الأنماط في الطبيعة

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 77 صور
الموسوعة الحرة

تتشكل الأنماط الطبيعية عندما تهب الرياح بالرمال في كثبان صحراء ناميب . وتتكرر الكثبان الهلالية الشكل والتموجات على أسطحها حيثما توجد ظروف مناسبة.
توفر أنماط الحرباء المقنعة ، Chamaeleo calyptratus ، التمويه وتشير إلى الحالة المزاجية وكذلك حالة التكاثر .

الأنماط في الطبيعة هي انتظام مرئي للأشكال الموجودة في العالم الطبيعي . تتكرر هذه الأنماط في سياقات مختلفة، ويمكن أحيانًا نمذجتها رياضيًا . تشمل الأنماط الطبيعية التناظرات ، والأشجار ، واللوالب ، والتعرجات ، والأمواج ، والرغوة ، والتبليط ، والشقوق ، والخطوط. [ 1 ] درس الفلاسفة اليونانيون الأوائل الأنماط، حيث حاول أفلاطون وفيثاغورس وإمبيدوكليس تفسير النظام في الطبيعة. وقد تطور الفهم الحديث للأنماط المرئية تدريجيًا عبر الزمن.

في القرن التاسع عشر، درس الفيزيائي البلجيكي جوزيف بلاتو أغشية الصابون ، مما قاده إلى صياغة مفهوم السطح الأدنى . ورسم عالم الأحياء والفنان الألماني إرنست هيكل مئات الكائنات البحرية لتأكيد تناظرها . وقاد عالم الأحياء الاسكتلندي دارسي طومسون دراسة أنماط النمو في كل من النباتات والحيوانات، موضحًا أن معادلات بسيطة يمكن أن تفسر النمو الحلزوني. وفي القرن العشرين، تنبأ عالم الرياضيات الإنجليزي آلان تورينج بآليات التكوين الشكلي التي تُنتج أنماطًا من البقع والخطوط. وأظهر عالم الأحياء المجري أريستيد ليندنماير وعالم الرياضيات الفرنسي الأمريكي بينوا ماندلبروت كيف يمكن لرياضيات الفراكتلات أن تخلق أنماط نمو نباتية.

تستطيع الرياضيات والفيزياء والكيمياء تفسير الأنماط في الطبيعة على مستويات ومقاييس مختلفة. أما الأنماط في الكائنات الحية فتُفسَّر من خلال العمليات البيولوجية للانتقاء الطبيعي والانتقاء الجنسي . وتستعين دراسات تكوين الأنماط بنماذج حاسوبية لمحاكاة نطاق واسع من الأنماط.

تاريخ

حاول فلاسفة اليونان الأوائل تفسير النظام في الطبيعة ، مستبقين بذلك المفاهيم الحديثة. فقد فسّر فيثاغورس (حوالي  570-495 قبل  الميلاد  ) أنماطًا في الطبيعة، مثل تناغمات الموسيقى، بأنها ناشئة عن العدد، الذي اعتبره المكون الأساسي للوجود. [ أ ] وسبق إمبيدوكليس (حوالي  494-434  قبل  الميلاد) إلى حد ما تفسير داروين التطوري لبنية الكائنات الحية. [ ب ] وجادل أفلاطون (حوالي  427-347  قبل  الميلاد) بوجود كليات طبيعية . واعتبرها تتكون من صور مثالية ( εἶδος eidos : "صورة") لا تعد الأجسام المادية منها إلا نسخًا غير كاملة. وهكذا، قد تكون الزهرة دائرية تقريبًا، لكنها ليست دائرة كاملة أبدًا. [ 2 ] ولاحظ ثيوفراستوس (حوالي 372-287 قبل الميلاد) أن النباتات "ذات الأوراق المسطحة تكون أوراقها مرتبة في سلسلة منتظمة". لاحظ بليني الأكبر (23-79 م) ترتيبها الدائري المزخرف. [ 3 ] وبعد قرون، لاحظ ليوناردو دافنشي (1452-1519) الترتيب الحلزوني لأنماط الأوراق، وأن جذوع الأشجار تكتسب حلقات متتالية مع تقدمها في العمر، واقترح قاعدة يُزعم أنها تتحقق من خلال مساحات المقطع العرضي لأغصان الأشجار. [ 4 ] [ 3 ]    

في عام ١٢٠٢، قدّم ليوناردو فيبوناتشي متتالية فيبوناتشي للعالم الغربي من خلال كتابه "ليبر أباتشي" . [ ٥ ] وقدّم فيبوناتشي تجربة فكرية حول نموّ مجموعة مثالية من الأرانب . [ ٦ ] وأشار يوهانس كيبلر (١٥٧١-١٦٣٠) إلى وجود متتالية فيبوناتشي في الطبيعة، مستخدمًا إياها لتفسير الشكل الخماسي لبعض الأزهار. [ ٣ ] وفي عام ١٦٥٨، ناقش الطبيب والفيلسوف الإنجليزي السير توماس براون "كيف تُهندس الطبيعة" في كتابه "حديقة كورش " ، مستشهدًا بعلم الأعداد الفيثاغوري الذي يتضمن الرقم ٥، والشكل الأفلاطوني لنمط الخماسي . ويتضمن الفصل الرئيسي من الكتاب أمثلة وملاحظات عن الخماسي في علم النبات. [ ٧ ] وفي عام ١٧٥٤، لاحظ تشارلز بونيه أن الترتيب الحلزوني للأوراق في النباتات غالبًا ما يُعبّر عنه بسلاسل النسبة الذهبية في اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة . [ 3 ] تلت ذلك ملاحظات رياضية حول ترتيب الأوراق، وذلك من خلال أعمال كارل فريدريش شيمبر وصديقه ألكسندر براون في عامي 1830 و1830 على التوالي؛ وفي عام 1837، ربط أوغست برافي وشقيقه لويس نسب ترتيب الأوراق بمتتالية فيبوناتشي، ولاحظا ظهورها أيضًا في مخاريط الصنوبر والأناناس . [ 3 ] وفي كتابه الصادر عام 1854، استكشف عالم النفس الألماني أدولف زايسينغ النسبة الذهبية المُعبَّر عنها في ترتيب أجزاء النبات، وهياكل الحيوانات، وأنماط تفرع عروقها وأعصابها، وكذلك في البلورات . [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]

في القرن التاسع عشر، صاغ الفيزيائي البلجيكي جوزيف بلاتو (1801-1883) المسألة الرياضية المتعلقة بوجود سطح أدنى ذي حدود معينة، والتي سُميت باسمه. درس بلاتو أغشية الصابون دراسةً معمقة، ووضع قوانين بلاتو التي تصف البنى التي تُشكلها الأغشية في الرغوة. [ 11 ] وفي عام 1887، حدد اللورد كلفن مشكلة إيجاد الطريقة الأمثل لتعبئة خلايا متساوية الحجم في الرغوة؛ وقد اعتمد حله على جسم صلب واحد فقط، وهو قرص العسل المكعب المقطوع جزئيًا ذو الأوجه المنحنية قليلًا جدًا، وذلك لتحقيق قوانين بلاتو. ولم يُعثر على حل أفضل حتى عام 1993، عندما اقترح دينيس وير وروبرت فيلان بنية وير-فيلان ؛ وقد اعتمد المركز الوطني للألعاب المائية في بكين هذه البنية لجداره الخارجي في دورة الألعاب الأولمبية الصيفية لعام 2008 . [ 12 ] رسم إرنست هيكل (1834-1919) رسومات توضيحية رائعة للكائنات البحرية، ولا سيما الشعاعيات ، مؤكدًا على تناظرها لدعم نظرياته التطورية الزائفة الداروينية . [ 13 ] التقط المصور الأمريكي ويلسون بنتلي أول صورة مجهرية لندفة ثلجية عام 1885. [ 14 ]

