قوانين نيوتن للحركة

يبقى كل جسم على حالته من السكون، أو من الحركة المنتظمة في خط مستقيم، ما لم تُجبره قوى خارجية على تغيير تلك الحالة. ^{[ 14 ] : 114 [ ملاحظة 3 ]}

ينص قانون نيوتن الأول على مبدأ القصور الذاتي : فالسلوك الطبيعي للجسم هو الحركة في خط مستقيم بسرعة ثابتة. تحافظ حركة الجسم على الوضع الراهن، لكن القوى الخارجية قادرة على تغييره.

ينص الفهم الحديث لقانون نيوتن الأول على أنه لا يوجد مراقب قصوري يتمتع بأفضلية على غيره. يُضفي مفهوم المراقب القصوري طابعًا كميًا على فكرة عدم الشعور بأي تأثير للحركة. على سبيل المثال، الشخص الواقف على الأرض يشاهد قطارًا يمر هو مراقب قصوري. إذا رأى المراقب على الأرض القطار يتحرك بسلاسة في خط مستقيم بسرعة ثابتة، فإن الراكب الجالس على متن القطار سيكون أيضًا مراقبًا قصوريًا: إذ لا يشعر الراكب بأي حركة. ينص مبدأ قانون نيوتن الأول على أنه لا توجد طريقة لتحديد أي مراقب قصوري يتحرك "فعليًا" وأيهما ثابت "فعليًا". حالة سكون أحد المراقبين هي حالة حركة منتظمة في خط مستقيم بالنسبة لمراقب آخر، ولا يمكن لأي تجربة أن تُثبت صحة أو خطأ أي من وجهتي النظر. لا يوجد معيار مطلق للسكون. ^{[ 18 ] [ 14 ] : 62-63 [ 19 ] : 7-9} كان نيوتن نفسه يعتقد بوجود المكان والزمان المطلقين ، لكن المقاييس الوحيدة للمكان أو الزمان التي يمكن الوصول إليها بالتجربة هي مقاييس نسبية. ^{[ 20 ]}

يتناسب تغير حركة الجسم طرديًا مع القوة المؤثرة عليه، ويكون في اتجاه الخط المستقيم الذي تؤثر فيه القوة. ^{[ 14 ] : 114}

كان نيوتن يقصد بكلمة "حركة" الكمية التي تُسمى الآن بالزخم ، والتي تعتمد على كمية المادة الموجودة في الجسم، وسرعة حركة ذلك الجسم، واتجاه حركته. ^{[ 21 ]} في الترميز الحديث، زخم الجسم هو حاصل ضرب كتلته في سرعته. $${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,,}$$ حيث يمكن أن تتغير الكميات الثلاث جميعها بمرور الوقت. في الحالات الشائعة، الكتلة${\displaystyle m}$لا تتغير مع الزمن، والمشتقة تؤثر فقط على السرعة. عندئذٍ، تساوي القوة حاصل ضرب الكتلة في المشتقة الزمنية للسرعة، وهو التسارع: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} \,.}$$ بما أن التسارع هو المشتقة الثانية للموضع بالنسبة للزمن، فيمكن كتابة ذلك أيضًا على النحو التالي $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {s} }{\mathrm {d} t^{2}}}.}$$

ينص قانون نيوتن الثاني، بصيغته الحديثة، على أن المشتق الزمني للزخم هو القوة: ^{[ 23 ] : 4.1}$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\,.}$$ عند تطبيق المعادلة أعلاه على أنظمة ذات كتلة متغيرة ، فإنها تكون صالحة فقط لمجموعة ثابتة من الجسيمات. بتطبيق المشتقة كما في $${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}\ \ \mathrm {(غير صحيح)} }$$ قد يؤدي ذلك إلى نتائج غير صحيحة. ^{[ 24 ]} على سبيل المثال، يجب أن يشمل زخم نظام نفاث الماء زخم الماء المقذوف: ^{[ 25 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}-\mathbf {v} _{\mathrm {eject} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}.}$$

تتجمع القوى المؤثرة على جسم ما كمتجهات ، ولذا فإن القوة الكلية المؤثرة على الجسم تعتمد على كلٍ من مقادير واتجاهات القوى الفردية. ^{[ 23 ] : 58} عندما تكون محصلة القوى المؤثرة على جسم ما مساوية للصفر، فإنه وفقًا لقانون نيوتن الثاني، لا يتسارع الجسم، ويُقال إنه في حالة اتزان ميكانيكي . وتكون حالة الاتزان الميكانيكي مستقرة إذا بقي الجسم قريبًا من حالة الاتزان عند تغيير موضعه تغييرًا طفيفًا. وإلا، فإن حالة الاتزان تكون غير مستقرة. ^{[ 14 ] : 121 [ 23 ] : 174}

يُعد مخطط الجسم الحر أحد التمثيلات المرئية الشائعة للقوى المؤثرة معًا ، حيث يصور بشكل تخطيطي الجسم محل الدراسة والقوى المؤثرة عليه من مؤثرات خارجية. ^{[ 26 ]} على سبيل المثال، يمكن لمخطط الجسم الحر لكتلة موضوعة على سطح مائل أن يوضح مزيجًا من قوة الجاذبية، والقوة العمودية ، والاحتكاك، وشد الخيط. ^{[ ملاحظة 4 ]}

يُقدَّم قانون نيوتن الثاني أحيانًا كتعريف للقوة ، أي أن القوة هي ما يوجد عندما يرى مراقب قصوري جسمًا يتسارع. يُعتبر هذا أحيانًا تحصيل حاصل محتمل - فالتسارع يستلزم وجود قوة، والقوة تستلزم وجود تسارع. ولتجاوز التحصيل الحاصل، يمكن أيضًا تحديد معادلة تُفصِّل القوة، مثل قانون نيوتن للجاذبية الكونية . بإدخال مثل هذا التعبير لـ${\displaystyle \mathbf {F} }$يمكن صياغة معادلة ذات قدرة تنبؤية باستخدام قانون نيوتن الثاني. ^{[ ملاحظة 5 ]} كما يُنظر إلى قانون نيوتن الثاني على أنه يضع برنامجًا بحثيًا للفيزياء، مؤكدًا أن من أهم أهداف هذا العلم تحديد القوى الموجودة في الطبيعة وتصنيف مكونات المادة. ^{[ 14 ] : 134 [ 28 ] : 12-2}

لكل فعل رد فعل مساوٍ له في المقدار ومعاكس له في الاتجاه؛ أو بعبارة أخرى، فإن تأثير جسمين على بعضهما البعض متساوٍ دائمًا، وموجه نحو طرفين متعاكسين. ^{[ 14 ] : 116}

بمعنى آخر، إذا أثر جسم بقوة على جسم آخر، فإن الجسم الثاني يؤثر بدوره بقوة مساوية في المقدار ومعاكسة في الاتجاه على الجسم الأول. وقد يكون التبسيط المفرط لقانون نيوتن الثالث، مثل "لكل فعل رد فعل "، قد تسبب في إرباك أجيال من الطلاب: فمفهوم "الفعل" و"رد الفعل" ينطبقان على جسمين مختلفين. على سبيل المثال، تخيل كتابًا ساكنًا على طاولة. تجذب جاذبية الأرض الكتاب إلى أسفل. رد الفعل على هذا "الفعل" ليس قوة دعم الطاولة للكتاب، بل هو قوة جاذبية الكتاب المؤثرة على الأرض. ^{[ ملاحظة 6 ]}

