دالة إنتاج كوب-دوجلاس

في الاقتصاد والاقتصاد القياسي ، دالة إنتاج كوب-دوجلاس هي شكل وظيفي معين لدالة الإنتاج ، تُستخدم على نطاق واسع لتمثيل العلاقة التكنولوجية بين كميات اثنين أو أكثر من المدخلات (خاصة رأس المال المادي والعمالة) وكمية الناتج التي يمكن إنتاجها من خلال تلك المدخلات. تم تطوير نموذج كوب-دوجلاس واختباره مقابل الأدلة الإحصائية من قبل تشارلز كوب وبول دوجلاس بين عامي 1927 و1947؛ ^[1] وفقًا لدوجلاس، تم تطوير الشكل الوظيفي نفسه في وقت سابق من قبل فيليب ويكستيد . ^[2]

في شكلها الأكثر شيوعًا لإنتاج سلعة واحدة بعاملين، تُعطى الدالة بالعلاقة:

${\displaystyle Y(L,K)=AL^{\beta }K^{\alpha }}$

أين:

• Y = الإنتاج الإجمالي (القيمة الحقيقية لجميع السلع المنتجة في عام أو 365.25 يومًا)
• L = مدخلات العمل (ساعات العمل للشخص في عام أو 365.25 يومًا)
• ك = مدخلات رأس المال (مقياس لجميع الآلات والمعدات والمباني؛ قيمة مدخلات رأس المال مقسومة على سعر رأس المال) ^{[ يحتاج إلى توضيح ]}
• أ = إجمالي إنتاجية العوامل
• ${\displaystyle 0<\alpha <1}$وهما مرونة الناتج لرأس المال والعمل على التوالي. وهذه القيم هي ثوابت تحددها التكنولوجيا المتاحة.${\displaystyle 0<\beta <1}$

رأس المال والعمل هما "عاملا الإنتاج" لدالة إنتاج كوب-دوجلاس.

أوضح بول دوغلاس أن صياغته الأولى لدالة إنتاج كوب-دوغلاس تم تطويرها في عام 1927؛ فعند البحث عن شكل وظيفي لربط التقديرات التي حسبها للعمال ورأس المال، تحدث مع عالم الرياضيات وزميله تشارلز كوب ، الذي اقترح دالة من النموذج Y = AL ^β K ^{1− β} ، والتي استخدمها سابقًا كنوت ويكسل وفيليب ويكستيد وليون والراس ، على الرغم من أن دوغلاس يعترف فقط بويكستيد ووالراس لمساهماتهما. ^[3] بعد فترة وجيزة من وفاة كنوت ويكسل في عام 1926، نفذ بول دوغلاس وتشارلز كوب دالة كوب-دوغلاس في عملهما الذي يغطي طريقة موضوع نظرية المنتج لأول مرة. ^[4] بتقدير ذلك باستخدام المربعات الصغرى ، حصل على نتيجة لأس العمل 0.75 - والتي أكدها لاحقًا المكتب الوطني للبحوث الاقتصادية على أنها 0.741. دفعهم العمل اللاحق في أربعينيات القرن العشرين إلى السماح للأسس على K و L بالتنوع، مما أدى إلى تقديرات أثبتت لاحقًا أنها قريبة جدًا من مقياس الإنتاجية المحسن الذي تم تطويره في ذلك الوقت. ^[5]

كان أحد الانتقادات الرئيسية في ذلك الوقت هو أن تقديرات دالة الإنتاج، على الرغم من دقتها على ما يبدو، كانت تستند إلى بيانات متفرقة لدرجة أنه كان من الصعب منحها الكثير من المصداقية. قال دوغلاس "يجب أن أعترف بأن هذا النقد قد أحبطني وفكرت في التخلي عن الجهد، ولكن كان هناك شيء أخبرني أنه يجب علي الصمود". ^[5] جاء الاختراق باستخدام بيانات التعداد السكاني في الولايات المتحدة ، والتي كانت مقطعية وقدمت عددًا كبيرًا من الملاحظات. قدم دوغلاس نتائج هذه النتائج، إلى جانب تلك الخاصة بدول أخرى، في خطابه عام 1947 كرئيس للجمعية الاقتصادية الأمريكية . بعد ذلك بفترة وجيزة، دخل دوغلاس في السياسة وأصيب بسوء الصحة - مما أدى إلى القليل من التطوير الإضافي من جانبه. ومع ذلك، بعد عقدين من الزمان، تم استخدام دالة الإنتاج الخاصة به على نطاق واسع، وتبناها اقتصاديون مثل بول صامويلسون وروبرت سولو . ^[5] تتميز دالة إنتاج كوب-دوغلاس بشكل خاص بكونها المرة الأولى التي يتم فيها تطوير دالة إنتاج كلية أو على مستوى الاقتصاد وتقديرها ثم تقديمها إلى المهنة للتحليل؛ لقد كان بمثابة تغيير بارز في كيفية تعامل خبراء الاقتصاد مع الاقتصاد الكلي من منظور الاقتصاد الجزئي. ^[6]