في القرن العشرين، درس أ. هـ. تشيرش أنماط الترتيب الورقي في كتابه الصادر عام ١٩٠٤. [ ١٥ ] وفي عام ١٩١٧، نشر دارسي وينتورث طومسون كتابه "عن النمو والشكل" ؛ حيث أظهر وصفه للترتيب الورقي ومتتالية فيبوناتشي، والعلاقات الرياضية في أنماط النمو الحلزوني للنباتات، أن معادلات بسيطة يمكن أن تصف أنماط النمو الحلزوني لقرون الحيوانات وأصداف الرخويات . [ ١٦ ] وفي عام ١٩٥٢، كتب عالم الحاسوب آلان تورينج (١٩١٢-١٩٥٤) كتابه "الأساس الكيميائي لتكوين الشكل" ، وهو تحليل للآليات اللازمة لإنشاء أنماط في الكائنات الحية، في العملية التي تُسمى تكوين الشكل . [ ١٧ ] وقد تنبأ بتفاعلات كيميائية متذبذبة ، ولا سيما تفاعل بيلوسوف-جابوتينسكي . اقترح تورينج أن آليات التنشيط والتثبيط هذه قادرة على توليد أنماط (أُطلق عليها " أنماط تورينج ") من الخطوط والبقع في الحيوانات، والمساهمة في الأنماط الحلزونية التي تُرى في ترتيب أوراق النباتات. [ 18 ] في عام 1968، طوّر عالم الأحياء النظري المجري أريستيد ليندنماير (1925-1989) نظام L ، وهو قواعد نحوية رسمية يمكن استخدامها لنمذجة أنماط نمو النباتات على غرار الأشكال الكسورية . [ 19 ] تحتوي أنظمة L على أبجدية من الرموز التي يمكن دمجها باستخدام قواعد الإنتاج لبناء سلاسل أكبر من الرموز، وآلية لترجمة السلاسل المُولّدة إلى هياكل هندسية. في عام 1975، وبعد قرون من التطور البطيء لرياضيات الأنماط على يد جوتفريد لايبنتز ، وجورج كانتور ، وهيلي فون كوخ ، وواكلاف سيربينسكي ، وغيرهم، كتب بينوا ماندلبروت بحثًا شهيرًا بعنوان: ما هو طول ساحل بريطانيا؟ التشابه الذاتي الإحصائي والبعد الكسري ، مما يبلور الفكر الرياضي في مفهوم الكسر . [ 20 ]

الأسباب

Composite patterns: aphids and newly born young in arraylike clusters on sycamore leaf, divided into polygons by veins, which are avoided by the young aphids

Living things like orchids, hummingbirds, and the peacock's tail have abstract designs with a beauty of form, pattern and colour that artists struggle to match.[21] The beauty that people perceive in nature has causes at different levels, notably in the mathematics that governs what patterns can physically form, and among living things in the effects of natural selection, that govern how patterns evolve.[22]

Mathematics seeks to discover and explain abstract patterns or regularities of all kinds.[23][24] Visual patterns in nature find explanations in chaos theory, fractals, logarithmic spirals, topology and other mathematical patterns. For example, L-systems form convincing models of different patterns of tree growth.[19]

The laws of physics apply the abstractions of mathematics to the real world, often as if it were perfect. For example, a crystal is perfect when it has no structural defects such as dislocations and is fully symmetric. Exact mathematical perfection can only approximate real objects.[25] Visible patterns in nature are governed by physical laws; for example, meanders can be explained using fluid dynamics.

In biology, natural selection can cause the development of patterns in living things for several reasons, including camouflage,[26]sexual selection,[26] and different kinds of signalling, including mimicry[27] and cleaning symbiosis.[28] In plants, the shapes, colours, and patterns of insect-pollinatedflowers like the lily have evolved to attract insects such as bees. Radial patterns of colours and stripes, some visible only in ultraviolet light serve as nectar guides that can be seen at a distance.[29]

Types of pattern

Symmetry

Symmetry is pervasive in living things. Animals mainly have bilateral or mirror symmetry, as do the leaves of plants and some flowers such as orchids.[30] Plants often have radial or rotational symmetry, as do many flowers and some groups of animals such as sea anemones. Fivefold symmetry is found in the echinoderms, the group that includes starfish, sea urchins, and sea lilies.[31]

Among non-living things, snowflakes have striking sixfold symmetry; each flake's structure forms a record of the varying conditions during its crystallization, with nearly the same pattern of growth on each of its six arms.[32]Crystals in general have a variety of symmetries and crystal habits; they can be cubic or octahedral, but true crystals cannot have fivefold symmetry (unlike quasicrystals).[33] Rotational symmetry is found at different scales among non-living things, including the crown-shaped splash pattern formed when a drop falls into a pond,[34] and both the spheroidal shape and rings of a planet like Saturn.[35]

Symmetry has a variety of causes. Radial symmetry suits organisms like sea anemones whose adults do not move: food and threats may arrive from any direction. But animals that move in one direction necessarily have upper and lower sides, head and tail ends, and therefore a left and a right. The head becomes specialised with a mouth and sense organs (cephalisation), and the body becomes bilaterally symmetric (though internal organs need not be).[36] More puzzling is the reason for the fivefold (pentaradiate) symmetry of the echinoderms. Early echinoderms were bilaterally symmetrical, as their larvae still are. Sumrall and Wray argue that the loss of the old symmetry had both developmental and ecological causes.[37] In the case of ice eggs, the gentle churn of water, blown by a suitably stiff breeze makes concentric layers of ice form on a seed particle that then grows into a floating ball as it rolls through the freezing currents.[38]

الأشجار، الأشكال الكسورية

وصف ليوناردو دافنشي نمط تفرع الأشجار في عصر النهضة الإيطالية . وذكر في كتابه "رسالة في الرسم" ما يلي:

جميع فروع الشجرة في كل مرحلة من مراحل ارتفاعها، عند جمعها معًا، تكون متساوية في سمكها مع جذع الشجرة [أسفلها]. [ 39 ]

تنص صيغة أكثر عمومية على أنه عندما ينقسم فرع رئيسي إلى فرعين أو أكثر، فإن مجموع مساحات الفروع الفرعية يساوي مساحة الفرع الرئيسي. [ 40 ] ويمكن صياغة صيغة مكافئة على أنه إذا انقسم فرع رئيسي إلى فرعين فرعيين، فإن أقطار المقطع العرضي للفرع الرئيسي والفرعين الفرعيين تشكل مثلثًا قائم الزاوية . ويُعزى ذلك جزئيًا إلى أن هذا يسمح للأشجار بمقاومة الرياح العاتية بشكل أفضل. [ 40 ] وتتفق محاكاة النماذج البيوميكانيكية مع هذه القاعدة. [ 41 ]

