953)، وخوسيه دي ريفيرا ( اللانهاية ، 1967)، وسيباستيان . [ 93 ] وقد استُخدم شريط موبيوس معقود على شكل عقدة ثلاثية في عمل جون روبنسون " الخلود " (1982). [ 97 ] تُعدّ مقطوعة " كونتينيوم " (1976) لتشارلز أو. بيري واحدة من عدة مقطوعات لبيري تستكشف تنويعات شريط موبيوس. [ 98 ]

رمز إعادة التدوير
شعار جوجل درايف (2012–2014)
شعار IMPA على الطابع

بسبب شكلها المميز، تُعدّ شرائط موبيوس عنصرًا شائعًا في التصميم الجرافيكي . [ 97 ] يستند شعار إعادة التدوير الشهير ذو الأسهم الثلاثة، الذي صُمم عام 1970، إلى الشكل المثلث الأملس لشريط موبيوس ، [ 99 ] كما كان الحال مع شعار معرض إكسبو 74 ​​ذي الطابع البيئي . [ 100 ] تستخدم بعض أشكال رمز إعادة التدوير تصميمًا مختلفًا بثلاث لفات نصفية بدلًا من لفة واحدة، [ 99 ] واستخدمت النسخة الأصلية من شعار جوجل درايف شريط موبيوس ثلاثي اللفات مطويًا بشكل مسطح، كما هو الحال في تصاميم أخرى مماثلة. [ 101 ] يستخدم المعهد الوطني البرازيلي للرياضيات البحتة والتطبيقية (IMPA) شريط موبيوس أملسًا ومنمقًا كشعار له، ويعرض في مبناه تمثالًا كبيرًا مطابقًا لشريط موبيوس. [ 102 ] كما ظهر شريط موبيوس في تصميمات طوابع بريدية من دول من بينها البرازيل وبلجيكا وهولندا وسويسرا . [ 103 ] [ 104 ]

مدخل قاعة مشاهير ناسكار

لطالما شكلت شرائط موبيوس مصدر إلهام متكرر في التصميم المعماري للمباني والجسور. مع ذلك، فإن العديد من هذه المشاريع عبارة عن تصاميم مفاهيمية وليست أجسامًا مُشيدة، أو أنها تتجاوز تفسير شريط موبيوس كونه شكلًا رياضيًا أو جزءًا وظيفيًا من الهندسة المعمارية. [ 105 ] [ 106 ] ومن الأمثلة على ذلك المكتبة الوطنية في كازاخستان ، حيث خُطط لمبنى على شكل شريط موبيوس سميك، ولكن أُعيد تصميمه بشكل مختلف بعد انسحاب المهندسين المعماريين الأصليين من المشروع. [ 107 ] ومن المباني البارزة التي تتضمن شريط موبيوس قاعة مشاهير ناسكار ، المحاطة بشريط كبير ملتوي من الفولاذ المقاوم للصدأ يعمل كواجهة ومظلة، ويستحضر الأشكال المنحنية لحلبات السباق. [ 108 ] وعلى نطاق أصغر، يُعد كرسي موبيوس (2006) من تصميم بيدرو رييس مقعدًا للخطوبة ، قاعدته وجوانبه على شكل شريط موبيوس. [ 109 ] كشكل من أشكال الرياضيات وفنون النسيج ، تُحاك الأوشحة على شكل شرائط موبيوس منذ أعمال إليزابيث زيمرمان في أوائل ثمانينيات القرن العشرين. [ 110 ] في مجال تزيين الطعام ، استُخدمت شرائط موبيوس لتقطيع الخبز الدائري ، [ 111 ] وصنع حلقات من لحم الخنزير المقدد ، [ 112 ] وابتكار أشكال جديدة للمعكرونة . [ 113 ]

على الرغم من أن شريط موبيوس والبعد الرابع مفهومان مكانيان بحتان من الناحية الرياضية، إلا أنهما استُخدما بكثرة في أدب الخيال العلمي كأساس لحلقة زمنية قد يقع فيها ضحايا غير حذرين. ومن أمثلة هذا الأسلوب رواية "الأستاذ عديم الجوانب" لمارتن غاردنر (1946)، وقصة " مترو أنفاق اسمه موبيوس " لأرمين جوزيف دويتش ( 1950)، وفيلم موبيوس (1996) المقتبس عنها. تدور أحداث رواية "جدار الظلام" لآرثر سي كلارك (1946) في عالم كامل على شكل شريط موبيوس، بينما استُخدمت شرائط موبيوس التقليدية كحيل ذكية في العديد من قصص ويليام هازليت أبسون من أربعينيات القرن العشرين. [ 114 ] كما حُللت أعمال روائية أخرى على أنها ذات بنية شبيهة بشريط موبيوس، حيث تتكرر عناصر الحبكة مع تغيير مفاجئ. وتشمل هذه الأعمال رواية مارسيل بروست " بحثًا عن الزمن الضائع" (1913-1927)، ومسرحية لويجي بيرانديلو " ست شخصيات تبحث عن مؤلف " (1921)، وفيلم فرانك كابرا " إنها حياة رائعة" (1946)، وفيلم جون بارث " ضائع في بيت المرح" (1968)، وفيلم صموئيل ر. ديلاني "دالغرين" ( 1975 )، وفيلم "دوني داركو" (2001). [ 115 ]

