الازدواجية (الرياضيات)

تنشأ ثنائية بسيطة من خلال النظر في المجموعات الجزئية لمجموعة ثابتة S. لأي مجموعة جزئية A ⊆ S ، فإن مكملتها A ^∁ (والتي يُرمز لها أيضًا بـ S \ A ) تتكون من جميع العناصر الموجودة في S والتي لا تحتويها A. وهي بدورها مجموعة جزئية من S. يأخذ المكمل الخصائص التالية:

• إن تطبيقها مرتين يعيد المجموعة الأصلية، أي ( A ^∁ ) ^∁ = A. ويشار إلى ذلك بالقول إن عملية أخذ المتمم هي عملية عكسية .
• يتم تحويل تضمين المجموعات A ⊆ B إلى تضمين في الاتجاه المعاكس B ^∁ ⊆ A ^∁ .
• بالنظر إلى مجموعتين جزئيتين A و B من S ، فإن A موجودة في B ^∁ إذا وفقط إذا كانت B موجودة في A ^∁ .

تظهر هذه الازدواجية في علم الطوبولوجيا على شكل ازدواجية بين المجموعات المفتوحة والمغلقة في فضاء طوبولوجي ثابت X : تُعتبر المجموعة U من X مغلقة إذا وفقط إذا كانت مكملتها في X مفتوحة. ولهذا السبب، فإن العديد من النظريات المتعلقة بالمجموعات المغلقة تُعتبر ازدواجية لنظريات المجموعات المفتوحة. على سبيل المثال، أي اتحاد لمجموعات مفتوحة هو مجموعة مفتوحة، وبالتالي، فإن أي تقاطع لمجموعات مغلقة هو مجموعة مغلقة. [6] باطن المجموعة هو أكبر مجموعة مفتوحة تحتويها، وإغلاق ^{المجموعة هو أصغر} مجموعة مغلقة تحتويها . وبسبب هذه الازدواجية، فإن مكمل باطن أي مجموعة U يساوي إغلاق مكملتها .

تُوفّر بنية المخروط المزدوج ازدواجية في الهندسة . بالنظر إلى مجموعة${\displaystyle C}$نقاط في المستوى${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(أو بشكل أعم، نقاط في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$)، يُعرَّف المخروط المزدوج على أنه المجموعة${\displaystyle C^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$تتكون من تلك النقاط${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$مُرضٍ $${\displaystyle x_{1}c_{1}+x_{2}c_{2}\geq 0}$$ لجميع النقاط${\displaystyle (c_{1},c_{2})}$في${\displaystyle C}$كما هو موضح في الرسم التخطيطي. على عكس مكمل المجموعات المذكور أعلاه، ليس صحيحًا بشكل عام أن تطبيق بناء المخروط المزدوج مرتين يعيد المجموعة الأصلية.${\displaystyle C}$. بدلاً من،${\displaystyle C^{**}}$هو أصغر مخروط ^{[ 7 ]} يحتوي${\displaystyle C}$والتي قد تكون أكبر من${\displaystyle C}$لذلك، فإن هذه الثنائية أضعف من الثنائية السابقة، وذلك من حيث أن

• تطبيق العملية مرتين يُنتج مجموعة أكبر محتملة: لكل${\displaystyle C}$،${\displaystyle C}$يحتوي على${\displaystyle C^{**}}$(بالنسبة للبعض)${\displaystyle C}$(أي المخاريط، الاثنان متساويان في الواقع.)

أما الخاصيتان الأخريان فتنتقلان دون تغيير:

• لا يزال صحيحًا أن الإدراج${\displaystyle C\subseteq D}$يتحول إلى عنصر متضمن في الاتجاه المعاكس (${\displaystyle D^{*}\subseteq C^{*}}$).
• بفرض مجموعتين جزئيتين${\displaystyle C}$و${\displaystyle D}$من الطائرة،${\displaystyle C}$يحتوي على${\displaystyle D^{*}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle D}$يحتوي على${\displaystyle C^{*}}$.

