نظرية تايلور

جزء من سلسلة مقالات حول
حساب التفاضل والتكامل
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
النظرية الأساسية الحدود الاستمرارية نظرية رول نظرية القيمة المتوسطة نظرية الدالة العكسية
التفاضلي التعاريف المشتقات  ( التعميمات ) التفاضلي لانهائي في الصغر من وظيفة المجموع المفاهيم تدوين التفاضل المشتقة الثانية التمايز الضمني التفاضل اللوغاريتمي الأسعار ذات الصلة نظرية تايلور القواعد والهويات مجموع منتج سلسلة قوة الحاصل قاعدة لوبيتال Inverse General Leibniz Faà di Bruno's formula Reynolds
Integral Lists of integrals Integral transform Leibniz integral rule Definitions Antiderivative Integral (improper) Riemann integral Lebesgue integration Contour integration Integral of inverse functions Integration by Parts Discs Cylindrical shells Substitution (trigonometric, tangent half-angle, Euler) Euler's formula Partial fractions (Heaviside's method) Changing order Reduction formulae Differentiating under the integral sign Risch algorithm
Series Geometric (arithmetico-geometric) Harmonic Alternating Power Binomial Taylor Convergence tests Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

في حساب التفاضل والتكامل ، تعطي نظرية تايلور تقريبًا لدالة قابلة للاشتقاق a- مرات حول نقطة معينة بواسطة كثيرة حدود من الدرجة ، تسمى كثيرة حدود تايلور من الدرجة - . بالنسبة للدالة السلسة ، تكون كثيرة حدود تايلور هي القطع عند رتبة متسلسلة تايلور للدالة. تعد كثيرة حدود تايلور من الدرجة الأولى التقريب الخطي للدالة، وغالبًا ما يشار إلى كثيرة حدود تايلور من الدرجة الثانية بالتقريب التربيعي . ^[1] هناك عدة إصدارات من نظرية تايلور، بعضها يعطي تقديرات صريحة لخطأ التقريب للدالة بواسطة كثيرة حدود تايلور الخاصة بها. ${\textstyle k}$${\textstyle k}$${\textstyle k}$${\textstyle k}$

تم تسمية نظرية تايلور على اسم عالم الرياضيات بروك تايلور ، الذي وضع نسخة منها في عام 1715، ^[2] على الرغم من أن نسخة سابقة من النتيجة تم ذكرها بالفعل في عام 1671 بواسطة جيمس جريجوري . ^[3]

تُدرَّس نظرية تايلور في دورات حساب التفاضل والتكامل التمهيدية وهي إحدى الأدوات الأولية المركزية في التحليل الرياضي . وهي تعطي صيغًا حسابية بسيطة لحساب قيم العديد من الدوال المتعالية بدقة مثل الدالة الأسية والدوال المثلثية . وهي نقطة البداية لدراسة الدوال التحليلية ، وهي أساسية في مجالات مختلفة من الرياضيات، وكذلك في التحليل العددي والفيزياء الرياضية . كما تعمم نظرية تايلور على الدوال ذات القيم المتعددة والمتجهة . وقد وفرت الأساس الرياضي لبعض آلات الحوسبة المبكرة البارزة: حيث حسب محرك الفرق الخاص بتشارلز باباج الجيب وجيب التمام واللوغاريتمات والدوال المتعالية الأخرى عن طريق التكامل العددي لأول 7 حدود من سلسلة تايلور الخاصة بهم.

إذا كانت الدالة ذات القيمة الحقيقية قابلة للاشتقاق عند النقطة ، فإن لها تقريبًا خطيًا بالقرب من هذه النقطة. وهذا يعني أن هناك دالة h ₁ ( x ) بحيث ${\textstyle f(x)}$${\textstyle x=a}$

$${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+h_{1}(x)(x-a),\quad \lim _{x\to a}h_{1}(x)=0.}$$

هنا

$${\displaystyle P_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)}$$

هو التقريب الخطي لـ x بالقرب من النقطة a ، حيث يكون رسمها البياني هو الخط المماس للرسم البياني عند x = a . الخطأ في التقريب هو: ${\textstyle f(x)}$${\textstyle y=P_{1}(x)}$${\textstyle y=f(x)}$$${\displaystyle R_{1}(x)=f(x)-P_{1}(x)=h_{1}(x)(x-a).}$$

وبما أن x يميل إلى  a، فإن هذا الخطأ يذهب إلى الصفر بشكل أسرع بكثير من ، مما يجعل التقريب مفيدًا. ${\displaystyle f'(a)(x{-}a)}$${\displaystyle f(x)\approx P_{1}(x)}$

للحصول على تقريب أفضل لـ ، يمكننا أن نلائم متعدد الحدود التربيعي بدلاً من الدالة الخطية: ${\textstyle f(x)}$

$${\displaystyle P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}.}$$

بدلاً من مطابقة مشتق واحد فقط لـ ، فإن هذه الحدودية لها نفس المشتقات الأولى والثانية، كما هو واضح عند التفاضل. ${\textstyle f(x)}$${\textstyle x=a}$

تضمن نظرية تايلور أن التقريب التربيعي يكون، في جوار صغير بدرجة كافية من ، أكثر دقة من التقريب الخطي. على وجه التحديد، ${\textstyle x=a}$

$${\displaystyle f(x)=P_{2}(x)+h_{2}(x)(x-a)^{2},\quad \lim _{x\to a}h_{2}(x)=0.}$$

هنا الخطأ في التقريب هو

$${\displaystyle R_{2}(x)=f(x)-P_{2}(x)=h_{2}(x)(x-a)^{2},}$$

والتي، بالنظر إلى السلوك المحدد لـ ، تذهب إلى الصفر بشكل أسرع مما تتجه إليه  x نحو a . ${\displaystyle h_{2}}$${\displaystyle (x-a)^{2}}$

وبالمثل، قد نحصل على تقريبات أفضل لـ f إذا استخدمنا كثيرات حدود من درجة أعلى، حيث يمكننا بعد ذلك مطابقة المزيد من المشتقات مع f عند نقطة الأساس المحددة.

