فرضية ريمان

تنص صيغة ريمان الصريحة لعدد الأعداد الأولية الأقل من عدد معين على أنه، بدلالة مجموع أصفار دالة زيتا لريمان، فإن مقدار تذبذبات الأعداد الأولية حول موضعها المتوقع يتحكم فيه الجزء الحقيقي من أصفار دالة زيتا. وعلى وجه الخصوص، يرتبط حد الخطأ في نظرية الأعداد الأولية ارتباطًا وثيقًا بموضع الأصفار. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \beta }$إذا كان الحد الأعلى للأجزاء الحقيقية للأصفار، فإن ^{[ 6 ]}${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)=O\!\left(x^{\beta }\log x\right)}$، أين${\displaystyle \pi (x)}$هي دالة عد الأعداد الأولية و${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$هي دالة التكامل اللوغاريتمي . ومن المعروف مسبقًا أن${\displaystyle 1/2\leq \beta \leq 1}$[ ^{7 ]​}

أثبت هيلج فون كوخ أن فرضية ريمان تستلزم الحد "الأفضل الممكن" لخطأ نظرية الأعداد الأولية. ^{[ 8 ]} وتنص صيغة دقيقة لنتيجة فون كوخ، منسوبة إلى شونفيلد (1976) ، على أن فرضية ريمان تستلزم

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x)}$

للجميع${\displaystyle x\geq 2657}$أظهر شونفيلد (1976) أيضًا أن فرضية ريمان تستلزم

${\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log ^{2}x}$

للجميع${\displaystyle x\geq 73.2}$، أين${\displaystyle \psi (x)}$هي الوظيفة الثانية لتشيبشيف .

أثبت أدريان دوديك ^{[ 9 ]} أن فرضية ريمان تستلزم أنه بالنسبة لـ${\displaystyle x\geq 2}$، هناك عدد أولي${\displaystyle p}$مُرضٍ

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x}$.

الثابت${\displaystyle 4/\pi }$قد يتم تقليصها إلى${\displaystyle 1+\varepsilon }$بشرط أن${\displaystyle x}$يُعتبر هذا العدد كبيرًا بما فيه الكفاية. هذه صيغة صريحة لنظرية كرامر .

تفترض فرضية ريمان وجود حدود قوية على نمو العديد من الدوال الحسابية الأخرى ، بالإضافة إلى دالة عد الأعداد الأولية المذكورة أعلاه.

أحد الأمثلة على ذلك هو دالة موبيوس μ . العبارة التي تنص على أن المعادلة

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

إن صحة هذا الشرط لكل قيمة s ذات جزء حقيقي أكبر من 1/2، مع تقارب المجموع على الجانب الأيمن، يكافئ فرضية ريمان. ومن هذا نستنتج أيضًا أنه إذا عُرّفت دالة ميرتنز بـ

${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

ثم الادعاء بأن

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)}$

لكل قيمة موجبة لـ ε، يكون ذلك مكافئًا لفرضية ريمان ( JE Littlewood ، 1912؛ انظر على سبيل المثال: الفقرة 14.25 في Titchmarsh (1986) ). محدد مصفوفة ريدهافر من الرتبة n يساوي M ( n )، لذا يمكن أيضًا صياغة فرضية ريمان كشرط على نمو هذه المحددات. وقد تم تحسين نتيجة ليتلوود عدة مرات منذ ذلك الحين، بواسطة إدموند لانداو ، ^{[ 10 ]} وإدوارد تشارلز تيتشمارش ، ^{[ 11 ]} وهيلموت ماير وهيو مونتغمري ، ^{[ 12 ]} وكانان ساونداراراجان . ^{[ 13 ]} وتتلخص نتيجة ساونداراراجان في أنه، بشرط فرضية ريمان،

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{1/2}\exp \left((\log x)^{1/2}(\log \log x)^{14}\right)\right).}$

تضع فرضية ريمان حدًا ضيقًا إلى حد ما على نمو M ، حيث دحض أودليزكو وتي ريل (1985) تخمين ميرتنز الأقوى قليلاً

${\displaystyle |M(x)|\leq {\sqrt {x}}.}$

ثمة نتيجة أخرى وثيقة الصلة تعود إلى بيورنر (2011) ، مفادها أن فرضية ريمان تعادل القول بأن خاصية أويلر للمركب التبسيطي المحدد بواسطة شبكة الأعداد الصحيحة تحت القسمة هي${\displaystyle o(n^{1/2+\epsilon })}$للجميع${\displaystyle \epsilon >0}$(انظر جبر الحوادث ).

تُكافئ فرضية ريمان العديد من التخمينات الأخرى حول معدل نمو الدوال الحسابية الأخرى باستثناء μ ( n ). ومن الأمثلة النموذجية على ذلك نظرية روبن ^{[ 14 ]} ، التي تنص على أنه إذا كانت σ ( n ) هي دالة سيجما ، المعطاة بـ

${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d\mid n}d}$

ثم

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$

لجميع قيم n > 5040 إذا وفقط إذا كانت فرضية ريمان صحيحة، حيث γ هو ثابت أويلر-ماسكيروني .

وقدّم جيفري لاغارياس في عام 2002 حداً ذا صلة، حيث أثبت أن فرضية ريمان تعادل العبارة التالية:

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+\log(H_{n})e^{H_{n}}}$

لكل عدد طبيعي n > 1 ، حيث${\displaystyle H_{n}}$هو العدد التوافقي رقم ن . ^{[ 15 ]}

تكون فرضية ريمان صحيحة أيضًا إذا وفقط إذا كانت المتباينة

${\displaystyle {\frac {n}{\varphi (n)}}<e^{\gamma }\log \log n+{\frac {e^{\gamma }(4+\gamma -\log 4\pi )}{\sqrt {\log n}}}}$

ينطبق هذا على جميع قيم n ≥ 120569# ، حيث φ ( n ) هي دالة أويلر ، و120569# هو حاصل ضرب أول 120569 عددًا أوليًا. ^{[ 16 ]}

وجد جيروم فرانيل مثالًا آخر ، ووسعه لاندو (انظر فرانيل ولاندو (1924) ). تُكافئ فرضية ريمان عدة عبارات تُظهر أن حدود متتالية فاري منتظمة إلى حد كبير. أحد هذه التكافؤات هو كما يلي: إذا كانت F_{_n} هي متتالية فاري من الرتبة n ، بدءًا من 1/ n وحتى 1/1، فإن الادعاء بأنه لكل ε > 0

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}|F_{n}(i)-{\tfrac {i}{m}}|=O\left(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)}$

وهو ما يعادل فرضية ريمان. هنا

${\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}\varphi (i)}$

يمثل عدد الحدود في متتالية فاري من الرتبة n .

كمثال من نظرية الزمر ، إذا كانت g ( n ) دالة لانداو المعطاة بالرتبة القصوى لعناصر الزمرة المتناظرة Sn من الدرجة _n ، فقد أثبت ماسياس ونيكولاس وروبن (1988) أن فرضية ريمان مكافئة للحد

${\displaystyle \log g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}}$

لجميع قيم n الكبيرة بما فيه الكفاية .

تترتب على فرضية ريمان نتائج أضعف أيضاً؛ إحداها فرضية ليندلوف بشأن معدل نمو دالة زيتا على الخط الحرج، والتي تنص على أنه لأي قيمة ε > 0 ،

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon }),}$

عندما t →${\displaystyle \infty }$.