يظهر مثال مهم جدًا على الازدواجية في الجبر الخطي من خلال ربط أي فضاء متجهي V بفضائه المتجهي المزدوج V ^* . عناصره هي الدوال الخطية.${\displaystyle \varphi :V\to K}$حيث K هو الحقل الذي تُعرَّف عليه V. تنتقل الخصائص الثلاث للمخروط المزدوج إلى هذا النوع من الازدواجية عن طريق استبدال مجموعات جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$بواسطة الفضاء المتجهي وتضمين هذه المجموعات الفرعية بواسطة التطبيقات الخطية. أي:

• بتطبيق عملية أخذ الفضاء المتجهي الثنائي مرتين، نحصل على فضاء متجهي آخر V ^** . يوجد دائمًا تطبيق V → V ^** . بالنسبة لبعض V ، وتحديدًا الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة ، يكون هذا التطبيق تماثلًا .
• يؤدي التحويل الخطي V → W إلى تحويل في الاتجاه المعاكس ( W ^* → V ^* ).
• بالنظر إلى فضاءين متجهين V و W ، فإن التطبيقات من V إلى W ^* تتوافق مع التطبيقات من W إلى V ^* .

من السمات المميزة لهذه الازدواجية أن V و V ^* متماثلتان بالنسبة لبعض الكائنات، وتحديدًا الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة. مع ذلك، يُعد هذا، بمعنى ما، مصادفةً موفقة، إذ يتطلب إيجاد مثل هذا التماثل اختيارًا معينًا، كاختيار أساس لـ V على سبيل المثال . وينطبق هذا أيضًا في حالة كون V فضاء هيلبرت ، وذلك عبر نظرية تمثيل ريز .

في جميع الثنائيات التي نوقشت سابقًا، يكون ثنائي الكائن من نفس نوع الكائن نفسه. على سبيل المثال، ثنائي الفضاء المتجهي هو أيضًا فضاء متجهي. لكن العديد من عبارات الثنائية ليست من هذا النوع. بدلًا من ذلك، تكشف هذه الثنائيات عن علاقة وثيقة بين كائنات ذات طبيعة تبدو مختلفة. أحد الأمثلة على هذه الثنائية الأكثر عمومية هو نظرية غالوا . بالنسبة لامتداد غالوا ثابت K / F ، يمكن ربط زمرة غالوا Gal( K / E ) بأي حقل وسيط E (أي F ⊆ E ⊆ K ). هذه الزمرة هي زمرة جزئية من زمرة غالوا G = Gal( K / F ) . وعلى ^العكس ، لأي زمرة جزئية من هذا القبيل H ⊆ G يوجد الحقل الثابت KH الذي يتكون من عناصر ثابتة بواسطة عناصر H.

بالمقارنة مع ما سبق، تتميز هذه الازدواجية بالخصائص التالية:

• يؤدي امتداد F ⊆ F ′ للحقول الوسيطة إلى تضمين مجموعات غالوا في الاتجاه المعاكس: Gal( K / F ′ ) ⊆ Gal( K / F ) .
• إن ربط Gal( K / E ) بـ E وربط KH بـ ^H دالتان عكسيتان. هذا هو جوهر النظرية الأساسية لنظرية غالوا .

بناء الفضاء المتجهي الثنائي $${\displaystyle V^{*}=\operatorname {Hom} (V,K)}$$^{يُعدّ المثال} المذكور في المقدمة مثالاً على هذه الازدواجية. في الواقع، تُشكّل مجموعة التشكلات، أي التطبيقات الخطية ، فضاءً متجهيًا قائمًا بذاته. التطبيق V → V المذكور أعلاه هو دائمًا تطبيق أحادي. وهو تطبيق شامل، وبالتالي تماثلي، إذا وفقط إذا كان بُعد V محدودًا. هذه الحقيقة تُميّز الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة دون الحاجة إلى أساس.

الازدواجية في الهندسة الإسقاطية

في بعض المستويات الإسقاطية ، يمكن إيجاد تحويلات هندسية تُسقط كل نقطة في المستوى الإسقاطي على خط، وكل خط في المستوى الإسقاطي على نقطة، مع الحفاظ على التلاقي. ^{[ 10 ]} بالنسبة لهذه المستويات، ينشأ مبدأ عام للازدواجية في المستويات الإسقاطية : عند إعطاء أي نظرية في هندسة إسقاطية مستوية كهذه، فإن استبدال مصطلحي "نقطة" و"خط" في كل مكان ينتج عنه نظرية جديدة صحيحة بنفس القدر. ^{[ 11 ]} مثال بسيط على ذلك هو أن العبارة "نقطتان تحددان خطًا واحدًا، وهو الخط المار بهاتين النقطتين" لها العبارة المزدوجة "خطان يحددان نقطة واحدة، وهي نقطة تقاطع هذين الخطين". لمزيد من الأمثلة، انظر النظريات المزدوجة .