إحدى الكانونات الموسيقية ليوهان سيباستيان باخ ، وهي الكانون الخامس من بين 14 كانونًا ( BWV 1087 ) التي اكتُشفت عام 1974 في نسخة باخ من متتاليات غولدبيرغ ، تتميز بتناظر انزلاقي-انعكاسي، حيث يُكرر كل صوت في الكانون، بنغمات معكوسة ، نفس اللحن من مقياسين سابقين. وبسبب هذا التناظر، يُمكن اعتبار نوتة هذا الكانون مكتوبة على شريط موبيوس. [ 116 ] [ h ] في نظرية الموسيقى ، تُعتبر النغمات التي تختلف بمقدار أوكتاف متكافئة عمومًا، ويُشكل فضاء النغمات الممكنة دائرة، هي الدائرة اللونية . ولأن شريط موبيوس هو فضاء التكوين لنقطتين غير مرتبتين على دائرة، فإن فضاء جميع التآلفات الثنائية النغمات يأخذ شكل شريط موبيوس. يُعد هذا المفهوم، وتعميماته على نقاط أكثر، تطبيقًا هامًا للمساحات المدارية في نظرية الموسيقى . [ 117 ] [ 118 ] تشمل الفرق الموسيقية الحديثة التي استوحت اسمها من شريط موبيوس فرقة الروك الإلكتروني الأمريكية موبيوس باند [ 119 ] وفرقة الروك التقدمي النرويجية رينغ فان موبيوس . [ 120 ]

حركة "موبيوس فليب" هي خدعة تزلج بهلوانية صعبة ، تتضمن انقلابًا كاملًا مع لفة. [ 121 ] في فيلم "موبيوس فليب" ، وهو فيلم تزلج تجريبي قصير من إنتاج عام 1969 ، ينقلب المتزلجون إلى واقع بديل ، وعليهم إكمال هذه الحركة للعودة إلى ديارهم. [ 122 ]

استُخدمت شرائط موبيوس وخصائصها في تصميم عروض الخدع السحرية . إحدى هذه الخدع، المعروفة باسم "الأشرطة الأفغانية"، تستغل حقيقة أن شريط موبيوس يبقى قطعة واحدة عند قصه طولياً. ظهرت هذه الخدعة في ثمانينيات القرن التاسع عشر، وحظيت بشعبية واسعة في النصف الأول من القرن العشرين. توجد نسخ عديدة من هذه الخدعة، وقد أداها سحرة مشهورون مثل هاري بلاكستون الأب وتوماس نيلسون داونز . [ 123 ] [ 124 ]

انظر أيضاً

  • عداد موبيوس ، وهو مسجل إزاحة يتم فيه عكس بت الإخراج قبل إعادته إلى بت الإدخال
  • مثلث بنروز ، شكل مستحيل يبدو أن حدوده تلتف حوله كشريط موبيوس
  • نظرية الشريط ، وهي النظرية الرياضية للشرائط الرقيقة للغاية التي تتبع منحنيات الفضاء المتشابكة
  • جاذب سميل-ويليامز ، وهو شكل كسري يتكون من خلال زيادة سماكة منحنى فضائي بشكل متكرر إلى شريط موبيوس ثم استبداله بحافة الحدود.
  • الحلقة السُرّية

ملحوظات

  1. ↑ يُنطق في الولايات المتحدة : / ˈmoʊbiəs , ˈmeɪ- / ( مو - بي -آس، ماي- ) ، وفي المملكة المتحدة : /ˈmɜːbiəs / ؛ [ 1 ] بالألمانية : [ ˈmøːbi̯ʊs ] . وكما هو شائعفي الكلمات التي تحتوي على علامة التشكيل ( أوملاوت ) ، يُكتب أيضًا Mobius أو Moebius .
  2. ↑ هذا المثال في الأساس، ولكن لزجاجة كلاين بدلاً من شريط موبيوس، قدمه بلاكيت (1982) . [ 8 ]
  3. ↑ يمكن قياس طول الشريط عند خطه المركزي، أو عن طريق قص شريط موبيوس الناتج عموديًا على حدوده بحيث يشكل مستطيلًا
  4. ↑ شريط موبيوس المطوي بشكل مسطح والمكون من ثلاثة مثلثات متساوية الأضلاع لا يأتي من مركب تبسيطي مجرد ، لأن المثلثات الثلاثة تشترك في نفس الرؤوس الثلاثة، بينما تتطلب المركبات التبسيطية المجردة أن يكون لكل مثلث مجموعة مختلفة من الرؤوس.
  5. ↑ يتميز هذا التضمين المستوي والأسطواني المجزأبفئة نعومةج2{\displaystyle C^{2}}ويمكن تقريبها بدقة تعسفية بواسطة مشتقات قابلة للتفاضل بلا حدود (فئةج∞{\displaystyle C^{\infty }}) التضمينات. [ 39 ]
  6. ↑ 12/7 هو أبسط عدد نسبي في نطاق نسب الأبعاد، بين 1.695 و 1.73، والذي لا يُعرف وجود تضمين سلس له.
  7. ↑ تتميز هذه الأسطح بفئة نعومةج1{\displaystyle C^{1}}للحصول على تحليل أكثر دقة لافتراضات السلاسة التي تجبر التضمين على أن يكون قابلاً للتطوير مقابل الافتراضات التي تسمح بموجبها نظرية ناش-كويبر بالتضمينات المرنة بشكل تعسفي، انظر ملاحظات بارتلز وهورنونغ (2015) ، ص 116، بعد النظرية 2.2. [ 39 ]
  8. ↑ كما استُخدمت شرائط موبيوس لتحليل العديد من الكانونات الأخرى بواسطة باخ وغيره، ولكن في معظم هذه الحالات كان من الممكن استخدام أسطح حلقية أخرى مثل الأسطوانة بنفس الكفاءة. [ 116 ]

مراجع

  1. ↑ ويلز، جون سي. (2008). قاموس لونغمان للنطق (  الطبعة الثالثة). هارلو: بيرسون للتعليم. ISBN 978-1-4058-8118-0.
  2. ↑ بيكوفر، كليفورد أ. (2005). شريط موبيوس: شريط الدكتور أوغست موبيوس الرائع في الرياضيات والألعاب والأدب والفن والتكنولوجيا وعلم الكونيات . دار ثاندرز ماوث للنشر. الصفحات 28-29 . ISBN  978-1-56025-826-1.
