رباعي الأوجه

الشكل ثنائي الوتدي هو شكل رباعي الأوجه يتكون من أربعة مثلثات متطابقة كأوجه؛ وتكون جميع زوايا هذه المثلثات حادة بالضرورة. يُعدّ الشكل رباعي الأوجه المنتظم حالة خاصة من الشكل ثنائي الوتدي. ومن الأسماء الأخرى لهذا الشكل: ثنائي الوتدي، ورباعي الأوجه متساوي الساقين، ورباعي الأوجه متساوي الأوجه.

المخطط ثلاثي الأضلاع هو رباعي الأوجه تكون جميع أوجهه الأربعة مثلثات قائمة الزاوية . ولا يُعد المخطط ثلاثي الأضلاع شكلاً ثنائي الإسفين، لأن أضلاعه المتقابلة ليست متساوية الطول. ولا يمكن إنشاء شكل ثنائي الإسفين بأوجه مثلثة قائمة الزاوية أو مثلثة منفرجة الزاوية.

المخطط المتعامد هو شكل هندسي بسيط غير منتظم ، وهو الغلاف المحدب لشجرة تكون جميع حوافها متعامدة. في المخطط المتعامد ثلاثي الأبعاد، تتكون الشجرة من ثلاثة حواف متعامدة تربط الرؤوس الأربعة في مسار خطي ينعطف بزاوية قائمة مرتين. المخطط المتعامد ثلاثي الأبعاد هو شكل رباعي الأوجه يحتوي على زاويتين قائمتين عند كل رأسين، ولذلك يُسمى أيضًا رباعي الأوجه ثنائي الزوايا . ويُسمى أيضًا رباعي الأوجه رباعي الزوايا لاحتوائه على أربع زوايا قائمة. ^{[ 5 ]}

يُطلق كوكسيتر أيضًا على رباعيات الأوجه المستطيلة اسم "رباعيات الأوجه المميزة"، نظرًا لعلاقتها التكاملية بالمضلعات المنتظمة ومجموعات التناظر الخاصة بها. ^{[ 6 ]} على سبيل المثال، تُعد الحالة الخاصة للمخطط ثلاثي الأبعاد ذي الحواف العمودية المتساوية الطول مميزة للمكعب ، مما يعني أنه يمكن تقسيم المكعب إلى حالات من هذا المخطط. إذا كانت حوافه العمودية الثلاثة متساوية الطول، فإن حوافه المتبقية هي حافتان بطول √2 وحافة واحدة بطول √3 ، وبالتالي فإن جميع حوافه هي حواف أو أقطار للمكعب. يمكن تقسيم المكعب إلى ستة مخططات ثلاثية الأبعاد من هذا النوع بأربع طرق مختلفة، حيث تحيط جميعها بقطر المكعب نفسه الذي طوله √3 . كما يمكن تقسيم المكعب إلى 48 حالة أصغر من نفس المخطط الثلاثي الأبعاد المميز (بطريقة واحدة فقط، من خلال جميع مستويات التناظر الخاصة به في آن واحد). يُعد الشكل الرباعي المميز للمكعب مثالاً على الشكل الرباعي السطوح الهيروني .

لكل متعدد وجوه منتظم، بما في ذلك رباعي الأوجه المنتظم، مخطط تناظري مميز . يوجد مخطط تناظري ثلاثي الأبعاد، وهو "رباعي الأوجه المميز لرباعي الأوجه المنتظم". يُقسّم رباعي الأوجه المنتظم إلى 24 شكلاً من أشكال رباعي الأوجه المميز بواسطة مستويات التناظر. تظهر أشكال رباعي الأوجه المميزة الـ 24 لرباعي الأوجه المنتظم في صورتين متطابقتين، 12 شكلاً من كل صورة.

