قوانين دي مورجان

قواعد التحويل
حساب القضايا
قواعد الاستدلال
مقدمة ضمنية  / إزالة ( طريقة ponens ) المقدمة  / الإزالة ثنائية الشرط مقدمة  / حذف حرف العطف مقدمة  / إزالة الانفصال القياس المنطقي المنفصل  / القياس الافتراضي معضلة البناء  / الامتصاص  / طريقة التأثير  / طريقة التأثير مقدمة النفي
قواعد الاستبدال
الترابطية التبادلية التوزيعية نفي مزدوج قوانين دي مورجان النقل التأثير المادي التصدير تكرار الكلمات
منطق المسند
قواعد الاستدلال
التعميم  / التجسيد الشامل التعميم الوجودي  / التجسيد الوجودي

في المنطق القياسي والجبر البولي ، قوانين دي مورجان ، ^{[1] [2] [3]} والمعروفة أيضًا باسم نظرية دي مورجان ، ^[4] هي زوج من قواعد التحويل التي تعد كلاهما قواعد استدلال صالحة . وقد سُميت على اسم أوغسطس دي مورجان ، عالم الرياضيات البريطاني في القرن التاسع عشر. تسمح القواعد بالتعبير عن العطف والانفصال من حيث بعضها البعض فقط عن طريق النفي .

يمكن التعبير عن القواعد باللغة الإنجليزية على النحو التالي:

• نفي "أ و ب" هو نفسه "ليس أ أو ليس ب".
• نفي "أ أو ب" هو نفسه "ليس أ وليس ب".

أو

• المكمل لاتحاد مجموعتين هو نفس تقاطع مكملاتهما
• إن مكمل تقاطع مجموعتين هو نفس اتحاد مكملاتهما

أو

• ليس (أ أو ب) = (ليس أ) و (ليس ب)
• ليس (أ و ب) = (ليس أ) أو (ليس ب)

حيث أن "A أو B" هو " شامل أو " بمعنى واحد على الأقل من A أو B بدلاً من " حصري أو " يعني واحدًا على الأقل من A أو B.

شكل آخر لقانون دي مورجان هو ما يلي كما هو موضح أدناه.

${\displaystyle A-(B\cup C)=(AB)\cap (AC),}$

${\displaystyle A-(B\cap C)=(AB)\cup (AC).}$

تتضمن تطبيقات القواعد تبسيط التعبيرات المنطقية في برامج الكمبيوتر وتصميمات الدوائر الرقمية. قوانين دي مورجان هي مثال لمفهوم أكثر عمومية للثنائية الرياضية .

يمكن كتابة نفي قاعدة الاقتران بالتدوين المتسلسل :

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg (P\land Q)&\vdash (\neg P\lor \neg Q)،{\text{and}}\\(\neg P\lor \neg Q) &\vdash \neg (P\land Q).\end{محاذاة}}}$

يمكن كتابة نفي قاعدة الانفصال على النحو التالي :

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg (P\lor Q)&\vdash (\neg P\land \neg Q),{\text{and}}\\(\neg P\land \neg Q)&\vdash \neg (P\lor Q).\end{aligned}}}$

في صيغة القاعدة : نفي العطف

ونفي الانفصال

ويتم التعبير عنها على أنها تكرارات وظيفية للحقيقة أو نظريات المنطق القياسي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg (P\land Q)&\leftrightarrow (\neg P\lor \neg Q),\\\neg (P\lor Q)&\leftrightarrow (\neg P\land \neg Q).\\\end{aligned}}}$

حيث و هي مقترحات يتم التعبير عنها في نظام رسمي. ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

توفر قوانين دي مورجان المعممة تكافؤًا لنفي الاقتران أو الانفصال الذي يتضمن عدة مصطلحات.
بالنسبة لمجموعة من القضايا ، تكون قوانين دي مورجان المعممة على النحو التالي: ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots ,P_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lnot (P_{1}\land P_{2}\land \dots \land P_{n})\leftrightarrow \lnot P_{1}\lor \lnot P_{2}\lor \ldots \lor \lnot P_{n}\\\lnot (P_{1}\lor P_{2}\lor \dots \lor P_{n})\leftrightarrow \lnot P_{1}\land \lnot P_{2}\land \ldots \land \lnot P_{n}\end{aligned}}}$

تعمم هذه القوانين قوانين دي مورجان الأصلية لنفي العطف والانفصال.