يُقدّم الفضاء المتجهي الثنائي تفسيراً مفاهيمياً لهذه الظاهرة في بعض المستويات (وخاصة مستويات الحقول). في الواقع، النقاط في المستوى الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$تتوافق مع فضاءات المتجهات الفرعية أحادية البعد${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}$^{[ 12 ]} بينما تتوافق الخطوط في المستوى الإسقاطي مع فضاءات المتجهات الفرعية${\displaystyle W}$من البعد 2. تنشأ الازدواجية في هذه الهندسات الإسقاطية من إسنادها إلى بُعد واحد${\displaystyle V}$الفضاء الجزئي لـ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})^{*}}$تتألف من تلك الخرائط الخطية${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$والتي ترضي${\displaystyle f(V)=0}$نتيجةً لصيغة الأبعاد في الجبر الخطي ، فإن هذا الفضاء ثنائي الأبعاد، أي أنه يُقابل خطًا في المستوى الإسقاطي المرتبط بـ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})^{*}}$.

الشكل الثنائي الخطي (الموجب المحدد) $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle$$ :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{3}x_{i}y_{i}} ينتج عنه تحديد هذا المستوى الإسقاطي مع${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$وبشكل ملموس، فإن الازدواجية تُسند إلى${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}$متعامد​${\displaystyle \left\{w\in \mathbb {R} ^{3},\langle v,w\rangle =0{\text{ for all }}v\in V\right\}}$تنشأ الصيغ الصريحة في الازدواجية في الهندسة الإسقاطية عن طريق هذا التحديد.

في مجال الفضاءات المتجهة الطوبولوجية ، يوجد بناء مشابه، حيث يُستبدل الفضاء الثنائي بالفضاء المتجه الثنائي الطوبولوجي . توجد عدة مفاهيم للفضاء الثنائي الطوبولوجي، وكل منها يُنتج مفهومًا معينًا للثنائية. الفضاء المتجه الطوبولوجي${\displaystyle X}$ذلك متماثل قانونيًا مع ثنائيته${\displaystyle X''}$يُطلق عليه اسم الفضاء الانعكاسي : $${\displaystyle X\cong X''.}$$

أمثلة:

• كما هو الحال في الحالة ذات الأبعاد المحدودة، فإن كل فضاء هيلبرت H، حيث يُعرّف حاصل الضرب الداخلي ⟨⋅, ⋅⟩، دالة$${\displaystyle H\to H^{*},v\mapsto (w\mapsto \langle w,v\rangle ),}$$وهو تقابل ثنائي بسبب نظرية تمثيل ريز . وكنتيجة لذلك، فإن كل فضاء هيلبرت هو فضاء باناخ انعكاسي .
• الفضاء المعياري الثنائي لفضاء L∞ هو ^L∞ حيث 1 / p + 1 / q = 1 بشرط أن 1 ≤ p < ∞ ، ولكن الفضاء الثنائي لـ L∞ أكبر من ^{L∞ .} لذا فإن ^L∞ ليس انعكاسيًا ^.
• التوزيعات هي دوال خطية على فضاءات دوال مناسبة. وهي وسيلة تقنية مهمة في نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية : فبدلاً من حل المعادلة التفاضلية الجزئية مباشرةً، قد يكون من الأسهل أولاً حلها "بالمعنى الضعيف"، أي إيجاد توزيع يحقق المعادلة التفاضلية الجزئية، وثانياً، إثبات أن الحل يجب أن يكون دالة. ^{[ 13 ]} جميع فضاءات التوزيعات القياسية —${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$،${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$،${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)'}$— هي فضاءات محدبة محلية انعكاسية. ^{[ 14 ]}

الشبكة الثنائية للشبكة L تُعطى بالصيغة التالية :$${\displaystyle \operatorname {Hom} (L,\mathbb {Z} ),}$$ مجموعة الدوال الخطية على الفضاء المتجهي الحقيقي الذي يحتوي على الشبكة والتي تربط نقاط الشبكة بالأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$يُستخدم هذا في بناء الأصناف التوريكية . ^{[ 15 ]} يُعطى الثنائي البونترياجيني للمجموعات الطوبولوجية المدمجة محليًا G بالصيغة التالية:$${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,S^{1}),}$$التشاكلات الجماعية المستمرة ذات القيم الموجودة في الدائرة (مع ضرب الأعداد المركبة كعملية جماعية).