خصائص رباعي الأوجه المنتظم [ 7 ]
	حافة	قوس		الزاوية ثنائية السطوح
ل	${\displaystyle 2}$	109°28′16″	${\displaystyle \pi -2\kappa }$	70°31′44″	${\displaystyle \pi -2\psi }$
5	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}\approx 1.155}$	70°31′44″	${\displaystyle 2\kappa }$	60 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
ب [ أ ]	${\displaystyle 1}$	54°44′8″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-\kappa }$	60 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
3	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577}$	54°44′8″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-\kappa }$	60 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
${\displaystyle _{0}R/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}\approx 1.225}$
${\displaystyle _{1}R/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$
${\displaystyle _{2}R/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408}$
${\displaystyle \kappa }$		35°15′52″	${\displaystyle {\tfrac {{\text{arc sec }}3}{2}}}$

إذا كان طول ضلع رباعي الأوجه المنتظم 𝒍 = 2، فإن أطوال أضلاعه الستة المميزة هي:${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$،${\displaystyle 1}$،${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$حول وجهها الخارجي المثلث القائم الزاوية (الحواف المقابلة للزوايا المميزة 𝟀، 𝝉، 𝟁)، ^{[ أ ]} بالإضافة إلى${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$،${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$،${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$(الحواف التي تمثل أنصاف أقطار مميزة للهرم الرباعي المنتظم). المسار ذو الثلاثة حواف على طول الحواف المتعامدة للمخطط المتعامد هو${\displaystyle 1}$،${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$،${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$أولاً، من رأس رباعي الأوجه إلى مركز ضلع رباعي الأوجه، ثم الانعطاف بزاوية 90 درجة إلى مركز وجه رباعي الأوجه، ثم الانعطاف بزاوية 90 درجة إلى مركز رباعي الأوجه. يحتوي المخطط المتعامد على أربعة أوجه مثلثية قائمة الزاوية غير متشابهة. الوجه الخارجي عبارة عن مثلث 60-90-30، وهو سدس وجه رباعي الأوجه. أما الأوجه الثلاثة الداخلية لرباعي الأوجه فهي: مثلث قائم الزاوية ذو أضلاع${\displaystyle 1}$،${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$،${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$مثلث قائم الزاوية ذو أضلاع${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}$،${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}$،${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$ومثلث قائم الزاوية ذو أضلاع${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}$،${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$،${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$.

يملأ رباعي الأوجه الفراغ بنسخ متطابقة أو متماثلة ( صورة معكوسة ) منه لتبليط الفراغ. ^{[ 8 ]} يمكن تقسيم المكعب إلى ستة مخططات ثلاثية الأبعاد، ثلاثة منها يسارية وثلاثة يمينية (واحد من كل نوع على كل وجه من أوجه المكعب)، وبما أن المكعبات تملأ الفراغ، فإن المخطط الثلاثي الأبعاد المميز للمكعب هو رباعي أوجه يملأ الفراغ بهذا المعنى. (المخطط الثلاثي الأبعاد المميز للمكعب هو أحد رباعيات أوجه هيل ، وهي عائلة من رباعيات الأوجه التي تملأ الفراغ. جميع رباعيات الأوجه التي تملأ الفراغ متطابقة مع المكعب بشكل مقصي).

يمكن أن يكون الشكل ثنائي الإسفين رباعي الأوجه يملأ الفراغ بالمعنى المباشر للتطابق، كما هو الحال في قرص العسل رباعي الأوجه ثنائي الإسفين . مع ذلك، لا تستطيع رباعيات الأوجه المنتظمة ملء الفراغ بمفردها (علاوة على ذلك، فهي ليست متطابقة تمامًا مع أي متعددات أوجه أخرى يمكنها ملء الفراغ، انظر المسألة الثالثة لهيلبرت ). يملأ قرص العسل رباعي الأوجه-ثماني الأوجه الفراغ بخلايا رباعية الأوجه منتظمة وخلايا ثمانية الأوجه منتظمة بالتناوب بنسبة 2:1.

يُعدّ رباعي الأوجه غير المنتظم، الذي يُمثّل المجال الأساسي ^{[ 9 ]} لمجموعة التناظر، مثالاً على رباعي أوجه غورسات . تُولّد رباعيات أوجه غورسات جميع المجسمات المنتظمة (والعديد من المجسمات المنتظمة الأخرى) عن طريق الانعكاسات المرآوية، وهي عملية تُعرف باسم بناء وايثوف الكاليديوسكوبي .