تفترض فرضية ريمان أيضًا حدودًا دقيقة لمعدل نمو دالة زيتا في مناطق أخرى من الشريط الحرج. على سبيل المثال، تفترض أن

${\displaystyle e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq 2e^{\gamma }}$

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1/|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq {\frac {12}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }}$

وبالتالي فإن معدل نمو ζ (1 + it ) ومعكوسه سيكون معروفًا حتى عامل 2. ^{[ 17 ]}

تنص نظرية الأعداد الأولية على أن متوسط ​​الفجوة بين العدد الأولي p والعدد الذي يليه يساوي log p . مع ذلك، قد تكون بعض الفجوات بين الأعداد الأولية أكبر بكثير من المتوسط. أثبت كرامر، بافتراض فرضية ريمان، أن كل فجوة هي O ( √p log p ). في هذه الحالة ، حتى أفضل حد يمكن إثباته باستخدام فرضية ريمان أضعف بكثير مما يبدو صحيحًا: إذ تشير فرضية كرامر إلى أن كل فجوة هي O ((log p ) ^² ) ، وهي، مع أنها أكبر من متوسط ​​الفجوة، إلا أنها أصغر بكثير من الحد الذي تنص عليه فرضية ريمان. وتدعم الأدلة العددية فرضية كرامر. ^{[ 18 ]}

تم التوصل إلى العديد من العبارات المكافئة لفرضية ريمان، إلا أن أياً منها لم يُسفر حتى الآن عن تقدم يُذكر في إثباتها (أو دحضها). وفيما يلي بعض الأمثلة النموذجية. (وتتضمن أمثلة أخرى دالة القاسم σ ( n )).

تم تقديم معيار ريز من قبل ريز (1916) ، ومفاده أن الحد

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=O\left(x^{{\frac {1}{4}}+\epsilon }\right)}$

ينطبق هذا على جميع قيم ε > 0 إذا وفقط إذا تحققت فرضية ريمان. انظر أيضًا معيار هاردي-ليتلوود .

أثبت نيمان (1950) أن فرضية ريمان صحيحة إذا وفقط إذا كان فضاء الدوال من الشكل

${\displaystyle f(x)=\sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\rho \left({\frac {\theta _{\nu }}{x}}\right)}$

حيث ρ ( z ) هو الجزء الكسري من z ، 0 ≤ θ _ν ≤ 1 ، و

${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\theta _{\nu }=0,}$

تكون الدالة كثيفة في فضاء هيلبرت L² (0,1) للدوال القابلة للتكامل التربيعي على الفترة [0,1]. ^وقد وسّع بورلينغ (1955) هذا المفهوم بإثبات أن دالة زيتا ليس لها أصفار ذات جزء حقيقي أكبر من 1/ p إذا وفقط إذا كان فضاء هذه الدالة كثيفًا في ^Lⁿ ( 0,1). وقد عزز بايز-دوارته ^{[ 19 ]} معيار نيمان-بورلينغ هذا ليشمل الحالة التي${\displaystyle \theta _{\nu }\in \{1/k\}_{k\geq 1}}$.

أثبت سالم (1953) أن فرضية ريمان صحيحة إذا وفقط إذا كانت المعادلة التكاملية

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {z^{-\sigma -1}\varphi (z)}{{e^{x/z}}+1}}\,dz=0}$

لا يوجد لها حلول محدودة غير تافهة${\displaystyle \varphi }$ل${\displaystyle 1/2<\sigma <1}$.

معيار ويل هو القول بأن إيجابية دالة معينة تعادل فرضية ريمان. ويرتبط به معيار لي ، وهو القول بأن إيجابية متتالية معينة من الأعداد تعادل فرضية ريمان.

أثبت سبيسر (1934) أن فرضية ريمان مكافئة للقول بأن ζ ′ ( s )، مشتقة ζ ( s )، ليس لها أصفار في الشريط

${\displaystyle 0<\Re (s)<{\frac {1}{2}}.}$

إن كون ζ ( s ) لها أصفار بسيطة فقط على الخط الحرج يكافئ أن مشتقتها ليس لها أصفار على الخط الحرج.

يوفر تسلسل فاري معادلتين، وذلك بفضل جيروم فرانيل وإدموند لانداو في عام 1924.

ثابت دي بروين-نيومان، الذي يُرمز له بـ Λ وسُمي على اسم نيكولاس جوفيرت دي بروين وتشارلز إم. نيومان ، يُعرَّف بأنه العدد الحقيقي الوحيد الذي تكون فيه الدالة

${\displaystyle H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)\,du}$،

التي يتم تحديدها بواسطة معامل حقيقي λ ، ولها متغير مركب z، ويتم تعريفها باستخدام دالة تتلاشى بشكل فائق الأسي

${\displaystyle \Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}}$،

لا يمتلك H (0, z) أصفارًا حقيقية إلا إذا وفقط إذا كان λ ≥ Λ . وبما أن فرضية ريمان تُكافئ الادعاء بأن جميع أصفار H (0, z ) حقيقية، فإنها تُكافئ التخمين القائل بأن Λ ≤ 0. اكتشف براد رودجرز وتيرينس تاو أن التكافؤ هو في الواقع Λ = 0 من خلال إثبات أن الصفر هو الحد الأدنى للثابت. ^{[ 20 ]} وبالتالي، فإن إثبات أن الصفر هو أيضًا الحد الأعلى سيُثبت فرضية ريمان. لاحظ نيومان أن هذا التخمين (الذي أصبح الآن نظرية) "هو صيغة كمية للمقولة القائلة بأن فرضية ريمان، إن كانت صحيحة، فهي بالكاد صحيحة". ^{[ 21 ]} اعتبارًا من أبريل 2020، أصبح الحد الأعلى Λ ≤ 0.2 . ^{[ 22 ]}

تستخدم العديد من التطبيقات فرضية ريمان المعممة لمتسلسلات ديريشليه L أو دوال زيتا لحقول الأعداد، بدلاً من فرضية ريمان وحدها. يمكن تعميم العديد من الخصائص الأساسية لدالة زيتا لريمان بسهولة على جميع متسلسلات ديريشليه L، لذا فمن المعقول أن الطريقة التي تثبت فرضية ريمان لدالة زيتا لريمان ستنجح أيضاً مع فرضية ريمان المعممة لدوال ديريشليه L. وقد تم تقديم براهين غير مشروطة لاحقاً لعدة نتائج تم إثباتها أولاً باستخدام فرضية ريمان المعممة، على الرغم من أن هذه البراهين كانت عادةً أصعب بكثير. العديد من النتائج الواردة في القائمة التالية مأخوذة من كونراد (2010) .