الفراكتلات هي بنى رياضية متكررة ومتشابهة ذاتيًا إلى ما لا نهاية، ولها بُعد فراكتالي . [ 20 ] [ 42 ] [ 43 ] لا يمكن تحقيق التكرار اللانهائي في الطبيعة، لذا فإن جميع أنماط "الفراكتلات" تقريبية فقط. على سبيل المثال، أوراق السرخسيات والنباتات الخيمية (الفصيلة الخيمية) متشابهة ذاتيًا (ريشية) إلى مستويين أو ثلاثة أو أربعة فقط. توجد أنماط نمو شبيهة بالسرخس في النباتات والحيوانات، بما في ذلك الطحالب ، والشعاب المرجانية ، والهيدراوات مثل سرخس الهواء ( Sertularia argentea )، وفي أشياء غير حية، ولا سيما التفريغات الكهربائية . يمكن لفراكتلات نظام ليندنماير نمذجة أنماط مختلفة لنمو الأشجار عن طريق تغيير عدد قليل من المعلمات، بما في ذلك زاوية التفرع، والمسافة بين العقد أو نقاط التفرع ( طول السلامية )، وعدد الفروع لكل نقطة تفرع. [ 19 ]

تنتشر الأنماط الشبيهة بالكسور الهندسية على نطاق واسع في الطبيعة، في ظواهر متنوعة مثل السحب، وشبكات الأنهار ، وخطوط الصدع الجيولوجية ، والجبال ، والخطوط الساحلية ، [ 44 ] وتلوين الحيوانات ، ورقاقات الثلج ، [ 45 ] والبلورات ، [ 46 ] وتفرع الأوعية الدموية ، [ 47 ] وخلايا بوركنجي ، [ 48 ] والهياكل الخلوية للأكتين ، [ 49 ] وأمواج المحيط . [ 50 ]

حلزونات

تُعدّ الأشكال الحلزونية شائعة في النباتات وبعض الحيوانات، ولا سيما الرخويات . فعلى سبيل المثال، في النوتيلوس ، وهو من الرخويات رأسيات الأرجل، تُشكّل كل حجرة من حجرات صدفته نسخةً تقريبيةً من الحجرة التي تليها، مُكبّرةً بمعامل ثابت ومرتبةً بشكل حلزوني لوغاريتمي . [ 51 ] وبناءً على الفهم الحديث للكسور الهندسية، يُمكن اعتبار الحلزون النامي حالةً خاصةً من التشابه الذاتي. [ 52 ]

يمكن ملاحظة اللوالب النباتية في الترتيب الورقي (phyllotaxis )، وهو ترتيب الأوراق على الساق، وفي ترتيب الأجزاء الأخرى ( الباراستيكية [ 53 ] )، كما في رؤوس الأزهار المركبة ورؤوس البذور مثل زهرة عباد الشمس، أو تراكيب الثمار مثل الأناناس [ 15 ] [ 54 ] : 337 وفاكهة الثعبان ، بالإضافة إلى نمط الحراشف في مخاريط الصنوبر ، حيث تمتد لوالب متعددة في اتجاه عقارب الساعة وعكسها. لهذه الترتيبات تفسيرات على مستويات مختلفة - الرياضيات، والفيزياء، والكيمياء، وعلم الأحياء - كل منها صحيح على حدة، ولكنها جميعًا ضرورية معًا. [ 55 ] يمكن توليد اللوالب الورقية من نسب فيبوناتشي : متتالية فيبوناتشي هي 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13... (كل رقم لاحق هو مجموع الرقمين السابقين). على سبيل المثال، عندما تتبادل الأوراق على الساق، تلامس دورة واحدة من اللولب ورقتين، لذا فإن النمط أو النسبة هي 1/2. في البندق تكون النسبة 1/3؛ وفي المشمش 2/5؛ وفي الكمثرى 3/8؛ وفي اللوز 5/13. [ 56 ] يمكن أن ينتج عن سلوك الحيوانات أشكال حلزونية؛ على سبيل المثال، تترك ديدان البلوط آثار براز حلزونية على قاع البحر. [ 57 ]

في الترتيب الورقي القرصي كما في عباد الشمس والأقحوان ، تترتب الزهيرات على طول حلزون فيرما ، ولكن هذا الترتيب يكون مخفيًا لأن الزهيرات المتتالية متباعدة بمسافة كبيرة، بمقدار الزاوية الذهبية ، 137.508 درجة (التي تقسم الدائرة بنسبة ذهبية )؛ وعندما تنضج الزهرة وتصبح جميع عناصرها متساوية الحجم، فإن هذا التباعد يُنشئ عددًا من حلزونات فيبوناتشي أكثر وضوحًا. [ 58 ]

من وجهة نظر الفيزياء، تُعدّ الأشكال الحلزونية أدنى التكوينات طاقةً [ 59 ] ، وتنشأ تلقائيًا من خلال عمليات التنظيم الذاتي في الأنظمة الديناميكية . [ 60 ] ومن وجهة نظر الكيمياء، يمكن توليد الشكل الحلزوني من خلال عملية تفاعل-انتشار، تتضمن كلًا من التنشيط والتثبيط. ويتم التحكم في ترتيب الأوراق بواسطة بروتينات تُعدّل تركيز هرمون الأوكسين النباتي ، الذي يُنشّط نمو الأنسجة المرستيمية ، إلى جانب آليات أخرى للتحكم في الزاوية النسبية للبراعم حول الساق. [ 61 ] ومن منظور بيولوجي، يُفضّل الانتقاء الطبيعي ترتيب الأوراق على أوسع مسافة ممكنة في أي مساحة معينة، لأنه يُعظّم الوصول إلى الموارد، وخاصة ضوء الشمس لعملية التمثيل الضوئي . [ 54 ]

فوضى، تدفق، تعرجات

في الرياضيات، يكون النظام الديناميكي فوضوياً إذا كان حساساً (بشكل كبير) للشروط الأولية (ما يسمى " تأثير الفراشة " [ 62 ] )، الأمر الذي يتطلب الخصائص الرياضية للخلط الطوبولوجي والمدارات الدورية الكثيفة . [ 63 ]

إلى جانب الأشكال الكسورية، تُعدّ نظرية الفوضى من المؤثرات العالمية الأساسية على الأنماط في الطبيعة. ثمة علاقة بين الفوضى والأشكال الكسورية، إذ تمتلك الجاذبات الغريبة في الأنظمة الفوضوية بُعدًا كسريًا . [ 64 ] بعض الأوتوماتا الخلوية ، وهي مجموعات بسيطة من القواعد الرياضية التي تولد أنماطًا، تُظهر سلوكًا فوضويًا، ولا سيما قاعدة ستيفن وولفرام رقم 30. [ 65 ]

شوارع الدوامات هي أنماط متعرجة من الدوامات المتصاعدة الناتجة عن الانفصال غير المستقر لتدفق سائل ، غالباً ما يكون هواءً أو ماءً، فوق أجسام معيقة. [ 66 ] يبدأ التدفق السلس ( الطبقي ) بالتفكك عندما يصبح حجم العائق أو سرعة التدفق كبيراً بما يكفي مقارنة بلزوجة السائل .