بشكل عام، فإن الخطأ في تقريب دالة بواسطة كثيرة حدود من الدرجة k سوف يتجه إلى الصفر بشكل أسرع بكثير مما يحدث عندما تتجه  x إلى a . ومع ذلك، هناك دوال، حتى تلك التي يمكن التفاضل بينها بشكل لا نهائي، حيث لا يؤدي زيادة درجة كثيرة الحدود التقريبية إلى زيادة دقة التقريب: نقول إن مثل هذه الدالة تفشل في أن تكون تحليلية عند x = a : فهي لا تُحدَّد (محليًا) بواسطة مشتقاتها في هذه المرحلة. ${\displaystyle (x-a)^{k}}$

إن نظرية تايلور ذات طبيعة مقاربة: فهي تخبرنا فقط أن الخطأ في التقريب بواسطة متعددة حدود تايلور من الدرجة - P _k يميل إلى الصفر بشكل أسرع من أي متعددة حدود غير صفرية مثل . ولا تخبرنا بحجم الخطأ في أي جوار ملموس لمركز التمدد، ولكن لهذا الغرض توجد صيغ صريحة لمصطلح الباقي (موضحة أدناه) والتي تكون صالحة بموجب بعض افتراضات الانتظام الإضافية على f . تؤدي هذه الإصدارات المحسنة من نظرية تايلور عادةً إلى تقديرات موحدة لخطأ التقريب في جوار صغير لمركز التمدد، ولكن التقديرات لا تنطبق بالضرورة على الجوارات الكبيرة جدًا، حتى لو كانت الدالة f تحليلية . في هذه الحالة قد يتعين على المرء اختيار العديد من متعددات حدود تايلور بمراكز تمدد مختلفة للحصول على تقريبات تايلور موثوقة للدالة الأصلية (انظر الرسوم المتحركة على اليمين). ${\textstyle R_{k}}$${\textstyle k}$${\textstyle k}$${\textstyle x\to a}$

هناك عدة طرق يمكننا من خلالها استخدام مصطلح الباقي:

1. قم بتقدير الخطأ لكثيرة حدود P _k ( x ) من الدرجة k المقدرة على فترة زمنية معينة ( a – r ، a + r ). (بمعلومية الفترة الزمنية والدرجة، نجد الخطأ.)${\textstyle f(x)}$
2. أوجد أصغر درجة k التي يقترب منها كثير الحدود P _k ( x ) ضمن تسامح الخطأ المحدد على فترة زمنية محددة ( a − r ، a + r ). (بموجب الفترة الزمنية وتسامح الخطأ، نجد الدرجة.)${\textstyle f(x)}$
3. أوجد أكبر فترة ( a − r ، a + r ) حيث تقترب P _k ( x ) من حد تسامح الخطأ المعطى. (بمعلومية الدرجة ودرجة تسامح الخطأ، نجد الفترة).${\textstyle f(x)}$

إن البيان الدقيق للنسخة الأساسية من نظرية تايلور هو كما يلي:

الحدودية التي تظهر في نظرية تايلور هي حدودية تايلور من الدرجة -${\textstyle {\boldsymbol {k}}}$

$${\displaystyle P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}$$

للدالة f عند النقطة a . تعد متعددة حدود تايلور متعددة حدود "أفضل ملاءمة مقاربة" فريدة بمعنى أنه إذا كانت هناك دالة h _k  : R → R ومتعددة حدود من الدرجة -p بحيث ${\textstyle k}$

$${\displaystyle f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0,}$$

عندئذٍ p  =  P _k . تصف نظرية تايلور السلوك المقارب لمصطلح الباقي

$${\displaystyle R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x),}$$

وهو خطأ التقريب عند تقريب f باستخدام متعدد حدود تايلور. باستخدام تدوين little-o ، فإن العبارة في نظرية تايلور تقرأ على النحو التالي

$${\displaystyle R_{k}(x)=o(|x-a|^{k}),\quad x\to a.}$$

في ظل افتراضات الانتظام الأقوى على f، هناك العديد من الصيغ الدقيقة لحد الباقي R _k من متعددة حدود تايلور، وأكثرها شيوعًا هي التالية.

عادةً ما يتم إثبات هذه التحسينات لنظرية تايلور باستخدام نظرية القيمة المتوسطة ، ومن هنا جاءت تسميتها. بالإضافة إلى ذلك، لاحظ أن هذه هي نظرية القيمة المتوسطة على وجه التحديد عندما . يمكن أيضًا العثور على تعبيرات أخرى مماثلة. على سبيل المثال، إذا كانت G ( t ) متصلة على الفترة المغلقة وقابلة للاشتقاق باستخدام مشتقة غير متلاشية على الفترة المفتوحة بين و ، إذن ${\textstyle k=0}$${\textstyle a}$${\textstyle x}$

$${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}}$$

بالنسبة لعدد ما بين و . يغطي هذا الإصدار صيغتي لاجرانج وكوشي للباقي كحالات خاصة، ويتم إثباته أدناه باستخدام نظرية القيمة المتوسطة لكوشي . يتم الحصول على صيغة لاجرانج عن طريق أخذ ويتم الحصول على صيغة كوشي عن طريق أخذ . ${\textstyle \xi }$${\textstyle a}$${\textstyle x}$${\displaystyle G(t)=(x-t)^{k+1}}$${\displaystyle G(t)=t-a}$

إن العبارة الخاصة بالشكل التكاملي للباقي أكثر تقدمًا من العبارات السابقة، وتتطلب فهم نظرية تكامل ليبيج للعمومية الكاملة. ومع ذلك، فإنها تنطبق أيضًا بمعنى تكامل ريمان بشرط أن تكون  المشتقة ( k + 1) لـ f متصلة على الفترة المغلقة [ a ، x ].