  3. 1 2 3 4 لاريسون، لورين ل. (1973). "شريط موبيوس في الفسيفساء الرومانية". مجلة العالم الأمريكي . 61 (5): 544-547 . Bibcode : 1973AmSci..61..544L . JSTOR 27843983 . 
  4. 1 2 3 كارترايت، جوليان إتش إي ؛ غونزاليس، دييغو إل. (2016). "شرائط موبيوس قبل موبيوس: تلميحات طوبولوجية في التمثيلات القديمة". مجلة الرياضيات الذكية . 38 (2): 69-76 . arXiv : 1609.07779 . Bibcode : 2016arXiv160907779C . doi : 10.1007/s00283-016-9631-8 . MR 3507121. S2CID 119587191 .  
  5. ↑ فلابان، إريكا (2000). عندما تلتقي الطوبولوجيا بالكيمياء: نظرة طوبولوجية على الكيرالية الجزيئية . آفاق. واشنطن العاصمة: الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 82-83 . doi : 10.1017/CBO9780511626272 . ISBN  0-521-66254-0. MR 1781912 . 
  6. 1 2 3 بيك أوفر (2005) ، ص 8-9.
  7. ↑ وول، جون دبليو. الابن (ربيع 1971). "الأسطح أحادية الجانب وقابلية التوجيه". مجلة الرياضيات للكليات المتوسطة . 2 (1): 5-18 . doi : 10.2307/3026946 . JSTOR 3026946 . 
  8. ↑ بلاكيت، دونالد و. (1982). الطوبولوجيا الأولية: منهج توافقي وجبري . دار النشر الأكاديمية. ص 195. ISBN  978-1-4832-6253-6.
  9. ↑ فرولكينا، أولغا د. (2018). " أشرطة موبيوس المنفصلة ثنائياً في الفضاء". مجلة نظرية العقد وتفرعاتها . 27 (9): 1842005، 9. arXiv : 2212.02983 . doi : 10.1142/S0218216518420051 . MR 3848635. S2CID 126421578 .  
  10. ↑ لامب، إيفلين (20 فبراير 2019). "شرائط موبيوس تتحدى الارتباط باللانهاية" . مجلة كوانتا .
  11. ↑ ميليخوف، سيرجي أ. (2019). "ملاحظة حول ورقة أو. فرولكينا بعنوان "أشرطة موبيوس المنفصلة ثنائياً في الفضاء"". مجلة نظرية العقد وتداعياتها . 28 (7): 1971001، 3. arXiv : 1810.04089 . doi : 10.1142/s0218216519710019 . MR 3975576. S2CID 119179202 .  
  12. ↑ بيكوفر (2005) ، ص 52.
  13. ↑ بيكوفر (2005) ، ص 12.
  14. ↑ كايل، آر إتش (1955). "تضمينات أشرطة موبيوس في الفضاء ثلاثي الأبعاد". وقائع الأكاديمية الملكية الأيرلندية، القسم أ . 57 : 131-136 . JSTOR 20488581. MR 0091480 .  
  15. ↑ بيكوفر (2005) ، ص 11.
  16. ↑ ماسي، ويليام س. (1991). دورة أساسية في الطوبولوجيا الجبرية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 127. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص 49. ISBN   0-387-97430-XMR 1095046 .​ 
  17. ↑ راوس بول، دبليو دبليو (1892). "الحلقات المتناقضة" . التسلية الرياضية ومسائل الماضي والحاضر ( الطبعة الثانية). لندن ونيويورك: ماكميلان وشركاه. ص 53-54 .  
  18. ↑ بينيت، جي تي (يونيو 1923). "الحلقات المتناقضة" . مجلة نيتشر . 111 (2800): 882. رمز Bibcode : 1923Natur.111R.882B . doi : 10.1038/111882b0 . S2CID 4099647 . 
  19. 1 2 تيتز، هاينريش (1910). "Einige Bemerkungen zumProblem des Kartenfärbens auf einseitigen Flächen" (PDF) . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 19 : 155 – 159.
  20. ↑ رينجل، ج .؛ يونغز، ج. و. ت. (1968). "حل مسألة تلوين خريطة هيوود" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 60 (2): 438-445 . Bibcode : 1968PNAS...60..438R . doi : 10.1073 / pnas.60.2.438 . MR 0228378. PMC 225066. PMID 16591648 .   
  21. ↑ جابلان، سلافيك؛ رادوفيتش، ليليانا؛ سازدانوفيتش، رادميلا (2011). "الرسوم البيانية غير المستوية المستمدة من رموز غاوس للعقد والروابط الافتراضية". مجلة الكيمياء الرياضية . 49 (10): 2250-2267 . doi : 10.1007/s10910-011-9884-6 . MR 2846715. S2CID 121332704 .  
  22. ↑ لارسن، موغنس إسروم (1994). "قد يُسبب سوء فهم متاهاتي المعقدة تعاسةً لي". في: غاي، ريتشارد ك .؛ وودرو، روبرت إي. (محرران). وقائع مؤتمر يوجين سترينز التذكاري حول الرياضيات الترفيهية وتاريخها، الذي عُقد في جامعة كالجاري، كالجاري، ألبرتا، أغسطس 1986. سلسلة MAA Spectrum. واشنطن العاصمة: الجمعية الرياضية الأمريكية. الصفحات 289-293 . ISBN  0-88385-516-XMR 1303141 .​ انظر الشكل 7، صفحة 292 .
  23. ↑ ماشكه، هاينريش (1900). " ملاحظة حول السطح أحادي الجانب لموبيوس" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 1 (1): 39. doi : 10.2307/1986401 . JSTOR 1986401. MR 1500522 .  
