منطق

يُستخدم المنطق الصوري (المعروف أيضًا بالمنطق الرمزي ) على نطاق واسع في المنطق الرياضي . وهو يستخدم منهجًا صوريًا لدراسة الاستدلال، حيث يستبدل التعبيرات الملموسة برموز مجردة لفحص الشكل المنطقي للحجج بمعزل عن محتواها الملموس. وبهذا المعنى، فهو محايد موضوعيًا لأنه يهتم فقط بالبنية المجردة للحجج وليس بمحتواها الملموس. ^{[ 10 ]}

يهتم المنطق الصوري بالحجج الاستنتاجية الصحيحة ، التي يضمن صدق مقدماتها صدق نتيجتها. وهذا يعني أنه يستحيل أن تكون المقدمات صحيحة والنتيجة خاطئة. ^{[ 11 ]} بالنسبة للحجج الصحيحة، يتبع البناء المنطقي الذي يقود من المقدمات إلى النتيجة نمطًا يُسمى قاعدة الاستدلال . ^{[ 12 ]} على سبيل المثال، قاعدة الاستدلال (modus ponens) هي قاعدة استدلال تُعتبر بموجبها جميع الحجج من الشكل "(1) ص، (2) إذا كان ص فإن ق، (3) إذن ق" صحيحة، بغض النظر عما يمثله المصطلحان ص وق . [ 13 ] بهذا المعنى ، يمكن تعريف المنطق الصوري بأنه علم ^{الاستدلالات الصحيحة .} وهناك تعريف بديل يرى المنطق على أنه دراسة الحقائق المنطقية . ^{[ 14 ]} تكون القضية صحيحة منطقيًا إذا كان صدقها يعتمد فقط على المصطلحات المنطقية المستخدمة فيها. هذا يعني أنها صحيحة في جميع العوالم الممكنة وتحت جميع تفسيرات مصطلحاتها غير المنطقية، مثل الادعاء "إما أنها تمطر، أو لا تمطر". ^{[ 15 ]} هذان التعريفان للمنطق الصوري ليسا متطابقين، ولكنهما مرتبطان ارتباطًا وثيقًا. على سبيل المثال، إذا كان الاستدلال من p إلى q صحيحًا استنتاجيًا، فإن الادعاء "إذا كان p فإن q " هو حقيقة منطقية. ^{[ 16 ]}   

يستخدم المنطق الصوري لغاتٍ صورية للتعبير عن الحجج وتحليلها وتوضيحها. ^{[ 17 ]} وعادةً ما يكون لهذه اللغات مفردات محدودة للغاية وقواعد نحوية دقيقة . تحدد هذه القواعد كيفية دمج رموزها لتكوين جمل، تُعرف بالصيغ السليمة . ^{[ 18 ]} هذه البساطة والدقة في المنطق الصوري تجعله قادرًا على صياغة قواعد استدلال دقيقة. فهي تحدد ما إذا كانت حجة معينة صحيحة أم لا. ^{[ 19 ]} ونظرًا لاعتماده على اللغة الصورية، لا يمكن دراسة حجج اللغة الطبيعية مباشرةً. بل يجب ترجمتها إلى لغة صورية قبل تقييم صحتها. ^{[ 20 ]}

يمكن استخدام مصطلح "المنطق" بمعنى مختلف قليلاً كاسم معدود. وبهذا المعنى، يُعرَّف المنطق بأنه نظام منطقي صوري. وتختلف أنواع المنطق فيما بينها من حيث قواعد الاستدلال التي تقبلها كقواعد صحيحة، واللغات الصورية المستخدمة للتعبير عنها. ^{[ 21 ]} منذ أواخر القرن التاسع عشر، طُرحت العديد من الأنظمة الصورية الجديدة. وهناك خلافات حول تعريف النظام الصوري كمنطق. ^{[ 22 ]} فعلى سبيل المثال، يُقترح أن الأنظمة الكاملة منطقيًا فقط ، مثل منطق الرتبة الأولى ، هي التي تُصنَّف كمنطق. ولهذه الأسباب، ينكر بعض المنظرين أن منطق الرتب العليا يُعد منطقًا بالمعنى الدقيق. ^{[ 23 ]}

عند فهم المنطق بمعناه الواسع، فإنه يشمل المنطق الصوري وغير الصوري. ^{[ 24 ]} يستخدم المنطق غير الصوري معايير ومقاييس غير رسمية لتحليل وتقييم صحة الحجج، ويركز بشكل أساسي على الخطاب اليومي. ^{[ 25 ]} وقد حفزت صعوبات تطبيق رؤى المنطق الصوري على حجج اللغة الطبيعية تطوره. ^{[ 26 ]} وفي هذا الصدد، يتناول مشاكل يعجز المنطق الصوري وحده عن معالجتها. ^{[ 27 ]} يوفر كلا النوعين معايير لتقييم صحة الحجج وتمييزها عن المغالطات. ^{[ 28 ]}