التعرجات هي انحناءات متعرجة في الأنهار أو القنوات الأخرى، تتشكل عندما يتدفق سائل، غالباً الماء، حول هذه الانحناءات. بمجرد أن يصبح المسار منحنياً قليلاً، يزداد حجم كل حلقة وانحناؤها مع جرف التدفق الحلزوني لمواد مثل الرمل والحصى عبر النهر إلى داخل الانحناء. يبقى الجزء الخارجي من الحلقة نظيفاً وغير محمي، مما يؤدي إلى تسارع التعرية ، وبالتالي زيادة التعرج في حلقة تغذية راجعة إيجابية قوية . [ 67 ]

أمواج، كثبان رملية

الأمواج اضطرابات تحمل الطاقة أثناء حركتها. تنتشر الأمواج الميكانيكية عبر وسط ما - الهواء أو الماء - مما يجعله يتذبذب أثناء مرورها. [ 68 ] أمواج الرياح هي أمواج سطح البحر التي تُشكّل النمط الفوضوي المميز لأي مسطح مائي كبير، على الرغم من إمكانية التنبؤ بسلوكها الإحصائي باستخدام نماذج أمواج الرياح. [ 69 ] عندما تمر الأمواج في الماء أو الرياح فوق الرمال، فإنها تُشكّل أنماطًا من التموجات. وعندما تهب الرياح فوق مساحات كبيرة من الرمال، فإنها تُشكّل الكثبان الرملية ، وأحيانًا في حقول كثبان رملية واسعة كما هو الحال في صحراء تكلامكان . قد تُشكّل الكثبان الرملية مجموعة من الأنماط، بما في ذلك الأهلة، والخطوط المستقيمة الطويلة جدًا، والنجوم، والقباب، والقطع المكافئ، والأشكال الطولية أو السيفية. [ 70 ]

تتشكل الكثبان الهلالية بفعل الرياح التي تؤثر على رمال الصحراء؛ حيث يشير قرنا الهلال وسطح الانزلاق إلى اتجاه الريح. تهب الرمال فوق السطح المواجه للريح، والذي يميل بزاوية 15 درجة تقريبًا عن المستوى الأفقي، وتسقط على سطح الانزلاق، حيث تتراكم حتى تصل إلى زاوية استقرار الرمال، والتي تبلغ حوالي 35 درجة. عندما يتجاوز سطح الانزلاق زاوية الاستقرار، يحدث انهيار رملي ، وهو سلوك غير خطي : ​​فإضافة كميات صغيرة من الرمال لا تُحدث تغييرًا يُذكر، ولكن إضافة كمية صغيرة أخرى تُسبب فجأة انهيارًا كبيرًا. [ 71 ] وبصرف النظر عن هذا السلوك غير الخطي، تتصرف الكثبان الهلالية بشكل مشابه للأمواج المنفردة . [ 72 ]

فقاعات، رغوة

تُشكّل فقاعة الصابون كرةً ، أي سطحًا ذا مساحة دنيا ( سطح أدنى ) - أصغر مساحة سطح ممكنة للحجم المحصور. وتشكّل فقاعتان معًا شكلًا أكثر تعقيدًا: فالسطحان الخارجيان لكلتا الفقاعتين كرويان؛ ويتصل هذان السطحان بسطح كروي ثالث عندما تنتفخ الفقاعة الأصغر قليلًا داخل الفقاعة الأكبر. [ 11 ]

الرغوة عبارة عن كتلة من الفقاعات؛ وتوجد رغوات من مواد مختلفة في الطبيعة. تخضع الرغوات المكونة من أغشية الصابون لقوانين بلاتو ، التي تنص على ضرورة التقاء ثلاثة أغشية صابون عند كل حافة بزاوية 120 درجة، وأربعة أغشية صابون عند كل رأس بزاوية رباعية الأوجه تبلغ حوالي 109.5 درجة. كما تنص قوانين بلاتو على ضرورة أن تكون الأغشية ناعمة ومتصلة، وأن يكون لها انحناء متوسط ​​ثابت عند كل نقطة. على سبيل المثال، قد يبقى الغشاء مسطحًا تقريبًا في المتوسط ​​عن طريق انحنائه لأعلى في اتجاه واحد (مثلاً، من اليسار إلى اليمين) بينما ينحني لأسفل في اتجاه آخر (مثلاً، من الأمام إلى الخلف). [ 73 ] [ 74 ] يمكن استخدام الهياكل ذات الأسطح الدنيا كخيام.

At the scale of living cells, foam patterns are common; radiolarians, spongespicules, silicoflagellateexoskeletons and the calcite skeleton of a sea urchin, Cidaris rugosa, all resemble mineral casts of Plateau foam boundaries.[75][76] The skeleton of the Radiolarian, Aulonia hexagona, a beautiful marine form drawn by Ernst Haeckel, looks as if it is a sphere composed wholly of hexagons, but this is mathematically impossible. The Euler characteristic states that for any convex polyhedron, the number of faces plus the number of vertices (corners) equals the number of edges plus two. A result of this formula is that any closed polyhedron of hexagons has to include exactly 12 pentagons, like a soccer ball, Buckminster Fullergeodesic dome, or fullerene molecule. This can be visualised by noting that a mesh of hexagons is flat like a sheet of chicken wire, but each pentagon that is added forces the mesh to bend (there are fewer corners, so the mesh is pulled in).[77]

Tessellations

التبليط هو نمط يتكون من تكرار البلاطات على سطح مستوٍ. توجد 17 مجموعة من أنماط التبليط في ورق الجدران. [ 78 ] على الرغم من شيوعها في الفن والتصميم، إلا أن التبليط المتكرر بدقة أقل شيوعًا في الكائنات الحية. تُعد خلايا أعشاش الدبابير الاجتماعية الورقية ، وخلايا الشمع في أقراص العسل التي يبنيها نحل العسل، أمثلة معروفة. أما في عالم الحيوان، فتُحمي الأسماك العظمية والزواحف، أو حيوان البنغول ، أو الفواكه مثل السالاك، بواسطة حراشف أو صفائح عظمية متداخلة ، تُشكل وحدات متكررة بدقة تقريبًا، على الرغم من أن حجم الحراشف غالبًا ما يختلف باستمرار. وفي عالم الزهور، تتميز زهرة فريتيلاريا ميليجريس (Fritillaria meleagris ) بنمط رقعة الشطرنج على بتلاتها. كما تُقدم هياكل المعادن أمثلة جيدة على الترتيبات ثلاثية الأبعاد المتكررة بانتظام. على الرغم من وجود مئات الآلاف من المعادن المعروفة، إلا أن هناك عددًا قليلًا نسبيًا من أنواع ترتيب الذرات في البلورة ، والتي تُحددها بنية البلورة ونظام البلورة ومجموعة النقاط ؛ على سبيل المثال، يوجد 14 شبكة برافي بالضبط لأنظمة الشبكات السبعة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. [ 79 ]