  24. ^ جونغين ، هوغو د. (2015). دورة في التحليل الحقيقي . بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة CRC. ص. 430. ردمك  978-1-4822-1927-2MR 3309241 .​ 
  25. ↑ سيكوين، كارلو هـ. (2005). "تقسيم الحلقات، والعقد، وأشرطة موبيوس" . في: سارهانجي، رضا؛ مودي، روبرت ف. (محرران). عصر النهضة في بانف: الرياضيات، والموسيقى، والفن، والثقافة . كلية ساوث وسترن، وينفيلد، كانساس: مؤتمر بريدجز. ص 211-218 . ISBN  0-9665201-6-5.
  26. 1 2 فرانسيس، جورج ك. (1987). "مخروط بلوكر". كتاب مصور طوبولوجي . سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك. ص 81-83 . ISBN  0-387-96426-6MR 0880519 .​ 
  27. ↑ دونر، ديفيد ب.؛ سيريج، علي (1995). "3.4.2 الأسطوانة" . الهندسة الحركية للتروس: منهج هندسي متزامن . سلسلة وايلي في هندسة التصميم. المجلد 3. جون وايلي وأولاده. الصفحات 135-137 . ISBN   978-0-471-04597-7.
  28. 1 2 بار، ستيفن (1964). تجارب في الطوبولوجيا . نيويورك: شركة توماس واي كرويل. الصفحات 40-49 ، 200-201 . ISBN  9780690278620.{{cite book}}: CS1 maint: ignored ISBN errors ( link )
  29. 1 2 3 4 5 فوكس، ديمتري ؛ تاباشنيكوف، سيرج (2007). "المحاضرة 14: شريط موبيوس الورقي". موسوعة الرياضيات: ثلاثون محاضرة في الرياضيات الكلاسيكية (ملف PDF) . بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات. الصفحات 199-206 . doi : 10.1090/mbk/046 . ISBN  978-0-8218-4316-1. MR 2350979 . مؤرشف من الأصل (PDF) بتاريخ 2016-04-24. 
  30. ↑ بوك، ليس (2003). "4.2: إعادة النظر في الشكل ثلاثي السداسي المرن" . الأشكال المرنة من الداخل إلى الخارج . كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 33-36 . doi : 10.1017/CBO9780511543302 . ISBN  0-521-81970-9MR 2008500 .​ 
  31. 1 2 كوهنيل، دبليو؛ بانشوف، تي إف (1983). "المستوى الإسقاطي المركب ذو 9 رؤوس" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات الذكية . 5 (3): 11-22 . doi : 10.1007/BF03026567 . MR 0737686. S2CID 120926324 .  
  32. ↑ كويبر، نيكولاس هـ. (1972). "التضمينات الطوبولوجية المحكمة لشريط موبيوس" . مجلة الهندسة التفاضلية . 6 (3): 271-283 . doi : 10.4310/jdg/1214430493 . MR 0314057 . 
  33. ↑ سيلاسي، لايوش (2008). "نموذج متعدد السطوح في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد لخريطة الخماسي السداسي للمستوى الإسقاطي" . الهندسة المنفصلة والحسابية . 40 (3): 395-400 . doi : 10.1007/s00454-007-9033-y . MR 2443291. S2CID 38606607 .  
  34. ↑ تاكرمان، براينت (1948). "شريط موبيوس متعدد السطوح غير منفرد، حدوده مثلث". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 55 (5): 309-311 . doi : 10.2307/2305482 . JSTOR 2305482. MR 0024138 .  
  35. ↑ بونينغتون، سي. بول؛ ناكاموتو، أتسوهيرو (2008). "التمثيل الهندسي للتثليث على المستوى الإسقاطي مع إزالة وجه واحد" . الهندسة المنفصلة والحسابية . 40 (1): 141-157 . doi : 10.1007/s00454-007-9035-9 . MR 2429652. S2CID 10887519 .  
  36. ↑ بريم، أولريش (1983). " شريط موبيوس مثلث غير متعدد الأوجه". وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 89 (3): 519-522 . doi : 10.2307/2045508 . JSTOR 2045508. MR 0715878 .  
  37. ↑ ناكاموتو، أتسوهيرو؛ تسوتشيا، شويتشي (2012). "حول التثليثات الموبيوسية القابلة للتحقيق هندسيًا" . الرياضيات المتقطعة . 312 (14): 2135-2139 . doi : 10.1016/j.disc.2011.06.007 . MR 2921579 . 
  38. 1 2 هينز، دينيس ف.؛ فريد، إليوت (2015). "ترجمة ورقة مايكل سادوسكي بعنوان "برهان أولي على وجود شريط موبيوس قابل للتطوير ونسبة المسألة الهندسية إلى مسألة حساب التفاضل والتكامل"". مجلة المرونة . 119 ( 1-2 ): 3-6 . arXiv : 1408.3034 . doi : 10.1007/ s10659-014-9490-5 . MR 3326180. S2CID 119733903 .  أُعيد طبعه في: فوسديك، روجر؛ فريد، إليوت (2016). ميكانيكا الأشرطة وأشرطة موبيوس (ملف PDF) . سبرينغر، دوردريخت. الصفحات 3-6 . doi : 10.1007/978-94-017-7300-3 . ISBN  978-94-017-7299-0MR 3381564 .​ 
  39. ١ ٢ ٣ ٤ بارتيلز، سورين؛ هورنونغ، بيتر (٢٠١٥). "ثني الورق وشريط موبيوس". مجلة المرونة . ١١٩ ( ١-٢ ): ١١٣-١٣٦ . doi : 10.1007/s10659-014-9501-6 . MR 3326187. S2CID 119782792 .  أُعيد طبعه في فوسديك وفريد ​​(2016) ، الصفحات 113-136. انظر على وجه الخصوص القسم 5.2، الصفحات 129-130.
  40. 1 2 ستاروستين، إي إل؛ فان دير هايدن، جي إتش إم (2015). "أشكال التوازن مع تمركز الإجهاد لشريط موبيوس المرن غير القابل للتمدد وشرائط أخرى" . مجلة المرونة . 119 ( 1-2 ): 67-112 . doi : 10.1007/s10659-014-9495-0 . MR 3326186. S2CID 53462568 .  أعيد طبعه في Fosdick & Fried (2016) ، الصفحات 67-112.