طُرحت العديد من التوصيفات للمنطق غير الرسمي، لكن لا يوجد اتفاق عام على تعريفه الدقيق. ^{[ 29 ]} يرى النهج الأكثر حرفية أن مصطلحي "رسمي" و"غير رسمي" ينطبقان على اللغة المستخدمة للتعبير عن الحجج. وبناءً على هذا الرأي، يدرس المنطق غير الرسمي الحجج المكتوبة بلغة غير رسمية أو طبيعية. ^{[ 30 ]} لا يستطيع المنطق الرسمي فحصها إلا بشكل غير مباشر من خلال ترجمتها أولاً إلى لغة رسمية، بينما يبحثها المنطق غير الرسمي في شكلها الأصلي. ^{[ 31 ]} وفقًا لهذا الرأي، فإن الحجة "الطيور تطير. تويتي طائر. إذن، تويتي يطير." تنتمي إلى اللغة الطبيعية ويتم فحصها بواسطة المنطق غير الرسمي. لكن الترجمة الرسمية "(1)${\displaystyle \forall x.\mathrm {Bird} (x)\to \mathrm {Flies} (x)}$(2)${\displaystyle \mathrm {Bird} (\mathrm {تويتي} )}$(3)${\displaystyle \mathrm {الذباب} (\mathrm {تويتي} )}$تُدرس هذه المسألة من خلال المنطق الصوري. ^{[ 32 ]} وتواجه دراسة الحجج اللغوية الطبيعية صعوباتٍ عديدة. فعلى سبيل المثال، غالبًا ما تكون التعبيرات اللغوية الطبيعية غامضة، مبهمة، وتعتمد على السياق. ^{[ 33 ]} ويُعرّف نهجٌ آخر المنطق غير الرسمي تعريفًا واسعًا بأنه الدراسة المعيارية لمعايير ومقاييس وإجراءات الحجاج. وبهذا المعنى، يشمل هذا النهج أسئلةً حول دور العقلانية ، والتفكير النقدي ، وعلم نفس الحجاج. ^{[ 34 ]}

يُعرّف تعريف آخر المنطق غير الرسمي بدراسة الحجج غير الاستنتاجية. وبهذا، فهو يختلف عن الاستدلال الاستنتاجي الذي يدرسه المنطق الصوري. ^{[ 35 ]} تجعل الحجج غير الاستنتاجية النتيجة محتملة، لكنها لا تضمن صحتها. ومن الأمثلة على ذلك الحجة الاستقرائية من الملاحظة التجريبية القائلة بأن "جميع الغربان التي رأيتها حتى الآن سوداء" إلى النتيجة "جميع الغربان سوداء". ^{[ 36 ]}

ثمة منهج آخر يتمثل في تعريف المنطق غير الرسمي بأنه دراسة المغالطات غير الرسمية . ^{[ 37 ]} المغالطات غير الرسمية هي حجج خاطئة تتضمن أخطاءً في مضمونها وسياقها . [ ^{38 ] على} سبيل المثال، تنطوي المعضلة الزائفة على خطأ في المضمون باستبعاد خيارات قابلة للتطبيق. وهذا هو الحال في مغالطة "إما أن تكون معنا أو ضدنا؛ أنت لست معنا؛ إذن أنت ضدنا". ^{[ 39 ]} يرى بعض المنظرين أن المنطق الصوري يدرس الشكل العام للحجج، بينما يدرس المنطق غير الرسمي حالات محددة منها. وهناك منهج آخر يرى أن المنطق الصوري لا ينظر إلا في دور الثوابت المنطقية للاستدلالات الصحيحة، بينما يأخذ المنطق غير الرسمي في الاعتبار أيضًا معنى المفاهيم الجوهرية . وتركز مناهج أخرى على مناقشة المواضيع المنطقية باستخدام الأدوات الصورية أو بدونها، وعلى دور نظرية المعرفة في تقييم الحجج. ^{[ 40 ]}

يُعرَّف المنطق عادةً من حيث الحجج والاستدلالات بأنه دراسة صحتها. ^{[ 59 ]} الحجة هي مجموعة من المقدمات مع نتيجة. ^{[ 60 ]} والاستدلال هو عملية الاستدلال من هذه المقدمات إلى النتيجة. ^{[ 43 ]} ولكن غالبًا ما تُستخدم هذه المصطلحات بشكل متبادل في المنطق. تكون الحجج صحيحة أو خاطئة بناءً على ما إذا كانت مقدماتها تدعم نتيجتها. من ناحية أخرى، تكون المقدمات والنتائج صحيحة أو خاطئة بناءً على ما إذا كانت متوافقة مع الواقع. في المنطق الصوري، الحجة السليمة هي حجة صحيحة ولها مقدمات صحيحة فقط. ^{[ 61 ]} أحيانًا يُفرَّق بين الحجج البسيطة والمركبة. تتكون الحجة المركبة من سلسلة من الحجج البسيطة. هذا يعني أن نتيجة إحدى الحجج تعمل كمقدمة للحجج اللاحقة. لكي تكون الحجة المركبة ناجحة، يجب أن تكون كل حلقة من حلقات السلسلة ناجحة. ^{[ 43 ]}

الحجج والاستنتاجات إما صحيحة أو خاطئة. إذا كانت صحيحة، فإن مقدماتها تدعم استنتاجها. أما في حالة الخطأ، فيغيب هذا الدعم. ويمكن أن يتخذ الدعم أشكالًا مختلفة تبعًا لأنواع الاستدلال المختلفة . ^{[ 62 ]} يُعد الاستدلال الاستنتاجي أقوى أشكال الدعم . ولكن حتى الحجج غير الاستنتاجية قد تظل جيدة لأن مقدماتها تقدم دعمًا غير استنتاجي لاستنتاجاتها. في مثل هذه الحالات، يُستخدم مصطلح الاستدلال التوسعي أو الاستقرائي . ^{[ 63 ]} ترتبط الحجج الاستنتاجية بالمنطق الصوري، على عكس العلاقة بين الحجج التوسعية والمنطق غير الصوري. ^{[ 64 ]}