يرتبط قانون نيوتن الثالث بمبدأ أكثر جوهرية، وهو حفظ الزخم . ويبقى هذا المبدأ صحيحًا حتى في الحالات التي لا ينطبق عليها قانون نيوتن، على سبيل المثال عندما تحمل المجالات المغناطيسية والأجسام المادية زخمًا (كما في الكهرومغناطيسية )، وعندما يُعرَّف الزخم تعريفًا صحيحًا، كما في ميكانيكا الكم . ^{[ ملاحظة 7 ]} في الميكانيكا النيوتونية، إذا كان لجسمين زخم${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$و${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$على التوالي، فإن الزخم الكلي للزوج هو${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}$ومعدل تغير${\displaystyle \mathbf {p} }$يكون$$$$$بحسب قانون نيوتن الثاني، يمثل الحد الأول محصلة القوى المؤثرة على الجسم الأول، ويمثل الحد الثاني محصلة القوى المؤثرة على الجسم الثاني. إذا عُزل الجسمان عن أي مؤثرات خارجية، فإن القوة الوحيدة المؤثرة على الجسم الأول هي تلك المؤثرة من الجسم الثاني، والعكس صحيح. وبحسب قانون نيوتن الثالث، فإن هاتين القوتين متساويتان في المقدار ومتعاكستان في الاتجاه، لذا فإنهما تلغيان بعضهما عند جمعهما.${\displaystyle \mathbf {p} }$ثابت. أو بدلاً من ذلك، إذا${\displaystyle \mathbf {p} }$إذا كان من المعروف أن ثابت، فإن ذلك يترتب عليه أن القوى لها نفس المقدار ومتعاكسة الاتجاه.

اقترحت مصادر عديدة رفع بعض الأفكار المستخدمة في الميكانيكا الكلاسيكية إلى مرتبة قوانين نيوتن. فعلى سبيل المثال، في الميكانيكا النيوتونية، الكتلة الكلية لجسم مكون من جسمين أصغر حجماً تساوي مجموع كتلتيهما. وقد اقترح فرانك ويلكزك لفت الانتباه إلى هذا الافتراض بتسميته "قانون نيوتن الصفري". ^{[ 37 ]} ومن بين القوانين الأخرى المرشحة لـ"القانون الصفري" حقيقة أن الجسم يتفاعل في أي لحظة مع القوى المؤثرة عليه في تلك اللحظة. ^{[ 38 ]} وبالمثل، وُصفت فكرة أن القوى تتجمع كمتجهات متشابهة (أو بعبارة أخرى، تخضع لمبدأ التراكب )، وفكرة أن القوى تُغير طاقة الجسم، بأنهما "قانون نيوتن الرابع". ^{[ ملاحظة 8 ]}

علاوة على ذلك، تُنظّم بعض النصوص الأفكار الأساسية للميكانيكا النيوتونية في مسلمات مختلفة، بخلاف القوانين الثلاثة كما هو شائع، بهدف توضيح ما يُلاحَظ تجريبيًا وما هو صحيح بحكم التعريف. ^{[ 19 ] : 9 [ 27 ]}

يُعرف علم دراسة سلوك الأجسام الضخمة باستخدام قوانين نيوتن باسم الميكانيكا النيوتونية. وتكتسب بعض الأمثلة على مسائل الميكانيكا النيوتونية أهمية خاصة لأسباب مفاهيمية أو تاريخية.

حركة متسارعة بانتظام

إذا سقط جسم من السكون بالقرب من سطح الأرض، فإنه سيتسارع بمعدل ثابت في غياب مقاومة الهواء. يُعرف هذا بالسقوط الحر . تتناسب السرعة التي يصل إليها الجسم أثناء السقوط الحر طرديًا مع الزمن المنقضي، وتتناسب المسافة المقطوعة طرديًا مع مربع الزمن المنقضي. ^{[ 43 ]} ومن المهم أن نلاحظ أن التسارع متساوٍ لجميع الأجسام، بغض النظر عن كتلتها. وينتج هذا عن دمج قانون نيوتن الثاني للحركة مع قانونه للجاذبية الكونية . ينص القانون الأخير على أن مقدار قوة الجاذبية الأرضية المؤثرة على الجسم هو $${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}},}$$ أين${\displaystyle m}$كتلة الجسم الساقط،${\displaystyle M}$كتلة الأرض،${\displaystyle G}$ثابت نيوتن، و${\displaystyle r}$هي المسافة من مركز الأرض إلى موقع الجسم، وهي قريبة جدًا من نصف قطر الأرض. بمساواة هذه القيمة بـ${\displaystyle ma}$كتلة الجسم${\displaystyle m}$يُلغى من كلا طرفي المعادلة، تاركًا تسارعًا يعتمد على${\displaystyle G}$،${\displaystyle M}$، و${\displaystyle r}$، و${\displaystyle r}$يمكن اعتبارها ثابتة. ويُشار عادةً إلى هذه القيمة المحددة للتسارع بـ${\displaystyle g}$: $${\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}\approx \mathrm {9.8~m/s^{2}} .}$$

إذا لم يُطلق الجسم من السكون، بل قُذف لأعلى و/أو أفقيًا بسرعة غير صفرية، فإن السقوط الحر يتحول إلى حركة مقذوفة . ^{[ 44 ]} عندما يمكن إهمال مقاومة الهواء، تتبع المقذوفات مسارات على شكل قطع مكافئ ، لأن الجاذبية تؤثر على الحركة الرأسية للجسم وليس على حركته الأفقية. عند ذروة مسار المقذوف، تكون سرعته الرأسية صفرًا، لكن تسارعه يكون${\displaystyle g}$إلى الأسفل، كما هو الحال دائمًا. إن جعل المتجه الخاطئ مساويًا للصفر هو خطأ شائع بين طلاب الفيزياء. ^{[ 45 ]}

حركة دائرية منتظمة

عندما يتحرك جسم حركة دائرية منتظمة، فإن القوة المؤثرة عليه تغير اتجاه حركته ولكن لا تغير سرعته. بالنسبة لجسم يتحرك في دائرة نصف قطرها${\displaystyle r}$بسرعة ثابتة${\displaystyle v}$، تسارعها له مقدار$${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}$$وتتجه هذه القوة نحو مركز الدائرة. ^{[ ملاحظة 9 ]} وبالتالي ، فإن القوة اللازمة للحفاظ على هذا التسارع، والتي تُسمى القوة المركزية ، تتجه أيضًا نحو مركز الدائرة ولها مقدار معين.${\displaystyle mv^{2}/r}$يمكن تقريب العديد من المدارات ، مثل مدار القمر حول الأرض، بحركة دائرية منتظمة. في مثل هذه الحالات، تكون القوة المركزية هي الجاذبية، ولها مقدار وفقًا لقانون نيوتن للجاذبية الكونية.${\displaystyle GMm/r^{2}}$، أين${\displaystyle M}$هي كتلة الجسم الأكبر الذي يدور حوله. لذلك، يمكن حساب كتلة جسم ما من خلال رصد جسم آخر يدور حوله. ^{[ 47 ] : 130}

تُعدّ تجربة نيوتن للقذيفة تجربة فكرية تربط بين حركة المقذوفات والحركة الدائرية المنتظمة. فالقذيفة التي تُقذف من حافة جرف شاهق ستصطدم بالأرض في نفس المدة الزمنية التي تستغرقها لو سقطت من السكون، لأن قوة الجاذبية تؤثر فقط على زخم القذيفة في الاتجاه الهابط، ولا يتأثر هذا التأثير بالحركة الأفقية. إذا أُطلقت القذيفة بسرعة ابتدائية أفقية أكبر، فإنها ستقطع مسافة أطول قبل أن تصطدم بالأرض، ولكنها ستصطدم بها في نفس المدة الزمنية. مع ذلك، إذا أُطلقت القذيفة بسرعة ابتدائية أكبر، يصبح انحناء الأرض ذا أهمية بالغة: فالأرض نفسها ستنحني بعيدًا عن القذيفة الساقطة. ستسقط القذيفة السريعة جدًا بعيدًا عن مسارها المستقيم بالقصور الذاتي بنفس معدل انحناء الأرض تحتها؛ أي أنها ستكون في مدار (بافتراض عدم وجود مقاومة هواء أو عوائق تُبطئ حركتها). ^{[ 48 ]}