بسبب الاستمرارية المطلقة لـ f ^{( k )} على الفاصل المغلق بين و ، فإن مشتقتها f ^{( k +1)} موجودة كدالة L ¹ ، ويمكن إثبات النتيجة من خلال حساب رسمي باستخدام النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل بالأجزاء . ${\textstyle a}$${\textstyle x}$

غالبًا ما يكون من المفيد عمليًا أن تكون قادرًا على تقدير حد الباقي الذي يظهر في تقريب تايلور، بدلاً من وجود صيغة دقيقة له. افترض أن f قابلة للاشتقاق باستمرار ( k + 1) مرات في فاصل I يحتوي على a . افترض أن هناك ثوابت حقيقية q و Q بحيث

$${\displaystyle q\leq f^{(k+1)}(x)\leq Q}$$

في جميع أنحاء I. ثم يفي مصطلح الباقي بالتباين ^[11]

$${\displaystyle q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}\leq R_{k}(x)\leq Q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},}$$

إذا كان x > a ، وتقدير مماثل إذا كان x < a . هذه نتيجة بسيطة لصيغة لاغرانج للباقي. على وجه الخصوص، إذا

$${\displaystyle |f^{(k+1)}(x)|\leq M}$$

على الفاصلة I = ( a − r , a + r ) مع بعض ، إذن ${\displaystyle r>0}$

$${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq M{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq M{\frac {r^{k+1}}{(k+1)!}}}$$

لجميع x ∈( a − r ، a + r ). تسمى المتباينة الثانية تقديرًا موحدًا ، لأنها تنطبق بشكل موحد على جميع x على الفترة ( a − r ، a + r ).

لنفترض أننا نريد إيجاد القيمة التقريبية للدالة على الفاصل مع التأكد من أن الخطأ في التقريب لا يزيد عن 10 ⁻⁵ . في هذا المثال، نتظاهر بأننا نعرف فقط الخصائص التالية للدالة الأسية: ${\textstyle f(x)=e^{x}}$${\textstyle [-1,1]}$

${\displaystyle e^{0}=1,\qquad {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x},\qquad e^{x}>0,\qquad x\in \mathbb {R} .}$

( ★ )

من هذه الخصائص، يتبين أنه بالنسبة لجميع ، وعلى وجه الخصوص، . وبالتالي، فإن متعددة حدود تايلور من الدرجة - لـ at وحدودها المتبقية في صيغة لاغرانج تُعطى بواسطة ${\textstyle f^{(k)}(x)=e^{x}}$${\textstyle k}$${\textstyle f^{(k)}(0)=1}$${\textstyle k}$${\textstyle f}$${\textstyle 0}$

$${\displaystyle P_{k}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad R_{k}(x)={\frac {e^{\xi }}{(k+1)!}}x^{k+1},}$$

حيث يوجد رقم بين 0 و x . نظرًا لأن e ^x يتزايد بمقدار ( ★ ) ، فيمكننا ببساطة استخدام لتقدير الباقي على الفترة الفرعية . للحصول على حد أعلى للباقي على ، نستخدم الخاصية لتقدير${\textstyle \xi }$${\textstyle e^{x}\leq 1}$${\textstyle x\in [-1,0]}$${\displaystyle [-1,0]}$${\displaystyle [0,1]}$${\textstyle e^{\xi }<e^{x}}$${\textstyle 0<\xi <x}$

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {e^{\xi }}{2}}x^{2}<1+x+{\frac {e^{x}}{2}}x^{2},\qquad 0<x\leq 1}$$

باستخدام توسع تايلور من الدرجة الثانية. ثم نحل لـ e ^x لاستنتاج أن

$${\displaystyle e^{x}\leq {\frac {1+x}{1-{\frac {x^{2}}{2}}}}=2{\frac {1+x}{2-x^{2}}}\leq 4,\qquad 0\leq x\leq 1}$$

ببساطة عن طريق تعظيم البسط وتقليل المقام . من خلال الجمع بين هذه التقديرات لـ e ^x نرى أن

$${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq {\frac {4|x|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq {\frac {4}{(k+1)!}},\qquad -1\leq x\leq 1,}$$

لذلك يتم الوصول إلى الدقة المطلوبة بالتأكيد، عندما

$${\displaystyle {\frac {4}{(k+1)!}}<10^{-5}\quad \Longleftrightarrow \quad 4\cdot 10^{5}<(k+1)!\quad \Longleftrightarrow \quad k\geq 9.}$$

(انظر العاملي أو احسب القيم و يدويًا .) وكنتيجة لذلك، تؤدي نظرية تايلور إلى التقريب ${\textstyle 9!=362880}$${\textstyle 10!=3628800}$

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{9}}{9!}}+R_{9}(x),\qquad |R_{9}(x)|<10^{-5},\qquad -1\leq x\leq 1.}$$

على سبيل المثال، يوفر هذا التقريب تعبيرًا عشريًا صحيحًا حتى خمسة منازل عشرية. ${\displaystyle e\approx 2.71828}$

ليكن I ⊂ R فاصلًا مفتوحًا . بحكم التعريف، تكون الدالة f  : I → R دالة تحليلية حقيقية إذا تم تعريفها محليًا بواسطة سلسلة قوى متقاربة . هذا يعني أنه لكل a  ∈  I يوجد بعض r  > 0 وتسلسل من المعاملات c _k  ∈  R بحيث ( a − r , a + r ) ⊂ I و

$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots ,\qquad |x-a|<r.}$$

بشكل عام، يمكن حساب نصف قطر التقارب لسلسلة القوى من صيغة كوشي-هادامارد

$${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{k\to \infty }|c_{k}|^{\frac {1}{k}}.}$$

تعتمد هذه النتيجة على المقارنة مع سلسلة هندسية ، وتُظهر الطريقة نفسها أنه إذا تقاربت سلسلة القوى القائمة على a لبعض b ∈ R ، فيجب أن تتقارب بشكل موحد على الفاصل المغلق ، حيث . هنا يتم النظر فقط في تقارب سلسلة القوى، وقد يكون من الجيد أن ( a − R ، a + R ) تمتد إلى ما بعد المجال I لـ f . ${\textstyle [a-r_{b},a+r_{b}]}$${\textstyle r_{b}=\left\vert b-a\right\vert }$