لا ترقى جميع الحجج إلى معايير الاستدلال الصحيح. وعندما لا ترقى إليها، يُشار إليها عادةً بالمغالطات . لا يكمن جوهرها في خطأ النتيجة بحد ذاتها، بل في وجود خلل ما في الاستدلال المؤدي إلى هذه النتيجة. ^{[ 84 ]} لذا، فإن الحجة القائلة "الجو مشمس اليوم؛ إذن للعناكب ثماني أرجل" مغالطة رغم صحة النتيجة. يقدم بعض المنظرين، مثل جون ستيوارت ميل ، تعريفًا أكثر تقييدًا للمغالطات، إذ يشترطون أيضًا أن تبدو صحيحة. ^{[ 85 ]} وبهذه الطريقة، يمكن التمييز بين المغالطات الحقيقية ومجرد أخطاء الاستدلال الناتجة عن الإهمال. وهذا يفسر ميل الناس إلى ارتكاب المغالطات: لوجود عنصر جاذب فيها يغريهم بارتكابها وقبولها. ^{[ 86 ]} مع ذلك، فإن هذا التشبيه بالمظاهر مثير للجدل، لأنه ينتمي إلى مجال علم النفس ، وليس المنطق، ولأن المظاهر قد تختلف من شخص لآخر. ^{[ 87 ]}

تُقسّم المغالطات عادةً إلى مغالطات صورية وغير صورية. ^{[ 38 ]} في المغالطات الصورية، يكمن مصدر الخطأ في شكل الحجة. على سبيل المثال، يُعدّ إنكار المقدم نوعًا من المغالطات الصورية، كما في: "إذا كان عطيل أعزبًا، فهو ذكر؛ عطيل ليس أعزبًا؛ إذن عطيل ليس ذكرًا". ^{[ 88 ]} لكن معظم المغالطات تندرج ضمن فئة المغالطات غير الصورية، والتي يُناقش تنوّعها الكبير في الأدبيات الأكاديمية. عادةً ما يكمن مصدر خطئها في محتوى الحجة أو سياقها . [ ^{89 ] تُصنّف} المغالطات غير الصورية أحيانًا إلى مغالطات الغموض، ومغالطات الافتراض، ومغالطات الملاءمة. في مغالطات الغموض، يُعزى عيبها إلى غموض اللغة الطبيعية وعدم وضوحها، كما في: "الريش فاتح؛ ما هو فاتح لا يمكن أن يكون داكنًا؛ إذن الريش لا يمكن أن يكون داكنًا". ^{[ 90 ]} مغالطات الافتراض تنطلق من مقدمة خاطئة أو غير مبررة، ولكنها قد تكون صحيحة في غير ذلك. ^{[ 91 ]} أما في حالة مغالطات عدم الصلة، فإن المقدمات لا تدعم النتيجة لأنها غير ذات صلة بها. ^{[ 92 ]}

ينصبّ تركيز معظم علماء المنطق على دراسة المعايير التي تُحدد صحة أو خطأ الحجة. ويُرتكب خطأ منطقي إذا ما تمّ انتهاك هذه المعايير. في حالة المنطق الصوري، تُعرف هذه المعايير بقواعد الاستدلال . ^{[ 93 ]} وهي قواعد تعريفية تُحدد صحة الاستدلال أو الاستدلالات المسموح بها. وتختلف القواعد التعريفية عن القواعد الاستراتيجية. تُحدد القواعد الاستراتيجية حركات الاستدلال اللازمة للوصول إلى نتيجة معينة بناءً على مجموعة من المقدمات. ولا يقتصر هذا التمييز على المنطق فحسب، بل يشمل الألعاب أيضًا. ففي الشطرنج ، على سبيل المثال، تنصّ القواعد التعريفية على أنه لا يجوز للفيل أن يتحرك إلا قطريًا. أما القواعد الاستراتيجية، فتصف كيفية استخدام الحركات المسموح بها للفوز باللعبة، على سبيل المثال، من خلال السيطرة على وسط الرقعة والدفاع عن الملك . ^{[ 94 ]} وقد قيل إن على علماء المنطق إيلاء المزيد من الاهتمام للقواعد الاستراتيجية نظرًا لأهميتها البالغة في الاستدلال الفعال. ^{[ 93 ]}

يتألف النظام المنطقي الصوري من لغة صورية ومجموعة من البديهيات ونظام إثبات يُستخدم لاستخلاص الاستدلالات من هذه البديهيات. ^{[ 95 ]} في المنطق، البديهيات هي عبارات تُقبل دون برهان، وتُستخدم لتبرير عبارات أخرى. ^{[ 96 ]} يُضيف بعض المنظرين أيضًا دلالات تُحدد كيفية ارتباط تعابير اللغة الصورية بالأشياء الواقعية. ^{[ 97 ]} منذ أواخر القرن التاسع عشر، تم اقتراح العديد من الأنظمة الصورية الجديدة. ^{[ 98 ]}

تتكون اللغة الرسمية من أبجدية وقواعد نحوية . الأبجدية هي مجموعة الرموز الأساسية المستخدمة في التعبيرات . تحدد القواعد النحوية كيفية ترتيب هذه الرموز للحصول على صيغ سليمة. ^{[ 99 ]} على سبيل المثال، تحدد القواعد النحوية لمنطق القضايا أن "${\displaystyle P\land Q}$" صيغة سليمة، لكن "${\displaystyle \land Q}$" ليس كذلك منذ العطف المنطقي${\displaystyle \land }$يتطلب شروطًا من كلا الجانبين. ^{[ 100 ]}