في المجسمات متعددة الأوجه، يرتب تصميم ويثوف ثلاث مرايا بزوايا مختلفة، كما في المنظار الكاليديوسكوبي . وعلى عكس المنظار الكاليديوسكوبي الأسطواني، تقع مرايا ويثوف على ثلاثة أوجه من رباعي الأوجه غورسات، بحيث تتقاطع المرايا الثلاث في نقطة واحدة. ( يحتوي مخطط كوكسيتر-دينكين للمجسم الناتج على ثلاث عقد تمثل المرايا الثلاث. وتُشفّر الزاوية ثنائية السطوح بين كل زوج من المرايا في المخطط، بالإضافة إلى موقع نقطة توليد واحدة تُضرب بانعكاسات المرايا على رؤوس المجسم).

من بين رباعيات وجوه غورسات التي تُولّد هياكل ثلاثية الأبعاد تشبه خلايا النحل، يمكننا تمييز مخطط قائم (رباعي الوجوه المميز للمكعب)، ومخطط قائم مزدوج (رباعي الوجوه المميز للمكعب مرتبط بوجهه بصورته المرآوية)، والسطح ثنائي الإسفين الموضح أعلاه . ^{[ 6 ]} السطح ثنائي الإسفين هو المخطط القائم المزدوج المرتبط بوجهه بصورته المرآوية (مخطط قائم رباعي). وبالتالي، يمكن تحليل جميع رباعيات وجوه غورسات الثلاثة هذه، وجميع متعددات الوجوه التي تُولّدها عن طريق الانعكاسات، إلى رباعيات وجوه مميزة للمكعب .

يُعطى حجم رباعي الأوجه بالصيغة التالية: $${\displaystyle V={\frac {1}{3}}آه.}$$ أين${\displaystyle A}$هي مساحة القاعدة و${\displaystyle h}$يمثل الارتفاع من القاعدة إلى القمة. ينطبق هذا على كل خيار من الخيارات الأربعة للقاعدة، لذا فإن المسافات من القمم إلى الأوجه المقابلة تتناسب عكسيًا مع مساحات هذه الأوجه. طريقة أخرى هي تقسيم منشور ثلاثي إلى ثلاثة أجزاء. ^{[ 14 ]}

مناهج أخرى

يترك${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$، و${\displaystyle c}$لتكن أطوال ثلاثة أضلاع تلتقي في نقطة واحدة، و${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$، و${\displaystyle z}$ليكن حجم الحواف المتقابلة.${\displaystyle V}$هو: ^{[ 16 ]}$${\displaystyle V={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}X^{2}-b^{2}Y^{2}-c^{2}Z^{2}+XYZ}}{12}}}$$ أين $${\displaystyle {\begin{aligned}X&=b^{2}+c^{2}-x^{2},\\Y&=a^{2}+c^{2}-y^{2},\\Z&=a^{2}+b^{2}-z^{2}.\end{aligned}}}$$ تستخدم الصيغة أعلاه ستة أطوال للأضلاع، بينما تستخدم الصيغة التالية ثلاثة أطوال للأضلاع وثلاث زوايا. ^{[ 16 ]}$${\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}}}$$

يمكن تحديد حجم رباعي الأوجه باستخدام صيغة هيرون. لنفترض${\displaystyle U}$،${\displaystyle V}$،${\displaystyle W}$،${\displaystyle u}$،${\displaystyle v}$، و${\displaystyle w}$تمثل هذه الأطوال أضلاع رباعي الأوجه كما في الصورة التالية. هنا، تشكل الأضلاع الثلاثة الأولى مثلثًا، مع${\displaystyle u}$عكس${\displaystyle U}$،${\displaystyle v}$عكس${\displaystyle V}$، و${\displaystyle w}$عكس${\displaystyle W}$. ثم، $${\displaystyle V={\frac {\sqrt {\,(-p+q+r+s)\,(p-q+r+s)\,(p+q-r+s)\,(p+q+r-s)}}{192\,u\,v\,w}}}$$