تعد متعددات حدود تايلور للدالة التحليلية الحقيقية f عند a هي ببساطة عمليات اقتطاع محدودة

$${\displaystyle P_{k}(x)=\sum _{j=0}^{k}c_{j}(x-a)^{j},\qquad c_{j}={\frac {f^{(j)}(a)}{j!}}}$$

من سلسلة القوى المحددة محليًا، ويتم تحديد شروط الباقي المقابلة محليًا بواسطة الوظائف التحليلية

$${\displaystyle R_{k}(x)=\sum _{j=k+1}^{\infty }c_{j}(x-a)^{j}=(x-a)^{k}h_{k}(x),\qquad |x-a|<r.}$$

هنا الوظائف

$${\displaystyle {\begin{aligned}&h_{k}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\[1ex]&h_{k}(x)=(x-a)\sum _{j=0}^{\infty }c_{k+1+j}\left(x-a\right)^{j}\end{aligned}}}$$

كما أنها تحليلية، لأن سلسلة القوى المحددة لها نفس نصف قطر التقارب مثل السلسلة الأصلية. بافتراض أن [ a − r ، a + r ] ⊂ I و r  <  R ، فإن كل هذه السلاسل تتقارب بشكل موحد على ( a − r ، a + r ) . بطبيعة الحال، في حالة الدوال التحليلية، يمكن للمرء تقدير حد الباقي من خلال ذيل تسلسل المشتقات f' ( a ) في مركز التوسع، ولكن باستخدام التحليل المركب تنشأ أيضًا إمكانية أخرى، والتي يتم وصفها أدناه. ${\textstyle R_{k}(x)}$

ستتقارب سلسلة تايلور لـ f في فترة ما حيث تكون جميع مشتقاتها محدودة ولا تنمو بسرعة كبيرة مع انتقال k إلى ما لا نهاية. (ومع ذلك، حتى إذا تقاربت سلسلة تايلور، فقد لا تتقارب إلى f ، كما هو موضح أدناه؛ يُقال بعد ذلك إن f غير تحليلية .)

قد يفكر المرء في سلسلة تايلور

$${\displaystyle f(x)\approx \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots }$$

لدالة قابلة للاشتقاق بعدد لا نهائي من المرات f  : R → R باعتبارها "متعددة حدود تايلور من الدرجة اللانهائية" عند a . الآن، تشير التقديرات للباقي إلى أنه إذا كان من المعروف أن مشتقات f محدودة على (a − r ، a + r ) ،  فعند  أي رتبة k  وأي  r > 0 يوجد ثابت  M k _,r > 0 بحيث

${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq M_{k,r}{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}}$

( ★★ )

لكل x  ∈ ( a  −  r , a  +  r ). في بعض الأحيان يمكن اختيار الثوابت M _k,r بحيث تكون M _k,r محدودة من الأعلى، بالنسبة لـ r الثابتة وجميع k . ثم تتقارب متسلسلة تايلور لـ f بشكل موحد إلى بعض الدوال التحليلية

$${\displaystyle {\begin{aligned}&T_{f}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\&T_{f}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\left(x-a\right)^{k}\end{aligned}}}$$

(يمكننا أيضًا الحصول على التقارب حتى لو لم يكن M _k,r محدودًا بالأعلى طالما أنه ينمو ببطء كافٍ.)

دالة الحد T _f هي دالة تحليلية دائمًا بحكم التعريف، لكنها لا تساوي بالضرورة الدالة الأصلية f ، حتى لو كانت f قابلة للاشتقاق بشكل لا نهائي. في هذه الحالة، نقول إن f دالة سلسة غير تحليلية ، على سبيل المثال دالة مسطحة :

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

باستخدام قاعدة السلسلة بشكل متكرر عن طريق الاستدلال الرياضي ، يظهر أنه لأي ترتيب  k ،

$${\displaystyle f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k}}}\cdot e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}}$$

لبعض متعددات الحدود p _k من الدرجة 2( k − 1). تميل الدالة إلى الصفر بشكل أسرع من أي متعدد حدود مثل ، لذا فإن f قابلة للاشتقاق بلا حدود و f ^{( k )} (0) = 0 لكل عدد صحيح موجب k . تنطبق جميع النتائج المذكورة أعلاه في هذه الحالة: ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}}$${\textstyle x\to 0}$

• تتقارب سلسلة تايلور لـ f بشكل موحد مع الدالة الصفرية T _f ( x ) = 0، وهي دالة تحليلية مع تساوي جميع المعاملات للصفر.
• الدالة f غير مساوية لمتسلسلة تايلور هذه، وبالتالي فهي غير تحليلية.
• بالنسبة لأي رتبة k  ∈  N ونصف قطر r  > 0 يوجد M _k,r  > 0 يلبي حد الباقي ( ★★ ) أعلاه.

ومع ذلك، مع زيادة k لقيمة ثابتة r ، تنمو قيمة M _k,r بشكل أسرع من r ^k ، ولا يصل الخطأ إلى الصفر .

تُعمم نظرية تايلور على الدوال f  : C → C والتي تكون قابلة للاشتقاق معقدة في مجموعة فرعية مفتوحة U  ⊂  C من المستوى المركب . ومع ذلك، فإن فائدتها تتضاءل مقارنة بنظريات عامة أخرى في التحليل المركب . على وجه التحديد، يمكن استنتاج إصدارات أقوى من النتائج ذات الصلة للدوال القابلة للاشتقاق المعقدة f  :  U  →  C باستخدام صيغة تكامل كوشي على النحو التالي.