نظام البرهان هو مجموعة من القواعد لبناء براهين رسمية. وهو أداة للوصول إلى استنتاجات من مجموعة من البديهيات. تُعرَّف القواعد في نظام البرهان بدلالة الشكل النحوي للصيغ بغض النظر عن محتواها المحدد. على سبيل المثال، تنص القاعدة الكلاسيكية لإدخال العطف على أن${\displaystyle P\land Q}$يتبع ذلك من المبنى${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$يمكن تطبيق هذه القواعد بالتتابع، مما يوفر إجراءً آليًا لاستخلاص النتائج من المقدمات. توجد أنواع مختلفة من أنظمة البرهان، بما في ذلك الاستدلال الطبيعي وحسابات المتتابعات . ^{[ 101 ]}

الدلالات هي نظام لربط تعابير اللغة الرسمية بمعانيها. في العديد من أنظمة المنطق، تكون المعاني عبارة عن قيم صحيحة. على سبيل المثال، تُسند دلالات منطق القضايا الكلاسيكي الصيغة التالية:${\displaystyle P\land Q}$دلالة "صحيح" كلما${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$صحيح. من وجهة النظر الدلالية، تستلزم المقدمة نتيجة إذا كانت النتيجة صحيحة كلما كانت المقدمة صحيحة. ^{[ 102 ]}

يكون النظام المنطقي سليمًا عندما لا يستطيع نظام إثباته استخلاص نتيجة من مجموعة من المقدمات إلا إذا كانت هذه النتيجة متضمنة دلاليًا فيها. بعبارة أخرى، لا يمكن لنظام إثباته أن يؤدي إلى استنتاجات خاطئة، وفقًا لتعريف الدلالات. ويكون النظام كاملًا عندما يستطيع نظام إثباته استخلاص كل نتيجة متضمنة دلاليًا في مقدماته. بعبارة أخرى، يمكن لنظام إثباته أن يؤدي إلى أي نتيجة صحيحة، وفقًا لتعريف الدلالات. وهكذا، فإن الصلابة والكمال معًا يصفان نظامًا تتوافق فيه مفاهيم الصلاحية والاستلزام تمامًا. ^{[ 103 ]}

يشمل المنطق الأرسطي طيفًا واسعًا من المواضيع، بما في ذلك الأطروحات الميتافيزيقية حول التصنيفات الأنطولوجية ومشكلات التفسير العلمي. ولكن بمعناه الأضيق، فهو مطابق لمنطق المصطلحات أو القياس المنطقي. القياس المنطقي هو شكل من أشكال الحجة يتضمن ثلاث قضايا: مقدمتان ونتيجة. لكل قضية ثلاثة أجزاء أساسية: موضوع ، ومحمول، ورابطة تربط الموضوع بالمحمول. ^{[ 107 ]} على سبيل المثال، تتكون القضية "سقراط حكيم" من الموضوع "سقراط"، والمحمول "حكيم"، والرابطة "يكون". ^{[ 108 ]} الموضوع والمحمول هما مصطلحات القضية . لا يحتوي المنطق الأرسطي على قضايا مركبة تتكون من قضايا بسيطة. وهو يختلف في هذا الجانب عن منطق القضايا، حيث يمكن ربط أي قضيتين باستخدام رابط منطقي مثل "و" لتكوين قضية مركبة جديدة. ^{[ 109 ]}

في المنطق الأرسطي، يمكن أن يكون الموضوع كليًا أو جزئيًا أو غير محدد أو مفردًا . على سبيل المثال، يُعدّ مصطلح "جميع البشر" موضوعًا كليًا في القضية "جميع البشر فانون". ويمكن صياغة قضية مماثلة باستبداله بالمصطلح الجزئي "بعض البشر"، أو المصطلح غير المحدد "إنسان"، أو المصطلح المفرد "سقراط". ^{[ 110 ]}

يقتصر المنطق الأرسطي على المحمولات التي تصف الخصائص البسيطة للكيانات، ولكنه يفتقر إلى المحمولات التي تصف العلاقات بين الكيانات. ^{[ 111 ]} يمكن ربط المحمول بالموضوع بطريقتين: إما بإثباته أو بنفيه. ^{[ 112 ]} على سبيل المثال، تتضمن القضية "سقراط ليس قطًا" نفي المحمول "قط" عن الموضوع "سقراط". وباستخدام تركيبات من الموضوعات والمحمولات، يمكن تكوين مجموعة واسعة من القضايا والقياسات المنطقية. وتتميز القياسات المنطقية بأن المقدمات مرتبطة ببعضها البعض وبالنتيجة من خلال اشتراكها في حد واحد في كل حالة. ^{[ 113 ]} وبالتالي، تحتوي هذه القضايا الثلاث على ثلاثة حدود، تُسمى الحد الأكبر ، والحد الأصغر ، والحد الأوسط . ^{[ 114 ]} يتمثل الجانب المركزي في المنطق الأرسطي في تصنيف جميع القياسات المنطقية الممكنة إلى حجج صحيحة وغير صحيحة وفقًا لكيفية تكوين القضايا. ^{[ 112 ] [ 115 ]} على سبيل المثال، القياس المنطقي "كل البشر فانون؛ سقراط بشر؛ إذن سقراط فانٍ" صحيح. أما القياس المنطقي "كل القطط فانية؛ سقراط فانٍ؛ إذن سقراط قط" فهو غير صحيح. ^{[ 116 ]}