الحركة التوافقية

لنفترض وجود جسم ذي كتلة${\displaystyle m}$قادر على التحرك على طول${\displaystyle x}$لنفترض أن هناك نقطة توازن عند المحور، ولنفترض وجود نقطة توازن عند الموضع${\displaystyle x=0}$أي في${\displaystyle x=0}$إذا كانت القوة المحصلة المؤثرة على الجسم تساوي صفرًا، وبحسب قانون نيوتن الثاني، فلن يتسارع الجسم. أما إذا كانت القوة المؤثرة على الجسم متناسبة مع الإزاحة من نقطة الاتزان، وموجهة نحو نقطة الاتزان، فإن الجسم سيتحرك حركة توافقية بسيطة . ويمكن كتابة القوة على النحو التالي:${\displaystyle F=-kx}$يصبح قانون نيوتن الثاني $${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx\,.}$$ لهذه المعادلة التفاضلية حل $${\displaystyle x(t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t\,}$$ حيث التردد${\displaystyle \omega }$يساوي${\displaystyle {\sqrt {k/m}}}$والثوابت${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يمكن حسابها بمعرفة، على سبيل المثال، موضع الجسم وسرعته في وقت معين، مثل${\displaystyle t=0}$.

أحد أسباب أهمية المذبذب التوافقي كمثال من الناحية المفاهيمية هو أنه يمثل تقريبًا جيدًا للعديد من الأنظمة القريبة من حالة اتزان ميكانيكي مستقر. ^{[ ملاحظة 10 ]} على سبيل المثال، يتمتع البندول بتوازن مستقر في الوضع الرأسي: إذا بقي ساكنًا في هذا الوضع، فسيظل كذلك، وإذا دُفع قليلًا، فسيتأرجح ذهابًا وإيابًا. وبإهمال مقاومة الهواء والاحتكاك عند نقطة الارتكاز، تصبح قوة الجاذبية هي القوة المؤثرة على البندول، ويصبح قانون نيوتن الثاني هو$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {g}{L}}\sin \theta ,}$$أين${\displaystyle L}$هو طول البندول و${\displaystyle \theta }$هي زاويتها من الوضع الرأسي. عندما تكون الزاوية${\displaystyle \theta }$صغير، جيب تمام${\displaystyle \theta }$يساوي تقريبًا${\displaystyle \theta }$(انظر تقريب الزاوية الصغيرة )، وبالتالي يتبسط هذا التعبير إلى معادلة مذبذب توافقي بسيط بتردد${\displaystyle \omega ={\sqrt {g/L}}}$.

يمكن تخميد المذبذب التوافقي ، غالبًا عن طريق الاحتكاك أو مقاومة اللزوجة، وفي هذه الحالة تتسرب الطاقة من المذبذب ويقل سعة التذبذبات بمرور الوقت. كما يمكن تحريك المذبذب التوافقي بقوة خارجية، مما قد يؤدي إلى ظاهرة الرنين . ^{[ 50 ]}

أجسام ذات كتلة متغيرة

تعتبر الفيزياء النيوتونية المادة غير مخلوقة ولا مفنى، وإنما قابلة لإعادة الترتيب. قد يكتسب جسم ما كتلة أو يفقدها نتيجة إضافة مادة إليه أو إزالتها منه. في هذه الحالة، يمكن تطبيق قوانين نيوتن على جزيئات المادة الفردية، مع تتبع أي الجزيئات تنتمي إلى الجسم المدروس بمرور الوقت. على سبيل المثال، إذا كان صاروخ كتلته${\displaystyle M(t)}$، يتحرك بسرعة${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$، يقذف المادة بسرعة${\displaystyle \mathbf {u} }$بالنسبة للصاروخ، ثم ^{[ 24 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} =M{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}-\mathbf {u} {\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} t}}\,}$$ أين${\displaystyle \mathbf {F} }$هي محصلة القوى الخارجية (مثل قوة جاذبية الكوكب). ^{[ 23 ] : 139}

مروحة وشراع

يُعد مثال المروحة والشراع حالةً تُدرس في سياق مناقشة قانون نيوتن الثالث. ^{[ 51 ]} في هذه الحالة، تُثبّت مروحة على عربة أو قارب شراعي ، فتهب على شراعه. وبناءً على القانون الثالث، يُستنتج أن قوة الهواء الدافعة في اتجاه واحد تُعادل القوة التي تُؤثر بها المروحة على الشراع، مما يجعل الجهاز بأكمله ثابتًا. مع ذلك، ولأن النظام ليس مغلقًا تمامًا، توجد ظروف يتحرك فيها؛ على سبيل المثال، إذا صُمم الشراع بطريقة تُعيد توجيه معظم تدفق الهواء نحو المروحة، فإن محصلة القوى ستؤدي إلى تحرك القارب للأمام. ^{[ 34 ] [ 52 ]}

يمكن فهم جوانب مهمة من حركة جسم ممتد بتخيل كتلة ذلك الجسم مركزة في نقطة واحدة، تُعرف بمركز الكتلة. يعتمد موقع مركز كتلة الجسم على كيفية توزيع مادته. بالنسبة لمجموعة من الأجسام النقطية ذات الكتل...${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{N}}$في المناصب${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}}$يقع مركز الكتلة عند$${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}\mathbf {r} _{i}}{M}},}$$أين${\displaystyle M}$تمثل الكتلة الكلية للمجموعة. في غياب قوة خارجية محصلة، يتحرك مركز الكتلة بسرعة ثابتة في خط مستقيم. ينطبق هذا، على سبيل المثال، على تصادم بين جسمين. ^{[ 55 ]} إذا لم تكن القوة الخارجية المحصلة صفرًا، فإن مركز الكتلة يغير سرعته كما لو كان جسمًا نقطيًا كتلته m.${\displaystyle M}$وينتج هذا عن حقيقة أن القوى الداخلية داخل المجموعة، أي القوى التي تؤثر بها الأجسام على بعضها البعض، تحدث في أزواج متوازنة وفقًا لقانون نيوتن الثالث. في نظام مكون من جسمين أحدهما أثقل بكثير من الآخر، سيتطابق مركز الكتلة تقريبًا مع موقع الجسم الأثقل. ^{[ 19 ] : 22-24}

عند تطبيق قوانين نيوتن على الأجسام الممتدة الدوارة، ينتج عنها كميات جديدة مماثلة لتلك المستخدمة في القوانين الأصلية. فمثلاً، يُقابل الكتلة عزم القصور الذاتي ، ويُقابل الزخم الزخم الزاوي ، ويُقابل القوة عزم الدوران .

يُحسب الزخم الزاوي بالنسبة إلى نقطة مرجعية. ^{[ 56 ]} إذا كان متجه الإزاحة من نقطة مرجعية إلى جسم ما هو${\displaystyle \mathbf {r} }$والجسم يمتلك زخماً${\displaystyle \mathbf {p} }$ثم يكون الزخم الزاوي للجسم بالنسبة لتلك النقطة، باستخدام الضرب الاتجاهي للمتجهات ،$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .}$$بأخذ المشتقة الزمنية للزخم الزاوي نحصل على$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$يختفي الحد الأول لأن${\displaystyle \mathbf {v} }$و${\displaystyle m\mathbf {v} }$تشير إلى نفس الاتجاه. أما الحد المتبقي فهو عزم الدوران.$${\displaystyle \mathbf {\tau } =\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$عندما يكون عزم الدوران صفرًا، يكون الزخم الزاوي ثابتًا، تمامًا كما هو الحال عندما تكون القوة صفرًا، يكون الزخم ثابتًا. ^{[ 19 ] : 14-15} يمكن أن يتلاشى عزم الدوران حتى عندما تكون القوة غير صفرية، إذا كان الجسم موجودًا عند نقطة مرجعية (${\displaystyle \mathbf {r} =0}$أو إذا كانت القوة${\displaystyle \mathbf {F} }$ومتجه الإزاحة${\displaystyle \mathbf {r} }$يتم توجيهها على نفس الخط.