أين $${\displaystyle {\begin{aligned}p={\sqrt {xYZ}},&\quad q={\sqrt {yZX}},\\r={\sqrt {zXY}},&\quad s={\sqrt {xyz}},\end{aligned}}}$$ و $${\displaystyle {\begin{aligned}X=(w-U+v)(U+v+w),&\quad x=(U-v+w)(v-w+U),\\Y=(u-V+w)(V+w+u),&\quad y=(V-w+u)(w-u+V),\\Z=(v-W+u)(W+u+v),&\quad z=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}$$

أي مستوى يحتوي على ثنائي الوسيط (الرابط بين منتصفات الحواف المتقابلة) لرباعي الأوجه يقسم حجم رباعي الأوجه إلى نصفين. ^{[ 17 ]}

بالنسبة للأشكال رباعية الأوجه في الفضاء الزائدي أو في الهندسة الإهليلجية ثلاثية الأبعاد ، تحدد الزوايا ثنائية السطوح شكلها وبالتالي حجمها. في هذه الحالات، يُعطى الحجم بصيغة موراكامي-يانو ، نسبةً إلى جون موراكامي وماساكازو يانو. ^{[ 18 ]} مع ذلك، في الفضاء الإقليدي، يؤدي تغيير حجم الشكل رباعي الأوجه إلى تغيير حجمه فقط دون تغيير زواياه ثنائية السطوح، لذا لا يمكن أن توجد صيغة مماثلة.

تقع أي ضلعين متقابلين في رباعي الأوجه على خطين متخالفين ، وتُعرَّف المسافة بين الضلعين بأنها المسافة بين الخطين المتخالفين.${\displaystyle d}$لتكن المسافة بين الخطوط المائلة التي تشكلها الحواف المتقابلة${\displaystyle a}$و${\displaystyle \mathbf {b} -\mathbf {c} }$كما هو محسوب هنا . ثم صيغة أخرى لحجم رباعي الأوجه${\displaystyle V}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle V={\frac {d|(\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} )|}{6}}.}$$

يتمتع رباعي الأوجه بخصائص عديدة مشابهة لخصائص المثلث، بما في ذلك الكرة الداخلية، والكرة المحيطة، ورباعي الأوجه المتوسط، والكرات الخارجية. وله مراكز خاصة به مثل المركز الداخلي، والمركز المحيط، والمراكز الخارجية، ومركز سبيكر ، ونقاط مثل مركز الثقل. ومع ذلك، لا يوجد عمومًا مركز تعامد بالمعنى المقصود في تقاطع الارتفاعات. ^{[ 19 ]}

اكتشف غاسبار مونج مركزًا موجودًا في كل رباعي الأوجه، يُعرف الآن بنقطة مونج : وهي النقطة التي تتقاطع عندها المستويات المتوسطة الستة لرباعي الأوجه. يُعرَّف المستوى المتوسط ​​بأنه مستوى متعامد مع ضلع يصل بين أي رأسين، ويحتوي أيضًا على مركز ثقل الضلع المقابل المتكون من وصل الرأسين الآخرين. ^{[ 20 ]} يتقاطع خط متعامد مُسقط من نقطة مونج إلى أي وجه مع ذلك الوجه عند منتصف القطعة المستقيمة بين مركز تعامد ذلك الوجه وقاعدة الارتفاع المُسقط من الرأس المقابل. إذا تقاطعت ارتفاعات رباعي الأوجه، فإن نقطة مونج ومركز التعامد يتطابقان، مما يُعطي فئة رباعي الأوجه المتعامد المركز .