في مجموعة أخرى من الثنائيات، تُترجم كائنات إحدى النظريات إلى كائنات نظرية أخرى، وتُترجم الدوال بين الكائنات في النظرية الأولى إلى تشاكلات في النظرية الثانية، ولكن مع عكس الاتجاه. باستخدام مصطلحات نظرية الفئات ، يُعادل هذا دالة متغايرة بين فئتين C و D.

والتي تعطي خريطة لأي كائنين X و Y من C

قد يكون هذا المؤثر تكافؤًا بين الفئات أو لا . توجد حالات عديدة يكون فيها هذا المؤثر تكافؤًا بين الفئة المقابلة C ^op للفئة C ، والفئة D. باستخدام ازدواجية من هذا النوع، يمكن ترجمة كل عبارة في النظرية الأولى إلى عبارة "مزدوجة" في النظرية الثانية، حيث يجب عكس اتجاه جميع الأسهم. ^{[ 16 ]} لذلك، فإن أي ازدواجية بين الفئتين C و D هي شكليًا مكافئة للتكافؤ بين C و D ^op ( C ^op و D ). مع ذلك، في كثير من الحالات، لا تحمل الفئات المقابلة أي معنى جوهري، مما يجعل الازدواجية مفهومًا إضافيًا منفصلًا. ^{[ 17 ]}

تُسمى الفئة التي تُكافئ فئتها الثنائية فئةً ذاتية الثنائية . ومن أمثلة الفئات ذاتية الثنائية فئة فضاءات هيلبرت . ^{[ 18 ]}

تأتي العديد من مفاهيم نظرية الفئات في أزواج _، بمعنى أنها تتطابق مع بعضها البعض عند النظر إلى الفئة المقابلة. على سبيل المثال، فإن _حاصل الضرب الديكارتي Y1 × Y2 والاتحادات المنفصلة Y1 _⊔ Y2 _{للمجموعات} متناظرة مع بعضها البعض بمعنى أن

و

لأي مجموعة X. هذه حالة خاصة من ظاهرة ازدواجية أعمّ، حيث تتطابق النهايات في فئة C مع النهايات المشتركة في الفئة المقابلة C ^op ؛ ومن الأمثلة الملموسة الأخرى على ذلك: التشاكلات العليا مقابل التشاكلات الأحادية ، ولا سيما وحدات العامل (أو الزمر، إلخ) مقابل الوحدات الفرعية ، والضرب المباشر مقابل المجاميع المباشرة (وتسمى أيضًا الضرب المشترك للتأكيد على جانب الازدواجية). لذلك، في بعض الحالات، يمكن اختصار براهين بعض العبارات إلى النصف باستخدام ظاهرة الازدواجية هذه. ومن المفاهيم الأخرى التي تُظهر ارتباطًا بهذه الازدواجية الفئوية: الوحدات الإسقاطية والحقنية في الجبر التماثلي ، ^{[ 19 ]} والتليفات والتليفات المشتركة في الطوبولوجيا، وبشكل أعم، فئات النماذج . ^{[ 20 ]}

يكون المؤثران F : C → D و G : D → C مترافقين إذا كان لكل عنصر c في C و d في D

بطريقة طبيعية. في الواقع، يُعدّ تطابق النهايات والنهايات المشتركة مثالاً على المرافقات، حيث يوجد اقتران.

بين دالة النهاية المشتركة التي تُسند إلى أي مخطط في C مفهرس بفئة ما I نهايته المشتركة، والدالة القطرية التي تُسقط أي كائن c من C على المخطط الثابت الذي يحتوي على c في جميع المواضع. وبالمثل،

تُعرف ثنائية جيلفاند بأنها ثنائية بين الجبر التبادلي C*-الجبر A وفضاءات هاوسدورف المدمجة X، وهي متطابقة: إذ تُسند إلى X فضاء الدوال المتصلة (التي تتلاشى عند اللانهاية) من X إلى C ، أي الأعداد المركبة. وعلى العكس، يمكن إعادة بناء الفضاء X من A باعتباره طيف A. ويمكن استنتاج كل من ثنائية جيلفاند وثنائية بونترياجين بطريقة رسمية إلى حد كبير، تعتمد على نظرية الفئات. ^{[ 21 ]}

وبالمثل، توجد ازدواجية في الهندسة الجبرية بين الحلقات التبديلية والمخططات الأفينية : فلكل حلقة تبديلية A يوجد طيف أفيني Spec A. وعلى العكس، عند إعطاء مخطط أفيني S ، نحصل على حلقة بأخذ مقاطع شاملة لحزمة البنية OS . _إضافةً إلى ذلك، فإن تشاكلات الحلقات تتطابق تطابقًا تامًا مع تشاكلات المخططات الأفينية، وبالتالي يوجد تكافؤ بينهما.