يُحسب الزخم الزاوي لمجموعة من الكتل النقطية، وبالتالي لجسم ممتد، بجمع مساهمات كل نقطة منها. يوفر هذا وسيلة لوصف دوران الجسم حول محور، وذلك بجمع الزخم الزاوي لأجزائه الفردية. وتعتمد النتيجة على المحور المُختار، وشكل الجسم، وسرعة الدوران. ^{[ 19 ] : 28}

ينص قانون نيوتن للجاذبية الكونية على أن أي جسم يجذب أي جسم آخر على طول الخط المستقيم الواصل بينهما. تتناسب قوة الجذب طرديًا مع حاصل ضرب كتلتيهما، وعكسيًا مع مربع المسافة بينهما. يُعرف إيجاد شكل المدارات التي ينتجها قانون القوة العكسية التربيعية بمسألة كبلر . يمكن حل مسألة كبلر بطرق متعددة، منها إثبات أن متجه لابلاس-رونج-لينز ثابت، ^{[ 57 ]} أو بتطبيق تحويل الازدواجية على مذبذب توافقي ثنائي الأبعاد. ^{[ 58 ]} وبغض النظر عن طريقة الحل، فإن النتيجة هي أن المدارات ستكون مقاطع مخروطية ، أي قطع ناقصة (بما في ذلك الدوائر)، أو قطع مكافئة ، أو قطع زائدة . يتحدد انحراف المدار، وبالتالي نوع المقطع المخروطي، بطاقة الجسم الدائر وعزمه الزاوي. لا تمتلك الكواكب طاقة كافية للهروب من الشمس، وبالتالي فإن مداراتها عبارة عن أشكال بيضاوية، إلى حد كبير؛ ولأن الكواكب تجذب بعضها البعض، فإن المدارات الفعلية ليست مقاطع مخروطية تمامًا.

بإضافة كتلة ثالثة، تتحول مسألة كبلر إلى مسألة الأجسام الثلاثة، والتي لا يوجد لها حل دقيق بصيغة مغلقة . أي أنه لا توجد طريقة للبدء من المعادلات التفاضلية التي تنص عليها قوانين نيوتن، وبعد سلسلة محدودة من العمليات الحسابية القياسية، الحصول على معادلات تعبر عن حركة الأجسام الثلاثة مع مرور الوقت. ^{[ 59 ] [ 60 ]} يمكن تطبيق الطرق العددية للحصول على نتائج مفيدة، وإن كانت تقريبية، لمسألة الأجسام الثلاثة. ^{[ 61 ]} يمكن تخزين مواقع وسرعات الأجسام في متغيرات داخل ذاكرة الحاسوب؛ وتُستخدم قوانين نيوتن لحساب كيفية تغير السرعات خلال فترة زمنية قصيرة، وبمعرفة السرعات، يمكن حساب تغيرات المواقع خلال تلك الفترة الزمنية. تُكرر هذه العملية لحساب مسارات الأجسام تقريبًا. وبشكل عام، كلما كانت الفترة الزمنية أقصر، كان التقريب أكثر دقة. ^{[ 62 ]}

تسمح قوانين نيوتن للحركة بإمكانية حدوث الفوضى . ^{[ 63 ] [ 64 ]} أي، من الناحية النوعية، يمكن للأنظمة الفيزيائية التي تخضع لقوانين نيوتن أن تُظهر اعتمادًا شديدًا على ظروفها الأولية: إذ يمكن لتغيير طفيف في موضع أو سرعة جزء من النظام أن يؤدي إلى سلوك النظام بأكمله بطريقة مختلفة جذريًا في غضون فترة زمنية قصيرة. ومن الأمثلة الجديرة بالذكر مسألة الأجسام الثلاثة، والبندول المزدوج ، والبلياردو الديناميكي ، ومسألة فيرمي-باستا-أولام-تسينغو .

يمكن تطبيق قوانين نيوتن على الموائع باعتبار المائع مكونًا من أجزاء متناهية الصغر، يؤثر كل منها بقوى على الأجزاء المجاورة. معادلة أويلر للزخم هي تعبير عن قانون نيوتن الثاني مُكيَّف مع ديناميكا الموائع. ^{[ 65 ] [ 66 ]} يُوصف المائع بحقل سرعة، أي دالة.${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$يُحدد هذا القانون متجه سرعة لكل نقطة في المكان والزمان. يمكن لجسم صغير يحمله تدفق المائع أن يغير سرعته لسببين: أولًا، لأن حقل السرعة عند موضعه يتغير بمرور الوقت، وثانيًا، لأنه ينتقل إلى موقع جديد حيث يكون لحقل السرعة قيمة مختلفة. وبالتالي، عند تطبيق قانون نيوتن الثاني على جزء متناهي الصغر من المائع، فإن التسارع${\displaystyle \mathbf {a} }$يتكون من حدين، يُعرف تركيبهما بالمشتق الكلي أو المادي . تعتمد كتلة جزء متناهي الصغر على كثافة المائع ، وتؤثر عليه قوة محصلة إذا تغير ضغط المائع من جانب إلى آخر. وبناءً على ذلك،${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {F} /m}$يصبح $${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\mathbf {f} ,}$$ أين${\displaystyle \rho }$الكثافة،${\displaystyle P}$هو الضغط، و${\displaystyle \mathbf {f} }$يرمز إلى تأثير خارجي مثل قوة الجاذبية. يؤدي إدخال تأثير اللزوجة إلى تحويل معادلة أويلر إلى معادلة نافيير-ستوكس . $${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\nu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} ,}$$ أين${\displaystyle \nu }$^{[ 65 ]} هي اللزوجة الحركية .

من الممكن رياضيًا أن تقوم مجموعة من الكتل النقطية، تتحرك وفقًا لقوانين نيوتن، بقذف بعضها بعيدًا بقوة هائلة بحيث تطير إلى ما لا نهاية في زمن محدود. ^{[ 67 ]} يعتمد هذا السلوك غير الفيزيائي، المعروف باسم "التفرد غير التصادمي"، ^{[ 60 ]} على كون الكتل نقطية وقادرة على الاقتراب من بعضها البعض بشكل تعسفي، بالإضافة إلى عدم وجود حد للسرعة النسبية في الفيزياء النيوتونية. ^{[ 68 ]}

لم يُعرف بعد ما إذا كانت معادلات أويلر ونافير-ستوكس تُظهر سلوكًا مشابهًا يتمثل في "انفجار" الحلول السلسة في البداية خلال فترة زمنية محدودة. وتُعد مسألة وجود حلول نافير-ستوكس وسلاستها إحدى مسائل جائزة الألفية . ^{[ 69 ]}