المنتج الهامشي لعامل الإنتاج هو التغير في الناتج عندما يتغير هذا العامل من عوامل الإنتاج، مع بقاء جميع عوامل الإنتاج الأخرى ثابتة بالإضافة إلى إجمالي إنتاجية العامل.

إن المنتج الهامشي لرأس المال يتوافق مع المشتقة الأولى لدالة الإنتاج فيما يتعلق برأس المال: ${\displaystyle MPK}$

${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}=\alpha AL^{\beta }K^{\alpha -1}=\alpha {\frac {AL^{\beta }K^{\alpha }}{K}}=\alpha {\frac {Y}{K}}}$

لأننا (وأيضا ) نكتشف أن الناتج الهامشي لرأس المال يكون دائما إيجابيا؛ أي أن زيادة رأس المال تؤدي إلى زيادة الإنتاج. ${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle Y>0,K>0}$

ونجد أيضًا أن زيادة الإنتاجية الكلية للعوامل تؤدي إلى زيادة الناتج الهامشي لرأس المال. ${\displaystyle A}$

وينطبق نفس المنطق على العمل.

إذا أخذنا المشتق للناتج الهامشي لرأس المال بالنسبة إلى رأس المال (أي إذا أخذنا المشتقة الثانية لدالة الإنتاج بالنسبة إلى رأس المال)، فسنحصل على:

${\displaystyle {\frac {\partial MPK}{\partial K}}={\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}={\frac {\partial }{\partial K}}(AL^{\beta }\alpha K^{\alpha -1})=AL^{\beta }\alpha (\alpha -1)K^{\alpha -2}=\alpha (\alpha -1)AL^{\beta }{\frac {K^{\alpha }}{K^{2}}}=\alpha (\alpha -1){\frac {Y}{K^{2}}}}$

لأنه ، إذن ، وهكذا . ${\displaystyle \alpha <1}$${\displaystyle \alpha -1<0}$${\displaystyle {\dfrac {\partial MPK}{\partial K}}<0}$

وعلى هذا فإن هذه الدالة تلبي قانون "العائدات المتناقصة"؛ أي أن الناتج الهامشي لرأس المال، رغم أنه موجب دائماً، يتناقص. ومع زيادة رأس المال (مع ثبات العمالة والإنتاجية الكلية للعوامل)، يزداد الناتج ولكن بمعدل متناقص.

وينطبق نفس المنطق على العمل.

يمكننا دراسة ما يحدث للناتج الهامشي لرأس المال عندما يزداد العمل من خلال أخذ المشتق الجزئي للناتج الهامشي لرأس المال بالنسبة للعمل، أي المشتق المتبادل للناتج بالنسبة لرأس المال والعمل:

${\displaystyle {\dfrac {\partial MPK}{\partial L}}={\dfrac {\partial ^{2}Y}{\partial K\partial L}}={\dfrac {\partial }{\partial L}}(AL^{\beta }\alpha K^{\alpha -1})=A\beta L^{\beta -1}\alpha K^{\alpha -1}=A\alpha \beta {\dfrac {L^{\beta }K^{\alpha }}{LK}}=\alpha \beta {\dfrac {Y}{LK}}}$

وبما أن زيادة العمالة تؤدي إلى رفع الناتج الهامشي لرأس المال. ${\displaystyle {\dfrac {\partial MPK}{\partial L}}>0}$

تقيس مرونة الناتج مدى استجابة الناتج للتغير في مستويات العمالة أو رأس المال المستخدم في الإنتاج، مع ثبات العوامل الأخرى . على سبيل المثال، إذا كانت α = 0.45 ، فإن زيادة بنسبة 1% في استخدام رأس المال تؤدي إلى زيادة في الناتج بنسبة 0.45% تقريبًا .