يُطلق على القطعة المستقيمة الواصلة بين رأس من رؤوس رباعي الأوجه ومركز ثقل الوجه المقابل اسم المتوسط ، بينما تُسمى القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي ضلعين متقابلين ثنائي المتوسط. بالتالي، يحتوي رباعي الأوجه على أربعة متوسطات وثلاثة ثنائيات متوسط. تتقاطع هذه القطع المستقيمة السبعة جميعها في نقطة تُسمى مركز ثقل رباعي الأوجه. ^{[ 21 ]} إضافةً إلى ذلك، يقسم مركز الثقل المتوسطات الأربعة بنسبة 3:1 . ^{[ 22 ]} مركز ثقل رباعي الأوجه هو نقطة المنتصف بين نقطة مونج ومركز الدائرة المحيطة به. تُحدد هاتان النقطتان خط أويلر لرباعي الأوجه، وهو مماثل لخط أويلر للمثلث.

تُشابه الدائرة ذات النقاط التسع للمثلث العام نظيرًا لها في الكرة المحيطة بالهرم الرباعي الأوجه الأوسط. وهي الكرة ذات النقاط الاثنتي عشرة، وإلى جانب مراكز أوجه الهرم الرباعي الأوجه المرجعي الأربعة، تمر بأربع نقاط بديلة لأويلر ، تقع على بُعد ثلث المسافة من نقطة مونج باتجاه كل رأس من الرؤوس الأربعة. وأخيرًا، تمر بنقاط القاعدة الأربع للخطوط المتعامدة المسقطة من كل نقطة أويلر إلى الوجه الذي لا يحتوي على الرأس الذي ولّد نقطة أويلر. ^{[ 23 ]}

المركز${\displaystyle T}$يقع مركز الكرة ذات الاثنتي عشرة نقطة أيضًا على خط أويلر. وعلى عكس نظيرتها المثلثية، يقع هذا المركز على بعد ثلث المسافة من نقطة مونج.${\displaystyle M}$باتجاه مركز الدائرة المحيطة. بالإضافة إلى ذلك، خط متعامد يمر عبر${\displaystyle T}$يقع الخط العمودي على وجه مُختار في مستوى واحد مع خطين عموديين آخرين على نفس الوجه. الأول هو خط عمودي يمر بنقطة أويلر المقابلة للوجه المُختار. والثاني هو خط عمودي يمر بمركز ثقل الوجه المُختار. يقع هذا الخط العمودي المار بمركز النقاط الاثنتي عشرة في منتصف المسافة بين الخط العمودي على نقطة أويلر والخط العمودي على مركز الثقل. علاوة على ذلك، بالنسبة لأي وجه، يقع مركز النقاط الاثنتي عشرة في منتصف المسافة بين نقطة أويلر المقابلة ومركز التعامد لذلك الوجه.

نصف قطر الكرة ذات الاثني عشر نقطة يساوي ثلث نصف قطر الدائرة المحيطة بالهرم الرباعي المرجعي.

توجد علاقة بين الزوايا التي تشكلها أوجه رباعي الأوجه العام معطاة بواسطة ^{[ 24 ]}

${\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\\\cos {(\alpha _{12})}&-1&\cos {(\alpha _{23})}&\cos {(\alpha _{24})}\\\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{23})}&-1&\cos {(\alpha _{34})}\\\cos {(\alpha _{14})}&\cos {(\alpha _{24})}&\cos {(\alpha _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,}$

أين${\displaystyle \alpha _{ij}}$هي الزاوية بين الوجهين${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$.