  41. ↑ شوارتز، جيديون إي . (1990). "الجانب المظلم لشريط موبيوس". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 97 (10): 890-897 . doi : 10.1080/00029890.1990.11995680 . JSTOR 2324325. MR 1079975 .  
  42. 1 2 هالبرن، ب.؛ ويفر، س . (1977). "قلب أسطوانة من خلال الغمر المتساوي القياس والتضمين المتساوي القياس" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 230 : 41-70 . doi : 10.2307/1997711 . JSTOR 1997711. MR 0474388 .  
  43. 1 2 شوارتز، ريتشارد إيفان (2021). " حدٌّ مُحسَّنٌ لشريط موبيوس الورقي الأمثل". Geometriae Dedicata . 215 : 255-267 . arXiv : 2008.11610 . doi : 10.1007/s10711-021-00648-5 . MR 4330341. S2CID 220279013 .  
  44. ↑ شوارتز، ريتشارد (2023). "شريط موبيوس الورقي الأمثل". arXiv : 2308.12641 [ math.MG ].
  45. ↑ كرويل، راشيل (12 سبتمبر 2023). "علماء الرياضيات يحلون لغز شريط موبيوس الذي دام 50 عامًا" . مجلة ساينتفك أمريكان .
  46. دونداس ، بيورن إيان (2018). "مثال 5.1.3: شريط موبيوس غير المحدود". دورة مختصرة في الطوبولوجيا التفاضلية . كتب كامبريدج الرياضية. مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج. ص. https://books.google.com/books?id=7a1eDwAAQBAJ&pg=PA101 . doi : 10.1017 /9781108349130 . ISBN  978-1-108-42579-7. MR 3793640 . S2CID 125997451 .  
  47. ^ بلانوسا ، دانيلو (1954). "التمدد متساوي القياس لشريط موبيوس لا ينتهي إقليديًا كبيرًا في مساحة كروية، مكافئ أو زائدي بأربعة أبعاد". النشرة الدولية للأكاديمية اليوغسلافية للعلوم والفنون الجميلة . 12 : 19 – 23. ر.ك 0071060 . 
  48. ^ ووندرليش، دبليو (1962). "Über ein abwickelbares Möbiusband". Monatshefte für Mathematik . 66 (3): 276-289 . دوى : 10.1007 / BF01299052 . السيد 0143115 . S2CID 122215321 .  
  49. ↑ شوارتز، جيديون (1990). "مُدّعٍ للقب 'شريط موبيوس الكلاسيكي'"" . مجلة المحيط الهادئ للرياضيات . 143 (1): 195– 200. doi : 10.2140/pjm.1990.143.195 . MR 1047406 . 
  50. ↑ هيلبرت، ديفيد ؛ كوهن-فوسن، ستيفان (1990). الهندسة والخيال ( الطبعة الثانية). تشيلسي. ص 315-316 . ISBN   978-0-8284-1087-8.
  51. ↑ سبيفاك، مايكل (1979). مقدمة شاملة في الهندسة التفاضلية، المجلد الأول ( الطبعة الثانية). ويلمنجتون، ديلاوير: دار النشر أو الفناء. ص 591.  
  52. 1 2 3 كنوبل، فيليكس (صيف 2019). "الدرس التعليمي 3: أسطح لوسون الدنيا وشريط موبيوس السوداني" . DDG2019: دورة التصور في جامعة برلين التقنية .
  53. 1 2 لوسون، إتش. بلين الابن (1970). "الأسطح الدنيا الكاملة فيS3{\displaystyle S^{3}}". حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 92 (3): 335– 374. doi : 10.2307/1970625 . JSTOR 1970625 . MR 0270280 .  انظر القسم 7، الصفحات 350-353، حيث تم الإشارة إلى زجاجة كلاين.τ1،2{\displaystyle \tau _{1,2}}.
  54. 1 2 شلايمر، شاول؛ سيجرمان، هنري (2012). "منحوتات في S 3 " . في بوش، روبرت؛ ماكينا، دوغلاس؛ سارهانجي، رضا (محررون). وقائع مؤتمر جسور 2012: الرياضيات، الموسيقى، الفن، العمارة، الثقافة . فينيكس، أريزونا: دار نشر تيسيليشنز. ص 103-110 . arXiv : 1204.4952 . ISBN  978-1-938664-00-7.
  55. ↑ غان، تشارلز (23 أغسطس 2018). "شريط موبيوس السوداني" . فيميو . تم الاسترجاع في 17 مارس 2022 .
  56. ↑ فرانزوني، غريغوريو (2012). "زجاجة كلاين: تنويعات على موضوع" . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 59 (8): 1076-1082 . doi : 10.1090/noti880 . hdl : 11584/76593 . MR 2985809 . 
  57. ^ هوجيت ، ستيفن. الأردن، ديفيد (2009). فاتح للشهية طوبولوجي ( طبعة منقحة). سبرينغر-فيرلاغ. ص. 57. ردمك   978-1-84800-912-7. MR 2483686 . 
  58. ↑ فلابان، إريكا (2016). العُقد والجزيئات والكون: مدخل إلى علم الطوبولوجيا . بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 99-100 . doi : 10.1090/mbk/096 . ISBN  978-1-4704-2535-7. MR 3443369 . 
  59. ↑ ريتشسون، ديفيد س. ( 2008). جوهرة أويلر: صيغة متعدد السطوح ونشأة علم الطوبولوجيا . برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ص 171. ISBN  978-0-691-12677-7MR 2440945 .​ 
  60. 1 2 غودينيو، ليونور؛ ناتاريو، خوسيه (2014). مقدمة في الهندسة الريمانية: مع تطبيقات في الميكانيكا والنسبية . سلسلة Universitext. سبرينغر، تشام. ص 152-153 . doi : 10.1007/978-3-319-08666-8 . ISBN  978-3-319-08665-1MR 3289090 .​ 
  61. ↑ كانتويل، جون؛ كونلون، لورانس (2015). " الهندسة الزائدية والتماثلات المتجانسة للأسطح". Geometriae Dedicata . 177 : 27-42 . arXiv : 1305.1379 . doi : 10.1007/s10711-014-9975-1 . MR 3370020. S2CID 119640200 .  