تظهر قوانين دي مورجان عادةً بالشكل المضغوط أعلاه، مع نفي الناتج على اليسار ونفي المدخلات على اليمين. يمكن صياغة شكل أكثر وضوحًا للاستبدال على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}(P\land Q)&\Longleftrightarrow \neg (\neg P\lor \neg Q),\\(P\lor Q)&\Longleftrightarrow \neg (\neg P\land \neg Q).\end{aligned}}}$

ويؤكد هذا على ضرورة عكس كل من المدخلات والمخرجات، فضلاً عن تغيير المشغل عند إجراء الاستبدال.

في نظرية المجموعات، غالبًا ما يتم ذكرها على أنها "تبادل الاتحاد والتقاطع تحت التكامل"، ^[6] والتي يمكن التعبير عنها رسميًا على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A\cup B}}&={\overline {A}}\cap {\overline {B}},\\{\overline {A\cap B}}&={\overline {A}}\cup {\overline {B}},\end{aligned}}}$

أين:

• ${\displaystyle {\overline {A}}}$هو نفي ، حيث يتم كتابة الخط العلوي فوق المصطلحات المراد نفيها،${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle \cap }$هو عامل التقاطع (AND)،
• ${\displaystyle \cup }$هو عامل الاتحاد (OR).

الشكل المعمم هو

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\bigcap _{i\in I}A_{i}}}&\equiv \bigcup _{i\in I}{\overline {A_{i}}},\\{\overline {\bigcup _{i\in I}A_{i}}}&\equiv \bigcap _{i\in I}{\overline {A_{i}}},\end{aligned}}}$

حيث I هي مجموعة فهرسة لا نهائية، ربما قابلة للعد أو غير قابلة للعد.

في تدوين المجموعة، يمكن تذكر قوانين دي مورجان باستخدام الوسيلة المساعدة "كسر الخط، تغيير الإشارة". ^[7]

وفي الجبر البولي، على نحو مماثل، يمكن التعبير عن هذا القانون رسميًا على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A\land B}}&={\overline {A}}\lor {\overline {B}},\\{\overline {A\lor B}}&={\overline {A}}\land {\overline {B}},\end{aligned}}}$

أين:

• ${\displaystyle {\overline {A}}}$هو نفي ، حيث يتم كتابة الخط العلوي فوق المصطلحات المراد نفيها،${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle \land }$هو عامل الربط المنطقي (AND)،
• ${\displaystyle \lor }$هو عامل الفصل المنطقي (OR).

والتي يمكن تعميمها على

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A_{1}\land A_{2}\land \ldots \land A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\lor {\overline {A_{2}}}\lor \ldots \lor {\overline {A_{n}}},\\{\overline {A_{1}\lor A_{2}\lor \ldots \lor A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\land {\overline {A_{2}}}\land \ldots \land {\overline {A_{n}}}.\end{aligned}}}$

في الهندسة الكهربائية والحاسوبية ، تُكتب قوانين دي مورجان عادةً على النحو التالي:

${\displaystyle {\overline {(A\cdot B)}}\equiv ({\overline {A}}+{\overline {B}})}$

و

${\displaystyle {\overline {(A+B)}}\equiv ({\overline {A}}\cdot {\overline {B}}),}$

أين:

• ${\displaystyle \cdot }$هو المنطقي AND،
• ${\displaystyle +}$هو أو المنطقي،
• الشريط العلوي هو NOT المنطقي لما هو أسفل الشريط العلوي.