الشقوق

الشقوق عبارة عن فتحات خطية تتشكل في المواد لتخفيف الإجهاد . عندما تتمدد مادة مرنة أو تنكمش بشكل منتظم، فإنها تصل في النهاية إلى قوة تحملها القصوى ثم تنهار فجأة في جميع الاتجاهات، مما يُحدث شقوقًا بزاوية 120 درجة، بحيث تلتقي ثلاثة شقوق عند نقطة واحدة. وعلى العكس من ذلك، عندما تنهار مادة غير مرنة، تتشكل شقوق مستقيمة لتخفيف الإجهاد. ويؤدي المزيد من الإجهاد في نفس الاتجاه إلى فتح الشقوق الموجودة؛ بينما يمكن للإجهاد بزاوية قائمة أن يُحدث شقوقًا جديدة بزاوية 90 درجة على الشقوق القديمة. وبالتالي، يُشير نمط الشقوق إلى ما إذا كانت المادة مرنة أم لا. [ 80 ] في مادة ليفية صلبة مثل لحاء شجرة البلوط، تتشكل الشقوق لتخفيف الإجهاد كالمعتاد، لكنها لا تنمو طويلًا لأن نموها يتعطل بسبب حزم من الألياف المرنة القوية. ولأن لكل نوع من أنواع الأشجار بنيته الخاصة على مستوى الخلية والجزيئات، فإن لكل نوع نمطه الخاص من التشققات في لحائه. [ 81 ]

بقع، خطوط

تتميز النمور والخنافس المرقطة ببقعها، بينما تتميز أسماك الملائكة والحمير الوحشية بخطوطها. [ 82 ] لهذه الأنماط تفسير تطوري : فهي تؤدي وظائف تزيد من فرص بقاء نسل الحيوان ذي النمط وتكاثره. إحدى وظائف أنماط الحيوانات هي التمويه ؛ [ 26 ] فعلى سبيل المثال، النمر الذي يصعب رؤيته يصطاد فرائس أكثر. وظيفة أخرى هي الإشارة [ 27 ] - فعلى سبيل المثال، تقل احتمالية تعرض الخنفساء لهجوم الطيور الجارحة التي تصطاد بالنظر، إذا كانت ذات ألوان تحذيرية زاهية، وذات طعم مر أو سام ، أو تحاكي حشرات أخرى كريهة المذاق. قد يرى طائر صغير حشرة ذات نمط تحذيري مثل الخنفساء ويحاول أكلها، لكنه لن يفعل ذلك إلا مرة واحدة؛ وسرعان ما يبصق الحشرة المرة؛ وتبقى الخنافس الأخرى في المنطقة دون إزعاج. وهكذا، تنجو النمور والخنافس الصغيرة، التي ترث جينات تُسبب البقع بطريقة ما. لكن في حين أن هذه الحجج التطورية والوظيفية تفسر سبب حاجة هذه الحيوانات إلى أنماطها، فإنها لا تفسر كيفية تشكل هذه الأنماط. [ 82 ]

تشكيل الأنماط

وصف آلان تورينج [ 17 ] ، ولاحقًا عالم الأحياء الرياضية جيمس موراي [ 83 ] ، آليةً تُنشئ تلقائيًا أنماطًا منقطة أو مخططة: نظام التفاعل والانتشار [ 84 ] . تحتوي خلايا الكائن الحي الصغير على جينات يمكن تنشيطها بواسطة إشارة كيميائية، تُسمى المورفوجين ، مما يؤدي إلى نمو نوع معين من البنية، كبقعة جلدية داكنة اللون. إذا كان المورفوجين موجودًا في كل مكان، تكون النتيجة تصبغًا متجانسًا، كما في النمر الأسود. أما إذا كان توزيعه غير متجانس، فقد ينتج عنه بقع أو خطوط. اقترح تورينج إمكانية وجود آلية تحكم ارتدادي في إنتاج المورفوجين نفسه. وهذا قد يُسبب تقلبات مستمرة في كمية المورفوجين أثناء انتشاره في جميع أنحاء الجسم. يلزم وجود آلية ثانية لتكوين أنماط الموجات المستقرة (التي تؤدي إلى ظهور بقع أو خطوط): وهي مادة كيميائية مثبطة توقف إنتاج المورفوجين، وتنتشر هذه المادة في الجسم بسرعة أكبر من المورفوجين، مما ينتج عنه نظام منشط-مثبط. يُعد تفاعل بيلوسوف-جابوتينسكي مثالًا غير بيولوجي على هذا النوع من الأنظمة، وهو عبارة عن مذبذب كيميائي . [ 84 ]

نجحت الأبحاث اللاحقة في ابتكار نماذج مقنعة لأنماط متنوعة، مثل خطوط الحمار الوحشي، وبقع الزرافة، وبقع النمر (بقع متوسطة السواد محاطة بحلقات داكنة متقطعة)، وأنماط صدفة الخنفساء (تخطيطات هندسية مختلفة للبقع والخطوط، انظر الرسوم التوضيحية). [ 85 ] تستخدم نماذج التنشيط والتثبيط لريتشارد بروم ، المستمدة من أعمال تورينج، ستة متغيرات لتفسير النطاق الملحوظ لتسعة أنماط أساسية لتصبغ الريش، بدءًا من أبسطها، وهي بقعة صبغية مركزية، مرورًا بالبقع متحدة المركز، والخطوط، والخطوط المتعرجة، وبقعة العين، وزوج من البقع المركزية، وصفوف من البقع المزدوجة، ومجموعة من النقاط. [ 86 ] [ 87 ] تحاكي نماذج أكثر تفصيلًا أنماط الريش المعقدة في دجاج غينيا (Numida meleagris)، حيث تتميز الريشات الفردية بانتقالات من خطوط عند القاعدة إلى مجموعة من النقاط عند الطرف البعيد. تتطلب هذه العمليات تذبذبًا ناتجًا عن إشارتين مثبطتين، مع تفاعلات في كل من المكان والزمان. [ 87 ]

قد تتشكل أنماطٌ لأسبابٍ أخرى في الغطاء النباتي لأشجار النمر [ 88 ] وموجات التنوب [ 89 ] . تظهر خطوط أشجار النمر على المنحدرات القاحلة حيث يحدّ هطول الأمطار من نمو النباتات. يجمع كل شريطٍ أفقي تقريبًا من الغطاء النباتي مياه الأمطار من المنطقة الجرداء التي تعلوه مباشرةً [ 88 ] . أما موجات التنوب فتحدث في الغابات على سفوح الجبال بعد اضطراب الرياح، أثناء عملية التجدد. عندما تسقط الأشجار، تنكشف الأشجار التي كانت تحميها، وبالتالي تصبح أكثر عرضةً للتلف، لذا تميل الفجوات إلى الاتساع في اتجاه الريح. في الوقت نفسه، تنمو الأشجار الصغيرة على الجانب المواجه للريح، محميةً بظلال الأشجار الطويلة المتبقية. [ 89 ] تتشكل الأنماط الطبيعية أحيانًا بفعل الحيوانات، كما هو الحال في تلال ميما في شمال غرب الولايات المتحدة وبعض المناطق الأخرى، والتي يبدو أنها تشكلت على مدى سنوات عديدة بفعل أنشطة الحفر التي تقوم بها حيوانات الغوفر الجيبية ، [ 90 ] بينما يبدو أن ما يسمى بدوائر الجنيات في ناميبيا قد تشكلت بفعل تفاعل مجموعات متنافسة من النمل الأبيض الرملي، إلى جانب التنافس على الماء بين نباتات الصحراء. [ 91 ]

في التربة الصقيعية ذات الطبقة العلوية النشطة المعرضة للتجمد والذوبان السنوي، قد تتشكل أنماط أرضية مميزة ، مكونةً دوائر، وشبكات، وأشكالًا جليدية إسفينية ، ودرجات، وخطوطًا. يتسبب الانكماش الحراري في تشكل شقوق انكماشية؛ وعند الذوبان، يملأ الماء هذه الشقوق، ويتمدد ليشكل جليدًا عند تجمده لاحقًا، مما يؤدي إلى اتساع الشقوق وتحولها إلى أشكال إسفينية. وقد تتصل هذه الشقوق لتشكل أشكالًا متعددة الأضلاع وأشكالًا أخرى. [ 92 ]