يختلف المنطق الكلاسيكي عن المنطق التقليدي أو الأرسطي. فهو يشمل منطق القضايا ومنطق الرتبة الأولى. ويُعدّ "كلاسيكيًا" لأنه يستند إلى بديهيات منطقية أساسية يشترك فيها معظم علماء المنطق. ^{[ 117 ]} تشمل هذه البديهيات قانون الوسط المرفوع ، وحذف النفي المزدوج ، ومبدأ الانفجار ، وثنائية الحقيقة. ^{[ 118 ]} وقد طُوّر في الأصل لتحليل الحجج الرياضية، ولم يُطبّق على مجالات أخرى إلا لاحقًا. وبسبب هذا التركيز على الرياضيات، فإنه لا يتضمن مصطلحات منطقية ذات صلة بالعديد من المواضيع الأخرى ذات الأهمية الفلسفية. ومن أمثلة المفاهيم التي يتجاهلها: التباين بين الضرورة والإمكانية، ومشكلة الالتزام الأخلاقي والإذن. وبالمثل، فهو لا يتناول العلاقات بين الماضي والحاضر والمستقبل. ^{[ 119 ]} وتتناول المنطق الموسّع هذه القضايا. فهو يبني على البديهيات الأساسية للمنطق الكلاسيكي، ويُوسّعه من خلال إدخال مصطلحات منطقية جديدة. وبهذه الطريقة، يتم تطبيق النهج المنطقي الدقيق على مجالات مثل الأخلاق أو نظرية المعرفة التي تقع خارج نطاق الرياضيات. ^{[ 120 ]}

منطق الرتبة الأولى

يتضمن منطق الرتبة الأولى نفس الروابط المنطقية الموجودة في منطق القضايا، ولكنه يختلف عنه في أنه يُفصّل البنية الداخلية للقضايا. ويتحقق ذلك من خلال أدوات مثل المصطلحات المفردة، التي تشير إلى أشياء محددة، والمسندات ، التي تشير إلى الخصائص والعلاقات، والمكممات، التي تتعامل مع مفاهيم مثل "بعض" و"كل". ^{[ 123 ]} على سبيل المثال، للتعبير عن القضية "هذا الغراب أسود"، يمكن استخدام المسند${\displaystyle B}$بالنسبة للخاصية "الأسود" والمصطلح المفرد${\displaystyle r}$يشير إلى الغراب لتكوين التعبير${\displaystyle B(r)}$للتعبير عن أن بعض الأشياء سوداء، فإن المُكمِّم الوجودي${\displaystyle \exists }$يتم دمجها مع المتغير${\displaystyle x}$لتكوين الاقتراح${\displaystyle \exists xB(x)}$يحتوي منطق الرتبة الأولى على قواعد استدلال متنوعة تحدد كيفية تشكيل التعبيرات المُصاغة بهذه الطريقة لحجج صحيحة، على سبيل المثال، التي يمكن استنتاجها${\displaystyle \exists xB(x)}$من${\displaystyle B(r)}$[ ^{124 ]​}

^{المنطق الموسع هو نظام} منطقي يقبل المبادئ الأساسية للمنطق الكلاسيكي. وهو يُدخل رموزًا ومبادئ إضافية لتطبيقه على مجالات مثل الميتافيزيقا والأخلاق ونظرية المعرفة . [ ^{125 ]}

المنطق المنحرف هو نظام منطقي يرفض بعض البديهيات الأساسية للمنطق الكلاسيكي. ولهذا السبب، يُنظر إليه عادةً لا كمكمل له، بل كمنافس له. وتختلف الأنظمة المنطقية المنحرفة عن بعضها البعض إما لأنها ترفض بديهيات كلاسيكية مختلفة، أو لأنها تقترح بدائل مختلفة لنفس المسألة. ^{[ 134 ]}

المنطق الحدسي هو نسخة محدودة من المنطق الكلاسيكي. ^{[ 135 ]} يستخدم نفس الرموز ولكنه يستبعد بعض قواعد الاستدلال. على سبيل المثال، وفقًا لقانون حذف النفي المزدوج، إذا لم تكن الجملة غير صحيحة، فهي صحيحة. هذا يعني أن${\displaystyle A}$يتبع من${\displaystyle \lnot \lnot A}$هذه قاعدة استدلال صحيحة في المنطق الكلاسيكي، لكنها غير صحيحة في المنطق الحدسي. ومن المبادئ الكلاسيكية الأخرى التي لا تدخل ضمن المنطق الحدسي قانون الوسط المرفوع ، الذي ينص على أنه لكل جملة، إما أن تكون هي أو نفيها صحيحة. وهذا يعني أن كل قضية من هذا النوع${\displaystyle A\lor \lnot A}$صحيح. ^{[ 135 ]} تستند هذه الانحرافات عن المنطق الكلاسيكي إلى فكرة أن الحقيقة تُثبت بالتحقق باستخدام برهان. يبرز المنطق الحدسي بشكل خاص في مجال الرياضيات البنائية ، التي تُشدد على ضرورة إيجاد أو بناء مثال محدد لإثبات وجوده. ^{[ 136 ]}