• في عام 1913، أظهر غرونوال أن فرضية ريمان المعممة تعني أن قائمة غاوس للحقول التربيعية التخيلية ذات رقم الفئة 1 كاملة، على الرغم من أن بيكر وستارك وهيغنر قدموا لاحقًا براهين غير مشروطة على ذلك دون استخدام فرضية ريمان المعممة.
• في عام 1917، أظهر هاردي وليتلوود أن فرضية ريمان المعممة تستلزم تخمين تشيبيشيف بأن$${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^{p}=+\infty ,}$$وهذا يعني أن الأعداد الأولية التي يكون فيها باقي قسمة العدد 3 على 4 أكثر شيوعًا من الأعداد الأولية التي يكون فيها باقي قسمة العدد 1 على 4، وذلك من وجهة نظر معينة. (للاطلاع على نتائج ذات صلة، انظر نظرية الأعداد الأولية، قسم  سباق الأعداد الأولية ).
• في عام 1923، أثبت هاردي وليتلوود أن فرضية ريمان المعممة تستلزم شكلاً ضعيفاً من حدسية غولدباخ للأعداد الفردية: أن كل عدد فردي كبير بما فيه الكفاية هو مجموع ثلاثة أعداد أولية، مع أن فينوغرادوف قدّم في عام 1937 برهاناً قاطعاً على ذلك. وفي عام 1997 ، أثبت ديشوييه وإيفينغر وتي ريل وزينوفييف أن فرضية ريمان المعممة تستلزم أن كل عدد فردي أكبر من 5 هو مجموع ثلاثة أعداد أولية. وفي عام 2013، أثبت هارالد هيلفغوت حدسية غولدباخ الثلاثية دون الاعتماد على فرضية ريمان المعممة، وذلك بعد إجراء بعض الحسابات المكثفة بمساعدة ديفيد ج. بلات.
• في عام 1934، أظهر تشاولا أن فرضية ريمان المعممة تعني أن العدد الأولي الأول في المتتابعة الحسابية a mod m هو على الأكثر Km ² log( m ) ² لبعض الثابت K.
• في عام 1967، أظهر هولي أن فرضية ريمان المعممة تستلزم تخمين أرتين حول الجذور الأولية .
• في عام 1973، أظهر واينبرغر أن فرضية ريمان المعممة تعني أن قائمة أويلر للأعداد الإدونية كاملة.
• أظهر وينبرغر (1973) أن فرضية ريمان المعممة لدوال زيتا لجميع حقول الأعداد الجبرية تعني أن أي حقل عددي برقم فئة 1 هو إما حقل إقليدي أو حقل عددي تربيعي تخيلي مميز −19، −43، −67، أو −163.
• في عام 1976، أثبت جي. ميلر أن فرضية ريمان المعممة تعني إمكانية اختبار ما إذا كان عدد ما أوليًا في وقت متعدد الحدود باستخدام اختبار ميلر . وفي عام 2002، أثبت مانيندرا أغراوال ونيراج كايال ونيتين ساكسينا هذه النتيجة بشكل قاطع باستخدام اختبار AKS للأعداد الأولية .
• ناقش أودليزكو (1990) كيف يمكن استخدام فرضية ريمان المعممة لإعطاء تقديرات أكثر دقة للمميزات وأعداد الفئات لحقول الأعداد.
• أظهر أونو وسونداراراجان (1997) أن فرضية ريمان المعممة تعني أن الشكل التربيعي التكاملي لرامانوجان x ² + y ² + 10 z ² يمثل جميع الأعداد الصحيحة التي يمثلها محليًا، مع 18 استثناءً بالضبط.
• في عام 2021، أثبت ألكسندر (أليكس) دان وماكسيم رادزيويل حدسية باترسون بشأن مجاميع غاوس التكعيبية ، بافتراض فرضية GRH. ^{[ 23 ] [ 24 ]}

بعض نتائج فرضية ريمان هي أيضًا نتائج لنفيها، وبالتالي فهي نظريات. في مناقشتهما لنظرية هيك، ديورينغ، مورديل، هايلبرون ، يقول أيرلندا وروزن (1990 ، ص 359) : 

إن طريقة البرهان هنا مذهلة حقاً. إذا كانت فرضية ريمان المعممة صحيحة، فإن النظرية صحيحة. وإذا كانت فرضية ريمان المعممة خاطئة، فإن النظرية صحيحة أيضاً. إذن، النظرية صحيحة!

ينبغي توخي الحذر لفهم المقصود بالقول بأن فرضية ريمان المعممة خاطئة: يجب تحديد فئة متسلسلات ديريشليه التي لها مثال مضاد على وجه التحديد.

يمكن تعميم فرضية ريمان باستبدال دالة زيتا لريمان بدوال L العامة، المشابهة لها شكليًا ولكنها أكثر عمومية . في هذا السياق الأوسع، يُتوقع أن يكون الجزء الحقيقي للأصفار غير التافهة لدوال L العامة مساويًا لـ 1/2. هذه التخمينات، وليست فرضية ريمان الكلاسيكية الخاصة بدالة زيتا لريمان فقط، هي التي تُفسر الأهمية الحقيقية لفرضية ريمان في الرياضيات.

تُعمم فرضية ريمان الأكثر شيوعًا فرضية ريمان لتشمل جميع دوال ديريشليه L. وعلى وجه الخصوص، فإنها تستلزم التخمين بأن أصفار سيجل (أصفار دوال L بين 1/2 و1) غير موجودة.

تُعمم فرضية ريمان الموسعة فرضية ريمان لتشمل جميع دوال زيتا ديديكيند لحقول الأعداد الجبرية . وبما أن دالة زيتا ديديكيند للتمديد الأبلي للأعداد النسبية يمكن التعبير عنها كحاصل ضرب دوال ديريشليه L، وأن القطب الوحيد الممكن لدالة زيتا ريمان هو 1 (وبالتالي لا يمكن لأي قطب أن يلغي الصفر غير التافه)، فإن هذه الصيغة من فرضية ريمان تستلزم فرضية ريمان المعممة.

يمكن أيضًا تعميم فرضية ريمان لتشمل دوال L الخاصة بمُؤشِّرات هيكه لحقول الأعداد. وبما أن دوال L الخاصة بديريشليه هي دوال L الخاصة بهيكه للمُؤشِّرات المنتهية، فإن هذه الفرضية تستلزم مباشرةً فرضية ريمان المُعمَّمة. ويمكن التعبير عن دوال زيتا ديديكيند كحاصل ضرب دوال L الخاصة بهيكه، والقطب الوحيد المُمكن لدالة L الخاصة بهيكه هو 1، وبالتالي فإن هذه الصيغة من فرضية ريمان تستلزم أيضًا صيغةً لدوال زيتا ديديكيند.

هناك منهجان لتوسيع فرضية ريمان يبدوان الأكثر عمومية. يوسع منهج ريمان العام نطاقها ليشمل جميع الدوال الذاتية L ، مثل تحويلات ميلين للأشكال الذاتية لهيك . أما منهج ريمان لفئة سيلبرغ ، فيوسع نطاقها ليشمل الدوال التي تحقق بعض الخصائص (على الأقل، يُفترض أنها تحقق معظم الدوال التي تُسمى عادةً دوال زيتا أو دوال L ) بدلاً من الدوال المعرفة بصيغة مباشرة. مع أنه من المتوقع أن تكون فئة سيلبرغ مساوية لفئة الدوال الذاتية L، وبالتالي أن يكون هذان المنهجان متكافئين، إلا أن هذه المسألة بحد ذاتها تُعد مشكلة مفتوحة هامة وجزءًا من برنامج لانجلاندز .

قدّم آرتين (1924) دوال زيتا العامة لحقول الدوال (التربيعية) ، وافترض نظيرًا لفرضية ريمان لها، والتي أثبتها هاس في حالة الجنس 1، وويل (1948) بشكل عام. على سبيل المثال، حقيقة أن مجموع غاوس ، للخاصية التربيعية لحقل منتهٍ من الحجم q (حيث q فردي)، له قيمة مطلقة${\displaystyle {\sqrt {q}}}$يُعدّ هذا في الواقع مثالاً على فرضية ريمان في سياق حقل الدوال. وقد دفع هذا ويل (1949) إلى التكهن بعبارة مماثلة لجميع الأصناف الجبرية ؛ وقد أثبت بيير ديلين التكهنات الناتجة عن ويل . ^{[ 29 ]}

تُعمم دوال زيتا الحسابية دوال زيتا لريمان وديديكيند، بالإضافة إلى دوال زيتا للمتنوعات على الحقول المنتهية، لتشمل أي مخطط حسابي أو مخطط من نوع منتهٍ على الأعداد الصحيحة. يمكن تحليل دالة زيتا الحسابية لمخطط حسابي منتظم متصل ومتساوي الأبعاد ذي بُعد كرونكر n إلى حاصل ضرب عوامل L مُعرَّفة بشكل مناسب وعامل مساعد. ^{[ 30 ]} بافتراض معادلة دالية واستمرار ميرومورفي، تنص فرضية ريمان المعممة لعامل L على أن أصفاره تقع داخل الشريط الحرج.${\displaystyle \Re (s)\in (0,n)}$تقع على الخط المركزي. وبالمثل، تنص فرضية ريمان المعممة لدالة زيتا الحسابية لمخطط حسابي منتظم متصل ومتساوي الأبعاد على أن أصفارها داخل الشريط الحرج تقع على خطوط رأسية.${\displaystyle \Re (s)=1/2,3/2,\dots ,n-1/2}$وتقع أقطابها داخل الشريط الحرج على خطوط عمودية${\displaystyle \Re (s)=1,2,\dots ,n-1}$. هذا معروف بالنسبة للمخططات ذات الخاصية الموجبة ويتبع من بيير ديلين ^{[ 31 ]} ، ولكنه يظل غير معروف تمامًا في الخاصية الصفرية.