تختلف ميكانيكا لاغرانج عن الصيغة النيوتونية في أنها تأخذ في الاعتبار المسارات الكاملة دفعة واحدة بدلاً من التنبؤ بحركة الجسم في لحظة واحدة. ^{[ 19 ] : 109} ومن المتعارف عليه في ميكانيكا لاغرانج الإشارة إلى الموضع بـ${\displaystyle q}$والسرعة مع${\displaystyle {\dot {q}}}$أبسط مثال هو جسيم نقطي ضخم، ويمكن كتابة لاغرانجيان الخاص به على أنه الفرق بين طاقته الحركية وطاقته الكامنة: $${\displaystyle L(q,{\dot {q}})=T-V,}$$ حيث تكون الطاقة الحركية $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}}$$ والطاقة الكامنة هي دالة ما للموقع،${\displaystyle V(q)}$المسار الفيزيائي الذي ستسلكه الجسيمات بين نقطة البداية${\displaystyle q_{i}}$ونقطة أخيرة${\displaystyle q_{f}}$هو المسار الذي يكون فيه تكامل لاغرانجيان "ثابتًا". أي أن المسار الفيزيائي يتميز بخاصية أن الاضطرابات الصغيرة فيه، كتقريب أولي، لن تُغير تكامل لاغرانجيان. يوفر حساب التفاضل والتكامل التغيرات الأدوات الرياضية لإيجاد هذا المسار. ^{[ 46 ] : 485} بتطبيق حساب التفاضل والتكامل التغيرات على مهمة إيجاد المسار، نحصل على معادلة أويلر-لاغرانج للجسيم. $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q}}.}$$ بتقييم المشتقات الجزئية للدالة لاغرانجيان نحصل على $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\dot {q}})=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} q}},}$$ وهو إعادة صياغة لقانون نيوتن الثاني. يمثل الطرف الأيسر المشتق الزمني للزخم، بينما يمثل الطرف الأيمن القوة، معبراً عنها بدلالة طاقة الوضع. ^{[ 9 ] : 737}

يجادل لاندو وليفشيتز بأن صياغة لاغرانج تجعل المحتوى المفاهيمي للميكانيكا الكلاسيكية أكثر وضوحًا من البدء بقوانين نيوتن. ^{[ 29 ]} توفر ميكانيكا لاغرانج إطارًا ملائمًا لإثبات نظرية نوثر ، التي تربط بين التناظرات وقوانين الحفظ. ^{[ 72 ]} يمكن اشتقاق قانون حفظ الزخم بتطبيق نظرية نوثر على لاغرانجي لنظام متعدد الجسيمات، وبالتالي، فإن قانون نيوتن الثالث هو نظرية وليس فرضية. ^{[ 19 ] : 124}

في ميكانيكا هاميلتون ، تُمثَّل ديناميكيات النظام بدالة تُسمى الهاميلتوني، والتي تُساوي في كثير من الحالات المهمة الطاقة الكلية للنظام. ^{[ 9 ] : 742} الهاميلتوني دالة لمواقع وزخم جميع الأجسام المُكوِّنة للنظام، وقد يعتمد أيضًا بشكل صريح على الزمن. تُعطى المشتقات الزمنية لمتغيرات الموقع والزخم بالمشتقات الجزئية للهاميلتوني، عبر معادلات هاميلتون . ^{[ 19 ] : 203} أبسط مثال على ذلك هو كتلة نقطية${\displaystyle m}$مُقيد بالحركة في خط مستقيم، تحت تأثير جهد كامن. الكتابة${\displaystyle q}$بالنسبة لإحداثيات الموقع و${\displaystyle p}$بالنسبة لزخم الجسم، فإن الهاميلتوني هو $${\displaystyle {\mathcal {H}}(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q).}$$ في هذا المثال، معادلات هاميلتون هي $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}}$$ و $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}.}$$ وبتقييم هذه المشتقات الجزئية، تصبح المعادلة السابقة $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}={\frac {p}{m}},}$$ وهذا يُعيد إنتاج العبارة المألوفة بأن زخم الجسم هو حاصل ضرب كتلته في سرعته. والمشتق الزمني للزخم هو $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} q}},}$$ والذي، عند تحديد المشتقة السالبة للجهد مع القوة، هو ببساطة قانون نيوتن الثاني مرة أخرى. ^{[ 63 ] [ 9 ] : 742}

كما هو الحال في صياغة لاغرانج، يمكن في ميكانيكا هاميلتون اشتقاق قانون حفظ الزخم باستخدام نظرية نوثر، مما يجعل قانون نيوتن الثالث فكرة مستنتجة وليست مفترضة. ^{[ 19 ] : 251}

من بين المقترحات لإصلاح المنهج الدراسي التمهيدي القياسي للفيزياء، مقترحٌ يُدرِّس مفهوم الطاقة قبل مفهوم القوة، وهو ما يُعرف أساسًا بـ"الميكانيكا الهاميلتونية التمهيدية". ^{[ 73 ] [ 74 ]}

تُقدّم معادلة هاميلتون -جاكوبي صياغةً أخرى للميكانيكا الكلاسيكية، تجعلها مُماثلةً رياضيًا لعلم البصريات الموجية . ^{[ 19 ] : 284 [ 75 ]} تستخدم هذه الصياغة أيضًا دوال هاميلتونية، ولكن بطريقةٍ مُختلفة عن الصياغة المذكورة أعلاه. تُستنتج المسارات التي تسلكها الأجسام أو مجموعات الأجسام من دالةٍ ما.${\displaystyle S(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\ldots ,t)}$عدد الوظائف${\displaystyle \mathbf {q} _{i}}$والوقت${\displaystyle t}$يتم دمج الهاميلتوني في معادلة هاميلتون-جاكوبي، وهي معادلة تفاضلية لـ${\displaystyle S}$تتحرك الأجسام بمرور الوقت بطريقة تجعل مساراتها عمودية على أسطح ثابتة${\displaystyle S}$وبالمثل، ينتشر شعاع الضوء في الاتجاه العمودي على جبهته الموجية. ويكون التعبير عن ذلك أبسط في حالة كتلة نقطية واحدة، حيث${\displaystyle S}$هي دالة${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$وتتحرك الكتلة النقطية في الاتجاه الذي${\displaystyle S}$تتغير بشكل حاد. بعبارة أخرى، زخم الكتلة النقطية هو تدرج${\displaystyle S}$: $${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S.}$$ معادلة هاميلتون-جاكوبي لكتلة نقطية هي $${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {\nabla } S,t\right).}$$ يمكن ملاحظة العلاقة بقوانين نيوتن من خلال النظر إلى كتلة نقطية تتحرك في مجال جهد لا يعتمد على الزمن.${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$وفي هذه الحالة تصبح معادلة هاميلتون-جاكوبي $${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+V(\mathbf {q} ).}$$ وبأخذ ميل كلا الجانبين، يصبح هذا $${\displaystyle -\mathbf {\nabla } {\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+\mathbf {\nabla } V.}$$ عن طريق تبديل ترتيب المشتقات الجزئية على الجانب الأيسر، واستخدام قواعد القوة والسلسلة على الحد الأول على الجانب الأيمن، $${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\nabla } S={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\mathbf {\nabla } S+\mathbf {\nabla } V.}$$ تجميع المصطلحات التي تعتمد على تدرج${\displaystyle S}$، $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]\mathbf {\nabla } S=-\mathbf {\nabla } V.}$$ هذه إعادة صياغة أخرى لقانون نيوتن الثاني. ^{[ 76 ]} التعبير بين قوسين هو مشتق كلي أو مادي كما ذكر أعلاه، ^{[ 77 ]} حيث يشير الحد الأول إلى كيفية تغير الدالة التي يتم تفاضلها بمرور الوقت في موقع ثابت، ويجسد الحد الثاني كيف سيرى جسيم متحرك قيمًا مختلفة لتلك الدالة أثناء انتقاله من مكان إلى آخر: $${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } \right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}.}$$

في الفيزياء الإحصائية ، تُطبّق النظرية الحركية للغازات قوانين نيوتن للحركة على أعداد كبيرة من الجسيمات (عادةً ما تكون في حدود عدد أفوجادرو ). ويمكن للنظرية الحركية أن تفسر، على سبيل المثال، الضغط الذي يُمارسه الغاز على الوعاء الذي يحتويه باعتباره مجموع اصطدامات عديدة بين الذرات، حيث تُضفي كل ذرة مقدارًا ضئيلاً من الزخم. ^{[ 71 ] : 62}

معادلة لانجفين هي حالة خاصة من قانون نيوتن الثاني، مُكيَّفة لوصف جسم صغير يتعرض لقصف عشوائي من أجسام أصغر منه. ^{[ 78 ] : 235} ويمكن كتابتها على النحو التالي:$${\displaystyle m\mathbf {a} =-\gamma \mathbf {v} +\mathbf {\xi } \,}$$أين${\displaystyle \gamma }$هو معامل السحب و${\displaystyle \mathbf {\xi } }$هي قوة تتغير عشوائياً من لحظة إلى أخرى، وتمثل التأثير الكلي للتصادمات مع الجسيمات المحيطة. ويُستخدم هذا لنمذجة الحركة البراونية . ^{[ 79 ]}

يمكن تطبيق قوانين نيوتن الثلاثة على الظواهر التي تنطوي على الكهرباء والمغناطيسية ، على الرغم من وجود بعض التفاصيل الدقيقة والتحفظات.