يرتبط الوسيط الهندسي لإحداثيات مواقع رؤوس رباعي الأوجه ومركزه المتساوي الزوايا، في ظروف مماثلة لتلك الملاحظة في المثلث. وقد وجد لورنز ليندلوف أن لكل رباعي أوجه نقطة تُعرف الآن بالمركز المتساوي الزوايا.${\displaystyle O}$، حيث تكون الزوايا المجسمة التي تشكلها الأوجه متساوية، ولها قيمة مشتركة هي${\displaystyle \pi }$^{[ 25 ]} زاوية مجسمة مقدارها sr ، وتكون عندها الزوايا المحصورة بين الضلعين المتقابلين متساوية.${\displaystyle \pi }$يمثل sr ربع المساحة التي يحيط بها الفضاء بأكمله. عندما تكون جميع الزوايا المجسمة عند رؤوس رباعي الأوجه أصغر من${\displaystyle \pi }$السيد،${\displaystyle O}$يقع داخل رباعي الأوجه. لأن مجموع المسافات من${\displaystyle O}$الوصول إلى الرؤوس هو الحد الأدنى،${\displaystyle O}$يتطابق مع الوسيط الهندسي${\displaystyle M}$من الرؤوس. إذا كانت الزاوية المجسمة عند أحد الرؤوس${\displaystyle v}$يقيس بدقة${\displaystyle \pi }$ثم${\displaystyle O}$و${\displaystyle M}$يتزامن مع${\displaystyle v}$ومع ذلك، إذا كان للهرم الرباعي رأس${\displaystyle v}$بزاوية مجسمة أكبر من${\displaystyle \pi }$السيد،${\displaystyle M}$لا يزال يتوافق مع${\displaystyle v}$، لكن${\displaystyle O}$يقع خارج الهرم الرباعي.

من نتائج قانون الجيب المعتاد أنه في رباعي الأوجه ذي الرؤوس${\displaystyle O}$،${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$،${\displaystyle C}$، يتم تحديده بواسطة $${\displaystyle \sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.}$$ يمكن اعتبار جانبي هذه المعادلة متوافقين مع اتجاهي السطح، أحدهما باتجاه عقارب الساعة والآخر عكسها. بوضع أي من الرؤوس الأربعة في دور${\displaystyle O}$ينتج عن ذلك أربع متطابقات، لكن ثلاثًا منها على الأكثر مستقلة. إذا ضُربت الأطراف "باتجاه عقارب الساعة" لثلاث منها، يُستنتج أن الناتج يساوي حاصل ضرب الأطراف "عكس اتجاه عقارب الساعة" لنفس المتطابقات الثلاث. وبالتالي، تُحذف العوامل المشتركة من كلا الطرفين، والنتيجة هي المتطابقة الرابعة.

تُعتبر ثلاث زوايا زوايا مثلث ما إذا وفقط إذا كان مجموعها 180° (π راديان). ما الشرط اللازم والكافي على 12 زاوية لتكون زوايا رباعي الأوجه؟ يجب أن يكون مجموع زوايا أي ضلع من أضلاع رباعي الأوجه 180°. بما أن هناك أربعة مثلثات من هذا النوع، فهناك أربعة قيود على مجموع الزوايا، وبالتالي ينخفض ​​عدد درجات الحرية من 12 إلى 8. تُقلل العلاقات الأربع التي يُعطيها قانون الجيب هذا عدد درجات الحرية أكثر، من 8 إلى 5 بدلاً من 4، لأن القيد الرابع ليس مستقلاً عن القيود الثلاثة الأولى. لذا، فإن فضاء جميع أشكال رباعيات الأوجه خماسي الأبعاد. ^{[ 26 ]}

يترك${\displaystyle P_{1}}$،${\displaystyle P_{2}}$،${\displaystyle P_{3}}$،${\displaystyle P_{4}}$لتكن نقاط رباعي الأوجه.${\displaystyle \Delta _{i}}$لتكن مساحة الوجه المقابل للرأس${\displaystyle P_{i}}$ودع${\displaystyle \theta _{ij}}$لتكن الزاوية ثنائية السطوح بين وجهي رباعي الأوجه المجاورين للحافة${\displaystyle P_{i}P_{j}}$. قانون جيب التمام للهرم الرباعي، الذي يربط مساحات أوجه الهرم الرباعي بالزوايا ثنائية السطوح حول رأس، يُعطى بالعلاقة التالية: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle \Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})}$$

يترك${\displaystyle P}$لتكن أي نقطة داخلية لهرم رباعي الأوجه حجمه${\displaystyle V}$والتي تكون رؤوسها${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$،${\displaystyle C}$، و${\displaystyle D}$والتي تكون مساحات الأوجه المقابلة لها${\displaystyle F_{a}}$،${\displaystyle F_{b}}$،${\displaystyle F_{c}}$، و${\displaystyle F_{d}}$ثم، ^{[ 28 ]}$${\displaystyle PA\cdot F_{\mathrm {a} }+PB\cdot F_{\mathrm {b} }+PC\cdot F_{\mathrm {c} }+PD\cdot F_{\mathrm {d} }\geq 9V.}$$