قدّم سيلبرغ (1956) دالة زيتا سيلبرغ لسطح ريمان. وهي مشابهة لدالة زيتا ريمان: إذ لها معادلة دالية، وحاصل ضرب لانهائي مشابه لحاصل ضرب أويلر، ولكنه يُطبّق على الجيوديسيات المغلقة بدلاً من الأعداد الأولية. صيغة أثر سيلبرغ هي نظير هذه الدوال للصيغ الصريحة في نظرية الأعداد الأولية. أثبت سيلبرغ أن دوال زيتا سيلبرغ تُحقق نظير فرضية ريمان، حيث ترتبط الأجزاء التخيلية لأصفارها بالقيم الذاتية لمؤثر لابلاس لسطح ريمان.

دالة زيتا إيهارا للرسم البياني المحدود هي نظير لدالة زيتا سيلبرغ ، التي قدمها ياسوتاكا إيهارا لأول مرة في سياق الزمر الفرعية المنفصلة للمجموعة الخطية الخاصة p-adic ثنائية الأبعاد. الرسم البياني المحدود المنتظم هو رسم بياني رامانوجان ، وهو نموذج رياضي لشبكات الاتصال الفعالة، إذا وفقط إذا كانت دالة زيتا إيهارا الخاصة به تحقق نظير فرضية ريمان، كما أشار إلى ذلك ت. سونادا .

اقترح مونتغمري (1973) فرضية الارتباط الزوجي التي تنص على أن دوال الارتباط لأصفار دالة زيتا (بعد تطبيعها بشكل مناسب) يجب أن تكون مماثلة لدوال الارتباط للقيم الذاتية لمصفوفة هيرميتية عشوائية . وقد أظهر أودليزكو (1987) أن هذه الفرضية مدعومة بحسابات عددية واسعة النطاق لهذه الدوال.

أظهر مونتغمري (بافتراض فرضية ريمان) أن ثلثي جميع أصفار دالة زيتا على الأقل بسيطة، ويفترض فرضية أخرى أن جميع أصفار دالة زيتا بسيطة (أو بشكل أعم، لا توجد علاقات خطية صحيحة غير تافهة بين أجزائها التخيلية). غالبًا ما تحتوي دوال زيتا ديديكيند لحقول الأعداد الجبرية، التي تعمم دالة زيتا ريمان، على أصفار مركبة متعددة. ^{[ 32 ]} ويعود ذلك إلى أن دوال زيتا ديديكيند تُحلل إلى عواملها الأولية كحاصل ضرب قوى دوال آرتين L ، لذا فإن أصفار دوال آرتين L قد تُنتج أحيانًا أصفارًا متعددة لدوال زيتا ديديكيند. ومن الأمثلة الأخرى على دوال زيتا ذات الأصفار المتعددة دوال L لبعض المنحنيات الإهليلجية : إذ يمكن أن تحتوي هذه الدوال على أصفار متعددة عند النقطة الحقيقية لخطها الحرج؛ ويتوقع فرضية بيرش-سوينرتون-داير أن تعدد هذا الصفر هو رتبة المنحنى الإهليلجي.

توجد أمثلة أخرى عديدة لدوال زيتا ذات نظائر لفرضية ريمان، وقد تم إثبات بعضها. فدوال زيتا غوس لحقول الدوال لها فرضية ريمان، وقد أثبتها شيتس (1998) . أما التخمين الرئيسي لنظرية إيواساوا ، الذي أثبته باري مازور وأندرو وايلز للحقول الدائرية ، ووايلز للحقول الحقيقية تمامًا ، فيُعرّف أصفار دالة L من الرتبة p -adic بأنها القيم الذاتية لمؤثر، لذا يمكن اعتبارها نظيرًا لتخمين هيلبرت-بوليا لدوال L من الرتبة p -adic . ^{[ 33 ]}

اقترح هيلبرت وبوليا أن إحدى طرق استنتاج فرضية ريمان هي إيجاد مؤثر ذاتي الترافق ، ومن وجوده يمكن استنتاج العبارة المتعلقة بالأجزاء الحقيقية لأصفار دالة زيتا ( ζ ( s )) عند تطبيق معيار القيم الذاتية الحقيقية . ويدعم هذه الفكرة وجود عدة نظائر لدوال زيتا لريمان، حيث تتوافق أصفارها مع القيم الذاتية لبعض المؤثرات: فأصفار دالة زيتا لمتنوعة على حقل منتهٍ تتوافق مع القيم الذاتية لعنصر فروبينيوس على زمرة تماثل إيتالي ، وأصفار دالة زيتا لسيلبرغ هي القيم الذاتية لمؤثر لابلاس على سطح ريمان، وأصفار دالة زيتا p-adic تتوافق مع المتجهات الذاتية لفعل غالوا على زمر فئات مثالية .

أظهر أودليزكو (1987) أن توزيع أصفار دالة زيتا لريمان يشترك في بعض الخصائص الإحصائية مع القيم الذاتية للمصفوفات العشوائية المستمدة من المجموعة الوحدوية الغاوسية . وهذا يدعم حدسية هيلبرت-بوليا .

في عام 1999، افترض مايكل بيري وجوناثان كيتينغ وجود نوع من التكميم غير المعروف${\displaystyle {\hat {H}}}$من الهاميلتوني الكلاسيكي H = xp بحيث $${\displaystyle \zeta (1/2+i{\hat {H}})=0}$$ بل وأكثر من ذلك، أن أصفار ريمان تتطابق مع طيف المؤثر${\displaystyle 1/2+i{\hat {H}}}$وهذا يتناقض مع التكميم المتعارف عليه ، والذي يؤدي إلى مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$والأعداد الطبيعية كطيف للمذبذب التوافقي الكمومي . النقطة الأساسية هي أن الهاميلتوني يجب أن يكون مؤثرًا ذاتيًا مترافقًا بحيث يكون التكميم تحقيقًا لبرنامج هيلبرت-بوليا. وفي سياق هذه المسألة الميكانيكية الكمومية، اقترح بيري وكونز أن معكوس جهد الهاميلتوني مرتبط بنصف مشتقة الدالة. $${\displaystyle N(s)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Arg} \xi (1/2+i{\sqrt {s}})}$$ ثم، في نهج هيلبرت-بوليا $${\displaystyle V^{-1}(x)={\sqrt {4\pi }}{\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}}.}$$ ينتج عن ذلك هاميلتوني تكون قيمه الذاتية مربع الجزء التخيلي لأصفار ريمان، كما أن المحدد الوظيفي لهذا المؤثر الهاميلتوني هو دالة ريمان Xi . في الواقع، ستكون دالة ريمان Xi متناسبة مع المحدد الوظيفي ( جداء هادامارد ). $${\displaystyle \det(H+1/4+s(s-1))}$$$${\displaystyle {\frac {\xi (s)}{\xi (0)}}={\frac {\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1/4)}}.}$$ مع ذلك، فإن هذا المؤثر غير عملي لأنه يتضمن الدالة العكسية (الدالة الضمنية) للجهد، وليس الجهد نفسه. ويشير التشابه مع فرضية ريمان على الحقول المنتهية إلى أن فضاء هيلبرت الذي يحتوي على المتجهات الذاتية المناظرة للأصفار قد يكون نوعًا من زمرة التماثل الأولى لطيف Spec ( Z ) للأعداد الصحيحة. وقد وصف دينينجر (1998) بعض المحاولات لإيجاد نظرية تماثل كهذه. ^{[ 34 ]}

قام زاغير (1981) بإنشاء فضاء طبيعي للدوال الثابتة على النصف العلوي من المستوى المركب، حيث تتوافق القيم الذاتية تحت تأثير لابلاس مع أصفار دالة زيتا لريمان. وأشار إلى أنه في حال إمكانية إثبات وجود جداء داخلي موجب محدد مناسب على هذا الفضاء، فإن فرضية ريمان ستتحقق. ناقش كارتييه (1982) مثالاً مشابهاً، حيث قام برنامج حاسوبي، نتيجة لخلل غريب، بإدراج أصفار دالة زيتا لريمان كقيم ذاتية لنفس تأثير لابلاس .