  62. ↑ ستيلويل، جون (1992). "4.6 تصنيف التماثلات". هندسة الأسطح . Universitext. تشام: سبرينغر. ص 96-98 . doi : 10.1007/978-1-4612-0929-4 . ISBN  0-387-97743-0MR 1171453​​ 
  63. 1 2 سيفرت، هربرت ؛ ثريلفال، ويليام (1980). كتاب في علم الطوبولوجيا . الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 89. ترجمة غولدمان، مايكل أ. نيويورك ولندن: أكاديميك برس. ص 12. ISBN   0-12-634850-2MR 0575168 .​ 
  64. ↑ لوبيز، فرانسيسكو ج.؛ مارتن، فرانسيسكو (1997). " الأسطح الدنيا الكاملة غير الموجهة ذات أعلى مجموعة تناظر". المجلة الأمريكية للرياضيات . 119 (1): 55-81 . doi : 10.1353/ajm.1997.0004 . MR 1428058. S2CID 121366986 .  
  65. ↑ ميكس، ويليام هـ. الثالث (1981). "تصنيف الأسطح الدنيا الكاملة فيR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}مع انحناء كلي أكبر من-8π{\displaystyle -8\pi }". مجلة ديوك الرياضية . 48 (3): 523– 535. doi : 10.1215/S0012-7094-81-04829-8 . MR 0630583 . 
  66. ↑ بيسكي، أدريانا آي .؛ غولدشتاين، ريموند إي .؛ ألكسندر، غاريث ب.؛ موفات، إتش. كيث (2015). "عدم استقرار سطح موبيوس الأدنى وعلاقته بالهندسة الانقباضية" ( ملف PDF) . مجلة Physical Review Letters . 114 (12) 127801. Bibcode : 2015PhRvL.114l7801P . doi : 10.1103/PhysRevLett.114.127801 . MR 3447638. PMID 25860771 .  
  67. ^ ميرا، بابلو (2006). "أكمل الحد الأدنى من شرائط موبيوسRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}ومسألة بيورلينغ. مجلة الهندسة والفيزياء . 56 (9): 1506-1515 . رمز Bibcode : 2006JGP....56.1506M . doi : 10.1016/j.geomphys.2005.08.001 . MR 2240407 . 
  68. ^ باركر، فيليب إي. (1993). "فضاءات الجيوديسيا" . في ديل ريغو، L. (محرر). ورشة عمل حول الهندسة التفاضلية في فضاءات الهندسة (غواناخواتو، 1992) . حصيرة Aportaciones. ملاحظات التحقيق. المجلد. 8. شركة نفط الجنوب. حصيرة. مكسيكانا، المكسيك. ص 67 – 79. السيد 1304924 . مؤرشف من الأصل بتاريخ 13-03-2016 . تم الاسترجاع بتاريخ 2022-03-21 .   {{cite book}}: CS1 maint: bot: حالة عنوان URL الأصلي غير معروفة ( رابط )
  69. ↑ بيكل، هولجر (1999). " الازدواجية في المستويات المستقرة وعمليات الإغلاق والنواة ذات الصلة". مجلة الهندسة . 64 ( 1-2 ): 8-15 . doi : 10.1007/BF01229209 . MR 1675956. S2CID 122209943 .  
  70. ↑ مانغاهاس، جوانا (يوليو 2017). "الساعة المكتبية الخامسة: معضلة بينغ بونغ". في كلاي، مات؛ مارغاليت، دان (محرران). ساعات مكتبية مع عالم نظرية الزمر الهندسية . مطبعة جامعة برينستون. ص 85-105 . doi : 10.1515/9781400885398 . ISBN  978-1-4008-8539-8.انظر على وجه الخصوص المشروع 7، الصفحات 104-105.
  71. ^ راميريز جالارزا، آنا إيرين؛ سيادي، خوسيه (2007). مقدمة في الهندسة الكلاسيكية . بازل: دار بيركهاوزر. ص 83 – 88، 157 – 163. ISBN  978-3-7643-7517-1MR 2305055​​ 
  72. ↑ فومينكو، أناتولي ت .؛ كوني، توسياسو ل. (2013). النمذجة الطوبولوجية للتصور . سبرينغر. ص 269. ISBN  978-4-431-66956-2.
  73. ↑ إيشام، كريس ج. (1999). الهندسة التفاضلية الحديثة للفيزيائيين . سلسلة محاضرات وورلد ساينتيفيك في الفيزياء. المجلد 61 ( الطبعة الثانية). وورلد ساينتيفيك. ص 269. ISBN    981-02-3555-0MR 1698234 .​ 
  74. ↑ غورباتسيفيتش، ف. ف.؛ أونيشيك، أ. ل.؛ فينبرغ، إ. ب. (1993). زمر لي وجبر لي 1: أسس نظرية لي؛ زمر تحويل لي . موسوعة العلوم الرياضية. المجلد 20. سبرينغر-فيرلاغ، برلين. الصفحات 164-166 . doi : 10.1007/978-3-642-57999-8 . ISBN   3-540-18697-2MR 1306737​​ 
  75. ^ ياماشيرو، أتسوشي؛ شيموي، يوكيهيرو؛ هاريجايا، كيكو؛ واكاباياشي، كاتسونوري (2004). “الحالات الإلكترونية الجديدة في شرائط الجرافين: أوامر الدوران والشحن المتنافسة”. فيزياء ه . 22 ( 1 – 3): 688 – 691. أرخايف : cond-mat/0309636 . بيب كود : 2004PhyE...22..688Y . دوى : 10.1016/j.physe.2003.12.100 . S2CID 17102453 . 