ينتج النمط المتشقق الذي يتطور على أدمغة الفقاريات عن عملية فيزيائية للتمدد المقيد، تعتمد على معيارين هندسيين: التمدد القشري المماسي النسبي، والسمك النسبي للقشرة . وقد تم إثبات أنماط مماثلة من التلافيف (القمم) والأخاديد (الوديان) في نماذج الدماغ، بدءًا من مواد هلامية ناعمة متعددة الطبقات، حيث تنتج هذه الأنماط عن قوى ميكانيكية ضاغطة ناتجة عن تمدد الطبقة الخارجية (التي تمثل القشرة) بعد إضافة مذيب. وتؤكد النماذج العددية في عمليات المحاكاة الحاسوبية الملاحظات الطبيعية والتجريبية التي تشير إلى أن أنماط طي السطح تزداد في الأدمغة الأكبر حجمًا. [ 93 ] [ 94 ]

انظر أيضاً

مراجع

الحواشي

  1. ↑ لم يكتفِ الفيثاغوريون ، الذين كانوا أول من درس الرياضيات، بتطوير هذا العلم فحسب، بل إنهم، بعد أن تشبّعوا به، توهموا أن مبادئ الرياضيات هي مبادئ كل شيء. أرسطو ، الميتافيزيقا 1-5 ، حوالي 350 قبل الميلاد
  2. ↑ يروي أرسطو أن إمبيدوكليس يجادل قائلاً: "أينما سارت الأمور كما لو كانت تحدث لغرض ما، فإن المخلوقات نجت هناك، حيث تم تركيبها بشكل مناسب عن طريق الصدفة؛ ولكن حيث لم يحدث ذلك، هلكت المخلوقات." ( الطبيعة ، B8، 198b29 في كيرك وآخرون، 304).