قام شومير وهاتشينسون (2011) باستعراض بعض المحاولات لبناء نموذج فيزيائي مناسب يتعلق بدالة زيتا لريمان.

تنص نظرية لي-يانغ على أن أصفار بعض دوال التقسيم في الميكانيكا الإحصائية تقع جميعها على "خط حرج" حيث يكون الجزء الحقيقي منها مساوياً للصفر، وقد أدى ذلك إلى بعض التكهنات حول وجود علاقة مع فرضية ريمان. ^{[ 35 ]}

أظهر بال توران أنه إذا كانت الوظائف $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{-s}}$$ لا تحتوي على أصفار عندما يكون الجزء الحقيقي من s أكبر من واحد. $${\displaystyle T(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n}}\geq 0{\text{ for }}x>0,}$$ حيث λ( n ) هي دالة ليوفيل المعطاة بالصيغة (−1) ^r إذا كان للعدد n عوامل أولية عددها r . ^{[ 36 ]} وقد بيّن أن هذا بدوره سيؤدي إلى صحة فرضية ريمان. لكن هاسلجروف (1958) أثبت أن T ( x ) سالبة لعدد لا نهائي من قيم x ( ودحض أيضًا حدسية بوليا ذات الصلة الوثيقة )، وأظهر بورواين، فيرغسون، وموسينغهوف ( 2008) أن أصغر قيمة لـ x من هذا القبيل هي 72185376951205 . أظهر سبايرا (1968) من خلال الحسابات العددية أن متسلسلة ديريشليه المنتهية المذكورة أعلاه، عندما N = 19، لها جذر بجزء حقيقي أكبر من 1. كما أظهر توران أن افتراضًا أضعف نوعًا ما، وهو عدم وجود أصفار بجزء حقيقي أكبر من 1 + N ^{− 1/2 + ε} لقيم N الكبيرة في متسلسلة ديريشليه المنتهية المذكورة أعلاه، سيؤدي أيضًا إلى صحة فرضية ريمان. لكن مونتغمري (1983) أثبت أنه لجميع قيم N الكبيرة بما فيه الكفاية ، فإن هذه المتسلسلات لها أصفار بجزء حقيقي أكبر من 1 + (log log N )/(4 log N ) . لذلك، فإن نتيجة توران صحيحة بشكل بديهي ولا يمكن أن تساعد في إثبات فرضية ريمان.

وصف آلان كونيس العلاقة بين فرضية ريمان والهندسة غير التبادلية ، وأظهر أن نظيرًا مناسبًا لصيغة سيلبرغ للأثر لتأثير زمرة فئة idèle على فضاء فئة adèle من شأنه أن يستلزم فرضية ريمان. ^{[ 37 ]} وقد تم تفصيل بعض هذه الأفكار في لابيدوس (2008) .

أثبت لويس دي برانج أن فرضية ريمان تترتب على شرط إيجابية على فضاء هيلبرت معين للدوال الكاملة . ^{[ 38 ]} ومع ذلك، أظهر كونري ولي (2000) أن شروط الإيجابية اللازمة غير مستوفاة. على الرغم من هذه العقبة، واصل دي برانج العمل على محاولة إثبات فرضية ريمان على نفس المنوال، لكن هذا لم يلقَ قبولًا واسعًا بين علماء الرياضيات الآخرين. ^{[ 39 ]}

تفترض فرضية ريمان أن أصفار دالة زيتا تُشكّل شبه بلورة ، وهي توزيع ذو نطاق منفصل، ويكون تحويل فورييه الخاص به ذا نطاق منفصل أيضًا. وقد اقترح دايسون (2009) محاولة إثبات فرضية ريمان من خلال تصنيف، أو على الأقل دراسة، شبه البلورات أحادية البعد.

عند الانتقال من بُعد هندسي واحد، كحقل عددي جبري مثلاً ، إلى بُعد هندسي اثنين، كنموذج منتظم لمنحنى إهليلجي فوق حقل عددي، فإن الجزء ثنائي الأبعاد من فرضية ريمان المعممة لدالة زيتا الحسابية للنموذج يتناول أقطاب دالة زيتا. في البُعد الأول، لا تُفضي دراسة تكامل زيتا في أطروحة تيت إلى معلومات جديدة هامة حول فرضية ريمان. على النقيض من ذلك، في البُعد الثاني، يتضمن عمل إيفان فيسينكو حول التعميم ثنائي الأبعاد لأطروحة تيت تمثيلاً تكاملياً لتكامل زيتا يرتبط ارتباطاً وثيقاً بدالة زيتا. في هذا الوضع الجديد، غير الممكن في البُعد الأول، يُمكن دراسة أقطاب دالة زيتا عبر تكامل زيتا ومجموعات أديل المرتبطة به. ويُشير تخمين إيفان فيسينكو ذو الصلة حول إيجابية المشتقة الرابعة لدالة حدودية مرتبطة بتكامل زيتا، بشكل أساسي، إلى الجزء القطبي من فرضية ريمان المعممة. ^{[ 40 ]} أثبت سوزوكي ( 2011 ) أن الأخير، إلى جانب بعض الافتراضات التقنية، يستلزم تخمين فيسينكو. 

استخدم ديلين في برهانه لفرضية ريمان على الحقول المنتهية دوال زيتا لمتنوعات الضرب، التي تتوافق أصفارها وأقطابها مع مجموع أصفار وأقطاب دالة زيتا الأصلية، وذلك لتقييد الأجزاء الحقيقية لأصفار دالة زيتا الأصلية. وبالمثل، قدم كوروكاوا (1992) دوال زيتا متعددة تتوافق أصفارها وأقطابها مع مجموع أصفار وأقطاب دالة زيتا لريمان. ولجعل المتسلسلة متقاربة، حصرها في مجموع أصفار أو أقطاب ذات جزء تخيلي غير سالب. وحتى الآن، لا تكفي الحدود المعروفة لأصفار وأقطاب دوال زيتا المتعددة لتقديم تقديرات مفيدة لأصفار دالة زيتا لريمان.

تُشير المعادلة الوظيفية، بالإضافة إلى مبدأ الوسيط، إلى أن عدد أصفار دالة زيتا ذات الجزء التخيلي بين 0 و T يُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle N(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\xi (s))={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)s(s-1)/2)}$

لـ s = 1/2 + iT ، حيث يتم تعريف الوسيط بتغييره باستمرار على طول الخط الذي يكون فيه Im( s ) = T ، بدءًا من الوسيط 0 عند ∞ + iT . هذا هو مجموع حد كبير ولكنه مفهوم جيدًا

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-s/2}s(s-1)/2)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+7/8+O(1/T)}$

ومصطلح صغير ولكنه غامض إلى حد ما

${\displaystyle S(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\zeta (1/2+iT))=O(\log T).}$

إذن، كثافة الأصفار ذات الجزء التخيلي بالقرب من T تساوي تقريبًا log( T )/(2π ) ، وتصف الدالة S الانحرافات الطفيفة عن هذه القيمة. تقفز الدالة S ( t ) بمقدار 1 عند كل صفر من صفرات دالة زيتا، وبالنسبة لـ t ≥ 8، فإنها تتناقص بشكل رتيب بين الأصفار بمشتقة قريبة من −log t .