تنطبق قوانين دي مورجان عادةً على البحث عن النصوص باستخدام العوامل المنطقية AND وOR وNOT. لنفترض أن مجموعة من المستندات تحتوي على الكلمتين "قطط" و"كلاب". تنص قوانين دي مورجان على أن عمليتي البحث هاتين ستعيدان نفس مجموعة المستندات:

البحث أ: ليس (القطط أو الكلاب)

البحث ب: (ليس القطط) و (ليس الكلاب)

يمكن تمثيل مجموعة المستندات التي تحتوي على "قطط" أو "كلاب" بأربعة مستندات:

المستند 1: يحتوي فقط على كلمة "قطط".

المستند 2: يحتوي فقط على "الكلاب".

المستند 3: يحتوي على كل من "القطط" و"الكلاب".

المستند رقم 4: لا يحتوي على "قطط" أو "كلاب".

لتقييم البحث أ، من الواضح أن البحث "(قطط أو كلاب)" سيؤثر على المستندات 1 و2 و3. لذا فإن نفي هذا البحث (وهو البحث أ) سيؤثر على كل شيء آخر، وهو المستند 4.

عند تقييم البحث B، فإن البحث "(NOT cats)" سيظهر على المستندات التي لا تحتوي على "cats"، وهي المستندات 2 و4. وعلى نحو مماثل، فإن البحث "(NOT dogs)" سيظهر على المستندات 1 و4. وعند تطبيق عامل AND على عمليتي البحث هاتين (وهي البحث B) سيظهر على المستندات المشتركة بين عمليتي البحث هاتين، وهي المستند 4.

يمكن تطبيق تقييم مماثل لإظهار أن عمليتي البحث التاليتين ستعيدان المستندات 1 و2 و4:

البحث ج: ليس (القطط والكلاب)،

بحث د: (ليس القطط) أو (ليس الكلاب).

سُميت القوانين على اسم أوغسطس دي مورجان (1806-1871)، ^[8] الذي قدم نسخة رسمية من القوانين إلى المنطق القياسي الكلاسيكي . تأثرت صياغة دي مورجان بجبر المنطق الذي قام به جورج بول ، والذي عزز لاحقًا مطالبة دي مورجان بالاكتشاف. ومع ذلك، أدلى أرسطو بملاحظة مماثلة ، وكانت معروفة للمنطقيين اليونانيين والعصور الوسطى. ^[9] على سبيل المثال، في القرن الرابع عشر، كتب ويليام الأوكامي الكلمات التي ستنتج عن قراءة القوانين. ^{[10] يصف} جان بوريدان ، في كتابه Summulae de Dialectica ، أيضًا قواعد التحويل التي تتبع خطوط قوانين دي مورجان. ^[11] ومع ذلك، يُنسب إلى دي مورجان الفضل في بيان القوانين بمصطلحات المنطق الرسمي الحديث، ودمجها في لغة المنطق. يمكن إثبات قوانين دي مورجان بسهولة، وقد تبدو تافهة حتى. ^[12] ومع ذلك، فإن هذه القوانين مفيدة في التوصل إلى استنتاجات صحيحة في البراهين والحجج الاستنتاجية.

يمكن تطبيق نظرية دي مورجان على نفي الانفصال أو نفي العطف في كل أو جزء من الصيغة.

في حالة تطبيقه على الانفصال، ضع في اعتبارك الادعاء التالي: "من الخطأ أن يكون أي من A أو B صحيحًا"، والذي يُكتب على النحو التالي:

${\displaystyle \neg (A\lor B).}$

وبما أنه ثبت أن أ ولا ب صحيحان، فإنه يجب أن يتبع ذلك أن أ ليست صحيحة وب ليست صحيحة، وهو ما يمكن كتابته مباشرة على النحو التالي:

${\displaystyle (\neg A)\wedge (\neg B).}$

إذا كان أي من A أو B صحيحًا، فإن فصل A وB سيكون صحيحًا، مما يجعل نفيه خاطئًا. إذا قدمنا ​​ذلك بالإنجليزية، فإنه يتبع المنطق القائل بأن "بما أن شيئين كلاهما خاطئ، فمن الخطأ أيضًا أن يكون أي منهما صحيحًا".