  76. ↑ رزيبا، هنري س. (سبتمبر 2005). "العطرية الموبيوسية وعدم التمركز". مراجعات كيميائية . 105 (10): 3697-3715 . doi : 10.1021/cr030092l . PMID 16218564 . 
  77. ↑ يون، زين سيوك؛ أوسوكا، أتسوهيرو؛ كيم، دونغهو (مايو 2009). "العطرية والمضادة للعطرية في البورفيرينات الموسعة". مجلة نيتشر كيمستري . 1 (2): 113-122 . Bibcode : 2009NatCh...1..113Y . doi : 10.1038/nchem.172 . PMID 21378823 . 
  78. ↑ "صنع المقاومات باستخدام الرياضيات" . مجلة تايم . المجلد 84، العدد 13. 25 سبتمبر 1964.  
  79. ^ بيك أوفر (2005) ، ص 45-46.
  80. ↑ بوند، جيه إم (2000). "رنانات موبيوس ثنائية الوضع ومرشحات تمرير النطاق". معاملات IEEE في نظرية وتقنيات الميكروويف . 48 (12): 2465-2471 . Bibcode : 2000ITMTT..48.2465P . doi : 10.1109/22.898999 .
  81. ↑ رود، أولريش ل.؛ بودار، أجاي؛ سونداراراجان، د. (نوفمبر 2013). "الرنانات المطبوعة: نظرية شريط موبيوس وتطبيقاتها" (ملف PDF) . مجلة الميكروويف . 56 (11).
  82. ↑ باور، توماس؛ بانزر، بيتر؛ كريمي، إبراهيم؛ أورلوف، سيرجي؛ روبانو، أندريا؛ ماروتشي، لورينزو؛ سانتاماتو، إنريكو؛ بويد، روبرت دبليو؛ لويش، جيرد (فبراير 2015). "ملاحظة شرائط موبيوس للاستقطاب البصري". مجلة ساينس . 347 (6225): 964-966 . Bibcode : 2015Sci...347..964B . doi : 10.1126/science.1260635 . PMID: 25636796. S2CID : 206562350 .  
  83. ^ كانديل ، خوان كارلوس. إندوراين ، إستيبان (يناير 1994). “شريط موبيوس ومفارقة الاختيار الاجتماعي”. رسائل الاقتصاد . 45 (3): 407-412 . دوى : 10.1016/0165-1765(94)90045-0 .
  84. ↑ إيزداون، مارتن (2012). ألعاب مدينة الملاهي . دار بلومزبري للنشر. ص 43. ISBN  978-1-78200-152-2.
  85. ↑ هوك، باتريك (2019). تذكرة للركوب: الدليل الأساسي لأعظم قطارات الملاهي وألعاب الإثارة في العالم . كتب تشارتويل. ص 20. ISBN  978-0-7858-3577-6.
  86. ↑ توبلر، والدو ر. (1961). "خريطة العالم على شريط موبيوس" . المسح ورسم الخرائط . 21 : 486.
  87. ↑ كوملر، مارك ب .؛ توبلر، والدو ر. (يناير 1991). "ثلاث خرائط عالمية على شريط موبيوس". رسم الخرائط ونظم المعلومات الجغرافية . 18 (4): 275-276 . Bibcode : 1991CGISy..18..275K . doi : 10.1559/152304091783786781 .
  88. ↑ كوران، ريتشارد (1940). "تجارب أغشية الصابون مع الأسطح الدنيا". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 47 (3): 167-174 . doi : 10.1080/00029890.1940.11990957 . JSTOR 2304225. MR 0001622 .  
  89. ↑ غولدشتاين، ريموند إي .؛ موفات، إتش. كيث ؛ بيسكي، أدريانا آي .؛ ريكا، رينزو إل. (ديسمبر 2010). "شريط موبيوس المصنوع من غشاء الصابون يغير طوبولوجيته عند نقطة تفرد الالتواء" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 107 (51): 21979-21984 . Bibcode : 2010PNAS..10721979G . doi : 10.1073/pnas.1015997107 . PMC 3009808 . 
  90. ↑ والبا، ديفيد م.؛ ريتشاردز، رودني م.؛ هالتوانجر، ر. كورتيس (يونيو 1982). "التخليق الكلي لأول شريط موبيوس جزيئي". مجلة الجمعية الكيميائية الأمريكية . 104 (11): 3219-3221 . Bibcode : 1982JAChS.104.3219W . doi : 10.1021/ja00375a051 .
  91. ^ بيك أوفر (2005) ، ص 52-58.
  92. ↑ جيتيج، ديانا (18 أكتوبر 2010). "استخدام الأوريغامي الكيميائي لإنشاء شريط موبيوس من الحمض النووي" . آرس تكنيكا . تاريخ الاسترجاع: 28 مارس 2022 .
  93. 1 2 إيمر، ميشيل (ربيع 1980). " الفن البصري والرياضيات: شريط موبيوس" . ليوناردو . 13 (2): 108-111 . doi : 10.2307/1577979 . JSTOR 1577979. S2CID 123908555 .  
  94. ↑ بايرز، مارك (2018). تشارلز أولسون والحداثة الأمريكية: ممارسة الذات . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 77-78 . ISBN  978-0-19-881325-5.
  95. ↑ كراتو، نونو (2010). "إيشر وشريط موبيوس". فهمها: لقاءات مسلية مع الرياضيات اليومية . سبرينغر. ص 123-126 . doi : 10.1007/978-3-642-04833-3_29 . ISBN  978-3-642-04832-6.
  96. ↑ كيرستن، إريك (13 مارس 2017). "شريط موبيوس 1" . إيشر في القصر . تم الاسترجاع في 17 أبريل 2022 .
  97. 1 2 بيكوفر (2005) ، ص. 13.