في بعض الأحيان يكون للمصطلح معنى أكثر تقييدًا، حيث يتطلب أن تعرض الدالة عوائد ثابتة على مقياس ، مما يعني أن زيادة رأس المال K والعمالة L بعامل k يؤدي أيضًا إلى زيادة الناتج Y بنفس العامل، أي . وهذا ينطبق إذا . ${\displaystyle Y(kL,kK)=kY(L,K)}$${\displaystyle \alpha +\beta =1}$

إذا ، فإن عوائد الحجم تتناقص، مما يعني أن زيادة رأس المال K والعمالة L بعامل k سوف تنتج زيادة في الناتج Y أصغر من عامل k ، أي . ^[7]${\displaystyle \alpha +\beta <1}$${\displaystyle Y(kL,kK)<kY(L,K)}$

إذا ، فإن العوائد على الحجم تتزايد، مما يعني أن الزيادة في رأس المال K والعمالة L بعامل k تنتج زيادة في الناتج Y أكبر من عامل k ، أي، . ^[7]${\displaystyle \alpha +\beta >1}$${\displaystyle Y(kL,kK)>kY(L,K)}$

في ظل المنافسة الكاملة ، يتم مكافأة عوامل الإنتاج على أساس ناتجها الهامشي الإجمالي.

الناتج الهامشي لرأس المال يعطى بالمعادلة التالية: . هذا هو الأجر لكل وحدة من رأس المال. لمعرفة الأجر لرأس المال الإجمالي، نضرب هذه الكمية في : ${\displaystyle MPK=\alpha {\dfrac {Y}{K}}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\text{Capital earnings}}=K\cdot MPK=\alpha Y}$.

وبالتالي فإن حصة من الإنتاج سوف تكافئ رأس المال. ${\displaystyle \alpha }$

وبنفس المنطق، يمكننا أن نستنتج أن حصة من الناتج سوف تكافئ العمالة. ${\displaystyle \beta }$

تبلغ هذه الأسهم 100% من الناتج فقط إذا . ${\displaystyle \alpha +\beta =1}$

في شكلها العام، تقوم دالة كوب-دوجلاس بنمذجة أكثر من سلعتين. يمكن كتابة دالة كوب-دوجلاس على النحو التالي ^[8]

${\displaystyle f(x)=A\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}},\qquad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

أين

• أ هو معامل الكفاءة
• n هو العدد الإجمالي لمتغيرات الإدخال (السلع)
• x ₁ ، ...، x _n هي الكميات (غير السلبية) من السلع المستهلكة والمنتجة وما إلى ذلك.
• ${\displaystyle \lambda _{i}}$هي معامل مرونة للخير i

لقد تعرضت هذه الدالة لانتقادات بسبب افتقارها إلى الأساس. وقد تأثر كوب ودوجلاس بالأدلة الإحصائية التي بدت وكأنها تظهر أن حصص العمالة ورأس المال في الناتج الإجمالي كانت ثابتة بمرور الوقت في البلدان المتقدمة؛ وقد فسرا ذلك من خلال الانحدار الإحصائي لأقل المربعات لدالة الإنتاج الخاصة بهما. ومن المقبول الآن على نطاق واسع أن حصة العمالة آخذة في الانخفاض في الاقتصادات الصناعية. ^{[9] [10]} تحتوي دالة الإنتاج على افتراض أساسي قد لا يوفر دائمًا التمثيل الأكثر دقة لقدرات الإنتاج وكفاءة جانب العرض في أي بلد. هذا الافتراض هو "حصة ثابتة من العمالة في الناتج"، والتي قد لا تكون فعالة عند تطبيقها على حالات البلدان التي تنمو أسواق العمل فيها بمعدلات كبيرة. ^[11] هناك قضية أخرى ضمن التكوين الأساسي لدالة إنتاج كوب-دوجلاس وهي وجود تحيز المعادلة المتزامنة. عندما يُفترض وجود منافسة، فإن تحيز المعادلة المتزامنة له تأثير على جميع أنواع الوظائف التي تنطوي على قرارات الشركة - بما في ذلك دالة كوب-دوجلاس. في بعض الحالات لا يظهر تحيز المعادلة المتزامنة هذا. ومع ذلك، فمن الواضح متى يتم استخدام تقريبات مقاربة المربعات الصغرى. ^[12]

