نظرية سارد

في الرياضيات ، مبرهنة سارد ، والمعروفة أيضًا باسم مبرهنة سارد أو مبرهنة مورس-سارد ، هي نتيجة في التحليل الرياضي تؤكد أن مجموعة القيم الحرجة (أي صورة مجموعة النقاط الحرجة ) لدالة سلسة f من فضاء إقليدي أو متعدد شعب إلى آخر هي مجموعة خالية ، أي أن مقياس لوبيج لها هو 0. وهذا يجعل مجموعة القيم الحرجة "صغيرة" بمعنى خاصية عامة . سميت المبرهنة على اسم أنتوني مورس وآرثر سارد .

بشكل أكثر وضوحًا، ^[1] دع

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$

يكون ، (أي، مرات قابلة للاشتقاق باستمرار )، حيث . لنفترض أن المجموعة الحرجة هي مجموعة النقاط التي تكون فيها مصفوفة جاكوبيان ذات رتبة . عندئذٍ يكون مقياس لوبيج للصورة 0 في . ${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f,}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle <m}$ ${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

وبشكل بديهي، هذا يعني أنه على الرغم من أن الصورة قد تكون كبيرة، إلا أنها يجب أن تكون صغيرة بمعنى مقياس ليبيج: بينما قد يكون لها العديد من النقاط الحرجة في المجال ، يجب أن يكون لها عدد قليل من القيم الحرجة في الصورة . ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

وبشكل عام، تنطبق النتيجة أيضًا على التعيينات بين المتشعبات القابلة للتفاضل و ذات الأبعاد و ، على التوالي. المجموعة الحرجة للدالة${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle م}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{k}}$

${\displaystyle f:N\rightarrow M}$

يتكون من تلك النقاط التي يكون فيها الفرق

${\displaystyle df:TN\rightarrow TM}$

لها رتبة أقل من كتحويل خطي. إذا ، فإن نظرية سارد تؤكد أن صورة لها مقياس صفر كمجموعة فرعية من . تتبع صياغة النتيجة هذه من النسخة الخاصة بالمساحات الإقليدية من خلال أخذ مجموعة قابلة للعد من بقع الإحداثيات. استنتاج النظرية هو عبارة محلية، لأن الاتحاد القابل للعد لمجموعات ذات مقياس صفر هو مجموعة ذات مقياس صفر، وخاصية مجموعة فرعية من بقعة إحداثية ذات مقياس صفر ثابتة تحت التماثل التفاضلي . ${\displaystyle m}$${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$

هناك العديد من المتغيرات لهذه المعضلة، والتي تلعب دورًا أساسيًا في نظرية التفرد بين مجالات أخرى. وقد أثبت أنتوني ب. مورس هذه الحالة في عام 1939، ^[2] والحالة العامة بواسطة آرثر سارد في عام 1942. ^[1]${\displaystyle m=1}$

تم إثبات نسخة من متشعبات باناخ ذات الأبعاد اللانهائية بواسطة ستيفن سميل . ^[3]

إن العبارة قوية للغاية، والإثبات يتطلب التحليل. وفي علم الطوبولوجيا، كثيراً ما يُستشهد بها ـ كما في نظرية النقطة الثابتة لبروير وبعض التطبيقات في نظرية مورس ـ لإثبات النتيجة الأضعف القائلة بأن "الخريطة الملساء غير الثابتة لها قيمة منتظمة واحدة على الأقل ".

في عام 1965، عمم سارد نظريته بشكل أكبر ليصرح بأنه إذا كانت لـ وإذا كانت مجموعة النقاط بحيث يكون رتبتها أقل تمامًا من ، فإن مقياس هاوسدورف ذو البعد r يساوي صفرًا. ^[4] على وجه الخصوص، يكون بعد هاوسدورف r على الأكثر r . تحذير: يمكن أن يكون بعد هاوسدورف قريبًا بشكل تعسفي من r . ^[5]${\displaystyle f:N\rightarrow M}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k\geq \max\{n-m+1,1\}}$${\displaystyle A_{r}\subseteq N}$${\displaystyle x\in N}$${\displaystyle df_{x}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle f(A_{r})}$${\displaystyle f(A_{r})}$${\displaystyle f(A_{r})}$

• خاصية عامة

• هيرش، موريس دبليو. (1976)، الطوبولوجيا التفاضلية ، نيويورك: سبرينغر، ص 67-84، رقم ISBN 0-387-90148-5.
• ستيرنبيرج، شلومو (1964)، محاضرات في الهندسة التفاضلية ، إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول ، MR  0193578، Zbl  0129.13102.