ليكن r >  0 بحيث يكون القرص المغلق B ( z ,  r ) ∪  S ( z ,  r ) موجودًا في U . إذن، صيغة تكامل كوشي ذات المعلمة الموجبة γ ( t ) = z + re للدائرة ^S ( z , r ) مع${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw,\quad f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\,dw,\quad \ldots ,\quad f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}}\,dw.}$$

هنا تكون جميع المتكاملات متصلة على الدائرة S ( z ،  r )، مما يبرر التفاضل تحت علامة التكامل. على وجه الخصوص، إذا كانت f قابلة للاشتقاق مرة واحدة على المجموعة المفتوحة U ، فإنها في الواقع قابلة للاشتقاق بعدد لا نهائي من المرات على U. نحصل أيضًا على تقديرات كوشي ^[12]

$${\displaystyle |f^{(k)}(z)|\leq {\frac {k!}{2\pi }}\int _{\gamma }{\frac {M_{r}}{|w-z|^{k+1}}}\,dw={\frac {k!M_{r}}{r^{k}}},\quad M_{r}=\max _{|w-c|=r}|f(w)|}$$

لأي z  ∈  U و r  > 0 بحيث B ( z ,  r ) ∪  S ( c ,  r ) ⊂  U . تشير هذه التقديرات إلى أن متسلسلة تايلور المعقدة

$${\displaystyle T_{f}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(c)}{k!}}(z-c)^{k}}$$

تتقارب دالة f بشكل موحد على أي قرص مفتوح مع بعض الدوال T _f . علاوة على ذلك، باستخدام صيغ التكامل المحيطي للمشتقات f ^{( k )} ( c )، ${\textstyle B(c,r)\subset U}$${\textstyle S(c,r)\subset U}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{f}(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(z-c)^{k}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{k+1}}}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {z-c}{w-c}}\right)^{k}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\left({\frac {1}{1-{\frac {z-c}{w-c}}}}\right)\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw=f(z),\end{aligned}}}$$

لذا فإن أي دالة قابلة للاشتقاق معقدة f في مجموعة مفتوحة U  ⊂  C هي في الواقع دالة تحليلية معقدة . كل ما قيل عن الدوال التحليلية الحقيقية هنا ينطبق أيضًا على الدوال التحليلية المعقدة مع استبدال الفاصل المفتوح I بمجموعة فرعية مفتوحة U  ∈  C واستبدال الفترات ذات المركز a ( a  −  r ،  a  +  r ) بأقراص ذات مركز c B ( c ،  r ). على وجه الخصوص، ينطبق توسع تايلور في الشكل

$${\displaystyle f(z)=P_{k}(z)+R_{k}(z),\quad P_{k}(z)=\sum _{j=0}^{k}{\frac {f^{(j)}(c)}{j!}}(z-c)^{j},}$$

حيث يكون مصطلح الباقي R _k تحليليًا معقدًا. توفر طرق التحليل المركب بعض النتائج القوية فيما يتعلق بتوسعات تايلور. على سبيل المثال، باستخدام صيغة تكامل كوشي لأي منحنى جوردان موجب التوجه والذي يحدد حدود المنطقة ، نحصل على تعبيرات للمشتقات f ^{( j )} ( c ) كما هو موضح أعلاه، وتعديل الحساب لـ T _f ( z ) = f ( z ) قليلاً ، نصل إلى الصيغة الدقيقة ${\textstyle \gamma }$${\textstyle \partial W\subset U}$${\textstyle W\subset U}$

$${\displaystyle R_{k}(z)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {(z-c)^{j}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{j+1}}}\,dw={\frac {(z-c)^{k+1}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)\,dw}{(w-c)^{k+1}(w-z)}},\qquad z\in W.}$$

الميزة المهمة هنا هي أن جودة التقريب بواسطة متعدد حدود تايلور على المنطقة تهيمن عليها قيم الدالة f نفسها على الحدود . وبالمثل، عند تطبيق تقديرات كوشي على تعبير السلسلة للباقي، نحصل على تقديرات موحدة ${\textstyle W\subset U}$${\textstyle \partial W\subset U}$

$${\displaystyle |R_{k}(z)|\leq \sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {M_{r}|z-c|^{j}}{r^{j}}}={\frac {M_{r}}{r^{k+1}}}{\frac {|z-c|^{k+1}}{1-{\frac {|z-c|}{r}}}}\leq {\frac {M_{r}\beta ^{k+1}}{1-\beta }},\qquad {\frac {|z-c|}{r}}\leq \beta <1.}$$

الوظيفة

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}}$$

هي دالة تحليلية حقيقية ، أي يتم تحديدها محليًا من خلال سلسلة تايلور الخاصة بها. تم رسم هذه الدالة أعلاه لتوضيح حقيقة مفادها أن بعض الدوال الأولية لا يمكن تقريبها بواسطة كثيرات حدود تايلور في أحياء مركز التوسع التي تكون كبيرة جدًا. يمكن فهم هذا النوع من السلوك بسهولة في إطار التحليل المركب. أي أن الدالة f تمتد إلى دالة متعددة الأشكال

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {C} \cup \{\infty \}\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}\\&f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}\end{aligned}}}$$

على المستوى المركب المضغوط. له أقطاب بسيطة عند و ، وهو تحليلي في مكان آخر. الآن تتقارب سلسلة تايلور الخاصة به التي مركزها عند z _{0 على أي قرص} B ( z ₀ ، r ) مع r < | z  −  z ₀ |، حيث تتقارب نفس سلسلة تايلور عند z  ∈  C. لذلك، تتقارب سلسلة تايلور لـ f التي مركزها عند 0 على B (0، 1) ولا تتقارب لأي z ∈ C مع | z | > 1 بسبب الأقطاب عند i و− i . لنفس السبب تتقارب سلسلة تايلور لـ f التي مركزها عند 1 على ولا تتقارب لأي z  ∈  C مع . ${\textstyle z=i}$${\textstyle z=-i}$${\textstyle B(1,{\sqrt {2}})}$${\textstyle \left\vert z-1\right\vert >{\sqrt {2}}}$

تكون الدالة f : R ⁿ → R قابلة للاشتقاق عند a ∈ R ⁿ إذا وفقط إذا كانت هناك دالة خطية L  : R ⁿ → R ودالة h  : R ⁿ → R بحيث

$${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+L({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+h({\boldsymbol {x}})\lVert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}\rVert ,\qquad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h({\boldsymbol {x}})=0.}$$