(حلقات التبديل) ^op ≅ (مخططات أفينية) ^{[ 22 ]}

تُعدّ المخططات الأفينية اللبنات الأساسية المحلية للمخططات . ولذلك، تُشير النتيجة السابقة إلى أن النظرية المحلية للمخططات هي نفسها الجبر التبادلي ، أي دراسة الحلقات التبادلية.

تستمد الهندسة غير التبادلية إلهامها من ثنائية جيلفاند، وتدرس جبر C* غير التبادلي كما لو كان دالة على فضاء متخيل. وتُعد ثنائية تاناكا-كراين نظيرًا غير تبادلي لثنائية بونترياجين. ^{[ 23 ]}

في العديد من الحالات، تنشأ الفئتان المتناظرتان من مجموعات مرتبة جزئيًا ، أي أن هناك مفهومًا لكون عنصر ما "أصغر" من عنصر آخر. تُعرف الثنائية التي تحترم الترتيبات المذكورة باسم اتصال غالوا . ومن الأمثلة على ذلك الثنائية القياسية في نظرية غالوا المذكورة في المقدمة: حيث يقابل امتداد حقل أكبر - في ظل التطبيق الذي يُسند إلى أي امتداد L ⊃ K (داخل حقل أكبر ثابت Ω) زمرة غالوا Gal (Ω / L ) - زمرة أصغر. ^{[ 24 ]}

تشكل مجموعة جميع المجموعات الفرعية المفتوحة لفضاء طوبولوجي X جبر هيتينغ كاملاً . وهناك ازدواجية، تُعرف بازدواجية ستون ، تربط بين الفضاءات الرصينة والمواقع المكانية .

• نظرية بيركوف للتمثيل التي تربط بين الشبكات التوزيعية والترتيبات الجزئية

تُعطي ثنائية بونترياغين ثنائية على فئة الزمر الأبيلية المدمجة محليًا : بالنظر إلى أي زمرة G من هذا القبيل ، فإن زمرة الخصائص

χ ( G ) = Hom ( G , S ¹ )

يمكن تزويد المجموعة المعطاة بواسطة تشاكلات المجموعة المستمرة من G إلى مجموعة الدائرة S1 بطوبولوجيا مفتوحة مضغوطة . تنص ثنائية بونترياجين على أن مجموعة الخصائص هي أيضًا مجموعة أبيلية مضغوطة محليًا، ^وأن

G ≅ χ ( χ ( G )). ^{[ 25 ]}

علاوة على ذلك، تتوافق الزمر المنفصلة مع الزمر الأبيلية المدمجة ؛ وتتوافق الزمر المنتهية مع الزمر المنتهية. من جهة، تُعدّ بونترياغين حالة خاصة من ازدواجية غيلفاند. ومن جهة أخرى، فهي الأساس المفاهيمي لتحليل فورييه ، كما سيُبين لاحقًا.

تُعطى ثنائية بوانكاريه لمتشعب معقد مضغوط أملس X من خلال اقتران التماثل الفردي بمعاملات C (بصورة مكافئة، تماثل الحزمة للحزمة الثابتة C ).

H ⁱ (X) ⊗ H ^{2 n − i} (X) → C ,

حيث n هو البعد (المركب) لـ X. ^{[ 26} ] يمكن أيضًا التعبير عن ازدواجية بوانكاريه كعلاقة بين التماثل الفردي وتماثل دي رام ^، من خلال التأكيد على أن الخريطة

${\displaystyle (\gamma ,\omega )\mapsto \int _{\gamma }\omega }$

(تكامل شكل تفاضلي k على دورة (2 n  − k )-(حقيقية) الأبعاد) هو اقتران مثالي. 