قانون كولوم للقوة الكهربائية بين جسمين ساكنين مشحونين كهربائياً له نفس الصيغة الرياضية تقريباً لقانون نيوتن للجاذبية الكونية: تتناسب القوة طردياً مع حاصل ضرب الشحنات، وعكسياً مع مربع المسافة بينهما، وتكون موجهة على طول الخط المستقيم الواصل بينهما.${\displaystyle q_{1}}$يمارس ضغوطاً على تهمة${\displaystyle q_{2}}$يساوي في مقداره القوة التي${\displaystyle q_{2}}$يؤثر على${\displaystyle q_{1}}$ويشير إلى الاتجاه المعاكس تمامًا. وبالتالي، فإن قانون كولوم يتوافق مع قانون نيوتن الثالث. ^{[ 80 ]}

يُعامل علم الكهرومغناطيسية القوى على أنها ناتجة عن مجالات تؤثر على الشحنات. يوفر قانون لورنتز للقوة تعبيرًا للقوة المؤثرة على جسم مشحون، ويمكن استخدامه في قانون نيوتن الثاني لحساب تسارعه. ^{[ 81 ] : 85} وفقًا لقانون لورنتز للقوة، يتعرض الجسم المشحون في مجال كهربائي لقوة في اتجاه ذلك المجال، وهي قوة تتناسب طرديًا مع شحنته.${\displaystyle q}$وإلى شدة المجال الكهربائي. بالإضافة إلى ذلك، يتعرض جسم مشحون متحرك في مجال مغناطيسي لقوة تتناسب أيضًا مع شحنته، في اتجاه عمودي على كل من المجال واتجاه حركة الجسم. باستخدام الضرب الاتجاهي للمتجهات ،$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

إذا انعدم المجال الكهربائي (${\displaystyle \mathbf {E} =0}$إذا كان )، فإن القوة ستكون عمودية على حركة الشحنة، تمامًا كما في حالة الحركة الدائرية المنتظمة التي تمت دراستها أعلاه، وستدور الشحنة (أو بشكل عام تتحرك في مسار حلزوني ) حول خطوط المجال المغناطيسي بتردد السيكلوترون.${\displaystyle \omega =qB/m}$^{[ 78 ]} : ²²² يعمل مطياف الكتلة عن طريق تطبيق مجالات كهربائية و/أو مغناطيسية على الشحنات المتحركة وقياس التسارع الناتج، والذي ينتج عنه، وفقًا لقانون قوة لورنتز، ^نسبة الكتلة إلى الشحنة . ^{[ 82 ]}

لا تخضع مجموعات الأجسام المشحونة دائمًا لقانون نيوتن الثالث: إذ قد يحدث تغير في زخم جسم ما دون تغير مُقابل في زخم جسم آخر. يُعزى هذا التباين إلى الزخم الذي يحمله المجال الكهرومغناطيسي نفسه. يتناسب الزخم لكل وحدة حجم من المجال الكهرومغناطيسي طرديًا مع متجه بوينتينغ . ^{[ 83 ] : 184 [ 84 ]}

ثمة تعارض مفاهيمي دقيق بين الكهرومغناطيسية وقانون نيوتن الأول: إذ تتنبأ نظرية ماكسويل للكهرومغناطيسية بأن الموجات الكهرومغناطيسية ستنتقل عبر الفضاء الفارغ بسرعة ثابتة ومحددة. وبالتالي، يبدو أن بعض المراقبين العطاليين يتمتعون بوضع مميز على غيرهم، وهم أولئك الذين يقيسون سرعة الضوء ويجدونها مطابقة للقيمة التي تنبأت بها معادلات ماكسويل. بعبارة أخرى، يوفر الضوء معيارًا مطلقًا للسرعة، بينما ينص مبدأ القصور الذاتي على أنه لا ينبغي وجود مثل هذا المعيار. وقد حُلّ هذا التناقض في نظرية النسبية الخاصة، التي تُعيد صياغة مفاهيم المكان والزمان بحيث يتفق جميع المراقبين العطاليين على سرعة الضوء في الفراغ. [ ^{ملاحظة ١٢ ]}

في النسبية الخاصة، لا تنطبق القاعدة التي أطلق عليها ويلكز اسم "قانون نيوتن الصفري": فكتلة الجسم المركب ليست مجرد مجموع كتل أجزائه الفردية. ^{[ 87 ] : 33} يبقى قانون نيوتن الأول، الخاص بالحركة بالقصور الذاتي، صحيحًا. كما ينطبق شكل من أشكال قانون نيوتن الثاني، الذي ينص على أن القوة هي معدل تغير الزخم، وكذلك قانون حفظ الزخم. مع ذلك، يتغير تعريف الزخم. ومن نتائج هذا التغيير أنه كلما زادت سرعة حركة الجسم، زادت صعوبة تسريعه، وبالتالي، مهما بلغت القوة المطبقة، لا يمكن تسريع الجسم إلى سرعة الضوء. وبحسب المسألة المطروحة، يمكن تمثيل الزخم في النسبية الخاصة كمتجه ثلاثي الأبعاد.${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }$، أين${\displaystyle m}$هي كتلة الجسم في حالة الراحة و${\displaystyle \gamma }$هو عامل لورنتز ، الذي يعتمد على سرعة الجسم. وبدلاً من ذلك، يمكن تمثيل الزخم والقوة كمتجهات رباعية . ^{[ 88 ] : 107}

يجب تعديل قانون نيوتن الثالث في النسبية الخاصة. يشير القانون الثالث إلى القوى بين جسمين في اللحظة نفسها، ومن السمات الأساسية للنسبية الخاصة أن التزامن نسبي. فالأحداث التي تقع في الوقت نفسه بالنسبة لمراقب ما، قد تقع في أوقات مختلفة بالنسبة لمراقب آخر. لذا، في إطار مرجعي لمراقب معين، قد لا يكون الفعل ورد الفعل متعاكسين تمامًا، وقد لا يكون الزخم الكلي للأجسام المتفاعلة محفوظًا. ويُستعاد حفظ الزخم بإضافة الزخم المخزن في المجال الذي يصف تفاعل الأجسام. ^{[ 89 ] [ 90 ]}

تُعدّ الميكانيكا النيوتونية تقريبًا جيدًا للنسبية الخاصة عندما تكون السرعات المعنية صغيرة مقارنةً بسرعة الضوء. ^{[ 91 ] : 131}