بالعمل في الاتجاه المعاكس، يؤكد التعبير الثاني أن A خاطئ وB خاطئ (أو ما يعادله أن "ليس A" و"ليس B" صحيحان). وبمعرفة هذا، يجب أن يكون الفصل بين A وB خاطئًا أيضًا. وبالتالي يجب أن يكون نفي هذا الفصل صحيحًا، والنتيجة مطابقة للادعاء الأول.

إن تطبيق نظرية دي مورجان على الاقتران يشبه إلى حد كبير تطبيقها على الانفصال سواء من حيث الشكل أو المنطق. ولنتأمل الادعاء التالي: "من الخطأ أن يكون كل من A وB صحيحين"، والذي يُكتب على النحو التالي:

${\displaystyle \neg (A\land B).}$

لكي يكون هذا الادعاء صحيحًا، يجب أن يكون أحد أو كلا من A أو B خاطئًا، لأنه إذا كان كلاهما صحيحًا، فإن اقتران A وB سيكون صحيحًا، مما يجعل نفيه خاطئًا. وبالتالي، يجب أن يكون واحد (على الأقل) أو أكثر من A وB خاطئًا (أو على نحو مكافئ، يجب أن يكون واحد أو أكثر من "ليس A" و"ليس B" صحيحًا). يمكن كتابة هذا مباشرة على النحو التالي،

${\displaystyle (\neg A)\lor (\neg B).}$

إذا ما عرضنا هذا الأمر باللغة الإنجليزية، فإنه يتبع المنطق القائل بأنه "بما أنه من الخطأ أن يكون كلا الأمرين صحيحين، فلا بد أن يكون أحدهما على الأقل خاطئًا".

وباستخدام الاتجاه المعاكس مرة أخرى، يؤكد التعبير الثاني أن واحدًا على الأقل من "ليس أ" و"ليس ب" يجب أن يكون صحيحًا، أو على نحو مكافئ أن واحدًا على الأقل من أ و ب يجب أن يكون خاطئًا. وبما أن واحدًا على الأقل منهما يجب أن يكون خاطئًا، فإن اقترانهما سيكون خاطئًا أيضًا. وبالتالي فإن نفي هذا الاقتران يؤدي إلى تعبير صحيح، وهذا التعبير مطابق للادعاء الأول.

هنا نستخدم للإشارة إلى مكمل A، كما هو الحال أعلاه في § نظرية المجموعات والجبر البولياني. الإثبات الذي يتم إكماله في خطوتين عن طريق إثبات كل من و . ${\displaystyle {\overline {A}}}$${\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$${\displaystyle {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cap B}}}$

دع . ثم . ${\displaystyle x\in {\overline {A\cap B}}}$${\displaystyle x\not \in A\cap B}$

لأنه يجب أن يكون الأمر كذلك أو . ${\displaystyle A\cap B=\{\,y\ |\ y\in A\wedge y\in B\,\}}$${\displaystyle x\not \in A}$${\displaystyle x\not \in B}$

إذا ، إذن ، إذن . ${\displaystyle x\not \in A}$${\displaystyle x\in {\overline {A}}}$${\displaystyle x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

وبالمثل، إذا ، إذن ، إذن . ${\displaystyle x\not \in B}$${\displaystyle x\in {\overline {B}}}$${\displaystyle x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

هكذا، ؛ ${\displaystyle \forall x{\Big (}x\in {\overline {A\cap B}}\implies x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}{\Big )}}$

إنه، . ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

ولإثبات الاتجاه المعاكس، نفترض ، وللتناقض نفترض . ${\displaystyle x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$${\displaystyle x\not \in {\overline {A\cap B}}}$

وبناءً على هذا الافتراض، فلا بد أن تكون الحالة هي أن ، ${\displaystyle x\in A\cap B}$

لذلك يتبع ذلك أن و ، وبالتالي و . ${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle x\in B}$${\displaystyle x\not \in {\overline {A}}}$${\displaystyle x\not \in {\overline {B}}}$

ومع ذلك، فهذا يعني ، على النقيض من الفرضية القائلة بأن ، ${\displaystyle x\not \in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$${\displaystyle x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