الاقتباسات

  1. ↑ ستيفنز 1974 ، ص 3.
  2. ↑ بالاغير، مارك (7 أبريل 2009) [2004]. "الأفلاطونية في الميتافيزيقا" . موسوعة ستانفورد للفلسفة . تم الاطلاع عليه في 4 مايو 2012 .
  3. 1 2 3 4 5 ليفيو، ماريو (2003) [2002]. النسبة الذهبية: قصة فاي، الرقم الأكثر إثارة للدهشة في العالم (الطبعة الأولى بغلاف ورقي ). نيويورك: برودواي بوكس . ص 110. ISBN   978-0-7679-0816-0.
  4. ↑ دافنشي، ليوناردو (1971). تايلور، باميلا (محررة). دفاتر ليوناردو دافنشي . مكتبة أمريكا الجديدة. ص 121. 
  5. ^ سينغ ، بارماناند (1986). “أشاريا هيماتشاندرا وأرقام فيبوناتشي (ما يسمى)”. تعليم الرياضيات سيوان . 20 (1): 28– 30. ISSN 0047-6269 . 
  6. ↑ نوت، رون. "أرانب فيبوناتشي" . كلية الهندسة والعلوم الفيزيائية بجامعة سري .
  7. ↑ براون، توماس (1658). "الفصل الثالث" . حديقة كورش .
  8. ↑ بادوفان، ريتشارد (1999). النسبة: العلم، الفلسفة، العمارة . تايلور وفرانسيس. ص 305-306 . ISBN  978-0-419-22780-9.
  9. ↑ بادوفان، ريتشارد (2002). "النسبة: العلم، الفلسفة، العمارة" . مجلة شبكة نيكسوس . 4 (1): 113-122 . doi : 10.1007/s00004-001-0008-7 .
  10. ^ زيسينج ، أدولف (1854). New Lehre van den Proportionen des meschlischen Körpers . مقدمة.
  11. 1 2 ستيوارت 2001 ، ص 108-109.
  12. ↑ Ball 2009a ، ص 73-76.
  13. ↑ Ball 2009a ، ص 41.
  14. ↑ هانافي، جون (2007). موسوعة التصوير الفوتوغرافي في القرن التاسع عشر . المجلد 1. مطبعة سي آر سي. ص 149. ISBN   978-0-415-97235-2.
  15. 1 2 ليفيو، ماريو (2003) [2002]. النسبة الذهبية: قصة فاي، الرقم الأكثر إثارة للدهشة في العالم . نيويورك: برودواي بوكس . ص 111. ISBN  978-0-7679-0816-0.
  16. ↑ حول دارسي. مؤرشف بتاريخ 1 يوليو 2017 في أرشيف الإنترنت . دارسي 150. جامعة دندي وجامعة سانت أندروز . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 أكتوبر 2012.
  17. 1 2 تورينج، أ.م. (1952). "الأساس الكيميائي لتكوين الشكل". المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية ب . 237 (641): 37-72 . Bibcode : 1952RSPTB.237...37T . doi : 10.1098/rstb.1952.0012 . S2CID 937133 . 
  18. ↑ Ball 2009a ، ص 163، 247–250.
  19. 1 2 3 روزنبرغ، غريغورز ؛ سالوما، أرتو. النظرية الرياضية لأنظمة L. دار النشر الأكاديمية ، نيويورك، 1980. ISBN 0-12-597140-0
  20. 1 2 ماندلبروت، بينوا ب. (1983). الهندسة الكسورية للطبيعة . ماكميلان.
  21. ↑ فوربس، بيتر. كل هذا الجمال عديم الفائدة . صحيفة الغارديان. مراجعة: غير روائي. 11 فبراير 2012.
  22. ↑ ستيفنز 1974 ، ص 222.
  23. ↑ ستين، ل. أ. ( 1988). "علم الأنماط" . مجلة ساينس . 240 (4852): 611-616 . رمز Bibcode : 1988Sci...240..611S . doi : 10.1126/science.240.4852.611 . PMID 17840903. S2CID 4849363. مؤرشف من الأصل بتاريخ 28-10-2010 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 02-05-2012 .  
  24. ↑ ديفلين، كيث . الرياضيات: علم الأنماط: البحث عن النظام في الحياة والعقل والكون (مكتبة ساينتفك أمريكان للكتب الورقية) 1996
  25. ↑ تاتاركيفيتش، فلاديسلاف . "الكمال في العلوم. الجزء الثاني: الكمال في الفيزياء والكيمياء". الجدلية والإنسانية . 7 (2 (ربيع 1980)): 139.
  26. 1 2 3 داروين، تشارلز . أصل الأنواع . 1859، الفصل 4.
  27. 1 2 ويكلر، وولفغانغ (1968). المحاكاة في النباتات والحيوانات . نيويورك: ماكجرو هيل.
  28. ↑ بولين، ر.؛ غروتر، أ.س. (1996). "التكافل المنظف: تفسيرات قريبة وتكيفية" . مجلة العلوم البيولوجية . 46 (7): 512-517 . doi : 10.2307/1312929 . JSTOR 1312929 . 
  29. ↑ كونينغ، روس (1994). "موقع معلومات فسيولوجيا النبات" . تكيفات التلقيح . تم الاسترجاع في 2 مايو 2012 .
  30. ↑ ستيوارت 2001 ، ص 48-49.
  31. ↑ ستيوارت 2001 ، ص 64-65.
  32. ↑ ستيوارت 2001 ، ص 52.
  33. ↑ ستيوارت 2001 ، ص 82-84.
  34. ↑ ستيوارت 2001 ، ص 60.
  35. ↑ ستيوارت 2001 ، ص 71.
  36. ↑ هيكمان، كليفلاند ب.؛ روبرتس، لاري س.؛ لارسون، آلان (2002). "تنوع الحيوانات" (ملف PDF) . الفصل 8: الحيوانات ثنائية التناظر عديمة التجويف الجسمي ( الطبعة الثالثة). ص 139. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 17 مايو 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 أكتوبر 2012 .  
  37. ↑ سومرال، كولين د.؛ وراي، غريغوري أ. (يناير 2007). "التطور الجنيني في السجل الأحفوري: تنوع أشكال الجسم وتطور التناظر "الشاذ" في شوكيات الجلد في حقبة الحياة القديمة". علم الأحياء القديمة . 33 (1): 149-163 . Bibcode : 2007Pbio...33..149S . doi : 10.1666/06053.1 . JSTOR 4500143. S2CID 84195721 .  
  38. ↑ "صورة الأسبوع - يا إلهي، كرات جليدية ضخمة!" . علوم الغلاف الجليدي . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23-04-2022 .
  39. ^ ريختر، جان بول، أد. (1970) [1880]. دفاتر ليوناردو دافنشي . دوفر. رقم ISBN 978-0-486-22572-2.{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  40. 1 2 بالكا، جو (26 ديسمبر 2011). "حكمة الأشجار (ليوناردو دافنشي عرفها)" . برنامج مورنينغ إيديشن . الإذاعة الوطنية العامة . تم الاطلاع عليه في 16 يوليو 2019 .
  41. ↑ مينامينو، ريوكو؛ تاتينو، ماساكي (2014). "تفرع الشجرة: قاعدة ليوناردو دافنشي مقابل النماذج البيوميكانيكية". PLoS One . المجلد 9، العدد 4. doi : 10.1371/journal.pone.0093535 .  
  42. ↑ فالكونر، كينيث (2003). الهندسة الكسورية: الأسس الرياضية والتطبيقات . جون وايلي.
  43. ↑ بريغز، جون (1992). الفراكتلات: أنماط الفوضى . تيمز وهدسون. ص 148. 
  44. ↑ باتي، مايكل (4 أبريل 1985). "الكسور الهندسية - الهندسة بين الأبعاد". مجلة نيو ساينتست . 105 (1450): 31.
  45. ↑ ماير، إيف؛ روك، سيلفي (1993). التقدم في تحليل الموجات الصغيرة وتطبيقاتها: وقائع المؤتمر الدولي "الموجات الصغيرة وتطبيقاتها"، تولوز، فرنسا - يونيو 1992. أتلانتيكا سيغييه فرونتيرز. ص 25. ISBN  978-2-86332-130-0.
  46. ↑ كاربون، أليساندرا ؛ غروموف، ميخائيل ؛ بروسينكيويتش، برزيميسلاف (2000). تكوين الأنماط في علم الأحياء والرؤية والديناميات . وورلد ساينتيفيك. ص 78. ISBN  978-981-02-3792-9.
  47. ↑ هان، هورست ك.؛ جورج، مانفريد؛ بيتجن، هاينز-أوتو (2005). "الجوانب الكسورية للتحسين البنائي ثلاثي الأبعاد للأوعية الدموية". في: لوسا، غابرييل أ.؛ نوننماخر، ثيو ف. (محرران). الكسور في علم الأحياء والطب . سبرينغر. ص 55-66 . 
  48. ↑ تاكيدا، ت؛ إيشيكاوا، أ؛ أوهتومو، ك؛ كوباياشي، ي؛ ماتسوكا، ت (فبراير 1992). "البعد الكسري للشجرة التغصنية لخلايا بوركنجي المخيخية خلال التطور الفردي والتطور السلالي". أبحاث علم الأعصاب . 13 (1): 19-31 . doi : 10.1016/0168-0102(92)90031-7 . PMID 1314350. S2CID 4158401 .  
  49. ↑ صادق، ساناز (2017). "غشاء البلازما مُقسّم بواسطة شبكة أكتين قشرية ذاتية التشابه" . مجلة Physical Review X. 7 ( 1) 011031. arXiv : 1702.03997 . Bibcode : 2017PhRvX...7a1031S . doi : 10.1103 /PhysRevX.7.011031 . PMC 5500227. PMID 28690919 .  
  50. ↑ أديسون، بول س. (1997). الفراكتلات والفوضى: دورة مصورة . مطبعة سي آر سي. ص 44-46 . 
  51. ↑ ماور، إيلي. هـ: قصة رقم . مطبعة جامعة برينستون، 2009. صفحة 135.