إذا كانت هذه هي الحالة، فإن التفاضل (المحدد بشكل فريد) لـ f عند النقطة a . وعلاوة على ذلك، فإن المشتقات الجزئية لـ f موجودة عند a والتفاضل لـ f عند a يُعطى بواسطة ${\textstyle L=df({\boldsymbol {a}})}$

$${\displaystyle df({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {v}})={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {a}})v_{n}.}$$

تقديم تدوين المؤشرات المتعددة

$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},\quad \alpha !=\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!,\quad {\boldsymbol {x}}^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}$$

بالنسبة إلى α ∈ N ⁿ و x ∈ R ⁿ . إذا كانت جميع المشتقات الجزئية من الدرجة - لـ f  : R ⁿ → R متصلة عند a ∈ R ⁿ ، فبموجب نظرية كليروت ، يمكن للمرء تغيير ترتيب المشتقات المختلطة عند a ، وبالتالي فإن الترميز ${\textstyle k}$

$${\displaystyle D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},\qquad |\alpha |\leq k}$$

بالنسبة للمشتقات الجزئية من الدرجة الأعلى، يكون ذلك مبررًا في هذا الموقف. وينطبق الشيء نفسه إذا كانت جميع المشتقات الجزئية من الدرجة ( k − 1 ) لـ f موجودة في جوار a وقابلة للاشتقاق عند a . ^[13] ثم نقول إن f قابلة للاشتقاق k مرة عند النقطة  a .

باستخدام تدوينات القسم السابق، نحصل على النظرية التالية.

إذا كانت الدالة f  : R ⁿ → R قابلة للاشتقاق باستمرار k + 1 مرة في كرة مغلقة لبعض ، فيمكن للمرء أن يستنتج صيغة دقيقة للباقي من حيث المشتقات الجزئية من الدرجة ( k + 1 ) لـ f في هذا الحي. ^[15] وهي، ${\displaystyle B=\{\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:\left\|\mathbf {a} -\mathbf {y} \right\|\leq r\}}$${\displaystyle r>0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\beta |=k+1}R_{\beta }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\beta },\\&R_{\beta }({\boldsymbol {x}})={\frac {|\beta |}{\beta !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{|\beta |-1}D^{\beta }f{\big (}{\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}){\big )}\,dt.\end{aligned}}}$$

في هذه الحالة، نظرًا لاستمرارية المشتقات الجزئية من الدرجة ( k +1 ) في المجموعة المدمجة B ، نحصل على تقديرات موحدة على الفور

$${\displaystyle \left|R_{\beta }({\boldsymbol {x}})\right|\leq {\frac {1}{\beta !}}\max _{|\alpha |=|\beta |}\max _{{\boldsymbol {y}}\in B}|D^{\alpha }f({\boldsymbol {y}})|,\qquad {\boldsymbol {x}}\in B.}$$

على سبيل المثال، فإن متعدد حدود تايلور من الدرجة الثالثة لدالة سلسة هو، ويرمز إلى ، ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {v}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{}&{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{2}}{2!}}\\&+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{3}}{3!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{2}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{3}}{3!}}\end{aligned}}}$$

دع ^[16]

$${\displaystyle h_{k}(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&x\not =a\\0&x=a\end{cases}}}$$

حيث، كما هو الحال في بيان نظرية تايلور،

$${\displaystyle P(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.}$$

يكفي أن نبين أن

$${\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.}$$

يعتمد الدليل هنا على التطبيق المتكرر لقاعدة لوبيتال . لاحظ أنه لكل ، . وبالتالي فإن كل مشتقة أولى للبسط في تختفي عند ، وينطبق الشيء نفسه على المقام. أيضًا، نظرًا لأن الشرط الذي يجعل الدالة قابلة للاشتقاق مرات عند نقطة ما يتطلب قابلية للاشتقاق حتى الدرجة في جوار تلك النقطة (هذا صحيح، لأن قابلية الاشتقاق تتطلب تعريف الدالة في جوار كامل لنقطة ما)، فإن البسط ومشتقاته قابلة للاشتقاق في جوار . من الواضح أن المقام يلبي أيضًا الشرط المذكور، بالإضافة إلى ذلك، لا يتلاشى إلا إذا ، وبالتالي فإن جميع الشروط اللازمة لقاعدة لوبيتال قد تحققت، واستخدامها مبرر. لذا ${\textstyle j=0,1,...,k-1}$${\displaystyle f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)}$${\textstyle k-1}$${\displaystyle h_{k}(x)}$${\displaystyle x=a}$${\textstyle f}$${\textstyle k}$${\textstyle k-1}$${\textstyle k-2}$${\textstyle a}$${\textstyle x=a}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d}{dx}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d}{dx}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&=\cdots \\[1ex]&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}\lim _{x\to a}{\frac {f^{(k-1)}(x)-P^{(k-1)}(x)}{x-a}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}(f^{(k)}(a)-P^{(k)}(a))=0\end{aligned}}}$$

حيث تتبع المساواة قبل الأخيرة تعريف المشتقة عند . ${\textstyle x=a}$

ليكن أي دالة مستمرة ذات قيمة حقيقية يتم تقريبها بواسطة متعددة حدود تايلور. ${\displaystyle f(x)}$

الخطوة 1: دع الدالتين تكونان . اضبط و تكون ${\textstyle F}$${\textstyle G}$${\textstyle F}$${\textstyle G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x)=(x-a)^{n}\end{aligned}}}$$

الخطوة 2: خصائص و : ${\textstyle F}$${\textstyle G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(a)&=f(a)-f(a)-f'(a)(a-a)-...-{\frac {f^{(n-1)}(a)(a-a)^{n-1}}{(n-1)!}}=0\\G(a)&=(a-a)^{n}=0\end{aligned}}}$$