لذلك، لا بد أن الافتراض لا يجب أن يكون صحيحا، بمعنى أن . ${\displaystyle x\not \in {\overline {A\cap B}}}$${\displaystyle x\in {\overline {A\cap B}}}$

لذلك، ، ${\displaystyle \forall x{\Big (}x\in {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\implies x\in {\overline {A\cap B}}{\Big )}}$

إنه، . ${\displaystyle {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cap B}}}$

إذا و ، إذن ؛ وهذا يختتم إثبات قانون دي مورجان. ${\displaystyle {\overline {A}}\cup {\overline {B}}\subseteq {\overline {A\cap B}}}$ ${\displaystyle {\overline {A\cap B}}\subseteq {\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$${\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}}$

تم إثبات قانون دي مورجان الآخر، بطريقة مماثلة.${\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}}$

في امتدادات المنطق القياسي الكلاسيكي، لا تزال الثنائية قائمة (أي أنه يمكن دائمًا العثور على ثنائي أي عامل منطقي)، لأنه في وجود الهويات التي تحكم النفي، يمكن للمرء دائمًا تقديم عامل هو ثنائي دي مورجان لآخر. يؤدي هذا إلى خاصية مهمة للمنطق القائم على المنطق الكلاسيكي ، وهي وجود أشكال طبيعية للنفي : أي صيغة تعادل صيغة أخرى حيث تحدث النفيات فقط عند تطبيقها على الذرات غير المنطقية للصيغة. إن وجود أشكال طبيعية للنفي يحرك العديد من التطبيقات، على سبيل المثال في تصميم الدوائر الرقمية ، حيث يتم استخدامها للتلاعب بأنواع البوابات المنطقية ، وفي المنطق الرسمي، حيث تكون هناك حاجة لإيجاد الشكل الطبيعي العطفي والشكل الطبيعي المنفصل لصيغة. يستخدمها مبرمجو الكمبيوتر لتبسيط أو نفي الشروط المنطقية المعقدة بشكل صحيح . كما أنها مفيدة غالبًا في العمليات الحسابية في نظرية الاحتمالات الأولية .

لنفرض أن الثنائي لأي عامل اقتراحي P( p , q , ...) يعتمد على الاقتراحات الأولية p , q , ... ليكون العامل المحدد بواسطة ${\displaystyle {\mbox{P}}^{d}}$

${\displaystyle {\mbox{P}}^{d}(p,q,...)=\neg P(\neg p,\neg q,\dots ).}$

يمكن تعميم هذه الثنائية على الكميات، على سبيل المثال ، الكمي العالمي والكمي الوجودي هما ثنائيات:

${\displaystyle \forall x\,P(x)\equiv \neg [\exists x\,\neg P(x)]}$

${\displaystyle \exists x\,P(x)\equiv \neg [\forall x\,\neg P(x)]}$

لربط ثنائيات الكم هذه بقوانين دي مورجان، قم بإعداد نموذج يحتوي على عدد صغير من العناصر في مجاله D ، مثل

د = { أ ، ب ، ج }.

ثم

${\displaystyle \forall x\,P(x)\equiv P(a)\land P(b)\land P(c)}$

و

${\displaystyle \exists x\,P(x)\equiv P(a)\lor P(b)\lor P(c).}$

ولكن باستخدام قوانين دي مورجان،

${\displaystyle P(a)\land P(b)\land P(c)\equiv \neg (\neg P(a)\lor \neg P(b)\lor \neg P(c))}$

و

${\displaystyle P(a)\lor P(b)\lor P(c)\equiv \neg (\neg P(a)\land \neg P(b)\land \neg P(c)),}$

التحقق من ثنائيات الكم في النموذج.

ومن ثم، يمكن توسيع ثنائيات الكم إلى المنطق النمطي ، من خلال ربط مشغلي الصندوق ("ضروريًا") والمعين ("ربما"):

${\displaystyle \Box p\equiv \neg \Diamond \neg p,}$

${\displaystyle \Diamond p\equiv \neg \Box \neg p.}$

وفي تطبيقه على الوسائط الحقيقية للإمكانية والضرورة، لاحظ أرسطو هذه الحالة، وفي حالة المنطق النمطي العادي ، يمكن فهم علاقة هذه المشغلات النمطية بالكمية من خلال إعداد نماذج باستخدام دلالات كريبك .