لم يتم تطوير دالة إنتاج كوب-دوجلاس على أساس أي معرفة بالهندسة أو التكنولوجيا أو إدارة عملية الإنتاج ^{[ بحاجة لمصدر ]} . قد يكون هذا الأساس المنطقي صحيحًا بالنظر إلى تعريف مصطلح رأس المال. تحتاج ساعات العمل ورأس المال إلى تعريف أفضل. إذا تم تعريف رأس المال على أنه مبنى، فإن العمل مدرج بالفعل في تطوير هذا المبنى. يتكون المبنى من السلع والعمالة والمخاطر والظروف العامة. تم تطويرها بدلاً من ذلك لأنها تتمتع بخصائص رياضية جذابة ^{[ بحاجة لمصدر ]} ، مثل العائدات الهامشية المتناقصة لأي عامل من عوامل الإنتاج والممتلكات التي تتقاسمها الإنفاق الأمثل على أي مدخلات معينة لشركة تعمل بتقنية كوب-دوجلاس ثابتة. في البداية، لم تكن هناك أسس فائدة لها. في العصر الحديث، يحاول بعض خبراء الاقتصاد بناء نماذج من وكلاء فرديين يتصرفون، بدلاً من فرض شكل وظيفي على اقتصاد بأكمله ^{[ بحاجة لمصدر ]} . يمكن تطبيق دالة إنتاج كوب-دوجلاس، إذا تم تعريفها بشكل صحيح، على مستوى الاقتصاد الجزئي، حتى مستوى الاقتصاد الكلي.

ومع ذلك، فقد طور العديد من المؤلفين المعاصرين ^{[ من؟ ]} نماذج تعطي وظائف إنتاج كوب-دوجلاس القائمة على الاقتصاد الجزئي ، بما في ذلك العديد من النماذج الكينزية الجديدة . ^[13] ومع ذلك، فإن افتراض أنه لمجرد أن وظيفة كوب-دوجلاس تنطبق على المستوى الاقتصادي الجزئي، فإنها تنطبق دائمًا أيضًا على المستوى الاقتصادي الكلي يعد خطأً رياضيًا . وبالمثل، ليس بالضرورة أن تنطبق وظيفة كوب-دوجلاس الكلية على المستوى المجزأ. تم استنباط أساس مبكر لتكنولوجيا كوب-دوجلاس الكلية القائمة على الأنشطة الخطية في هوثاكر (1955). ^[14] تتعارض وظيفة إنتاج كوب-دوجلاس مع التقديرات التجريبية الحديثة لمرونة الاستبدال بين رأس المال والعمالة، والتي تشير إلى أن رأس المال والعمالة مكملان إجماليان. خلص تحليل تلوي أجري عام 2021 لـ 3186 تقديرًا إلى أن "وزن الأدلة المتراكمة في الأدبيات التجريبية يرفض بشكل قاطع مواصفات كوب-دوجلاس". ^[15]

غالبًا ما تُستخدم دالة كوب-دوجلاس كدالة منفعة . ^{[16] [8]} المنفعة هي دالة لكميات السلع المستهلكة: ${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}}}$

تمثل دوال المنفعة تفضيلات ترتيبية ولا تحتوي على وحدات طبيعية، على عكس دوال الإنتاج. ونتيجة لذلك، يمثل التحويل الرتيب لدالة المنفعة نفس التفضيلات. وعلى عكس دالة إنتاج كوب-دوجلاس، حيث يحدد مجموع الأسس درجة اقتصاديات الحجم ، يمكن تطبيع المجموع إلى واحد لدالة المنفعة لأن التطبيع هو تحويل رتيب لدالة المنفعة الأصلية. وبالتالي، دعنا نعرف و ، وبالتالي ، ونكتب دالة المنفعة على النحو التالي: ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1}$

${\displaystyle u(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}}$

يحقق المستهلك أقصى فائدة ممكنة مع مراعاة قيود الميزانية التي تنص على أن تكلفة السلع أقل من ثروته . وبإعطاء مثال على أسعار السلع، فإنه يحل: ${\displaystyle w}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \max _{x_{i}}\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}\quad {\text{ subject to the constraint }}\quad \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}=w}$

يتبين أن الحل لطلب كوب-دوجلاس هو:

${\displaystyle \forall j:\qquad x_{j}^{\star }={\frac {w\alpha _{j}}{p_{j}}}}$

نظرًا لأن المستهلك ينفق جزءًا من ثروته على السلعة ج . لاحظ أن هذا هو الحل لأي من أو لأن نفس التفضيلات تولد نفس الطلب. ${\displaystyle \alpha _{j}={\frac {p_{j}x_{j}^{*}}{w}}}$${\displaystyle \alpha _{j}}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle {\tilde {u}}(x),}$

يمكن حساب دالة المنفعة غير المباشرة عن طريق استبدال المطالب في دالة المنفعة. حدد الثابت وسنحصل على: ${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle K=\prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}$

${\displaystyle v(p,w)=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {w\alpha _{i}}{p_{i}}}\right)^{\alpha _{i}}={\frac {\prod _{i=1}^{n}w^{\alpha _{i}}\cdot \prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}=K\left({\frac {w}{\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}\right)}$