بالنسبة للرؤوس${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$،${\displaystyle C}$، و${\displaystyle D}$نقطة داخلية${\displaystyle P}$، والقدمين${\displaystyle J}$،${\displaystyle K}$،${\displaystyle L}$، و${\displaystyle M}$من الأعمدة من${\displaystyle P}$بالنسبة للوجوه، وبافتراض أن للوجوه مساحات متساوية، فإن: ^{[ 29 ]}$${\displaystyle PA+PB+PC+PD\geq 3(PJ+PK+PL+PM).}$$

يُرمز إلى نصف قطر الدائرة الداخلية للهرم الرباعي بـ${\displaystyle r}$ونصف قطر أضلاعها المثلثية الداخلية كما${\displaystyle r_{1}}$ل${\displaystyle i=1,2,3,4}$ثم: ^{[ 30 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\leq {\frac {2}{r^{2}}},}$$ مع المساواة إذا وفقط إذا كان رباعي الأوجه منتظمًا.

لو${\displaystyle A_{1}}$،${\displaystyle A_{2}}$،${\displaystyle A_{3}}$و${\displaystyle A_{4}}$تشير إلى مساحة كل وجه، وقيمة${\displaystyle r}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle r={\frac {3V}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}.}$$

تُستنتج هذه الصيغة من تقسيم رباعي الأوجه إلى أربعة رباعيات أوجه، رؤوسها هي النقاط الثلاث لأحد الأوجه الأصلية والمركز الداخلي. وبما أن رباعيات الأوجه الفرعية الأربعة تملأ الحجم، فإن: $${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{1}r+{\frac {1}{3}}A_{2}r+{\frac {1}{3}}A_{3}r+{\frac {1}{3}}A_{4}r.}$$

لنرمز إلى نصف قطر الدائرة المحيطة بالهرم الرباعي الأوجه بالرمز R. ولتكن a و b و c أطوال الأضلاع الثلاثة التي تلتقي عند رأس، و A و B و C أطوال الأضلاع المقابلة. وليكن V حجم الهرم الرباعي الأوجه. عندئذٍ ^{[ 31 ] [ 32 ]}

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {(aA+bB+cC)(aA+bB-cC)(aA-bB+cC)(-aA+bB+cC)}}{24V}}.}$

يمكن إيجاد مركز الدائرة المحيطة بالهرم الرباعي الأوجه كنقطة تقاطع ثلاثة مستويات منصفة. يُعرَّف المستوى المنصف بأنه المستوى المتمركز على أحد أضلاع الهرم الرباعي الأوجه والمتعامد معه. وبناءً على هذا التعريف، يمكن صياغة مركز الدائرة المحيطة C لهرم رباعي الأوجه ذي الرؤوس ^x₀ ، x₁ _، x₂ _{، x₃} كحاصل ضرب مصفوفة في متجه: _[ ^{33 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C&=A^{-1}B&{\text{where}}&\ &A=\left({\begin{matrix}\left[x_{1}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{2}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{3}-x_{0}\right]^{T}\end{matrix}}\right)&\ &{\text{and}}&\ &B={\frac {1}{2}}\left({\begin{matrix}\|x_{1}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{2}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{3}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}}$

بخلاف المثلث المنفرج الزاوية، قد لا يقع مركز الدائرة المحيطة دائمًا خارج الهرم الرباعي المنفرج الزاوية (أي عندما تكون زاوية ثنائية واحدة أو أكثر أكبر من${\displaystyle \pi /2}$ولا يقع بالضرورة في الداخل بالنسبة للهرم الرباعي الحاد (أي عندما تكون جميع الزوايا ثنائية السطوح أقل من${\displaystyle \pi /2}$) ^{[ 34 ]}