ثلاثة من بين أربعة استنتاجات لقوانين دي مورجان تنطبق على المنطق الحدسي . على وجه التحديد، لدينا

${\displaystyle \neg (P\lor Q)\,\leftrightarrow \,{\big (}(\neg P)\land (\neg Q){\big )},}$

و

${\displaystyle {\big (}(\neg P)\lor (\neg Q){\big )}\,\to \,\neg (P\land Q).}$

إن عكس الاستنتاج الأخير لا ينطبق على المنطق الحدسي المحض. أي أن فشل الاقتراح المشترك لا يمكن حله بالضرورة إلى فشل أي من الاقترانين . على سبيل المثال، من معرفة أنه ليس من الممكن أن يكون كل من أليس وبوب قد حضرا في موعدهما، لا يتبع ذلك من لم يحضر. المبدأ الأخير يعادل مبدأ الوسط الضعيف المستبعد . ${\displaystyle P\land Q}$ ${\displaystyle {\mathrm {WPEM} }}$

${\displaystyle (\neg P)\lor \neg (\neg P).}$

يمكن استخدام هذا الشكل الضعيف كأساس لمنطق وسيط . للحصول على نسخة محسنة من القانون الفاشل المتعلق بالعبارات الوجودية، انظر مبدأ العلم بكل شيء الأقل محدودية ، والذي يختلف مع ذلك عن . ${\displaystyle {\mathrm {LLPO} }}$${\displaystyle {\mathrm {WLPO} }}$

تظل صحة قوانين دي مورجان الثلاثة الأخرى صحيحة إذا تم استبدال النفي بالاستدلال على مسند ثابت تعسفي C، مما يعني أن القوانين المذكورة أعلاه لا تزال صحيحة في المنطق الأدنى . ${\displaystyle \neg P}$${\displaystyle P\to C}$

على نحو مماثل لما ورد أعلاه، قوانين الكم:

${\displaystyle \forall x\,\neg P(x)\,\leftrightarrow \,\neg \exists x\,P(x)}$

و

${\displaystyle \exists x\,\neg P(x)\,\to \,\neg \forall x\,P(x).}$

إنها تكرارات حتى في المنطق البسيط حيث يتم استبدال النفي بالاستدلال على ثابت ، في حين أن العكس من القانون الأخير ليس من الضروري أن يكون صحيحًا بشكل عام. ${\displaystyle Q}$

علاوة على ذلك، لا يزال هناك واحد

${\displaystyle (P\lor Q)\,\to \,\neg {\big (}(\neg P)\land (\neg Q){\big )},}$

${\displaystyle (P\land Q)\,\to \,\neg {\big (}(\neg P)\lor (\neg Q){\big )},}$

${\displaystyle \forall x\,P(x)\,\to \,\neg \exists x\,\neg P(x),}$

${\displaystyle \exists x\,P(x)\,\to \,\neg \forall x\,\neg P(x),}$

لكن عكسهم يعني استبعاد الوسط .${\displaystyle {\mathrm {PEM} }}$

• تُستخدم قوانين دي مورجان على نطاق واسع في هندسة الكمبيوتر والمنطق الرقمي لغرض تبسيط تصميمات الدوائر. ^[13]
• في لغات البرمجة الحديثة، وبسبب تحسين المترجمين والمفسرين، فإن الاختلافات في الأداء بين هذه الخيارات لا تذكر أو غائبة تمامًا.

• ثنائية الوصل والانفصال
• التجانس (اللغويات)
• التماثل الشكلي
• قائمة مواضيع الجبر البولياني
• قائمة الهويات والعلاقات المحددة
• المنطق الإيجابي

• "مبدأ الثنائية"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• وايسستين، إريك دبليو. “قوانين دي مورغان”. عالم الرياضيات .
• قوانين دي مورجان في PlanetMath .
• الثنائية في المنطق واللغة، موسوعة الفلسفة على الإنترنت .