أثبت ترودجيان (2014) أنه إذا كانت T > e ، فإن

${\displaystyle |N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$.

أثبت كاراتسوبا (1996) أن كل فترة ( T ، T + H ] لـ${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$يحتوي على الأقل

${\displaystyle H(\log T)^{\frac {1}{3}}e^{-c{\sqrt {\log \log T}}}}$

النقاط التي تتغير عندها إشارة الدالة S ( t ).

أظهر سيلبرغ (1946) أن متوسط ​​العزوم للقوى الزوجية لـ S يُعطى بالعلاقة التالية

${\displaystyle \int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={\frac {(2k)!}{k!(2\pi )^{2k}}}T(\log \log T)^{k}+O(T(\log \log T)^{k-1/2}).}$

يشير هذا إلى أن S ( T )/(log log T ) ^1/2 يُشبه متغيرًا عشوائيًا غاوسيًا بمتوسط ​​0 وتباين 2π² ( أثبت غوش (1983) هذه الحقيقة). على وجه الخصوص ، عادةً ما تكون ^قيمة | S ( T ) | قريبة من (log log T ) ^1/2 ، ولكنها قد تكون أكبر بكثير في بعض الأحيان. لا يُعرف الترتيب الدقيق لنمو S ( T ). لم يطرأ أي تحسين مطلق على حد ريمان الأصلي S ( T ) = O (log T ) ، على الرغم من أن فرضية ريمان تُشير إلى حد أصغر قليلًا S ( T ) = O (log T /log log T ) . ^{[ 17 ]} قد يكون الترتيب الحقيقي للمقدار أقل من ذلك، حيث تميل الدوال العشوائية التي لها نفس توزيع S ( T ) إلى أن يكون نموها من رتبة log( T ) ^1/2 . في الاتجاه الآخر لا يمكن أن يكون صغيرًا جدًا: أظهر سيلبرغ (1946) أن S ( T ) ≠ o ((log T ) ^1/3 /(log log T ) ^7/3 ) ، وبافتراض فرضية ريمان، أظهر مونتغمري أن S ( T ) ≠ o ((log T ) ^1/2 /(log log T ) ^1/2 ) .

تؤكد الحسابات العددية أن S تنمو ببطء شديد: | S ( T ) | < 1 عندما T < 280 ، و | S ( T ) | < 2 عندما T <6 800 000 ، وأكبر قيمة لـ | S ( T ) | التي تم العثور عليها حتى الآن ليست أكبر بكثير من 3. ^{[ 41 ]}

يشير تقدير ريمان S ( T ) = O (log T ) إلى أن الفجوات بين الأصفار محدودة، وقد حسّن ليتلوود هذا قليلاً، موضحًا أن الفجوات بين أجزائها التخيلية تميل إلى 0.

أثبت كلٌّ من هادامارد (1896) ودي لا فالي بوسان (1896) بشكلٍ مستقلٍّ أنه لا يمكن أن تقع أيُّ أصفارٍ على الخط Re( s ) = 1. وبالاقتران مع المعادلة الدالية وحقيقة عدم وجود أصفارٍ ذات جزءٍ حقيقيٍّ أكبر من 1، أظهر هذا أنَّ جميع الأصفار غير التافهة يجب أن تقع داخل الشريط الحرج 0 < Re( s ) < 1. وقد كانت هذه خطوةً أساسيةً في أولى براهينهما لنظرية الأعداد الأولية .

كلا البرهانين الأصليين اللذين يثبتان أن دالة زيتا ليس لها أصفار ذات جزء حقيقي يساوي 1 متشابهان، ويعتمدان على إثبات أنه إذا كانت ζ (1 + it ) تساوي صفرًا، فإن ζ (1 + 2it ) تكون دالة شاذة، وهو أمر غير ممكن. إحدى طرق القيام بذلك هي استخدام المتباينة

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|\geq 1}$

بالنسبة لـ σ > 1 ، و t عدد حقيقي، وبالنظر إلى النهاية عندما σ → 1. تنتج هذه المتباينة من خلال أخذ الجزء الحقيقي من لوغاريتم جداء أويلر لنرى أن

${\displaystyle |\zeta (\sigma +it)|=\exp \Re \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n(\sigma +it)}}{n}}=\exp \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n\sigma }\cos(t\log p^{n})}{n}},}$

حيث يكون المجموع على جميع القوى الأولية p ⁿ ، بحيث

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|=\exp \sum _{p^{n}}p^{-n\sigma }{\frac {3+4\cos(t\log p^{n})+\cos(2t\log p^{n})}{n}}}$

وهو ما يساوي 1 على الأقل لأن جميع الحدود في المجموع موجبة، وذلك بسبب المتباينة

${\displaystyle 3+4\cos(\theta )+\cos(2\theta )=2(1+\cos(\theta ))^{2}\geq 0.}$

أكدت عملية البحث الحاسوبية الأكثر شمولاً التي أجراها بلات وترودجيان ^{[ 22 ]} عن أمثلة مضادة لفرضية ريمان صحتها بالنسبة لـ | t | ≤3.000 175 3328 × 10 ^12. فيما عدا ذلك، تُعرف المناطق الخالية من الأصفار بالمتباينات المتعلقة بـ σ + i t ، والتي يمكن أن تكون أصفارًا. أقدم نسخة من هذه المتباينات تعود إلى دي لا فالي بوسان (1899-1900) ، الذي أثبت وجود منطقة خالية من الأصفار تحقق المتباينة 1 − σ ≥ C / log( t ) لثابت موجب C. بعبارة أخرى، لا يمكن أن تكون الأصفار قريبة جدًا من الخط σ = 1 : توجد منطقة خالية من الأصفار قريبة من هذا الخط. وقد تم توسيع هذه المتباينة من قبل العديد من المؤلفين باستخدام طرق مثل نظرية القيمة المتوسطة لفينوغرادوف .

أحدث ورقة بحثية ^{[ 42 ]} من تأليف موسينغهوف، ترودجيان ويانغ تعود إلى ديسمبر 2022، وتقدم أربع مناطق خالية من الأصفار حسّنت النتائج السابقة لكيفن فورد من عام 2002، وموسينغهوف وترودجيان أنفسهم من عام 2015، والتحسين الطفيف الذي أجراه بايس نيلسن على فورد من أكتوبر 2022:

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.558691\log |t|}}}$حينما${\displaystyle |t|\geq 2}$،

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{55.241(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}}$حينما${\displaystyle |t|\geq 3}$(أكبر منطقة معروفة في الحدود)${\displaystyle 3.0001753328\cdot 10^{12}\leq |t|\leq \exp(64.1)\approx 6.89\cdot 10^{27}}$)

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.04962-{\frac {0.0196}{1.15+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+\log \log t}}}{0.685+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+1.155\cdot \log \log t}}}$حينما${\displaystyle |t|\geq 1.88\cdot 10^{14}}$(أكبر منطقة معروفة في الحدود)${\displaystyle \exp(64.1)\leq |t|\leq \exp(1000)\approx 1.97\cdot 10^{434}}$) و

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.05035}{{\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096}}+{\frac {0.0349}{({\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096)^{2}}}}$حينما${\displaystyle |t|\geq \exp(1000)}$(أكبر منطقة معروفة ضمن حدودها الخاصة)

كما تقدم الورقة تحسينًا للمنطقة الثانية الخالية من الأصفار، والتي لا تزال حدودها غير معروفة بسبب${\displaystyle |t|}$بافتراض أنها "كبيرة بما يكفي" لتلبية متطلبات برهان الورقة البحثية. هذه المنطقة هي

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{48.1588(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}}$.