  98. ↑ بريشر، كينيث (2017). "فن اللانهاية" . في: سوارت، ديفيد؛ سيكوين، كارلو هـ.؛ فينيفيزي، كريستوف (محررون). وقائع مؤتمر بريدجز 2017: الرياضيات، الفن، الموسيقى، العمارة، التعليم، الثقافة . فينيكس، أريزونا: دار نشر تيسيليشنز. الصفحات 153-158 . ISBN  978-1-938664-22-9.
  99. 1 2 بيترسون، إيفارز (2002). "إعادة تدوير الطوبولوجيا" . رحلات رياضية: من الأعداد السريالية إلى الدوائر السحرية . MAA Spectrum. الجمعية الرياضية الأمريكية، واشنطن العاصمة. ص 31-35 . ISBN  0-88385-537-2MR 1874198 .​ 
  100. ↑ "تم اختيار رمز معرض إكسبو 74" . صحيفة ذا سبوكس مان ريفيو . 12 مارس 1972. ص 1. 
  101. ↑ ميلوارد، ستيفن (30 أبريل 2012). "هل نسخت جوجل درايف أيقونتها من تطبيق صيني؟" . تيك إن آسيا . تم الاسترجاع في 27 مارس 2022 - عبر ياهو! نيوز.
  102. ^ "Símbolo do IMPA" . لكي أستمتع بـ IMPA، بفضل الفضول حول المعهد . IMPA. 7 مايو 2020 . تم الاسترجاع 2022-03-27 .
  103. ^ بيك أوفر (2005) ، ص 156-157.
  104. ^ ديكر، هاينز. ستارك ، إبرهارد (1983). “Möbius-Bänder: …und natürlich auch auf Summarymarken”. براكسيس دير الرياضيات . 25 (7) : 207– 215.ر.م 0720681 . 
  105. ^ ثولاسيداس، جولي. كراوزيك، روبرت ج. (2003). "مفاهيم موبيوس في الهندسة المعمارية" . في بارالو، خافيير؛ فريدمان، ناثانيال؛ مالدونادو، خوان أنطونيو؛ مارت إنيز أروزا، خوسيه؛ سرهانجي، رضا؛ سيكوين، كارلو (محرران). لقاء الحمراء، وقائع مؤتمر ISAMA-BRIDGES . غرناطة، إسبانيا: جامعة غرناطة. ص 353 – 360. ISBN  84-930669-1-5.
  106. ↑ سيكوين، كارلو هـ. (يناير 2018). "جسور موبيوس". مجلة الرياضيات والفنون . 12 ( 2-3 ): 181-194 . doi : 10.1080/17513472.2017.1419331 . S2CID 216116708 . 
  107. ↑ واينرايت، أوليفر (17 أكتوبر 2017). "«قال نورمان إن الرئيس يريد هرماً»: كيف بنى كبار المهندسين المعماريين أستانا . صحيفة الغارديان .
  108. ↑ موريت، دون (17 مايو 2010). "قاعة مشاهير ناسكار تبدو سريعة وهي ثابتة"" . مجلة الأعمال الرياضية .
  109. ↑ غوبنيك، بليك (17 أكتوبر 2014). "بيدرو رييس يصنع أريكة حب لا نهائية" . أخبار آرت نت .
  110. ↑ توماس، نانسي ج. (4 أكتوبر 1998). "جعل موبيوس مسألة رياضية" . صحيفة التايمز (ترينتون) . ص. aa3 – عبر نيوزبانك . 
  111. ↑ باشمان، دان (6 أغسطس 2015). "قطع خبز البيغل بالطريقة الصحيحة رياضياً" . ذا سولت . NPR.
  112. ↑ ميلر، روس (5 سبتمبر 2014). "كيفية صنع شريحة لحم مقدد لا نهائية رياضياً" . ذا فيرج .
  113. ↑ تشانغ، كينيث (9 يناير 2012). "خريجو المعكرونة من حساء الأبجدية إلى الهندسة المتقدمة" . صحيفة نيويورك تايمز .
  114. ^ بيك أوفر (2005) ، ص 174-177.
  115. ^ بيك أوفر (2005) ، ص 179-187.
  116. 1 2 فيليبس، توني (25 نوفمبر 2016). "باخ وشريط موبيوس الموسيقي" . مجلة بلس .أُعيد طبعه من عمود مميز في الجمعية الرياضية الأمريكية.
  117. ↑ موسكوفيتز، كلارا (6 مايو 2008). "الموسيقى مُختزلة إلى رياضيات جميلة" . لايف ساينس . تم الاسترجاع في 21 مارس 2022 .
  118. ↑ تيموتشكو، ديمتري ( 7 يوليو 2006). "هندسة التآلفات الموسيقية" (ملف PDF) . مجلة ساينس . 313 (5783): 72-74 . Bibcode : 2006Sci...313...72T . doi : 10.1126 / science.1126287 . JSTOR 3846592. PMID 16825563. S2CID 2877171 .   
  119. ↑ باركس، أندرو (30 أغسطس 2007). "فرقة موبيوس: النيران الصديقة" . ماغنيت .
  120. ↑ لوسون، دوم (9 فبراير 2021). "حلقة موبيوس" . بروغ .
  121. ↑ مان، بوب "بوغي" (1973). التزلج على الجليد . نيويورك: دبليو دبليو نورتون وشركاه. الصفحات 69-70 ، 106-107 . ISBN  0-393-08686-0.
  122. ↑ براون، روجر سي؛ كوربيت، باري (1969). فيلم "موبيوس فليب ". فايل، كولورادو: شركة ساميت فيلمز – عبر يوتيوب.
  123. ↑ بريفوس، بيتر (2018). شريط موبيوس في السحر: دراسة عن أشرطة الأفغان (ملف PDF) . كانغارو فلات: ثيرد هيمسفير.
  124. ↑ غاردنر، مارتن (1956). "الفرق الأفغانية" . الرياضيات والسحر والغموض . نيويورك: دوفر بوكس. ص 70-73 .