تعكس ثنائية بوانكاريه الأبعاد أيضًا؛ فهي تعني أنه إذا مُثِّلَتْ متشعبة طوبولوجية على شكل مُركَّب خلوي ، فإن ثنائي هذا المُركَّب (وهو تعميم ذو أبعاد أعلى لثنائية الرسم البياني المستوي) يُمثِّل المتشعبة نفسها. في ثنائية بوانكاريه، ينعكس هذا التشاكل في تماثل بين مجموعة التماثل من الرتبة k ومجموعة التماثل المشترك من الرتبة ( n − k ) .  

ينطبق نمط الازدواجية نفسه على التنوع الإسقاطي الأملس فوق حقل مغلق قابل للفصل ، باستخدام علم التماثل l-adic بمعاملات Q _ℓ بدلاً من ذلك. ^{[ 27 ]} يُعمم هذا النمط ليشمل التنوعات التي قد تكون شاذة ، باستخدام علم التماثل التقاطعي بدلاً من ذلك، وهي ازدواجية تُسمى ازدواجية فيردييه . ^{[ 28 ]} تشبه ازدواجية سير أو الازدواجية المتماسكة ما سبق، لكنها تنطبق على علم تماثل الحزم المتماسكة بدلاً من ذلك. ^{[ 29 ]}

مع ازدياد مستوى العمومية، يتضح أن ازدياد كمية الخلفية التقنية مفيد أو ضروري لفهم هذه النظريات: يمكن صياغة هذه الازدواجيات الحديثة باستخدام الفئات المشتقة وبعض الدوال المباشرة والمعكوسة للصورة للحزم (بالنسبة للطوبولوجيا التحليلية الكلاسيكية على المشعبات لازدواجية بوانكاريه، والحزم l-adic والطوبولوجيا الإيتالية في الحالة الثانية، وبالنسبة للحزم المتماسكة للازدواجية المتماسكة).

تُصادف مجموعة أخرى من عبارات الازدواجية المماثلة في علم الحساب : علم التماثل الإيتالي للحقول المنتهية والمحلية والعالمية (المعروف أيضًا باسم علم التماثل غالوا ، لأن علم التماثل الإيتالي على حقل ما يُكافئ علم التماثل الجماعي لمجموعة غالوا ( المطلقة ) لهذا الحقل) يقبل اقترانات مماثلة. على سبيل المثال، مجموعة غالوا المطلقة G ( F, q ₎ لحقل منتهٍ متماثلة مع${\displaystyle {\widehat {\mathbf {Z} }}}$، الإكمال المنتهي لـ Z ، الأعداد الصحيحة. لذلك، الاقتران المثالي (لأي وحدة نمطية M على G )

H ⁿ ( G , M ) × H ^{1− n} ( G , Hom ( M , Q / Z )) → Q / Z ^{[ 30 ]}

هي نتيجة مباشرة لازدواجية بونترياجين للمجموعات المنتهية. بالنسبة للحقول المحلية والعالمية، توجد عبارات مماثلة ( الازدواجية المحلية والعالمية أو ازدواجية بواتو-تيت ). ^{[ 31 ]}

• عطية، مايكل (2007). “مذكرات محاضرات الازدواجية في الرياضيات والفيزياء من معهد الرياضيات بجامعة برشلونة (IMUB)” (PDF) .
• كوستريكين، الذكاء الاصطناعي (2001) [1994]، "الازدواجية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS.
• جوورز، تيموثي ( 2008)، "III.19 الازدواجية"، رفيق برينستون للرياضيات ، مطبعة جامعة برينستون، ص 187-190 .
• كارتييه، بيير (2001)، "عمل يوم مجنون: من غروتينديك إلى كونز وكونتسيفيتش. تطور مفاهيم الفضاء والتناظر" ، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 38 (4): 389-408 ، doi : 10.1090/S0273-0979-01-00913-2 ، ISSN 0002-9904 ، MR 1848254  (نظرة عامة غير تقنية حول جوانب متعددة من الهندسة، بما في ذلك الازدواجيات)