في عام 1914 أثبت غودفري هارولد هاردي أن${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$يحتوي على عدد لا نهائي من الأصفار الحقيقية.

الفرضيتان التاليتان لهاردي وجون إيدنسور ليتلوود حول المسافة بين الأصفار الحقيقية لـ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$وعلى كثافة أصفار${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$في الفترة${\displaystyle (T,T+H]}$لكبير بما فيه الكفاية${\displaystyle T>0}$، و${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$وبأقل قيمة ممكنة لـ${\displaystyle a>0}$، أين${\displaystyle \varepsilon >0}$إن هذا العدد الصغير بشكل تعسفي يفتح اتجاهين جديدين في دراسة دالة زيتا لريمان:

1. لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد حد أدنى${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$بحيث يكون لـ${\displaystyle T\geq T_{0}}$و${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{4}}+\varepsilon }}$الفاصل الزمني${\displaystyle (T,T+H]}$يحتوي على صفر من رتبة فردية للدالة${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$.

يترك${\displaystyle N(T)}$ليكن العدد الإجمالي للأصفار الحقيقية، و${\displaystyle N_{0}(T)}$ليكن العدد الإجمالي لأصفار الدالة ذات الرتبة الفردية${\displaystyle ~\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)~}$يقع على الفاصل الزمني${\displaystyle (0,T]~}$.

2. لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$وبعض${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$، بحيث يكون لـ${\displaystyle T\geq T_{0}}$و${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{2}}+\varepsilon }}$عدم المساواة${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH}$هذا صحيح.

قام أتلي سيلبرغ بدراسة مسألة هاردي-ليتلوود 2 وأثبت أنه لأي قيمة ε > 0 يوجد مثل هذا${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$و c = c ( ε ) > 0 ، بحيث يكون لـ${\displaystyle T\geq T_{0}}$و${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$عدم المساواة ${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}$هذا صحيح. ^{[ 44 ]} افترض سيلبرغ أنه يمكن تشديد ذلك إلى${\displaystyle H=T^{0.5}}$أثبت أناتولي كاراتسوبا أنه بالنسبة لقيمة ثابتة لـ ε تحقق الشرط 0 < ε < 0.001، وقيمة T كبيرة بما فيه الكفاية و${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$،${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$، تحتوي الفترة ( T ، T + H ) على الأقل على cH log( T ) من الأصفار الحقيقية لدالة زيتا لريمان${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$وبالتالي أكد ذلك فرضية سيلبرغ. ^{[ 45 ]} لا يمكن تحسين تقديرات سيلبرغ وكاراتسوبا فيما يتعلق بترتيب النمو عندما T → ∞ .

أثبت كاراتسوبا (1992) أن نظيرًا لتخمين سيلبرغ ينطبق على جميع الفترات تقريبًا ( T ، T + H ] ،${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$حيث ε عدد موجب ثابت صغير كيفيًا. تسمح طريقة كاراتسوبا بدراسة أصفار دالة زيتا لريمان على فترات "قصيرة جدًا" من الخط الحرج، أي على الفترات ( T , T + H ] ، التي ينمو طولها H ببطء أكثر من أي درجة T ، حتى لو كانت صغيرة كيفيًا . على وجه الخصوص، أثبت أنه لأي عدد معطى ε ،${\displaystyle \varepsilon _{1}}$استيفاء الشروط${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$جميع الفترات تقريبًا ( T ، T + H ] لـ${\displaystyle H\geq \exp {\{(\log T)^{\varepsilon }\}}}$يحتوي على الأقل${\displaystyle H(\log T)^{1-\varepsilon _{1}}}$أصفار الدالة${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$هذا التقدير قريب جدًا من التقدير الذي ينتج عن فرضية ريمان.

الوظيفة

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\zeta (s)}$

للدالة نفس أصفار دالة زيتا في الشريط الحرج، وهي حقيقية على الخط الحرج بسبب المعادلة الدالية، لذا يمكن إثبات وجود أصفار على خط الأعداد الحقيقية بين نقطتين بالتحقق عدديًا من أن للدالة إشارتين متعاكستين عند هاتين النقطتين. عادةً ما يُكتب على النحو التالي:

${\displaystyle \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)=Z(t)e^{-i\theta (t)}}$

حيث تُعرَّف دالة هاردي Z ودالة ريمان-سيجل ثيتا θ تعريفًا فريدًا من خلال هذا الشرط وشرط كونهما دالتين حقيقيتين سلسلتين مع θ (0)  =  0. من خلال إيجاد العديد من الفترات التي تغير فيها الدالة Z إشارتها، يمكن إثبات وجود العديد من الأصفار على الخط الحرج. وللتحقق من فرضية ريمان حتى قيمة معينة للجزء التخيلي T من الأصفار، يجب أيضًا التحقق من عدم وجود أصفار أخرى خارج الخط في هذه المنطقة. يمكن القيام بذلك عن طريق حساب العدد الإجمالي للأصفار في المنطقة باستخدام طريقة تورينج والتحقق من أنه يساوي عدد الأصفار الموجودة على الخط. يسمح هذا بالتحقق من فرضية ريمان حسابيًا حتى أي قيمة مطلوبة لـ T (بشرط أن تكون جميع أصفار دالة زيتا في هذه المنطقة بسيطة وتقع على الخط الحرج). ^{[ 46 ] [ 47 ]}

يمكن استخدام هذه الحسابات أيضًا لتقدير${\displaystyle \pi (x)}$لنطاقات محدودة من${\displaystyle x}$على سبيل المثال، باستخدام أحدث نتيجة من عام 2020 (أصفار حتى ارتفاع معين)${\displaystyle 3\times 10^{12}}$وقد ثبت أن

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x),\qquad {\text{for }}2657\leq x\leq 1.101\times 10^{26}.}$

بشكل عام، تتحقق هذه المتباينة إذا

${\displaystyle x\geq 2657}$و${\displaystyle {\frac {9.06}{\log {\log {x}}}}{\sqrt {\frac {x}{\log {x}}}}\leq T,}$

أين${\displaystyle T}$هي أكبر قيمة معروفة بحيث تكون فرضية ريمان صحيحة لجميع الأصفار${\displaystyle \rho }$مع${\displaystyle \Im {\left(\rho \right)}\in \left(0,T\right]}$[ ^{48 ]​}

فيما يلي بعض حسابات أصفار دالة زيتا، حيث يُمثل "ارتفاع" الصفر مقدار الجزء التخيلي منه، ويُرمز إلى ارتفاع الصفر النوني بالرمز γn . _حتى الآن، تقع جميع الأصفار التي تم فحصها على الخط الحرج وهي أصفار بسيطة. (قد يُسبب وجود أصفار متعددة مشاكل لخوارزميات إيجاد الأصفار، التي تعتمد على إيجاد تغيرات الإشارة بين الأصفار). للاطلاع على جداول الأصفار، يُرجى مراجعة هاسلجروف وميلر (1960) أو أودليزكو .

نقطة غرام هي نقطة على الخط الحرج 1/2  + it حيث تكون دالة زيتا حقيقية وغير صفرية. باستخدام صيغة دالة زيتا على الخط الحرج، ζ (1/2 + it ) = Z ( t ) e⁻ᵢθ ^{( t ) ،} حيث دالة هاردي، Z ، حقيقية لـ t الحقيقية ^، و θ هي دالة ريمان-سيغل ثيتا ، نلاحظ أن زيتا حقيقية عندما sin( θ ( t )) = 0. هذا يعني أن θ ( t ) مضاعف صحيح لـ π ، مما يسمح بحساب مواقع نقاط غرام بسهولة نسبية عن طريق عكس صيغة θ . عادةً _ما يتم ترقيمها كـ _gₙ لـ n = 0، 1، ...، حيث gₙ هو الحل الوحيد للمعادلة θ ( t ) = nπ . 