بصورة مماثلة،

$${\displaystyle {\begin{aligned}F'(a)=f'(a)-f'(a)-{\frac {2f''(a)(a-a)}{1!}}-...-{\frac {f^{(n-2)}(a)(n-1)(a-a)^{n-2}}{(n-1)!}}=0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G'(a)&=n(a-a)^{n-1}=0\\&\qquad \vdots \\G^{(n-1)}(a)&=F^{(n-1)}(a)=0\end{aligned}}}$$

الخطوة 3: استخدام نظرية القيمة المتوسطة لكوشي

ليكن و دالتين مستمرتين على . وبما أن ذلك يمكننا العمل مع الفاصلة . ليكن و قابلين للاشتقاق على . افترض لكل . إذن يوجد مثل هذا ${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a<x<b}$${\displaystyle [a,x]}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle g_{1}}$${\displaystyle (a,x)}$${\displaystyle g_{1}'(x)\neq 0}$${\displaystyle x\in (a,b)}$${\displaystyle c_{1}\in (a,x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f_{1}(x)-f_{1}(a)}{g_{1}(x)-g_{1}(a)}}={\frac {f_{1}'(c_{1})}{g_{1}'(c_{1})}}\end{aligned}}}$$

ملحوظة : في وهكذا${\displaystyle G'(x)\neq 0}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle F(a),G(a)=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}\end{aligned}}}$$

لبعض . ${\displaystyle c_{1}\in (a,x)}$

يمكن أيضًا إجراء ذلك لـ : ${\displaystyle (a,c_{1})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}={\frac {F'(c_{1})-F'(a)}{G'(c_{1})-G'(a)}}={\frac {F''(c_{2})}{G''(c_{2})}}\end{aligned}}}$$

بالنسبة للبعض . ويمكن الاستمرار في ذلك . ${\displaystyle c_{2}\in (a,c_{1})}$${\displaystyle c_{n}}$

يؤدي هذا إلى تقسيم في : ${\displaystyle (a,b)}$

$${\displaystyle a<c_{n}<c_{n-1}<\dots <c_{1}<x}$$

مع

$${\displaystyle {\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}=\dots ={\frac {F^{(n)}(c_{n})}{G^{(n)}(c_{n})}}.}$$

تعيين : ${\displaystyle c=c_{n}}$

$${\displaystyle {\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}}$$

الخطوة 4: الاستبدال مرة أخرى

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}{(x-a)^{n}}}={\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}\end{aligned}}}$$

وفقًا لقاعدة القوة، المشتقات المتكررة لـ ، ، وبالتالي: ${\displaystyle (x-a)^{n}}$${\displaystyle G^{(n)}(c)=n(n-1)...1}$

$${\displaystyle {\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}={\frac {f^{(n)}(c)}{n(n-1)\cdots 1}}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}.}$$

وهذا يؤدي إلى:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}}.}$$

ومن خلال إعادة الترتيب نحصل على:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}},}$$

أو لأنه في النهاية: ${\displaystyle c_{n}=a}$

$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.}$$

ليكن G أي دالة ذات قيمة حقيقية، متصلة على الفترة المغلقة بين و وقابلة للاشتقاق باستخدام مشتقة غير متلاشية على الفترة المفتوحة بين و ، وعرف ${\textstyle a}$${\textstyle x}$${\textstyle a}$${\textstyle x}$

$${\displaystyle F(t)=f(t)+f'(t)(x-t)+{\frac {f''(t)}{2!}}(x-t)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}.}$$

بالنسبة لـ . إذن، وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة لكوشي ، ${\displaystyle t\in [a,x]}$

${\displaystyle {\frac {F'(\xi )}{G'(\xi )}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}}$

( ★★★ )

بالنسبة لبعضها على الفاصلة المفتوحة بين و . لاحظ أن البسط هنا هو بالضبط باقي حدود تايلور لـ . احسب ${\textstyle \xi }$${\textstyle a}$${\textstyle x}$${\textstyle F(x)-F(a)=R_{k}(x)}$${\textstyle y=f(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F'(t)={}&f'(t)+{\big (}f''(t)(x-t)-f'(t){\big )}+\left({\frac {f^{(3)}(t)}{2!}}(x-t)^{2}-{\frac {f^{(2)}(t)}{1!}}(x-t)\right)+\cdots \\&\cdots +\left({\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}-{\frac {f^{(k)}(t)}{(k-1)!}}(x-t)^{k-1}\right)={\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},\end{aligned}}}$$

أدخله في ( ★★★ ) وأعد ترتيب المصطلحات للعثور على ذلك

$${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}.}$$

هذا هو شكل حد الباقي المذكور بعد البيان الفعلي لنظرية تايلور مع الباقي في شكل القيمة المتوسطة. يتم إيجاد شكل لاجرانج للباقي عن طريق الاختيار وشكل كوشي عن طريق الاختيار . ${\displaystyle G(t)=(x-t)^{k+1}}$${\displaystyle G(t)=t-a}$

ملاحظة. باستخدام هذه الطريقة، يمكن للمرء أيضًا استعادة الشكل المتكامل للباقي عن طريق اختيار

$${\displaystyle G(t)=\int _{a}^{t}{\frac {f^{(k+1)}(s)}{k!}}(x-s)^{k}\,ds,}$$

ولكن متطلبات f اللازمة لاستخدام نظرية القيمة المتوسطة قوية للغاية، إذا كان المرء يهدف إلى إثبات الادعاء في حالة أن f ^{( k )} متصلة بشكل مطلق فقط . ومع ذلك، إذا استخدم المرء تكامل ريمان بدلاً من تكامل ليبيج ، فلا يمكن إضعاف الافتراضات.