تختلف المنطق متعدد القيم عن المنطق الكلاسيكي برفضها مبدأ الثنائية ، الذي يشترط أن تكون جميع القضايا إما صحيحة أو خاطئة. فعلى سبيل المثال، اقترح كل من يان لوكاسيفيتش وستيفن كول كلين منطقًا ثلاثيًا يتضمن قيمة صدق ثالثة تُشير إلى أن قيمة صدق العبارة غير محددة. ^{[ 137 ]} وقد طُبقت هذه المنطق في مجال اللغويات. أما المنطق الضبابي فهو منطق متعدد القيم يتضمن عددًا لا نهائيًا من "درجات الصدق"، والتي يُمثلها عدد حقيقي بين 0 و1. ^{[ 138 ]}

المنطق المتناقض هو نظام منطقي قادر على التعامل مع التناقضات. وقد صِيغ لتجنب مبدأ الانفجار: ففي هذا المنطق، لا يترتب على التناقض أي نتيجة. ^{[ 139 ]} وغالبًا ما يستند هذا المنطق إلى نظرية الدياليثية ، وهي الرؤية القائلة بأن التناقضات حقيقية أو أن الواقع نفسه متناقض. يُعد غراهام بريست من أبرز المؤيدين المعاصرين لهذا الموقف، ونُسبت آراء مماثلة إلى جورج فيلهلم فريدريش هيغل . ^{[ 140 ]}

يُمارس المنطق غير الرسمي عادةً بطريقة أقل منهجية. وغالبًا ما يركز على قضايا أكثر تحديدًا، مثل التحقيق في نوع معين من المغالطات أو دراسة جانب معين من جوانب الحجاج. ومع ذلك، فقد طُرحت أيضًا بعض أطر المنطق غير الرسمي التي تحاول تقديم توصيف منهجي لصحة الحجج. ^{[ 141 ]}

ينظر المنهج البراغماتي أو الحواري في المنطق غير الرسمي إلى الحجج باعتبارها أفعالًا كلامية ، لا مجرد مجموعة من المقدمات مع نتيجة. ^{[ 142 ]} وباعتبارها أفعالًا كلامية، فإنها تحدث في سياق معين، كالحوار ، مما يؤثر على معايير صحة الحجج وخطئها. ^{[ 143 ]} ويُفهم الحوار، في نسخة بارزة لدوجلاس ن. والتون، على أنه لعبة بين لاعبين. يتميز الموقف الابتدائي لكل لاعب بالمقترحات التي يلتزم بها والنتيجة التي ينوي إثباتها. الحوارات هي ألعاب إقناع: هدف كل لاعب هو إقناع خصمه بنتيجته. ^{[ 144 ]} ويتحقق ذلك من خلال تقديم الحجج: فالحجج هي تحركات اللعبة. ^{[ 145 ]} وهي تؤثر على المقترحات التي يلتزم بها اللاعبون. والخطوة الرابحة هي حجة ناجحة تتخذ التزامات الخصم كمقدمات، وتُبين كيف تتبع النتيجة الخاصة باللاعب منها. وهذا عادةً لا يكون ممكنًا مباشرةً. لهذا السبب، من الضروري عادةً صياغة سلسلة من الحجج كخطوات وسيطة، تُقرّب كلٌّ منها الخصم قليلاً من النتيجة المرجوة. وإلى جانب هذه الحجج الإيجابية التي تُقرّب المرء من النصر، توجد أيضاً حجج سلبية تمنع انتصار الخصم برفضها لنتيجته. ^{[ 144 ]} وتعتمد صحة الحجة على مدى مساهمتها في تقدم الحوار. أما المغالطات، فهي انتهاكات لقواعد الحجاج السليمة. ^{[ 146 ]} وتختلف هذه القواعد أيضاً باختلاف نوع الحوار. فعلى سبيل المثال، تختلف القواعد التي تحكم الخطاب العلمي عن تلك التي تحكم المفاوضات التجارية. ^{[ 147 ]}

من ناحية أخرى، يركز المنهج المعرفي للمنطق غير الرسمي على الدور المعرفي للحجج. ^{[ 148 ]} وهو يقوم على فكرة أن الحجج تهدف إلى زيادة معرفتنا. ويتحقق ذلك من خلال ربط المعتقدات المُبرَّرة بالمعتقدات التي لم تُبرَّر بعد. ^{[ 149 ]} تنجح الحجج الصحيحة في توسيع المعرفة، بينما تُعدّ المغالطات إخفاقات معرفية: فهي لا تُبرِّر الاعتقاد في نتيجتها. ^{[ 150 ]} على سبيل المثال، تُعدّ مغالطة مصادرة المطلوب مغالطة لأنها لا تُقدِّم تبريرًا مستقلًا لنتيجتها، على الرغم من صحتها الاستنتاجية. ^{[ 151 ]} وبهذا المعنى، تتلخص المعيارية المنطقية في النجاح المعرفي أو العقلانية. ^{[ 149 ]} يُعدّ المنهج البايزي مثالًا على المنهج المعرفي. ^{[ 152 ]} لا يقتصر جوهر المنهج البايزي على ما إذا كان الفاعل يعتقد شيئًا ما، بل يتعداه إلى درجة اعتقاده به، أي ما يُسمى بالثقة . تُعتبر درجات الاعتقاد احتمالات ذاتية في القضية المُعتقد بها، أي مدى يقين الفرد بصحة تلك القضية. ^{[ 153 ]} وبناءً على هذا الرأي، يُمكن تفسير الاستدلال على أنه عملية تغيير للمعتقدات، غالبًا كرد فعل على معلومات جديدة واردة. ^{[ 154 ]} ويخضع الاستدلال الصحيح والحجج التي يستند إليها لقوانين الاحتمالات، مثل مبدأ الشرطية . أما الاستدلال الخاطئ أو غير العقلاني، فيُخالف هذه القوانين. ^{[ 155 ]}