لاحظ غرام أنه غالبًا ما يوجد صفر واحد فقط لدالة زيتا بين أي نقطتين متتاليتين من نقاط غرام؛ أطلق هاتشينسون على هذه الملاحظة اسم قانون غرام . وهناك العديد من العبارات الأخرى ذات الصلة الوثيقة والتي تُسمى أحيانًا أيضًا قانون غرام: على سبيل المثال، عادةً ما تكون قيمة (−1) ⁿ Z ( g _n ) موجبة، أو عادةً ما تكون إشارة Z ( t ) معاكسة عند نقاط غرام المتتالية. يُبين الجدول التالي الأجزاء التخيلية γ _n للأصفار القليلة الأولى (باللون الأزرق) ونقاط غرام القليلة الأولى g _n

يحدث أول فشل لقانون غرام عند الصفر رقم 127 ونقطة غرام g ₁₂₆ ، والتي هي في الترتيب "الخاطئ".

تُسمى نقطة غرام t جيدة إذا كانت دالة زيتا موجبة عند 1/2 + t . أما مؤشرات نقاط غرام "السيئة" حيث تكون إشارة Z "خاطئة" فهي 126، 134، 195، 211، ... (المتتالية A114856 في OEIS ) . كتلة غرام هي فترة محصورة بين نقطتي غرام جيدتين بحيث تكون جميع نقاط غرام بينهما سيئة. ينص تعديل لقانون غرام يُسمى قاعدة روسر، نسبةً إلى روسر، يوه ، وشونفيلد (1969)، على أن كتل غرام غالبًا ما تحتوي على العدد المتوقع من الأصفار (وهو نفس عدد فترات غرام)، حتى وإن لم تحتوي بعض فترات غرام الفردية في الكتلة على صفر واحد بالضبط. على سبيل المثال، تُعدّ الفترة المحصورة بين g ₁₂₅ و g ₁₂₇ كتلة غرام تحتوي على نقطة غرام سيئة فريدة g ₁₂₆ ، وتحتوي على العدد المتوقع من الأصفار وهو 2، على الرغم من أن أيًا من فترتي غرام لا تحتوي على صفر فريد. وقد تحقّق روسر وزملاؤه من عدم وجود استثناءات لقاعدة روسر في أول 3 ملايين صفر، مع العلم أن هناك عددًا لا نهائيًا من الاستثناءات لقاعدة روسر على كامل دالة زيتا.

تنص قاعدة غرام وقاعدة روسر على أن الأصفار، بمعنى ما، لا تبتعد كثيرًا عن مواقعها المتوقعة. وتتحكم الدالة S، المعرّفة أعلاه، في بُعد الصفر عن موقعه المتوقع، وهي دالة تنمو ببطء شديد: إذ يبلغ متوسط ​​قيمتها حوالي (log log T ) ^1/2 ، ولا تصل إلى 2 إلا عندما تكون T قريبة من 10^ ²⁴ . وهذا يعني أن كلتا القاعدتين تنطبقان في معظم الأحيان لقيم T الصغيرة ، لكنهما غالبًا ما تفشلان في النهاية. في الواقع، أظهر ترودجيان (2011) أن كلاً من قانون غرام وقاعدة روسر تفشلان في نسبة موجبة من الحالات. وبشكل أدق، من المتوقع أن يكون صفر واحد محاطًا بنقطتي غرام متتاليتين في حوالي 66% من الحالات، بينما لا يوجد أي صفر في 17% من الحالات، ويوجد صفران في 17% من الحالات الأخرى ضمن فاصل غرام هذا على المدى الطويل (هانغا، 2020) .

بافتراض صحة فرضية ريمان، يُمكن التساؤل عن الانتظامات الأخرى التي قد تحكم توزيع أصفار دالة زيتا على الخط الحرج. إحدى التصورات التخمينية هي أن الأصفار الحرجة لدالة زيتا تتصرف إحصائيًا مثل القيم الذاتية لمصفوفات هيرميتية عشوائية كبيرة . بدأت هذه الفكرة مع عمل هيو مونتغمري على تخمين الارتباط الزوجي لأصفار دالة زيتا. ^{[ 50 ]} بعد إعادة قياس مناسبة لمراعاة تزايد كثافة الأصفار مع الارتفاع، تتطابق دالة الارتباط الزوجي المُفترضة مع دالة الارتباط الذاتي للقيم الذاتية في المجموعة الوحدوية الغاوسية (GUE) في نظرية المصفوفات العشوائية. ^{[ 51 ] [ 52 ]}

اختُبرت هذه العلاقة عدديًا بواسطة أندرو أودليزكو ، الذي وجد أن إحصائيات تباعد الأصفار الواقعة على الخط الحرج تتوافق بشكل كبير مع تنبؤات نظرية المصفوفات العشوائية GUE. ^{[ 53 ] [ 54 ]} ويمتد هذا التوافق إلى ما هو أبعد من تباعدات الجوار الأقرب ليشمل دوال الارتباط الأعلى، ويُعتبر على نطاق واسع دليلًا قويًا على أن الأصفار تُنمذج بنفس الإحصائيات المحلية للمصفوفات العشوائية. ^{[ 55 ] [ 56 ]}

يرتبط تشبيه المصفوفة العشوائية أيضًا بتخمين هيلبرت-بوليا، وبأفكار من فوضى الكم . في أنظمة فوضى الكم، غالبًا ما تخضع القيم الذاتية لإحصاءات المصفوفة العشوائية، لذا يمكن تفسير ظهور الإحصاءات نفسها في أصفار دالة زيتا كدليل على أنها قد تنشأ من مؤثر ذاتي الترافق أو من نظام ديناميكي فوضوي. ^{[ 57 ] [ 58 ]} وهذا يعطي صورة استدلالية عن سبب احتمال وجود الأصفار على خط طيفي، ولماذا تُظهر مسافاتها تنافرًا قويًا بدلًا من التكتل العشوائي. ^{[ 59 ]}

تبنى نيكولاس كاتز وبيتر سارناك هذا الرأي ، حيث اقترحا أن عائلات دوال L لها أنواع تناظر تحكمها الزمر الكلاسيكية المدمجة ( الوحدوية ، أو المتعامدة ، أو التبسيطية )، وأن توزيعات أصفارها المنخفضة يجب أن تتطابق مع مجموعات المصفوفات العشوائية المقابلة. ^{[ 60 ] [ 61 ] [ 62 ]} بالنسبة لدالة زيتا لريمان، فإن المجموعة ذات الصلة هي مجموعة الزمرة الوحدوية.

أدت نظرية المصفوفات العشوائية أيضًا إلى تخمينات حول نمو عزم دالة زيتا على الخط الحرج. وعلى وجه الخصوص، استخدم جوناثان كيتينغ ونينا سنايث المتوسطات على المصفوفات الوحدوية العشوائية للتنبؤ بالثوابت الرئيسية في صيغ العزم التقاربي مثل $${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt}$$ مثل${\displaystyle T\to \infty }$تُفرّق فرضياتهم بين عامل المصفوفة العشوائية الشامل وعامل جداء أويلر الحسابي ، وقد أثرت على الأعمال اللاحقة المتعلقة بعزوم ونسب دوال L. ^{[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]}

وبالتالي، فإن نظرية المصفوفات العشوائية والفوضى الكمومية تشكل إطارًا استدلاليًا يحيط بفرضية ريمان، على الرغم من عدم وجود دليل معروف على صحة هذه الفرضية من خلال هذا النهج. ^{[ 66 ]}