النسبية العامة هي نظرية للجاذبية تتجاوز نظرية نيوتن. في النسبية العامة، يُعاد تصور قوة الجاذبية في الميكانيكا النيوتونية على أنها انحناء الزمكان . المسار المنحني، كالمدار، الذي يُعزى إلى قوة الجاذبية في الميكانيكا النيوتونية، ليس نتيجة قوة تُحرف الجسم عن مساره المستقيم المثالي، بل هو محاولة الجسم للسقوط الحر عبر خلفية منحنية بفعل وجود كتل أخرى. يلخص جون أرشيبالد ويلر هذه النظرية بمقولة شائعة بين الفيزيائيين: "الزمكان يُملي على المادة كيفية الحركة، والمادة تُملي على الزمكان كيفية الانحناء". ^{[ 92 ] [ 93 ]} وقد اعتبر ويلر نفسه هذه العلاقة التبادلية شكلاً حديثاً ومعمماً لقانون نيوتن الثالث. ^{[ 92 ]} وتُعطى العلاقة بين توزيع المادة وانحناء الزمكان بمعادلات أينشتاين للمجال ، والتي تتطلب حساب الموترات للتعبير عنها. ^{[ 87 ] : 43 [ 94 ]}

تُعدّ نظرية نيوتن للجاذبية تقريبًا جيدًا لتوقعات النسبية العامة عندما تكون تأثيرات الجاذبية ضعيفة وتتحرك الأجسام ببطء مقارنةً بسرعة الضوء. ^{[ 85 ] : 327 [ 95 ]}

ميكانيكا الكم هي نظرية فيزيائية طُوِّرت في الأصل لفهم الظواهر المجهرية: السلوك على مستوى الجزيئات أو الذرات أو الجسيمات دون الذرية. وبشكل عام، كلما صغر حجم النظام، زادت الحاجة إلى فهم التأثيرات الكمومية في النموذج الرياضي المناسب. يختلف الأساس المفاهيمي لفيزياء الكم اختلافًا كبيرًا عن الفيزياء الكلاسيكية . فبدلًا من التفكير في كميات مثل الموضع والزخم والطاقة كخصائص يمتلكها الجسم ، يُنظر إلى النتيجة المحتملة عند إجراء قياس من نوع مُحدد. تُمكّن ميكانيكا الكم الفيزيائي من حساب احتمالية أن يُسفر قياس مُحدد عن نتيجة معينة. ^{[ 96 ] [ 97 ]} القيمة المتوقعة للقياس هي متوسط ​​النتائج المحتملة التي قد يُسفر عنها، مُرجَّحة باحتمالات حدوثها. ^{[ 98 ]}

تُقدّم نظرية إهرنفست صلةً بين القيم المتوقعة الكمومية وقانون نيوتن الثاني، وهي صلة غير دقيقة بالضرورة، لأن الفيزياء الكمومية تختلف جوهريًا عن الفيزياء الكلاسيكية. في الفيزياء الكمومية، يُمثَّل الموضع والزخم بكيانات رياضية تُعرف بالمؤثرات الهرميتية ، وتُستخدم قاعدة بورن لحساب القيم المتوقعة لقياس الموضع أو الزخم. تتغير هذه القيم المتوقعة عمومًا بمرور الوقت؛ أي أن احتمالات نتائج قياس الموضع، على سبيل المثال، تختلف باختلاف الوقت الذي يُجرى فيه. تنص نظرية إهرنفست، باختصار، على أن المعادلات التي تصف كيفية تغير هذه القيم المتوقعة بمرور الوقت لها شكل يُشبه قانون نيوتن الثاني. مع ذلك، كلما كانت التأثيرات الكمومية أكثر وضوحًا في حالة معينة، كلما ازدادت صعوبة استخلاص استنتاجات ذات مغزى من هذا التشابه. ^{[ ملاحظة 13 ]}

قدّم الفيلسوف الفرنسي رينيه ديكارت مفهوم القصور الذاتي من خلال "قوانين الطبيعة" في كتابه " العالم " ( Traité du monde et de la lumière ) الذي كتبه بين عامي 1629 و1633. إلا أن "العالم" تبنى رؤية مركزية الشمس للعالم ، وقد أثارت هذه الرؤية في عام 1633 صراعًا كبيرًا بين غاليليو غاليلي ومحاكم التفتيش الكاثوليكية . كان ديكارت على دراية بهذا الجدل، لكنه لم يرغب في التورط فيه. لم يُنشر كتاب "العالم" إلا في عام 1664، أي بعد عشر سنوات من وفاته. ^{[ 107 ]}

يُنسب المفهوم الحديث للقصور الذاتي إلى غاليليو. فاستنادًا إلى تجاربه، استنتج غاليليو أن السلوك "الطبيعي" للجسم المتحرك هو الاستمرار في الحركة، إلى أن يتدخل شيء آخر في حركته. وفي كتابه "علمان جديدان " (1638)، كتب غاليليو: ^{[ 108 ] [ 109 ]}

تخيل أي جسيم مقذوف على طول مستوى أفقي بدون احتكاك؛ عندئذٍ نعلم، مما تم شرحه بشكل أكثر تفصيلاً في الصفحات السابقة، أن هذا الجسيم سيتحرك على طول هذا المستوى نفسه بحركة منتظمة ودائمة، بشرط ألا يكون للمستوى حدود.

أدرك غاليليو أن جاذبية الأرض تؤثر على الحركة الرأسية دون الأفقية في حركة المقذوفات. ^{[ 110 ]} مع ذلك، لم يكن مفهوم غاليليو عن القصور الذاتي مطابقًا تمامًا لما سيُصاغ في قانون نيوتن الأول. فقد اعتقد غاليليو أن الجسم المتحرك لمسافة طويلة بالقصور الذاتي سيتبع انحناء الأرض. وقد صحح هذا المفهوم كلٌ من إسحاق بيكمان ، وديكارت، وبيير غاسيندي ، الذين أقروا بأن الحركة بالقصور الذاتي هي حركة في خط مستقيم. ^{[ 111 ]} ونشر ديكارت قوانينه للطبيعة (قوانين الحركة) مع هذا التصحيح في كتابه "مبادئ الفلسفة " ( Principia Philosophiae ) عام 1644، مع تخفيف الجزء المتعلق بمركزية الشمس. ^{[ 112 ] [ 107 ]}

القانون الأول للطبيعة: كل شيء إذا تُرك لنفسه يستمر في نفس الحالة؛ لذلك يستمر أي جسم متحرك في الحركة حتى يوقفه شيء ما.

القانون الثاني للطبيعة: كل شيء متحرك إذا تُرك لنفسه يتحرك في خط مستقيم؛ لذلك فإن أي جسم يتحرك في دائرة يميل دائمًا إلى الابتعاد عن مركز الدائرة.

وفقًا للفيلسوف الأمريكي ريتشارد جيه بلاكويل ، قام العالم الهولندي كريستيان هويغنز بوضع نسخته الموجزة الخاصة من القانون في عام 1656. ^{[ 113 ]} لم يتم نشرها حتى عام 1703، أي بعد ثماني سنوات من وفاته، في الفقرة الافتتاحية من كتاب De Motu Corporum ex Percussione .

الفرضية الأولى: أي جسم متحرك بالفعل سيستمر في التحرك بشكل دائم بنفس السرعة وفي خط مستقيم ما لم يتعرض للإعاقة.