وهي حالة خاصة من صيغة جورمان القطبية . دالة الإنفاق هي معكوس دالة المنفعة غير المباشرة: ^{[17] : 112}

${\displaystyle e(p,u)=(1/K)\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}u}$

يمكن تقدير صيغة دالة كوب-دوجلاس كعلاقة خطية باستخدام التعبير التالي:

${\displaystyle \ln(Y)=a_{0}+\sum _{i}a_{i}\ln(I_{i})}$

أين

• ${\displaystyle Y={\text{output}}}$
• ${\displaystyle I_{i}={\text{inputs}}}$
• ${\displaystyle a_{i}={\text{model coefficients}}}$

يمكن أيضًا كتابة النموذج على النحو التالي

${\displaystyle Y=e^{a_{0}}(I_{1})^{a_{1}}\cdot (I_{2})^{a_{2}}\cdots }$

كما هو مذكور، فإن دالة كوب-دوجلاس الشائعة المستخدمة في النمذجة الاقتصادية الكلية هي

${\displaystyle Y=K^{\alpha }L^{\beta }}$

حيث K هو رأس المال و L هو العمل. عندما يصل مجموع أسس النموذج إلى واحد، تكون دالة الإنتاج متجانسة من الدرجة الأولى ، مما يعني عوائد ثابتة على نطاق واسع - أي إذا تم قياس جميع المدخلات بعامل مشترك أكبر من الصفر، فسيتم قياس الناتج بنفس العامل.

دالة إنتاج المرونة الثابتة للإحلال (CES) (في حالة العاملين) هي

${\displaystyle Y=A\left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }\right)^{1/\gamma },}$

حيث تتوافق الحالة الحدية γ = 0 مع دالة كوب-دوجلاس، مع عوائد ثابتة للمقياس. ^[18]${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha },}$

لرؤية هذا، سجل وظيفة CES:

${\displaystyle \ln(Y)=\ln(A)+{\frac {1}{\gamma }}\ln \left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }\right)}$

يمكن أن تؤخذ إلى الحد الأقصى من خلال تطبيق قاعدة لوبيتال :

${\displaystyle \lim _{\gamma \to 0}\ln(Y)=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L).}$

لذلك، . ${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }}$

دالة إنتاج الترانسلوج هي تقريب لدالة CES بواسطة متعدد حدود تايلور من الدرجة الثانية في المتغير حوالي ، أي حالة كوب-دوجلاس. ^{[19] [20]} يشير اسم الترانسلوج إلى "اللوغاريتم المتسامي". غالبًا ما يتم استخدامه في القياس الاقتصادي لحقيقة أنه خطي في المعلمات، مما يعني أنه يمكن استخدام المربعات الصغرى العادية إذا كان من الممكن افتراض أن المدخلات خارجية . ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma =0}$

في حالة العاملين أعلاه، تكون دالة إنتاج الترجمة اللوغاريتمية هي

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L)+{\frac {1}{2}}\gamma \alpha (1-\alpha )\left[\ln(K)-\ln(L)\right]^{2}\\&=\ln(A)+a_{K}\ln(K)+a_{L}\ln(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{KL}\ln(K)\ln(L)\end{aligned}}}$

حيث يتم تعريف و و و و و بشكل مناسب. في حالة العوامل الثلاثة، تكون دالة إنتاج الترانسلوج هي: ${\displaystyle a_{K}}$${\displaystyle a_{L}}$${\displaystyle b_{KK}}$${\displaystyle b_{LL}}$${\displaystyle b_{KL}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+a_{L}\ln(L)+a_{K}\ln(K)+a_{M}\ln(M)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{MM}\ln ^{2}(M)\\&{}\qquad \qquad +b_{LK}\ln(L)\ln(K)+b_{LM}\ln(L)\ln(M)+b_{KM}\ln(K)\ln(M)\\&=f(L,K,M).\end{aligned}}}$

حيث = إجمالي إنتاجية العوامل، = العمالة، = رأس المال، = المواد والإمدادات، و = الناتج. ${\displaystyle A}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Y}$

• دالة إنتاج ليونتيف
• حدود الإنتاج والإمكانية
• نظرية الإنتاج

• رينشو، جيف (2005). الرياضيات للاقتصاد . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ص 516-526. ISBN 0-19-926746-4.

• تشريح وظائف الإنتاج من نوع كوب-دوجلاس في ثلاثية الأبعاد
• تحليل معادلة كوب-دوجلاس كدالة منفعية أرشيف 2014-10-03 على موقع واي باك مشين
• حل النموذج المغلق لشركة ذات دالة إنتاج ذات مدخلات N