• جيمس سي. بيكر ودانيال هنري غوتليب، تاريخ الازدواجية في الطوبولوجيا الجبرية

• الأماكن القريبة : ميلمان ، فيتالي (2008)، “مفهوم الازدواجية لقياس إسقاطات الأجسام المحدبة”، مجلة التحليل الوظيفي ، 254 (10): 2648–66 ، CiteSeerX 10.1.1.417.3470 ، دوى : 10.1016/j.jfa.2007.11.008 . موقع المؤلف أيضاً .
• أرتشتاين-أفيدان، شيري؛ ميلمان، فيتالي (2007)، "توصيف مفهوم الازدواجية" ، إعلانات البحوث الإلكترونية في العلوم الرياضية ، 14 : 42-59 ، مؤرشف من الأصل في 24-07-2011 ، تم استرجاعه في 30-05-2009. موقع المؤلف أيضاً .
• دوير، ويليام ج .؛ سبالينسكي، يان (1995)، "نظريات التماثل وفئات النماذج" ، كتيب الطوبولوجيا الجبرية ، أمستردام: نورث هولاند، ص 73-126 ، MR 1361887 ، مؤرشف من الأصل في 2021-02-09 ، تم استرجاعه في 2009-03-11  
• فولتون، ويليام (1993)، مقدمة في الأصناف التوريكية ، مطبعة جامعة برينستون ، رقم ISBN 978-0-691-00049-7
• غريفيث، فيليب ؛ هاريس، جوزيف (1994)، مبادئ الهندسة الجبرية ، مكتبة وايلي كلاسيكس، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، ISBN 978-0-471-05059-9MR 1288523​ 
• هارتشورن، روبن (1966)، البواقي والازدواجية ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  20، دار نشر سبرينغر ، الصفحات 20-48 ، رقم ISBN  978-3-540-34794-1
• هارتشورن، روبن (1977)، الهندسة الجبرية ، سبرينغر-فيرلاغ ، رقم ISBN 978-0-387-90244-9، MR 0463157 ، OCLC 13348052  
• إيفرسن، بيرجر (1986)، علم الحزم للحزم ، Universitext، Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-16389-3، MR 0842190 
• جويال، أندريه ؛ ستريت، روس (1991)، "مقدمة في ازدواجية تاناكا والمجموعات الكمومية" (ملف PDF) ، نظرية الفئات ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  1488، سبرينغر-فيرلاغ ، الصفحات 413-492 ، doi : 10.1007/BFb0084235 ، ISBN  978-3-540-46435-8MR 1173027​ 
• لام، تسيت-يوين (1999)، محاضرات في الوحدات والحلقات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  189، سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294​ 
• لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  211، سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556​ 
• لوميس، لين هـ. (1953)، مقدمة في التحليل التوافقي المجرد ، دار فان نوستراند للنشر، الصفحات  من س إلى 190، hdl : 2027/uc1.b4250788
• ماك لين، سوندرز (1998)، التصنيفات للرياضي العامل (  الطبعة الثانية)، سبرينغر-فيرلاغ ، رقم ISBN 978-0-387-98403-2
• Mazur، Barry (1973)، “Notes on étale cohomology of number fields”، الحوليات العلمية للمدرسة العليا للأساتذة ، السلسلة 4، 6 (4): 521–552 ، دوى : 10.24033/asens.1257 ، ISSN 0012-9593 ، MR 0344254  
• ميلن ، جيمس س. (1980)، علم cohomology ، مطبعة جامعة برينستون ، ISBN 978-0-691-08238-7
• ميلن، جيمس س. (2006)، نظريات الازدواجية الحسابية (الطبعة الثانية  )، تشارلستون، كارولاينا الجنوبية: BookSurge, LLC، ISBN 978-1-4196-4274-6MR 2261462​ 
• نيغريبونتيس، جوان دبليو. (1971)، "الازدواجية في التحليل من وجهة نظر الثلاثيات"، مجلة الجبر ، 19 (2): 228-253 ، doi : 10.1016/0021-8693(71)90105-0 ، ISSN 0021-8693 ، MR 0280571  
• رودين، والتر (1976)، مبادئ التحليل الرياضي (  الطبعة الثالثة)، نيويورك: ماكجرو هيل ، رقم ISBN 0-07-054235-X
• فيبلين، أوزوالد ؛ يونغ، جون ويسلي (1965)، الهندسة الإسقاطية. المجلدان 1 و2 ، دار نشر بلايسديل، جين وشركاه، MR 0179666 
• ويبل، تشارلز أ. (1994)، مقدمة في الجبر التماثلي ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-55987-4MR 1269324​ 
• إدواردز، ر. إي. (1965). التحليل الوظيفي: النظرية والتطبيقات . نيويورك: هولت، راينهارت ووينستون. ISBN 0030505356.