بحسب هيغنز، كان هذا القانون معروفًا بالفعل لدى غاليليو وديكارت وغيرهما. ^{[ 113 ]}

طرح كريستيان هويغنز، في كتابه "ساعة التذبذب" (1673)، فرضية مفادها أنه "بفعل الجاذبية، مهما كانت مصادرها، تتحرك الأجسام بحركة تتألف من حركة منتظمة في اتجاه أو آخر، وحركة نحو الأسفل بفعل الجاذبية". وقد عمم قانون نيوتن الثاني هذه الفرضية من الجاذبية إلى جميع القوى. ^{[ 114 ]}

من أهم خصائص الفيزياء النيوتونية أن القوى يمكن أن تؤثر عن بُعد دون الحاجة إلى تلامس مادي. ^{[ ملاحظة 16 ]} فعلى سبيل المثال، تجذب الشمس والأرض بعضهما البعض جاذبيًا، على الرغم من أن المسافة بينهما تبلغ ملايين الكيلومترات. وهذا يتناقض مع الفكرة التي دافع عنها ديكارت وغيره، والتي مفادها أن جاذبية الشمس تُبقي الكواكب في مداراتها عن طريق تدويرها في دوامة من مادة شفافة تُسمى الأثير . ^{[ 121 ]} وقد نظر نيوتن في تفسيرات الأثير للقوة، لكنه رفضها في نهاية المطاف. ^{[ 119 ]} أرست دراسة المغناطيسية التي أجراها ويليام جيلبرت وآخرون سابقةً للتفكير في القوى غير المادية ، ^{[ 119 ]} ولعدم تمكنه من إيجاد تفسير مُرضٍ كميًا لقانون الجاذبية الخاص به من خلال نموذج أثيري، أعلن نيوتن في النهاية: " لا أضع أي فرضيات ": سواء أكان من الممكن إيجاد نموذج مثل دوامات ديكارت ليُشكّل أساس نظريات الحركة والجاذبية في كتاب "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" أم لا ، فإن الأساس الأول للحكم عليها يجب أن يكون التنبؤات الناجحة التي قدمتها. ^{[ 122 ]} وبالفعل، منذ زمن نيوتن، فشلت كل محاولة لوضع مثل هذا النموذج .

اقترح يوهانس كيبلر أن قوى التجاذب متبادلة، كأن يجذب القمر الأرض بينما تجذب الأرض القمر، لكنه لم يجادل بأن هذه القوى متساوية ومتعاكسة. ^{[ 123 ]} في كتابه "مبادئ الفلسفة " (1644)، طرح ديكارت فكرة أن "كمية الحركة" تبقى ثابتة أثناء تصادم الأجسام. وقد عرّف ديكارت هذه الكمية تعريفًا غير دقيق إلى حد ما، وذلك بجمع حاصل ضرب سرعة كل جسم في "حجمه"، حيث شمل "الحجم" عنده كلاً من الحجم ومساحة السطح. ^{[ 124 ]} علاوة على ذلك، اعتبر ديكارت الكون فضاءً مملوءًا بالمادة، لذا فإن أي حركة تتطلب من الجسم إزاحة وسط ما أثناء حركته.

خلال خمسينيات القرن السابع عشر، درس هيغنز تصادمات الكرات الصلبة واستنتج مبدأً يُعرف الآن باسم قانون حفظ الزخم. ^{[ 125 ] [ 126 ]} لاحقًا، استنتج كريستوفر رين القواعد نفسها للتصادمات المرنة التي استنتجها هيغنز، وطبّق جون واليس قانون حفظ الزخم لدراسة التصادمات غير المرنة . استشهد نيوتن بأعمال هيغنز ورين وواليس لدعم صحة قانونه الثالث. ^{[ 127 ]}

توصل نيوتن إلى قوانينه الثلاثة تدريجيًا. ففي مخطوطة كتبها عام ١٦٨٤ إلى هيغنز ، ذكر أربعة قوانين: مبدأ القصور الذاتي، وتغير الحركة بفعل القوة، وقاعدة الحركة النسبية التي تُعرف اليوم بثبات غاليليو ، وقاعدة أن التفاعلات بين الأجسام لا تُغير حركة مركز كتلتها. وفي مخطوطة لاحقة، أضاف نيوتن قانون الفعل ورد الفعل، موضحًا أن هذا القانون وقانون مركز الكتلة يستلزمان بعضهما بعضًا. وربما استقر نيوتن على الصيغة التي وردت في كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" (برينسيبيا) ، بثلاثة قوانين أساسية، ثم اختُزلت العبارات الأخرى إلى نتائج، خلال عام ١٦٨٥. ^{[ ١٢٨ ]}

عبّر نيوتن عن قانونه الثاني بالقول إن القوة المؤثرة على جسم ما تتناسب طرديًا مع تغير حركته، أو زخمه. وبحلول الوقت الذي كتب فيه كتاب "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية"، كان قد طور بالفعل حساب التفاضل والتكامل (الذي أسماه " علم التدفقات ")، لكنه لم يستخدمه صراحةً في كتابه ، ربما لأنه كان يعتقد أن الحجج الهندسية في تقليد إقليدس أكثر دقة. ^{[ 130 ] : 15 [ 131 ]} ونتيجة لذلك، لا يُعبّر كتاب "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" عن التسارع كمشتق ثانٍ للموضع، وبالتالي لا يُقدّم القانون الثاني على هذا النحو.${\displaystyle F=ma}$كُتبت هذه الصيغة من القانون الثاني للديناميكا الحرارية (للحالة الخاصة للقوة الثابتة) في وقت مبكر من عام 1716 على الأقل، على يد جاكوب هيرمان ؛ واستخدمها ليونارد أويلر كفرضية أساسية في أربعينيات القرن الثامن عشر. ^{[ 132 ]} كان أويلر رائدًا في دراسة الأجسام الصلبة ^{[ 133 ]} ووضع النظرية الأساسية لديناميكا الموائع. ^{[ 134 ]} تخلى بيير سيمون لابلاس في كتابه "رسالة في الميكانيكا السماوية" (1798-1825) المكون من خمسة مجلدات عن الهندسة وطوّر الميكانيكا من خلال التعبيرات الجبرية فقط، مع حلّ المسائل التي تركها كتاب "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" مفتوحة، مثل نظرية كاملة للمد والجزر . ^{[ 135 ]}

أصبح مفهوم الطاقة جزءًا أساسيًا من الميكانيكا النيوتونية في فترة ما بعد نيوتن. أظهر حل هيغنز لتصادم الكرات الصلبة أنه في هذه الحالة، لا يُحفظ الزخم فحسب، بل تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا (أو بالأحرى، كمية يمكننا تحديدها، بالنظر إلى الماضي، على أنها نصف الطاقة الحركية الكلية). أما مسألة ما يُحفظ خلال جميع العمليات الأخرى، مثل التصادمات غير المرنة والحركة البطيئة بفعل الاحتكاك، فلم تُحسم إلا في القرن التاسع عشر. تداخلت النقاشات حول هذا الموضوع مع الخلافات الفلسفية بين وجهات النظر الميتافيزيقية لنيوتن وليبنيز، واستُخدمت أحيانًا مشتقات من مصطلح "القوة" للدلالة على ما نسميه أنواع الطاقة. على سبيل المثال، كتبت إيميلي دو شاتليه عام ١٧٤٢ : "القوة الميتة هي مجرد ميل بسيط للحركة: مثل ميل الزنبرك المُستعد للارتخاء؛ أما القوة الحية فهي تلك التي يمتلكها الجسم عندما يكون في حالة حركة فعلية." في المصطلحات الحديثة، يُشير مصطلحا "القوة الميتة" و"القوة الحية" إلى طاقة الوضع والطاقة الحركية على التوالي. ^{[ 136 ]} لم يُثبت مبدأ حفظ الطاقة كمبدأ عالمي إلا بعد فهم أن طاقة الشغل الميكانيكي يُمكن تبديدها على شكل حرارة. ^{[ 137 ] [ 138 ]} ومع ترسيخ مفهوم الطاقة، أمكن اشتقاق قوانين نيوتن ضمن صياغات الميكانيكا الكلاسيكية التي تُعطي الأولوية للطاقة، كما في صياغات لاغرانج وهاملتون المذكورة أعلاه.

تستخدم العروض الحديثة لقوانين نيوتن رياضيات المتجهات، وهو موضوع لم يتطور إلا في أواخر القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين. وقد انبثق جبر المتجهات، الذي رائده جوزيا ويلارد جيبس ​​وأوليفر هيفسايد ، من نظام الكواترنيونات السابق الذي ابتكره ويليام روان هاميلتون ، وحل محله إلى حد كبير . ^{[ 139 ] [ 140 ]}