بسبب الاستمرارية المطلقة لـ على الفترة المغلقة بين و ، فإن مشتقتها موجودة كدالة - ، ويمكننا استخدام النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل بالأجزاء . ينطبق نفس الإثبات على تكامل ريمان بافتراض أن مستمرة على الفترة المغلقة وقابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة بين و ، وهذا يؤدي إلى نفس النتيجة التي نحصل عليها باستخدام نظرية القيمة المتوسطة. ${\displaystyle f^{(k)}}$${\textstyle a}$${\textstyle x}$${\displaystyle f^{(k+1)}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle f^{(k)}}$${\textstyle a}$${\textstyle x}$

تنص النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل على أن

$${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}\,f'(t)\,dt.}$$

الآن يمكننا التكامل بالأجزاء واستخدام النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل مرة أخرى لنرى أن

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\Big (}xf'(x)-af'(a){\Big )}-\int _{a}^{x}tf''(t)\,dt\\&=f(a)+x\left(f'(a)+\int _{a}^{x}f''(t)\,dt\right)-af'(a)-\int _{a}^{x}tf''(t)\,dt\\&=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{x}\,(x-t)f''(t)\,dt,\end{aligned}}}$$

وهي بالضبط نظرية تايلور مع الباقي في صورة التكامل في الحالة . يتم إثبات العبارة العامة باستخدام الاستقراء . افترض أن ${\displaystyle k=1}$

${\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt.}$

( المعادلة 1 )

عند دمج الحد المتبقي حسب الأجزاء نصل إلى

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt=&-\left[{\frac {f^{(k+1)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1}\right]_{a}^{x}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1}\,dt\\=&\ {\frac {f^{(k+1)}(a)}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)!}}(x-t)^{k+1}\,dt.\end{aligned}}}$$

يُظهر استبدال هذا في الصيغة في ( المعادلة 1 ) أنه إذا كان صحيحًا بالنسبة للقيمة ، فيجب أن يكون صحيحًا أيضًا بالنسبة للقيمة . وبالتالي، نظرًا لأنه صحيح بالنسبة لـ ، فيجب أن يكون صحيحًا بالنسبة لكل عدد صحيح موجب . ${\displaystyle k}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k}$

نثبت الحالة الخاصة، حيث يكون المشتقات الجزئية المتصلة حتى الدرجة في بعض الكرات المغلقة ذات المركز . تتمثل استراتيجية الإثبات في تطبيق حالة المتغير الواحد لنظرية تايلور على تقييد إلى القطعة المستقيمة المجاورة و . ^[17] قم بمعاملة القطعة المستقيمة بين و بواسطة نطبق النسخة ذات المتغير الواحد لنظرية تايلور على الدالة : ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {u}}(t)={\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})}$${\displaystyle g(t)=f({\boldsymbol {u}}(t))}$

$${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=g(1)=g(0)+\sum _{j=1}^{k}{\frac {1}{j!}}g^{(j)}(0)\ +\ \int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{k}}{k!}}g^{(k+1)}(t)\,dt.}$$

تطبيق قاعدة السلسلة على عدة متغيرات يعطي

$${\displaystyle {\begin{aligned}g^{(j)}(t)&={\frac {d^{j}}{dt^{j}}}f({\boldsymbol {u}}(t))\\&={\frac {d^{j}}{dt^{j}}}f({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))\\&=\sum _{|\alpha |=j}\left({\begin{matrix}j\\\alpha \end{matrix}}\right)(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }\end{aligned}}}$$

حيث يكون معامل الحدود المتعددة . وبما أن ، نحصل على: ${\displaystyle {\tbinom {j}{\alpha }}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{j!}}{\tbinom {j}{\alpha }}={\tfrac {1}{\alpha !}}}$

$${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+\sum _{1\leq |\alpha |\leq k}{\frac {1}{\alpha !}}(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k+1}{\frac {k+1}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }\int _{0}^{1}(1-t)^{k}(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))\,dt.}$$

• معضلة هادامارد
• سلسلة لوران  – سلسلة القوة ذات القوى السلبية
• تقريب بادي  – "أفضل" تقريب لدالة بواسطة دالة نسبية من رتبة معينة
• سلسلة نيوتن  - نظير منفصل للمشتقةPages displaying short descriptions of redirect targets
• نظرية التقريب  – نظرية الحصول على حسابات رياضية غير دقيقة بشكل مقبول
• تقريب الدالة  - تقريب دالة عشوائية بأخرى سليمة

• الرسول ، توم (1967)، حساب التفاضل والتكامل ، وايلي، ISBN 0-471-00005-1.
• أبوستول، توم (1974)، التحليل الرياضي ، أديسون ويسلي.
• بارتل، روبرت ج.؛ شيربرت، دونالد ر. (2011)، مقدمة إلى التحليل الحقيقي (الطبعة الرابعة)، وايلي، رقم ISBN 978-0-471-43331-6.
• Hörmander، L. (1976)، مشغلي التفاضل الجزئي الخطي، المجلد 1 ، سبرينغر، ISBN 978-3-540-00662-6.
• كلاين، موريس (1972)، الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى العصور الحديثة، المجلد 2 ، مطبعة جامعة أكسفورد.
• كلاين، موريس (1998)، حساب التفاضل والتكامل: نهج بديهي وفيزيائي ، دوفر، ISBN 0-486-40453-6.
• بيدريك، جورج (1994)، دورة أولى في التحليل ، سبرينغر، رقم ISBN 0-387-94108-8.
• سترومبرج، كارل (1981)، مقدمة في التحليل الحقيقي الكلاسيكي ، وادزورث، ISBN 978-0-534-98012-2.
• رودين، والتر (1987)، التحليل الحقيقي والمعقد (الطبعة الثالثة)، ماكجرو هيل، رقم ISBN 0-07-054234-1.
• تاو، تيرينس (2014)، التحليل، المجلد الأول (الطبعة الثالثة)، وكالة هندوستان للكتاب، رقم ISBN 978-93-80250-64-9.
• إثبات نظرية تايلور (PDF) ، الجامعة الصينية في هونج كونج.

• نظرية تايلور في ProofWiki
• تقريب سلسلة تايلور لجيب التمام عند قطع العقدة
• أداة تفاعلية توضيحية لتوسيع تايلور المثلثي
• إعادة النظر في سلسلة تايلور في معهد الأساليب العددية الشاملة