فلسفة المنطق هي فرع من فروع الفلسفة يدرس نطاق المنطق وطبيعته. ^{[ 59 ]} وهي تبحث في العديد من الافتراضات الضمنية في المنطق، مثل كيفية تعريف مفاهيمه الأساسية أو الافتراضات الميتافيزيقية المرتبطة بها. ^{[ 158 ]} كما تهتم بكيفية تصنيف الأنظمة المنطقية وتدرس الالتزامات الأنطولوجية المترتبة عليها. ^{[ 159 ]} يُعد المنطق الفلسفي أحد فروع فلسفة المنطق، حيث يدرس تطبيق المناهج المنطقية على المشكلات الفلسفية في مجالات مثل الميتافيزيقا والأخلاق ونظرية المعرفة. ^{[ 160 ]} وعادةً ما يتم هذا التطبيق في شكل أنظمة منطقية موسعة أو شاذة . ^{[ 161 ]}

علم ما وراء المنطق هو مجال بحثي يدرس خصائص الأنظمة المنطقية الصورية. فعلى سبيل المثال، عند تطوير نظام صوري جديد، قد يدرسه علماء ما وراء المنطق لتحديد الصيغ التي يمكن إثباتها فيه. وقد يدرسون أيضًا إمكانية تطوير خوارزمية لإيجاد برهان لكل صيغة، وما إذا كانت كل صيغة قابلة للإثبات فيه تمثل تحصيل حاصل. وأخيرًا، قد يقارنونه بأنظمة منطقية أخرى لفهم سماته المميزة. وتتمثل إحدى القضايا الرئيسية في علم ما وراء المنطق في العلاقة بين النحو والدلالة. فقواعد النحو في النظام الصوري تحدد كيفية استنتاج النتائج من المقدمات، أي كيفية صياغة البراهين. أما دلالات النظام الصوري فتحدد الجمل الصحيحة والجمل الخاطئة. وهذا يحدد صحة الحجج، إذ يستحيل في الحجج الصحيحة أن تكون المقدمات صحيحة والنتيجة خاطئة. وتتعلق العلاقة بين النحو والدلالة بقضايا مثل ما إذا كانت كل حجة صحيحة قابلة للإثبات، وما إذا كانت كل حجة قابلة للإثبات صحيحة. يدرس علماء ما وراء المنطق أيضًا ما إذا كانت الأنظمة المنطقية كاملة وسليمة ومتسقة . ويهتمون بمعرفة ما إذا كانت هذه الأنظمة قابلة للتقرير وما هي قدرتها التعبيرية . ويعتمد علماء ما وراء المنطق عادةً بشكل كبير على الاستدلال الرياضي المجرد عند فحص وصياغة البراهين ما وراء المنطقية. وبهذه الطريقة، يهدفون إلى التوصل إلى استنتاجات دقيقة وعامة حول هذه المواضيع. ^{[ 162 ]}

يُستخدم مصطلح "المنطق الرياضي" أحيانًا كمرادف لمصطلح "المنطق الصوري". ولكن بمعناه الأضيق، يشير إلى دراسة المنطق ضمن الرياضيات. وتشمل فروعه الرئيسية نظرية النماذج ، ونظرية البرهان ، ونظرية المجموعات ، ونظرية الحوسبة . ^{[ 164 ]} يتناول البحث في المنطق الرياضي عادةً الخصائص الرياضية للأنظمة المنطقية الصورية. ومع ذلك، يمكن أن يشمل أيضًا محاولات استخدام المنطق لتحليل الاستدلال الرياضي أو لإرساء أسس منطقية للرياضيات . ^{[ 165 ]} كان هذا الأخير شاغلًا رئيسيًا في المنطق الرياضي في أوائل القرن العشرين، والذي اتبع برنامج المنطقية الذي رياده فلاسفة منطقيون مثل غوتلوب فريجه، وألفريد نورث وايتهيد ، وبرتراند راسل . كان يُفترض أن تكون النظريات الرياضية تحصيل حاصل منطقي ، وكان برنامجهم يهدف إلى إثبات ذلك من خلال اختزال الرياضيات إلى منطق. فشلت العديد من المحاولات لتحقيق هذا البرنامج، بدءًا من إعاقة مشروع فريجه في كتابه Grundgesetze بواسطة مفارقة راسل ، وصولًا إلى هزيمة برنامج هيلبرت بواسطة نظريات عدم الاكتمال لغودل . ^{[ 166 ]}

نشأت نظرية المجموعات من دراسة اللانهاية على يد جورج كانتور ، وكانت مصدرًا للعديد من القضايا الأكثر تحديًا وأهمية في المنطق الرياضي. وتشمل هذه القضايا نظرية كانتور ، ومكانة بديهية الاختيار ، ومسألة استقلال فرضية الاستمرارية ، والنقاش الحديث حول بديهيات الأعداد الكبيرة . ^{[ 167 ]}

نظرية الحوسبة هي فرع من فروع المنطق الرياضي يدرس الإجراءات الفعالة لحل مسائل الحساب. أحد أهدافها الرئيسية هو فهم إمكانية حل مسألة معينة باستخدام خوارزمية. على سبيل المثال، عند وجود ادعاء معين حول الأعداد الصحيحة الموجبة، تبحث هذه النظرية فيما إذا كان بالإمكان إيجاد خوارزمية لتحديد صحة هذا الادعاء. تستخدم نظرية الحوسبة أدوات ونماذج نظرية متنوعة، مثل آلات تورينج ، لاستكشاف هذا النوع من المسائل. ^{[ 168 ]}