  52. ↑ Ball 2009a ، ص 29-32.
  53. ↑ "الشبكات الحلزونية والتشابك" . كلية سميث . مؤرشف من الأصل في 26 مايو 2010. تم الاطلاع عليه في 24 سبتمبر 2013 .
  54. 1 2 كابراف، جاي (2004). "النمو في النباتات: دراسة عددية" (ملف PDF) . فورما . 19 : 335-354 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2016-03-04 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2012-05-02 .
  55. ↑ Ball 2009a ، ص 13.
  56. ↑ كوكسيتر، إتش إس إم (1961). مقدمة في الهندسة . وايلي. ص 169. 
  57. ↑ سميث الابن، ك. ل.؛ هولاند، ن. د.؛ روهل، هـ. أ. (2005). "إنتاج الديدان المعوية لمسارات برازية حلزونية على قاع البحر العميق، كما رُصد بالتصوير الفوتوغرافي بتقنية الفاصل الزمني". أبحاث أعماق البحار، الجزء الأول: أوراق بحثية في علم المحيطات . 52 (7): 1228-1240 . رمز Bibcode : 2005DSRI...52.1228S . doi : 10.1016/j.dsr.2005.02.004 .
  58. ↑ بروسينكيويتش، برزيميسلاف ؛ ليندنماير، أريستيد (1990). الجمال الخوارزمي للنباتات . سبرينغر-فيرلاغ. ص 101-107 . ISBN  978-0-387-97297-8.
  59. ↑ ليفيتوف، إل إس (15 مارس 1991). "النهج الطاقي لترتيب الأوراق". رسائل الفيزياء الأوروبية . 14 (6): 533-539 . Bibcode : 1991EL.....14..533L . doi : 10.1209/0295-5075/14/6/006 . S2CID 250864634 . 
  60. ↑ دوادي، س.؛ كودر، ي. (مارس 1992). "الترتيب الورقي كعملية نمو فيزيائية ذاتية التنظيم". رسائل المراجعة الفيزيائية . 68 (13): 2098-2101 . Bibcode : 1992PhRvL..68.2098D . doi : 10.1103/PhysRevLett.68.2098 . PMID 10045303 . 
  61. ↑ Ball 2009a ، ص 163، 249-250.
  62. ↑ لورنز، إدوارد ن. (مارس 1963). "التدفق غير الدوري الحتمي" . مجلة علوم الغلاف الجوي . 20 (2): 130-141 . Bibcode : 1963JAtS...20..130L . doi : 10.1175/1520-0469(1963)020 < 0130:DNF > 2.0.CO ; 2 .
  63. ↑ العايدي، صابر ن. (1999). الفوضى المنفصلة . تشابمان آند هول/سي آر سي. ص 117. 
  64. ↑ رويل، ديفيد (1991). الصدفة والفوضى . مطبعة جامعة برينستون. رمز Bibcode : 1991chch.book.....R .
  65. ↑ وولفرام، ستيفن (2002). نوع جديد من العلوم . وولفرام ميديا.
  66. ^ فون كارمان، ثيودور (1963). الديناميكا الهوائية . ماكجرو هيل. رقم ISBN 978-0070676022.{{cite book}}: صيانة CS1: تم تجاهل أخطاء ISBN ( رابط ) . دوفر (1994): ISBN 978-0486434858.
  67. ↑ ليوال، جاك (2006). "انفصال التدفق والتدفق الثانوي: القسم 9.1" (ملف PDF) . سلسلة محاضرات في ديناميكا الموائع غير القابلة للانضغاط: الظواهر والمفاهيم والأدوات التحليلية . سيراكيوز، نيويورك: جامعة سيراكيوز. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 29 سبتمبر 2011..
  68. ↑ فرينش، أ.ب. (1971). الاهتزازات والأمواج . نيلسون ثورنز.
  69. ↑ تولمان، إتش إل (2008). "النمذجة العملية لأمواج الرياح" (ملف PDF) . في محمود، إم إف (محرر). وقائع مؤتمر CBMS حول أمواج المياه: النظرية والتجربة . جامعة هوارد، الولايات المتحدة الأمريكية، 13-18 مايو 2008. منشورات وورلد ساينتيفيك.
  70. ↑ "أنواع الكثبان الرملية" . هيئة المسح الجيولوجي الأمريكية . 29 أكتوبر 1997. تم الاطلاع عليه في 2 مايو 2012 .
  71. ↑ ستراهلر، أ.؛ أرشيبولد، أو. دبليو. (2008). الجغرافيا الطبيعية: علم وأنظمة البيئة البشرية ( الطبعة الرابعة). جون وايلي. ص 442.  
  72. ↑ شفاملي، ف.؛ هيرمان، هـ. ج . (11 ديسمبر 2003). "سلوك الموجات المنفردة في الكثبان الرملية". مجلة نيتشر . 426 (6967): 619-620 . Bibcode : 2003Natur.426..619S . doi : 10.1038/426619a . PMID 14668849. S2CID 688445 .  
  73. ↑ Ball 2009a ، ص 68.
  74. ↑ ألمغرين، فريدريك جيه. الابن؛ تايلور، جين إي. (يوليو 1976). "هندسة أغشية الصابون وفقاعات الصابون". مجلة ساينتفك أمريكان . 235 (235): 82-93 . Bibcode : 1976SciAm.235a..82A . doi : 10.1038/scientificamerican0776-82 .
  75. ↑ Ball 2009a ، ص 96-101.
  76. ↑ برودي، كريستينا (فبراير 2005). "الهندسة والنمط في الطبيعة 3: الثقوب في أصداف الشعاعيات والدياتومات" . المجهر - المملكة المتحدة . تم الاسترجاع في 28 مايو 2012 .
  77. ↑ Ball 2009a ، ص 51-54.
  78. ↑ أرمسترونج، ماجستير (1988). المجموعات والتناظر . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ.
  79. ↑ هوك، جيه آر؛ هول، إتش إي. فيزياء الحالة الصلبة (الطبعة الثانية). سلسلة مانشستر للفيزياء، جون وايلي وأولاده، 2010. ISBN 978-0-471-92804-1
  80. ↑ ستيفنز 1974 ، ص 207.
  81. ↑ ستيفنز 1974 ، ص 208.
  82. 1 2 Ball 2009a ، ص 156-158.
  83. ↑ موراي، جيمس د. (9 مارس 2013). البيولوجيا الرياضية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. الصفحات 436-450 . ISBN  978-3-662-08539-4.
  84. 1 2 Ball 2009a ، ص 159-167.
  85. ↑ Ball 2009a ، ص 168–180.
  86. ↑ روثنبرغ 2011 ، ص 93-95.
  87. 1 2 بروم، ريتشارد أو .؛ ​​ويليامسون، سكوت (2002). "نماذج التفاعل والانتشار لأنماط التصبغ داخل الريش" (ملف PDF) . وقائع الجمعية الملكية في لندن، السلسلة ب . 269 ( 1493): 781-792 . Bibcode : 2002PBioS.269..781P . doi : 10.1098/rspb.2001.1896 . PMC 1690965. PMID 11958709 .  
  88. 1 2 تونغواي، دي جيه؛ فالنتين، سي؛ سيغيري، جيه (2001). أنماط الغطاء النباتي المخطط في البيئات القاحلة وشبه القاحلة . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ.
  89. 1 2 دافانزو، سي. (22 فبراير 2004). "موجات التنوب: التجدد في غابات الصنوبريات في نيو إنجلاند" . TIEE . تم الاسترجاع في 26 مايو 2012 .
  90. ^ موريل ، ريبيكا (2013/12/09). ""باحثو البيانات الرقمية يحلون لغز تل ميما" . بي بي سي نيوز . تاريخ الاطلاع: 9 ديسمبر 2013 .
  91. ↑ سامبل، إيان (18 يناير 2017). "قد يُكشف أخيرًا سرّ 'دوائر الجنيات' في ناميبيا" . صحيفة الغارديان . تاريخ الاطلاع: 18 يناير 2017 .
  92. ↑ "التربة الصقيعية: أرض ذات أنماط" . فيلق المهندسين بالجيش الأمريكي . مؤرشف من الأصل في 7 مارس 2015. تم الاطلاع عليه في 17 فبراير 2015 .
  93. ↑ غوز، تيا. "إعادة إنشاء نمط طي الدماغ البشري الغريب في وعاء" . مجلة ساينتفك أمريكان . تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 أبريل 2018 .
  94. ↑ تالينين، توما؛ تشونغ، جون يونغ؛ بيغينز، جون س.؛ ماهاديفان، ل. (2014). " التلافيف الناتجة عن التوسع القشري المقيد" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 111 (35): 12667-12672 . arXiv : 1503.03853 . Bibcode : 2014PNAS..11112667T . doi : 10.1073/pnas.1406015111 . PMC 4156754. PMID 25136099 .  

فهرس

مؤلفون رواد

كتب عامة

أنماط من الطبيعة (كفن)

  • إدماير، برنارد. أنماط الأرض . دار فايدون للنشر ، 2007.
  • ماكناب، ماغي. التصميم من خلال الطبيعة: استخدام الأشكال والمبادئ العالمية في التصميم . نيو رايدرز، 2012.
  • ناكامورا، شيجيكي. كتاب مصادر الأنماط: 250 نمطًا مستوحى من الطبيعة. الكتابان 1 و2. روكبورت، 2009.
  • أونيل، بولي. الأسطح والتركيبات: كتاب مرجعي بصري . بلاك، 2008.
  • بورتر، إليوت ، وجليك، جيمس . فوضى الطبيعة . فايكنغ بنغوين ، 1990.
  • أعداد فيبوناتشي والنسبة الذهبية
  • الترتيب الورقي: موقع تفاعلي للدراسة الرياضية لتكوين أنماط النباتات