المنطق الحسابي هو فرع من فروع المنطق وعلوم الحاسوب يدرس كيفية تطبيق الاستدلال الرياضي والصيغ المنطقية باستخدام الحواسيب. ويشمل ذلك، على سبيل المثال، برامج إثبات النظريات الآلية ، التي تستخدم قواعد الاستدلال لبناء برهان خطوة بخطوة من مجموعة من المقدمات إلى النتيجة المرجوة دون تدخل بشري. ^{[ 169 ]} صُممت لغات البرمجة المنطقية خصيصًا للتعبير عن الحقائق باستخدام الصيغ المنطقية واستخلاص النتائج منها. على سبيل المثال، لغة برولوج هي لغة برمجة منطقية تعتمد على منطق المسندات. ^{[ 170 ]} كما يطبق علماء الحاسوب مفاهيم من المنطق على مشاكل الحوسبة. وكان لأعمال كلود شانون تأثير كبير في هذا الصدد، حيث بيّن كيف يمكن استخدام المنطق البولياني لفهم وتنفيذ دوائر الحاسوب. ^{[ 171 ]} ويمكن تحقيق ذلك باستخدام البوابات المنطقية الإلكترونية ، أي الدوائر الإلكترونية ذات مدخل واحد أو أكثر ومخرج واحد عادةً. وتُمثل قيم الصواب للقضايا بمستويات الجهد. وبهذه الطريقة، يمكن محاكاة الوظائف المنطقية عن طريق تطبيق الفولتيات المناسبة على مدخلات الدائرة وتحديد قيمة الوظيفة عن طريق قياس جهد الخرج. ^{[ 172 ]}

علم الدلالة الصورية هو فرع من فروع المنطق واللغويات وفلسفة اللغة . يدرس هذا العلم معنى اللغة، مستخدمًا أدوات صورية من مجالات المنطق الرمزي والرياضيات لتقديم نظريات دقيقة حول معنى تعابير اللغة الطبيعية . يفهم هذا العلم المعنى عادةً من خلال ربطه بشروط الصدق ، أي أنه يدرس الحالات التي تكون فيها الجملة صحيحة أو خاطئة. أحد افتراضاته المنهجية الأساسية هو مبدأ التركيبية ، الذي ينص على أن معنى التعبير المركب يتحدد بمعاني أجزائه وكيفية تركيبها. على سبيل المثال، يعتمد معنى عبارة الفعل "يمشي ويغني" على معاني التعبيرين "يمشي" و"يغني". تعتمد العديد من نظريات علم الدلالة الصورية على نظرية النماذج، أي أنها تستخدم نظرية المجموعات لبناء نموذج، ثم تفسر معاني التعبيرات في ضوء عناصر هذا النموذج. على سبيل المثال، يمكن تفسير مصطلح "يمشي" على أنه مجموعة جميع الأفراد في النموذج الذين يشتركون في خاصية المشي. كان من أوائل المنظرين المؤثرين في هذا المجال ريتشارد مونتاجو وباربرا بارتي ، اللذان ركزا تحليلهما على اللغة الإنجليزية. ^{[ 173 ]}

تدرس نظرية المعرفة في المنطق كيفية معرفة صحة الحجة أو صحة القضية منطقيًا. ^{[ 174 ]} ويشمل ذلك أسئلة مثل كيفية تبرير صحة قاعدة الاستدلال (modus ponens) أو نفي صحة التناقضات. ^{[ 175 ]} ويُعتبر الرأي السائد تقليديًا أن هذا النوع من الفهم المنطقي ينتمي إلى المعرفة القبلية . ^{[ 176 ]} وفي هذا الصدد، يُقال غالبًا إن للعقل قدرة خاصة على فحص العلاقات بين الأفكار المجردة، وأن هذه القدرة مسؤولة أيضًا عن إدراك الحقائق المنطقية. ^{[ 177 ]} ويفهم نهج مماثل قواعد المنطق من منظور الاصطلاحات اللغوية . وبناءً على هذا الرأي، تُعدّ قوانين المنطق بديهية لأنها صحيحة بحكم تعريفها: فهي ببساطة تُعبّر عن معاني المفردات المنطقية. ^{[ 178 ]}

يعترض بعض المنظرين، مثل هيلاري بوتنام وبينيلوبي مادي ، على فكرة إمكانية معرفة المنطق مسبقًا. فهم يرون بدلًا من ذلك أن الحقائق المنطقية تعتمد على العالم التجريبي . وعادةً ما يُقترن هذا بالادعاء بأن قوانين المنطق تُعبّر عن انتظامات عالمية موجودة في السمات البنيوية للعالم. ووفقًا لهذا الرأي، يمكن استكشاف هذه القوانين من خلال دراسة الأنماط العامة للعلوم الأساسية . على سبيل المثال، قيل إن بعض رؤى ميكانيكا الكم تُفنّد مبدأ التوزيعية في المنطق الكلاسيكي، الذي ينص على أن الصيغة${\displaystyle A\land (B\lor C)}$يعادل${\displaystyle (A\land B)\lor (A\land C)}$يمكن استخدام هذا الادعاء كحجة تجريبية لفرضية أن المنطق الكمي هو النظام المنطقي الصحيح ويجب أن يحل محل المنطق الكلاسيكي. ^{[ 179 ]}